Ejercicios Resueltos de Algebra
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EJERCICIO 13
13
V a l o r n u m é r i c o Valor numérico de expresiones compuestas
P r o c e d i m i e n t o 1. Se reemplaza cada letra por su valor numérico 2. Se efectúan las operaciones indicadas
Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para:
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EJERCICIO 14
14
Ejercicios sobre notación algebraica
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Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 15
15
S u m a
Suma de monomios
P r o c e d i m i e n t o 1. Se escriben las expresiones una a continuación de otra y con sus respectivos signos 2. Se reducen los términos semejantes. Para reducir términos semejantes se procede de la siguiente forma: a. Si los términos son de igual signo, se suman los coeficientes y se escribe el signo común b. Si los términos tienen signo distinto, se restan los coeficientes y se escribe el signo del número mayor en valor absoluto c. A continuación del signo y del coeficiente se escribe la parte literal Nota: recuerdese que los términos semejantes son aquellos sumandos que tienen las mismas letras y afectadas por los mismos exponentes.
S u m a r :
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EJERCICIO 16
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16
S u m a
Suma de polinomios
P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una fila diferente); y de tal forma, que los téminos semejantes queden en la misma columna 3. Se reducen los términos semejantes: a. Se suman los términos positivos b. Se suman los términos negativos c. Se establece la diferencia entres los resultados obtenidos en a y b d. En el total, el signo que lleve el término corresponderá al del número mayor, en valor absoluto, de las sumas en a y b 4. Se dibuja una línea debajo de la última fila; y debajo de esta línea se escriben los términos, ya reducidos en el paso 3, con sus respectivos signos
Hallar la suma de:
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17
S u m a
Suma de polinomios
P r o c e d i m i e n t o
1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una fila diferente); y de tal forma, que los téminos semejantes queden en la misma columna 3. Se reducen los términos semejantes: a. Se suman los términos positivos b. Se suman los términos negativos c. Se establece la diferencia entres los resultados obtenidos en a y b d. En el total, el signo que lleve el término corresponderá al del número mayor, en valor absoluto, de las sumas en a y b 4. Se dibuja una línea debajo de la última fila; y debajo de esta línea se escriben los términos, ya reducidos en el paso 3, con sus respectivos signos
Hallar la suma de:
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EJERCICIO 18
18
S u m a
Suma de polinomios con coeficientes fraccionarios
P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una fila diferente); y de tal forma, que los téminos semejantes queden en la misma columna 3. Se reducen los términos semejantes: se suman los coeficientes fraccionarios, cada uno con su respectivo signo 4. Se dibuja una línea debajo de la última fila; y debajo de esta línea se escriben los términos, ya reducidos en el paso 3, con sus respectivos signos Nota: las fracciones las vamos a sumar por el método de hallar el mínimo común denominador (m.c.d.)
Hallar la suma de:
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EJERCICIO 19
19
S u m a
Suma de polinomios y valor numérico
P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordenan los polinomios 2. Se suman los polinomios 3. En el total, se sustituye cada letra por su respectivo valor numérico 4. Se efectúan las operaciones indicadas y se reduce el resultado
Sumar las expresiones siguientes y hallar el valor numérico del resultado para a = 2, b = 3, c = 10, x = 5, y = 4, m = 2/3, n = 1/5.
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EJERCICIO 20
20
R e s t a
Resta de monomios
P r o c e d i m i e n t o 1. Se identifican tanto el minuendo como el sustraendo 2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado 3. Se reduce la expresión resultante Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra. Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por los mismos exponentes.
De:
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Restar:
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EJERCICIO 21
21
R e s t a
Resta de polinomios
P r o c e d i m i e n t o 1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo 2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante. 3. Se reduce la expresión resultante Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra. Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente.
De:
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22
R e s t a
Resta de polinomios
P r o c e d i m i e n t o
1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo 2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante. 3. Se reduce la expresión resultante Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra. Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente.
Restar:
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23
R e s t a
Resta de polinomios
P r o c e d i m i e n t o
1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo 2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante. 3. Se reduce la expresión resultante Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra. Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente.
De:
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EJERCICIO 24
24
R e s t a
Resta de polinomios con coeficientes fraccionarios
P r o c e d i m i e n t o 1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo 2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante. 3. Se reduce la expresión resultante Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra. Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente. Nota3: los fraccionarios se van a sumar hallando previamente el mínimo común denominador (m.c.d.)
De:
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Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 25
25
R e s t a
Resta de polinomios con coeficientes fraccionarios
P r o c e d i m i e n t o
1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo 2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante. 3. Se reduce la expresión resultante Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra. Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente. Nota3: los fraccionarios se van a sumar hallando previamente el mínimo común denominador (m.c.d.)
Restar:
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EJERCICIO 26
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26
R e s t a
Resta de polinomios y valor numérico
P r o c e d i m i e n t o 1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo 2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante. 3. Se reduce la expresión resultante 4. En el resultado cada letra se sustituye por su respectivo valor numérico 5. Se simplifica aritméticamente el resultado Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra. Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente. Nota3: los fraccionarios se van a sumar hallando previamente el mínimo común denominador (m.c.d.)
