Ejercicios Resueltos Espacios Vectoriales

8/20/2019 Ejercicios Resueltos Espacios Vectoriales

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ESPACIOS VECTORIALES

Ejercicio 1

En un espacio vectorial {V ,k} , el vector v4 tiene por coordenadas (1,2,1) respecto a losvectores { v1, v2 , v3 }

a) Dése las coordenadas del vector v3 respecto a { v1, v2 , v3 }

Sabemos que v4 tiene como coordenadas (1, 2, 1) respecto a { v1, v2 , v3 } . Es decir,

v4 = v1 + 2 v2 + v3

Por tanto, respecto a { v1, v2 , v4 }, v3 tendrá como coordenadas:

v3 = v4 - v1 - 2v2

es decir, (-1, -2 , 1).

b) Dése las coordenadas del vector v2 respecto a { v1, v2 , v3 }

Basta con ver cómo escribimos v2 respecto a esos vectores mediante una combinaciónlineal, la cual sería:

v2 = 0 v1 + v2 + 0 v3

Por tanto, las coordenadas serían (0 , 1 , 0).

Ejercicio 2

Sean { v1, v2 , v3 } vectores linealmente independientes, y { v1, v2 , v3, v4 } vectoreslinealmente dependientes. Pruébese que el vector v4 es combinación lineal de { v1, v2 ,v3 }.

Puesto que { v1, v2 , v3, v4 } son vectores linealmente dependientes existe unacombinación lineal tal que:

! 1v1 + !

2v2 + !

3v3 + !

4v4 = 0

con algún ! i " 0 .

Despejando v4 obtenemos:

v4 = !

" 1

" 4

v1 !

" 2

" 4

v2 !

" 3

" 4

v3

Por tanto, v4 es una combinación lineal de { v1, v2 , v3 }


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Ejercicio 3

Los vectores { v1, v2 , v3, v4 } son un sistema generador de un espacio vectorial {V ,k} . El

vector v4 es combinación lineal de { v1, v2 , v3}.

a) Razónese qué valores puede tener la dimensión del espacio.

La dimensión de un espacio viene dada por el número de elementos de la base. { v1, v2 ,v3, v4 } es un sistema generador pero no es base puesto que no son linealmenteindependientes ( v4 según el enunciado es combinación lineal de { v1, v2 , v3 }.

Por tanto la dimensión del espacio no puede ser 4, pero sí 1,2, ó 3 en función de ladependencia lineal de los vectores { v1, v2 , v3 }.

b) Pruébese que { v1, v2 , v3 } es un sistema generador del espacio.

Sabemos que { v1, v2 , v3, v4 } es un sistema generador, por tanto cualquier vector vperteneciente al espacio vectorial puede escribirse como una combinación lineal de { v1,v2 , v3, v4 } , es decir

v = ! 1v1 + !

2v2 + !

3v3 + !

4v4 (1)

Además como v4 es combinación lineal de { v1, v2 , v3 } tenemos que

v4 = !

1v1 + !

2v2 + !

3v3 (2)

Por tanto sustituyendo v4 en (1) tenemos:

v = ! 1v1 + !

2v2 + !

3v3 + !

4("

1v1 + "

2v2 + "

3v3)

Agrupando términos tenemos:

v = (! 1 + ! 4" 1)v1 + (! 2 + ! 4" 2 )v2 + (! 3 + ! 4" 3)v3

y por tanto cualquier vector puede escribirse como una combinación de { v1, v2 , v3 } por lo

que ese conjunto de vectores también es sistema generador.

c) Dése las coordenadas del vector v3 respecto a { v1, v2 , v3 }

Escribiendo la combinación lineal para generar v3 a partir de esos vectores obtenemos:

v3 = 0v

1 + 0v

2 + v

3

Por tanto tiene como coordenadas (0,0,1).

d) Justifíquese si puede afirmarse que { v1, v2 , v3 } forma una base del espacio.


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No, puesto que para que formen base es necesario que los 3 sean linealmenteindependientes y no se da información acerca de ello.

Ejercicio 4

En un espacio vectorial de dimensión 3 se consideran 4 vectores

a) Razónese si los cuatro vectores pueden ser una base del espacio.

