1

ALGEBRA LINEAL PROBLEMAS RESUELTOS

Valores Propios y Vectores Propios. Polinomio característico. Diagonalización

1. Respecto a la transformación lineal XX:T

22112211

21121211

2221

1211

2221

1211T;IR/X ij

El polinomio característico es:

a) 22234

b) 222 234

c) 22234

d) 2234

e) Ninguno de los polinomios anteriores.

DESARROLLO:

Obtengamos una matriz asociada a la transformación lineal ( Por conveniencia con respecto a las

bases canónicas):

Sea

10

00,

01

00,

00

10,

00

01B , entonces:

1001

101

0110

0011

1001

1001

0110

0011

pAT

11211111 222 p

22222 23443322 p

La respuesta es el literal a.

2. Identifique la proposición falsa:

a) Si A no es invertible, entonces 0 es un valor propio de A .

VERDADERO

Sabemos que la matriz A no es invertible cuando 0)det( A , pero:

IAp det , entonces 0)det(0 Ap , lo cual quiere decir que 0 es una

raíz del polinomio característico, por lo tanto constituye un valor propio de A .

b) Si

400

023

012

A , entonces 16 es un valor característico de 2A .

VERDADERO

Conocemos que si es un valor propio de una matriz A , entonces 2 es un valor propio de

2A . Esto nos permite calcular directamente los valores propios de A y a partir de estos valores

hallar los valores propios de 2A :

2

43422

400

023

012

p

414344 22 p es un valor propio de A , por lo

tanto 162 es un valor propio de 2A .

c) Si A es semejante a B , entonces sus polinomios característicos son iguales.

VERDADERO

Si A es semejante a B , entonces existe una matriz P tal que BPPA 1 , por lo tanto:

PPBPPIBPPIApA

111 detdetdet

BA pIBPIBPPIBPp detdetdetdetdet 11

d) Dada

1000

5100

6710

8901

A , entonces los valores característicos de A son: 8, -8, 1 y -1.

FALSO

1111

1000

5100

6710

8901

p

2,12,11122

mamap

e) Ninguna de las proposiciones anteriores.

3. Sea 22 PP:T una transformación lineal definida por:

220110

2210 52323 xaxaaaaxaxaaT . Entonces es cierto que:

a) 12 x es un vector característico de T correspondiente al valor característico 1 .

FALSO

Si dicho vector es característico, debería cumplirse que vvT , pero:

113251 222 xxxxT

b) La representación matricial de T respecto a la base canónica es diagonalizable.

VERDADERO

Obtengamos los valores y vectores propios de la transformación:

Sea 1,,2 xxB , una base de 2P , entonces:

435

320

230

005

320

230

0052

pAT

3

1,12,5515 21 mamap

5 :

0/0110

220

220

000

5 zy

z

y

x

zy

2

21 1 xvxv

1 :

00/00110

001

220

220

004

5 zyx

z

y

x

zyx

13 xv , por lo tanto si es diagonalizable ya que existen tres vectores propios linealmente

independientes.

c) 1, -1 y 5 son los valores propios de T .

FALSO

Los valores propios son: 1,12,5 21 mama .

d) La representación matricial de T respecto a la base x;x;xP 11 22 es una matriz

diagonal.

VERDADERO

Dicha base está formada por los vectores propios de la transformación lineal.

e) Ninguna de las anteriores.

4. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa?

a) La matriz

4917

91125

6919

A no es diagonalizable.

VERDADERO:

8141119

4917

91125

6919

p

25539371519111722561534259 2

22810222547737157032851938176 232

212112312542223

1,22,1 21 mama , por lo tanto para que la matriz sea diagonalizable debe

cumplirse que 211 mamg .

4

1 :

5917

430

236

5917

91225

236

5917

91225

6918

22111 6253

1

LLLLL

zyzxLLLLLL

3

4

430

606

430

430

236

121331 617

1dim 11 mg , por lo cual la matriz no es diagonalizable.

b) Si

21

01A , entonces

10241023

0110A .