Efectuar las restas siguientes y hallar el valor numérico del resultado para a = 1, b = 2, c = 3, x = 4, y = 5, m = 3/2, n = 2/5:
De:
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27
Suma y resta combinadas de polinomios con coeficientes enteros
Procedimiento 1. Se ordenan los polinomios 2. Se identifican los polinomios tanto del minuendo como del sustraendo 3. Se efectúa la suma de los polinomios que hacen parte del minuendo o del sustraendo, según el caso 4. Se escribe el sustraendo, cada término con signo cambiado, debajo del minuendo y, los términos semejantes compartiendo columna 5. Se efectúa la suma indicada
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EJERCICIO 28
28
Suma y resta combinadas de polinomios con coeficientes enteros
Procedimiento 1. Se ordenan los polinomios 2. Se identifican los polinomios tanto del minuendo como del sustraendo 3. Se efectúa la suma de los polinomios que hacen parte del minuendo o del sustraendo, según el caso 4. Se escribe el sustraendo, cada término con signo cambiado, debajo del minuendo y, los términos semejantes compartiendo columna 5. Se efectúa la suma indicada
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Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 29
29
Suma y resta combinadas de polinomios con coeficientes fraccionarios
Procedimiento
1. Se ordenan los polinomios 2. Se identifican los polinomios tanto del minuendo como del sustraendo 3. Se efectúa la suma de los polinomios que hacen parte del minuendo y los del sustraendo 4. Se escribe el sustraendo, cada término con signo cambiado, a la derecha del minuendo 5. Se efectúa la suma indicada Nota: las sumas las realizamos por el método de agrupar los términos semejantes. Las fracciones las sumamos hallando el m.c.d.
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EJERCICIO 30
30
Suma y resta combinadas
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31
Signos de agrupación
Supresión de signos de agrupación
Procedimiento Para suprimir signos de agrupación se procede de la siguiente manera: 1. Cuando se suprime un signo de agrupación precedido del signo +, los términos que estaban agrupados por él no cambian de signo 2. Cuando se suprime un signo de agrupación precedido del signo -, los términos que estaban agrupados por él cambian de signo 3. Cada vez que se suprime un signo de agrupación, se procede a reducir los términos semejantes
Simplificar, suprimiendo los signos de agrupación y reduciendo términos semejantes:
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EJERCICIO 32
32
Signos de agrupación
Supresión de signos de agrupación
P r o c e d i m i e n t o 1. El secreto radica en ir suprimiendo, sucesivamente, los signos de agrupación más interiores 2. Cuando el signo de agrupación está precedido del signo +, no se cambian los signos de los términos una vez "destruidos los paréntes" 3. Cuando el signo de agrupación está precedido del signo menos, se cambian los signos de los términos una vez "destruidos los paréntes" 4. Se reducen los términos semejantes
Simplificar, suprimiendo los signos de agrupación y reduciendo términos semejantes:
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EJERCICIO 33
33
Signos de agrupación
Introducción de signos de agrupación
Procedimiento Para introducir cantidades en signos de agrupación se procede de la siguiente manera: 1. Cuando se introducen cantidades dentro de un signo de agrupación precedido del signo +, dichas cantidades permanecen con el signo original 2. Cuando se introducen cantidades dentro de un signo de agrupación precedido del signo -, el signo de cada una de estas cantidades cambia
Introducir los tres últimos términos de las expresiones siguientes dentro de un paréntesis precedido del signo +:
Introducir los tres últimos términos de las expresiones siguientes dentro de un paréntesis precedido del signo -:
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EJERCICIO 34
34
Signos de agrupación
Introducción de signos de agrupación
Procedimiento Para introducir cantidades en signos de agrupación se procede de la siguiente manera: 1. Cuando se introducen cantidades dentro de un signo de agrupación precedido del signo +, dichas cantidades permanecen con el signo original 2. Cuando se introducen cantidades dentro de un signo de agrupación precedido del signo -, el signo de cada una de estas cantidades cambia
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EJERCICIO 35
35
Multiplicación
Multiplicación de monomios
P r o c e d i m i e n t o 1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos") 2. Se multiplican los coeficientes numéricos 3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la base común y se eleva a un exponente igual a la suma de los exponentes de los factores"
M u l t i p l i c a r :
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EJERCICIO 36
36
Multiplicación
Multiplicación de monomios
P r o c e d i m i e n t o 1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos") 2. Se multiplican los coeficientes numéricos 3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la base común y se eleva a un exponente igual a la suma de los exponentes de los factores"
M u l t i p l i c a r :
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EJERCICIO 37
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Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos 37
Multiplicación
Multiplicación de monomios
P r o c e d i m i e n t o
1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos") 2. Se multiplican los coeficientes numéricos, en este caso, fraccionarios: "Para multiplicar dos fraccionarios, se multiplican los numeradores entre si para hallar el numerador del producto; y, los denominadores entre sí para hallar el denominador del producto" 3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la base común y se eleva a un exponente igual a la suma de los exponentes de los factores"
E f e c t u a r :
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EJERCICIO 38
38
Multiplicación
Multiplicación de monomios
Producto continuado de monomios
P r o c e d i m i e n t o 1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos"). Si el número de signos menos es impar el producto es negativo; en cambio, si el número de signos menos es par el producto es positivo 2. Se multiplican los coeficientes numéricos entre sí. En el caso de fraccionarios se efectúa así: "Para multiplicar dos fraccionarios, se multiplican los numeradores entre si para hallar el numerador del producto; y, los denominadores entre sí para hallar el denominador del producto" 3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la base común y se eleva a un exponente igual a la suma de los exponentes de los factores"
M u l t i l p l i c a r :
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EJERCICIO 39
39
M u l t i p l i c a c i ó n
Multiplicación de polinomios por monomios
P r o c e d i m i e n t o 1. Se multiplica el monomio por cada uno de los terminos del polinomio, en el siguiente orden: a. se multiplican los signos, teniendo presente la "Ley de los signos" b. se multiplican los numeros entre si. c. se multiplica la parte literal. Cada letra particular representa una base; y, "el producto de varias potencias con igual base se obtiene escribiendo la base común y, sumando los exponentes respectivos ... 2. Se ordena el polinomio resultante
M u l t i l p l i c a r :
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Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 40
40
M u l t i p l i c a c i ó n
Multiplicación de polinomios por monomios
P r o c e d i m i e n t o
1. Se multiplica el monomio por cada uno de los terminos del polinomio, en el siguiente orden: a. se multiplican los signos, teniendo presente la "Ley de los signos" b. se multiplican los numeros entre si. Recuerdese que el producto de dos fracciones se obtiene del siguiente modo: numerador, producto de los numeradores; denominador, producto de los denominadores c. se multiplica la parte literal. Cada letra particular representa una base; y, "el producto de varias potencias con igual base se obtiene escribiendo la base comun y, sumando los exponentes respectivos ... 2. Se ordena el polinomio resultante
M u l t i l p l i c a r :
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EJERCICIO 41
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Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos 41
M u l t i p l i c a c i ó n
Multiplicación de polinomios por polinonomios
P r o c e d i m i e n t o
1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de estas dos filas 3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes) 4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la línea horizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ... 5. Los términos semejantes se escriben en la misma columna 6. Se reducen los términos semejantes
Ley de los signos
+ por + da + + por - da - - por + da - - por - da +
Propiedad en el producto de potencias
Para hallar el producto de dos o más potencias con la misma base, basta con escribir la base común y sumar los exponentes respectivos.
