ECONOMETRÍA I – Ciclo 2011-I

PRÁCTICA 1 – SOLUCIONARIO

1. Dado el modelo lineal yi= + xi + i

Demostrar que los estimadores de MCO de los parámetros son:

α= y− β x

β=S xy

Sx2

Solución:

Según el modelo lineal yi = + xi + i , el objetivo es encontrar las expresiones para los estimadores de los coeficientes en el modelo, lo cual se puede realizar a través del método de MCO. Este método supone la minimización de la suma de los errores al cuadrado, analíticamente: Min∑ e2=∑ (Y−Y )2=∑ (Y −α−X β )2

El problema anterior de minimización de una ecuación se desarrolla:d∑ e2

d α=−2∑ (Y −α−X β )=−2∑ e=0¿)

d∑ e2

d β=−2∑ (Y −α−X β )(X )=−2∑ e X=0(ii)

De (i) : ∑Y =∑ α+∑ X β ⟹∑ Y=n α+ β∑ X 1era Ec .Normal

De (ii) : ∑YX=∑ α X+∑ X2 β ⟹∑ YX= α∑ X+ β∑ X22daEc .Normal

El sistema de ecuaciones normales presenta dos ecuaciones con dos variables, para encontrar su solución, las expresamos matricialmente. Así:

[ n ∑ X

∑ X ∑ X2][ αβ ]=[ ∑Y

∑ YX ]

α=|∑ Y ∑ X

∑YX ∑ X2|| n ∑ X

∑ X ∑ X2|=∑ Y∑ X−∑YX∑ X

n∑ X2−(∑ X )2

β=| n ∑Y

∑ X ∑YX|| n ∑ X

∑ X ∑ X2|=

n∑ YX−∑ X∑Y

n∑ X2−(∑ X )2

Para el estimador β resolvemos de manera independiente tanto el numerador como el denominador. De tal manera que:

n∑YX−∑ X∑ Y=∑YX−n∑ X

n∑ Y

n=∑YX−n XY =∑ (Y−Y ) ( X−X )=Sxy

n∑ X 2−(∑ X )2=∑ X2−n

∑ X

n∑ X

n=∑ X2−n X 2=∑ ( X−X )2=Sx

2

⟹ β=Sxy

Sx2 =

Cov(X ,Y )Var (X )

Para simplificar podemos definir las siguientes variables:x=( X−X )

y=(Y−Y )

Esta notación se utilizará para representar las desviaciones con respecto a los valores medios de X e Y, y también para estimar el modelo en desviaciones en un capítulo posterior. Esta representación resulta una herramienta interesante para demostrar algunas propiedades del estimador de MCO.Por otro lado, el intercepto de la función de regresión muestral α puede representarse utilizando la primera ecuación normal y dividiendo ésta entre el tamaño muestral (n):

α=Y − β X

Con esto se demuestra una propiedad importante del estimador mínimo cuadrático: si el modelo tiene un intercepto, la línea de regresión pasa por los valores medios de Y y X.

Solucionado por el Grupo 2: ALMEYDA CANDIOTI JORGE GIAN PIERRE ; GARCIA RAMIREZ JHACK; LLAVE PUMA CARLOS ; MORILLO BLAS MANUEL MARTIN ; RIVERA ROJAS JOSE JAIRO .

2. En un estudio de 89 empresas, la variable dependiente es el Costo total (Y) y las variables explicativas son Tasa de producción (X1) y Tasa de absentismo (X2), las medidas de resumen obtenidas para esta muestra son:

y = 5 .8 ; x1= 2.9 ; x2 = 3 .9

∑ ( y i− y )2 = 113.6 ; ∑ ( x1 i−x1 )2 = 50 .5 ; ∑ ( x2 i−x2 )

2 = 967 .1

∑ ( x1i−x1 )( y i− y )= 36 .8 ; ∑ ( x2i−x2)( y i− y )= 39 .1;

∑∑ ( x1i−x1)( x2 i−x2 ) =−66 .2

a) Estime los parámetros para el modelo de regresión lineal del Costo total en función de la Tasa de producción y la Tasa de absentismo. Interprete los coeficientes estimados.

b) Obtenga la estimación de la varianza de las perturbaciones.