Sabemos que el espacio vectorial tiene dimensión = 3 por lo que todas las bases han detener 3 elementos. Por tanto, es imposible que un conjunto de 4 vectores forman base,pues sobraría 1.

b) Razónese si los cuatro vectores pueden ser un sistema generador del espacio.

En el caso de sistema generador no hay restricción en cuanto al número de elementos,por lo que podría ser sistema generador siempre y cuando sea posible generar (escribir

como una combinación lineal) todos los vectores del espacio mediante estos 4 vectores.

Ejercicio 5

En el espacio vectorial !3 se consideran los siguientes subconjuntos

S1 = { ( x1, x2, x3) / x1 + x2 + x3 = 1 }

S2 = { (x1, x2, x3) / x1 + x2 + x3 = 0 }

S3 = { (x1, 0, 2x1 ) }

a) Averígüese cuáles de los subconjuntos son subespacios vectoriales de !3 .

Subespacio S1 = { ( x1, x2, x3) / x1 + x2 + x3 = 1 }

Sean a = ( a1, a2, a3 ) y b = ( b1, b2, b3 ) dos elementos de S1. Si S1 es subespacio de !3 ,

entonces se debe cumplir que

! 1a + !

2b "S

1

Es decir

(! 1a1,! 1a2 ,! 1a3) + (! 2b1,! 2b2 ,! 3b3) =

(! 1a1 + !

2b

2,!

1a

2 + !

2b

2,!

1a

3 + !

2b

3)"S

1

Y para que este nuevo elemento esté en el subespacio debe de cumplir la restricción

x1 + x2 + x3 = 1

Es decir,


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! 1a1 + ! 2b1 + ! 1a2 + ! 2b2 + ! 1a3 + ! 2b3 = 1;

! 1(a

1 + a

2 + a

3)+ !

2(b

1 + b

2 + b

3) = 1;

Y como

a1 + a2 + a3 = 1b1 + b2 + b3 = 1

Por pertenecer a S1 tanto a como b tenemos

! 1 + !

2 = 1

Que no se cumple para cualquier ! 1,!

2por lo que S1 no puede ser subespacio.

Subespacio S2 = { ( x1, x2, x3) / x1 + x2 + x3 = 0 }

Sean a = ( a1, a2, a3 ) y b = ( b1, b2, b3 ) dos elementos de S2. Si S2 es subespacio de !3 ,

entonces se debe cumplir que

! 1a + !

2b "S

2

Es decir

(! 1a1,!

1a

2,!

1a

3) + (!

2b1,!

2b

2,!

2b

3) =

(! 1a1 + ! 2b2 ,! 1a2 + ! 2b2 ,! 1a3 + ! 2b3)"S 2


x1 + x2 + x3 = 0

Es decir,

! 1a1 + ! 2b1 + ! 1a2 + ! 2b2 + ! 1a3 + ! 2b3 = 0;

! 1(a

1 + a

2 + a

3) + !

2(b

1 + b

2 + b

3) = 0;

Y como

a1 + a2 + a3 = 0b1 + b2 + b3 = 0

Obtenemos!

10 + !

20 = 0

Como esto se cumple para cualquier valor de ! 1,! 2 tenemos que S2 es un subespacio.


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Subespacio S3 = { ( x1, 0, 2x1 ) }

Sean a = ( a1, a2, a3 ) = ( a1, 0, 2a1) y b = ( b1, b2, b3 ) = ( b1, 0, 2b1) dos elementos de S3.

Si S3 es subespacio de !3 , entonces se debe cumplir que

! 1a + !

2b "S

3

Es decir

(! 1a1,0,2! 1a1)+ (! 2b1,0,2! 2b1) =

(! 1a1 + ! 2b1,0,2! 1a1 + 2! 2b1)"S 3


x3 = 2x1

x2 = 0

Es decir

(! 1a1 + b1! 2 ,0,2(! 1a1 + b1! 2 ))

Y por tanto se cumple.

b) Dése una base de cada uno de los subespacios

Puesto que S1 no es subespacio basta dar bases de S2 y S3

Base para S2

Para obtener una base a partir de las ecuaciones del subespacio basta con resolver elsistema de ecuaciones que lo definen. En este caso se trata de un sistema de ecuacionescompatible indeterminado con 2 grados de libertad (Tenemos 3 variables y el rango de lamatriz del sistema es 1 -> 3 - 1 = 2 ).

