Ejercicios Resueltos de Derivadas
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Ejercicios de derivadas e integrales
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Departament d’Estad´ıstica i Investigacio´ Operativa Universitat de Val encia
Derivadas
Reglas de derivacion
Suma d
[f (x) + g(x)] = ft(x) + gt(x) dx
Producto
d [kf (x)] = kft(x)
dx d
[f (x)g(x)] = ft(x)g(x) + f (x)gt(x)dx
Cociente d
r f ( x )
lft(x)g(x) − f (x)gt(x)
=dx g(x) g(x)2
Regla de la cadena
d
dx {f [g(x)]} = f t[g(x)]gt(x)
d
dx {f (g[h(x)])} = f t(g[h(x)])gt[h(x)]ht(x)
Potencia
d (xk ) = kxk−1 d
[f (x)k ] = kf
(x)k−1f t(x)dx dx
d (√
x) = d
(x1/2) = 1 d
[l
f (x)] =f t( x )
dx dx 2√
x dx 2l
f (x)
d 1 d 1 d r
1 l
ft(x)= (x−1) = − = −
dx x dx x2 dx f (x) f (x)2
2
Reglas de derivacion (continuacion)
Trigonom´etricas
d (sin x) =
cos x dx
d (cos x) = sin
x dx−
d (tan x) = 1 +
tan2 x dx
d [sin f (x)] = cos f (x)ft(x)
dx d
[cos f (x)] = sin f (x)ft(x)dx
−
d [tan f (x)] = [1 + tan2 f
(x)]f t(x)dx
Funciones de arco
d (arcsin x) =
1
dx√1 − x2
d (arc cos x) =
−1
dx√1 − x2
d (arctan x) =
1
dx 1 + x2
d [arcsin f (x)] =
f t(x)
dxl
1 − f (x)2
d [arc cos f (x)] =
−f t(x)
dxl
1 − f (x)2
d [arctan f (x)] =
ft(x)
dx 1 + f (x)2
Exponenciales
d (ex) =
ex dx
d (ax) = ax ln
a dx
d (ef (x)) = ef (x)f t(x)
dx d
(af (x)) = af (x) ln af t(x)dx
Logar´ıtmicas
d (ln x) =
1
dx x
d (lg x) =
1 1 dx a x ln a
d (ln f (x)) =
ft(x)
dx f (x)
d (lg f (x)) =
ft(x) 1 dx a f (x) ln a
4
5
Soluci´on.- y =
2
b
b
x√
3
3
2
5
3
Ejercicios de derivadas
1. Determinar las tangentes de los ´angulos que forman con el eje positivo de las x las l ıneas tangentes a la curva y = x3 cuando x = 1/2 y x = −1, construir la gr´afica y representar las l ıneas tangentes.
Soluci´on.- a) 3/4, b) 3.
2. Determinar las tangentes de los ´angulos que forman con el eje positivo de las x las l ıneas tangentes a la curva y = 1/x cuando x = 1/2 y x = 1, construir la gr´afica y representar las l ıneas tangentes.
Soluci´on.- a) -4, b) -1.
3. Hallar la derivada de la funci on y = x4 + 3x2 − 6.
Soluci´on.- yt = 4x3 + 6x.
4. Hallar la derivada de la funci on y = 6x3 − x2.
Soluci´on.- yt = 18x2 − 2x.5 2
5. Hallar la derivada de la funci on y = x − x .
Soluci´on.- yt = 5x − 2x .
a+b a−b
a+b a−b3 2
6. Hallar la derivada de la funci on y = x −x +1 .2
t −5
7. Hallar la derivada de la funci on y = 2ax3 − x + c.
Soluci´on.- yt = 6ax2 − 2x .7 5
8. Hallar la derivada de la funci on y = 6x 2 + 4x 2 + 2x.5 3
Soluci´on.- yt = 21x 2 + 10x 2 + 2.
9. Hallar la derivada de la funci on y = √3x +
√3 x + 1 .
Soluci´on.- yt = 3 + 1 − 1 .2
√x 3
√3 x2 x2
10. Hallar la derivada de la funci on y = (x+1) .x 2
Soluci´on.- yt = 3(x+1) (x−1) .2x 2
11. Hallar la derivada de la funci on y = √
3 x2 − 2√x + 5.
Soluci´on.- yt = 2 1 − 1 .3
√3 x√
x2
√312. Hallar la derivada de la funci on y = ax + b − √x .