Solución:

a) Estimación de parámetros de Y=β0+β1 X1+β2X2+εi

Hallando β:

( X ' X )=[ n ∑ X1 i ∑ X 2i

∑ X1i ∑ X1 i2 ∑ X1 i∑ Y 2 i

∑ X2i ∑ X1 i∑ Y 2i ∑ X 2i2 ]

Obteniendo los datos para la matriz ( X ' X ):

∑ X1 i

n=X1 ∑ X1 i=(89 ) (2.9 )=258.1

∑ X2 i

n=X2 ∑ X2 i=(89 ) (3.9 )=347.1

∑ ( X2 i−X2 )2=967.1 ∑ X2 i2 −2∑ X2 i X2+∑ X2

2=967.1

∑ X2 i2 −2 X2∑ X2 i+n X2

2=967.1

∑ X2 i2 −2 (3.9 ) (347.1 )+ (89 ) (3.9 )2=967.1

∑ X2 i2 =2320.79

∑ ( X1 i−X1 )2=¿50.5 ∑ X1 i2 −2∑ X1 i X1+∑ X1

2=50.5

∑ X1 i2 −2 X1∑ X1 i+n X1

2=50.5

∑ X1 i2 −2 (2.9 ) (258.1 )+89 (2.9 )2=50.5

∑ X1 i2 =798.99

∑∑ (X1 i−X 1) ( X2 i−X2 )=−66.2

∑ ( X1 i−X1 ) (X 2i−X2 )=−66.2

∑ ( X1 i X2i−X1 i X2−X2 i X1+X1 X2 )=−66.2

∑ X1 iX 2i−X2∑ X1 i−X1∑ X2 i+∑ X1 X2=−66.2

∑ X1 iX 2i−3.9 (258.1 )−2.9 (347.5 )+89 (3.9 ) (2.9 )=−66.2

∑ X1 iX 2i=940.39

Entonces obtenemos la matriz (X ' X )

( X ' X )=[ 89 258.1 347.1258.1 798.99 940.39347.1 940.39 2320.99 ]

( X ' X )−1=[ 0.1938 −0.0570 −4.0770−0.0570 0.0198 1.5152−4.0770 1.5150 1.0340 ]

Hallando la matriz X ' Y :

X ' Y=[ ∑Y i

∑ X1 iY i

∑ X2 iY i]

∑ ( X1 i−X1 ) (Y i−Y )=36.8

∑ ( X1 iY i−Y X1i−Y i X1+X1Y )=36.8

∑ X1 iY i−Y ∑ X1i−X1∑ Y i+∑ X1Y=36.8

∑ X1 iY i−5.8 (258.1 )−2.9 (516.2 )+89 (2.9 ) (5.8 )=36.8

∑ X1 iY i=1533.78

∑ X2 iY i=2052.28

∑Y i=(5.8 ) (89 )=516.2

Entonces tenemos que:

X ' Y=[ 516.21533.782052.28]

Sabemos que β=( X ' X )−1 X ' YOperamos para obtener β :

β=[ 0.1938 −0.0570 −4.0770−0.0570 0.0198 1.5152−4.0770 1.5150 1.0340 ] [ 516.21533.78

2052.28 ]β=[2.92280.8587

0.0992]=[ β0β1β2]Tenemos que:

β0→Representael costo total auntónomoel cual asciendea2.9228um.Si las variables tasa de produccion y tasa de absentismo tomaránel valor cero.

β1→la variaciónde latasa de producción enunaunidad aumentaría alvalor esperado del costo totalen0.8587um

β2→la variaciónde la tasade absentismo enunaunidad aumentaría alvalor esperado del costo totalen0.0992um

b) Estimación de la varianza de las perturbaciones:

σ ε2=Se

2=Y 'Y − β ' (X 'Y )

n−k→∑ Y i

2=Y ' Y

Hallando Y ' Y :

∑ (Y i−Y )2=113.6

∑ (Y i2−2Y iY +Y 2)=113.6

∑Y i2−2Y ∑Y i+∑Y 2=113.6

n (Y )2

∑Y i2−2 (5.8 ) (516.2 )+89 (5.8 )2=113.6

∑Y i2−91883.6+2993.96=113.6

∑Y i2=3107.56

Hallando β ' (X ' Y ) :

β ' ( X 'Y )=[2.9228 0.8587 0.0992 ][ 516.21533.782052.78]=[3029.3924 ]

