Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva:

1. y=x2−2 x−3 para x=1

dydx

= ddx

(x2)− ddx

(2 x)− ddx

(3)

ddx

(x2 )=2 x

ddx

(2 x )=2

ddx

(3 )=0

dydx

=2x−2

Factorizando

dydx

=2(x−1)

Remplazando para x=1

dydx

=2(1−1)

dydx

=0

2. Si f ( x )=x 4− 1

x4−ln (4 )halle el valor de f ' (1)

f ' ( x )= ddx

(x¿¿4)−ddx ( 1x4 )− d

dx(ln (4 ))¿

ddx

(x¿¿ 4)=4 x3¿

ddx ( 1x4 )= 4

x5

ddx

( ln (4 ))=0

f ' ( x )=4 x3+ 4x5

Evaluando para f ' (1 )

f ' (1 )=4(1)3+ 4

(1)5

f ' (1 )=4(1)3+ 4

(1)5

f ' (1 )=8

Hallar la derivada de las siguientes funciones

3. f ( x )=sen22 x

Aplicando la regla de la cadena

f ' ( x )=2 sen2−1(2 x)

Derivando la función trigonométrica

f ' ( x )=2∗sen (2x )∗cos (2 x )∗2

Simplificando

f ' ( x )=4 sen (2 x )∗cos (2 x)

4. f ( x )= lnx7

lnx3

Aplicando la regla del cociente

( fg )'

= f '∗g−g'∗fg2

f (x)'=

ddx

( ln (x7 )) ln ( x3 )− ddx

( ln (x3 )) ln ( x7 )

ln2(x3)

ddx

( ln ( x7 ) )=7x

ddx

( ln ( x3 ))=3x

Sustituyendo:

f ' (x)=

7xln (x3 )−3

xln (x7 )

ln2(x3)

Simplificando:

f ' (x)=7 ln (x3 )−3 ln (x7 )

x ln2(x3)

5. f ( x )= x

ex

Aplicando la regla del cociente

( fg )'

= f '∗g−g'∗fg2

f ' (x)=

ddx

( x ) ex− ddx

(ex ) x

e2x

ddx

( x )=1

ddx

(ex )=ex

Sustituyendo:

f ' (x)=1ex−ex xe2 x

Simplificando:

f ' ( x )=1ex

e2x− ex x

e2x

f ' ( x )= 1

ex− x

ex

f ' ( x )=1−x

ex

f ' ( x )=−e−x (x−1)

Derivadas de orden superior. (Puntos 6 y 7)

6. Hallar la tercera derivada de: f ( x )=2 sen(2 x )

Primera derivada:

Sacando laconstante : (a∗f )'=a∗f '

f ' ( x )=2 ddx

(sen (2 x ))

Aplicando la regla de la cadena:

df (u)dx

=

dfdu

∗du

dx2 x=u

f ' (x)=2ddu

(sen (u ))∗ddx

(2x )

ddu

( sen (u ))=cos (u)

ddx

(2 x )=2

f ' (x)=2cos (u )2

Sustituyendou=2 x

f ' (x)=4cos (2x )

Segunda derivada:

Sacando laconstante : (a∗f )' '=a∗f ' '

f ' ' (x )=4 ddx

(cos (2 x ))

Aplicando la regla de la cadena:

df (u)dx

=

dfdu

∗du

dx2 x=u

f ' ' (x)=4ddu

(cos (u ))∗ddx

(2 x)

ddu

(cos (u ) )=−sen (u)

ddx

(2 x )=2

f ' ' (x)=4¿

Sustituyendou=2 x

f ' ' ( x )=−8 sen (2x )

Tercera derivada

Sacando laconstante : (a∗f )' ' '=a∗f ' ' '

f ' ' ' (x)=−8 ddx

(sen (2 x ))

Aplicando la regla de la cadena:

df (u)dx

=

dfdu

∗du

dx

2 x=u

f ' ( x )=−8ddu

(sen (u ))∗ddx

(2x )

ddu

( sen (u ))=cos (u)

ddx

(2 x )=2

f ' ' ' ( x )=−8cos (u )2

Sustituyendou=2 x

f ' ' ' ( x )=−16 cos (2x )