FALSO:

En este problema podríamos proceder a realizar las multiplicaciones, pero aquello sería

un proceso largo, más aún si el exponente fuera aún mayor. Entonces supongamos que la matriz

A es diagonalizable, o sea existe una matriz diagonal D tal que:

ACCD 1 1CDCA , por lo tanto: 11212 CDCCDCCDCA

122 CCDA , y en general tenemos que:

1 CCDA nn, siempre y cuando la matriz A sea

diagonalizable, entonces el problema se reduce a encontrar los valores y vectores propios de la

matriz A , teniendo en cuenta que elevar una matriz diagonal a una potencia, consiste tan sólo en

elevar a los elementos de su diagonal a dicha potencia.

2102121

0121

p

1 :

1

1

11

001v

2 :

1

0

01

012v

20

01

11

01

11

011 DCC

11

01

10240

01

11

01

11

01

20

01

11

01

21

011010

10241023

01

11

01

10241

01

21

0110

5

c) El subespacio de 3IR

IRt,s;

t

ts

s

W 22 es un espacio característico de

324

202

423

A corresponde al valor propio 1 .

VERDADERO:

Al subespacio W lo podemos escribir como

1

2

0

,

0

2

1

LW , lo cual quiere decir que

los vectores

1

2

0

0

2

1

son vectores propios asociados al valor propio 1 , por lo tanto

debería cumplirse que:

1

2

0

1

1

2

0

324

202

423

0

2

1

1

0

2

1

324

202

423

, lo cual si se satisface,

por lo tanto la afirmación es verdadera.

d) Si

112

123

411

A , entonces 0652 23 IAAA .

VERDADERO:

Obtengamos el polinomio característico de A :

1241311

112

123

4112

p

065248131 23232 p

652 23 p , pero la expresión 0652 23 IAAA equivale a 0Ap ,

lo cual se satisface ya que toda matriz satisface su polinomio característico.

e) Ninguna de las anteriores.

5. Sea A una matriz nn diagonalizable. Demuestre que nAdet 321 , donde

n,,, 321 son los valores característicos de A .

Desarrollo:

Sea IAaaap n

n

n

det... 01

1

1 , el polinomio característico de A,

entonces 00det apA , pero sabemos que para cualquier polinomio su término

independiente "" 0a es igual al producto de sus raíces, o sea:

6

na ...210 , donde n ...21 son las raíces de p ( por ende los valores propios de A ), por

lo tanto naA ...det 210 .

6. Sea VV:T una transformación lineal cualquiera. Sean 1 y 2 , dos valores característicos

distintos de T . Si 1y y 2y son dos vectores característicos correspondientes a 1 y 2

respectivamente, demuestre que el vector 21 yyz no es un vector característico de T .

DESARROLLO:

Para que el vector 21 yyz sea un vector propio de T , debería existir un valor , tal que

zzT , valor que vamos a demostrar que no existe, entonces:

22112121 yyyTyTyyTzT , pero debería cumplirse que

2121 yyyyT , lo cual solo se cumpliría si 2121 yy . Pero como aquello

contradice las hipótesis, concluimos que el valor no existe, por lo tanto la afirmación es

verdadera.

7. Si A es una matriz invertible y IAdetp es un polinomio característico; probar que el

polinomio característico de 1A es:

1det

1det 1 p

AIA

n

.

DESARROLLO:

IAApAAApIAp

1

detdetdet 11

IAApIAAp

n

1detdet

1detdet 11

ApIA

ndet

111det 1

, sea

1

' , A

pIAn

det

1

'

1''det 1

y podemos decir que ' , entonces:

1

det

1det 1 p

AIA

n.

8. Considérese el operador lineal: 33 RR:T tal que AXXT donde

3332

2322

1312

3

2

1

aa

aa

aa

A y 3RX . Los tres vectores propios del operador lineal son:

011110 21 ,,x,,,x y 1013 ,,x

a) Determine la regla de correspondencia de T .

b) Obtenga la dimensión del complemento ortogonal del Ker T .

