Ejercicios Resueltos 6 Repaso 2

7/22/2019 Ejercicios Resueltos 6 Repaso 2

1/13

Repaso 2

Ejercicios resueltos

1. Dada la siguiente integral2

1 11

00

( ; ; )y

x

f x y z dz dy dx

.

a. Describa grficamente la regin de integracinb. Escriba otra integral iterada equivalente.c. Calcule el volumen del slido descrito en la parte a).Solucin

yzyxxzyxE 10,1,10/);;( 2

yzyxyzyxE 10,0,10/);;(

1

0 0

10

2

);;(y y dzdxdyzyxf

Para calcular el volumen, 1);;( zyxf luego:

1

0 0

10

2

1y

y dzdxdy

6

1)()1(

1

0

1

00

dyyydxdyyy

y

z

x

1

1

1

yz 1

2xy


2/13

2. Calcule C

zdsysen , donde C es la curva de interseccin entre las superficies 1: 221 yxS y

zxS cos:2 ; z0 Solucin

ttsenttt 0;;;cosr

1;cos;sen' ttt r

2' tr

0

sensen2sen dtttzdsyC

0

2sen2 dtt

0

2cos12

2dtt

2

2

2

2sen

2

2

0

t

t

3. Calcule C

dsy , donde C es la parte de la circunferencia 422 yx que se encuentra en el primer

cuadrante.

Solucin

2

0;2;cos2

tsentttr

ttt cos2;sen2' r

2' tr

2

0

)2(sen2

dttdsy

C

4)(cos4 20

t

2

C

2 x

y


3/13

4. Sean las trayectorias C1y C2mostradas en la figura.a. Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerza

zyzezyx xy 22 ;;0);;(F sobre una partcula que se

mueve desde el punto (1; 1; 0) hasta el punto (0; 1; 1) por latrayectoria recta C1.

Solucin

10;;1;1:1 ttttC r

1;0;1' tr

ttetr t 1;;0)( 21F

dttdtttrdC

1

0

1

0

)1(')(

1

rFrF

5,12

3

2

11

2

1

0

2

t

t

b. Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerza 3 zzz xyexeyezyx ;;);;(G sobre unapartcula que se mueve desde el punto (1; 1; 0) hasta el punto (0; 1; 1) por la trayectoria C2.

Solucin:

ff

xyexeye

zyx

kji

zzz

FF /0;0;0

3

rot

zyhxyezyxfyezyxf zzx ;;;;;

zgxyezyxf

zgzyhzyhxezyhxezyxf

z

yz

yz

y

;;

;0;;;;

czxyezyxf

czzgzgxyezgxyezyxf

z

zzz

3;;

33'3';;

2130;1;11;1;02

ffd

C

rF


4/13

5. Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerza 3;2;1);;( zzz xyexeyezyxF sobre unapartcula que se mueve desde el punto A(2; 0; 0) hasta el punto B(1; 0; 3) por la trayectoria C1-C2-C3 ,de

dos maneras distintas.

Solucin:

ff

xyexeye

zyx

kji

zzz

FF /0;0;0

321

rot

Mtodo 1Hallando una funcin potencial

zyhxxyezyxfyezyxf zzx ;;;;;

zgyxxyezyxf

zgyzyhzyhxezyhxezyxf

z

y

z

y

z

y

2;;

2;2;2;;;

czyxxyezyxf

czzgzgxyezgxyezyxf

z

zz

z

32;;

33'3';;

82100;0;23;0;1 ffdC

rF

Mtodo 2Cambio de trayectoria. Sea C4al segmento que une A con B:

10;3;0;2:4

ttttC r

3;0;1' tr

3;22;1 3 tettrF

1

0

1

0

891'

4

dttdttdC

rrFrF

A

x

3

C12

2 y

C2C3

z

B


5/13

6. Calcule C

ydyeyxdxyx arctan64))1(ln(sen

35 , donde C es la curva que bordea al

rectngulo 20,10/);( 2 yxyx , orientada en sentido anti horario.Solucin

44))1(ln(sen5

yx

yy

P

6arctan6 3

yeyx

xx

Q

D

DC

y

dA

dAx

Q

x

Qdyeyxdxyx

46

arctan64))1(ln(sen 35

4)2)(1(246 D

dA

7. Calcule C

yxdyyexdxey

2

2 , donde C est formada por los segmentos que van del punto

)0;2( a )2;0( luego del punto )2;0( a )0;2( Solucin

21 CCC

Sea 3214 CCCC curva cerrada

3421 CCCC

dddd rFrFrFrF Para hallar la integral sobre

C4aplicamos el teorema de Green dA

x

Q

x

Qdyexdxey

DC

xx

4

2

2

22

xey

yy

P 12

yyexxx

Q

4242

1212

4

2

DDC

xx dAdAdyexdxey

Para hallar la integral sobre C3paremetrizemos la curva

10;0;42:3 tttC r

0;4' tr

221

0

42

1

0

42

1

0

4244402

3

eeedtedted ttt

C

rF

25.1142 224

2

eedyexdxeyC

xx

C3

y

(2; 0)(-2; 0)

(0; 2)

C2 C1

2

x

y

1


6/13

y

x1

1

-1

-1

8. Evaluar C

xydxdxx4 , donde Ces la curva triangular que une los puntos (0;0), (0;1) y (1;0), orientada

positivamente.

