Ejercicios Selectividad Resueltos as Fisica y Quim
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5/12/2018 Ejercicios Selectividad Resueltos as Fisica y Quim - slidepdf.com
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16 Se/,ectividiid 9 1 5 . Ctencias
DISCUSI6.N Y.B.ESQUICImtDE.SISI 'EMAS
Los ejercieios correspondientes a este bloque temance aparecen
mucho en Seleetividad, Abundan los del tipo de discusion de un sistema
en funCi6n de uno ados parametres (sabre todo de uno) , pidiendose en
muchos casos la resoluci6n del sistema para un "Valor determinado delparametro 0 parametres.
Tlenes que entender rnuy bien eLteorema de Rouche-Frobenius, saber
aplicarlo y dominae los metodos de .resolnctdn de sistemas p a ra e :mp l ea r el
m a s adecuado 'si se te pide laresolncion de alguno,
P ro blem a 1
D is cu tlr , s e gu n lo s v alo re s d e 8, eJsistema
{
ax + y + Z =x+ay+z=
X+y+BZ==
Ma dr id , ju nlo d e 1 99 5
Soluckin:
Todos los problemas de este tipo los resolveras de rnanera c6moda apl i-
cando el t e er ema de Rouc b e- F ro b en iu s .
L lam em os C =ma tr iz d e lo s c oe fic ie n te s 'iA = ma tr iz a m pl ia da c on .l os
terminos independierrtes. Por tanto:
Estudiemes , en p ri m er I ng ar , l os v al er es que puede tomar Tango C para
los dist intos valores de a - y , segnidamente, los eorrespondientes valores de
range A p ara e so s m ism os v alore s d e a.
Sumando ala primera columna las otras dos y desarrollando e1determi-
nante pe r Ia primera columna, babiendo buscado arites ceres, obtenemos:
Mat i !f nQ . ri c ti S J 17
a 1 1 2+0. 1 ] 1 1
1 a 1 = 2+0. a = = (2 + a) 1 a 1 = 0
1 1 a 2+0. 1 a ] ] a 0
:::(2+a)(a-I)~
1 1
a- L °n a-I
en donde-vemos qu e lei= °
para a =-20a=1 y distinto de cero en eual-
quier o tre c as o, P or tanto:
Lo Si a E (-.,.., - 1) u (-2,1) u (1 , + 00). range C = = range A = > "3 : : : n,"
de incognitas y. apl icando el teorema de Roache, deducimos que el s is tema
es compatible determinado.
1
-2 1 12.° Si a=-2, ICI= 0, y como 1 -2 = 3 ; 1 : . 0 entonces range C~ 2
[-2 1 1 1J 1 2 1 1A = 1 -2 1 1, y , como =3, orlando e st e m e no r can los ele-
11-21 1-2
mentes de Ia riltima fila y las dos ultimas columnas:
-2 1 1 -2 1 1
1 -2 1 =0, pero 1 -2 1 = 9, Iuego tango C = 2 y range A =3,
1 1 -2 1 1 1
a lii q ue e 1 sistema sera incompatible.
3. ° Sia =1
c o l t1
: J . A O U1 1
f J1 J 1
1 1 1
y evidentemente, range C = rango A = 1 menor que el mimero de inc6gpi-
tas, par 10 que e1sistema sera compatible indeterminade biparametrico y se
r ed uc e a u na sola ecuacion: x + y + z = 1
P ro blem a 2
Discutir, se gun los valore s d e m , e l s iste ma
{
xty+2z=2
-3x + 2y + 3z = -2
2x +my- §z=-4
Madr id , j un io de 1995
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18 e le c. IMd o d 9 0 . Ci~lIdoJ
olucion;
lamemos C =matriz de los coeficientes y A =matriz ampliada can 10
t er mi no s i nd ep en di en te s. L ue go :
[
I I ? ]C= -3 2 3 Y
2 til -5
[
1 I 2 2 ]A = -3 2 3 -2
2 TI l -5 -4
Tenemos que calcular el valor de rango C para cualquier valor rea] d
m; y. para esos mismos valores, el valor de range de A.
L 1 2
ICI= -3 2 3 =-9 (m+ 3)
2 m -5
en d ond e ve mo s qu e e l u n ic c v alo r q ue a nu la Ie ! es m =- 3.
Po r t an t o:
oj Si 11 1 eR - {- 3 J ran go C = rango A = 3 = mirnero de incognitas Y.
aplicando el teorema de Rouche, deducimos que el istema e compatible
deterrninado.
b) im=-3
(
L L
C= -3 2
2 -3
2 ] I I, Id =0, y Como
-5 -3
1 I =5¢ ( en em a s q ue r an ge C=2,2
s iendo
A = (~3 ~ ; :2]. pero COIDO I I 2LI :t; 0, orlando este menor ca n Ill.
2 -3-5 -4 -3
u lt im a f il a y Lasdos ultima! columna:
1 I 2
-3 2 3 =0,
2 -3-S
I 2
-3 2 -2 = -20o;!:0 se tiene que rango A = 3.2 -3-4
A f que rango C = 2 y Tango A = 3, luego 1 3 1 sistema e incompatible.
MJJ1 I !mo r i eas I
Problema 3
D is cu ti r s eg un l os v al ore s d e l p ara rn str o a , y re so lv er e n l os c as asq ue p ro ce d a, e l s is tem a
{
(a + 1)x+ y + z '" a)( + (a + 1)y + z = 0
x + y + (a + 1) z = 0
La Laguna, junio de 1995
Solucidn:
P ara re so lv er e ste problema aplicards 01 t eo rema d e Rouch e-F rob eu iu s ,
Se turn de un istema homogeneo y s iempre tendra la oiucion x = 0, y ;;:0,
Z = O.Como sabes, para que tenga olucion di tinta de la tri vial es condicion
necesaria y suficiente que el rango de lamatria de los coefieientes sea cero,
ell eu yo ca se el sistema sera compatible lndeterminado ya que rango C ::::
::::ran go A <n.o de incognitas.
Calculamos el valor del detenninante sumando a la ultima columna lasotras dos, sacando a + 3 fuera del determinante como factor y buseando
cera en la tilrima columna:
a+1 a+3 0+1 1ICI= 1 0+ 1 a+3 = (a +3) I 4+ 1 1 =
J 0+3 1
a () 0=(a + 3) e a 0 = (a + 3)a2
1 1 1
q ue v ald ra 0 cu an do a = -3 0 a = O. POT tanto:
1.0
Si a ER -{ - 3, O}, e l detenninante de C no es cera, lu eg o ra ng e C == rango A = 3 = n." de incognitas el sistema e compatible determinado
(tiene ttl soluci6n trivial).
2. 0 Si a «0,
-l; D A " [ i : : n luego range C = mngoA" 1menor
que 0 1 numero de incognitas y el iema es compatible indeterminado, que-
dando rcducido a u na sola ecuacion:
19
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20 Selectividad ~6,Cieneias
{
X=((.-~
x +Y+ Z =0, cuya s o lu ci on e s : y = e x . a. j3 E R
z= ~
3.° S;a=-3,
C=(~2 !2 ~], y comb -2 1 I ; t . 0 range C= rango A =2 menor gue
1 1 -2 1 -2
el mimero de incognitas, el si s tema es c om pa tib le in de te rm in ad o u nip ara -
metrico; como la ultima ecuacion es combinaci6n lineal de las do s primeras,
ei sistema e s e qu iv ale nt e a 1 s ig uie nt e
-2 1 I :F 0 hacienda z = t, nos da como1 -2
-zx+ytz.=oy como
x-2y=z=0
soluci6n
{
x=ty =1 t e R
z= t
Problema 4
D is ou ti r, s eg l1 n e l v al or d e l p a ra rn e tr o a 9 1s is tem a d e e cu ac ia ne s
lineales
= 1
= 2
= 3{
X + ay + z2
xX-Y-+az+y-+az
Murc ia , J uni a d e 1995
Selucidn:
Para resolver este problema aplicaras, como siempre se haee en los de
este tipo, el teerema de Ronche-Frobenius.
Llamemos C a la matr iz de los coeficientes y Ala rnatr iz ampliada can
los terminos independientes,
c : : = : ; ( ~ ~l ~], A = [ i ~1 a 2 31
]1 1 all a
Ma iem ci ti ca s I 2 1
M ultiplicando la prim era fila par - 2 Y sumandola a 111segunda, y multi-plicandola por -1 y sumandola a Ia tercera:
1 all a 1 1 - 1 -2a ( .I . - 2 12-1 .Q = 0 -1-2a a-2 =(a-l) =(a-l)(~a-3)
2·] a 0 1-a a-I -1 1
en donde vernos que lei = 0 solarnente si a = lo a = - 3.
Par tanto
1." Si a E R - {- 3 I} I'aIlgo C =Tango A = 3 = n," de incognitas, as !
que el s istem a es compatible determinado.
2." Sia =-3,
C = ( ; = ~ - ~ Jy A - = ( ;1 I -3 1
-3 I ~ l l1 - 3
1 -3
11 - 3 1OtTIO * 0, fango C = 2, y orlando esre menor de A con 1<1llti-2 -1
r na f il a y las dos rllrimas columnas:
1 -3 1
2 -1 2 =10* 0,asi que range A = 31 3
] -3 ]
2 -1 -3 :0;
1 -3
y como los (angO$8011 distintos el sistema es incompatible.
3." Si a = 1 .,
[1 1 1 )
c= 2 -I 1 ;
1 I L(1 1 11) 1 1 1
A = 2 -1 1 2 ,Y como ~ 0,
1 1 1 3 '2 -1
] 1 I ~2 -1 11 0,1 1
obtenem os que rango C = 2
O rla nd o e l m en or I I I de A Con l a U l ti m a fila y l as d o s i il ti rn a s co-2 -1
lumnas:
1 1 1
2 -1 1 =0;
1 1 1
2 -1 2 =- 6 ;60, de donde range A= 3
1 3
y como los rangos de ambas matrices no son iguales el.sistema s e ra i nc om -
patible.
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22 Selectividad 9fi. Ciencias
EL E S PAC IO A F I N TRIDIMENSIONAL
Los problemas correspondientes a esta parte suelen pone r se me z cl ad o s
COD los del bloque siguiente: El Espaclo Euclfdeo Tridimensional, Debes
domiaar la ge ome tr ia d e l plano afin y euclfdeo estudiada en los curses ante-
riores, la s d is ti nt as f o rma s de d ar l as e cu ac io ne s d e u n a. r ec ta y u n p 1a no en
el espacio, el paso de unas ecuaciones a otras, las condiciones de paralelis -
mo y las posiciones relativas de rectas y planes.
Problema 1
C o ns id e rem os l as ra eta s d e e e ua cl or re s
{
X+,Y- z+3 =0r:
- 2x + z-1 = 0
y-3 zs:x+ 1=--=-, n 2
a) Hallar n para que ry s sean para le las .
b) Para el valor de n obtenldo en el apar ta d o an te ri or , d e te rr nl -
nar la scuaclon del plano que contiene ambas rectas
Madrid, junio d e 1 99 5
Soluci6n:
a) Para que las rectas sean paralelas sus vectores directores deberan
t en e r l as c o rnpon e nt es p r opo rc ion al es ,
Sean \I, y V.vectores direetores de r y s respectivamente, Una forma de
obtener 11,puede ser calculando Ias-ecuaciones parametric as de r, resolvien-
do el sistema fermado por las ecuacioues de los planes que la determinan
(otra forma muy comoda es obtenerlo como producro vectorial de 10 veoto-
res caracterfsricos tie diehos planes):
1
x : : : : - _ ! _ + _ ! _ tI:Y : : : : z- 3 2 2r: .' de donde r = = 5 1
-2x = -z -1 Y =--t- t t-e R , a s f q u e2 . 2 -
z = = t
. . . . t 1 1 ) ~ . . 1 n 2 .v,=2 -,-, 1 = == (1,1 2) YV ,= (1,n; 2), luego- =~ =- = = > n=
22 . J 1 2
M a ie m dn ca s I 23
b) El plano pedido pasa par el punto A(- I , 3, 0), s iendo des vectores
A (-1,3,0)
--/----~-------------- s
W
--~-~---------------- r
B (0,-2,1)
-+paralelos a dicho plano,el II , = = (l, 1, 2) Yel W ,AB,sjei:ldo B un punto cual-
quiera de r:
{
,t + y -2 + 3 =0 [ 1 1 [r: come '* 0 .haciendo z = iobtenenios x=0,
-2x + z-l = 0 -2 0
Y= - 2, luego B (0 , - 2 , 1), A B = = (I, - 5, 1) .
x- e I y-3 z
As! que el plano pedido sent : 1 2 . = 0 y, desarrollando,
-5 1
11 x +} ' - 6z + 8 = 0
Problema 2
Estudia, sequn lo s valores de A, la posici6n relativa de los planes
7t1==A.x-2y+z-1 =0
7t~==x- 2,1,Y+ Az- 3:: ; 0
lt3==x-4y+ AZ- A= 0
Extremadura, junio d e 1 99 5
Solucien:
Observa que la discusi6n del sistema de ecuaciones lineales nOS va a
resolver el problema.
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24 tlitlcrMdad 96 . Cimu:iJM
[
A -2
1 JSeaC= 1-2,1..;" ;
I -4 A
;t -2 1
= l-A/ 0 0
-4 A .
[
}., -2 1 I JA = 1 -1.A. A 3
1 -4 AI .{
)..~- 2 + 7 ::: 1
x - 2.ty+ k =: 3
x - 4y + k -= J
it -2 1
ICI:;; I -24 4
1 - - - 4 A .
que olamente se annla para A . = = I il -I a .t=2.
Po r t an to :
a) Si A . E R- {-l, 1,2} rango C = rango A =3 =n, " de incognitas y el
sistema es compatible deterrninado. Por tanto, los tres planes se cortan en
un punta.
b) Si A =-1,
(
-1-2 I Jc= 1 2 -J ;
1 -4-][- 1 - 2 I 1 )
A = I 2 -J 3 •
1 -4 -1 -]
y como I ~ : I ,0, rango C = 2, Yorlando est. mcnor d. A con la pri-
r ne ra f il a y la s d os i il ti ma s c olum na s:
-I -2 J
1 2 -J =0;
] -4-J
-1 -2 1
1 2 3 =-24: t 0, de donde range A;; ; :3
14 -I
Por tanto, el sistema no tiene solucidn, Observa que en este caso los dos
p rimer os p la n es son paralel s, s iendo cortados par el tercero,
c) SiA.=I,
[I -2 1J [1 -2
C;;;: 1 -2 1 ; A =: 1 -2
1-41 ]-4
1 I ) 1 1 2 13 como :t O. range C = - 2.1 I 1 -4
-2 1
pero I -2 3 :t D , asf que range A ::3 ,
2 -4 I
Y como lo ranges son. d is tin to • e1 istema no tie ne o lucie n, F am bie n e n
este case los dos primeros plano on paralelos, siendo cortado par el ter-
cera.
25
d) Si 4== 2,
[
2 -2 I JC= _~= : ; ; [
2 -2 J 1 1 1 2 2 1A = 1 -4 2 3 ; como -:;t 0 , rango C = 2,
1-422 1--4
y orlando el menor I 2 - 2 1 de A can la Ultj rna fila y la Ultima columna. al]-4
er
2 -2 l
-4 3 * ' 0, range A = 3 , Iu eg o e l s is te ma e s lncornpatible.
-4 2
Observaras que, en este caso, los dos ultimo. planes son paralelos y on
cortados porel primcro.