M u l t i l p l i c a r :
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EJERCICIO 42
42
M u l t i p l i c a c i ó n
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Multiplicación de polinomios por polinomios
P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de estas dos filas 3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes) 4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la línea horizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ... 5. Los términos semejantes se escriben en la misma columna 6. Se reducen los términos semejantes
Ley de los signos
+ por + da + + por - da - - por + da - - por - da +
Propiedad en el producto de potencias
Para hallar el producto de dos o más potencias con la misma base, basta con escribir la base común y sumar los exponentes respectivos.
M u l t i p l i c a r :
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43
M u l t i p l i c a c i ó n
Multiplicación de polinomios por polinomios
P r o c e d i m i e n t o
1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de estas dos filas 3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes) 4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la linea horizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ... 5. Los términos smejantes se escriben en la misma columna 6. Se reducen los términos semejantes
Ley de los signos
+ por + da + + por - da - - por + da - - por - da +
Propiedad en el producto de potencias
Para hallar el producto de dos o más potencias con la misma base, basta con escribir la base común y sumar los exponentes respectivos.
M u l t i p l i c a r :
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44
M u l t i p l i c a c i ó n
Multiplicación de polinomios con coeficientes separados
P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de estas dos filas 3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes) 4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la linea horizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ... 5. Los términos smejantes se escriben en la misma columna 6. Se reducen los términos semejantes Nota1: recuerda que el producto de dos fraccionarios es una fracción cuyo numerador es igual al producto de los numeradores y cuyo denominador es igual al producto de los denominadores Nota2: para sumar los denominadores vamos a utilizar el método de hallar el mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.d.)
Ley de los signos
+ por + da + + por - da - - por + da - - por - da +
Propiedad en el producto de potencias
Para hallar el producto de dos o más potencias con la misma base, basta con escribir la base común y sumar los exponentes respectivos.
M u l t i p l i c a r :
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EJERCICIO 45
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M u l t i p l i c a c i ó n
Multiplicación por coeficientes separados
P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben solo los coeficientes, escribiendo 0 en el lugar donde falte un término 3. La parte literal del primer término del producto será igual al producto de las letras de los primeros términos, el del multiplicando y el del multiplicador
Multiplicar por coeficientes separados:
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EJERCICIO 46 46
M u l t i p l i c a c i ó n Producto continuado de polinomios
P r o c e d i m i e n t o 1. Se multiplica el primer factor por el segundo; luego, el producto obtenido se multiplica por el tercer factor y así sucesivamente hasta que no quede ningún factor 2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de estas dos filas 3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes) 4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la linea horizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ... 5. Los términos smejantes se escriben en la misma columna 6. Se reducen los términos semejantes Nota1: cuando uno de los factores es un monomio, multiplicamos primeramente dicho monomio por uno de los paréntesis Nota2: para multiplicar un monomio por un paréntesis, se multiplica el monomio por cada uno de los términos dentro del paréntesis, y teniendo en cuenta la "ley de los signos"
Ley de los signos
+ por + da + + por - da - - por + da - - por - da +
Propiedad en el producto de potencias
Para hallar el producto de dos o más potencias con la misma base, basta con escribir la base común y sumar los exponentes respectivos.