Soluci´on.- yt = 5
ax 2
√3
x3 bx− 5
+ 1
x− 7
.
x√
x x
33 −
22
66
13. Hallar la derivada de la funci on y = (1 + 4x3)(1 + 2x2).
Soluci´on.- yt = 4x(1 + 3x + 10x3).
14. Hallar la derivada de la funci on y = x(2x − 1)(3x + 2).
Soluci´on.- yt = 2(9x2 + x − 1).
y 2 x
y
a
(
3
1
(
2
s
(
y x
y
2
√
2
√
2
Soluci´on.- yt = r1 +
√3 2
x
4
15. Hallar la derivada de la funci on y = (2x − 1)(x2 − 6x + 3).
Soluci´on.- yt = 6x2 − 26x + 12.4
16. Hallar la derivada de la funci on = .b2 −x2
3 2 2
Soluci´on.- t = 4x (2b −x ) .(b2 −x2 )2
17. Hallar la derivada de la funci on y = a−x .
Soluci´on.- yt = − 2a .
18. Hallar la derivada de la funci on f (t) = t .2 2
Soluci´on.- ft(t) = t (3+t .
19. Hallar la derivada de la funci on f (s) = (s+4) .
Soluci´on.- ft(s) = (s+2)(s+4) .
320. Hallar la derivada de la funci on = .
x2 −x−24 3 2
Soluci´on.- t = x −2x −6x −2x+1 .(x2 −x−2)2
21. Hallar la derivada de la funci on y = (2x2 − 3)2.
Soluci´on.- yt = 8x(2x2 − 3).
22. Hallar la derivada de la funci on y = (x2 + a2)5.
Soluci´on.- yt = 10x(x2 + a2)4.
23. Hallar la derivada de la funci on y = √x2 + a2.
Soluci´on.- yt
= √ x2 +a2 .
24. Hallar la derivada de la funci on y = (a + x)√a − x.
Soluci´on.- yt = a−3x .−
25. Hallar la derivada de la funci on y = /
1+x .1−x
Soluci´on.- yt = 1 .(1−x) 1−x
26. Hallar la derivada de la funci on y = 2x −1 .x 1+x
Soluci´on.- yt = 1+4x 3 .
x2 (1+x2 ) 2
27. Hallar la derivada de la funci on y = √
3 x2 + x + 1.Soluci´on.- yt = 2x+1 .
3 (x +x+1)
28. Hallar la derivada de la funci on y = (1 + √
3 x)3.2
1 √3 x
1+
cos2
1+
√
2
s
s
x
c
5
29. Hallar la derivada de la funci on y = sin2 x.
Soluci´on.- yt = sin 2x.
30. Hallar la derivada de la funci on y = 2 sin x + cos 3x.
Soluci´on.- yt = 2 cos x − 3 sin 3x.
31. Hallar la derivada de la funci on y = tan(ax + b).
Soluci´on.- yt = a .
32. Hallar la derivada de la funci on y = sin x .
Soluci´on.- yt = 1 .
33. Hallar la derivada de la funci on y = sin 2x cos 3x.
Soluci´on.- yt = 2 cos 2x cos 3x − 3 sin 2x sin 3x.
34. Hallar la derivada de la funci on y = cot2 5x.
Soluci´on.- yt = −10 cot 5x csc2 5x.
35. Hallar la derivada de la funci on f (t) = t sin t + cos t.
Soluci´on.- ft(t) = t cos t.
36. Hallar la derivada de la funci on f (t) = sin3 t cos t.
Soluci´on.- ft(t) = sin2 t(3 cos2 t − sin2 t).√
37. Hallar la derivada de la funci on y = a
Soluci´on.- yt = − a sin 2x .
cos 2x.
38. Hallar la derivada de la funci on y = 1 tan2 x.
Soluci´on.- yt = tan x sec2 x.
39. Hallar la derivada de la funci on y = ln cos x.
Soluci´on.- yt = − tan x.
40. Hallar la derivada de la funci on y = ln tan x.
Soluci´on.- yt = 2 .
41. Hallar la derivada de la funci on y = ln sin2 x.
Soluci´on.- yt = 2 cot x.
42. Hallar la derivada de la funci on y = tan x−1 .
Soluci´on.- yt = sin x + cos x.
43. Hallar la derivada de la funci on y = ln /
1+sin x .1−sin x
Soluci´on.- yt = 1 .
44. Hallar la derivada de la funci on f (x) = sin(ln x).
Soluci´on.- ft(x) = cos(ln x) .