Reemplazando los valores en σ ε2:

σ ε2=3107.56−3029.3924

89−3=0.9089

σ ε2=0.9089←Varianzade las perturbaciones

Solucionado por el Grupo 3: A. Leonardo Alvarez Escalante; Bernith Cahuana Castillo; Patricia Lu Antara

3. Una regresión múltiple de Y sobre X1 y X2 proporcionó los siguientes resultados:

Y = 4 +0,4 X1+0,9 X2 R2 = 2/15 e´e = 520 n = 29

X ´ X= [29 0 00 50 100 10 80 ]

a) Obtenga estimaciones interválicas, con 95% de confianza para los parámetros del modelo y

b) Probar las hipótesis: i) H0: 2 =0, 3 = 0 ii) 2 + 3 =1

Solución:

a) Y=0.4 X1+0.9 X2

X ´ X=[29 0 00 50 100 10 80 ]

L= β i±t1−∝

2

S β i

Hallamos: t 1−∝2 ; (n-k) , entonces t 0.975=2.056

Sabemos: V ( β )=σ2 ( X´ X )−1 ¿e ´ en−k

(X ´ X )−1

¿ 52026 [29 0 0

0 50 100 10 80]

−1

¿20[0.0345 0 00 0.0205 −0.00260 −0.0026 0.0128 ]

V ( β )=[0.6897 0 00 0.4103 −0.05130 −0.0513 0.2564 ]

S β1=0.8305S β2=0.6405S β3=0.5064

Límites

Para β1:L=4±2.056 (0.8305 ) {Li=2.2925Li=5.7075

Para β2:L=0.4±2.056 (0.6405 ) {Li=−0.9169Ls=1.7167

Para β3:L=0.9±2.056 (0.5064){Li=−0.1412Ls=1.9412

Para σ ε2 :

Li=(n−k )Sε

2

X2

1−α2

❑ =26( 520

26)

X20.975

❑ =52041.9

=12.4105

Ls=(n−k )Sε

2

X α2

2 =26 (20)13.8

=37.6812

3.b) Probar la hipótesis

i ¿H 1 : β2=0 , β3=0H 2: β2≠0 , β3≠0

H 0 :Rβ=r ,Rqxk

[0 1 00 0 1 ][ β1β2β3]=[00 ]

F=

{(R β−r ) ´ [R ( X ´ X )−1R ´ ]−1 (R β−r )}q

e´ e(n−k )

es F(2,26)

→ [R(X ´ X )−1 R´ ]−1=[[0 1 00 0 1][0.0345 0 0

0 0.0205 −0.00260 −0.0026 0.0128 ] [0 0

1 00 1] ]

−1

¿ [50.07 −10.1710.17 80.19 ]

→ (R β−r )=[0 1 00 0 1][ 40.40.9 ]−[00]=[0.40.9]

→ (R β−r ) ´= [0.4 0.9 ]

Reemplazando:

F=

[0.4 0.9 ][50.07 −10.1710.17 80.19 ] [0.40.9]

220

=

72.9651220

=36.4825520

F=1.83

R.A

F (2,26 )=5.526

→Se aceptala hipótesis nula 1.83 5.526

ii¿H 0 : β2+β3=1 , H 1: β2+β3≠1

H 0 :Rβ=r

[0 1 1 ] [ β1β2β3]=1

F=

{[ R β−r ] [R(X ´ X )−1 R´ ]−1 [R β−r ] }q

e´ e(n−k )

[R ( X ´ X )−1R´ ]−1=[ [0 1 1 ] [29 0 00 50 100 10 80]

−1

[011]]−1

=35.587

(R β−r )=[0 1 1 ] [ 40.40.9]−1=1.3−1=0.3F=

0.3 (35.587 )(0.3)120

=3.190920

=0.1602

→Se aceptala hipótesis nula R.A

F(1,26)

Solucionado por el Grupo 1: Aguirre Gutierrez John Michael; Jauregui Chipana Ronald Ernesto; Muñoz Iparraguirre Alberd Porta; Olivas Taco Emilia; Prudencio Shuan Jenny.