Por tanto para resolverlo necesitamos tener 2 variables libres, por ejemplo, x2 y x3. Deesta forma sean

x 2 = !

x 3 = "

x 1 = # x

2 # x

3 = #! # "

Por lo que la base queda definida como:

{(!" ,0," ),(!# ,# ,0)}

O lo que es lo mismo eliminando ! y ! :

{(!1,0,1),(!1,1,0)}


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Base para S3

S3 ya está definido mediante una base y no por ecuaciones. Para expresarlo como unúnico vector basta con eliminar x1 de la definición, quedando

(1,0,2)

Ejercicio 6

Se consideran las aplicaciones de !3 en ! :

f :!3! ! / f ( x

1, x

2, x

3) = x

1 + x

2 + x

3

g :!3! ! / g( x1, x2 , x3) = 2 x1 " x3

h :!3! ! / h( x1, x2 , x3) = x1 x2 x3

a) Compruébese que las dos primeras, f y g, son aplicaciones lineales y la tercera no eslineal.

Una aplicación lineal a de verificar que, dados dos elementos cualesquiera del espacio

origen (

!3 ), por ejemplo v y t y dos escalares cualesquiera se cumpla que:

f (! 1v + !

2t ) = !

1 f (v)+ !

2 f (t )

f ( x1, x2, x3) = x1 + x2 + x3

Sean v y t dos elementos de !3 . Comprobamos la condición de linealidad:

f (! v + " t ) = ! f (v) + " f (t )

f (! (v1,v2 ,v3)+ " (t 1,t 2 ,t 3)) =

f ((! v1 + " t

1,! v

2 + " t

2,! v

3 + " t

3)) =

! v1 + " t 1 + ! v2 + " t 2 + ! v3 + " t 3 =

! (v1 + v2 + v3) + " (t 1 + t 2 + t 3) =

! f (v)+ " f (t )

Por tanto es una aplicación lineal.


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g ( x1, x2, x3) = 2x1 - x3


f (! v + " t ) = ! f (v)+ " f (t )

f (! (v1,v2 ,v3)+

" (t 1,t 2 ,t 3))=

f ((! v1 + " t

1,! v

2 + " t

2,! v

3 + " t

3)) =

2(! v1 + " t 1) # ! v3 # " t 3 =

! (2v1 # v

3)+ " (2t

1 # t

3) =

! 1 f (v) + ! 2 f (t )

Por tanto es una aplicación lineal.

h ( x1, x2, x3) = x1x2x3


f (! v + " t ) = ! f (v)+ " f (t )

f (! (v1,v2 ,v3)+ " (t 1,t 2 ,t 3)) =

f ((! v1 + " t

1,! v

2 + " t

2,! v

3 + " t

3)) =

(! v1 + " t

1)(! v

2 + " t

2)(! v

3 + " t

3) #

! f (v)+ " f (t ) = ! v1v2v3 + " t 1t 2t 3

Por tanto no es una aplicación lineal.

b) Compruébese que el conjunto de ternas que en la aplicación g se transforman en 0

forman un subespacio vectorial de !3

Definimos el conjunto de ternas que se transforman en 0:

S ={( x1, x

2, x

3)!!

3/ g( x

1, x

2, x

3) = 0}

Es decir, cumplen que:

2 x 1 !

x 3 = 0

Para que forme subespacio tiene que cumplir que, eligiendo dos vectores cualesquiera,por ejemplo a y b, del conjunto se tenga que:

! a + " b #S 3

Y tiene que cumplir que

2 x 1 ! x

3 = 0

(! a1,! a2 ,! a3)+ (" b1," b2 ," b3) =

(! a1 + " b

1,! a

2 + " b

2,! a

3 + " b

3)#S


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Es decir,

2(! a1 + " b

1) # ! a

3 # " b

3 =

! (2a1 # b3) + " (2a1 # b3) = ! 0 + " 0

Ya que a y b cumplían la condición.

c) Dése una base de dicho subespacio

Para obtener una base a partir de las ecuaciones resolvemos el sistema.

