Analice y Resuelva:1. Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €. ¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que éstos consigan una venta máxima?

ARTICULOS ALGODÓN POLYESTER PRECIOPantalón (p) 1m 2m 50 €Chaqueta (c) 1.5m 1m 40 €Disponibilidad 750m 1000m

Func. Ob: →Z= 50p + 40C (Max)Sa: 1p + 1.5c ≤ 750m 2p + 1c ≤ 1000

SOLUCION: Se debe suministrar 375 pantalones y 250 chaquetas para una venta máxima de 28,750 €

2. Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina para L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.

LAMPARAS MANUAL MAQUINA COSTO/MESL1 20 min 15 min 15 €L2 30 min 10 min 10 €Disponibilidad en Hrs. 100 hrs 80 hrs

Func. Obj: → Z = 15 L1 + 10 L2 (Max)Sa: 20 L1 + 30 L2 ≤ 100 15 L1 + 10 L2 ≤ 80

SOLUCION: El máximo beneficio es de 75000 con respecto a L1

3. Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un espacio refrigerado de 20 m3 y un espacio no refrigerado de 40 m3. Los del tipo B, con igual cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte de 3 000 m3 de producto que necesita refrigeración y 4 000 m3de otro que no la necesita. El coste por kilómetro de un camión del tipo A es de 30 € y el B de 40 €. ¿Cuántos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo?

CAMIONES REFRIGERADO NO REFRIGERADO COSTOA 20 m3 40m3 30 €B 30 m3 30m3 40 €

3000 m3 4000 m3

Func. Obj: → Z = 30A + 40B (Max)Sa: 20m3A + 30m3B ≤ 3000m3 40m3A + 30m3B ≤ 4000m3

SOLUCION: 50 CAMIONES DE TIPO “A” Y 66 DE TIPO “B” PARA UN COSTO MINIMO DE 4,166.6670 €

4. En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?

Sustancia A Sustancia B CostoX 1 5 10 €Y 5 1 30 €

Total Comp. 15 15

Func. Obj. → Z= 10x + 30y (Min)Sa: 1x + 5y = 15 5x + 1y = 15

SOLUCION: Se deben comprar 2.5 de “X ” y “Y” para un costo mínimo de 100 €

5. Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le convienen poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio?

Cuadernos Carpetas Bolígrafos CostoBloque 1 2 1 2 6.5 €Bloque 2 3 1 1 7 €

Total 600 500 400

Func. Obj. →Z = 6.5 B1 + 7B2 (Max)Sa: 2B1 + 3B2 ≤ 600 1B1 + 1B2 ≤ 500 2B1 + 1B2 ≤ 400

SOLUCION:Le conviene poner 150 del paquete “1” y 100 del “2” para un máximo beneficio de 1,675 €

6. Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?

OFERTAS CAMISAS PANTALONES COSTOA 1 1 30 €B 3 1 50 €

Liquidación 200 100

Func. Obj. → Z = 30A + 50B (Max)Sa: 1A + 3B ≤ 200 1A + 1B ≤ 100

SOLUCION:Han de vender 50 de los 2 tipos para una máxima ganancia de 4,000 €

7. Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autobuses de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 800 € y el de uno pequeño 600 €. Calcular cuántos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela.

Bus pequeño Bus grandeCantidad de Bus 8 10Plaza 40 50Costo 600€ 800€choferes 9Excursion 400 Alumnos

Func.Obj → Z = 600bp + 800bg (Maximice por que minimizado dio a cero)Sa: 8bp + 10bg ≤ 9 40bp + 50 bg ≤ 400

SOLUCION: Maximizando hay que utilizar 9 buses del tipo “B”

8. Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual?ACCIONES RENDIMIENTO INVERSIONA 10 % 130,000 €B 8 % 60,000 €DISPONIBILIDAD 210,000 €

Func. Obj → Z = 0.10A + 0.08B (Max)Sa: A + B ≤ 210,000 A ≤ 130,000 B ≥ 60,000 A ≤ 2B → A – 2B ≤ 0

SOLUCION: 130,000 en las acciones “A” y 80,000 en las “B” para un máximo interés anual de 19,400 €

9. En una pastelería se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer más de 125 tartas de cada tipo. ¿Cuántas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio?TARTAS RELLENO BIZCOCHO BENEFICIOVienesa 1/4 1 kg 250 ptsReal 1/2 1 kg 400 ptas

50 150 kg

Func. Obj → Z = 250V + 400 R (Max)Sa: V + R ≤ 125 ¼ V + ½ R ≤ 50 1 V + 1R ≤ 150

SOLUCION: 50 tartas vienesas y 75 reales para un máximo beneficio de 42,500 €

11. Se dispone de 120 refrescos de cola con cafeína y de 180 refrescos de cola sin cafeína. Los refrescos se venden en paquetes de dos tipos. Los paquetes de tipo A contienen tres refrescos con cafeína y tres sin cafeína, y los de tipo B contienen dos con cafeína y cuatro sin cafeína. El vendedor gana 6 euros por cada paquete que venda de tipo A y 5 euros por cada uno que vende de tipo B. Calcular de forma razonada cuántos paquetes de cada tipo debe vender para maximizar los beneficios y calcular éste.