7. Hallar la segunda derivada de: f ( x )=ex lnx

Primera derivada

Aplicandola regladel producto : ( f∗g )'=f '∗g+ f∗g '

f=ex , g= ln (x)

f ' ( x )= ddx

(ex) ln ( x )+ ddx

( ln (x ))ex

ddx

(ex )=ex

ddx

( ln ( x ) )=1x

Sustituyendo:

f ' ( x )=e x ln ( x )+ 1xex

Simplificando:

f ' ( x )= ex (xln ( x )+1)x

Segunda derivada

Aplicando la regla del cociente

( fg )'

= f '∗g−g'∗fg2

f ' ' (x)=

ddx

(ex (xln ( x )+1 ) )x− ddx

(x )ex (xln ( x )+1)

x2

ddx

(ex (xln (x )+1 ) )=ex (xln ( x )+ ln (x )+2)

ddx

( x )=1

Sustituyendo:

f ' ' (x)=ex (xln (x )+ ln ( x )+2 ) x−1ex (xln ( x )+1)

x2

Simplificando:

f ' ' (x)=ex(x (xln ( x )+2 )−1)

x2

8. Usando L´Hopital halle el límite de: limx→2

x2+2x−8x2−x−2

Aplicando el límite

limx→2

x2+2x−8x2−x−2

=(2 )2+2 (2 )−8

(2 )2−2−2=4+4−8

4−4=00=Indeterminado

Aplicando L’Hopital

limx→2

x2+2x−8x2−x−2

=limx→2

ddx

( x2+2 x−8)

ddx

( x2−x−2)

Aplicando la derivada

ddx

(x2+2x−8 )=2 x+2

ddx

(x2−x−2 )=2x−1

Sustituyendo

limx→2

2 x+22 x−1

Aplicando el límite

limx→2

2 x+22 x−1

=2(2)+22(2)−1

= 4+24−1

=63=2

limx→2

2 x+22 x−1

=2

9. De la curva f ( x )=x2−x Hallar:

a. Las coordenadas del punto crítico.

Aplicando la derivada:

f ' ( x )= ddx

(x2 )− ddx

( x )

ddx

(x2 )=2 x

ddx

( x )=1

f ' ( x )=2 x−1

Igualando a cero la primera derivada

2 x−1=0

Despejando x

x=12

Remplazando x=12

en la función

y(12 )

=( 12 )2

−( 12 )=( 14 )−( 12 )=−( 14 )Coordenadas del punto crítico

Enx=12

En y=−14

b. Los puntos de inflexión si los hay.

Aplicando la primera derivada:

f ' ( x )= ddx

(x2 )− ddx

( x )

ddx

(x2 )=2 x

ddx

( x )=1

f ' ( x )=2 x−1

Aplicando la segunda derivada:

f ' ' ( x )= ddx

(2x )− ddx

(1 )

ddx

(x2 )=2

ddx

( x )=0

y ' ' ( x )=2

Sustituyendo en la función y=2

f ( x )=x2−x

2=x2−x

Resolviendo la ecuación

x=−1x=2

Puntos de inflexión:y=2 x=−1x=2

10. En la construcción de una obra se debe hacer un pedido de cemento. ¿Qué cantidad de bultos (x) debo solicitar a la fábrica, tal que el costo total de ese pedido sea el mínimo?

Fórmuladel costos total del pedidoC (x )

CT ( x )=100.000 .000x

+100 x+50

Aplicando la primera derivada

C 'T ( x )= ddx ( 100.000 .000x )+ d

dx(100 x )+ d

dx(50)

ddx ( 100.000 .000x )=−100.000 .000

x2

ddx

(100 x )=100

ddx

(50 )=0

C 'T ( x )=100−100.000 .000x2

Igualando a cero la primera derivada para encontrar el mínimo

100−100.000 .000x2

=0

Resolviendo la ecuación

x=1000

Remplazando en la función x=1000

CT (1000 )=100.000 .0001000

+100 (1000)+50

CT (1000 )=200.050

Respuesta: Para que el costo total del ese pedido sea mínimo se deben solicitar 1000 bultos