DESARROLLO:

Por comodidad supongamos que:

fc

eb

da

A

3

2

1

. Entonces como los vectores propios de la

transformación son: 011110 21 ,,x,,,x y 1013 ,,x , podemos decir que:

7

333222111 xxTxxTxxT , lo cual implica que:

1

0

1

1

0

1

3

2

1

0

1

1

0

1

1

3

2

1

1

1

0

1

1

0

3

2

1

321

fc

eb

da

fc

eb

da

fc

eb

da

1

1

0

fc

eb

da

3

2

1

2

2

c

b

a

3

2

1

3

3

f

e

d

1

0

fb

da 3 ba 4 fd

4

3

1

0

fd

ba

fb

da

0

2

6

3

2

1

3

4

1

42

2

4

2

1

4

3

1

3

2

1

f

e

d

c

b

a

dd

df

fd

df

fb

fd

db

fb

da

, por lo tanto la

regla de correspondencia de la transformación viene dada por:

zyx

zyx

zyx

z

y

x

z

y

x

T

333

242

333

242

111

, luego el núcleo de T es

1

0

1

LTNu , lo

cual implica que: 1dim TKer , y sabiendo que

3dimdimdim VTKerTKer , podemos concluir que 2dim TKer .

9. Sea V el espacio vectorial: IR,,/xexsenV x y T es el operador segunda

derivada 2DT . Encuentre los valores y vectores característicos de T .

DESARROLLO:

Obtengamos la matriz asociada a la transformación con respecto a la base xexsenB x ,,

000

010

001

TA , y como podemos notar esta matriz es una matriz DIAGONAL, por lo tanto la

base que utilizamos para obtenerla debe estar formada por los vectores propios de la transformación,

entonces: xsenv 1 , asociado a 11 , xev 2 , asociado a 12 , xv 3 , asociado a

03 .

8

10. Sea A que pertenece a las matrices nn y nk,,, k 321 sus correspondientes valores

característicos, sea una constante cualquiera; pruebe que los valores característicos de A son

k,,, 321

DESARROLLO:

Si i es un valor propio de A , entonces debe existir un vector iv , tal que: iii vAv ,

ki ...,2,1 . Multiplicando por ambos lados de esta ecuación, tenemos iii vAv

iii vvA , lo cual quiere decir que el escalar i es un valor propio de la matriz A , para

ki ,...,2,1 .

11. Sea

500

032

023

A

a) ¿Es la matriz A ortogonalmente diagonalizable? Justifique su respuesta.

DESARROLLO:

Si, ya que la matriz A es simétrica.

b) Determine la multiplicidad algebraica de cada uno de los valores característicos de A y describa

los correspondientes espacios característicos.

DESARROLLO:

155565

500

032

0232

p

1,12,5 21 mama .

5 :

2,

1

0

0

0

1

1

/

000

022

022

215

mgvvyx

z

y

x

1 :

1,

0

1

1

0/

400

022

022

35

mgvzyx

z

y

x

c) Si A fuese diagonalizable, encuentre la matriz Q tal que AQQD T , sea una matriz diagonal.

DESARROLLO:

Dicha matriz Q ortogonal, está formada por los vectores propios de A ortonormalizados, por

lo tanto:

9

0102

10

2

12

10

2

1

Q

d) Escriba la matriz D .

DESARROLLO:

Esta matriz está formada por los valores propios de la matriz, dependiendo su orden de la matriz

Q , entonces:

100

050

005

D

12. Sea 23 PR:T una transformación lineal, donde k,j,iB 1 y 2

2 1 x,x,B son bases de

3R y 2P respectivamente. Si se conoce que:

2

2

81

99

99

xxikT

xxkjT

xjiT

a) Encuentre la representación matricial de T con respecto a las bases 1B y 2B .

DESARROLLO:

Encontremos primeramente kTjTiT ,, :

2

2

2

2

2

2

2

2

2

544

454

445

544

99

8

99

99

81

99

99

xxkT

xxjT

xxiT

xxkT

kTxxjT

xxjTkT

xxkTjT

jTxiT

xxiTkT

xxkTjT

xjTiT

por lo tanto la matriz asociada a la transformación es:

544

454

445

TA

b) ¿Es diagonalizable ortogonalmente la matriz encontrada en a)?

DESARROLLO:

Si es diagonalizable, y en este caso no es necesario obtener los vectores propios para saberlo, ya

que esta matriz es simétrica ( las matrices simétricas siempre son diagonalizables ).

c) Si su respuesta a la pregunta anterior es afirmativa, encuentre la matriz Q que diagonalice

ortogonalmente a la matriz encontrada en a).

