Ejercicios Resueltos Del Algebra de Baldor
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A continuación se da la lista completa de los Ejercicios del Álgebra de Baldor:
EJERCICIO 1
1C a n t i d a d e s p o s i t i v a s y n e g a t i v a s
1. Pedro debía 60 bolívares y recibió 320. Expresar su estado económico.S o l u c i ó n :
Nota: cuando totalizamos dos cantidades con distinto signo,hallamos la diferencia entre las cantidades y el resultado loexpresamos con el signo de la cantidad de mayor valor absoluto.
Respuesta: el estado económico de Pedro es de + 260 bolívares.
2. Un hombre que tenía 1 170 sucres hizo una compra por valor de 1 515. Expresar su estado económico.S o l u c i ó n :
Nota: cuando totalizamos dos cantidades con distinto signo,hallamos la diferencia entre las cantidades y el resultado loexpresamos con el signo de la cantidad de mayor valor absoluto.
Respuesta: el estado económico del hombre es de - 345 sucres.
3. Tenía $200. Cobre $56 y pagué deudas por $189. ¿Cuánto tengo?S o l u c i ó n :
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Nota: cuando totalizamos cantidades con distinto signo,hallamos los totales parciales de las cantidades positivas ylos de las negativas y, luego, calculamos la diferencia entreestas cantidades. El resultado lo expresamos con el signode la cantidad (de las dos que representan los subtotales)de mayor valor absoluto.
Respuesta: Ud. tiene + $67.
4. Compro ropas por valor de 665 soles y alimentos por 1 178. Si después recibo2 280. ¿Cuál es mi estado económico?S o l u c i ó n :
Nota: cuando totalizamos cantidades con distinto signo,hallamos los totales parciales de las cantidades positivas ylos de las negativas y, luego, calculamos la diferencia entreestas cantidades. El resultado lo expresamos con el signode la cantidad (de las dos que representan los subtotales)de mayor valor absoluto.
Respuesta: su estado económico es de + 437 soles.
5. Tenía $20. Pagué $15 que debía, después cobré $40 y luego hice gastos por $75. ¿Cuánto tengo?S o l u c i ó n :
Nota: cuando totalizamos cantidades con distinto signo,hallamos los totales parciales de las cantidades positivas yde las negativas y, luego, calculamos la diferencia entreestas cantidades. El resultado lo expresamos con el signode la cantidad (de las dos que representan los subtotales)de mayor valor absoluto.
Respuesta: Ud. tiene - $30.
6. Enrique hace una compra por $67; después recibe $72; luego hace otra compra por $16 y después recibe $2. Expresar su estado económico.S o l u c i ó n :
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Nota: cuando totalizamos cantidades con distinto signo,hallamos los totales parciales de las cantidades positivas ylos de las negativas y, luego, calculamos la diferencia entreestas cantidades. El resultado lo expresamos con el signode la cantidad (de las dos que representan los subtotales)de mayor valor absoluto.
Respuesta: El estado económico de Enrique es de - $9.
7. Después de recibir 200 colones hago tres gastos por 78, 81 y 93. Recibo entonces 41 y luego hago un nuevo gasto por 59. ¿Cuánto tengo?S o l u c i ó n :
Nota: cuando totalizamos cantidades con distinto signo,hallamos los totales parciales de las cantidadespositivas y los de las negativas y, luego, calculamos ladiferencia entre estas cantidades. El resultado loexpresamos con el signo de la cantidad (de las dos querepresentan los subtotales) de mayor valor absoluto.
Respuesta: Ud. tiene - 70 colones.
8. Pedro tenía tres deudas de $45, $66 y $79 respectivamente. Entonces recibe $ 200 y hace un gasto de $10. ¿Cuánto tiene?S o l u c i ó n :
Nota: cuando los subtotales de las cantidades positivas yel de las negativas son iguales, el total es cero.
Respuesta: Pedro tiene 0 pesos.
EJERCICIO 2
1. A las 9 a.m. el termómetro marca + 12° y de esta hora a las 8 p.m. ha bajado 15°. Expresar la temperatura a las 8 p.m.S o l u c i ó n :Como la temperatura ha bajado 15°, se debe restar 15° de +12° :
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+12 - 15 = - 3.Respuesta: A las 8 p.m., la temperatura es de -3°.
2. A las 6 a.m. el termómetro marca -3°. A las 10 a.m. la temperatura es 8° más alta y desde esta hora hasta las 9 p.m. ha bajado 6°. Expresar latemperatura a las 9 p.m.S o l u c i ó n :De las 6 a.m. a las 10 a.m., la temperatura sube 8° a partir de -3°, y
- 3 + 8 = +5De las 10 a.m. a las 9 p.m., la temperatura baja 6° a partir de +5°; y
+ 5 - 6 = -1Respuesta: A las 9 p.m. la temperatura es de -1°.
3. A la 1 p.m. el termómetro marca +15° y a las 10 p.m. marca -3°. ¿Cuántos grados ha bajado la temperatura?S o l u c i ó n :Calculamos la diferencia entre las temperaturas, en valor absoluto (la temperatura final menos la inicial) :
|-3 - 15| = |-18| = 18Respuesta: la temperatura ha bajado un total de 18°.
4. A las 3 a.m. el termómetro marca -8° y al mediodía +5°. ¿Cuántos grados ha subido la temperatura?S o l u c i ó n :Calculamos la diferencia entre las temperaturas, en valor absoluto (la temperatura final menos la inicial) :
|+5 - (-8)| = |5 + 8| = |13| = 13Respuesta: la temperatura ha subido un total de 13°.
5. A las 8 a.m. el termómetro marca -4°; a las 9 a.m. ha subido 7°; a las 4 p.m. ha subido 2° más y a las 11 p.m. ha bajado 11°. Expresar la temperaturaa las 11 p.m.S o l u c i ó n :De las 8 a.m. a las 9 a.m., la temperatura sube 7° a partir de -4°, y
- 4 + 7 = +3.
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Biblioteca Virtual EjerciciosResueltosDe las 9 a.m. a las 4 p.m., la temperatura sube 2° a partir de +3°; y
+3 + 2 = +5.De las 4 p.m. a las 11 p.m., la temperatura baja 11° a partir de +5°; y
+5 - 11 = -6.Respuesta: A las 11 p.m. la temperatura es de -6°.
6. A las 6 a.m. el termómetro marca -8°. De las 6 a.m. a las 11 a.m. sube a razón de 4° por hora. Expresar la temperatura a las 7 a.m., a las 8 a.m. y alas 11 a.m.S o l u c i ó n :
7 - 6 = 1 y 4 * 1 = 4 {de las 6 a.m. a las 7 a.m. ha transcurrido una hora}-8 + 4 = -4 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento}8 - 6 = 2 y 4 * 2 = 8 {de las 6 a.m. a las 8 a.m. han transcurrido dos horas}-8 + 8 = 0 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento}11 - 6 = 5 y 4 * 5 = 20 {de las 6 a.m. a las 11 a.m. han transcurrido cinco horas}
-8 + 20 = 12Respuesta: la temperatura a las 7 a.m. es de -4°, a las 8 a.m. de 0° y a las 11 a.m. de 12°.
7. A las 8 a.m. el termómetro marca -1°. De las 8 a.m. a las 11 a.m. baja a razón de 2° por hora y de 11 a.m. a 2 p.m. sube a razón de 3° por hora.Expresar la temperatura a las 10 a.m., a las 11 a.m., a las 12 m. y a las 2 p.m.
S o l u c i ó n :Para hallar la temperatura a las 10 a.m. y a las 11 a.m. tomamos la temperatura de las 8 a.m. como la inicial, es decir de -1°10 - 8 = 2 y (-2) * 2 = -4
{de las 8 a.m. a las 10 a.m. han transcurrido dos horas y en dos horas la temperatura baja 4°}-1 + (-4) = -5 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento}11 - 8 = 3 y (-2) * 3 = -6
{de las 8 a.m. a las 11 a.m. han transcurrido tres horas y en tres horas la temperatura baja 6°}-1 + (-6) = -7 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento}Para hallar la temperatura a las 12 m. y a las 2 p.m. tomamos la temperatura de las 11 a.m. como la inicial, es decir de -7°12 - 11 = 1 y 3 * 1 = 3
{de las 11a.m. a las 12 m. ha transcurrido una hora y en una hora la temperatura sube 3°}-7 + 3 = -4 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento}14 - 11 = 3 y 3 * 3 = 9
{de las 11a.m. a las 2 p.m. han transcurrido tres horas y en tres horas la temperatura sube 9°}
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Biblioteca Virtual EjerciciosResueltos-7 + 9 = 2 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento}Respuesta: la temperatura a las 10 a.m. es de -5°, a las 11 a.m. de -7°, a las 12m. de -4° y a las 2 p.m. de +2°.
8. El día 10 de diciembre un barco se halla a 56° al oeste del primer meridiano. Del día 10 al 18 recorre 7° hacia el este. Expresar su longitud este día.S o l u c i ó n :
56 - 7 = 49 {se efectúa la diferencia por ir en sentido opuesto}.Respuesta: el barco se halla, el 18 de diciembre, 49° al oeste del primer meridiano; es decir, a - 49°.