S i m p l i f i c a r :
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47
M u l t i p l i c a c i ó n
Multiplicación combinada con suma y resta
P r o c e d i m i e n t o
1. Se efectúan los productos indicados: multiplicando cada término del multiplicador por cada uno de los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos) 2. Se reducen los términos semejantes Nota1: Deducción de la fórmula general para el "cuadrado de un binomio":
Nota2: Deducción de la fórmula general para el "producto de la suma por la diferencia de dos cantidades":
Ley de los signos
+ por + da + + por - da - - por + da - - por - da +
S i m p l i f i c a r :
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EJERCICIO 48
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Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos 48
Supresión de signos de agrupación con productos indicados
P r o c e d i m i e n t o 1. Se suprimen los signos de agrupación más internos 2. Se reduce 3. Se suprimen los signos de agrupación que quedaron como más internos, se reduce; y así sucecivamente hasta suprimir todos los signos de agrupación
S i m p l i f i c a r :
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49
D i v i s i ó n
División de monomios
P r o c e d i m i e n t o
1. Se aplica la ley de los signos 2. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor 3. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor" 4. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal en orden alfabético
Ley de los signos
Dividir:
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EJERCICIO 50
50
D i v i s i ó n
División de monomios
P r o c e d i m i e n t o 1. Se aplica la ley de los signos 2. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor 3. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor" 4. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal en orden alfabético
Ley de los signos
D i v i d i r :
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EJERCICIO 51
51
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Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos D i v i s i ó n
División de monomios
P r o c e d i m i e n t o 1. Se aplica la ley de los signos 2. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. En este caso los coeficientes son fraccionarios: "el cociente de dos fraccionarios es una fracción cuyo numerador es el resultado de multiplicar el numerador del dividendo por el denominador del divisor y cuyo denominador es el producto entre el denominador del dividendo y el numerador del divisor". Si, para indicar la división, se escribe una fracción sobre otra fracción, se dice, entonces, que "el cociente es una fracción cuyo numerador es el producto de los extremos y cuyo denominador es el producto de los medios":
3. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor" 4. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal en orden alfabético
Ley de los signos
Dividir:
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EJERCICIO 52
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52
D i v i s i ó n División de polinomios por monomios
P r o c e d i m i e n t o 1. Se hace una separación de cocientes, cada uno con su propio signo. 2. Cada término del dividendo se divide por el divisor, y procediendo de la siguiente manera: 3. Se aplica la ley de los signos 4. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. 5. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor"
6. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal en orden alfabético
Ley de los signos
D i v i d i r :
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53 D i v i s i ó n
División de polinomios por monomios
P r o c e d i m i e n t o 1. Se hace una separación de cocientes, cada uno con su propio signo. 2. Cada término del dividendo se divide por el divisor, y procediendo de la siguiente manera: 3. Se aplica la ley de los signos 4. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. En este caso los coeficientes son fraccionarios: "el cociente de dos fraccionarios es una fracción cuyo numerador es el resultado de multiplicar el numerador del dividendo por el denominador del divisor y cuyo denominador es el producto entre el denominador del dividendo y el numerador del divisor". Si, para indicar la división, se escribe una fracción sobre otra fracción, se dice, entonces, que "el cociente es una fracción cuyo numerador es el producto de los extremos y cuyo denominador es el producto de los medios":
5. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor"
6. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal en orden alfabético
Ley de los signos
D i v i d i r :
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EJERCICIO 54
54
D i v i s i ó n
División de dos polinomios
P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra 2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, éste será el primer término del cociente 3. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, para lo cual se cambia el signo, y escribiendo cada término debajo de su semejante 4. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, éste será el segundo término del cociente 5. El segundo término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto se resta del resto que quedó en el dividendo, cambiando los signos y escribiendo cada término debajo de su semejante 6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores ... 7. Se continúa así sucesivamente hasta que el residuo sea cero.
Dividir:
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EJERCICIO 55
55
D i v i s i ó n
División de dos polinomios
P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra 2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, éste será el primer término del cociente 3. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, para lo cual se cambia el signo, y escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los) siguiente término del dividendo que no entró en la resta 4. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, éste será el segundo término del cociente 5. El segundo término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto se resta del resto que quedó en el dividendo, cambiando los signos y escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los) siguiente término del dividendo que no entró en la resta 6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores ... 7. Se continúa así sucesivamente hasta que el residuo sea cero. Nota1: cuando nos preparamos para efectuar la división, una vez ordenados los polinomios, debemos dejar un espacio (en el dividendo) por cada término que no aparece
D i v i d i r :
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EJERCICIO 56
56
D i v i s i ó n
División de dos polinomios
P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra 2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, éste será el primer término del cociente 3. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, para lo cual se cambia el signo, y escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los) siguiente término del dividendo que no entró en la resta 4. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, éste será el segundo término del cociente 5. El segundo término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto se resta del resto que quedó en el dividendo, cambiando los signos y escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los) siguiente término del dividendo que no entró en la resta 6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores ... 7. Se continúa así sucesivamente hasta que el residuo sea cero. Nota1: cuando nos preparamos para efectuar la división, una vez ordenados los polinomios, debemos dejar un espacio (en el dividendo) por cada término que no aparece
D i v i d i r :
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EJERCICIO 57
57
División de polinomios con coeficientes fraccionarios Dividir:
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EJERCICIO 58
58
D i v i s i ó n
División de polinomios por el método de coeficientes separados
P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra 2. Se escriben solamente los coeficientes con sus respectivos signos, escribiendo 0 donde falte algún término 3. Se efectúa la división con los coeficientes 4. El exponente del primer término del cociente se calcula restando el exponente del primer término del divisor del exponente del primer término del dividendo. Los exponentes de los demás términos irán disminuyendo de 1 en 1. Donde aparece 0 en el cociente no se escribe el término correspondiente
Dividir por coeficientes separados:
EJERCICIO 59
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Cociente mixto
Hallar el cociente mixto de:
EJERCICIO 60
60
Valor numérico de expresiones algebraicas con exponentes enteros para valores positivos y negativos
Procedimiento 1. Se sustituye cada letra por su respectivo valor numérico 2. Se efectúan las operciones indicadas 3. Se simplifica Nota1: Toda potencia par de una cantidad negativa es positiva Nota2: Toda potencia impar de una cantidad negativa es negativa
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EJERCICIO 61 61
M i s c e l á n e a
Suma, resta, multiplicación y división 1. A las 7 a.m. el termómetro marca +5° y de las 7 a.m. a las 10 a.m. baja a razón de 3° por hora. Expresar la temperatura a las 8 a.m., 9 a.m. y 10 a.m. Solución: 5 - 3 = 2: a las 8 a.m. la temperatura es de +2° 2 - 3 = -1: a las 9 a.m. la temperatura es de -1° -1 - 3 = -4: a las 10 a.m. la temperatura es de -4°. 2. Tomando como escala 1 cm: 10 m, representar gráficamente que un punto B está situado a + 40 m de A y otro punto C está situado a -35 m de B. Solución: Tomamos el sentido positivo el hecho de que un punto esté a la derecha de otro punto y como negativo que esté a la izquierda:
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EJERCICIO 62
62
P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s
Productos notables
Cuadrado de la suma de dos cantidades
P r o c e d i m i e n t o 1. Se identifica tanto el primero como el segundo término del binomio 2. "El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual a, el cuadrado de la primera cantidad, más el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad" 3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2
Escribir por simple inspección, el resultado de:
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Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 63
63
P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s
Productos notables
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
P r o c e d i m i e n t o
1. Se identifica tanto el primero como el segundo término del binomio 2. "El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual a, el cuadrado de la primera cantidad, menos el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad" 3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2
Escribir por simple inspección, el resultado de:
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EJERCICIO 64
64
P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s
Productos notables
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades
P r o c e d i m i e n t o 1. "El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo" 2. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2.