2
x
y
y
y
y 3 x
Soluci´on.- y =
y
x2
2
x
2
2
2
x
ex
Soluci´on.- y =
6
45. Hallar la derivada de la funci on f (x) = tan(ln x).
Soluci´on.- ft(x) = sec (ln x) .
46. Hallar la derivada de la funci on f (x) = sin(cos x).
Soluci´on.- ft(x) = − sin x cos(cos x).
47. Hallar la derivada de la funci on y = ln 1+x .1−x
Soluci´on.- t = 2 .1−x2
48. Hallar la derivada de la funci on y = log3(x2 − sin x).
Soluci´on.- t = 2x−cos x .(x2 −sin x) ln 3
249. Hallar la derivada de la funci on = ln .
1−x2
Soluci´on.- t = 4x .1−x4
50. Hallar la derivada de la funci on y = ln(x2 + x).
Soluci´on.- yt = 2x+1 .
51. Hallar la derivada de la funci on y = ln(x3 − 2x + 5).2
Soluci´on.- t = − .x3 −2x+5
52. Hallar la derivada de la funci on y = x ln x.
Soluci´on.- yt = ln x + 1.
53. Hallar la derivada de la funci on y = ln3 x.2
tx
54. Hallar la derivada de la funci on y = ln(x + √1 + x2).
Soluci´on.- yt = √ 1 .1+x
55. Hallar la derivada de la funci on y = ln(ln x).
Soluci´on.- yt = 1 .
56. Hallar la derivada de la funci on y = e(4x+5).
Soluci´on.- yt = 4e(4x+5).
57. Hallar la derivada de la funci on y = ax .2
Soluci´on.- yt = 2xax
ln a.
58. Hallar la derivada de la funci on y = 7(x +2x).
Soluci´on.- yt = 2(x + 1)7(x +2x) ln 7.
59. Hallar la derivada de la funci on y = ex(1 − x2).
Soluci´on.- yt = ex(1 − 2x − x2).
60. Hallar la derivada de la funci on y = e −1 .x
t(ex +1)2
Soluci´on.- y = x x
( 1
x
x
7
61. Hallar la derivada de la funci on y = esin
x.
Soluci´on.- yt = esin x cos x.
62. Hallar la derivada de la funci on y = atan nx.
Soluci´on.- yt = natan nx sec2 nx ln a.
63. Hallar la derivada de la funci on y = ecos x sin x.
Soluci´on.- yt = ecos x(cos x − sin2 x).
64. Hallar la derivada de la funci on y = ex ln(sin x).
Soluci´on.- yt = ex(cot x + ln(sin x)).
65. Hallar la derivada de la funci on y = x x .1
t −x2
66. Hallar la derivada de la funci on y = xln
x.
Soluci´on.- yt = xln x−1 ln x2.
67. Hallar la derivada de la funci on y = xx.
Soluci´on.- yt = xx(1 + ln x).
68. Hallar la derivada de la funci on y = ex .
Soluci´on.- yt = ex (1 + ln x)xx.
Integrales
Tabla de integrales inmediatas
r p+1
xpdx = x
+ Cp + 1
(p =/
−1)r (x)p+1
f (x)pft(x)dx = f
+ Cp + 1
(p =/
−1)
r 1
xdx = ln |x| + C
r ft(x)
f (x) dx = ln |f (x)| + C
r
sin xdx = − cos x + Cr
ft(x) sin f (x)dx = − cos f (x) + C
r
cos xdx = sin x + Cr
ft(x) cos f (x)dx = sin f (x) + C
r 1
cos2 xdx = tan x + C
r ft(x)
cos2 f (x) dx = tan f (x) + C
r 1
sin2 xdx = − cot x + C
r ft(x)
sin2 f (x) dx = − cot f (x) + C
r 1
1 + x2 dx = arctan x +
C
r ft(x)
1 + f (x)2 dx = arctan f (x) + C
r 1√ dx = arcsin x + C1 − x2
r ft(x)l
1
f (x)2 dx = arcsin f (x) + C
−
1
3
6
√
√
−
Tabla de integrales inmediatas (continuacion)
r −1
dx = arc cos x
+ C√1 − x2
r −ft(x)dx = arc cos f (x)
+ Cl1 − f (x)2
r
exdx = ex + C
rf t(x)ef (x)dx = ef (x) + C
r x
axdx = a
+ Cln a
r f (x)
f t(x)af (x)dx = a
+ Cln a
Ejercicios de integrales indefinidas
1. Calcular la integral [
x5dx.