9. El día primero de febrero la situación de un barco es: 71° de longitud oeste y 15° de latitud sur. Del día primero al 26 ha recorrido 5° hacia el este ysu latitud es entonces de 5° más al sur. Expresar su situación el día 26.S o l u c i ó n :Longitud: -71° + 5° = -66°
Latitud: -15° + (-5°) = -20°Respuesta: el 26 de febrero el barco se halla 66° al oeste y 20° al sur; o, lo que es lo mismo, su longitud es de-66° y su latitud de -20°.
10. El día 5 de mayo la situación de un viajero es 18° de longitud este y 65° de latitud norte. Del día 5 al 31 ha recorrido 3° hacia el este y se haacercado 4° al Ecuador. Expresar su situación el día 31.S o l u c i ó n :Longitud: +18° + 3° = +21°Latitud: +65° + (-4°) = +61° {del norte al Ecuador se viaja hacia el sur}Respuesta: el 31 de mayo el barco se halla 21° al este y 61° al norte; o, lo que es lo mismo, su longitud es de +21° y su latitud de +61°.
11. Una ciudad fundada el año 75 A.C. fue destruida 135 años después. Expresar la fecha de su destrucción.
Solución:Las fechas A. C. Se expresan con signo negativo y las D.C. con signo positivo; y -75 + 135 = +60.Respuesta: La ciudad fue destruida en el año 60 D.C. ó en el año +60.
EJERCICIO 3
1. A las 9 a.m. el termómetro marca + 12° y de esta hora a las 8 p.m. ha bajado 15°. Expresar la temperatura a las 8 p.m.S o l u c i ó n :Como la temperatura ha bajado 15°, se debe restar 15° de +12° :
+12 - 15 = - 3.
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Biblioteca Virtual EjerciciosResueltosRespuesta: A las 8 p.m., la temperatura es de -3°.
2. A las 6 a.m. el termómetro marca -3°. A las 10 a.m. la temperatura es 8° más alta y desde esta hora hasta las 9 p.m. ha bajado 6°. Expresar latemperatura a las 9 p.m.S o l u c i ó n :
De las 6 a.m. a las 10 a.m., la temperatura sube 8° a partir de -3°, y- 3 + 8 = +5
De las 10 a.m. a las 9 p.m., la temperatura baja 6° a partir de +5°; y+ 5 - 6 = -1
Respuesta: A las 9 p.m. la temperatura es de -1°.
3. A la 1 p.m. el termómetro marca +15° y a las 10 p.m. marca -3°. ¿Cuántos grados ha bajado la temperatura?S o l u c i ó n :
Calculamos la diferencia entre las temperaturas, en valor absoluto (la temperatura final menos la inicial) :|-3 - 15| = |-18| = 18Respuesta: la temperatura ha bajado un total de 18°.
4. A las 3 a.m. el termómetro marca -8° y al mediodía +5°. ¿Cuántos grados ha subido la temperatura?S o l u c i ó n :Calculamos la diferencia entre las temperaturas, en valor absoluto (la temperatura final menos la inicial) :
|+5 - (-8)| = |5 + 8| = |13| = 13Respuesta: la temperatura ha subido un total de 13°.
5. A las 8 a.m. el termómetro marca -4°; a las 9 a.m. ha subido 7°; a las 4 p.m. ha subido 2° más y a las 11 p.m. ha bajado 11°. Expresar la temperaturaa las 11 p.m.S o l u c i ó n :De las 8 a.m. a las 9 a.m., la temperatura sube 7° a partir de -4°, y
- 4 + 7 = +3.De las 9 a.m. a las 4 p.m., la temperatura sube 2° a partir de +3°; y
+3 + 2 = +5.De las 4 p.m. a las 11 p.m., la temperatura baja 11° a partir de +5°; y
+5 - 11 = -6.
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Biblioteca Virtual EjerciciosResueltosRespuesta: A las 11 p.m. la temperatura es de -6°.
6. A las 6 a.m. el termómetro marca -8°. De las 6 a.m. a las 11 a.m. sube a razón de 4° por hora. Expresar la temperatura a las 7 a.m., a las 8 a.m. y alas 11 a.m.S o l u c i ó n :
7 - 6 = 1 y 4 * 1 = 4 {de las 6 a.m. a las 7 a.m. ha transcurrido una hora}-8 + 4 = -4 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento}8 - 6 = 2 y 4 * 2 = 8 {de las 6 a.m. a las 8 a.m. han transcurrido dos horas}-8 + 8 = 0 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento}11 - 6 = 5 y 4 * 5 = 20 {de las 6 a.m. a las 11 a.m. han transcurrido cinco horas}-8 + 20 = 12
Respuesta: la temperatura a las 7 a.m. es de -4°, a las 8 a.m. de 0° y a las 11 a.m. de 12°.
7. A las 8 a.m. el termómetro marca -1°. De las 8 a.m. a las 11 a.m. baja a razón de 2° por hora y de 11 a.m. a 2 p.m. sube a razón de 3° por hora.
Expresar la temperatura a las 10 a.m., a las 11 a.m., a las 12 m. y a las 2 p.m.
S o l u c i ó n :Para hallar la temperatura a las 10 a.m. y a las 11 a.m. tomamos la temperatura de las 8 a.m. como la inicial, es decir de -1°10 - 8 = 2 y (-2) * 2 = -4
{de las 8 a.m. a las 10 a.m. han transcurrido dos horas y en dos horas la temperatura baja 4°}-1 + (-4) = -5 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento}11 - 8 = 3 y (-2) * 3 = -6
{de las 8 a.m. a las 11 a.m. han transcurrido tres horas y en tres horas la temperatura baja 6°}-1 + (-6) = -7 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento}
Para hallar la temperatura a las 12 m. y a las 2 p.m. tomamos la temperatura de las 11 a.m. como la inicial, es decir de -7°12 - 11 = 1 y 3 * 1 = 3
{de las 11a.m. a las 12 m. ha transcurrido una hora y en una hora la temperatura sube 3°}-7 + 3 = -4 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento}14 - 11 = 3 y 3 * 3 = 9
{de las 11a.m. a las 2 p.m. han transcurrido tres horas y en tres horas la temperatura sube 9°}-7 + 9 = 2 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento}Respuesta: la temperatura a las 10 a.m. es de -5°, a las 11 a.m. de -7°, a las 12m. de -4° y a las 2 p.m. de +2°.
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Biblioteca Virtual EjerciciosResueltos8. El día 10 de diciembre un barco se halla a 56° al oeste del primer meridiano. Del día 10 al 18 recorre 7° hacia el este. Expresar su longitud este día.S o l u c i ó n :
56 - 7 = 49 {se efectúa la diferencia por ir en sentido opuesto}.Respuesta: el barco se halla, el 18 de diciembre, 49° al oeste del primer meridiano; es decir, a - 49°.
9. El día primero de febrero la situación de un barco es: 71° de longitud oeste y 15° de latitud sur. Del día primero al 26 ha recorrido 5° hacia el este ysu latitud es entonces de 5° más al sur. Expresar su situación el día 26.S o l u c i ó n :Longitud: -71° + 5° = -66°Latitud: -15° + (-5°) = -20°Respuesta: el 26 de febrero el barco se halla 66° al oeste y 20° al sur; o, lo que es lo mismo, su longitud es de-66° y su latitud de -20°.
10. El día 5 de mayo la situación de un viajero es 18° de longitud este y 65° de latitud norte. Del día 5 al 31 ha recorrido 3° hacia el este y se haacercado 4° al Ecuador. Expresar su situación el día 31.S o l u c i ó n :
Longitud: +18° + 3° = +21°Latitud: +65° + (-4°) = +61° {del norte al Ecuador se viaja hacia el sur}Respuesta: el 31 de mayo el barco se halla 21° al este y 61° al norte; o, lo que es lo mismo, su longitud es de +21° y su latitud de +61°.
11. Una ciudad fundada el año 75 A.C. fue destruida 135 años después. Expresar la fecha de su destrucción.Solución:Las fechas A. C. Se expresan con signo negativo y las D.C. con signo positivo; y -75 + 135 = +60.Respuesta: La ciudad fue destruida en el año 60 D.C. ó en el año +60.
EJERCICIO 4
N o m e n c l a t u r a a l g e b r a i c a
Sugerencia: lea cuidadosamente, en el álgebra de Baldor, las páginas 13 a 15.