CC SC GANAA 3 3 6 €B 2 4 5 €Disponibilidad 120 180

Func. Obj → Z = 6A + 5B (Max)Sa: 3A + 2B ≤ 120 3A + 4B ≤ 180

SOLUCION: Se deben vender 20 paquetes del tipo “A” y 30 del tipo “B” para un máximo beneficio de 270 €

14. Una empresa fabrica dos modelos de fundas de sofá, A y B, que dejan unos beneficios de 40 y 20 euros respectivamente. Para cada funda del modelo A se precisan 4 horas de trabajo y 3 unidades de tela. Para fabricar una del modelo B se requieren 3 horas de trabajo y 5 unidades de tela. La empresa dispone de 48 horas de trabajo y 60 unidades de tela. Si a lo sumo pueden hacerse 9 fundas del modelo A. ¿Cuántas fundas de cada modelo han de fabricarse para obtener el máximo beneficio y cual sería este?Fundas Hrs Trabajo TelaA 4 hrs 3 unds 40 €B 3 hrs 5 unds 20 €Disponibilidad

48 hrs 60 unds

A lo sumo 9 fundas del modelo A

Func. Obj → Z = 40A + 20B (Max)Sa: 4A + 3B ≤ 48 3A + 5B ≤ 60 A ≥ 9

SOLUCION: Hay que fabricar 12 fundas del modelo “A” para un máximo beneficio de 480€

16. Un nutricionista asesora a un individuo que sufre una deficiencia de hierro y vitamina B, y le indica que debe ingerir al menos 2400 mg de vitamina B-1 (tiamina) y 1500 mg de vitamina B-2 (riboflavina) durante cierto período de tiempo. Existen dos píldoras de vitaminas disponibles, la marca A y la marca B. Cada píldora de la marca A contiene 40 mg de hierro, 10 mg de vitamina B-1, 5 mg de vitamina B-2 y cuesta 6 centavos. Cada píldora de la marca B contiene 10 mg de hierro, 15 mg de vitamina B-1 y de vitamina B-2, y cuesta 8 centavos (tabla 2). ¿Cuáles combinaciones de píldoras debe comprar el paciente para cubrir sus requerimientos de hierro y vitamina al menor costo?

MARCA HIERRO Vit. B1 Vit. B2 COSTOA 40 mg 10mg 5mg 0.06 cntvsB 10 mg 15mg 15mg 0.08 cntvs

Receta 20mg 2400mg 1500mgFunc. Obj→ Z = 0.06A + 0.08B (Este ejercicio se tuvo que maximizar porque minimizado da cero)Sa: 40A + 10B ≤ 20 10A + 15B ≤ 2400 5A + 15B ≤ 1500

SOLUCION: Debe comprar 2 combinaciones de píldoras tipo “B”

17. En la empresa PROLINEAL C.A., el departamento de ingeniería señala que cuando se produce el bien 1 solamente, se obtiene como máximo una producción de 200 unidades del mismo; utilizando a pleno la capacidad instalada de máquinas del tipo A, no utilizando un 25% de la capacidad de las máquinas B y usando el 50% de las máquinas C. En cambio, cuando sólo se produce el bien 2 se utiliza el 100% de la capacidad instalada de máquinas C y sólo el 12.5% de la capacidad instalada de las A y el 75% de las B; obteniéndose un máximo de 100 unidades del bien en cuestión.El beneficio neto por unidad del bien 1 y del 2 es, respectivamente, $1 y $3.En base a los datos aportados por el departamento de ingeniería, el gerente de producción argumenta que como sobraría capacidad instalada del parque de maquinarias B, convendrá ofrecerlas en alquiler. El gerente técnico opina, en cambio, que bajo las circunstancias, lo que realmente conviene es introducir un nuevo producto, el bien 3, que requiere 2% de capacidad de A, 10% de B y 0.5% de C, para obtener una unidad de este bien; que puede venderse en el mercado con un beneficio neto unitario de $14. Como el presidente de la empresa sabe que usted tiene buenos conocimientos de programación lineal y que las condiciones en las que opera Pro lineal son aptas a tal planteo, le pide que, aplicando la herramienta WINQSB, dé su opinión acerca del mejor curso de acción a seguir, respondiendo críticamente a los planteos de los dos gerentes.

