ejercicios resueltos calculo1

8/17/2019 ejercicios resueltos calculo1

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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 1 FACULTAD DE INGENIERÍA

CÁLCULO 1

SESIÓN 1: SOLUCIONARIO DE FUNCIÓN LINEAL, CUADRÁTICA, RAÍZCUADRADA.

1. A partir de sus conocimientos de MB, calcular todos los valores de c de manera que:

a)

La gráfica de la función f con regla de correspondencia 63)( 2

xc x x f corte al eje xen dos puntos.

b) La gráfica de la función f con regla de correspondencia 63)( 2 xc x x f corte al eje xen un solo punto.

Solución(a): (Objetivo calcular a que intervalo pertenece c para que la gráfica corte al eje x endos puntos)

La gráfica de la función f corta al el eje x entonces 063)( 2 xc x x f Por dato, se tiene que la gráfica de la función f corta al eje x en dos puntos entonces

0632 cx x tiene dos raíces es decir 0)6)(1(4)3( 2 c

Resolver la inecuación 0)6)(1(4)3( 2 c

Paso 1: Factorizar por medio de diferencia de cuadrados.

0)243)(243(24)3( 22 ccc

Paso 2: Puntos de referencia.

3

24

3

240)243(0)243(

cccc

Paso 3: Respuesta.

;

3

24

3

24; c

Solución(b): (Objetivo calcular a que intervalo pertenece c para que la gráfica corte al eje x enun solo punto)

La gráfica de la función f corta al el eje x entonces 063)( 2 xc x x f

Por dato, se tiene que la gráfica de la función f corta al eje x en un solo punto entonces0632 cx x tiene una solo raíz es decir 0)6)(1(4)3( 2 c

Resolver la ecuación 0)6)(1(4)3( 2 c

0249 2 c

9

24

9

242 cc

3

24;

3

24c


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2. Una empresa que fabrica televisores tiene la función de costo total 185043)( x xC y la

función de ingreso total x x R 80)( a) ¿Cuál es la función que representa la ganancia? b) Grafique la función ganancia e indique su dominio y rango.

Solución(a): (Objetivo determinar la función ganancia e indicar su dominio)

Definir variables.

: x Número de televisores que fabrica la empresa.

0 x La función utilidad se llama ganancia si está es positiva.

Ganancia: 50,)185043(80)( x x x xG

50,185037)( x x xG

Solución(b): (Objetivo graficar la función ganancia)

Si 18501850)0(37)0(0 G x

Si 01850)50(37)50(50 G x

El dominio de la función ganancia es: ;50)(G Dom

El rango de la función ganancia es: ;0)(G Rag

3.

De una hoja rectangular de 20x16 cm, se recortan en cada esquina, cuadrados iguales de lado x y luego los lados se doblan hacia arriba para formar una caja sin tapa, determine el volumen de lacaja en función de x .

Solución:(Objetivo expresar el volumen en términos de x )

: x Longitud del lado del cuadrado a recortar.

0 x

El volumen de la caja es:

x x x xV )216)(220()(

Además se debe considerar que las dimensionesla caja son positivas es decir:

02160220 x x 810 x x

8 x

Luego el volumen en términos de x está dado por:

80;)216)(220()( x x x x xV

G(x)

-1850

50

20-2x

16-2x

16-2x

20-2x

Ganancia

Pérdida


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4. Exprese el área del rectángulo sombreado (ver figura) como una función de x.

Solución:( Objetivo expresar el área del rectángulo en términos de x ) Área: y x A .

Del gráfico se observa que la recta pasa por uno de los vértices del rectángulo, entonces se puede despejar y en términos de x .

2

)4(42

x y y x

Reemplazar 2

)4( x y

en el área, se tiene )

2

4()( x x x A

Además se debe considerar que las dimensiones del rectángulo son positivas es decir:

4002

40

x

x y x

40);2

4()(

x

x x x A

5. Un complejo habitacional, tiene 100 departamentos de dos recamaras. La ganancia mensualobtenida por la renta de x departamentos está dada por:

50000176010)( 2 x x x P

a) ¿Cuántas unidades deben rentarse para maximizar la ganancia mensual? b) ¿Cuál es la ganancia máxima mensual que se puede obtener?

Solución(a): ( Objetivo hallar el número de departamentos que se debe rentase para obtener lamáxima ganancia mensual)

Como es una función cuadrática y 10a es negativo, entonces la máxima ganancia se

obtiene cuandoa

bh x

2

Calculando el valor de 88)10(2

1760

h x

Respuesta: Se debe rentarse 88 departamentos para obtener la máxima ganancia.

Solución(b): ( Objetivo hallar la máxima ganancia mensual)

Como es una función cuadrática y 10a es negativo, entonces la ganancia máxima es)(h P k

Calculando el valor de 2744050000)88(1760)88(10 2 k

Respuesta: La ganancia máxima mensual es de 27440 unidades monetarias.

( x ; y)x+2y=4

x


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6. Se desea construir un nuevo modelo de reloj como se muestra en la imagen. El diseño de la parte interior debe ser un triángulo equilátero de perímetro x.Encuentre una expresión para el área del triángulo en términos de x.

Solución:( Objetivo expresar el área del triángulo en términos de x)

Como el triángulo es equilátero y su perímetro es x , entonces el lado del triángulo es3

x L

Además se sabe que el área de un triángulo equilátero es:4

32

L A

Por lo tanto: 0;16

3

4

32

)(2

2

x x

x

x A

7. Un ingeniero civil encargado de construir una pista de atletismo con dos segmentos rectos ydos semicirculares como se muestra en la imagen. El radio de cada semicírculo es x y lalongitud de la pista debe ser de un kilómetro.

a) Expresar el área limitada por la pista como función de x. b) Determinar el dominio de la función área para que el problema tenga sentido.

Solución(a): (Objetivo expresar limitada por la pista en términos de x)

Del gráfico )(2)( 2 L x x A

Por dato, la pista es de 1000 metros.

x L L x

L x L x

500100022

1000

Luego el área en términos de x queda expresado por: )500(2)()( 2 x x x x A

x

x

L

πx πx


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Solución(b): (Determinar el dominio de la función área )

Considerando que todas las dimensiones de la pista son positivas se tiene:

500500

0500

x x

x L

Por lo tanto el dominio es:

500;0)( A Dom

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