1. Dígase qué clase de términos son los siguientes atendiendo al signo, a si tienen o no denominador y a si tienen o no radical:S o l u c i ó n :
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2. Dígase el grado absoluto de los términos seguientes:
S o l u c i ó n :
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3. Dígase el grado de los términos siguientes respecto de cada uno de sus factores literales:
S o l u c i ó n :
4. De los términos siguientes escoger cuatro que sean homogéneos y tre hetereogéneos
S o l u c i ó n :
5. Escribir tres términos enteros; dos fraccionarios; dos positivos, enteros y racionales; tres negativos, fraccionarios e irracionales
S o l u c i ó n :
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6. Escribir un término de cada uno de los grados absolutos siguientes: tercer grado, quinto grado, undécimo grado, décimo quinto grado, vigésimogrado
S o l u c i ó n :
7. Escribir un término de dos factores literales que sea de cuarto grado con relación a la x; otro de cuatro factores literales que sea de séptimo grado conrelación a la y; otro de cinco factores literales que sea de décimo grado con relación a la b
S o l u c i ó n :
EJERCICIO 5
Clasificación de las expresiones algebraicas
Sugerencia: lea juiciosamente, en el álgebra de Baldor, las páginas 16 y 17
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Biblioteca Virtual EjerciciosResueltos1. Dígase el grado absoluto de los siguientes polinomios:
2. Dígase el grado de los siguientes polinomios con relación a cada una de sus letras
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EJERCICIO 6
6
Clases de polinomios
Sugerencia: lea cuidadosamente, en el álgebra de Baldor, las páginas 15, 16, 17 y 18.
1. Atendiendo a si tienen o no denominador literal y a si tienen o no radical, dígase qué clase son los polinomios siguientes:
2. Escribir unn polinomio de tercer grado absoluto; de quinto grado absoluto; de octavo grado absoluto; de décimo quinto grado absoluto.Definición: "El grado absoluto de un polinomio es el grado de su término de mayor gradoabsoluto".
3. Escribir un trinomio de segundo grado respecto de la x; un polinomio de quinto grado respecto de la a; un polinomio de noveno grado respecto de lam.
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Biblioteca Virtual EjerciciosResueltos4. De los siguientes polinomios:
escoger dos que sean homogéneos y dos hetereogéneos.S o l u c i ó n :Definición 1: "Un polinomio es homogéneo cuando todos sus términos son del mismo grado absoluto".Definición 2: "Un polinomio es heterogéneo cuando sus términos no son del mismo grado absoluto".Definición 3: "El grado absoluto de un término es la suma de los exponentes de sus factores literales".Los polinomios homogéneos serían: a) y e) {en (a) todos los términos son de tercer grado absoluto, y en (e) todos los términos son de quinto grado absoluto}.Los polinomios heterogéneos serían: c) y d).
5. De los siguientes polinomios:
dígase cuáles son completos y respecto de cuáles letras.S o l u c i ó n :El polinomio (a) es completo respecto a la a.El polinomio (c) es completo respecto a la y.El polinomio (e) es completo respecto a la b y a la y.
6.
Escribir tres polinomios homogéneos de tercer grado absoluto; cuatro de quinto grado absoluto; dos polinomios completos.S o l u c i ó n :
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Biblioteca Virtual EjerciciosResueltos7. Ordenar los siguientes polinomios respecto de cualquier letra en orden descendente:
S o l u c i ó n :
8. Ordenar los siguientes polinomios respecto de cualquier letra en orden ascendente:
S o l u c i ó n :
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EJERCICIO 7
7
Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo
Sugerencia: lee cuidadosamente, en el Álgebra de Baldor, la página N ro 19.
Definición: Dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismo exponente.
P r o c e d i m i e n t o Para reducir términos semejantes con el mismo signo se suman los
coeficientes de todos los términos y se antepone al coeficiente total el mismosigno que comparten, y a continuación se escribe la parte literal.
Reducir:
1. x + 2 x.S o l u c i ó n :El signo común a todos los términos es el +.Los coeficientes de los términos son 1 y 2.La parte literal igual en todos los términos es x.Y 1 + 2 = 3;∴ x + 2 x = 3 x.
2. 8a + 9aS o l u c i ó n :El signo común a todos los términos es el +.Los coeficientes de los términos son 8 y 9.La parte literal igual en todos los términos es a.Y 8 + 9 = 17;∴ 8a + 9a = 17a.
3. 11b + 9bS o l u c i ó n :
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Biblioteca Virtual EjerciciosResueltosEl signo común a todos los términos es el +.Los coeficientes de los términos son 11 y 9.La parte literal igual en todos los términos es b.Y 11 + 9 = 20;∴ 11b + 9a = 20b.
4. -b - 5b.Solución:El signo común a todos los términos es el -.Los coeficientes de los términos son 1 y 5.La parte literal igual en todos los términos es b.Y 1 + 5 = 6;∴ -b - 5b = -6b.
5. -8m - mSolución:El signo común a todos los términos es el -.
Los coeficientes de los términos son 8 y 1.La parte literal igual en todos los términos es m.Y 8 + 1 = 9;∴ -8m - m = -9m.
6. -9m - 7mSolución:El signo común a todos los términos es el -.Los coeficientes de los términos son 9 y 7.La parte literal igual en todos los términos es m.Y 9 + 7 = 16;∴ -9m - 7m = -16m.
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jResueltos
EJERCICIO 8
8
Reducción de dos términos semejantes de distinto signo
P r o c e d i m i e n t o
Para reducir dos términos semejantes de distinto signo, se halla la diferenciaentre los coeficientes de los términos, colocando antes de esta diferencia el signodel coeficiente mayor (en valor absoluto) y a continuación se escribe la parteliteral.
Nota: dos términos semejantes con igual coeficiente y distinto signo se anulan.
Reducir:
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EJERCICIO 9
9
Reducción de más de dos términos semejantes de signos distintos
Procedimiento
Para reducir un polinomio con más de dos términos semejantes y con signos distintos,se procede así:
1) Se reducen a un solo término todos los positivos.2) Se reducen a un solo término todos los negativos.3) Se calcula la diferencia entre los coeficientes de los términos hallados en los dos pasosanteriores.
4) El signo que precederá la diferencia hallada en el paso anterior será el que tenga elcoeficiente mayor en valor absoluto de los términos hallados en los pasos (1) y (2).5) Por último, se escribe la parte literal.
R e d u c i r :
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EJERCICIO 10
10
Reducción de términos semejantesRedución de un polinomio que contenga términos semejantes de diversas clases
P r o c e d i m i e n t o
1. Se agrupan los términos semejantes de cada clase en un mismo paréntesis2. Se reducen los términos semejantes3. Se da la respuesta, ordenando el polinommio resultante
Nota: recordemos que los términos semejantes son aquellos que tienen lasmismas letras y afectadas por los mismos exponentes
R educir los polinomios siguientes:
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EJERCICIO11
11
V a l o r n u m é r i c oValor numérico de expresiones simples
P r o c e d i m i e n t o1. Se reemplaza cada letra por su valor numérico2. Se efectúan las operaciones indicadas
Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para:
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EJERCICIO 12
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J
12
V a l o r n u m é r i c oValor numérico de expresiones compuestas
P r o c e d i m i e n t o
1. Se reemplaza cada letra por su valor numérico2. Se efectúan las operaciones indicadas
Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para:
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EJERCICIO 13
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13
V a l o r n u m é r i c oValor numérico de expresiones compuestas
P r o c e d i m i e n t o
1. Se reemplaza cada letra por su valor numérico2. Se efectúan las operaciones indicadas
Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para:
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EJERCICIO 14
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EJERCICIO 14
14
Ejercicios sobre notación algebraica
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EJERCICIO 15
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15
S u m a
Suma de monomios
P r o c e d i m i e n t o
1. Se escriben las expresiones una a continuación de otra y con sus respectivossignos2. Se reducen los términos semejantes. Para reducir términos semejantes se procede de la siguiente forma:a. Si los términos son de igual signo, se suman los coeficientes y se escribe elsigno comúnb. Si los términos tienen signo distinto, se restan los coeficientes y se escribe elsigno del número mayor en valor absolutoc. A continuación del signo y del coeficiente se escribe la parte literal
Nota: recuerdese que los términos semejantes son aquellos sumandos que tienenlas mismas letras y afectadas por los mismos exponentes.
S u m a r :
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EJERCICIO 16
16
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16
S u m a
Suma de polinomios
P r o c e d i m i e n t o
1. Se ordenan los polinomios2. Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una filadiferente); y de tal forma, que los téminos semejantes queden en la mismacolumna3. Se reducen los términos semejantes:a. Se suman los términos positivosb. Se suman los términos negativosc. Se establece la diferencia entres los resultados obtenidos ena y bd. En el total, el signo que lleve el término corresponderá al del número mayor,
en valor absoluto, de las sumas en a y b4. Se dibuja una línea debajo de la última fila; y debajo de esta línea se escribenlos términos, ya reducidos en el paso 3, con sus respectivos signos
Hallar la suma de:
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EJERCICIO 17
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17
S u m a
Suma de polinomios
P r o c e d i m i e n t o
1. Se ordenan los polinomios2. Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una filadiferente); y de tal forma, que los téminos semejantes queden en la mismacolumna3. Se reducen los términos semejantes:a. Se suman los términos positivosb. Se suman los términos negativosc. Se establece la diferencia entres los resultados obtenidos ena y b
d. En el total, el signo que lleve el término corresponderá al del número mayor,en valor absoluto, de las sumas en a y b4. Se dibuja una línea debajo de la última fila; y debajo de esta línea se escribenlos términos, ya reducidos en el paso 3, con sus respectivos signos
Hallar la suma de:
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EJERCICIO 18
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S u m a
Suma de polinomios con coeficientes fraccionariosP r o c e d i m i e n t o
1. Se ordenan los polinomios2. Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una filadiferente); y de tal forma, que los téminos semejantes queden en la mismacolumna3. Se reducen los términos semejantes: se suman los coeficientes fraccionarios,cada uno con su respectivo signo4. Se dibuja una línea debajo de la última fila; y debajo de esta línea se escribenlos términos, ya reducidos en el paso 3, con sus respectivos signos
Nota: las fracciones las vamos a sumar por el método de hallar el mínimo comúndenominador (m.c.d.)