4. El precio de alquiler (P) en el área metropolitana de una gran ciudad en una muestra de 124 viviendas, se relaciona con la superficie en m2 (Sup), el número de años de alquiler por la misma persona (N) y con la edad del edificio en años (E), mediante la ecuación:

ln P = 5.77 + 0.46 ln Sup – 0.06 N - 0.012 E ; R2 = 0.71; Se2

= 0.48

(0.07) (0.03) (0.002)

Los números entre paréntesis son los errores estándar de estimación de los coeficientes.

a) Interpretar los coeficientes e indicar cuáles son las variables significativas b) Realizar el análisis de significancia del modelo.

c) Obtener una estimación interválica del 95% de confianza para el coeficiente de la edad del edificio. Interprete

Solución

a) ln P = 5.77 + 0.46 ln Sup – 0.06 N - 0.012 E ; R2 = 0.71; Se2

= 0.48

β1= ∂ ln p

∂ ln¿=

∂ pp

∂¿

¿ = Δ% pΔ%¿=0.46¿

¿¿

Cuantifica la sensibilidad del P de alquiler de vivienda ante la variación de la superficie de esta. Mide como el cambio porcentual del P de alquiler de vivienda ante un cambio porcentual de la superficie de la misma. Esto es, si la superficie de la vivienda se incrementará en 1%, se espera que el precio de alquiler aumente en 0.46%. Como 0<B1<1, p es inelástico

β2=∂ ln p∂N

=

∂ pp

∂ N=−0.06

Mide el cambio relativo de P ante un cambio absoluto en N. Nos indica que a través de los años de alquiler el P está disminuyendo. Por cada año adicional de alquiler por la misma persona, el precio se reduce en 6%.

β3=∂ ln p∂E

=

∂ pp

∂ E=−0.012

Mide el cambio relativo de P ante un cambio absoluto en E. Nos indica que a través de los años del edificio el P está disminuyendo. Esto es, por cada año de antigüedad de la vivienda el precio de alquiler se reduce en 1,2%.

Solucionado por el Grupo 6: Asto Poccomo Angel Cesar; Barreto Jimenez Zully; Paucar Camilo Ana Rosa; Quijano Angeles Rosario Noemi; Riva Ocampo Marli.

¿Qué variables son significativas?

β2= t = 0.46/0.07 =6.57β3= t =-0.06/0.03 =-2

β4= t =-0.012/0.002=-6

Todas caen en la zona de rechazo, por lo tanto son significativas

Solucionado por el Grupo 5: Asanza Martirarena, Jennyfer; Asto CArhuas, Liseth; Chiong Vargas, Karen; Matute Santa Cruz, Ana; Napa Macavilca, Katia.

b) Análisis de significación del modelo

Empleamos la siguiente prueba:

F=(n−k ) R2

(k−1 )(1−R2)

Reemplazando valores se tiene:

F=(124−4 )(0.71)(4−1 )(1−0.71)

F=97.93

Esta comparamos con F tabulado: F(K ,n−k )=F(4,120)=2.45

Como 97.93 > 2.45 (estamos en zona de rechazo) no aceptamos H 0 y concluimos que el modelo es significativo.

c) Usamos una estimación interválica con 95% de confianza (α =0.05) :

El valor en la distribución t(1− 0.052 )(124−4 )=1.98

L=β3±t (0.975)(120)Sβ3 L=−0.012±1.98(0.002)

De este modo, los límites son:

Límite inferior (Li) = -0.01596 Límite superior (Ls) = -0.00804

Entonces: I.C. al 95% de confianza para β3: -0.01596 < β3 < -0.00804.

El resultado anterior nos sugiere que existe una probabilidad del 95% que el valor del parámetro β3 se encuentre entre dichos límites. Otra manera de interpretar esta estimación es asegurando

que al menos el 95% de las muestras utilizadas en la regresión del precio de alquiler P contendrán el valor del parámetro en los limites definidos.

Solucionado por el Grupo 4: Alvarez Arteaga, Victoria Aymee; Casas Sandoval, Yessenia; Panaifo Torre, Marilyn Victoria; Pariona Isidro, Moises Pérez Becerra, Silene

5. Los datos de la siguiente tabla recogen la inversión real, el producto nacional bruto real y el tipo de interés medio en términos reales, correspondientes a la economía de un determinado país. Dichos datos corresponden al período 1971 – 1994; las dos primeras variables están expresados en miles de unidades monetarias y el tipo de interés en tanto por ciento. Se desea ajustar una regresión para medir los efectos que el tipo de interés y el PNB han tenido durante dicho periodo en las cifras globales de inversión de la economía.