DESARROLLO:

10

Encontremos los vectores propios de la matriz:

3999169105

544

454

4452

p

3 :

3

13

13

1

1

1

1

110

101

211

121

844

484

448

11 uvzy

zx

9 :

1

0

1

0

1

1

111

444

444

444

32 vvzyx

Debemos ortonormalizar los vectores

1

0

1

0

1

1

32 vv , por lo tanto:

6

26

16

1

2

1

1

12

12

1

0

1

1

12

1

1

0

1

',

02

12

1

332 uvu

Entonces la matriz que diagonaliza ortogonalmente la matriz TA , es:

6

20

3

16

1

2

1

3

16

1

2

1

3

1

Q

d) ¿Representa T un isomorfismo? Justifique su respuesta.

DESARROLLO:

Si representa un isomorfismo, sin embargo no hace falta probarlo. Esto se debe a que

los valores propios de la matriz asociada a la transformación son todos diferentes de cero, lo cual

implica que la dicha matriz es invertible. Si la matriz asociada a la transformación es invertible,

entonces también lo es la transformación lineal, por lo tanto constituye un isomorfismo.

NOTA: 100010001 ,,k;,,j;,,i

11

13. La matriz Q que diagonaliza ortogonalmente a A donde

402

022

223

A es:

a)

2

1

2

10

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

d)

22100

02210

001

b)

600

030

000

e)

3

1

3

2

3

223

4

23

1

23

1

02

1

2

1

c)

3

2

3

2

3

13

1

3

2

3

23

2

3

1

3

2

DESARROLLO:

25424

402

022

2232

p

036189189 223 p

3,6,0 321

0 :

3

13

23

2

2

2

210

201

011

201

402

022

223

1uzy

zx

6 :

3

23

13

2

2120

101

120

240

101

202

042

223

2uzy

zx

12

3

3

23

23

1

2110

102

102

012

220

3u

zy

zx

, por lo tanto la matriz que

diagonaliza ortogonalmente a la matriz A , es:

3

2

3

2

3

13

2

3

1

3

23

1

3

2

3

2

Q , matriz que no es igual pero equivale a la matriz del literal c).

14. Determine la matriz Q que diagonaliza ortogonalmente a la matriz:

122

212

221

A

DESARROLLO:

6221451

122

212

2212

p

221,221,37232113 321

223 p

3 :

02

12

1

0100

011

222

222

222

1uz

yx

221

2

210

211

2222240

211

2222

22222

22222

2

22

12

1

2

22

2

2

210

2

201

2u

zy

zx

13

221 :

2

210

211

2222240

211

2222

22222

22222

2

22

12

1

2

22

2

2

210

2

201

3u

zy

zx, por lo tanto la matriz que diagonaliza

ortogonalmente a la matriz A , es :

2

2

2

20

2

1

2

1

2

12

1

2

1

2

1

Q

15. Identifique la proposición falsa:

a) La ecuación 4525 22 yxyx no representa ningún lugar geométrico en el plano real.

VERDADERO:

A esta forma cuadrática la podemos representar como: 451

15

y

x

y

x, entonces

diagonalicemos la matriz:

4

6462410

51

15

2

12

p , por lo tanto la

forma cuadrática la podemos escribir como: 4'4'622 yx , por lo tanto esta ecuación

no representa un lugar geométrico en el plano real.

b) La ecuación 36563 22 yxyx representa una elipse en el plano.

VERDADERO:

104

10468

53

3336

53

33

2

12

p

y

x

y

x

, por lo tanto tenemos: 36'104'10422 yx , lo cual representa una elipse.

c) La ecuación cuadrática 07656 22 yxyx representa una hipérbola en el plano.

VERDADERO:

14

2

132

13

4

169

4

2536

62

52

56

2

122

p

7'2

13'

2

13 22 yx , ecuación que describe una hipérbola.

d) La ecuación cuadrática en las nuevas variables z,y,x de 0222 222 zyzxzyxyx

es: 110222 zyx .

FALSO:

2221

111

111

1112

p

1

2

2

1222222

3

2

1

22

p

0''2'2222 zyx , ecuación que representa un cono.

e) Ninguna de las proposiciones anteriores.