Hallar la suma de:
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EJERCICIO 19
19
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S u m a
Suma de polinomios y valor numérico
P r o c e d i m i e n t o
1. Se ordenan los polinomios2. Se suman los polinomios3. En el total, se sustituye cada letra por su respectivo valor numérico4. Se efectúan las operaciones indicadas y se reduce el resultado
Sumar las expresiones siguientes y hallar el valor numérico del resultado paraa = 2, b = 3, c = 10, x = 5, y = 4, m = 2/3, n = 1/5.
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EJERCICIO 20
20
R e s t a
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R e s t a
Resta de monomios
P r o c e d i m i e n t o
1. Se identifican tanto el minuendo como el sustraendo2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo consigno cambiado3. Se reduce la expresión resultante
Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendoes la cantidad que se resta de otra.
Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por los mismos exponentes.
De:
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R estar:
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EJERCICIO 21
21
R e s t a
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Resta de polinomios
P r o c e d i m i e n t o
1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo consigno cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior elsustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la mismacolumna que su semejante.3. Se reduce la expresión resultante
Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendoes la cantidad que se resta de otra.
Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas
por el mismos exponente.
De:
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EJERCICIO 22
22
R e s t a
Resta de polinomios
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P r o c e d i m i e n t o
1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo consigno cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior elsustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la mismacolumna que su semejante.3. Se reduce la expresión resultante
Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendoes la cantidad que se resta de otra.
Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente.
R estar:
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EJERCICIO 23
23
R e s t a
Resta de polinomios
P r o c e d i m i e n t o
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P r o c e d i m i e n t o
1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo consigno cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior elsustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la mismacolumna que su semejante.3. Se reduce la expresión resultante
Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendoes la cantidad que se resta de otra.
Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente.
De:
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EJERCICIO 24
24
R e s t a
Resta de polinomios con coeficientes fraccionarios
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P r o c e d i m i e n t o
1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo consigno cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior elsustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la mismacolumna que su semejante.3. Se reduce la expresión resultante
Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendoes la cantidad que se resta de otra.
Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente. Nota3: los fraccionarios se van a sumar hallando previamente el mínimo comúndenominador (m.c.d.)
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EJERCICIO 25
25
R e s t a
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R e s t a
Resta de polinomios con coeficientes fraccionarios
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1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo consigno cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior elsustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la mismacolumna que su semejante.3. Se reduce la expresión resultante
Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo
es la cantidad que se resta de otra. Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente. Nota3: los fraccionarios se van a sumar hallando previamente el mínimo comúndenominador (m.c.d.)
R estar:
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EJERCICIO 26
26
R e s t a
Resta de polinomios alor n mérico
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Resta de polinomios y valor numérico
P r o c e d i m i e n t o
1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo consigno cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior elsustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la mismacolumna que su semejante.3. Se reduce la expresión resultante4. En el resultado cada letra se sustituye por su respectivo valor numérico5. Se simplifica aritméticamente el resultado
Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendoes la cantidad que se resta de otra.
Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente. Nota3: los fraccionarios se van a sumar hallando previamente el mínimo comúndenominador (m.c.d.)
Efectuar las restas siguientes y hallar el valor numérico del resultado para a = 1, b = 2, c = 3, x = 4, y = 5, m = 3/2, n = 2/5:
De:
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EJERCICIO 27
27
Suma y resta combinadas de polinomios con coeficientes enteros
Procedimiento
1. Se ordenan los polinomios
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p
2. Se identifican los polinomios tanto del minuendo como del sustraendo3. Se efectúa la suma de los polinomios que hacen parte del minuendo o delsustraendo, según el caso4. Se escribe el sustraendo, cada término con signo cambiado, debajo delminuendo y, los términos semejantes compartiendo columna5. Se efectúa la suma indicada
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EJERCICIO 28
28
Suma y resta combinadas de polinomios con coeficientes enteros
Procedimiento
1. Se ordenan los polinomios2. Se identifican los polinomios tanto del minuendo como del sustraendo3 Se efectúa la suma de los polinomios que hacen parte del minuendo o del
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3. Se efectúa la suma de los polinomios que hacen parte del minuendo o delsustraendo, según el caso4. Se escribe el sustraendo, cada término con signo cambiado, debajo delminuendo y, los términos semejantes compartiendo columna5. Se efectúa la suma indicada
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ResueltosEJERCICIO 29
29
Suma y resta combinadas de polinomios con coeficientes fraccionarios
Procedimiento
1. Se ordenan los polinomios2. Se identifican los polinomios tanto del minuendo como del sustraendo
3. Se efectúa la suma de los polinomios que hacen parte del minuendo y los delsustraendo4. Se escribe el sustraendo, cada término con signo cambiado, a la derecha delminuendo
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5. Se efectúa la suma indicada
Nota: las sumas las realizamos por el método de agrupar los términos semejantes. Las fracciones las sumamos hallando el m.c.d.
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EJERCICIO 30
30
Suma y resta combinadas
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EJERCICIO 31
31
Signos de agrupación
Supresión de signos de agrupación
Procedimiento
Para suprimir signos de agrupación se procede de la siguiente manera:
1. Cuando se suprime un signo de agrupación precedido del signo +, los términosque estaban agrupados por él no cambian de signo2. Cuando se suprime un signo de agrupación precedido del signo -, los términosque estaban agrupados por él cambian de signo
3. Cada vez que se suprime un signo de agrupación, se procede a reducir lostérminos semejantes
Simplificar, suprimiendo los signos de agrupación y reduciendo términos semejantes:[email protected]
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EJERCICIO 32
32
Signos de agrupación
Supresión de signos de agrupación
P r o c e d i m i e n t o
1. El secreto radica en ir suprimiendo, sucesivamente, los signos de agrupaciónmás interiores2. Cuando el signo de agrupación está precedido del signo +, no se cambian lossignos de los términos una vez "destruidos los paréntes"3 Cuando el signo de agrupación está precedido del signo menos se cambian los
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3. Cuando el signo de agrupación está precedido del signo menos, se cambian lossignos de los términos una vez "destruidos los paréntes"4. Se reducen los términos semejantes
Simplificar, suprimiendo los signos de agrupación y reduciendo términos semejantes:
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EJERCICIO 33
33
Signos de agrupación
Introducción de signos de agrupación
Procedimiento
Para introducir cantidades en signos de agrupación se procede de lasiguiente manera:
1. Cuando se introducen cantidades dentro de un signo de agrupación precedidodel signo +, dichas cantidades permanecen con el signo original2. Cuando se introducen cantidades dentro de un signo de agrupación precedido
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g g p pdel signo -, el signo de cada una de estas cantidades cambia
Introducir los tres últimos términos de las expresiones siguientes dentro de un paréntesis precedido del signo +:
Introducir los tres últimos términos de las expresiones siguientes dentro de un paréntesis precedido del signo -:
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EJERCICIO 34
34
Signos de agrupación
Introducción de signos de agrupación
Procedimiento
Para introducir cantidades en signos de agrupación se procede de lasiguiente manera:
1. Cuando se introducen cantidades dentro de un signo de agrupación precedidodel signo +, dichas cantidades permanecen con el signo original
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2. Cuando se introducen cantidades dentro de un signo de agrupación precedidodel signo -, el signo de cada una de estas cantidades cambia
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EJERCICIO 35
35
Multiplicación
Multiplicación de monomios
P r o c e d i m i e n t o
1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos")2. Se multiplican los coeficientes numéricos3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, seescribe la base común y se eleva a un exponente igual a la suma de los exponentesde los factores"
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EJERCICIO 36
36
Multiplicación
Multiplicación de monomios
P r o c e d i m i e n t o
1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos")2. Se multiplican los coeficientes numéricos3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, seescribe la base común y se eleva a un exponente igual a la suma de los exponentesde los factores"
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de los factores
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EJERCICIO 37
37
Multiplicación
Multiplicación de monomios
P r o c e d i m i e n t o
1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos")2. Se multiplican los coeficientes numéricos, en este caso, fraccionarios: "Paramultiplicar dos fraccionarios, se multiplican los numeradores entre si para hallar elnumerador del producto; y, los denominadores entre sí para hallar el denominador del producto"3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, se
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p p p p p ,escribe la base común y se eleva a un exponente igual a la suma de los exponentesde los factores"
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EJERCICIO 38
38
Multiplicación
Multiplicación de monomios
Producto continuado de monomios
P r o c e d i m i e n t o1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos"). Si elnúmero de signos menos es impar el producto es negativo; en cambio, si elnúmero de signos menos es par el producto es positivo2. Se multiplican los coeficientes numéricos entre sí. En el caso de fraccionariosse efectúa así: "Para multiplicar dos fraccionarios, se multiplican los numeradores
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se e ec ú s : u p c dos cc o os, se u p c os u e do esentre si para hallar el numerador del producto; y, los denominadores entre sí parahallar el denominador del producto"3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, seescribe la base común y se eleva a un exponente igual a la suma de los exponentesde los factores"
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EJERCICIO 39
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Multiplicación de polinomios por monomios
P r o c e d i m i e n t o
1. Se multiplica el monomio por cada uno de los terminos del polinomio, en elsiguiente orden:a. se multiplican los signos, teniendo presente la "Ley de los signos"b. se multiplican los numeros entre si.c. se multiplica la parte literal. Cada letra particular representa una base; y, "el producto de varias potencias con igual base se obtiene escribiendo la base comúny, sumando los exponentes respectivos ...