2 x 1 ! x

3 = 0

En este caso se trata de un sistema compatible indeterminado con 2 grados de libertad (3variables y rango de la matriz = 1) por lo que hay que parametrizar dos variables, queserán nuestras variables libres. Por ejemplo escogemos x2 y x3. De este modo tenemos

x 2 = !

x 1 = "

x 3 = 2 x

1 = 2"

Y agrupando tenemos que la base está formada por

{(! ,0,2! ),(0," ,0)}

O lo que es lo mismo

{(1,0,2),(0,1,0)}

Ejercicio 7

Se consideran las aplicaciones siguientes:

f :!2! !

2/ f ( x1, x2 ) = ( x1 + x2 ,0)

g :!! !

2

/ g( x)=

(2 x, x +

1)h :!

2! !

3/ h( x

1, x

2) = ( x

1, x

2, x

1 + x

2)

a) Compruébese que f y h son lineales y que g no es lineal.

f ( x1, x2) = (x1 + x2, 0)


f (! v + " t ) = ! f (v) + " f (t )


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f (! (v1,v

2)+ " (t

1,t

2)) =

f ((! v1 + " t 1,! v2 + " t 2 )) =

(! v1 + " t

1 + ! v

2 + " t

2,0) =

! (v1 + v

2) + " (t

1 + t

2) =

! f (v)+ " f (t )

Y por tanto es una aplicación lineal.

g (x) = (2x, x + 1)

Sean v y t dos elementos de ! . Comprobamos la condición de linealidad:

g(! v + " t ) = ! g(v) + " g(t )

g(! (v)+ " (t )) =

(2(! v + " t ),! v + " t +1)) =(2! v + 2" t ,! v + " t +1)#

! g(v)+ " g(t ) =

! (2v,v +1)+ " (2t ,t +1)=

(2! v + 2" t ,! (v +1)+ " (t +1))

Y por tanto no es una aplicación lineal.

h ( x1, x2, x3) = (x1, x2, x1 + x2)


h(! v + " t ) = ! h(v)+ " h(t )

h(! (v)+ " (t )) =

h(! v1 + " t 1,! v2 + " t 2 ) =

(! v1 + " t

1,! v

2 + " t

2,! v

1 + " t

1 + ! v

2 + " t

2) =

(! v1,! v2 ,! v1 + ! v2 ) + (" t 1," t 2 ," t 1 + " t 2 ) =

! (v1,v2 ,v1 + v2 )+ " (t 1, t 2 ,t 1 + t 2 ) =! h(v)+ " h(t )

Y por tanto es una aplicación lineal.

b) Encuéntrese los pares (x1,x2) que se transforman en la terna nula (0,0,0) en laaplicación h.

Sea:

S ={( x1, x2 )!!2

/ h( x1, x2 ) = 0}

Es decir,


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( x 1, x

2, x

1 + x

2) = (0,0,0)

Por tanto:

x 1 = 0

x 2 = 0

x 1 + x

2 = 0

Por lo que el único punto que se transforma en 0 es el (0,0)

c) Compruébese que forman un subespacio vectorial de !2 los pares (x1,x2) que se

transforman en el par (0,0) en la aplicación lineal f.

Sea:

S ={( x1, x

2)!!

2/ f ( x

1, x

2) = 0}

Es decir han de cumplir que

x 1 + x

2 = 0

Que es la ecuación del subespacio vectorial.

Ahora comprobemos que realmente es un subespacio. Cojamos dos vectores, a y b, de!

2 . Se tiene que verificar que :

! a + " b #S

(! a1,! a2 ) + (" b1," b2 ) =

(! a1 + " b

1,! a

2 + " b

2)#S

Cumpliendo que:

! a1 + " b1 + ! a2 + " b2 = 0! (a

1 + a

2) + " (b

1 + b

2) = 0

Y como a y b verifican que

a1 + a

2 = 0

b1 + b

2 = 0

por pertenecer a S, entonces

! (a1 + a

2) + " (b

1 + b

2) = 0


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cualesquiera que sean ! ," y por tanto S es un subespacio.

d) Dése una base de dicho subespacio

Basta con resolver la ecuación que define el subespacio. En este caso es un sistema deecuaciones compatible indeterminado con 1 grado de libertad ( 2 variables y Rango de lamatriz del sistema = 1). Por tanto tenemos una variable libre que es la queparametrizamos.

x 2 = !

x 1 = " x

2 = "!

Y la base queda:

(!" ," )

O lo que es lo mismo:

(!1,1)

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