Problema 3
Estudiar la poslc i6n r ela tiv a d e l as raotas r y s. Da r unas ecuae lo -
ne s de u n p la no (sl e x ls te ) que cont e nga a amb as reetas
x-2 y-+3 z+1r . - - - = --- = ---
2 -3 -1
x+4 y-l z+4s: --- =---= - - -
-2 3 1
C a stl ll a- L a M a nc ha , j un io d e 1 99 5
Solucion:
2 -3 -1Como - = - =- (0 veetores directores de ambas rectas seran
-2 3 I'
: : : : : : : : , m : : = l [ : q : m o ; _ : ~ ~ ~ r T o ~ : : : ' n ~coincidentes. Par tanto, existe un plana iinico que contiene a ambas rectas,
Dicho p la no e ta dererminado p ar e l p un to P (2 , -3, -1 ) de r y 10 vee -
teres y = (2, -3, -1), \1 = P g . iendo Q nn punro cualquiera de la recta s
Q (-4, J, -4). quedando if =PQ=(-6.4, -3).
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26 Sele tividad 96. Cienclas
{
X =2 + 2a- 6/3y = -3 -3a + 4 /3z=-I-a-3,B
Las ecuaciones parametricas del plano
pedido senina, /3eR
Proplema 4
D ar la ecuaci6n de l p ia n o paratelo a la r ec ta2x-1 y 1-z--=--=--o 2
y qu e contiene a l a r ec t a (1 - A ., 2 A . . 1) .
Zaragoza, junio de 1995
Soluci6n:
{
X= -Ay=21\.
z = 1Com o observaras , de 1 a s egunda recta nos dan sus
e c ua ci on e p ar ame t ri ca s:
L as e cu ac io ne s c on tin ua s d e a m ba r ec ta s s on :1
_[--
x-I y- O z-lz-I---=-=-- Y __=--=--0 2 -1 -1 2 0
Por conrener a la segunda recta, cl plano pasa por P (I, 0. 1) y po r las
condicione del enunciado, sera paralelo a los vectores directores de amhas
rectas:
v ' = (0.2. -1); W= (-1,2,0)
luego la ecuacion del plano era:
o -1 x - I2 2 )' ;;;0 0, Ydesarrollando, 2 x + y + 2z - 4 = 0-1 0 z - I
E L E SP A ClO EUCL ID EO T RI DIMEN SI ONA L
Repa a a fondo todo 1 0 relative a :ingulos entre vectores, rectas y pla-
n o'; p ro du ct o e sc ala r, vectorial y r ni xt o; d is ta nc ia s. areas y v ol um e ne s.
E IllUY fiir;jl que te pidan resolver problemas 0 cuest iones para las que
tengas que emplear concepto relacionados con e te bloque el anterior.
Ml.ltlllfldJrca.s J
Debes tener pre ente que e ponen muchos ej rcicios del espacio afin y
del euclfdeo.
Problema 1
H alla r la s e cu ac lo ne s d el lu ga T g eame tric Q d e to do s lo s p un ta s d el
plano x=y q ue d ls ta n 1 d el p la no 2x - y + 2 z =.
M ad rid . ju nio d e 1 99 5
Solucion:
Se a P (x. y, z) u n p un to cu alq uie ra d el.Iu gar g eo me trico p ed id o y
1r: 2x - Y + 2 :: :- 2 = O.Como
1
2 :t - v + 2 ~ - 2 1 1 2 t " - y + 2 2 : - 2 = 3d (p , T r) = . = I~ 0
,,)22 + (-l)l + 21 2x-y 2z - 2=-3
y e l p un ta P Liene q ue e star tam bie n e n e l p lan o x = = y , el Ingar geometr ico
p ed id o s era la u nio n d e 10 punto d e las rectas r y .1', s iendo:
12 x . . - ) ' + 2, - 5 -= O. . 1 2 x . - y + 2; : + 1 = 0
r: • s.x=y x=y
cuyal>ecnaciones pararnetricas on :
IE R
j
X=l
v= ! t e R. 1 ' :
z= -21- ~
E n o rras p alah ra s, e l Iu gar g eo me trico p ed id o e s e l e on ju nto d e p un to s
de do s recta p ara le la s q ue tie ne n d e v ec to r director v = ( 2, 2 , - 1) , p a sa nd o
una po r el punto (0,0, - ;) y l a o t ra pOI el punto (0 ,0 , - + J .
27
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28Selec/ivldad 9~. Cien lHas
Problema 2
Dadas las rectas
>:-1 Y+2 z-1.--= _
3 2 - 4
x+2s:---1
y-3---
2
z-23
a) Estudiar su Posic l6n re la tlva e n e l e sp ac io .b) Haller la d i st a. nc ia en tr e e l ia s.
Mad ri d, J un ia d e 1 99 5
Solucion:
Consideremos If. ::::3, 2, 4) Ys, = (-1. 2. 3) vectores directores de
3 2a ru ba r ec ta s, Como -1 ;c - , las rectas no SO D paralelas, l ue go s e c or ta n
- 2
o e cruzan,
Sabemcs que A (1, -2, 1) es un punto de r y B-2, 3. 2) es un PUDto de sy AB = (-:3.5, l), Como
3 2 4
-I 2 3 * 0 las rectas se cruzan.-3 5
b ) Para contestara es re ap arra do p ue des ap lica r directrunenL~ Ia
formula que da la distancia entre do rectas que se cruzan (can nita el libra
de texto), 0 razonar como 10hacemos a continuacion:
La distancia pedida es ig\Jal a la di tancia de un punta A de La recta r al pia-
no n; que, conteniendo a la recta s, e paralelo a la recta r. Por tanto, comoA (1, -2. 1) y
r
d ,,,---~--
..s
n :
MallImtilicl.l.\· I
7 &:
-I 3 x+2
2 2 y-3 =O=>2x+ 13y-&-19=0
3 4 ;:~2
Tendremos:
Problema 3
Considaresa la figura siguiente:
A (J. 1 . 0 ) D
~/_7C(2. 2.0)l-l,-I,-I)
Sa plde:
a) C oo rd en ad as d e D para que ABeD sea un paralelogramo.
oj Area d e e s e ps ra le lo g ramo.
Madrid, junio de 1995
Solud6n:
a ) Se a D (.t, y. z) . Como A D = Be. tenernos:
(x-1,y-l,z)=(3.3,1)=> {;:: JuegoD(4.4,l)
z= 1
b) Como sabe ;
S=IBA xBCl
kI = (-1. 1 . 0 )1
_ ,i
BA x BC = 2
3
_ ,j
2
3
29
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28 SeleGilv!'dad96. Clencias
Problema 2
D a da s l as rs cta s
x-1 y+2 z-1r:---=---= --
3 2 4
x+2 y-3 z-.2s : - -- =---;::; ---
-1 2 3
a ) E stu dia r s u p@ slc io n r ela tiv e e n e l e sp ac io .b) H alf ar l a d is ta nc la e n tr e e li as .
Madr iO. Junia d e 1 995
Solncion:
Consideremos v , = (3, 2, 4) y v, = (-1. 2, 3) vectores directores de
3 '2ambas rectas, Comn - i- - , las rectas no son paralelas, lueso se cortan, ., -1 2; ~
o s e c ru za n,
Sabemes que.A (1, -2,1) es un pun to de t y B (-2. 3,2) es un punto de sy A N = ( -3, 5,1). Como
3 2 4-J 2
-3 5
3 ;t 0 las reetas se cruzan.
1
b) Para contestar a este apartado puedes aplicar direotamente la
formula que da Ja distaneia entre des rectas que se cruzan (consulta elIibrode texto), 0 razonar como 10 bacemos a continuacion:
La distancia pedida es igual ala distancia deun punto A de 1&recta r al pla-
no 1t que, conteniendo a larecta S, es paralelo a la recta r. Por tanto, como
A (1 ~2, 1) y
,,,
d :,.. ~ .. s
M afermitir:as I
-J 3 x+2
n: 2 2 )1-3 =0~2X+ 13y-8z-l9=O
3 4 z-2
Tendremos:
51
~237
Problema 3
Cons id e re s e l a f jg u ra s ig u ie n te :
A (1, 1.0) D
L _ _ / IB (-1, -J,-1) C (2,2.0)
S e p id e :
a) Coordenadas de 0 p a ra q ue ABeD se a u n parale loQramo.b) A re a d e e se p ar al el oq ram o,
M ad rid . ju nlo d e 1 99 5
Solucien:
a) Se a D (X ; y, z). Como A1 J =B C, tenemos:
(x-l, y -1, z)=(3, 3, 1) ~ {;:: luego D (4 4, 1)
<:=1
b) Comb sabes:
S = lE A x 81:'1. . . . -+ . . . ,1 j k
B If x B e = 2 2 1 =(-L; 1.0)-
3 3 L
29
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30
Problema 4
Determlnar la dlstancia del punto (1.1.1) a . la recta de ecuaciones
{
X=2+t
y=1-t
z=4
Juslificar geomelrlcamente Ie r es ol uc io n d e l p ro b lema.
Murcia, J un ia d e 1 99 5
Solucion:
Sea P (1.1.1) y d la distancia pedida, Observando 1a f ig u ra a d ju n ta ,
v em o s q ue la d is ta nc ia d e Par e la m ed id a d el se gm en to PQ . t ra za do po r P
perpendicular IIr.
Si J 1 es un vector director y unitario de- r y A es un punta cualquiera de
Ia re cta, e cum ple que
£p x i t l = l A P I'III!sen Ct ~ I iF I sen ex= d
P
r
-I
Par tanto. tomanda A (2, I,4), A P = (-1. O.-3),Y como un vector director de r e s 1 1 = ( ] , -1, 0).
Vil---=
w i
(1,-1,0)
-f2(1 -I ). ..1:__' . d- 0 seraunvecrorefrecrorunrtano cr.
- 12 ' ,p'
Ma/('mli1ic:us I
Pero ip x it = (- 3 - 3 I ). . f 2 ' -l2' .{2 .,de donde
k-3 =
j
-1 0
1 -1
{2 {2 0 I
!(-3 -3 I) I fI9
d= \{2' 12' -I2 fT
L fM r rE S. C ONT JNU IDAD Y DER1VAB lL ID AD
Aparecen con mncha frecuencia en las Pruebas de Sele tividad los pro-
blemas relacionados con esto temas. Para re olverlo e necesario que
manejes con soltnra los eonceptos de Ifmite, continuidad y derivada de un a
funcien en un punto, calculo de lfrnites indeterminados , reglas de deriva-
cion, propiedades de la tunciones continues y derivable en un intervale, y
particularmente la regia de L'Hopital y 10 teorema de Rolle, Bolzano y de
Cauchy (0 de l valor medic).
Problema 4
Dada la funclon
!
3-axt, xS 1
f(x) 0= 2-, x s tax
a) l.Para qu e valores del pararnetro a es continua?
b) C,Paraque val or es de a es denvable?
Madrid. junio de 1995
Solucion:
Para x < L,j(x) = 3 - ax". y puesto que es una funci6n polinornica sera
continua y der ivable cualquiera que ea el valor de Q.
31
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28 Selectividaa96. Cieneias
Problema 2
Dadas las rectas
z- 1
4
x+2 Y-3 z-2s;--=--=---
-1 2 3
x- 1r:---=
3
y+2
2
a) Estudiar su p o si ci on r el atl va e n el espaclo.
b)Hallar la distancla entre- elias.
M ad rid , ju nio d e 1 99 5
Solucion:
Consideremos V, :=; (3, 2, 4) Y v, = (-1, 2, 3) vectores directores de
3 2amb as r ee t as . Como - i;. - , las reetas no scm para lelas , luego 5e cortan
-I 2
o se cruzan,
Sabemos qu e A ( 1 . , -2,1) es unpunto de r y B (-2, 3,2) es unpunto de s
y A B = (-3, 5, 1), Como:1 2 4
-1 2
-3 5
3 : ; t : 0 las rectas 5e cruzan.
I
b) Para contestar a este apartado puedes aplicar directarnente la
r6nuula que da In distaneia entre dos rectas quese cruzan (consul ta el l ibro
de texto), 0 razonar come 10 .haeemos a continuaci6n:
La distancia pedida es igual a la distancia de un punta A de la recta r al pla-
no 1t que, conteniendo a la recta 8, es paralelo a Ia recta r. P o r ta nt o, como
A (1, -2,1) Y
r
s
n:
Matemailcas I
-1 3 x + 2
s t: 2 2 Y - 3 =0 ~ 2x + l3y - 84 - 19=03 4 z-2
Tendrernos:
1
2. 1+ 13 . < -2 ) . - 8 . 1 - 19-d (A , 1 r ) =-:;=======--=--
i1 . ,+ 13 ' + (-8).a 1227
5 1
Problema 3
Oons ld s ra sa l a f ig u ra s ig u ie n te :
A (I, 1,0) D
L _ _ / _IB (-1, -1, -1) C(2, 2, 0)
Se pide:
a) C oo rd en ad as d e D p ara q ue ABeD s e a un pa ra le l oq r ar no .b) A re a d e ese para ls loqramo.
Madr id , junio d e 1 99 5
Solucion:
a) Sea D (x, y, z). Como , . r b =: B e , tenemos:
(x-l,y-l,z) = (3,3, 1)~ { ; : ! luegoD (4,4,1)
z= J
b) Como sabes:
s= lBJi x Bel. . . . . . .j k
2 =: (-J, 1,0)
3 1
. . .i
SA)( B e =: 2
3
29
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26 Seleeiiv;dad96. CiBm:ias
~
x ",,2 + 20:- 6f3Las ecuaciones pararnetricas de l plano y ; ; ; ; -3 -30: + 4 /3 a, /3 6R
pedido seran ~ -1-a- 3/ 3
Problema 4
DB I,. d I I 2x-1 Y 1 - z
r a ecuaclon e p ana para lslo a la recta --=--=_-o 2 1
y que cont iene a la recta (1 -;t, 2 A . , 1).
Z ara go za , ju nio d e 1 99 5
Solueion:
Como observaras, de la segnnda recta .q.OS dan sus
ecuac iones pa ramet ri c as : {
X::: 1- A ,
y::: 2 A .
Z = 1
Las eouaciones continaas de ambas rectas son:
1x--
2 z- [ x-I y- O ~-1--=--=---I 2 0
y----_o 2 -1
y
Por contener a Ia segunda recta, eLplano pasa par P (1, 0, 1) Y pOI las
condiciones de l enunciado, sera paralelo a l os v e ct or es d ir ec to re s de ambas
rectas:
" it ' " (0 , 2, -1); W = (-1,2. 0)
l ue g o l a e c ua ci on del plano sera:
o -1x- I2 2 y =0, y desarrollando, 2x + y + 2z - 4 ;;;;°-[ 0 z- 1
E L E S PA C IO EUCL ID E 0 T RI DIMEN SI ONA L
Repasa a fonda tode 10relative a <ingulosentre vectores, rectas y pla-
nos; producto escalar, vectorial y mixto; distancias, areas y volumenes.
Es muy facil que te pidan. resolver problemas 0 cuestiones para las que
teagas que ernplear conceptus relacionados con es te bloque y elanterior,
MlJ,iematicas J
Debes tener presente que se poneo muchos ejercicios del espacio afln y
del euclfdeo,
Problema 1
H a ll ar [ as e a ua cl on e s d e l l ug ar g eo rn e 1r ic o d e t od o s l os p u nto s d e l
plano x = y y q ue d lstan 1 d el plano 2x - y + 2z = 2 .
Madr ld , junio d e 1 99 5
Solueion:
Sea P (x, y, z) un punro cualquiera del Ingar geometrico pedido y
n -: 2x-y +2z- 2 =0. COinO
!
2X_Y+ 2z-2=3. Z< t-y+ 2z-2 . .
d { P ' 1 t " ) = = =l=> o
122+(-1)1+211
2x - y + 2z - 2=-3
y el punto P tiene que estar tambien en el plano x = - y, el lugar geometrico
pedido sera la union de h s puntas de las rectas r y s, siendo:
{2x-Y + 2Z-5=0 {2x-Y + 2Z+ 1=0
r: ; s:x=y x=y
euyas e c ua e lo n es p a rame tr ic as s o n:
{::~
1 ':
- 1 t
z= T-2
t e Re R
En otras palabras, el lugar geometrico pedido es el conjunto de puntos
de dos rectas paralelas que tienen de vector director V = (2, 2, -I ), pasando
una por el punto (0,0, - ;) y la otra por eJ punto (0, 0, - + ) .