Escribir por simple inspección, el resultado de:
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EJERCICIO 65
65
P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s
Productos notables
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades
P r o c e d i m i e n t o 1. Se agrupa convenientemente (si es necesario, se factoriza por -1) 2. "El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo" 3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2.
Escribir por simple inspección, el resultado de:
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EJERCICIO 66
66
P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s
Productos notables
Cubo de un binomio
P r o c e d i m i e n t o 1. Se desarrolla el paréntesis, observando si se trata del cubo, de la suma o la diferencia de dos cantidades; en el primer caso se procede como indica el paso 2, en el segundo caso se aplica el enunciado del paso 3: 2. "El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda" 3. "El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda" 4. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2.
Escribir por simple inspección, el resultado de:
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67
P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s
Productos notables
Producto de dos binomios de la forma (x + a)(x + b)
P r o c e d i m i e n t o
1. El desarrollo de los paréntesis da un trinomio 2. El primer término será el cuadrado del primer término de los paréntesis (igual en ambos) 3. El segundo término será el producto de la suma de los términos independientes por el primer término común de los paréntesis 4. El tercer término será el producto de los términos inde pendientes
Escribir por simple inspección, el resultado de:
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68
P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s
Productos notables
M i s c e l á n e a
![Page 203: Ejercicios Resueltos de Algebra](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012400/55cf9a80550346d033a20ef7/html5/thumbnails/203.jpg)
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EJERCICIO 69
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69
P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s
Cocientes notables
Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades
P r o c e d i m i e n t o 1. Factorizamos la diferencia de cuadrados en el numerador 2. Simplificamos.
Hallar, por simple inspección, el cociente de:
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EJERCICIO 70
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Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos 70
P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s
Cocientes notables
Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades
P r o c e d i m i e n t o
1. Factorizamos la diferencia o la suma, según el caso, de cubos en el numerador 2. Simplificamos.
Hallar, por simple inspección, el cociente de:
![Page 208: Ejercicios Resueltos de Algebra](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012400/55cf9a80550346d033a20ef7/html5/thumbnails/208.jpg)
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![Page 209: Ejercicios Resueltos de Algebra](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012400/55cf9a80550346d033a20ef7/html5/thumbnails/209.jpg)
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EJERCICIO 71 71
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Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s
Cocientes notables Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades
P r o c e d i m i e n t o
Criterios de divisibilidad
Criterio 1 : La diferencia de dos cantidades con potencias iguales, pares o impares, es divisible por la diferencia de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por :
Criterio 2 : La diferencia de dos cantidades con igual potencia par, es divisible por la suma de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por:
Criterio 3 : La suma de dos cantidades con igual potencia impar, es divisible por la suma de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por :
Criterio 4 : A) La suma de dos cantidades con igual potencia par, no es divisible ni por la suma ni por la diferencia de las cantidades. Esto es, cocientes de la forma :
B) La diferencia de dos cantidades con igual potencia impar, no es divisible por la suma de las cantidades. Es decir, cocientes de la forma :
Nota : Se dice que dos expresiones determinadas son divisibles, cuando su división es exacta, esto es, cuando al dividir a una (el dividendo) por la otra (el divisor), el residuo es cero.
Hallar, por simple inspección, el cociente de:
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![Page 212: Ejercicios Resueltos de Algebra](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012400/55cf9a80550346d033a20ef7/html5/thumbnails/212.jpg)
Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
![Page 213: Ejercicios Resueltos de Algebra](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012400/55cf9a80550346d033a20ef7/html5/thumbnails/213.jpg)
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EJERCICIO 72
72
P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s
Cocientes notables Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades (los exponentes del divisor
son diferentes de 1)
P r o c e d i m i e n t o
![Page 214: Ejercicios Resueltos de Algebra](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012400/55cf9a80550346d033a20ef7/html5/thumbnails/214.jpg)
Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Criterios de divisibilidad
Criterio 1 : La diferencia de dos cantidades con potencias iguales, pares o impares, es divisible por la diferencia de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por :
Criterio 2 : La diferencia de dos cantidades con igual potencia par, es divisible por la suma de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por:
Criterio 3 : La suma de dos cantidades con igual potencia impar, es divisible por la suma de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por :
Criterio 4 : A) La suma de dos cantidades con igual potencia par, no es divisible ni por la suma ni por la diferencia de las cantidades. Esto es, cocientes de la forma :
B) La diferencia de dos cantidades con igual potencia impar, no es divisible por la suma de las cantidades. Es decir, cocientes de la forma :
Nota : Se dice que dos expresiones determinadas son divisibles, cuando su división es exacta, esto es, cuando al dividir a una (el dividendo) por la otra (el divisor), el residuo es cero.