Solucin:

La grfica indica la regin encerrada por la curva C.Tenemos:

yx

QxyyxQ

y

PxyxP

);(

);( 04

Por lo tanto:

61

1

1

1

0

3

6

1

21

0 2

11

0

1

0

1

0

1

0

2

2

14

x

dxxdxyydydxdAy

P

x

Qxydxdxx

D

x x

C

Ntese que si hubiramos hecho la integral de lnea habramos tenido que hacer 3 integrales con lascorrespondientes parametrizaciones.

9. Determinacin de un rea mediante una integral de lnea. Determine el rea de la regin limitada por lahipocicloide que tiene la ecuacin vectorial

2033 tttt ;sencos jir Solucin:

De la parametrizacin de la curva tenemos:

tsen=x==>tsen=y

tcos=x==>tcos=x

22/33

22/33

Sumando miembro a miembro tenemos:

1

1

2/33/21

1

1

1

2/33/23/23/2 1211

2/33/2

2/33/2 dxxdydxAxyyx

x

x

Este clculo, ejecutado como integral de rea, es muy complicado. El teorema de Green nos permitetransformar esta integral en una de lnea, usando como trayectoria la hipocicloide del enunciado y

definiendo una funcin apropiada para la integracin. Veamos:

El rea de una regin Dviene dada por D

dAA 1 . Por lo tanto, para aplicar Green deberamos

encontrar funcionesP, Q / 1

y

P

x

Q. Un par de funciones sencillas que cumplen esta condicin

sonP= 0, Q=x. Si recordamos la parametrizacin, escribimos:

dtttdy =ty =

t dtt-dxtx =

cossensen

sencoscos

23

23

3

3

Luego:

x

y

1

1

y = 1 -x


7/13

8

3

6

2

8

422

2

41

2224

2

2

213

4

23

33

2

0

3

2

1

8

32

0

2

8

3

2

0

22

8

32

0

22

0

2

2

2

0

242

0

23

tttdttt

t

dttttdttt

dtt

t

tdtttdtttQdyPdxdAy

P

x

QA

CD

sensencossen

cos

)cossen(senenscossen

cos

sencoscosenscos

De esta manera contamos con una herramienta ms para obtener el rea de la regin encerrada poruna curva cerrada,

10. Los estudiantes de topografa de la UPC, han hecho un levantamiento de un terreno colindante a launiversidad tal como muestra la figura, el contorno de dicho terreno est definido por la ecuacin

vectorial ,20;sencos: 3 ttttC jir medida enkilmetros. Determine el rea de la regin acotada por lacurva.

Solucin

Utilicemos una de las consecuencias de Green

CD

QdyPdxdARA 1)(

Seleccionemos P y Q de forma tal que 0;1

PxQ

y

P

x

Q,

Entonces

2

2

0

2

0

2

0

2

2

0

22

2

0

2

km4,24

3

8

)4sen(

24

3

24cos1

432sen

43)sencos3

)sencos3(cos)(

tt

dtttdttdttt

dttttxdyQdyRAcC


8/13

11. Dado el campo jiF2222

yx

x

yx

yyx

);(

a. Calcule su integral de lnea sobre el crculox2+y2= 1b. Calcule dA

y

P

x

Q

D

, dondeDes la regin encerrada por la curva de la parte a.

c. Discuta si estos resultados estn de acuerdo o no con el Teorema de Green.Solucin

a. Parametricemos el crculo.20,

cossen

sencos

t

tdtdyty

tdtdxtx

tdtQdxtdttt

ttytxQ

tdtPdxtdttt

ttytxP

222

2

22

coscoscossen

cos))();((

sensencossen

sen))();((

Integrando tendremos, as:

C

dtttQdyPdx

2

0

22 2cossen

b. Haciendo los clculos directamente en coordenadas cartesianas es:

00

2)(

2

222

22

222

22

222

22

222

22

dAyP

x

Q

y

P

x

Q

yx

xy

yx

yyyx

y

P

yx

xy

yx

xxyx

x

Q

D

c. Aparentemente estos resultados contradicen el Teorema de Green. Sin embargo, este ltimo no esaplicable a la regin en cuestin, dado que las funciones P y Q no tienen derivadas parcialescontinuas en el punto (0; 0), que est contenido en la regin D


9/13

12. Calcule la masa de una placa delgada que tiene la forma del paraboloide 22 yxz y est limitada porlos planos 1z y 5z . La densidad (masa por unidad de rea) de la placa es

144

1);;(

22

yxzyx .