27
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30 Selefftividad96. Clencias Muwllmicd.!! I 31
Problema 4
D e te rm in ar l a d is ta nc ia d e J p u nt o ( 1,1 ,1 ) a l a r ec ta d e e c ua ci on e s
{;:~~;z=4
J us ti fi ca r g e om e tr ic am e nl e l a r es ol uc i6 n d e l p ro b lem a.
M urc ia , ju nio d e 1 99 5
-+ -;I -+
i J k ( - 3 - 3 1 )ero A P x 1 1 = -1 0 - 3 = {2' ~. 12 .de donde1 -1-- 0{2{2
I (- 3 -.3 1 ) 1 i l 9
d= _ , f 2 ' {2' 12 ~2
LfMITES, CONTlNUIDAD YDERlVABILIDADoluci6n:
Sea P (1,1, I) Y d la distancia pedida. Observando Lafigura adjunta,
vemos que 1adistancia de Par es la medida del segmenro PQ , trazado _porP
perpendicular a r.
Si 1 1 es un vector director y unitario de r y A es un punto cualquiera de
la recta, s e c ump le q tl e
I A P x i t l = l i i > I · l l 1 l sen d = I A P I sen.n =d
p
\
\ d\
\r
Aparecen con rmrcha frecuencia en las Pruebas de Selectividad los pro-
blemas. relacionados can estes temas. Para resolverlos es neeesario que
ma ne je s c on soltnra los conceptos de limite, continuidad y derivada de una
funci6n en un punto, caloulo de llmites indeterminados, .reglas de deriva-
ci6n, propiedades de las funciones centinuas y derivahles en un intervale, y
particularmente la regia de L'Hopltal ylos teoremas de Rolle, Bolzano y de
Cauchy (0del valor media).
-I
Pot tanto, tomando A (2,1,4). AP :;0 (-1.O.-3),
Y como un vec to r d i rec t or de r es 1 1 = (1 , -1 , 0) ,
il = _ £ _ = (1 , -1, 0)
1 1 1 1 {2(1 -1 )' direotor uni . A= _ _ _ _ 0 sera u n v ector . tor unitano ue T.
42 ' 12 '
Problema 4
Dada l a f ll !1 c l6n
{
3 - ax;. xS1
I(x) = 2-, x>1ax
a) tPara que va lo re s d e l pa rame tr o a es con tinua?
b) l ,. P ar a que va lo re s de a es derivable?
M ad rid , ju nio d e 1 99 5
Solucron:
Para x < I, l(x} = = 3 _£lxI, Ypuesro que es una funcicn poliriomiea sera
continua.y derivable cualquiera que sea eLvalor de a.
Mat~m6ii6(lS 1
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32 Selectividad 9 6 . Ciencia«
2 f ., . IPara x> 1, f (x) = - , -y como se trata de una uncien raciona
ax
cuyo denominador no se anula (solo se anularfa en el caso de que a = 0, encnyo caso lafuncion no estarfa definida), la fund6n es continua y derivable.
Po t tanto, s_610nos falta e s tu d ia r l a c on t in u id a d y derivabilidad en x = = 1.
a) Para que la £UncioD sea continua en x = I, debe de es tar deflnida en
x = 1, tenet limite 1que ambo s v al or e s eoincidan .
P ar- a q ue Ia fu nc id n te ng a lim it e e a.z = l .J os l at er al es d eb en d e s er i gu al es :
lim f(x) ==im (3-lU2) = 3-a
"...i· ..-1
2 2
lim f (x) = lim -_. = = -. . . . . .J. .\'-41' ax a
2Por tanto, J -0 .=.- = > aZ_ 3a + 2=0, de donde a: = 2 y a = 1.
a
Como para a = 1f (1) = = 2 lim f (x), la funcicn es continua.\'-1
De la misma forma, para a = 2 f (2) = 1 := lim f (x), Yla funcicn, es eon-t. ~42mua .
b) Para que la funcion sea derivable en x = 1, es necesario que sea
continua y,ademas,Jas derivadas Iaterales tienen que ser iguales:
j .X <1../' (x) =-2~
para .x > 1,/' (x ) ==--ax!
2POl ' tanto: si a = 2 f' (1+) = = - ~ =-1 ; f' (1-) =-2 · "2. 1 :=-4, y la
funcion no es derivable,
251 d =1 l'(I+ ) = - - -; ; ;; : . -2;f' (1-) =-2 . 1. 1=-2,
] .I'
y la funciones derivable.
Problema 2
Calcu lar e i lim it e
M a dr id , J un ia d e 1 99 5
Soluoi6n:
Se trata de un . caso de in de te rm ih ac io n d e let forma _Q_. Aplicando de so
veces la regia de L'Hopital resolveras el problema sin nlnguna dificultad:
C2-x)e'-(2+x) -e'+(2-x)e'-1 -e'-e~"_(2-x)e'l im, =lim = lim = 0, . . . D x" x , " , o 2x '-00 2
Problema 3
De te rr nl na r e J po li nom io P(x), d e g ra do rne no r 0 igual que S , taJ
q ue f a c urv a y '" p(x) s ea ta ng en te a la s re cta s y = 2 - x, x + y = 0 enlos p u nt os d e a b sc is a x= 0 y X == 1, respectivamente.
Z ara go za , j un lo d e 1995
Solucion:
Seap(x) = axl + bx1. + c . . " t + d; Y =a;rl + QX~ + ex + d
P or se r la primera recta ta ng en te e n e l punto de abscisa x = 0 , I a curva gasan i
p or eL punto ( 0, 2 ) de la re ct a; p or s er la s eg un da re cta ta ng eo te en el punta de
abseisa ze , la curva pasara par el punto (1 , -1) de dicha recta.Por tanto;
para x = 0 , a· 0 3 + - b . 0 2 +c . 0 + a := 2 , a sf q ue d =2
para X= 1, a- P +b· F + c 1+ 4 =:-11 de donde a + b+ c =-3
Reeordando el significado geometrico de la derivada, Ia derivada de y =
=p(x), en x =0 debe de S 0r - ] ( pe nd ie nt e de y = 2 - x » ) I . en x = I, tambien tiene
que ser -1 (pendiente de x + y = 0), y como y' = 3a.t1 + 2b x + c, tendrernos:
x =O~ 3aO~ + 2bO + c =-1 dedondec =-1,X= J : 3a12+2bl + c= -1 por tanto3a+ 2b = 0
33
S e i e . c t i l l l d & 1 ,96. Ciet!r;iali Matenuitlcas. 1
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b) Para resolver este problema puede ayudar el tener un l igero esbozo
de Iii graflea de la funcion entre x =-1 Yx =l:
sabernos que la funcion es continua y estriotamente creciente en [-1, 1],
siendo f(O) = 0
(ademas, como f" (;t;) = -4 e ' l . < < 0, 'V x 6.R, III funcicn es convexa): asf que
1a grafica tendl-a La fo rm a q ue se indica en la figura,
POf taato:
S=~J~,2x - e - 2 . ' + 1) dx - J ~ (2x + e-lJ+ 1)dxn 3+ e 2 .J _I (-21" + e - 2 > +1)dx = [_Xl_ e= +X]~I=--
2
I [ e - l J t J J + «"L(2x-e-"'+ l)dx= X!+-2-+xJa=-2-
3 - e 2 3 + e- 1 e-l + e 2-
De donde S = -- ~ + - - - =3 +---222
y
(Realmente, no uecesi tamos tenet la grafica de la funcion, Com.o sabe-
rnos ~ue Lafuncidn fS continua y s610 l ie anula en x = 0, con seguridad
s= i L lex) dx I +IJQf (x) dx b ·
EsrUDIO DE LA VARlACION DE UNA FUNCI6N
Repass los conceptos de creeanieneo y decrecimiento, concavidad y
c on ve x id ad , m a xi mo s, m fn im o s y puntos de inf lexion de f un ci on e s r ea le s
de variable real, as f como los prooedimientos de su dilcuJo. Recuerda que
Y .reselviendo el sistema de eeuaoienes abtenido , quedan determinados los
coefioientes del polinomio:
1~ : ; ] ~ a = 4, b = -6, C = -I, d = 2
a+ b+c=-3
3a+ 2b = 0
P ro bl em a 4
a) S i la d eriva da d e u na fu no i6 n f as mayor que ce ro en todo
p un to , p ro be r q ue n o p ue de h ab er d os p un to s d ls ftn to s X, y t al es q u e
fix) = = .f {y ). Te nie nd o e n o ue nta e sto , d em os tra r q ue la tu nc i6 n fix) == 2x - e~' + 1 s ola me nte s e a nu la e n x= 0 ,
b) C a lc ul ar e J area de la regiQn l im /ta d a p a r l a g r a f l C : : 8 d e Ie tu n-
c io n a nt er io r , e l e je X y l as r e ct as v e rt ic a le s x = -1 Y x = 1.
E x tr em a du ra , j un lo d e 1 99 5
Solucion:
[Evidentemente, e1apartade [})oorresponde at tema de aplicaciones dela integral definida.]
a) Procedemos par rednceion al absurdo:
S up on gam os q ue e x is te n x e y titles que .f{x) = f tY); como f es derivablepara t od o v al or real, la funcion e s c on ti nu a. A sf gue:
fes continua en [ . 1 ; , y]
f es derivable en (x, y)
j(x) r=fly)
De donde apl icando el teorema de Rolle, dedncimos que 3c E (x, y) tal que
f' (c) = 0, en contra de la hipotesis . Por tanto no pueden e x is ti r d e s r ea le s
d is ti nt os x , y tales quej(x) =.f(y,)
Consideremos lafuncion :
lex) =2x-e-2:> + 1 :
f(O) =2· O-e-H+ 1=0
/'(x) = 2 + 2e......> 0, ' V o X E R
As1 q ue , e n virtud de 1 0 · demostrado anteriormente.jselc puede anular-
se en.x=O.
36 Seleettvtdad 96 . Ciencias M.a 'ematil ids .I 37
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en rnuchos eases el estudio del po ible maximo 0 mlnimo de UJl punto criti-
co se hace comodamente .mediante el estndio del signa de la derivadapr i-
mera; igualmente a veces el estudio de los puntos de inflexion se hace miry
faci1 estudiando e1 signa de la derivada segunda.
Procura adquiri r destreza en la resolncion de problema de maximes y
mfnimos.
Problema 1
E n la figur? se raprase nta la grafica d e la d erlvad a /' de clertatuncton f
r
o
Con este d at a, d e te rm in ar s l existen rnax l rnos, min imos ( re la t ivos)
o p unta s d e inflexion d a fe n lo s p un tas d e ab sc ls a x = 1 Y X= 2.
Madr id . j un i a de 1995
Observa que en z =1 f" pasa de se r positisa a ser negativa; p ar t an to
pasa de ser estrictamente ereciente a efotrict~ente ~e.credent~. Como en
x = 1festa definida (ya que existe f' (1), tendra un rnaxnno rel~tlvo.
Por otro lado, en x "" 2 f' pasa de ser deereciente a s e c creciente, asf que
f p asa d e se r can vexa a ser c6nca va, y. como Iafunci6n esta definida en x =2,
tendra un punta de inflexion.
P rob le ma 2
Ha ll ar l os Interval as de e re c im le n to y d e cr ec im ie nt o d e la t un clo n
4x+5/(x)""
2.x-3
Ma dr id , [u nio de 1 99 5
El dominic de la fnncion es D = :R - {~} . Como
/' (x) _ 4 (2x-3)- (4 .X iT 5)2 _ -25 0 'rl D fu.... ---- < ,y.t E ,la nci€in es. - (2.x-3)2 - (2x-3)'
estrictamente decreeiente en 'todos los pnntos de su dominic.
Problema 3
Un a delta funclon de r iva bl e / : R -J. R verlfica qu e ((0) = -1 Y qu e
I' (x) s 2. "Cuanto e s 10 m ax im o q ue p ue de !legara v ale r ~ 3)? tH ayalguns funci6n eon esas ca rac te r is t ioas para la que ~3) es p r ec isa -me nte e l v al or d ad o e n la r es pu es ta a nt er io r?
S e villa , [ un lo d e 1 99 5
Solucion:
Par los datos que te dan, parece 16gica que 10intentes resolver utilizan-
do el teorema del valor media en el intervalo [0, 3]:
como f es continua en [0, 3] Yderivableen (0, 3) existe C E (0, 3) tal
que
1(3) -/(0)=1' (c) (3- 0).dedOOM
1(3)= 1(0) + f' (c) (3 - 0)'-;;- I + 2 ·3 =5, Iuego el maximo valor que
puede tamar es 5.
Para contestar 1a segunda parte, podemos intentar probar COil la fun-
cion mas sencilla que pasa pOI los puntos.A (0, -1) Y B (3, 5), que es una
recta:
como para esa recta, m : =
+=2 = = r (x), \;f X E R. tendremos
y- (-1) = = 2 (x - 0), y, evidentemente, la fnnci6n y = 2x - 1, que verifica las
condiciones dadas,
Malenuitica.li 39
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38 Selectividad 96 . Clencias
P ro bl em a 4
E nc on tra r las d im en sione s d e un trap ec io ins crito e n u n s em i-
c lr cu lo d e r ad io J :l p ara q ue s u a re a s ea m ax im a. (V er fig ura ).
b
II
Zar ag oz a, ju nio d e 1 99 5
Solncien:
(2 R + b ) hFuncien de la gue t ienes que ballar elvalor maximo: S = c . . . . . . . . _
2
(b ) 2 ~ 4R7.-p"
pero entre b y h exisre In relacioni R2:= 2: + h 2 ~ h ;:: 2
quedandonos S ;;;;(2R+bH 4W-b"
4
y derivande respecte de b:
S'=~(14R2-b~ + (2R +b) _ -b ) =4 . ~4,W-b2
1 -2s» : 2Rb + 4Rl:= ----;:=====-- , y para que la derivada sea cero4 ~4Rl-b7.
- 'Ib? - 2Rb + 4 R 2 = 0 ~ b := -2 R, b =l{
luego: b =R; Ii = R J ~
REPRESENTAcr6N GRAFrCA DEFUNCIONES
Todos los conceptos del tema anterior son de aplicaci6n en.la obteneion
de una grafica. Repasa el calculo de asfntotas, En algunos cases conviene
q ue m ilic es u n c ua dr o q ue re su ma t od a 1 a in fo rm ac io n o bt en id a d e la g ra fio a,
P ro blem a 1
Se c on sid e ra la c ur va d e ssuaeion
4x-12
Y= (x-2)'
Encontrar:
a ) D om in io d e d e fin ic io n y c or te c on lo s e je s .
b) P o slb le s e x tr eme s ( no s e p ld s d e te rm in ar s u c ar ac te r) .c) Asfnto1as y r eg iones . Ex t remos.d) Rep re sent ar g ra fi cament e l a cu rva .
Murc ia , j un io de 1995
Solucion:
a) D =R - (2), y a que x = = 2 es e l un ice valor qu e anula.el denominador,
Corte COn e l e je OX: paray = OJx : = : 3 . a sf q ue s .e ra e n e l_punto (3 , 0) .
Corte can el eje O¥ : para x =O.y = ~3, luego sera en el punta (0, -3).b ) Derivando la fnneion:
-4x+ 16y'= , y como la funcion es derivable en todo su dominie, en el
(x- 2)'
unieo punto que puede tener extreme es en el que se anula la derivada, 0
sea, 'en x = 4.
Sdect1vU/ud 90, Ciencias
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40
c) honwnta.les:
4x- 12 4x- 12lim =0;. lim ----. r .. .. . _ (x-2)' , - + - - (X_2)2
Vertictlles: solamenre tiene la X :=2,
Obl icuas: como tiene horizon tale no riene oblicuas.
Reg tones :
o , luego y = 0 e asfntota horizontal.