Soluci´on.- x
+ C.6
2. Calcular la integral [
(x + √x)dx.
2 √ Soluci´on.-
x +
2x x + C.
2 3 3 x
√x
3. Calcular la integral
[
1
√x
−
4√
dx.
Soluci´on.- 6√x x2
102
x + C.
4. Calcular la integral [ x
dx.x
Soluci´on.-
2
x25
x + C.
1 4
5. Calcular la integral [
x2
+ + 2x x
dx.
1 8
√
1
3
7. Calcular la integral [
e5xdx.1
Soluci´on.-
e5x + C.5
8. Calcular la integral [
cos 5xdx.sin 5x
Soluci´on.- 5
+
C.
9. Calcular la integral [
sin axdx.cos ax
Soluci´on.- −
+ C.a
10. Calcular la integral [ ln x
dx.x
Soluci´on.-
1 ln2 x + C. 2
11. Calcular la integral [ 1
dx.sin2 3x
Soluci´on.- −
cot 3x + C.3
12. Calcular la integral [ 1
dx.cos2 7x
Soluci´on.-
tan 7x 7
+ C.
13. Calcular la integral [ 1
dx.3x − 7
Soluci´on.-
1
3 ln |3x − 7| + C.
14. Calcular la integral [ 1
dx.1 − x
Soluci´on.- − ln |1 − x| + C.
15. Calcular la integral [ 1
dx.5 − 2x
1Soluci´on.- −
2 ln |5 − 2x| + C.
16. Calcular la integral [
tan 2xdx.1
Soluci´on.- − 2
ln | cos 2x| + C.
17. Calcular la integral [
sin2 x
cos xdx. sin3 xSoluci´on.-
3+ C.
18. Calcular la integral [
cos3 x
sin xdx. cos4 xSoluci´on.- −
+ C.4
1
3
[
[ √
2 sin
19. Calcular la integral [
x√x2 + 1dx.
1Soluci´on.-
l(x2 + 1)3 + C.
3
x 20. Calcular la integral
dx. 2x2 + 3
Soluci´on.-
1 l2
x2 + 3 + C.2
21. Calcular la integral [ cos x
dx.sin2 x
1
Soluci´on.- − sin x
+ C.
22. Calcular la integral [ sin x
dx.cos3 x
Soluci´on.-
12 cos2
x
+ C.
23. Calcular la integral [ tan x
dx.cos2 x
Soluci´on.-
tan2
x2
+ C.
24. Calcular la integral [ cot x
dx.sin2 x
Soluci´on.- −
cot2
x+ C.
2
25. Calcular la integral [ ln(x + 1)
dx.x + 1
Soluci´on.-
ln2(x + 1)2
+ C.
cos x 26. Calcular la integral
dx. x
Soluci´on.- √2 sin x + 1 + C.
27. Calcular la integral [ sin 2x
dx.(1 + cos 2x)2
Soluci´on.-
1
2(1 + cos
2x)
1+ C.
28. Calcular la integral [sin 2x
dx.l1 + sin2 x
Soluci´on.- 2l
1 + sin2 x + C.√tan x + 1
29. Calcular la integral
[
2
cos2
x
dx.
Soluci´on.-
l(tan x + 1)3 + C.
2
2
x
2
[
1
3
30. Calcular la integral [ ln x
dx.x
Soluci´on.-
ln3
x
3
+ C.
31. Calcular la integral [ arcsin x
dx.√1 − x2
Soluci´on.-
arcsin2
x2
+ C.
32. Calcular la integral [ x
dx.x2 + 1
Soluci´on.-
1 ln(x2 + 1) + C.
2
33. Calcular la integral [x + 1
dx.x2 + 2x + 3
Soluci´on.-
1 ln(x2 + 2x + 3) + C.
2
34. Calcular la integral [
e2xdx.1
Soluci´on.-
e2x + C.2
35. Calcular la integral [
e x
dx.
Soluci´on.- 2e 2 + C.
36. Calcular la integral [
esin x cos xdx.
Soluci´on.- esin x + C.
37. Calcular la integral [
3xexdx.
3xex
Soluci´on.- ln 3
+ 1
+ C.
38. Calcular la integral [
e−3xdx.1 3x
Soluci´on.- −
3 e−
+ C.
39. Calcular la integral [
ex2 +4x+3(x + 2)dx.
Soluci´on.-
1 ex +4x+3 + C.
2
40. Calcular la integral [1
dx.1 + 2x2
1 √
Soluci´on.- √2
arctan(
2x) + C.