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y, sumando los exponentes respectivos ...2. Se ordena el polinomio resultante
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EJERCICIO 40
40
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Multiplicación de polinomios por monomios
P r o c e d i m i e n t o
1. Se multiplica el monomio por cada uno de los terminos del polinomio, en elsiguiente orden:
a. se multiplican los signos, teniendo presente la "Ley de los signos"b. se multiplican los numeros entre si. Recuerdese que el producto de dosfracciones se obtiene del siguiente modo: numerador, producto de losnumeradores; denominador, producto de los denominadoresc. se multiplica la parte literal. Cada letra particular representa una base; y, "el producto de varias potencias con igual base se obtiene escribiendo la base comuny, sumando los exponentes respectivos ...
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2. Se ordena el polinomio resultante
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EJERCICIO 41
41
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M u l t i p l i c a c i ó n
Multiplicación de polinomios por polinonomios
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P r o c e d i m i e n t o
1. Se ordenan los polinomios2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando enla fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontaldebajo de estas dos filas3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos delmultiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes)4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la líneahorizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los delmutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino delmultiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ...5. Los términos semejantes se escriben en la misma columna6. Se reducen los términos semejantes
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Ley de los signos+ por + da +
+ por - da -- por + da -- por - da +
Propiedad en el producto de potenciasPara hallar el producto de dos o más
potencias con la misma base, basta conescribir la base común y sumar losexponentes respectivos.
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EJERCICIO 42
42
M u l t i p l i c a c i ó n
Multiplicación de polinomios por polinomios
P r o c e d i m i e n t o
1. Se ordenan los polinomios2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en
la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontaldebajo de estas dos filas3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos delmultiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes)4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la líneahorizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los delmutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino del
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p ; g , p gmultiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ...5. Los términos semejantes se escriben en la misma columna
6. Se reducen los términos semejantes
Ley de los signos+ por + da ++ por - da -- por + da -- por - da +
Propiedad en el producto de potenciasPara hallar el producto de dos o más potencias con la misma base, basta conescribir la base común y sumar losexponentes respectivos.
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EJERCICIO 43
43
M u l t i p l i c a c i ó n
Multiplicación de polinomios por polinomios
P r o c e d i m i e n t o
1. Se ordenan los polinomios2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en
la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontaldebajo de estas dos filas3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos delmultiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes)4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la lineahorizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los delmutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino delmultiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer
i d l l i li d d l d l i li d
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termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ...5. Los términos smejantes se escriben en la misma columna6. Se reducen los términos semejantes
Ley de los signos+ por + da ++ por - da -- por + da -- por - da +
Propiedad en el producto de potenciasPara hallar el producto de dos o más potencias con la misma base, basta conescribir la base común y sumar losexponentes respectivos.
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EJERCICIO 4444
M u l t i p l i c a c i ó n
Multiplicación de polinomios con coeficientes separados
P r o c e d i m i e n t o
1. Se ordenan los polinomios2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la filasuperior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de estas dosfilas
3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del multiplicando(teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes)4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la linea horizontal y enel orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la segunda fila, el productodel segundo termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ...5. Los términos smejantes se escriben en la misma columna6. Se reducen los términos semejantesN t 1 d l d t d d f i i f ió d
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Nota1: recuerda que el producto de dos fraccionarios es una fracción cuyo numerador esigual al producto de los numeradores y cuyo denominador es igual al producto de los
denominadores Nota2: para sumar los denominadores vamos a utilizar el método de hallar el mínimo comúnmúltiplo de los denominadores (m.c.d.)
Ley de los signos+ por + da ++ por - da -- por + da -
- por - da +
Propiedad en el producto de potenciasPara hallar el producto de dos o más potencias con la misma base, basta conescribir la base común y sumar los
exponentes respectivos.
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EJERCICIO 45
45
M u l t i p l i c a c i ó nMultiplicación por coeficientes separados
P r o c e d i m i e n t o
1. Se ordenan los polinomios2. Se escriben solo los coeficientes, escribiendo 0 en el lugar donde falte untérmino3. La parte literal del primer término del producto será igual al producto de lasletras de los primeros términos, el del multiplicando y el del multiplicador
Multiplicar por coeficientes separados:
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EJERCICIO 46
46M u l t i p l i c a c i ó n
Producto continuado de polinomios
P r o c e d i m i e n t o
1. Se multiplica el primer factor por el segundo; luego, el producto obtenido semultiplica por el tercer factor y así sucesivamente hasta que no quede ningúnfactor 2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en
la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontaldebajo de estas dos filas3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos delmultiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes)4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la lineahorizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los delmutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino delmultiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ...
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5. Los términos smejantes se escriben en la misma columna
6. Se reducen los términos semejantes Nota1: cuando uno de los factores es un monomio, multiplicamos primeramente dicho monomio por uno de los paréntesis
Nota2: para multiplicar un monomio por un paréntesis, se multiplica el monomio por cada uno de los términos dentro del paréntesis, y teniendo en cuenta la "leyde los signos"
Ley de los signos+ por + da +
+ por - da -- por + da -- por - da +
Propiedad en el producto de potenciasPara hallar el producto de dos o más
potencias con la misma base, basta conescribir la base común y sumar losexponentes respectivos.
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EJERCICIO 47
47
M u l t i p l i c a c i ó n
Multiplicación combinada con suma y resta
P r o c e d i m i e n t o
1. Se efectúan los productos indicados: multiplicando cada término delmultiplicador por cada uno de los terminos del multiplicando (teniendo en cuentala ley de los signos)
2. Se reducen los términos semejantesNota1: Deducción de la fórmula general para el "cuadrado de un binomio":
Nota2: Deducción de la fórmula general para el "producto de la suma por ladiferencia de dos cantidades":
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Ley de los signos+ por + da ++ por - da -- por + da -- por - da +
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EJERCICIO 48
48
Supresión de signos de agrupación con productos indicados
P r o c e d i m i e n t o
1. Se suprimen los signos de agrupación más internos
2. Se reduce3. Se suprimen los signos de agrupación que quedaron como más internos, sereduce; y así sucecivamente hasta suprimir todos los signos de agrupación
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EJERCICIO 49
49
D i v i s i ó n
División de monomios
P r o c e d i m i e n t o
1. Se aplica la ley de los signos
2. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor 3. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendoen cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base seescribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente deldividendo y el exponente del divisor"4. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal en orden alfabético
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EJERCICIO 50
50
D i v i s i ó n
División de monomios
P r o c e d i m i e n t o
1. Se aplica la ley de los signos2. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor
3. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendoen cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base seescribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente deldividendo y el exponente del divisor"4. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal en orden alfabético
Ley de los signos
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EJERCICIO 51
51D i v i s i ó n
División de monomios
P r o c e d i m i e n t o
1. Se aplica la ley de los signos2. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. En estecaso los coeficientes son fraccionarios: "el cociente de dos fraccionarios es unafracción cuyo numerador es el resultado de multiplicar el numerador deldividendo por el denominador del divisor y cuyo denominador es el producto
entre el denominador del dividendo y el numerador del divisor". Si, para indicar ladivisión, se escribe una fracción sobre otra fracción, se dice, entonces, que "elcociente es una fracción cuyo numerador es el producto de los extremos y cuyodenominador es el producto de los medios":
3. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendoen cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base seescribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del
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dividendo y el exponente del divisor"4. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal en orden alfabético