4(x- 3)y , luego si x > 3, )'<> 0 y si :c < J, )1, < 0= (x - 2)2
Extremes:para calcular el extreme podemos estudlar el signo de la derivada y asl ten-
dremo m a s informacion para la representaci6n de la curva:
4(-x+4) bi de si tara 2' 4'Y' = I luego los cam lOS e signo es aran en x = yen x = ,(x - 2)l
si X E ( , . . . . : 0 0 2), ) 'I (x) < 0, y decreciente;
st x e (2,4), y' ex) > 0, y creciente;£ 1 x E (4, + 00) y' < 0, y deereciente:
asi que en x =4 Is funci6n I lene un maximo re la tive M (4 J ), ya que Is fun-
ci6n pasa de creclsnte a decreciente,
d) Rep re s en t ac io n g r af ic a:
y
MalemlJliclls I
Prob lema 2
.!Dibujar la graf ica de Is curva: y = 2x + 3x l •calculando previa-
mente:
s) campo de exislencia;
b) corte con los ejes;
c) crecimlento, decrecimiento y extremos re!atlvos;
d) asintotas;
e) pendlente cuando x - O· YX -'10-,
Zaragoza, junlo de 1995
Soluci6n:
a) y = 2x + 3 ! . [ : i : ! , y, por tanto, D = R.b ) Puntas de corte con el eje OX: en esos punta y = 0,
2x+3 \ I x l : o = = > ( 2x ) J= ( _3 1~ JX I( 8x +27 )=O : :: :: > x=O . x =-~ 7
(-27 )
Ylos puntos de corte seran P (0, 0) y Q -8-' 0
HI punto de corte con el eje OY sera el P .
c) Y ' = 2 ( 1 + l J x ) . 'I el "Signasera:1 1
1 + -- > 0 => 1 > - -- = = : > x < -1 a bien .t > 0
17 P1 1
1+-- < o : = ) 1< - 3 -- = = : > - 1< x < 0, luego
V Fsi x E (--. -1) U (0 + co), y' > 0, y 1a fullci6n es es t ri c tamen te c r eci ente ;
si x E (-1,0), Y' < 0, y la funci6n es estrictamente decreciente;por tanto, Ia funci6n tiene un maximo relatrvo en x = -1, M (-I, 1), Yu n
minimo relativn en x = 0, fIl (0, 0).
d) hortsmtates:
: ~~ _( 2 x + 2 ~)= + 00; lim (2x+ 2 J ~ ) , = lim x ( 2 + ~ ) = _DO ••~- ~ ,H__ F
luego nohay asfntotas-horizontales,
41
42 Sefecrjvjdad 96 . CienciasMalf!nuifh"cu I 43
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verticales: no t ie n e .
Oblicuas: y = IIlX + h
2x + 2 J ( x 2 . ( 1 ) . . ( , )11 1 = lim .. = lim 2 + J r:- = 2; h = lim 2x + 2 1X!- 2x =+ 00
; t ;~+=- X -1 '- 1x -'.""""t-"
(i ~ - "", ocurre 10m is mo ), lu eg o n o na y oblicuas,
lim y'=lim 2 ( 1 + J ~) =-00
A - t ' O . . . . . . 0 ., X
C on t od os e st es d at os p ue de s d ib uja r 1 a g ra fic a
y
x
I NT EGRALES INDEF IN IDAS
Repasa el concepto de primitiva de una funcion, integral indefinlda y
su s propiedades, De be s t en er soltura en el calcnlo de inregrales inmedia tas y
en Ius metodas de i nt e gr ac i6 n e l emen ta le s : a) i nt eg ra ci 6n p or p ar te s, b)
in te gr ac io n d e f un cio ne s r ae io na le s, c ) in te gra le s q ue p or cambia d e v ar ia -
b le s s e c on vie rt en e n ra cio na le s. T OO os lo s p ro ble m as q ue p ue da n a pa re ce r
l os r es o lv e ra s c an e s te s c o no c im i e nt o s.
Problema 2
I
Oe t ermina r l a p rim it lv a de f (x ) = = xa In x que pase por e l punto(1,3)_
Z ara go za . [u nlo d e 1 99 5
Solucidn:
P or e l t ip o d e f un ci.6 n q ue ~ ~ ne m os q ue in te gra r, p ar ec e 1 6g ic o q u e a pli-q ue mo s e l metoda d e integracion por parte . C onviene h acer In x = u yaque can este carnbio du es racional: •
f i 3 1 f 3 s. 1 3 s . 3 f ' ; 'x 1nxdx=-x' lnx~-r-dx=-x' Inx-- jJ dx«
5 5 x 5 53.! 33.!=_xJ Inx--·-x +C555
I
1u=]nx; du =-rix
x 5
~ ~ 3 X3dv=xJ dx;v= f X j dx=-5-
L ue go e l c on ju nt o d e to da s las primitivas de la f u nc i6 n s e ra
3 _ l _ ( 3 )F(x)=5x' lnx-s +C
como P (1)= 3, 3 = ~ ( 1 0 x - ~ ) + C => C = ~ ;
3 l_ ( 3 ) 8l a f u nc i6 n p ed id a er a y = - X l In x _ _ + ~5 5 25
Problema 2
Hacer eJ cambia 1 X = t pa ra ob te ne r una p rlm it iv a d e l a funci6n j { A ) = _ ! _{X
E xtr em ad ur B , J un io d e 1 99 5
44 Seil!ctividad 96 . Ciellcifd MaleTrul li ca. , I 45
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Soluci6n:
En el enunciado te dicen e1 cambio que le convierte la integral en un a
racional.
f -1-d.x= J~dt=2 ) ' ( 1 _ _ 1_) dt= 2 (t-ln 1 1 +11) =1 +(.i" 1 + t I +'
=2(ii-1D(I+rX) ) + c
1x = t; x-= l~; dx = 2tdty u na p rim itiv a pue de e r y ::: 2..JX - 2 In (1 + -f"i)
INTEGRALES DE lN ID A S. A PL IC AC ION ES _-Para resolver los ejercicios de esta parte, debes dominar el calcnlo de
p rim it iv as , R epa sa e 1 eo nc ep to de integral definida, el teorema fundamental
del caleulo, Laregia de Barrow y el cineula de longitude. areas y vohime-
nes ntilizando integrales definidas,
Problbma 1C a lc ul ar e l area d e la re gi6 n IIm ita da p or la s c urv as
y=}(~ y=x
y las rectas x= -1 y x = 1
M ad rid . [ un lo d e 1 99 5
Soluci6n:
Se pide el area de laf igura rayada,
x
I
"3y=x
Prob lema 2
S I~ ' I
aa F(x) = 0 e' dt. Hallar el valor de F' (0).
Madr id , J un io d e 1 99 5
Solueion:
Supongamos que G (t)::: J e' d r, es decir, qu e O C t ) e s u n a p rim it iv a de e",
A plic an do la re gIa d e B a rro w: F (x) = [G (t)J~ -= G (2 x) - G (0 ).
y d er i va nd o re sp ect o d e x, y te nie nd o e n e ue nta q ue G ' ( 1) : :: e' , renemos:F' (x) = G' (2 x) . 2:: e ( lc)' • 2, de donde F' (0) = - el. 2 = 2.
Problema 3
Hallar el a re a d e Is regl6n comprendida entre las parabolas
y=x, y=-2x·+3
M ad rid , ju nie d e 1 99 5
Solucion:
Se pide el a re a r ay ada en la figura.
Puntas de corte de arnbas curvas:}'
{
y = x ·; x=±l
y=_2xl+ 3
44 Selectividlld 96 . Ci'l.IIciQ.~ l I 1 1 1 t eJ l l u l ic Q . S I 45
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So luci an:
En el enuneiado te dicen el cambia que te convierte Ia integral en una
racional,
J - . _I_diG = f~dl =2 f(t--1_).dt=2(t-In 11+ tl)=I +1x 1+ t 1 + r
:;;2 ( { r -In (1 + -fx) ) + C
1x = = t; x = t"; dx ;:::2tdty una primitiva puede ser y = = 2 ' f x " - lin (1 + {i)
INTEGBALESDEFINIDAS. APL1CAClO~S-Para resolver los ejercicios de esta parte, debes dominar el calculo de
primitives. Repasa eJeoncepto de integral definida, el teorema fundamental
del calcnle, Ia regia de Barrow y e1 c~neulo de longitudes, areas y voldme-
ne s utilizande integraies definidas.
Problema 1
C alo ula r e l a re a d e la re gio n lim ila da p or la s o urv as
y= x2
y l as r e ct as x=-1 y x::; 1
Madrid, junio d e 1 99 5
Sotucion:
Se pide el area de lafignra.rayada.
3:::::--ul
2
P rob lem a 2
Se a F (x) = f~er ' dt. Hallar e l v alo r d e F' (0).
M ad rid . [u nlo d e 1 99 5
Solueion:
. S up eng amQSqu e G (t)= I eIdi, e s d e ci r, que G(t) e s u na p rim it i v a d e e".Apli~do la regla de Barrow: F (x ) = [G ( m : =G (2x) - G (0) ,
y depvand~ respecto de x, y tenie~do en cuenta que G' ( /) = e ~ ',tenemos:
F e x ) =G' (2.x) ·2 =< el2\l) ·2, de claude E' (0) = e Q• 2 =2.
P ro bte m a a
H alla r e l a re a d e la re gio n G om pre nd id a e ntre la s p ara bo la s
Y=X2. Y=~2x2+3
M ad rid , ju nto d e 1 99 5
Solucion:
S e p id e e l a r e a r ay a da e n l a f ig ur a.
Puntes de corte de ambas curvas:
{
Y ==X i
y=-2t'+1; x=±l
y
y = -2.\' + 3.
46 SeleClil'idad 9 . 6 . Cienclas Ma l e m ri J ic as I47
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Y par La imenfa d e la rgura tenemos:
S = 2 J ~ ( - hI+ 3- Xl)d.x = J ~ ( - 3x ' + 3)d.x = [_xJ+ 3x l~=2L12
Problema 4
Sea F {x} l a f un cl 6n d e tl nl dg p a r
F ( x) : : Ie '-'-'09' dt.
H alla r lo s p un ta s e n q ue s e a nu la la fu nc i6 n F'(x).
M ad rid , [ un to d e 1 99 5
Solucion:
Hagarnos F (x) = = G ( / . I ) = J ; e-r'dt; u = e' - x - l ,Derivando respecto de ;c y apl icando la regia de Ia cadena y el teorema
fundamental del cA lc u lo t e nemos:
F' (x) = G : (u) u , , ' = e-" (e ' - I) =e-l" • -II' (eO"- 1)
Y p ara q ue s ea ce ra e' - I = 0 , d e donde x; = = O .
PROBABlLIDADES
Reeuerda el signiflcado de experimento aleatorio, espacio muestral,
uceso y tip os d e s ue es o . P ro ba bilid ad y s us p re p ie d ad e s, p ro b ab il id ad
condieionada, probabiLidad to ta l y te ore ma d e B a ye s. Lo s problemas d e e st a
p a rt e s e p o n e n m u ch o e n S e le ct iv id a :d .
P rob le ma 1
En e l lanzam iento de un dado sa conside ran los tres sueesos
siguientes: A = sale un num ero im par; B = sale un nurne ro p ar;C = sale e l 1 0e l 2 . S e p id e:
a) "Son independientes A y B ?
b ) bSon i nd e pe n dl en te s A YG?
c) Calcular P (Nc).
M ad rid , ju nio d e 1 99 5
Soluci6n:
a) Como abe, do
P C A II B) =P (A) . P (B ).uce os A y 1J on independientes solo
1Pero P (AnB) = 0, P C A ) = 2'luego n o s o n independientes,
P E B ) = = ~ . ' a sf q ue P (AnS) #P (A). P (8),
b) P (A C)_ 1 1 In -6"' P(A)=2' P(C)=3',ycOmOP(AnC)::::
= P (A) . P(C), los so eso Aye 00 i nd e pe n di en te .
Jc) P C A lC ) = P (A ) =2' ya que Aye son independientes.
Problema 2
U na c aja c on tie ne 5 b ola s b la nc as , 7 b ola s rolas y 4 b o la s n e gr as .
dsee xtra e u na b ola y s a sa bs q ue n o e s b la nc a. H aU ar l a p ro ba biH da d
e que sea hegra.
M ad rid , ju nio d e H )9 5
Solucion:
Coosi d er emos l os suee sos: B = sacar bola blanca, N:: : : saca r bo la ne g ra .
P (B) c= = J 56• P (B) = 1 6
1, P (N) =~ l u e g o :
1 16 . .
4P (N IB ) = P (N,:!) = P N) :::: 16 = _ _ £
P (B) P (B) 1 1 . lJ
1 6
48 Select iv idad 9 ¢ _ , Clef l c ias Malemalieas .l 49
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P rob le ma 31
L o s e s tu d ia nt es A y B t lensn , respect ivamen te . p robab il idades 2
y j_ d e s us pe nd er u n e xa me n. L a p ro ba bilid ad d e -q ue s us pe nd an e l5
exarnen slmultsneamerrte as d e _1_ . Determinar lea p ro ba blli da d d e10
q ue at m en os uno d e los d o s e s tu d ia nt es s us pe n da e l e x ame n.
Ma dr id , ju nio d e 1995
Soluclon:
Consideremos los siguientes sucesos: A '" el alumno A suspende el exa-
men , y B = e l a lumno B s us pe nd e e 1 examen, Te_p iden P (AuB)
1 1 1Como P (A ) =-, P (B) = - , P C A n B ) = - , tendremos:
2 5 10
1 1 1 3P (AllIB) = P (A) +P (B) - P (AnB) =- + - - - :::-
2 5 10 5
Problema 4
En un a caja hay seis bolas n ur ne r ada s, t re s d e e Ua s eo n numerosposltivos y l aso tr as t re s can r tu rn e ro s n ega ti vo s . Se e x tr as una bola y
cespues otra sin reemplazarn lento,
a) Calcular la probabil ldad de que el producto de los nurnsros
ob ten ld e s sea poS lt lv o .
b) C alc ula r la p ro ba biH d ad tie q ue e l p ro ou cto d e to s n ur ne ro sobtenidos sea negativo.
Ma dr id , [ un lo d e 1995
Solucirm:
a) P a r a q u e el p r o d u c to se a p o s i ti v o , los numeros obtenldos el ambas
extraccicnes tienen que tener eJmisme S \ g l , l s .
E l p ro bl em a I o p od rl am o s r es ol ve r o al eu la ad o e1 e s pa ci o mu e st ra l y apli-
cando laregia de Laplace, pew 10vamos ha haeer de la siguiente manera.:
Cf lns ic ier emos Lossuce sos :
A 0:: obtener produoto positivo, PI = sacar mimero positive en Ia exrrac-
cion t,M= sacar mimero n eg at iv e e n 1 2 1 .extraccion i i : : : : 1 , 2 .
ComoA ", (P,nF2) UN,nNJ y estes sueesos son incompatibles:
P (A.) =P (P,nP2) + P (N,rlNJ =P (P,), P (P/P,)+P(N,) P (NiN,) =1 2 1 2. :2
::;--+--:;;;:-.
2 5 2 5 5
b ) El producto es negative cuando no es positive, Luego:
2 3P(A)=1--::;-
5 5
ExAMENES CON SOLUCION
MA DR ID , 1 99 5
lNSTRUCCIONES: E1 alumno desarrollara uno de los des .repertorios
siguientes, y dara r e spues tas e l a ra s -y eanoisas a cada una de las cinco cnestio-
.nes,El mimerode reperterio elegidodebefigurar alprincipio del ejercioio,
PUNTUACI6N: La ca li fi cac ion IDl l< r imade cada uno de los dos ejerci-
cios s e ra d e l do s puntos.
REPERTORIO A
1 . D is cu tir e l s ig uie nte s is te m a d e e cu ac io ne s s eg un lo s d ife re n-
te s v alo re s d e l p ara me tro m
{~~~:;::62x - y - z ::; m
[(Soluci6n:a) m = -8 incompatible; b) m4 -8 compatible determinadn.]