1 41. Calcular la integral √ dx.
1 − 3x2
1 √
1
[ 1
42. Calcular la integral √ dx.9 − x2
Soluci´on.- arcsin x
+ C.3
43. Calcular la integral [ 1
dx.4 + x2
Soluci´on.-
1
xarctan
2 2
+ C.
1
=
Integraci´on por partes
Recordemos la f ormula de la deriva del producto de funciones
d [u(x)v(x)] = ut(x)v(x) +
u(x)vt(x), dx
que expresada bajo forma de diferencial da lugar a
d[u(x)v(x)] = d[u(x)]v(x) + u(x)d[v(x)].
De donde se obtiene,
u(x)d[v(x)] = d[u(x)v(x)] − v(x)d[u(x)].
Integrando ahora ambos miembros tendremosr r
u(x)d[v(x)] = u(x)v(x) −
que se escribe tambi en en forma abreviada,
v(x)d[u(x)],
r rudv = uv − vdu. (1)
Esta expresio´n es conocida como la f´ormula de la integraci on por partes y es de gran utilidad para la resoluci on de integrales. Se aplica a la resoluci on de las integrales
[ udv a partir de
la integral [
vdu que se supone m as sencilla. La aplicaci on de (1) exige primero identificaradecuadamente en el integrando las funciones u(x) y v(x). Veamos un ejemplo
Ejemplo 1 Si queremos calcular la integralr
x3 ln xdx,
observemos que la integral de x3 es inmediata y que la derivada de ln x es tambi en muy sencilla. As ı, si asignamos
tendremosu = ln x y dv = x3dx,
4du =
dxy v =
x + C ,
si integramos ahorar
x3 ln xdx =
x
r rln x d
x4
4
41
l+ C1
x4=4 +
C1
ln x −
r
x4
4
+ C1
dxx
x4=4 +
C1
ln x −
r
x3
4
+ C1
dx x
4 4x x
− + C.4 16
Observemos que la primera constante de integraci´on C1 se cancela de la respuesta final (C1 ln x− C1 ln x). Este es siempre el caso cuando integramos por partes, por ello, en la pr´actica, nunca incluimos una constante de integracio´n en v(x), simplemente tomaremos para v(x)
1
e −
Algunos tipos de integrales que se resuelven por partes
[xnexdx u = xn dv = exdx
[xn sin xdx u = xn dv = sin
xdx
[xn cos xdx u = xn dv = cos
xdx
[xn ln xdx u = ln x dv = xndx
[arctan xdx
u = arctan x
dv = dx[
arcsin xdx
u = arcsin x
dv = dx
[ln xdx u = ln x dv = dx
Ejercicios de integraci´on por partes
1. Calcular la integral [
xexdx.
Soluci´on.- xex − ex + C.
2. Calcular la integral [
ln xdx.
Soluci´on.- x ln x − x + C.
3. Calcular la integral [
x2e3xdx.
x2Soluci´on.- e3x
32x 2
+9 27
+ C.
4. Calcular la integral [
x3e−xdx.
Soluci´on.- −e−x (x3 + 3x2 + 6x + 6
) + C.
5. Calcular la integral [
x sin xdx.
Soluci´on.- −x cos x + sin x + C.
6. Calcular la integral [
x2 cos 2xdx.2
Soluci´on.- x sin 2 x
+ x cos 2 x 1
2 2−
4 sin 2x + C.
7. Calcular la integral [
ex sin xdx.x x
Soluci
´on.- −
e cos x + e sin x + C.2
8. Calcular la integral [
x5ex3
dx.
x3
Soluci´on.- (x3 1) + C.3
−
1
0
0
0
Ejercicios de integrales definidas y c´alculo de ´areas
1. Calcular la integral definida [ 1
x4dx.1
Soluci´on.- .5
2. Calcular la integral definida [ 1
exdx.
Soluci´on.- e − 1.π
3. Calcular la integral definida [
2 sin xdx.
Soluci´on.- 1.
4. Calcular la integral definida [ 1 1
dx.
Soluci´on.- π
.4
0 1 + x2
5. Hallar el area de la figura comprendida entre la curva y = 4 − x2
y el eje X. 2Soluci´on.- 10 .
3
6. Hallar el area de la figura comprendida entre las curvas y2 = 9x e y = 3x. 1
Soluci´on.- .2
7. Hallar el area de la figura limitada por la hip´erbola equil atera xy = a2, el eje X y las rectas x = a y x = 2a.
Soluci´on.- a2 ln 2.