Producción Maquina A Maquina B Maquina C Producción max BeneficioBien 1 100% 75% 50% 200 unds $ 1Bien 2 12.5% 75% 100% 100 unds $ 3Bien 3 2% 10% 0.5% $ 14

Func. Obj → Z = B1 + 3B2 + 14B3Sa: 1B1 + 0.125B2 + 0.02B3 ≤ 3 0.75B1 + 0.75B2 + 0.1B3 ≤ 3 0.5B1 + 1B2 + 0.005B3 ≤ 3 B1 ≤ 200 B2 ≤ 100

SOLUCION: Conviene introducir un nuevo producto que sería el bien “3” ya que este ofrecería un beneficio de $420.

19. Una compañía produce tres tamaños de tubos: A, B y C, que son vendidos, respectivamente en $10, $12 y $9 por metro. Para fabricar cada metro del tubo A se requieren de 0.5 minutos de tiempo de procesamiento sobre un tipo particular de máquina de modelado. Cada metro del tubo B requiere de 0.45 minutos y cada metro del tubo C requiere 0.6 minutos. Después de la producción, cadametro de tubo, sin importar el tipo, requiere 1 kg de material de soldar. El costo total se estima en $3, $4 y $4 por metro de los tubos A, B y C respectivamente. Para la siguiente semana, la compañía ha recibido pedidos excepcionalmente grandes de sus clientes, que totalizan 2000 metros de tubo A, 4000 metros de tubo B y 5000 metros del tubo C. Como sólo se dispone de 40 hrs. Del tiempo de máquina esta semana y sólo se tienen en inventario 5,500 Kg de material de soldar el departamento de producción no podrá satisfacer la demanda la cual requiere de 11,000 kg de material para soldar y más tiempo de producción. No se espera que continúe este alto nivel de demanda. En vez de expandir la capacidad de las instalaciones de producción, la gerencia está considerando la compra de algunos de estos tubos a proveedores de Japón a un costo de entrega de $6 por metro del tubo A, $6 por metro del tubo B y $7 por metro del tubo C. Estos diversos datos se resumen en la tabla 1. A Usted ccomo gerente del departamento de producción, se le ha pedido hacer recomendaciones respecto a la cantidad de producción de cada tipo de tubo y la cantidad de compra a Japón para satisfacer la demanda y maximizar las ganancias de la Compañía. Tabla 1: Datos referentes al problema:

Tubo tipo

Precio de Venta ($/metro)

Demanda(metros)

Tiempo de Máquina(min/metro)

Material para soldar(kg/metro)

Costo de Producción($/metro)

Costo de compra a Japón ($/metro)

A 10 2,000 0.50 1 3 6B 12 4,000 0.45 1 4 6C 9 5,000 0.60 1 4 7

Func. Obj → Z = 4A + 6B + 2C (Max)Sa: 3A + 4B + 4C ≤ 5,500 0.5A + 0.45B + 0.6C ≤ 2,400 2000A + 4000B + 5000C ≤ 11,000

SOLUCION: El máximo de las ganancias seria $ 22,0000

20. Una Empresa metalmecánica, puede fabricar cuatro productos diferentes (A, B, C, D) en cualquier combinación. La producción da cada producto requiere emplear las cuatro máquinas. El tiempo que cada producto requiere en cada una de las cuatro máquinas, se muestra en la tabla anexa Cada máquina está disponible 80 horas a la semana. Los productos A, B, C y D se pueden vender a $8, $6, $5 y $4 por kilogramo, respectivamente. Los costos variables de trabajo son de $3 por hora para las máquinas 1 y 2 y de $1 por hora para las máquinas 3 y 4. El costo del material para cada kilogramo de producto A es de $3. El costo de material es de $1 para cada kilogramode los productos B, C y D. , la máxima utilidad que puede obtener la empresa. Tiempo de máquina (Minutos por kilogramo de producto)

Producto Maquina1 Maquina 2 Maquina 3 Maquina 4 Demanda maxA 10 min 5 min 3 min 6 min 100B 6 min 3 min 8 min 4 min 400C 5 min 4 min 3 min 3 min 500D 2 min 4 min 2 min 1 min 150

Csto. Venta 3 3 1 1Mat. 3 1 1 1

Utilidad 2 2 3 2

Func. Obj → Z = 2A + 2B + 3C + 2D (Max)Sa: 100A + 400B + 500C + 150D ≤ 1,150 10A + 6B + 5C + 2D ≤ 80 5A + 3B + 4C + 4D ≤ 80 3A + 8B + 3C + 2D ≤ 80 6A + 4B + 3C + 1D ≤ 80

SOLUCION: La máxima utilidad de la empresa recae sobre los productos “A” y “B” con un máximo beneficio de 20,3077$