50 SeIi!Cliliidod96. Cieneias Maiernalleas] 51
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2. Dadas las reetas
{
X-Y+2Z+1 =0t:. 3x+ y-z-1 =0 {
2X + y-3z-4 = 0s:
x+y+z =0
hallar laseuacion de l plano que cont iene a ryes paralelo a s,
(Soluci6n: 27 x + 17 y - 23 z -17 = 0)
3. Seconsldera Ia funci6n
{
Lx si 0 < x « 1
f(x) = 8)("-t b' si 1 sx< ec
Determinar los valoras de a y b para que f{X) sea contlnua y
f(2) = 3 (L ~ logaritrno neparlano).
(Soluci6n: a = 1; b'=-l).
4. catcular
n
J x2sen xdx
-' "
( Sol u ci on : 0 )
5. Sa lanza un dado seis veces. Calcular la probabilidad de que
salgan seis nurneros dlferentes.
(SOlUCi6n: 3 ~ )
REPl:R TOR IO B
1. D ada la rnatriz A = ( : : ). e ncon tr ar l as ma tr ic e s B = (: : 1tales que
AB=-BA
2. Consideremos 61 plano nde eeuacion 20x+ 12y + 15z- 60 =O.
Hallar.
a) Los puntos A, B , C de lntersecclon de n can los ejes coorda-nados OX, OY, Oz.
b) La distancia entre la recta DB y eJ eje Ox.
[(Soluci6n: a) A(3, 0 , 0 ); B(D . 5 , 0 ); C eO ,0 4 ) b) 0).]
3. Caloular ellfmile
oos'x=cos xI im 1 H J - -- --
x 2 -
( Soluci6n: ~3)
4. Haller el valor de la oanstante b para que la runelon
f(x) = K"- 2X2+ bx
lenga por tangente en el origen a la bisectriz del primer cuadrante.Calcular entonces el area de la region I Imi lada par esa langente y la
grafica de f.
( So lu e ion : b = 1; S = : )
52 SeleCl ivldt:rd 960 Ciencias. Mtile/lliiticli/s I 53
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5. En una caja hay 100 b ola s n um era da s d el 1 al 100. Si see x tr ae u n a b o la , hallar la probabllidad d e Q ue e l nurnero ext rafdo sea:
a) Mu lt ip l o d e 3.
b) Mu lt lp l o d e 5.
0) M ultip lo d e 3 , s ab le nd o q ue a s m ultlp lo d e 5 .
[ 33 I 3 Joluci6n: a) --; b) -; c) -10 0 5 10
MADRID,1995
INSTRUCClONES: EI alumna de arrol lara un o de los dos repertories
siguientes, y dad respuesta: clara y concisas a cad a una de las cinco
ouestiones. El mimero de rc pe no rio ele gjrlo d eb e figurar al principia de !ejercieio.
PUNTUAC rON : L a c al if ic ac i6 n m a xi ma de cad a un de lo s dos ejeroi-c io s s era d e d es p nn to s,
R EP ER TO RIO A
1 . D isc utir, s eg un lo s v alo re s d e 8, e l s is tema
{
X + 2y+ z = ox + (a + 2) Y + 2z", 0x + (2 - a)
y+ (a - 2) z =: 0
[ So Ju ci 6n : 1 ) a = 0 0 a. = 2 . compatible indeterminado; 2) para cualquicr
otro valor de a, compatible deterrninado (solucion trivialj.]
2 . D ete rm inar la ecuaci6n de la recta r q ue p asa p or e t p untoA (1 ,O ,2 ) Y as pe rpe nd icU la r 81 p lano d ete rm inad o p or e l orige n d ecoordenadas y l a r e ct a
{
X:2z-1
y==z-2
[Solucion; (x. y, z) = (1,0,2) + t (2. -1, -3),]
3. C alcular los maxim os y m ln irn os d e la fu nc ia n y = xe-. , as tc om o s us ln te rv alo s d e c re clrn le nto y d e c re c lm l en to , e oncav ld ad y
convex ldad. V
[Soluci6n: creciente e t rictamente en (- 00, 1), deereciente estrictamente en
(1 , + =).convexa en (- =, 2 ) , o 6 nc a va en (2 , + 00), r n dx imo C l ,e-I).]
4. Calcular
I
J x arctgx dxo
( n : - 2 )Solud6n:4-
5. Sa lanzan dos dad os y se ob se rva q ue la sum a ob te nld a e s
Im pa r. C alc ula r la p ro ba bilid ad d e q ue d ic ha s um a s ea m e no r q ue 8 .
(SOluCi6n: ~ )
54 SMectfvidaa 90. eien.cias 55
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R EP ER TORIO B
1. DadaslasmatricesA= [ - 4 - 1 J y8= : ( I 2) , encontrar
4 1 -2 -4
una maW , de la forma P. [: : 1 q ue ve . . q ue AP" PBY tenga deter-
minante igual a 1 .
[ [ 1 1 . J [ - 1olucion: I . 0 bien
-3 r2. 3
{
X=: 3t
r: Y= :5t-7z= : 2t+ 2
2. Hallar la proyecci6n del punta P(2. -1.3) sobre la recta
y calcular la distancia del punto P a la recta r.
[SQIuci6n: a) Q(3, -2,4); b) d:= 1 2 9 ]
3. " L a ftmci6n f (x) = X 2 + X - 2 verif iea las hlp6tesis del teore-
ma de Rolle en 91 intervale [ :-2, 1]7 En case aflrrnatlvo, calcular el
p un to a p un to s p re d le ho s par eJteorema,
[ Solucion: olSt b)a;1 J
4. Dada la tunclon
xY=--
X'+2
calcular el area encer rada par la curva,el eje OX y las rectas perpen-
diculares al eje OX que pasan par el maximo yel minima de la fun-
cion dada.
(SoIuei6n: S =0 ill 2)
5. En una baraja de cartas espafiolas (40 cartas) se oonsideran
los sucssos A: ext raer f igura; /3 : extraer una sota; C: extraer una
espada Hallar las pfobablUdades siguientes:
Compruebese que
[3 1 1 Jolucion: (AuBIC) :::10 ; P (AlB) = 1; P (B/C) :::10 ; P (AnBlC) = 10
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FiSICA
EM IL IA NO N EVADO HERNANDEZ
Te presentames una coJecci6n de problema. de Fisiea ordenados bajo los
siguientes epigrafes: Cinematica, Dinamlca (de un a panicu1a, de UUsistema, de
rotaci6n), Trabajo y Energ ia , Termodinamica , Campos (Grav ita to r io s y Electros-
t ~ ti ~ s) , Ma gne t ismo e i ll duc ci 6n . On da s, Fi51Cftatomica y Corriente altema,
No es una coleccion exhaustiva pero 51 significative de los ejerciclos
propnestos en distintos distritos universitarios, Pretenden ser un comple-
menta de las explicaciones que recibes en clase y de tu libro de texto.
Bemos dedicado buena parte de nuestro t rabajo al analisis previa de los
ejercicios, porque pensamos que la resolucion de un probl ema Q euestionse
produce despues de .haberaprendido los couceptos. Asimilados estos, nos
r e su l ta r a fa ci l resolver I os p ro ble ma s, E n c as o c b:rit ra rio . debemos vol ve r
sobre el tema y aclarat Ia zonas oscuras. Sirvan, pues, este conjunto de
ejercieios r cuesriones para confirmar tus conocimieatos 0 para orientarte
en aqnellos detalles gue aun DO hayas comprendido. La utilidad qu e obten-
ga s de ellos sen! nuestra recompeasa.
CINEMATICA
1. (Madrid, 1995) Una pelata s a deja caer desds la cornisa de
un edificio y tarda 0,25 5 sn recorrer la distaneia de 2,7 rn desde el
borde superior aJ infer ior de la ventana. i"A qu e distancia de la cornlsa
se encuentra el borde superior de la ventana?
Datos: 9 = 9,8 ms-I,
Analisis previa:
Se trata de un .movimiento de caida de grave. un movimiento unitorme-
mente variade, en el que el tnedulo de la aceleracion es conocido: 9.8 ms-~.
Sistema de referencia: direccion.Ja vertical: origen del sistema.la corni-
sa; sentido _positivo. hacia abajo.
5 8 Selecttvidad 96 . Cierrcias Flsica 59
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L a p os ic io n e n u n m o vim le nro u nif orm eme nt e v aria do e st a d er erm in ad a
por 18 ecuacion:
_ = s,,+ Vllt + 1/2 a (: .
E n n ue st ro c as e S ri = 0 01; VII = 0 m /s ; y p ue st o q ue h em e e le gid o p os lt iv o
h ac ia a ba jo a = g = 9,8 m s>. S i 1 8 posicion 18 representamo p or h . t en emo s:
h=4,91:. (I)
Respuesta:
P a ra r e so lv e r e l problema basta aplicar I a ecuaci 6n ( 1 ) .
P un to 1 : b o rd e s up er io r d e la v en ta na ,
Posicion: hi
Tiempo tran currido: tl
Ap li ca nd o ( 1 ):
(2 ) hi:::; 4.9I,'
Punto 2 : b or de i nf er io r d e J a v e n ta na ,
Posicion: 11 : = h. + 2.7
T Iem po t ra n c ur rid o : t:= l. + 0.25
A p li oa nd o ( ] ) :
(3 ) 1 1 ) + 2. 7 = 4.9(tl + 0.25)=
R e sta nd o d e 1 ae cu ac i6 n ( ) la ecuacion (2).resulta:
2 .7 :: ; 4 ,9 ( tl + 0,25)2 - 4. 9 t, =
2.7 =4 9(2t, + 0,25) .0.25
t = 0.98 sD is ta nc ia d e l a c or ni sa al bo rd e supe r io r de Ja vea tana :
h = 4. 7 m
2 . (M adrid , 1995) U n cache sa m ueve a 10 largo de una linea
r ec ta c on u na v e lo cid ad v a . AI a cc io na r lo s f re no s, e xp er im e nta u nadeoe l e rac i6n constante y se d etie ne al cabo d e 5 s e espue s d e rsco-
r re r u na d ls ta nc ia d e 1 00 m . D e te rm in es e :
a) La aoeleraci6n.
b ) La velacidad VOl e x pr es ad a e n Km/tl.
Analisis previo:
C om o e n e je rc ic io an te rio r, se tra ta d e un movimiento uniformemente
variado porque experiments una deceleracion constante,
S is tem a d e r ef er en oi a: D ir ec ci on , h o ri zo nt al ; o ri ge n d e l s is tem a, e l p un -
ta en e l q ue ap licam os 1 0 frenos; sent ido posi tive bacia la derecha, elmis-
rn a q ue e l d e l d es pla za mie nt o d el m 6 vil. T en ie nd o p re se nt e queen el instan-
t e ia ic ia l, e l c ac he e st a e n e l o rig en , SH =0 m , la s e e ua ci on es d e l r no vi m ie nt o
son:
(1 ) S = VQ t+11 2 a tl
(2 ) v = Vg + a t,
Respuesta:
Segtin el enundado d el p ro ble ma p ara t = 5 • e 1 m 6vil se ha parado
v = 0, y h a re co rr id o 1 00 m , . ;;;;:0 0. S us tit uy en do e n ( 1) y (2 ) r e su lt s :
(3) 100=v 0 .5+ 1/2a.25
(4) O =vo+ a.S.
R e so lv ie nd o e l s is tem a o bt en em o s:
a = - 8ms"vo =40 m l s ; ; : ; : 40 mJs. (1 Km/l.000 m). (3.600s/lb) =144 KmJh
4 . (M urc ia, 19 95) E I m om ento (ine al d e u na p artfc ula d e 2 K g d em as a v ie ne d ad o p er:
p = 5tl - B PJ + 6k K g mls .En e ll ns ta n te i ni cl al la p a rt lc u la sa en cu ent ra en e l o ng en. Ob t enga :
a) La f ue rz a q ue a clu as ob re la p ar tf cu lab) E I v e c to r d e p os ic i6 n d e la p ar tf cu la .c ) E I m o me nta ang Ular d e la p artfcu la re sp ec to d el p unta 3 1m .
60 SeleclII'itiDd 96. Ciencios FIs/cD 0 1
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Analisis previo:
L a cue d 6n a) la re olvem os ap lic an do e l s eg un do p rin cip ia d e N ew to n:
F = dp/dt.
La c ue st id n b ) 1 a reso lvemo te nie nd o e n c ue ma q ue : v = dr/dt.
Pam Incuest ion c) r enemos p res en te la definici6n de memento angular:
L= r "p
Re puesta:
aJ F= dp/dt = 5 i+ 16 t j N.
b ) p =0m - v ; P = 2 v ; v = 51 2 t i-41~j + 3 k
v = dr/dt: [dr =: fv . dt ~
r=5/41' i- 4 1 3 t'j+ 3Ik
c) L' = r' " p ..
r' = r- 3 iE s e l v ec to r d e posici6n de Ia pa rt fc ul a r es p ec to 8 1pun to : 3 I
i j k 1
L= r''J( P = 1 5 / 4 t=-3 -4/3t' 31
51 ~ t" 6 I
t r
L = 161d + (15/2 t~t18)j + (-lO/3 t' + 24 t-) k Kg. rn ' 5-1
5. (Murcia, 1995) l ,Cual es fa trayector ia mas ~ ene ral de unrnovfrnlento can acel~acj6n tangenciaLnJJla ,y a cs le ra cio n n orma l d e
m6dulo constanta?
Analisis previo:
Aceleracion tangencial: at = dv/dt
Aeeleracion normal: a" = = v ~/R
Re puesta:
La aee le r a ci on mas t an ge nc ia l n ula n os indica qu e e l m od ulo d e la v elo -
cidad no varia, es constante. . ,a N = v'!R = consrante y el modulo de v constan te , deduc irnos q ue R es
coastante. . .La t ra y ec to ri a g e ne ra l d e c u rv a tu r a e o ns ta n te e s UDa ci re u nf er e oc ta .
nINAMicADE APARriCULA
1. (M ad rid , 1 99 5) l.P ue d e u na p artlc ula m ov ers e m an te nie nd on ulo s u momen ta c in e tic o 0a ng ula r re sp ec to a u n p un to H jo ?
Respuesta:
Si Consideremos UDouerpo qu e cae libremente atrafdo por Ja Tierra. Su
vec to r d e po si ci on respecto del centro de la TIerra, y su v eJ oc id a d s on p ar a-le los. .
L = r )f,p = 0
2 . (Z aragoz a, 19 95. L ogs e) S ea un p end ulo v ertic al d e re so rtec on st itu id o p or u n mu elle id e al d e c on st an te e la st ic a k y masa punt ua Jm.
a) De te rm ln a r e l p e rl ado de oscilacl6n,
b) Dlbujar las fu erz a q ue actuan sabre rn e n Jos Ires casass ig uie nte s. tra ta nd o d e q ue h ay a c ie rta p re po rc io na lid ad e nlre la lo n-
g i tl Jd de los v e ct or e s d i bu ja d os y 1 0 m 6d ule s d e la s fu erz as q ue repre-sentan:
b1)
b2)
rado.
b3)
laclon.
La mas a m p as a p or e l c en tr o d e o sc ila ci6 n.
EI m ue lle tie ne su longitud na tural, ni c om prim id o ni e sti-
La masa m se encuentra en e l p un ta ma s balo d e la os cl-
c J D lbujar e l granco que re laciona la ace le rae le n d e m con laamplitud.
Analisis prevlo:
Es un m evirniento arm 6nico sim ple. I periodo de l movimiento e ui
determinado por 1arnasa 10 constante del re orte.
Las fuerzas que acnian sobre 13rnasa Oil:
1 ) Su p eso, p = mg.
2) La fuerza del resorte: F = - Kx, Esta fnerza es proporcional a Is
v ar ia ci6 n d e la lo ng it ud d el m ue lle c oo r es pe cto a s u J on git ud n at ur al.