Solución:Mediante el programa econométrico Eviews llegamos a la siguiente conclusión:

Año PNBt It rt

1971

80.2 10.2 9.2

1972

90.1 12.1 9.1

1973

92.3 14.4 9.0

1974

94.6 15.6 8.7

1975

110.2 18.2 9.0

1976

118.5 19.0 8.7

1977

131.6 21.7 8.3

1978

141.2 31.3 8.5

1979

147.5 34.6 8.7

1980

150.2 34.7 8.9

Año PNBt It rt Año PNBt It rt

1981

152.3 33.5

9.1 1990

323.5 62.1

8.1

1982

160.8 32.6

8.9 1991

345.7 61.1

8.6

1983

182.3 41.5

8.3 1992

350.1 67.8

9.1

1984

199.2 44.8

9.0 1993

352.8 68.9

8.5

1985

221.4 46.7

9.1 1994

360.3 75.0

9.0

1986

235.0 50.7

8.2

1987

248.9 56.8

8.1

1988

267.8 61.4

9.1

1989

301.2 72.5

8.7

Dependent Variable: INVMethod: LeastSquaresDate: 01/01/08 Time: 00:42Sample: 1971 1994Includedobservations: 24

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.  

C 5.228449 29.00686 0.180249 0.8587PNB 0.213205 0.011921 17.88539 0.0000

R -0.828817 3.239046 -0.255883 0.8005

R-squared 0.941937    Mean dependentvar 41.13333Adjusted R-squared 0.936407    S.D. dependentvar 20.97122S.E. of regression 5.288459    Akaikeinfocriterion 6.285400Sum squaredresid 587.3238    Schwarzcriterion 6.432656Log likelihood -72.42479    F-statistic 170.3368Durbin-Watson stat 0.787335    Prob(F-statistic) 0.000000

Obteniendo así la ecuación de regresión de la inversión real:

I = 7.08 + 0.2083PNB – 0.975R

Lo que quiere decir que el Producto Nacional Bruto esta relacionado en forma directa con la Inversión y la Tasa de Interés esta relacionada en forma inversa.

Solucionado por el Grupo7: Avalos Morón Johanna Luz; Aviles Castro Dany Brayan; Churango Zarate Sarita Eva: Infante Villalta Betsy Beatriz; Paredes Pariona Cristian Stewart

6) Se trata de explicar el Gasto de los consumidores de un artículo (Y) por medio del Ingreso disponible (X2) y el Índice de precios del artículo consumido (X3). Se dispone de la siguiente información.

Año 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995

Y 12.3 16.0 15.7 21.2 17.9 18.8 15.4 19.0 20.0 18.4 21.8 24.1 25.6 30.0

X2263.3

275.4 278.3 296.7309.3

315.8 318.8 333.0340.2

350.7 367.3 381.3406.5

430.8

X3 93.1 93.9 92.5 89.2 91.7 96.5 100.0 103.9102.5

102.5 102.1 101.5101.2

99.0

Luego de obtener la estimación del modelo

a) Interprete a cada uno de los coeficientes del modelo y el R2. Realice el análisis de significancia del modelo y de cada una de las variables.

Mediante el programa econométrico Eviews llegamos a la siguiente conclusión:

Dependent Variable: GASTOMethod: LeastSquaresDate: 04/01/11 Time: 10:36Sample: 1982 1995Includedobservations: 14

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.  

C 21.31605 8.626069 2.471120 0.0311YD 0.109054 0.010531 10.35523 0.0000IPC -0.387868 0.107700 -3.601379 0.0042

R-squared 0.919876    Mean dependentvar 19.72857Adjusted R-squared 0.905308    S.D. dependentvar 4.609093S.E. of regression 1.418316    Akaikeinfocriterion 3.724226Sum squaredresid 22.12781    Schwarzcriterion 3.861167Log likelihood -23.06958    Hannan-Quinncriter. 3.711550F-statistic 63.14335    Durbin-Watson stat 2.819875Prob(F-statistic) 0.000001

Obteniendo así la ecuación de regresión del gasto de los consumidores de un artículo:

Y i=21.32+0.11X2 i−0.39 X3 i

Siendo:

Y i: Gasto de los consumidores de un artículo.