Ley de los signos
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EJERCICIO 52
52
D i v i s i ó nDivisión de polinomios por monomios
P r o c e d i m i e n t o
1. Se hace una separación de cocientes, cada uno con su propio signo.
2. Cada término del dividendo se divide por el divisor, y procediendo de lasiguiente manera:3. Se aplica la ley de los signos4. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor.5. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendoen cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base seescribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente deldividendo y el exponente del divisor"
6. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y,
por último la parte literal en orden alfabético
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por último, la parte literal en orden alfabético
Ley de los signos
D i v i d i r :
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EJERCICIO 53
53D i v i s i ó nDivisión de polinomios por monomios
P r o c e d i m i e n t o
1. Se hace una separación de cocientes, cada uno con su propio signo.2. Cada término del dividendo se divide por el divisor, y procediendo de la siguiente manera:3. Se aplica la ley de los signos4. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. En este caso los coeficientes sonfraccionarios: "el cociente de dos fraccionarios es una fracción cuyo numerador es el resultado de multiplicar el
numerador del dividendo por el denominador del divisor y cuyo denominador es el producto entre el denominador del dividendo y el numerador del divisor". Si, para indicar la división, se escribe una fracción sobre otra fracción,se dice, entonces, que "el cociente es una fracción cuyo numerador es el producto de los extremos y cuyodenominador es el producto de los medios":
5. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de losexponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia
entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor"
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e t e e e po e te de d v de do y e e po e te de d v so
6. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal enorden alfabético
Ley de los signos
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EJERCICIO 54
54
D i v i s i ó n
División de dos polinomios
P r o c e d i m i e n t o
1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor,éste será el primer término del cociente3. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos deldivisor y el producto obtenido se resta del dividendo, para lo cual se cambia elsigno, y escribiendo cada término debajo de su semejante4. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, ésteserá el segundo término del cociente5. El segundo término del cociente se multiplica por cada uno de los términos deldivisor y el producto se resta del resto que quedó en el dividendo, cambiando lossignos y escribiendo cada término debajo de su semejante6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y seefectúan las operaciones anteriores ...
7. Se continúa así sucesivamente hasta que el residuo sea cero.
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EJERCICIO 55
55
D i v i s i ó n
División de dos polinomios
P r o c e d i m i e n t o
1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor,
éste será el primer término del cociente3. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos deldivisor y el producto obtenido se resta del dividendo, para lo cual se cambia elsigno, y escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los)siguiente término del dividendo que no entró en la resta4. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, ésteserá el segundo término del cociente5. El segundo término del cociente se multiplica por cada uno de los términos deldivisor y el producto se resta del resto que quedó en el dividendo, cambiando lossignos y escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los)siguiente término del dividendo que no entró en la resta
6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y seefectúan las operaciones anteriores ...
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efectúan las operaciones anteriores ...7. Se continúa así sucesivamente hasta que el residuo sea cero.Nota1: cuando nos preparamos para efectuar la división, una vez ordenados los polinomios, debemos dejar un espacio (en el dividendo) por cada término que noaparece
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EJERCICIO 56
56
D i v i s i ó n
División de dos polinomios
P r o c e d i m i e n t o
1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor,éste será el primer término del cociente
3. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos deldivisor y el producto obtenido se resta del dividendo, para lo cual se cambia elsigno, y escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los)siguiente término del dividendo que no entró en la resta4. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, ésteserá el segundo término del cociente5. El segundo término del cociente se multiplica por cada uno de los términos deldivisor y el producto se resta del resto que quedó en el dividendo, cambiando lossignos y escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los)siguiente término del dividendo que no entró en la resta6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se
efectúan las operaciones anteriores ...7. Se continúa así sucesivamente hasta que el residuo sea cero.
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Nota1: cuando nos preparamos para efectuar la división, una vez ordenados los polinomios, debemos dejar un espacio (en el dividendo) por cada término que noaparece
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EJERCICIO 57
57
División de polinomios con coeficientes fraccionarios
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EJERCICIO 58
58
D i v i s i ó n
División de polinomios por el método de coeficientes separados
P r o c e d i m i e n t o
1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra2. Se escriben solamente los coeficientes con sus respectivos signos, escribiendo
0 donde falte algún término3. Se efectúa la división con los coeficientes4. El exponente del primer término del cociente se calcula restando el exponentedel primer término del divisor del exponente del primer término del dividendo.Los exponentes de los demás términos irán disminuyendo de 1 en 1. Dondeaparece 0 en el cociente no se escribe el término correspondiente
Dividir por coeficientes separados:
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EJERCICIO 59
59Cociente mixto
Hallar el cociente mixto de:
EJERCICIO 60
60
Valor numérico de expresiones algebraicas con exponentes enteros para valores positivos y negativos
Procedimiento
1. Se sustituye cada letra por su respectivo valor numérico
2. Se efectúan las operciones indicadas3. Se simplifica
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Nota1: Toda potencia par de una cantidad negativa es positiva Nota2: Toda potencia impar de una cantidad negativa es negativa
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EJERCICIO 6161
M i s c e l á n e aSuma, resta, multiplicación y división
1. A las 7 a.m. el termómetro marca +5° y de las 7 a.m. a las 10 a.m. baja a razón de 3° por hora. Expresar la temperatura a las 8 a.m., 9 a.m. y 10 a.m.Solución:
5 - 3 = 2: a las 8 a.m. la temperatura es de +2°2 - 3 = -1: a las 9 a.m. la temperatura es de -1°
-1 - 3 = -4: a las 10 a.m. la temperatura es de -4°.
2. Tomando como escala 1 cm: 10 m, representar gráficamente que un punto B está situado a + 40 m de A y otro punto C está situado a -35 m de B.Solución:Tomamos el sentido positivo el hecho de que un punto esté a la derecha de otro punto y como negativo que esté a la izquierda:
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EJERCICIO 62
62
P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s
Productos notables
Cuadrado de la suma de dos cantidades
P r o c e d i m i e n t o
1. Se identifica tanto el primero como el segundo término del binomio2. "El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual a, el cuadrado de la primeracantidad, más el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más elcuadrado de la segunda cantidad"3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y semultiplica el exponente de cada letra por 2
Escribir por simple inspección, el resultado de:
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EJERCICIO 63
63P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s
Productos notables
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
P r o c e d i m i e n t o
1. Se identifica tanto el primero como el segundo término del binomio2. "El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual a, el cuadrado de la primera cantidad, menos el doble producto de la primera cantidad por la segunda,
más el cuadrado de la segunda cantidad"3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y semultiplica el exponente de cada letra por 2
Escribir por simple inspección, el resultado de:
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EJERCICIO 64
64
P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s
Productos notables
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades
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Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades
P r o c e d i m i e n t o
1. "El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual alcuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo"2. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y semultiplica el exponente de cada letra por 2.
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EJERCICIO 65
65
P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s
Productos notables
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades
P r o c e d i m i e n t o
1. Se agrupa convenientemente (si es necesario, se factoriza por -1)
2. "El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual alcuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo"3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y semultiplica el exponente de cada letra por 2.
Escribir por simple inspección, el resultado de:
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EJERCICIO 66
66
P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s
Productos notables
Cubo de un binomio
P r o c e d i m i e n t o
1. Se desarrolla el paréntesis, observando si se trata del cubo, de la suma o ladiferencia de dos cantidades; en el primer caso se procede como indica el paso2,
en el segundo caso se aplica el enunciado del paso3:2. "El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidadmás el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda"3. "El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primeracantidad menos el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplode la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda"4. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y semultiplica el exponente de cada letra por 2.
Escribir por simple inspección, el resultado de:
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EJERCICIO 67
67P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s
Productos notables
Producto de dos binomios de la forma ( x + a)( x + b)
P r o c e d i m i e n t o
1. El desarrollo de los paréntesis da un trinomio2. El primer término será el cuadrado del primer término de los paréntesis (igualen ambos)
3. El segundo término será el producto de la suma de los términos independientes por el primer término común de los paréntesis4. El tercer término será el producto de los términos inde pendientes
Escribir por simple inspección, el resultado de:
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EJERCICIO 68
68
P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s
Productos notables
M i s c e l á n e a
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EJERCICIO 69
69
P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s
Cocientes notables
Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades
P r o c e d i m i e n t o
1. Factorizamos la diferencia de cuadrados en el numerador 2. Simplificamos.
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Hallar, por simple inspección, el cociente de:
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EJERCICIO 70
70
P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s
Cocientes notables
Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades
P r o c e d i m i e n t o
1. Factorizamos la diferencia o la suma, según el caso, de cubos en el numerador
2. Simplificamos.
Hallar, por simple inspección, el cociente de:
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EJERCICIO 71
71P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e sCocientes notables
Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades
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P r o c e d i m i e n t o
Criterios de divisibilidadCriterio 1 : La diferencia de dos cantidades con potencias iguales, pares o impares, es divisible por la diferencia de las cantidades. Y, la formageneral de su solución está dada por :
Criterio 2 : La diferencia de dos cantidades con igual potencia par, es divisible por la suma de las cantidades. Y, la forma general de su soluciónestá dada por:
Criterio 3 : La suma de dos cantidades con igual potencia impar, es divisible por la suma de las cantidades. Y, la forma general de su solución estádada por :
Criterio 4 :A) La suma de dos cantidades con igual potencia par,no es divisible ni por la suma ni por la diferencia de las cantidades. Esto es, cocientes de laforma :
B) La diferencia de dos cantidades con igual potencia impar,no es divisible por la suma de las cantidades. Es decir, cocientes de la forma :
N t S di d i d t i d di i ibl d di i ió t t d l di idi ( l di id d ) l
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Nota : Se dice que dos expresiones determinadas son divisibles, cuando su división es exacta, esto es, cuando al dividir a una (el dividendo) por laotra (el divisor), el residuo es cero.