62 Selectividotf96. f:iendcisFisico 63
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La aceleraci6n es proporcional ala elongaci6n y de signo opuesto:
a= F/m ~--{kJm)' x
Respuesta:
a )
m
k
b)bl) En el centro de oscilacion 0 de equilibria el peso y la fuerza del
muelle ban de ser de] mismom6duJo y de sentide opuesto.
b2) Si el muelle tiene su longitud natural no ejerce fuerza algnna
sobre la masa.la (mica fuerza es el pe o.
b3) Si la masa se eneoentra en el punto.mas bajo, e1muelle ejerce una
fuerza de modulo maximo y opuesta alpeso.
c)a=-fx
x.,
a
~ am. = ±W eX ....
w
nlN AM rcA D E U N S IS TEMA
1. (La Laguna, 1995) Una granada de 50 Kg sa lanza vertical-
rnente.haela ar riba segun el eje OZ can una ve loctdad de 80 m/s.
a) Hallar la altura maxima alcanzada.
b ) A.llIegar a dicha altura explota, romptendose en tres pedazos,
dos de los ouales, de 10 Kg Y20 Kg, salen despedidos, el primero a
40 m ls en direcci6n ver tical hacia abajo y el segundo can velocidad
v = 601+ 60 v3 k.
H alla r la v elo cid ad c on q ue sale desped ido el tercer trozo.
Anal is i s prev ia :
, B I c ue rp o s ig ue u n m o vir nie nto uniformemente v ar ia do e n l a d ir ec ci on
y, porque esta sometido a un a a c el er ac ion constante: g.
Sistema de referencia: direcci6n: vert ical: origen del sistema: el punto
de lanzamiento; sentido positive bacia arriba.Ecuaciones del movimiento:
y =601-4.9 t~ (1)
v = 60 - 9 .8 t (2 )
Tras alcanzar su altura maxima sufre una explosion. Las responsables
de Ia explosion son fuerzas interiores: en consecuencia se conserva el
momenta lineal.
64 Seiecrillidad 96. Ciel lc io s Fisico 65
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Respuasta:
a) Cuando alcanza la altura maxima v = a mfs. Imponem. - ~ta condi-
. 1 . . 2) Y el t iernpo asi d eterm inado 1 0 susu un rno s e n lacion en a eeuact n "
ecuacion (1):
0=60-9.8t;t=60/9,8,
Y = 60..6019,8- (4.9 . 60/9,8)l~ Y",ni=: 183.7 rn," " "
b) E n e l i ns ta nt e d e 1 a ex plo si6 n e l m o me nt a lin ea l e s e er o, p or qu e v = 0, :
o = Pl + PI + Pl' (3)PI = 10 . (0,0 -40) = 0, D, - 400)
P 2 =20 . (60, 0, 60 -/3) = (1200, 0, 1200 -/3)
S us ti tu im o s e n la e cu ac i6 n ( 3) :
0= (0,0, - 400) + (1200, 0, 1200 -/3) + p~113= (- 1 200 .0,4 00 - 1 200 -/3) Kgm S· "
P~=m]. Vl
(-1200,0,400 -1200 -/3) = 20 Vl
~J = (- 60, 0,20 - 60 -/3) m S-I,
v) = (- 60, D. - 83.9) m -I,
2. (Madrid, 1995) Un soldado dispar~ una ametralladora, La~
balas de masa 100 9 salen con una veloCtdad de 400 m/s. La m a xma f~erza que puede~jercer e1soldado sujetando la ametralla~ora 8S
de 200 N. iCual as e1nurnero maximo de balas que puede dtsparar
en un minuto?
Anilisis previo:
I ld d e invierte en variar elEI impulse mecanico que realiza e so a 0
memento linea) de las balas.
Respnesta:I mp uls e m ax im o re aliz ad o p or e l s old ad o e n u n m in ut e:
T= F ' t= 200 , 6 0 = 12000 N , S
vanacion de m om en to lin eal q ue e xp erim en ta u na b ala :
p = m . v = 0,] ,400 =40 N .
Impulse igual a variacion de momenta lineal:
I = n . p ; 12 0 = n .40.
Numero maximo de balas: n 0:; 300 b al as .
3. (Madrid, 1995) Una granada de 1 Kg de rnasa se lanza vsrtl-
ealmsnts hacia arr iba can una velocidad inieial de 20 m/s. La granada
hace explosi6n al aloanzar su a lt ur a maxima, dlvldiendose en dos par-
tes, que eamienzan rnoviendose horizontal mente. Uno de las trozos,
de 400 g, cae en un punta situado a 60 m al norte del punto de lanza-mtento, l,d6nde cae e l otro trozo?
AnMisis previa:
Tiene un planreamienro fonnaJrnente identico al del ejercicio J.
Sistema de referenoia: o ri ge n : p u nt o de Ianzamiento; eje y: la v ert ic al e n
II I punto de lanzamiento; eje x: la her izoatal , or ientada Norte-Sur. sentidopositive bacia cl Norte.
E l cen tro d e m asa in icialrne nte e sta e o el orige n d e coord enad as, E n In
d ir ec ci 611 ho ri zo n ta l n o ha y f ue rz a, e n c on se cn en cla J a c om p on en te h or iz on -
tal del centro de rna a iempre en! cera.
I
N60m
R e sp ue ta :
m = rn, + In:
m ' xG = m •. x I+m~ . Xl ; 0 = 0,4 . 60 + 0.6 . x~ ; X l:: - 40 mEI s eg un do t ro zo c ae 40 m a! sur,
NOla: A J mismo r es ul ra do p od em o s I le ga r. po r c on se rv ac ic n d el m ome n-folinea] segtin el e je x .
66 eit!(,III'ldad 9{), CI£UriJI'
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DINAMl A DEROTA 16N
1. Dar una explicaci6n 1lsica de por qui! un cuerpo que desllzs
a tc an za l a parte baja de un plano inclinado antes qu e .otro q ue ru sd e
(despreeiese las perdidas de energia debldas al rozamtento).
Re puesta:
A
B
h h
Apl ioamo . el principle deCOD
ervacion de la energia p ue st o q ue no ha yperdida pOI rozamiento.
Cuerpo 1: De lizamieato pur. Tiene una ma amy cae de. de un pun to
A de altura h, na fa otro B de altura O.
EA ::; B B . Be , . . + ~A = ECII + ~B
m g h = 1/ 2 m vJ
Va=~2gh
Cuerpo 2: Desl izamiento m~<rotacion. Tiene UDa masam' y e ae d e sd e
un punto A , d e altura h basta otto B , d e altu ra O .
E A = a - E C A + ErA = :'II + E r a
m'g b = 1/2 m' 'l+ l!2l OJ"
~
1m 2V~= 2gh- ----
m'
Vemas claramente que v~< VI}
E1 cuerpo q ue s e d e liza in vie rte to da s u e ne rg ia p ote ncia l e n tras laci n .
EI c ue rp o q ue adema rueda invierte parte d u energfa potencial en ener-
g ia c in etie a d e r ta ion.
3. (La Laguna, 1995) Un disco unlforme de radio 0,12 m y 5 Kg
puede glrar l lb r e rnan te a l rededc r de uneje horizontal. Sa enrolla una
cuerda en el disco y se tlra con una fuerza de 20 N.
a) Hallar el momento ejeroido sabre el disco y su aceleraci6nangular.
b) 81 el d isco par te de l repose, hallar au velocldad angular y 5U
momenta angular aI cabo de 3 s.
cJ Comprobar qu e el trabajo reallzado por el momenta e s 1 9u al alaenergia clmlltiea
Dato:Momento de inereia del disco 1= 1 /2 mRI.
Analisis previo:
Para calcular el momento de la fuerza con re pecto al ej e aplicamo la
definicion:
M = r)( ; M :::: r . F se n e
C om o la cu erd a e s tangenre a l a c i rcun fe r enc i a,
$=lt/2;sene",] 'M=r.F
Cono ci do e J r nomeu to , c al cu lamos la a ce le ra cio n a ng ula r m ed ia nte la
ecuaeion f un dam en ta l d e I ii d in am i ca d e r ot ac io n:
M=T.n
E n la ultima parte cornprobaremes la c on .e rv ac i6 n d e l a e n e rg ia ,
Respues ta :
oj 1= 1I2mr;=1'2.: .O.l2:=O.036Kg·m-
M = r . = 0.1 2 . 20 = 2.4 . m
M=l.a
2..4 = 0.036 "a : a = 200/3 T ad s:
b) A I s er u n m o vim le nt o d e a ce le ra ci6 n a ng ula r c on sta nte u s e eu ac io -
ne s on :
6$ Se/ectividtld 96 . Ciencias
w=al
Fisico 69
Respuesta;
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(J= 1/2 CIll. A I tr egnndos:
Ul 3)=2 radl
(J (3 = = 300 rad,
L(3) = IO J= 0,036.200 :=7,2N m
c) Ec(3) = 1/2I..()! = = liZ. 0 , .036 .200l= 720 J.
Por ser M constante: W =M . eW(3) =2,4.3.00 = 72.0 J
TRABA JO Y ENERG'
1. (M ad rid , 1995) U n pendulo de masa m parte , sin veloci,dad
inicial, de una posi ci 6n que forma un A ng ulo d e 90° con Ia vertical.
D ete rm in ese la te nsio n d el h ila cu an do la m asa a lca nz a su p un ta m as
bajo.
1
Analisis previa:
La masa m e n to do el r e co rr id o . e st 3.s o rn e ti d a ad os f ue r za s : 1 < 1 tcnsi6n
d e l h il o y el p-eso, . ' .La tension del hilo es iempre normal a Ia trayectona, no realiza trabajo
y en co nse cu encia n o pr d uc e v aria cio n d e 1 3 energia.
E I peso es una fue rza c n ervativa. P ar ta nto . la e ne rg fa e n e l p un ta 1 e s
igual a la ene rgia en e l punto 2. .En e1 punta 2 la re ultante de 11 .1uma de la te n Ion y e ~ ~ o e I a f ue r-
z a c enn f pe ra necesaria para que la masa m siga La tmyectona circular en es c
punto:T - rn g =m v/.(R ( 1 . )
E. = ~ ;>iJ
mgh;» Zm r=mgh;r_+ 1(2 m z~. v ,=Oml
mg(h 1- h~ =]/2 rnvl; mg R = 112mvi
v l " ' - 2gRS us titu im os e l v alo r d e v ~ a si obtenido e n l a e c ua ci on (1):
T-mg=2 mg
La tension en el p un ta m as b ajo d e la tra ye cto ria e s tre s v ec es 1 3 1 p es o d e
la masa,
T=3mg
2. (Las' Palmas de G. Canarias, 1993) Desde el purrtoA de la
f igura 58 s ue lta u n c ue rp o. C alcu la r la a ltu ra q ue a le an za e n la ra mp ad e 5 3" :
a) Si no hay rozamienio.
b) S i h ay ro za mie nto e n to do e l re oo rrid o s le nd o ~l"= 0,1.
A
] m
,
1 'T!
Analisis previo:
La e ne rg ia q ue tie ne e n 1 31 un ta final e ig ua J a la q ue tie ne fn ic ia lm e nte
m enos Ia que ha pe rd id o en e l cam ino.
Respuesta:
a) Com o no ha y r oz ar ni en to 1a e n ef gl ~ 1 final es igual qu e la inlcial Y i
p or t an to , a lc an za l a altura d e un m etro en la tam pa d e 5 3".
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70 Seleclil l idad 96 . Ciencias
b) Et ' (A) = &(D) + W . (1 )Siendo D el punta final y W; el trabajo de rozamieuto.
Trabajo de rozamieoto en la rampa de 31Q,
Fr' d = 1 - ' " m g. cos 37· 1!llen 37 = 0,133 mg
Trabajo d e r oz am i en to e n e l p la no h o ri zo n ta l:
F" de
u ,mg.1 =0,1 mg
' Ir ab aj o de r oz am i en t o en Ia tampa d e 5 3 11 .:
Snponemos que asciende una altura h
Fr. d =!-t, m g. cos 53. b/sen 53 = 01075 mg. h
Sustituyendo en (1):
mg . 1 = mg .h + 0 ,2 83 m g + 0..0 75 rn g . h
h = 0,71 III
3. (Navarra, 1993) Una var il la uni forms, qu e cuelga verticalmen-
te de un pivote, t iene una masa de 2 ,5 Kg Y una long itud de 1 rn , Segolpea en la base can una fuerza hortzontal de 10 0 N, la cual aotua
durante 0,02 s. Calcular:
a) La velocldad angular que adquiere Ia varil la como conse-
cuencia del golpe.
oj l,Lograra la varilla adquirlr l a pos ici6n mas elevada?
Dato: 11/3 mL~.
Analisis previo:
La fue rza aplicada a la v ari lla p ro du ce u n momenta M .
Conocido este momeuto y eL tiernpo qu e esta actuando podemos calcu-
la r e l m ome nto a ng ula r c om u nic ad e a la varilla.Del momenta angular obtenemos .la velocidad angular y .la energia
cinetica.
Por conservacion de la energia podemos comprobar si la -v arilla alcanza
la pnsici6n mas elevada.
Respuesra:
a) La fn er za a p li ca d a, c on r es p ec to al eje de giro produce el m-omenta:
Fisic» 71
I II I
I ~ ternI I
~F
M=rxF
M = r , F . S en r r/2 = 1 . 100 . 1 = 100 N .m
P or la conservacicn de l momen ta a ngu l ar :
h .L/J1t=M
AL=M.M
Puesto qu e inleialmente esta en.reposo:
L =.100 x 0,02", 2. Nms ,
Velocirl.ad angular:
L =:: I ( ,I J ; 1= 1/3 OJ ]2 , = 2,5/3 Kg .m '2
w = 2,4 rad/s,
0)
Energfa e in et ic a a dq u ir id a p ar l a varilla:
E c =]/2 IO~ =2,4 J
VariaciDn de energfa potencial:
EI centro de graved ad de la varilla se encuentra en su PUQto media.
E,ocre ]a .pos i ci on in ic ia l y 13 mas elevada de l centro de grave-dad ba y unadiferencla de altura de 1 m.
6.Bt.=m .g . 6.b = 24,5 J
La v ari na n o a dq aie re 1 3posicion mas elevada.
72 Selectividad 96 . CienciasFisico 73
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TERMon1NAMICA
1. (Madrid,1995) Un mol de un gas ideal monoat~mj~o S8 Ileva
cua sie statie am en te d e A a C a 1 0 la rg o d el c am in o re cto ln dlc ad o e n la
fi.gura. Datos: p, = 10 · N . rrr", V , = 1 .5 1, T , =30 0 K, Pa= 2 . 1 0 5 N . rrr",
V, =31, R"' 8,32 J .mol- ' K~l.
I
V ,
a) Calcular la temperatura en el punta C. .
b) Calcu lar al t raba jo raal lzado sobre e l gas. Repet ir e l caloUI?
cuandoel gas S a I lava ouasiesta: ticamente deA a C, perc par e l car rn-
no ASC. . . ,. dc ) Si S8 rscorre el oiclo AS~A .~ lcular al trab.aJo r e a ! Iz8 0 po~
al gas, el calor absorbido y Ia vanaeion de energfa mtema en el pr o
ceso.
Analisis previo:
Si aplieamos 1< .1cuacion de lo s gases perfectos al punta A:
PI v, ",nR TI
10~ x 1,5 )(10-3 = n 8,32 " 300
a = 0,06 moles. En 10 sucesivo no tendremos ell cuenta que el enuncia-
do nos d ice que n = 1 moLPara ealcnlar la temperatura en C tendremes en cuenta que al ser un gas
ideal:
(1 )
Para calcular el trabajo en UJ] proceso, calculamos el a r e a ~tada, p~r Ia
curva del prooeso las ordenadas de los puntos extremos Yel eje de abscisas,
En tm ado I'lltrabajo 6S el area l imitada por la trayectoria que sefiala tilcicIo.
