Ejercicios resueltos edo homogéneas

2.4

http://ed21d.webcindario.com/id59.htm[24/04/2014 09:34:54 p.m.]

Yerikson

Texto escrito a máquina

ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS

2.4


2.4


| 1 a 10 | 11 a 30 |

http://ed21d.webcindario.com/id59_m.htm#1_a_10


Tema 5: Ecuaciones diferenciales de primer orden homogéneas

5.1 Primer método de solución En la e.d. homogénea

(1) )y,x(fdxdy

=

donde, de acuerdo con lo visto en (3.3), f(tx, ty) =f(x, y), se sustituye (2) y = xv

y su correspondiente derivada:

(3) dxdvxv

dxdy

+=

Después de simplificar, la ecuación diferencial resultante será de variable separable (v y x), que puede resolverse por los métodos dados en el tema 4. La solución para (1) requerida se obtiene haciendo de nuevo el cambio de variable.

5.2 Método alterno de solución Transformando la e.d. en:

(4) )y,x(fdy

dx 1=

y después sustituyendo (5) yux =

y su correspondiente derivada

(6) dyduyu

dydx

+=

en (4). Después de simplificar la e.d. resultante, será de variable separable (en este caso u,y), que puede resolverse por los métodos vistos en el tema 4. La solución requerida para (4) se obtiene entonces haciendo de nuevo el cambio de variable. Como cualquier método de solución requiere resolver una e.d. separable asociada, la discusión del tema 4 cobra importancia. Generalmente es indistinto el método de solución que se use. En otras ocasiones, una de las sustituciones (2 o 5) es definitivamente mejor que la otra. En estos casos, la mejor sustitución es visible generalmente por la forma de la ecuación diferencial en sí misma.

Problemas resueltos

1. Resolver x

xy'y +=

Solución: Sustituyendo (2) y (3) en la e.d., obtenemos:

x

xxvdxdvxv +

=+

que puede simplificarse algebraicamente en

011 =−= dvdxx

,dxdvx

Esta última ecuación es separable. Su solución es (1) kxlnvCxlnv =∴−= donde se tiene C = – ln |k|, notando que ln |x| + ln |k| = ln |kx|. Finalmente, sustituyendo v = y/x en (1), obtenemos la solución de la ecuación diferencial dada que es y = x ln |kx|.

2. Resolver 3

442xy

xy'y +=

Solución: Sustituyendo (2) en (3) en la e.d. obtenemos

( )( )3

442xvx

xxvdxdvxv +

=+


01

114

3

3

4=

+−

+= dv

vvdx

x,

vv

dxdvx

Esta última ecuación es separable, su solución es

(1) ( ) ( )444 1141 kxvCvlnxln =+∴=+−

donde se tiene C = – ln |k|, y luego se usan las identidades ln |x| + ln |k| = ln |kx|, 4 ln |kx| = ln (kx)4. Finalmente, sustituyendo v = y/x en (1), obtenemos la solución de la ecuación diferencial dada que es (2) ( )4

148

14 kC,xxCy =−=

3. Resolver la ecuación diferencial del problema anterior usando las ecuaciones (4, 5 y 6) Solución: Primero transformamos la e.d. en

44

3

2 xyxy

dydx

+=

Luego, sustituyendo (5) y (6) en esta nueva e.d. se obtiene

( )

( )44

3

2 yuyyyu

dyduyu

+=+


0212 5

4

4

5=

++

+++

−= duuuudy

y,

uuu

dyduy

Esta última ecuación es separable; usando fracciones parciales

( ) 4

3

4

4

5

4

12

122

uu

uuuu

uuu

+−=

++

=++

obtenemos

Culnulnyln =+−+ 41412

que puede escribirse como (1) 484 1 uuky +=donde C = –1/4 ln |k|, reemplazando u = x/y, ver (6) en (1), se tiene de nuevo (2) del problema 2.

4. Resolver 222

yxxy'y−

=

Solución: Sustituyendo (2) y (3) en la e.d. tenemos

( )( )22

2xvxxvx

dxdvxv

−=+


(1) ( )

( ) 0111

11

2

2

2

2=

+−

+−+

−= dvvvvdx

x,

vvv

dxdvx

Usando fracciones parciales, se puede desarrollar (1) en

( ) 01

2112 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++−+ dv

vv

vdx

x

La solución de esta ecuación separable es ln |x| – ln |v| + ln (v2+1) = C, que puede simplificarse en (2) x(v2 + 1) = kv, (C = ln |k|) Sustituyendo v = y/x en (2), encontramos la solución de la e.d. dada que es

x2 + y2 = ky

5. Resolver xy

yx'y22 +

=

Solución: Sustituyendo (2) y (3) en la e.d. tenemos

( )( )xvx

xvxdxdvxv +

=+2


011=+= vdvdx

x,

vdxdvx

La solución de esta ecuación separable es ln |x| – v2/2 = C, que puede simplificarse en (1) v2 =ln x2 + k, (–2C = k) Sustituyendo v = y/x en (1), encontramos la solución de la e.d. dada que es

y2 = x2 ln x2 + kx2

6. Resolver 2122

−=+

= )(y;xy

yx'y

Solución: La solución de la e.d. se da en el problema anterior como y2 = x2 ln x2 + kx2

Aplicando la condición inicial, obtenemos (–2)2 = (1)2 ln (1)2 + k(1)2, o k = 4. Entonces la solución para el problema de valor inicial es y2 = x2 ln x2 + 4x2

de donde 222 4xxlnxy +−= Se toma la raíz cuadrada negativa, de acuerdo con la condición inicial.