Hallar, por simple inspección, el cociente de:
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EJERCICIO 72
72P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s
Cocientes notables
Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades (los exponentes del divisorson diferentes de 1)
P r o c e d i m i e n t o
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Criterios de divisibilidad
Criterio 1 : La diferencia de dos cantidades con potenciasiguales, pares o impares, es divisible por la diferencia de lascantidades. Y, la forma general de su solución está dada por :
Criterio 2 : La diferencia de dos cantidades con igual potencia par, es divisible por la suma de las cantidades. Y, la formageneral de su solución está dada por:
Criterio 3 : La suma de dos cantidades con igual potenciaimpar, es divisible por la suma de las cantidades. Y, la formageneral de su solución está dada por :
Criterio 4 :A) La suma de dos cantidades con igual potencia par,no esdivisible ni por la suma ni por la diferencia de las cantidades.Esto es, cocientes de la forma :
B) La diferencia de dos cantidades con igual potencia impar,noes divisible por la suma de las cantidades. Es decir, cocientes dela forma :
Cuando los exponentes del divisor son diferentes de 1, esto es, si son 2, 3, 4, 5, etc.,sucede que el exponente de a disminuye, sucesivamente, en cada término 2, 3, 4, 5, etc.; la b
aparece en el segundo término del cociente elevada a un exponente igual al que tiene en eldivisor, y aumentará este exponente en 2, 3, 4, 5, etc. en los siguientes términos.Las soluciones de estos cocientes tendrán las tres formas siguientes (dependiendo del
criterio de divisibilidad que se aplique) :
Nota : El número de términos en el cociente es igual al resultado de dividir m entre
n.
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Nota : Se dice que dos expresiones determinadas son divisibles,cuando su división es exacta, esto es, cuando al dividir a una (eldividendo) por la otra (el divisor), el residuo es cero.
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Hallar, por simple inspección, el cociente de:
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EJERCICIO 73
73
P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s
Cocientes notables
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M i s c e l á n e a
Escribir el cociente sin efectuar la división:
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EJERCICIO 74
74Teorema del residuo
P r o c e d i m i e n t o
1. Se aplica el Teorema del Residuo: "El residuo de dividir un polinomio entero yracional en x por un binomio de la forma bx - a se obtiene sustituyendo, en el polinomio dado, la x por a/b". Nota1: un polinomio entero y racional es de la forma:
Nota2: Si en el divisor , el coeficiente de x es 1 , esto es , si b = 1 , el residuo seobtiene , simplemente , sustituyendo , en el polinomio , la x por a .
Hallar, sin efectuar la división, el residuo de dividir:
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EJERCICIO 75
75
División sintética
P r o c e d i m i e n t o
Para hallar el cociente y el residuo de la división de un polinomio entero en x por un binomio de laforma x - a, se procede de la siguiente manera:
1. Se ubican en una misma fila los coeficientes de los términos del dividendo (si el polinomio carece dealguna de las potencias se escribe allí 0) y, separada por una línea vertical, laa.2. HALLAR EL COCIENTE :Grado del cociente : El cociente será de un grado menor que el dividendo.Coeficiente del primer término: El primer término del cociente tendrá el mismo coeficiente que el primer término del dividendo.Demás coeficientes : Los coeficientes de los otros términos del cociente se obtienen multiplicando elcoeficiente del término anterior (previamente hallado) por laa y, seguidamente, sumando este producto conel coeficiente que sigue en el dividendo.2. OBTENCIÓN DEL RESIDUO :El residuo se obtiene multiplicando el coeficiente del último término del cociente (previamentehallado) por a y, sumando este producto con el término independiente del dividendo.
NOTA: Si el binomio (el divisor) es de la forma bx - a, en vez de la a se pone a/b y , consecuentemente, se
multiplican los coeficientes por a/b . Además, cada número debe dividirse por b antes de pasar a ser uncoeficiente de un término del cociente .
Explicación: Para aplicar apropiadamente el método de la división sintética, en los casos en los que el divisor es de la forma bx - a, debemos hacer que el divisor tome la forma x - a; y, para ello hay que dividir al divisor por b, con lo que el dividendo queda multiplicado por b. Para deshacer esta operación es por loque se divide cada número, que está destinado a convertirse en coeficiente de un término del cociente, por b.
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Hallar, por división sintética, el cociente y el resto de las divisiones siguientes:
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EJERCICIO 76
76
Corolario del Teorema del residuo
P r o c e d i m i e n t o
Corolario del Teorema del Residuo: Un polinomio entero en x, P(x), que seanula para x = a/b, o sea que al sustituir la x por a/b en el polinomio el resultadoes cero, esto es P(a/b) = 0, es divisible por bx - a.
Nota1: Se dice que una cantidad es divisible por otra cantidad si al dividir a la primera por la segunda el residuo es cero. El teorema del residuo establece que para hallar el resto de la división de un polinomio entero en x por un binomio de laforma bx - a, sin efectuar la división, basta con sustituir la x por a/b. Conjugandolos dos conceptos anteriores se deduce la veracidad delCorolario.
Nota2: Si el divisor tiene la forma x - a, entonces para aplicar el Corolario sehalla P (a) y, si P (a) = 0, se concluye que P ( x) es divisible por x - a.
Hallar, sin efectuar la división, si son exactas o no las divisiones siguientes:
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Sin efectuar la división, probar que:
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Sin efectuar la división, hallar si las divisiones siguientes son o no exactas, y determinar el cociente en cada caso y el residuo, si lo hay:
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EJERCICIO 77
77Teorema del residuo
P r o c e d i m i e n t o
Corolario del Teorema del Residuo: Un polinomio entero en x, P(x), que seanula para x = a/b, o sea que al sustituir la x por a/b en el polinomio el resultadoes cero, esto es P(a/b) = 0, es divisible por bx - a.
Nota1: Se dice que una cantidad es divisible por otra cantidad si al dividir a la primera por la segunda el residuo es cero. El teorema del residuo establece que para hallar el resto de la división de un polinomio entero en x por un binomio de laforma bx - a, sin efectuar la división, basta con sustituir la x por a/b. Conjugandolos dos conceptos anteriores se deduce la veracidad delCorolario.
Nota2: Si el divisor tiene la forma x - a, entonces para aplicar el Corolario sehalla P (a) y, si P (a) = 0, se concluye que P ( x) es divisible por x - a.
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Diga, por simple inspección, si son exactas las divisiones siguientes y en caso negativo, diga cuál es el residuo:
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EJERCICIO 78
78
E c u a c i o n e s e n t e r a s d e p r i m e r g r a d oResolución de ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita
P r o c e d i m i e n t o
1. Se reducen términos semejantes2. Se hace la transposición de términos, los que conengan la incógnita se ubican
en el miembro izquierdo, y los que carezcan de letras en el derecho3. Se reducen téminos semejantes4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por elcoeficiente de la incógnita, y se simplifica.
R esolver las ecuaciones:
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EJERCICIO 79
79
E c u a c i o n e s e n t e r a s d e p r i m e r g r a d oResolución de ecuaciones de primer grado con signos de agrupación
P r o c e d i m i e n t o
1. Se suprimen ("destruyen") los signos de agrupación, comenzando por los másinternos2. Se reducen términos semejantes3. Se hace la transposición de términos, los que conengan la incógnita se ubicanen el miembro izquierdo, y los que carezcan de letras en el derecho4. Se reducen téminos semejantes5. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por elcoeficiente de la incógnita, y se simplifica.
R esolver las siguientes ecuaciones:
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EJERCICIO 80
80
E c u a c i o n e s e n t e r a s d e p r i m e r g r a d oResolución de ecuaciones de primer grado con productos indicados
P r o c e d i m i e n t o
1. Se efectúan los productos indicados2. Se reducen términos semejantes3. Se hace la transposición de términos, los que conengan la incógnita se ubicanen el miembro izquierdo, y los que carezcan de letras en el derecho4. Se reducen téminos semejantes5. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por elcoeficiente de la incógnita, y se simplifica.
R esolver las siguientes ecuaciones:
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EJERCICIO 81
81
E c u a c i o n e s e n t e r a s d e p r i m e r g r a d o
M i s c e l á n e a
R esolver las siguientes ecuaciones:
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EJERCICIO 82
82
Problemas sobre ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita
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EJERCICIO 83
83
Problemas sobre ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita
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EJERCICIO 84
84
Problemas sobre ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita
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EJERCICIO 85
85
Problemas sobre ecuaciones enteras
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EJERCICIO 86
86
Problemas sobre ecuaciones enteras
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EJERCICIO 87
87Problemas sobre ecuaciones enteras
1. Compré doble número de sombreros que de trajes por 702 balboas. Cada sombrero costó 2 y cada traje 50. ¿Cuántos sombreros y cuántos trajescompré?