Respuesta:
a) Susti tuimos en (1) los valores de las magnitudes conocidaa de losestados A y C.
105x1,5x1O-~ 2"losx3:dO-1
---=--- ----- Tl = 1200K300 T~
b)
1) El trabajo realizado ell e1 proceso AC es e1 area del trapecioACV 2V ,
b+b1
(1+ 2.) . 105 "
W(A-C) =--b;:;: . 15.10-' >=225J2 2'
2) El trabajo realizado en el proceso ABC es el area del recranguloBCV~Vt:
W(A - B -.. C) = 2.105 .1.5. 10-'= 300J
c) EI trabajo realizado en el 000 ABCA es el area del triaogulo ABC.
.IO", 1,5 . 10 -3W (A -.. B .- C ... . A ) = 75 J
2 .
Al ser un eiclo AU= 0 JE primer principia de la termodinamica nos dice:
En consecuencia:
1lQ =W=75 1.En un estudio mas detallado podemos ealcnlar:
AQ(A.- B _,.C .) =1650 J
AQ(e -';'.A)= -1575 J
2. (Madrid,1995) l,C6mo varfa la energia lnterna en una expan-sian ~diabatica?
74Ftsica.
Mezclamo rna a iguales del primer y egundo liquido y se obtiene una
75
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Anaiisi previo:
T en em o s p re se nt e q ue pOT e l p r imer principio de Latermodi1l3m:ica :
E n u na e xp an i6 n adiabatica:
AQ=O (2)
En toda expansion por haber aumento de volumen, el t rabajo es posiu-
vo, porque es el istema el que realiza trabajo sobre el cntorno:
W> 0 (3)
Respuesta:
S us tit uy en do (2 ) Y ( 3) e n (1 ) re su lts : A U < O.
La e n er gi a i nt e rn a d ism in u y e.
3. (Madrid,1995) Las temperaturas de- tres Ifquldos dlferentes
son 15"C , 200 C Y25" C, respectivamente. Al rnezclar rnasas igualesde los dos prlmeros Hquidos. la temperatura en equll ibrio es de 1B·C
y cuando se mezclan masas iguaJes del segundo y del tercer IIquido
la temperatura resul tante es de 24° C. "Que temperatura se obt iene
al mszelar masas iguales del p runer y t er ce r l lq u id o?
An sl is is p re v io :
En toda mezcla j Ia realizamo en un recipiente con paredes adibati-
cas.Ia sums de las variacione de calor de las componentes es cera.
La variaci6n de calor que experimenta un euerpo e determina mediante
la eeuacidn:
Respnesta:
I lq ui do 1 : t em p er at ur a in lc i a l: ] 5 " C . ;c al or e sp ec ff ie o: C1
Liquido 2: temperatura inicial: 200C; calor espectfieo: c;
Llquido 3: temperatura inicial: 25°C ; calor e pecffico: ~
temperatura final de mezcla de 18° C.
AQ I + L \Q2=O
m . c .. (18-15) + m . O J . (18- 20) = 03 . CI - 2 . C z =0 ; C1=2/3 C : ! . (1)
MezcJam~s masas iguales del segundo y tercer lfquido y se obtiene una
temperatura final de mezc la de 2411 C.
6Q . + AQ 3 = = 0
m. C z. 24-20) +rn , C : ! . (24-25) =0
4 . C z - G .l :00 . G .l = 4 C z (2)
MezcIamo ma a' iguales del primer y tercer lfquido y e obtiene unatemperatura final d e m ezcla d e t , I I C.
6QI + AQ~ = 0rn . C1• (t - 15)+ rn . C1. (t - 25)=0 (3)
S us titu im os ( 1) Y (2) e n ( 3) ;
2/3 C z. (I - 15) + 4 Cz. (t - 25) = 0(t - 15) + 6(t - 25) = 0t = 2 3,6 ° C
4. (Zaragoza. 1995) En el dlagrama P-V de la figura estan
representados procesos termodimimicos cuasiestaticos reallzados
p ar un gas perfecto. SIen eI proceso A-B S9 han administrado 600J de calor, y en aIB-D, 200 J, calcule:
a) La variaci6n de la energla In te ma e n a l proceso A - .. B.
b) La varlacl6n de la energla interna en la transformaci6nA- B-- D.
cJ a calor sumlnistrado en la transformaci6nA -.. C ... .. .D.
.,.L_-
r,r.:, •
76 Stlectividad 96 . Ciencias
Ana li s is p r ev i a:
Fisico
AMPOS GRAVITATORIOS
77
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T en dr em o s e n cuenta:
1) El primer pr incipia de la termodinamica: ~u= AQ - W2) EI trabajo en las transformaciones a presion can tante (isobaras) es:
W=P·l lV.3) La encrgia in te rn a e s u na funcicn de estado.
Respuesta:
0) A .....BEs una transformacion is6cora, ~V = e, y . par tanto, el trabajo realizado,
W(A __ ..B ) =O.
Aplioarnos el primer p r in c ip i a d e l a t ennodi nami ca :
6U = ~Q- W = flO = 600 J.
b J A ....B-D
Calculamo .1U(:B--+D):
W(B-D)::. P. 6V = .10'. (5-2) . lO-J = 240 J
AU(B-D)::. .1Q- W = 200 -240= -40 J (1)
Este resultado no e s c oh er en te . E I e sta do D tie ne mayor t empe ra tu r a qu e
el E, y, par tanto la variaci6n de energfa lntema no puede er negat ive. La
variacion de calor e superior a 2001.
Si aceptamos (1) resulta;
AU(A _. C) = 560 J
c) A-C-D
W(A ....C-- D) =W(A - C) +W(e -- 0) = 90 JW(A - C) = P . !:N =3 . lO~. (5 - 2) . 10"') = 90 JW(C-D)=O
Como l a va r iac i6n de la energta interna es independiente del camino es
decir es funci6n de estade, 6U = 560 J.
AU .=~Q-W
56 0 = .6.Q -90; AO =650 J
1. (Madrid. 1995) l.Cuanto dlsrninuye el peso de un cuerpo
cu~ndose eleva desde eJnivel del mar a una altura igual al doble delrad io t e rres tre?
An; l li s is prev ia :
E l peso de un cuerpo en un p un ta d el campo gravitatorio terrestre es e l
producto de su rna a par el valor de l campo e n e sc punta.
Llamamo & a la graved ad en la superficie terrestre y g a 13gravedad a2 R T de altura.
~=G~. g=G M T =~=~
RTI (RT"I"2Rl'P 9Rl 9 gg
Respuesta:
P eso a n iv el d eJ mar: P IJ = m. g o
P eso a al altura 2 RT: p =mg = 1/ 9 m g n
Reduct i6n del peso:
~p=P - P I' = - 8/9 m.g;
2. (Murcia, 1995) l Que relacJ6n hay entre la velocidad de
escape desda una distancia r del cent ro de LaT ierra y la velocidad
de un sate l i te que real ice un movimiento ci rcular de radio r al rededorde la TIerra?
7 Se'ecti~id(1d 96. Ciencias
An tl is is p r ev i o: Aaalisis previa:
79
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Todo cuerpo dentro de un campo gravitatorio tiene una energia poten-
cial negativa. La velocidad de escape en un punto d el cam po e s la m in im a
v el oc id ad q u e ba y q ue com un icar a un cu erpo p ara que alcance el mfinilo
co n velocidad eero, La en erg ia c in etic a q ue c orre p on de a es a v elo cid ad
mas l a e n er g ia po te n ci al en e se punlo e eero.
Un CIlCrpOq ue d es cr ib e u na e rb it a c ir cu la r esta ome ti do n e ee s ar iamen-
te a una aceleracion centnpeta.
Es ta a c el er ac ion c en t ri pe ta l a p r opo rc ion a la aceleracion:
g(e) = vl IT
Respuesta:
1 ) V elo cid ad de e cape en punta que dista r del centro de In Tie rra :
E c + J3p=0
1 MTrn ~T-mve1-G --=0; V.=2G--2 r r
2) Condicion de equilibrio para un cuerpo que e m ueve en una 6rbita
circular de rad io r, e n e l campo gravltatorlo t er re t re :g=vYr
M v2G __ T_=_;
r~ r
Obtenemos:
3 . (M urc ia , 1 99 5, L OG SE ) T e nem os c ua tro p artlc ula s ig ua le s d e
2 Kg de masa en los ve rtices de un cuad rado de 1 m de rado. (Dato:
G=6.67.10-" en unidades 51). Determine:
a ) E J ca mp o g ra vita to rio e n e l c en tr o d e l c ua dra do .
b) E I m 6d ulo d e la fue rz a q ue experlmenta eada pa rt fcu l a debi-do a la p re se nc ia d e l as o tr as t re s ,
0) La energia po ten ci al d e u na p art ic ula d eb id a a las o tra s Ir es .
m. l
Siempre que tcngamo qu e um ar c am p o, si e po ible, dibujarerno
lo s v ec to re s c or re p on dle nte .
Lo a nt e ri or e s valido p a ra l as f nc rz as .
A continuackm ap ro vee bare mo s las sim en fa q ue ex i tan antes d e ha ce r
n ingun ca lcu lo ,
Respuesta:
a) Dibujamo los campo que producen cada una de las masas en el
centro del cuadrado:
m .
Ob se rv amo s q u e Ia suma e s c ero p or qu e s e a nu la n d o ad os:
g =gl + &+ gJ + g .. = 0
8 0 SekatividP.d 9 6 . Cicncia
b) D ib uja:m o las fu erza q ue e je rce n sa bre la 3 las o tras fu erza :
Ftslca 81
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Calculamos sus modules:
F= G.m.m'/r1
P I = 6 67xlO-lIx2.a/2F~= F~= 667 .10-1Ih:2x2/'1F= FI + F~+ F~= F1 + F'4'
Fl. = Fl + F.
Fl y F4 so n de igual m 6d ulo y .fo rm an e ntre sf un angulo de O~ au
resultante Fu tie ne p ar m od ulo la rafz cu ad rad a d e la ruma d e l os c ua dr ad o
de los m odulo • y tiene J8 mi sma d i re c ei 6n y e n ti do q ue Fl'
= 13,34.10-11 N
=26,68.10- 11 N
F~ = v'(Fl+F~~=37,73. 0-11 N.
F =FI + Fu = 5,1l ' .1O- IQ N .
c) Calculamos l a e n e rg f a potencial que t ie n e Ia m asa 3 por es tar en elca mp o p ro do cid o p or 1 a o tra s tre :
m.m, mlm~ m.m,'Ep=-G--G--G-
d "I 1
Ep = -7,22.10-m J
4 . (Z ara go za , 1995) B az on e p or q ue la s tra ye cto ria s d e lo s p la -n ela s e n t orn o a l S ol s on p la ns s,
S i u n p lan eta d esorib e una 6 rb ita e llp lica com o la d e la figura ,d em ue s tr e q u e S8 verlflca:
r, V" = fA V..
donde V p Y V A s on lo s m 6 du lo s d e la s v elo ci da de s d e la p artlc ulaen PyA.
AdH si s p re v ia :
Lo plane tas d e cribe n orbitas eliptieas porque es tan nm etid o a tin
ca mp o d e fu erza central. C as i to da Ia rna a de nuestro i s tema p l ane ta ri a
eata c on cen trad a en el So l; p or elJo p od em os c on sid erar a l So l c omo c en tr o
d e n ue st ro s is te m a. C on re sp ec to a l centro del campo (e n D ue Iro c ase c on
respecto 0 1 1 S ol). e l m om en ta d e la f ue rz a q ue a cn la e n c ad a in st an te s ob re e l
p la ne ta e s c er a y e n c on se cu en cia e n m em en to a ng ula r s e c on se rv e.
La d ir ec ci 6n d e l momento a ng ul ar c on t an re i m pl ic a qu e el plano qu e
definen en c ad a in st an te r y p es siempre el rn is mo y c om o consecaeucia la s
6 rb il as o n p la na s.
Respues ta :
P ar l ac ol ls er va ci 6n d e l m om en ta a ng ul ar :
L A =4
i lo s vectores s ou lg ua le , ta rn bie n 1 0 on su s m6dulos :
LA= Lp
En lo s punta A y B , los m em entos lineales son perpendiculares a 1 0
r ad io d e p o si ci on , e n c on se c uc nc ia :
LA=rA. mVI\' en90""rp.m vp. s eo90=Ln
D e d o nd e d e du ci m os :
82 electividad 96. Ciencias 83
Distancia entre el c ntro de laTierra yel centro de la una:
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5. (Z arag oz a, 19 95) La L u na d e sc rib e u na 6 rb it a c as i c ir cu la r e n
torn o a la T ie rra e n 27,3 dlas. La m asa d e la lie rra e s 6.0 x 1~ Kg YG := 6 ,6 7 x 10 - "11N . m~ Kg 3.
a ) G alc ule la d is la no !a e ntre lo s c en tro s d e la T ie rr a y l a L u na .
b) Calcula e l v al or de l a r na sa d e la L una sa bie nd o q ue una p ar-tlc ula d e m asa m p od rfa e star e n e qulllb rio e n un p untoalin ead o c on
los c e nt ro d e la lie rr a y de la L un a y a una d i s tano ia de l centro de laT ie rr a d e 3.4 x 101m.
oj S i en la L una, cuyo rad io es de 1,7 x 1 0", m , s e d eja c ae r s invelocidad inlcial un o bje lo d es de u na altura de 10 m. tC on q ue v eloci-da d Uegara al suela?
Analiets previa:
La Luna se mueve en el campo gravitatorio terrestre. La aceleracidn
oentripeta que . nece s it a la L un a p ara descnbir su tray eetcna se 1 aproporcio-
n a e 1 c ampo g ra vi ta to ri o t er re t re e x is te nt e e n la 6rb it a lunar .
E I p un to d e e qu ilib ria d el ap artad o b) e. un punto de cam po nulo, e l
campo gravitatorio producido pm la Tierra y c l c amp o g ra vi ta to ri o p ro du ct -
d o p or la L un a, e n d ic ho p un to , tie ne n ig ua l d ir ec ci6 n y modu lo , p er o s en d-
d o opue s to .
\e p u es ta :
a)
I
L
T
gc a .,
MT V 4]'(2-
G - - = < w~.r = - - rr 1 . _ r T'
M~r':::G--P
41[2
Mr es Ja r nasa de Ia Tierra; T es e l tie mp o qu e I a L un a ta rd a e n r ec orr er
u 6 r bi ta entomo a la TIerra.
r =3,8.lOtlm
b)
T
~
L
. ~ · I : = :0 ,4 x 1 0'm
gr= gL
M o l ' M lG =0---(3,4.1O~)1 (0,4.108)1
MJ . = ( 0, 4/ 3, 4) 2. M r
ML = 8,3. lOa: Kg
c) C alc ula mo s pr imero I I Ig ravedad en la superficie lunar:
ML&=0-- = 1,9ms'?
RI2
La velocidad de lIegada al uelo lunar:
v = ~ 2g.,h = 6,2 IDS-'
6. ( Zar ag o za , 1 9 95 , L OG SE) L a N ASA pretende lanzar u n s at e-
lit e g e oe s ta ci on ar io d e t ele c omu nic ac io ne s . p e ro e n el ultimo momen-
ta e l C on gre so re du ce e l p re su pu es to d e stin a do a l p ro ye cta . d e fo rm a
q ue la e ne rg ia d is ponib le p ara eI la nz am ie n to q ue d a r ed uc id a a la
mi ta d es tr ic tament e n ecesa ri a. A p e sa r d e t od o s a la nz a e ls ate lite .
a) D ete rm in a e l ra dio d e o rb its c irc ula r q ue p od rf a c on se gu irS e
c on la n ue v a e n er gf a d e t an zam le o to .
R T:= 6 30 0 Km . M T = 6 .1 0" K g, G o: 6 ,6 7 U .S ,1.