Solucin

SS

dS

yx

dSzyxm

144

1);;(

22

22 yxz

yy

zx

x

z22

11 22 yxz

55 22 yxz

415

144

144

1 22

22

DAdAdAyxyx

m

DD

13. Sea S la parte del paraboloide 22 33),( yxyxf que se encuentra comprendida entre los cilindros122 yx y 1622 yx . Calcule la masa de S, considerando que la densidad superficial en

SzyxP ,, es igual a 13636);;( 22 yxzyx .Solucin

dSzyxmS

),,(

dAx

z

x

zdS 1

22

dAyxdAyxdS 2222 361166 dAyxyxm

xyD

2222361361

Describiendo la regin en coordenadas polares

41;20/, rrDxy Reemplazando la densidad y el diferencial en coordenadaspolares

46054

36

22361

4

1

2

0

4

1

422

rrrdrdrm

z

x

y

S

D

5

1


10/13

14. Sea la superficie Sla parte del paraboloide 224 yxz que se encuentra en el primer octante y seaCla curva frontera de S. (Ces la interseccin de Scon los planos coordenados). Considere una

orientacin de Cen sentido anti horario si se observa desde arriba. Calcule C

drF , donde

2;2;5);;( yyzyzyx F .

a.En forma directab.Mediante el teorema de Stokes.Solucin:

a. 2

0;0;sen2;cos2:1

ttttC r

0;cos2;2' tsentt r

tttr 2sen4;0;sen10F

52

210sen20

2

0

2

0

2

1

tsentdttd

C

rF

20;4;;0: 22 ttttC r

tt 2;1;0' r

22 );4(2;5 tttttr F

04482)4(2 20422

0

32

2

02

ttdtttdttttdC

rF

20;4;0;: 2

3

ttttC r tt 2;0;1' r

0;0;0trF

03

C

drF

5005 C

drF

b.

5;0;0

25

rot

2

yyzy

zyx

kji

F

55rot DSC

dAdd SFrF

y

z

x

C3C2

C1

D


11/13

15. Sea la superficie Sparte del cilindro 042 zx que se encuentra en el primer octante limitado por elplano

4

zy . Sea Cla curva frontera de S. (Ces la interseccin de Scon los planos coordenados y el

plano dado), considere una orientacin de Cen sentido

anti horario si se observa desde arriba. Calcule C

drF ,

donde kjiF zx xexzzezyx 2,, .Solucin:

4

4

4

04 22

xyz

y

zx

04;; 2 zxzyxg

1;0;2;; xzyxg

zeex

xexzze

zyx

kji

zx

zx

2;;2

2

rot

F

S

zx

SC

dzeexdd SSFrF 2;;2rot

DDD

zx

S

dAxdAzxdAxzeexd 22 342241

1;0;22;;2rot SF

4

40;20/;

2xyxyxD

2

0

4

4

0

22

15

64342342

2

dydxxdAx

x

D

x

y

x

z

2

1

4

4 2xy

4

D

SC


12/13

16. SeaEel slido del primer octante que est debajo del semicono 22 yxz y acotado por la esfera1222 zyx y los planos 0x , 0y y 0z . Sea Sla superficie frontera deE.

Calcule S

SF d , donde yxzyexezyx zz cos3;1;);;( 2F .

Solucin:

E dVd FSF divS

EE

zz dVdVeed 33S

SF

10;24

;2

0/;;

E

ddddVE

2

0

2

4

1

0

2sen3

4

2sen2sen333

2

4

1

0

32

0

2

4

ddddVE

17. Dado el campo vectorial kjiF xyzxzyyzxzyx ,, ,a. Determine el flujo de campo en la superficie cerrada por la semiesfera superior zzyx 4222 y

el semicono22 yxz

b. Determine el flujo de campo slo en el semicono mencionado, orientado hacia abajo.Solucin:

. 242)2(3

1)2(

3

233div 23

EE

dVdVd FSFS

2222

22;

yx

y

y

z

yx

x

x

zyxz

DDS

dAxyzyx

xxzy

yx

xyzxdAR

y

zQ

x

zPd

2222

2

SF

DS

dAxyd

2

SF

20;20/; rrD

2

0

2

0

2 cossen

2

rdrdrdAxydDS

SF

2

0

2

0

4

cossen4

2

dr

d

r

rS

SF

02

sen

4

162

0

2

2

S

dSF

S2

S1

z

2

y

2

x

4

y

z

x


13/13

18. Dado el campo vectorial kjiF 21cos2sen,, zxyyyexzyezyx xx ,a. Determine el flujo de campo en la superficie cerrada por la semiesfera inferior 9222 zyx y el

plano z = 0b. Determine el flujo de campo slo en la semiesfera mencionada, orientada hacia abajo.Solucin:

a. 18)3(3

2div

3

EEdVdVd FSF

S

b. 2121 SSSS

dddddd SFSFSFSFSFSFSS

DS

dAxyd )1(

2

SF

30;20/; rrD

2

0

3

0

2cossen1)1(

2

rdrdrdAxydDS

SF

2

0

3

0

42

cossen42

2

drr

d

r

rS

SF

92

sen

4

81

2

9 2

0

2

2

S

dSF

9918

1

S

dSF

y

S1

z

3x

S2

Ejercicios Resueltos 6 Repaso 2

Documents

Transcript of Ejercicios Resueltos 6 Repaso 2