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EJERCICIO 88
88
M i s ce l á n e a d e p r o b l e m a s s o b r e e c u a c i o n e s e n t e r a s
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EJERCICIO 89
89
Descomposición factorial
Factor común
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P r o c e d i m i e n t o
1. Se identifica el factor común2. Se divide cada término del polinomio por el factor común
3. Se escribe el factor común y a continuación, dentro de un paréntesis, loscocientes hallados en el paso anterior (cada uno con su respectivo signo)
Factorar o descomponer en dos factores:
lili 2@h t il
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EJERCICIO 90
90
Descomposición factorial
Factor común
P r o c e d i m i e n t o
1. Se identifica el factor común2. Se divide cada término del polinomio por el factor común3. Se abren dos paréntesis, en el primero se escribe el factor común y en elsegundo los cocientes hallados en el paso anterior (cada uno con su respectivosigno)
Factorar o descomponer en dos factores:
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EJERCICIO 91
91Descomposición factorial
Factor común por agrupación de términos
P r o c e d i m i e n t o
1. Se agrupan los términos convenientemente, utilizando paréntesis2. Se saca factor común de cada uno de los paréntesis3. Se realiza una segunda factorización (el factor común será, en este caso, el paréntesis
Factorar o descomponer en dos factores:
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EJERCICIO 92
92
Descomposición factorialTrinomio cuadrado perfecto
Definición : Una cantidad es un cuadrado perfecto cuando es el resultado del producto de dos factores iguales.
P r o c e d i m i e n t o
1. Se ordena el trinomio
2. Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos3. Se halla el doble producto de las raíces obtenidas en el paso anterior 4. Si el producto hallado en el paso anterior es igual al segundo téermino deltrinomio y si el primero y tercer términos tienen igual signo, se trata de untrinomio cuadrado perfecto y se factoriza como tal.5. Se escribe dentro de un paréntesis las raíces cuadradas del primer y tercer términos, separadas por el signo del segundo término, y el paréntesis elevado alcuadrado.
Factorar o descomponer en dos factores:
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EJERCICIO 93
93
Descomposición factorial
Diferencia de cuadrados perfectos
P r o c e d i m i e n t o
1. Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo2. Se abren dos paréntesis3. En el primer paréntesis se escribe la suma, y en el segundo la diferencia, de lasraíces halladas en el paso 1.
Factorar o descomponer en dos factores:
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EJERCICIO 94
94
Descomposición factorialDiferencia de cuadrados perfectos (caso especial)
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P r o c e d i m i e n t o
1. Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo2. Se abren dos paréntesis3. En el primer paréntesis se escribe la suma, y en el segundo la diferencia, de las
raíces halladas en el paso 1.4. Se reduce, si es el caso
Descomponer en dos factores y simplificar, si es posible:
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EJERCICIO 95
95
Descomposición [email protected]
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Trinomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados perfectos (combinación de estos dos casos)
P r o c e d i m i e n t o
1. Se identifica el trinomio cuadrado perfecto (o los ...)
2. Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto (como en el Ejercicio 92)3. Se factoriza la diferencia de cuadrados resultante (como en elEjercicio 94).4. Se reduce, si es el caso
Factorar o descomponer en dos factores:
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EJERCICIO 96
96
Descomposición factorial
Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción
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P r o c e d i m i e n t o
1. Se ordena el trinomio2. Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos3. Se halla el doble producto de las raíces halladas en el paso anterior
4. Se compara el resultado obtenido en el paso anterior con el segundo términodel trinomio5. Se suma o resta, según el caso, la cantidad necesaria para crear el segundotérmino del trinomio cuadrado perfecto6. Se resta o se suma la misma cantidad que se sumo o resto en el paso anterior, para que el valor de la expresión no se altere
Factorar o descomponer en dos factores:
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EJERCICIO 97
97
Descomposición factorial
Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracciónFactorar una suma de dos cuadrados
P r o c e d i m i e n t o
1. Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos2. Se halla el doble producto de las raíces halladas en el paso anterior 3. Se suma y se resta el producto hallado en el paso anterior 4. Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto así formado5. Se factoriza la diferencia de cuadrados
Factorar o descomponer en dos factores:
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EJERCICIO 98
98
Descomposición factorial
P r o c e d i m i e n t o
1. Se ordena el trinomio2. Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un binomio3. Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el primer término de cada uno de los paréntesis4. El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo signo deltrinomio
5. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer términos del trinomio; éste será el signo que separe el binomio del segundo parénteis6. Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual alcoeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio7. Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea igual alcoeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio8. El mayor de los números hallados en uno de los pasos anteriores será elsegundo término del primer paréntesis, el menor de los números será el segundo
término del segundo paréntesis9. Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus factores primos para facilitar la busqueda de los números requeridos en los pasos 7 y 8
Factorar o descomponer en dos factores:
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EJERCICIO 99
99Descomposición factorial
Casos especiales
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P r o c e d i m i e n t o
1. Se ordena el trinomio2. Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un binomio3. Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el primer término de cada uno de los paréntesis4. El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo signo deltrinomio5. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer términos del trinomio; éste será el signo que separe el binomio del segundo parénteis6. Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual alcoeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio7. Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea igual alcoeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio8. El mayor de los números hallados en uno de los pasos anteriores será elsegundo término del primer paréntesis, el menor de los números será el segundotérmino del segundo paréntesis9. Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus factores primos para facilitar la busqueda de los números requeridos en los pasos 7 y 8. Nota: para factorizar de esta forma es necesario que la parte literal del segundotérmino sea la raíz cuadrada de su correspondiente parte literal en el primer término.
Factorar o descomponer en dos factores:
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EJERCICIO 100
100
Descomposición factorial
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P r o c e d i m i e n t o
Para factorizar esta clase de trinomios se lleva a la forma
y se factoriza como en el Ejercicio 98:
1. Se multiplica y divide el trinomio por el coeficiente del primer término, esto es por a2. Se escribe el trrinomio de una forma adecuada (de la forma x2 + bx+ c)3. Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un binomio4. Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el primer término de cada uno de los paréntesis5. El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo signo deltrinomio6. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer términos del trinomio; éste será el signo que separe el binomio del segundo parénteis7 Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual alcoeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio8 Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea igual alcoeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio9. El mayor de los números hallados en uno de los pasos anteriores será elsegundo término del primer paréntesis, el menor de los números será el segundotérmino del segundo paréntesis10. Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus factores primos para facilitar la busqueda de los números requeridos en los pasos 7 y 811. Se factorizan los paréntesis que tengan factor común12. Se simplifica
Nota: siempre es posible eliminar el denominador .
Factorar o descomponer en dos factores:
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EJERCICIO 101
101
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Casos especiales
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Para factorizar esta clase de trinomios se lleva a la forma
y se factoriza como en el Ejercicio 99:
1. Se multiplica y divide el trinomio por el coeficiente del primer término, esto es por a2. Se escribe el trrinomio de una forma adecuada (de la forma x2 + bx+ c)3. Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un binomio4. Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el primer términode cada uno de los paréntesis5. El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo signo del trinomio6. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer términosdel trinomio; éste será el signo que separe el binomio del segundo parénteis7 Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente delsegundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio8 Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea igual alcoeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término deltrinomio9. El mayor de los números hallados en uno de los pasos anteriores será el segundo términodel primer paréntesis, el menor de los números será el segundo término del segundo paréntesis10. Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus factores primos para facilitar la busqueda de los números requeridos en los pasos 7 y 811. Se factorizan los paréntesis que tengan factor común12. Se simplifica
Nota1: para factorizar de esta forma es necesario que la parte literal del segundo término sea la raíz cuadrada de su correspondiente parte literal en el primer término. Nota2: siempre es posible eliminar el denominador .
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EJERCICIO 102
102
Descomposición factorial
Factorar una expresión que es el cubo de un binomio
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El desarrollo del cubo de un binomio es:
En esta clase de ejercicios se nos da una expresión como el miembro derecho delas identidades anteriores, es decir un cuadrinomio; y debemos constatar si se tratade un cubo perfecto de binomios (como los miembros izquierdos de las
expresiones anteriores); para lo cual debemos proceder de la siguiente manera:1. Se ordena el cuadrinomio en forma descendente o ascendente respecto a unaletra2. Se extrae la raíz cúbica del primero y cuarto términos del cuadrinomio3. Se observa si todos los signos son positivos o si se alternan positivo-negativo- positivo-negativo4. Se triplica el cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbicadel cuarto término y se compara con el segundo término del cuadrinomio dado5. Se triplica la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbicadel cuarto término y se compara con el tercer término del cuadrinomio dado6. Si las dos comparaciones hechas en los pasos 4 y 5 son positivas, se trata del
desarrollo del cubo de un binomio y se factoriza como tal: dentro de un paréntesisse escriben las raíces cúbicas del primero y cuarto términos del cuadrinomio yseparadas por el signo más o por el signo menos, según el caso; y se eleva al cuboel paréntesis7. Si las dos comparaciones hechas en los pasos 4 y 5 son negativas, no se tratadel desarrollo del cubo de un binomio y no se puede factorizar como tal
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Factorar:
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