Cuando los exponentes del divisor son diferentes de 1, esto es, si son 2, 3, 4, 5, etc., sucede que el exponente de a disminuye, sucesivamente, en cada término 2, 3, 4, 5, etc.; la b aparece en el segundo término del cociente elevada a un exponente igual al que tiene en el divisor, y aumentará este exponente en 2, 3, 4, 5, etc. en los siguientes términos. Las soluciones de estos cocientes tendrán las tres formas siguientes (dependiendo del criterio de divisibilidad que se aplique) :
Nota : El número de términos en el cociente es igual al resultado de dividir m entre
n.
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Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Hallar, por simple inspección, el cociente de:
![Page 216: Ejercicios Resueltos de Algebra](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012400/55cf9a80550346d033a20ef7/html5/thumbnails/216.jpg)
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EJERCICIO 73
73
P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s
Cocientes notables
M i s c e l á n e a Escribir el cociente sin efectuar la división:
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Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
![Page 218: Ejercicios Resueltos de Algebra](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012400/55cf9a80550346d033a20ef7/html5/thumbnails/218.jpg)
Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
![Page 219: Ejercicios Resueltos de Algebra](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012400/55cf9a80550346d033a20ef7/html5/thumbnails/219.jpg)
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EJERCICIO 74
74
Teorema del residuo
P r o c e d i m i e n t o 1. Se aplica el Teorema del Residuo: "El residuo de dividir un polinomio entero y racional en x por un binomio de la forma bx - a se obtiene sustituyendo, en el polinomio dado, la x por a/b". Nota1: un polinomio entero y racional es de la forma:
Nota2: Si en el divisor, el coeficiente de x es 1, esto es, si b = 1, el residuo se obtiene, simplemente, sustituyendo, en el polinomio, la x por a.
Hallar, sin efectuar la división, el residuo de dividir:
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![Page 222: Ejercicios Resueltos de Algebra](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012400/55cf9a80550346d033a20ef7/html5/thumbnails/222.jpg)
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EJERCICIO 75
75
División sintética
P r o c e d i m i e n t o Para hallar el cociente y el residuo de la división de un polinomio entero en x por un binomio de la forma x - a, se procede de la siguiente manera:
1. Se ubican en una misma fila los coeficientes de los términos del dividendo (si el polinomio carece de alguna de las potencias se escribe allí 0) y, separada por una línea vertical, la a. 2. HALLAR EL COCIENTE : Grado del cociente : El cociente será de un grado menor que el dividendo. Coeficiente del primer término: El primer término del cociente tendrá el mismo coeficiente que el primer término del dividendo. Demás coeficientes : Los coeficientes de los otros términos del cociente se obtienen multiplicando el coeficiente del término anterior (previamente hallado) por la a y, seguidamente, sumando este producto con el coeficiente que sigue en el dividendo. 2. OBTENCIÓN DEL RESIDUO : El residuo se obtiene multiplicando el coeficiente del último término del cociente (previamente hallado) por a y, sumando este producto con el término independiente del dividendo. NOTA: Si el binomio (el divisor) es de la forma bx - a, en vez de la a se pone a/b y, consecuentemente, se multiplican los coeficientes por a/b. Además, cada número debe dividirse por b antes de pasar a ser un coeficiente de un término del cociente. Explicación: Para aplicar apropiadamente el método de la división sintética, en los casos en los que el divisor es de la forma bx - a, debemos hacer que el divisor tome la forma x - a; y, para ello hay que dividir al divisor por b, con lo que el dividendo queda multiplicado por b. Para deshacer esta operación es por lo que se divide cada número, que está destinado a convertirse en coeficiente de un término del cociente, por b.
Hallar, por división sintética, el cociente y el resto de las divisiones siguientes:
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EJERCICIO 76
76
Corolario del Teorema del residuo
P r o c e d i m i e n t o Corolario del Teorema del Residuo: Un polinomio entero en x, P(x), que se anula para x = a/b, o sea que al sustituir la x por a/b en el polinomio el resultado es cero, esto es P(a/b) = 0, es divisible por bx - a. Nota1: Se dice que una cantidad es divisible por otra cantidad si al dividir a la primera por la segunda el residuo es cero. El teorema del residuo establece que para hallar el resto de la división de un polinomio entero en x por un binomio de la forma bx - a, sin efectuar la división, basta con sustituir la x por a/b. Conjugando los dos conceptos anteriores se deduce la veracidad del Corolario. Nota2: Si el divisor tiene la forma x - a, entonces para aplicar el Corolario se halla P(a) y, si P(a) = 0, se concluye que P(x) es divisible por x - a.
Hallar, sin efectuar la división, si son exactas o no las divisiones siguientes:
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Sin efectuar la división, probar que:
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Sin efectuar la división, hallar si las divisiones siguientes son o no exactas, y determinar el cociente en cada caso y el residuo, si lo hay:
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EJERCICIO 77
77
Teorema del residuo
P r o c e d i m i e n t o Corolario del Teorema del Residuo: Un polinomio entero en x, P(x), que se anula para x = a/b, o sea que al sustituir la x por a/b en el polinomio el resultado es cero, esto es P(a/b) = 0, es divisible por bx - a. Nota1: Se dice que una cantidad es divisible por otra cantidad si al dividir a la primera por la segunda el residuo es cero. El teorema del residuo establece que para hallar el resto de la división de un polinomio entero en x por un binomio de la forma bx - a, sin efectuar la división, basta con sustituir la x por a/b. Conjugando los dos conceptos anteriores se deduce la veracidad del Corolario. Nota2: Si el divisor tiene la forma x - a, entonces para aplicar el Corolario se halla P(a) y, si P(a) = 0, se concluye que P(x) es divisible por x - a.