X2: Ingreso Disponible.

X3: Índice de precios del artículo consumido.

Interpretación de coeficientes:

β1=21.32 : El gasto autónomo de los consumidores de un artículo que se da de manera

independiente del ingreso disponible y el índice de precios.

β2=0.11: Este coeficiente mide de manera directa la variación del gasto de los

consumidores de un artículo cuando varíe en una unidad adicional el ingreso disponible (YD).

β3=−0.39 : Este coeficiente mide la disminución del gasto de los consumidores de un

artículo ante el incremento del índice de precios (IP).

Interpretación del R2:

R2= 0.9198

El 91.98% de la variabilidad del gasto en el artículo es explicado por el modelo en función del ingreso disponible y al índice de precios de dicho artículo.

Análisis de significancia del modelo y para sus variables:

Análisis de significancia para las variables del modelo:

De los valores obtenidos:

β1=21.32 β2=0.11 β3=−0.39 R2 = 0.92

S β1=8.63

S β2=0.01

S β3=0.11

Planteamos nuestras hipótesis nula y alternativa:

1.H0 : β1=0H1 : β1≠0

2. Estadístico de la prueba:

T=( β i−β i)

S β 1

es t (n−k )

Siendo:n = 14k = 3

3. Hallando el valor critico:α= 0.05TTAB = ± 2.201

4. Análisis para cada variable:

T=( β1−β1)

S β 1

=21.32−08.63

=2.47

T=( β2−β2)

S β 2

=0.11−00.01

=11

T=( β3−β3)

S β 3

=−0.39−00.11

=−3.55

- 2.201 2.201

Resolviendo la significancia para cada variable, observamos que los valores calculados para β1, β2 y β3 se encuentran en la región de rechazo. Por lo tanto, rechazamos la hipótesis nula.

Conclusión:De acuerdo al valor “p” podemos indicar que los parámetros hallados son:

β1( p=0.03) El parámetro es significativo.

β2( p=0.00) El parámetro es muy significativo.

β3( p=0.004) El parámetro es muy significativo.

Análisis de significancia del modelo:

Como:

F=

R2

k−1(1−R2)n−k

R2 = 0.92 n = 14 k =3

Hallando el F calculado:

F=

0.923−1

(1−0.92)14−3

=63.14

Siendo el F tabulado:

F (k , n−k )=F (3,11) 0.95

Ftab= 3.98

α =0.05

F(0.95,3,11)= 3.98

Conclusión:

Como vemos el F calculado no se encuentra en la región de aceptación, por tanto procedemos a rechazar la hipótesis nula y concluimos que el modelo es significativo.

b) Obtenga una estimación al 95% de confianza para el índice de precios del artículo.

Sabemos que los límites del intervalo vienen dado por la siguiente forma:

L= β3±t1−α2

Sβ3

Entonces para β3=−0.39

L=−0.39±(20.201)(0.11)

Li=−0.63211

Ls=−0.14789

Por tanto los límites del coeficiente del Índice de precios a un nivel de confianza del 95% se encuentran en el intervalo [−0.63211 ,−0.14789 ].

c) Realice el análisis de la hipótesis H0: 32 + 3 = 0. Interprete resultado.

Planteamos nuestras hipótesis (nula y alterna):

HO : 3β2 + β3 = 0Ho: Rβ = 0

H1: Rβ ≠ 0

H 0= [0 3 1 ] [β1β2β3]=0Por medio de la formula F hallamos:

R(X¿ X )−1R¿= [0 3 1 ]∗[ 36.98 0.018 −0.430.018 0.000 −0.0004−0.43 −0.0004 0.0058 ]∗[031]

R(X¿ X )−1R¿=0.0039

Entonces el R β−r:

R β−r=[0 3 1 ]∗[ 21.320.11−0.39]−0=−0.06

F=−0.06∗(0.0039 )−1∗−0.06

2.0267=0.4555

Como se ve la hipótesis nula es aceptada ya que el valorDe F calculado se encuentra en la región de aceptación.

Solucionado por el Grupo 8: BALLON GARAY, CLAUDIA; FLORES ASTUVILCA, PRIMY; MONTERO BASTIDAS, PAOLA

F(0.95,1,11)=4.84

α = 0.05