7. Resolver ( )

( ) ( )22

2

222 2

2y/xy/x

y/x

exeyy

xye'y++

=

Solución: Notando el término (x/y) en el exponente, usamos la sustitución u = x/y, que es una forma equivalente de (5). Escribiendo la e.d. como:

( ) ( )

( )2

22

2

2 222

y/x

y/xy/x

xye

exeyydydx ++

=

Tenemos al usar las sustituciones (5) y (6) y simplificar,

01

21

2

12

2

2

2

=+

−+

= due

uedyy

,ue

edyduy

u

u

u

u

Esta última ecuación es separable;

Ce 1ln |y|ln 2u =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

que puede escribirse como

(1) ( )klnC =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ += ,eky u21

Sustituyendo u = x/y en (1), obtenemos la solución de la ecuación diferencial dada como

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +=

21 y/xeky

8. Demostrar que si y’= f(x,y) es homogénea, entonces la e.d. puede escribirse como

y’=g(y/x), donde g(y/x) depende solamente del cociente y/x. Solución: Por la propiedad (4) tenemos que f(x,y) = f(tx,ty). Como esta ecuación es válida para todos los t, debe ser válida en particular para t = 1/x. Entonces f(x,y) = f(1,y/x). Si definimos ahora g(x/y) = f(1,y/x), tenemos y’ = f(x,y) = f(1,y/x) = g(y/x) como se pide. Nota: esta forma sugiere la sustitución v = y/x que es equivalente a la expresión (2). Si arriba se hubiera puesto t = 1/y, entonces f(x,y) = f(x/y,1) =h(x/y), que sugiere la sustitución alterna (5). 9. Una función g(y/x) es homogénea de grado n si g(tx,ty) =tn g(y/x) para cualquier t.

Determine si las siguientes funciones son homogéneas y, si no lo son, halle su grado: a) xy + y2 Solución: (tx)(ty) + (ty)2 = t2(xy + y2); homogénea de grado 2 b) x + y sen (y/x)2 Solución:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

22

xyysenxt

txtytysentx homogénea de grado 1

c) x3 + xy2eX/Y Solución: ( ) ( )( ) ( )y/xty/tx exyxtetytxtx 23323 +=+ homogénea de grado 3 d) x + xy Solución: tx + (tx)(ty) = tx + t2xy no homogénea

10. Otra definición de e.d. homogénea es como sigue: Una e.d. M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 es

homogénea si tanto M(x,y) como N(x,y) son homogéneas del mismo grado. Demuestre que esta definición implica la definición dada en el tema 3.

Solución:

( ) ( )( )

( )( )

( )( ) ( )y,xf

y,xNy,xM

y,xNty,xMt

ty,txNty,txMty,txf n

n=

−=

−=

−=

Problemas propuestos En los siguientes problemas, determine si las ecuaciones diferenciales dadas son homogéneas y, si lo son, resuélvalas.

11. x

xy'y −= x/klnxy =

12. x

xy'y +=

2 xkxy −= 2

13. xy

yx'y22 2+

= 242 xkxy −=

14. xy

yx'y22 +

= no homogénea

15. xy

yx'y2

22 += kxxy −= 22

16. 222

xyxy'y−

= kyyx =− 323

17. xyx

y'y+

= Cylny/x =+−2

18. ( ) 312

2

/xyxy

y'y+

= no homogénea

19. yx

yyxx'y 3

4224 3 ++=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+−=

222 11

kxlnxy

2.4 (6 ed.)


| Ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales | Análisis matemático | D.G. Zill |1.1 | 1.2 | 1.3 | 2.1(a) | 2.1(b) | 2.2(a) | 2.2(b) | 2.3 | 2.4 | 2.4 (6 ed.) | 3.1(a) | 4.1.1 | 4.1.2

Integración porpartes Ejercicios 2.4 (6 ed.)

En los problemas 1 a 10, resuelva cada una de las ecuaciones con la sustitución adecuada.

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http://ed21.webcindario.com/index.htm

http://ed21d.webcindario.com/id30.htm












http://ed21.webcindario.com/CalculoIntegral/integracion_por_partes.htm#2

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2.4 (6 ed.)


Resuelva la ecuación homogénea de cada uno de los problemas 11 a 14, sujeta a la condición inicial respectiva

2.4 (6 ed.)


En los problemas 15 a 20, resuelva la respectiva ecuación de Bernoulli empleando una sustitución adecuada.

2.4 (6 ed.)


Documento Microsoft Office Word

Documento Microsoft Office Word

En los problemas 21 y 22, resuelva la respectiva ecuación de Bernoulli sujeta a la condición inicial indicada.

2.4 (6 ed.)


| 1 a 10 | 11 a 14 | 15 a 20 | 21 y 22 |




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Ejercicios resueltos edo homogéneas

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