Diga, por simple inspección, si son exactas las divisiones siguientes y en caso negativo, diga cuál es el residuo:
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EJERCICIO 78
78
E c u a c i o n e s e n t e r a s d e p r i m e r g r a d o Resolución de ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita
P r o c e d i m i e n t o 1. Se reducen términos semejantes 2. Se hace la transposición de términos, los que conengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de letras en el derecho 3. Se reducen téminos semejantes 4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita, y se simplifica.
Resolver las ecuaciones:
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79
E c u a c i o n e s e n t e r a s d e p r i m e r g r a d o
Resolución de ecuaciones de primer grado con signos de agrupación
P r o c e d i m i e n t o 1. Se suprimen ("destruyen") los signos de agrupación, comenzando por los más internos 2. Se reducen términos semejantes 3. Se hace la transposición de términos, los que conengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de letras en el derecho 4. Se reducen téminos semejantes 5. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita, y se simplifica.
Resolver las siguientes ecuaciones:
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80
E c u a c i o n e s e n t e r a s d e p r i m e r g r a d o
Resolución de ecuaciones de primer grado con productos indicados
P r o c e d i m i e n t o 1. Se efectúan los productos indicados 2. Se reducen términos semejantes 3. Se hace la transposición de términos, los que conengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de letras en el derecho 4. Se reducen téminos semejantes 5. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita, y se simplifica.
Resolver las siguientes ecuaciones:
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EJERCICIO 81
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81
E c u a c i o n e s e n t e r a s d e p r i m e r g r a d o
M i s c e l á n e a Resolver las siguientes ecuaciones:
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EJERCICIO 82
82
Problemas sobre ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita
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83
Problemas sobre ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita
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EJERCICIO 84
84
Problemas sobre ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita
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EJERCICIO 85
85
Problemas sobre ecuaciones enteras
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EJERCICIO 86
86
Problemas sobre ecuaciones enteras
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EJERCICIO 87
87
Problemas sobre ecuaciones enteras 1. Compré doble número de sombreros que de trajes por 702 balboas. Cada sombrero costó 2 y cada traje 50. ¿Cuántos sombreros y cuántos trajes compré?
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EJERCICIO 88
88
M i s ce l á n e a d e p r o b l e m a s s o b r e e c u a c i o n e s e n t e r a s
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EJERCICIO 89
89
Descomposición factorial
Factor común
P r o c e d i m i e n t o 1. Se identifica el factor común 2. Se divide cada término del polinomio por el factor común 3. Se escribe el factor común y a continuación, dentro de un paréntesis, los cocientes hallados en el paso anterior (cada uno con su respectivo signo)
Factorar o descomponer en dos factores:
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EJERCICIO 90
90
Descomposición factorial
Factor común
P r o c e d i m i e n t o 1. Se identifica el factor común 2. Se divide cada término del polinomio por el factor común 3. Se abren dos paréntesis, en el primero se escribe el factor común y en el segundo los cocientes hallados en el paso anterior (cada uno con su respectivo signo)
Factorar o descomponer en dos factores:
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EJERCICIO 91
91
Descomposición factorial
Factor común por agrupación de términos
P r o c e d i m i e n t o 1. Se agrupan los términos convenientemente, utilizando paréntesis 2. Se saca factor común de cada uno de los paréntesis 3. Se realiza una segunda factorización (el factor común será, en este caso, el paréntesis
Factorar o descomponer en dos factores:
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EJERCICIO 92
92
Descomposición factorial
Trinomio cuadrado perfecto Definición : Una cantidad es un cuadrado perfecto cuando es el resultado del producto de dos factores iguales.
P r o c e d i m i e n t o
1. Se ordena el trinomio 2. Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos 3. Se halla el doble producto de las raíces obtenidas en el paso anterior 4. Si el producto hallado en el paso anterior es igual al segundo téermino del trinomio y si el primero y tercer términos tienen igual signo, se trata de un trinomio cuadrado perfecto y se factoriza como tal. 5. Se escribe dentro de un paréntesis las raíces cuadradas del primer y tercer términos, separadas por el signo del segundo término, y el paréntesis elevado al cuadrado.
Factorar o descomponer en dos factores:
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EJERCICIO 93
93
Descomposición factorial
Diferencia de cuadrados perfectos
P r o c e d i m i e n t o 1. Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo 2. Se abren dos paréntesis 3. En el primer paréntesis se escribe la suma, y en el segundo la diferencia, de las raíces halladas en el paso 1.
Factorar o descomponer en dos factores:
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EJERCICIO 94
94
Descomposición factorial
Diferencia de cuadrados perfectos (caso especial)
P r o c e d i m i e n t o 1. Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo 2. Se abren dos paréntesis 3. En el primer paréntesis se escribe la suma, y en el segundo la diferencia, de las raíces halladas en el paso 1. 4. Se reduce, si es el caso
Descomponer en dos factores y simplificar, si es posible:
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EJERCICIO 95
95
Descomposición factorial
Trinomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados perfectos (combinación de estos dos casos)
P r o c e d i m i e n t o 1. Se identifica el trinomio cuadrado perfecto (o los ...) 2. Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto (como en el Ejercicio 92) 3. Se factoriza la diferencia de cuadrados resultante (como en el Ejercicio 94). 4. Se reduce, si es el caso
Factorar o descomponer en dos factores:
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EJERCICIO 96
96
Descomposición factorial
Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción
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Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos P r o c e d i m i e n t o
1. Se ordena el trinomio 2. Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos 3. Se halla el doble producto de las raíces halladas en el paso anterior 4. Se compara el resultado obtenido en el paso anterior con el segundo término del trinomio 5. Se suma o resta, según el caso, la cantidad necesaria para crear el segundo término del trinomio cuadrado perfecto 6. Se resta o se suma la misma cantidad que se sumo o resto en el paso anterior, para que el valor de la expresión no se altere
Factorar o descomponer en dos factores:
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Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 97
97
Descomposición factorial
Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción
Factorar una suma de dos cuadrados
P r o c e d i m i e n t o
1. Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos 2. Se halla el doble producto de las raíces halladas en el paso anterior 3. Se suma y se resta el producto hallado en el paso anterior 4. Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto así formado 5. Se factoriza la diferencia de cuadrados
Factorar o descomponer en dos factores:
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EJERCICIO 98
98
Descomposición factorial
P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordena el trinomio 2. Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un binomio 3. Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el primer término de cada uno de los paréntesis 4. El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo signo del trinomio 5. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer términos del trinomio; éste será el signo que separe el binomio del segundo parénteis 6. Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio 7. Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio 8. El mayor de los números hallados en uno de los pasos anteriores será el segundo término del primer paréntesis, el menor de los números será el segundo término del segundo paréntesis 9. Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus factores primos para facilitar la busqueda de los números requeridos en los pasos 7 y 8
Factorar o descomponer en dos factores:
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EJERCICIO 99
99
Descomposición factorial
Casos especiales
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Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos P r o c e d i m i e n t o
1. Se ordena el trinomio 2. Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un binomio 3. Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el primer término de cada uno de los paréntesis 4. El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo signo del trinomio 5. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer términos del trinomio; éste será el signo que separe el binomio del segundo parénteis 6. Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio 7. Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio 8. El mayor de los números hallados en uno de los pasos anteriores será el segundo término del primer paréntesis, el menor de los números será el segundo término del segundo paréntesis 9. Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus factores primos para facilitar la busqueda de los números requeridos en los pasos 7 y 8. Nota: para factorizar de esta forma es necesario que la parte literal del segundo término sea la raíz cuadrada de su correspondiente parte literal en el primer término.
Factorar o descomponer en dos factores:
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EJERCICIO 100
100
Descomposición factorial
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Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos P r o c e d i m i e n t o
Para factorizar esta clase de trinomios se lleva a la forma
y se factoriza como en el Ejercicio 98: 1. Se multiplica y divide el trinomio por el coeficiente del primer término, esto es por a 2. Se escribe el trrinomio de una forma adecuada (de la forma x2 + bx+ c) 3. Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un binomio 4. Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el primer término de cada uno de los paréntesis 5. El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo signo del trinomio 6. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer términos del trinomio; éste será el signo que separe el binomio del segundo parénteis 7 Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio 8 Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio 9. El mayor de los números hallados en uno de los pasos anteriores será el segundo término del primer paréntesis, el menor de los números será el segundo término del segundo paréntesis 10. Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus factores primos para facilitar la busqueda de los números requeridos en los pasos 7 y 8 11. Se factorizan los paréntesis que tengan factor común 12. Se simplifica Nota: siempre es posible eliminar el denominador .
Factorar o descomponer en dos factores:
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![Page 323: Ejercicios Resueltos de Algebra](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012400/55cf9a80550346d033a20ef7/html5/thumbnails/323.jpg)
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EJERCICIO 101
101
Descomposición factorial
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Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Casos especiales
P r o c e d i m i e n t o
Para factorizar esta clase de trinomios se lleva a la forma
y se factoriza como en el Ejercicio 99: 1. Se multiplica y divide el trinomio por el coeficiente del primer término, esto es por a 2. Se escribe el trrinomio de una forma adecuada (de la forma x2 + bx+ c) 3. Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un binomio 4. Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el primer término de cada uno de los paréntesis 5. El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo signo del trinomio 6. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer términos del trinomio; éste será el signo que separe el binomio del segundo parénteis 7 Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio 8 Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio 9. El mayor de los números hallados en uno de los pasos anteriores será el segundo término del primer paréntesis, el menor de los números será el segundo término del segundo paréntesis 10. Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus factores primos para facilitar la busqueda de los números requeridos en los pasos 7 y 8 11. Se factorizan los paréntesis que tengan factor común 12. Se simplifica Nota1: para factorizar de esta forma es necesario que la parte literal del segundo término sea la raíz cuadrada de su correspondiente parte literal en el primer término. Nota2: siempre es posible eliminar el denominador .
Factorar o descomponer en dos factores:
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EJERCICIO 102
102
Descomposición factorial
Factorar una expresión que es el cubo de un binomio
P r o c e d i m i e n t o El desarrollo del cubo de un binomio es:
En esta clase de ejercicios se nos da una expresión como el miembro derecho de las identidades anteriores, es decir un cuadrinomio; y debemos constatar si se trata de un cubo perfecto de binomios (como los miembros izquierdos de las expresiones anteriores); para lo cual debemos proceder de la siguiente manera: 1. Se ordena el cuadrinomio en forma descendente o ascendente respecto a una letra 2. Se extrae la raíz cúbica del primero y cuarto términos del cuadrinomio 3. Se observa si todos los signos son positivos o si se alternan positivo-negativo-positivo-negativo 4. Se triplica el cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del cuarto término y se compara con el segundo término del cuadrinomio dado 5. Se triplica la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del cuarto término y se compara con el tercer término del cuadrinomio dado 6. Si las dos comparaciones hechas en los pasos 4 y 5 son positivas, se trata del desarrollo del cubo de un binomio y se factoriza como tal: dentro de un paréntesis se escriben las raíces cúbicas del primero y cuarto términos del cuadrinomio y separadas por el signo más o por el signo menos, según el caso; y se eleva al cubo el paréntesis 7. Si las dos comparaciones hechas en los pasos 4 y 5 son negativas, no se trata del desarrollo del cubo de un binomio y no se puede factorizar como tal
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