84
Ana l is i s p r evio :
Un satel ite geoes tacionario es aquel que siempre esta enIa misma verti-
Fisit.a 85'
S] disponemos de \0 x iO 1m J pqdremos situar al satelite en una urbita
de radio r ' a part ir de la Tierra:
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cal respecto a Ia Tierra, tiene e1 mismo perfodo de rotacion que Ia Tierra
(J=24 b0I3S). Este date nos va a permirir ealeular elradio de.la 6rbita geo-
estaeionaria mediante la ecuaci6n g= ac.
E] s ig ni en te p as o s er a hallar la e n er g ia q u e hemos de comunicar al sate-
l it e p ar a s it ua zl o e n la o rb jt a d es de Ia superficie terrestre,
P or u lt im o , c on la mitad de e sa e ne rg ia d el p as o p re ce de nt e v er em o s e n
qu e 6 rb it a p od em o s s itu arlo d es de la Tierra.
Respues ta :1) Calculo del radio de la orbita geoestacionaria:
Condic i6n de equilibrio en la 6rbita:
g= at;
Mr y2 4n2
G-=-=w~.r=-r (1)r2 T T~
M 1 'r'=G--P' T=24x3600s' r=42)( 107m
4 1 1 :" ' "
En e rg f a q u e tiene un sa tel it e de ma sa m s it na d o e n o rb it a g eo es ta c'Usando los dos primeros terminos de la ecuacion (1)
1 MTlll J M 1 ' mE=-IDv"-G--=--G--- -4,7 x IDI 'mJ
2 2 r
Energia de un satelite de masa []l sabre l a s uperf i ci e terrestre, Despre-
ciamos ]a energia cinetica del satelite debida a la rotacion d e la Tierra:
M,.m&=-G--=-64" 10;mJ
R T
Energia que hemos de comunicar a un satelite de masa m para siruarlo
en orbita desde la Tierra:
"H'= E- Eo = 5,9" l07m J
1 M T m- - G --- + 6,4 x 10'm J :; 2,9 x 101m2 r'
Resulta:
r'=5,910"m <R,.
C a n 1 3 e ne rg ia d is po nib le e s i m po si bl e s lt ua r al s a te lt te e n n in g un a 6rbita.
CAMPO ELECTROSTAT ICO
1 . (M ad rid , 1 99 5) D e a cu e.rd o c o n e l m od elo a t6 mico d e B oh r, e l
electron de un l I. tomo de h id r6 ge no g ira a lre de do r d e s u nuctao (un
p ro to n) s ig uie nd o u na tra ye cto rla c irc ula r d e 0 ,5 x 1O -'~ m d e ra dio ,
c an u na v elo cid ad d e 2,2 x 10· m /s . C alc ula r e l m od ulo d e la s tu erz as
q ue se gu n d ic ho m od elo a otu an s ab re e l p roto n y e l e l ec tr on r e spe c ti -
vamente, sabienda q ue la m asa del electron as me = 9 , l ' x 10-'" Kg .
Analisis previa:
Le fuerza que e1 proton ejerce sabre e l e l ect ron (que pOI el principia de
accioa y reaccion es igual en modulo ala que el electr6n ejerce sabre el pro-
t6 n) e s Ia fn e rz a een t ri pe ta necesaria p ar a t ju e el electron deseriba la 6rbita
circular:
(1)
Respues ta :
Aplicando la ecuacion (1) :
F =: 9,ll" 10-3l.(2,2,,106)21(O,5xlO-W)
F = = 8,8x 10-8 N "
Seiec! lviciud 96 . Ciencias
2. (Madrid, 1995) Dos cargas puntuales de 5 fle cada una, perc
Fisica 87
O J 02
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de signas apuestos, estan separadas una dlstancia, de 2 m. Calcule
en al punta medio entre arnbas:
a) EI potencial slectrico.
b) EI campo electrico.
Data: (41tt.J)-' 9 x 1O~N m" C->',"
An!lliSis previa:
Es un ejercicio de aplicacion inmedIata. Tienes que tener muy presente
que los campos son vectore y siempre que resulte asequihle, debemosdibujarlos antes de hacer ningtin caleulo.
Respuesta:
a)
p
l I U 1m
VI': 0V
b) Al dibujar los campos e n e l p un to P, o b se rv amo s q ue H e rr en la mis-IDa d i re cc ion y el mi smo s e nt id o . La resultante tendra la misma direccion, el
mismo sentido y par modulo la suma de 108 m6dulos.
El modulo del campo producido par una Q a una disrancia E es:
Q 5 > < 1 0 - 6E=X-·E=T.:l=9xlO~ =45xl()4N/C
.r z• I. '-'2 1 '
E(P) = E, + E . = 9 >< 104 N/C
I · 'W ~ 1
1m 1m
3. (Murcia, 1995) Entre dos placas carg~.das para lelas hay una
di ferencia de poter rc ia ] de 200 V. En la region comprendlda entre
ambas placas exists un campo electr ieo de 400 NjC de modulo.
Determine:
a) La separaci6n entre las pl?cas. . • •
b) EI modulo de la aceleracion que exper~mentana una partleula
de 0,01 Kg de rnasa con una carga de 10-' C sltuad~ entre lasplacas.
oj La varlacion de la ensrgfa potencial electnca de dicna par-
tlcula 5 1 va de la p laea negativa a la posit iva.
Analisis previo:
El campo entre las placas de un. corrdensador, Iejos de los bordes,. es
constante. E n e st as condiciones In relaeion entre el va lo r ab so lute de la dife-
rencia de potencial y el modulo del campo es:
V=E.d (1)
En donde V es la diferencia de potencial entre dos puntos, que estan en
una misma linea de campo, separados por una distancia d.
Fuerza que S6 ejerce sabre una carga en'uncampo es:
F=q.E
C on oeida la fu erza y la masa, usando La ecuacion fundamental de la
dinamica, podemos determinar Ia aceleracion.
Respnesta:
a) V=E. d200 = 400 . d ; d=0,5 rn
b) F=q .E = 10-4.400 =0,04N
F=m.a
0,04 = 0,01. a; a = 4 m s "
8 8 Seler; t iv idad 96. Ciencias
c J V=E.d (1
89
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E+
V~>I, 1
porqueA V =-il-Bdr =
= E.d>O
. . .
d
2
4. (Zaragoza, 1995) Se conecta un vo!tfmetro a las armaduras
de un oondensador plano cargado. Enel espacio entre las armaduras
ha y aire. D eb id o a una alteration entre las armaduras la indicaci6n
entre la s a rm ad ura s d el voltimetro d ls min uy e u n 5%.
a) i ,H ab ra au rne n ta d o 0 dlsmlnuldo la d i st an c ia e n tr e las arma-
duras?
b) l ,. Cu a. 1 e s, en %, la v aria cio n d e la capacidad del conden-
sador?
c J Rezone s l h ab ra variado el campo electr ico existante entre
las armaduras.
d) l ,.Cua l es , en %, la v aria .c i6 n d e 1 aenergfa electrostatics de l
condensador?
e) i,Que constante dielectrica debarfa lener un material que a t
introducirlo entre las armaduras produjese un cambio similar de la
capac id ad d e l c ond e nsad o r?
Analisis previa:
Para resolver e te ejercicio vamos a tener en cuenta la signientes rela-
ciones:
1 ) R elac io ne ntre Ia d lfe ren eia d e p ote ncia l en tre la p lac as d e u n co n-
d e ns a do r p l ano , el m6 du lo d el c am p o ehklTico y la distancia entre placas:
2) Relaci6n entre la den idad de ca:rga en las placas y el m6dulo del
campo:
0= Eo.E (2)
3) Capacidad de un condensador plano:
C = E ,I • Si d (3 )
S = superficie de cada placa .d = distancia entre placas,
4) Energia de un ccndensador cargado:
E=1/2Q.V (4)
Respuesta:
oj POI l a r el ac io n ( 1) , e l p o te nc ia l depende de Ia distancia entre placa
y del cam po. P ar la re lacion (2) el cam po no se modifica por v ar ia r la d is -
ta nc ia . P ar ta nto , J a v ar ia cio n d el p ote nc ia l e s d ir ec ta m en te p ro po rc io na l al a va r iac idn de la distancia:
v =E. d (5)
V'= E. d (6)
C om o V '= 0 ,9 5 V d ed ucim os q ue d '= 0 ,9 5 d . L a d is tan cia h a d is min ui-do u n 5 % .
b)
C = flo /d (7)
C:;; Eu /d' (8)
D iv id imo s ( 8) e nt re ( 7) :
C IC= dId' = 1/095 = 1 0526
La c ap ac id ad d e] e on de ns ad or h a a nm e nta do u n 5 .2 6 % .
c) Com o hemos puesto de rnanifiesto en a) el campo solamente
d ep en de de la d en sid ad d e c ar ga y de l media y n in gu n o d e e st es h a v ar ia do ,
90 Se leetividad 96 , Ciencias
No varia.
d)
91
Analisis previa:
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E=l/2Q. V
E'= 1/2o. V'
Dividimos (10) entre (~):
B' IE =V '/ V; :. 0 ,9 5 .
Ha disminnidc un 5 %.
e) Segrin pooemos de manifiesto en b): C' = = 1,0526 C. Lnego bastac on i nt ro du ci r u n ma te ri al c on u na c on st an ts d ie le ct ri ca r el at iv e:
(9 )
(10)
c= Eo Si d
C'=E'S/d
C Ie = f!.' lEu = = e,
6, = 1,0526.
5. (Z aragoz a, 1995, L OO SE ) S ean tres ca rgas pun tua les , oasau na d e va lor + q, sltoanas e n lo s v ert ic es d e u n t tIa ng ulo e q uila te ro d e
lade «8». EI p un ta M e s c op la na rio c on e ,l tr ia ng ula , s itu ad o e n la p ro -
l on ga ci6 n d e s u a ltu ra y a u na d is ta ne ia d el v ertlc e m as p ro xim o ig ua l
a ll ado de l t ri an gu la .
a) C alc ula r e l c am po e le ctrlc o e n e l p un ta M .
b) Ca lcu la r e l potencial elecirostanco an aJ punta M.
Dibujamos eneI punto M los campos producidos por las cargas 01,Q1y 0 3, Qbservamos qu e Ej y Ez t ie ne e 1m i smo modulo y s on s ime t ri co s r es -
pecto aJ eje de LasX, fuego 13 resultante de estos campos es cero segdn el
eje Y . Como el campo E " olamente t iene componente X, la resultante de
los Ires campos unicamente tendra eomponente X.
E l p ote ncial to calcutamos mediante la suma a lg e br a ic a d e los poten-
c ia le s p re du cid os p or la s tr es c ar ga s e n el punta M.
Respuesta:
€ f)
11=aV3/2
92 Seiecti>' fdJuJ 96 . Ci~",ciDs
b J
FisiCD 93
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q qV!o1=K-+2K---=
a • r : : : -a ,2+ t3
6. (Castilla· La Mancha, 1995) Hal lar e l valor de Q, en funci6n de
o, para que el potencial elec lr ico generado par estas cuatrc cargas
sea nulo en el origen de coordenadas.
(O,b) -q
o
(0. - b) + q
Respuesta:
E l p ot en ci al e n 'LIP punro e s la s um s a lg eb ra ic a d e los potenciales qu e en
e e p un to p re du ce n las cargas.
La carg as q ue es tan en el eje Y on. de distin to igno y e ta n a la m ism a
d i ta nc ia , lo s p ote nc ia le q ue p ro du ce n e n e l o rig en a l s um ar lo s . e a nn la n,
Las cargas que tin sab re e l e je X , equid i tan del o rig en , p ara q ue su
suma sea cero basta q ue s ea n d e s ig n os o p ue st os :
Q=2q
7. (Castilla-la Mancha, 1995) En el centro de un cuba, cuyas
artstas rniden 2 rn, colocarnos una carga puntual de 3.10-8 C.
8) Caleulsr el flujo de campo elsetrtoo producido par dicha carga
a traves de la superficie del imitada par el cube.
b) iCuanto vale el flujo a lJaves de una de las caras del cubo?
c) SI la carga no est !Jviera en 91 ceruro, ilas respuestas de los
apartados a) y b) anteriores serian las mismas? Expllcalo sin nacercaleulos.
Al' l li l isis previa:
Teorema de Gau : I O uj e lectrico que a 1 1 1 1 v ie a u na u perficie ce rra -
da es igual a la carg a ituada en el espacio interio r delimllado p ar d ic ha
s up er fi ci e p ar ti do p o r l a c on st an te d ie le ct ri ca d el m e di a:
r) = Q /e
Respnesta:
a) Suponemos que estamos enel vacfo
$ ::;OlE = 339 V . m
b) POt simetria, el flujo que atravie a cualquier cara deJ cubo es el
rnismo:
< p = 3 9/6 =56,5 V .m
c) SI la carga no esta en el centro, la re pue ta al apartado a) sigue
ien do 1a m is ma, e l teo re ma d e G au ss se enuncia in e p ec if ic ar e n q u e PUIl-
10 de l in te r ior hay q ue s itu ar la s c ar ga s. L a r es pu es ta a l a pa rta do b ) no es la
misma, la carga no tiene ahora la misma posicioncon respecto a todas las
caras.
MAGNETISMO E INDUCCION
1. (Madrid, 1995) Una carga el~ctrica positiva q se mueve can
una velocidad constante v penetra en una regi6n donde exists un
campo magnet ico unl forme B perpendicular a v. Determlnar el modu-
lo , dlrecoi6n y sentido de un campo electrico E que, aplicada en la
misma regi6n del espacia , permi ts que la carga electrica continue su
mavimiento rectilfneo.
9 4 e lecriv idQ,f l 96. Ci/ !nc ias
Amllisis previa: Respuesta:
mica 95
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La f ue rz a q ue e xp er im e nts u na c ar ga q ue penetrs e n u n c am p o m ag ne ti-
co segun la ley de Lorentz e :
FM ~ q (v x B)
La f ue rz a q ue e xp er im e nt a u na c ar ga d eu tr o d e u n c am p o e le ct ric o e s:
FE = = q E
Respuesta:
Para que Ia carga continue can IImovimiento rectilineo, esta fuerzas
ban de er de igual direcci6n y m dulo pere de sent ido opu to .
FE~-FM
E=-vxB
S up on gam cs q ue Ia c arg a s e m ue ve e n la d ire ccicn d el e je X :
v = (v, 0 0)
S up on gam os q ue B tie ne la d ire cc i6n d el e je Y :
B = = (0 B 0)v x B = 0 0, vB)
E = (0 0, - v .B) tien la direccion d el e je Z , s en tid o n eg ativ e y de
m6dulo E = v.B
2. (Madrid, 1995) P ar u n c on du cto r re ctilin eo m uy la rg o o ire ula
una corr ien te e lemrica I. Una e spi ra c uad ra d a se mueve rnantenien-
d os e c op la na ria c on e l c on du cto r. D ete rm in ar e l s en tid o d e la c orria n-
ta in du cid a e n la espra c ua nd o s u r no vimi en to e s:
a) Pa ra le lo a l c ond uct or .
b) Perpendicular aI conductor y a1ej and os e d e el.
Ana l is i s p r evi a :
e produce corriente inducida en lU I eireuiro s j v arfa c on el r iempo el
f lu jo m a gn et ic o q ue I e a t ra vi es a,
S i ei tlujo c li sm i n uy e , e l entido de la co rrie nte in du cid a e s tal q ue e l
ca mp o c re ad o p ar la e orrie nte h ag a a um e nt ar e l flu jo y viceversa,
a)
v,
No hay v ar ia ci on d e f lu jo y , pa r tanto, no ha y co r ri en te i nduc ida,
b) Disminuye el flujo po rque, a m ed id a que T IOS alejamos de l conduc-
t or , e l c am p o decrece, C om o e l c am p o e s p er pe nd ic ula r a l c i rc uit o y entran-
te , la corriente inducida ha d e p ro du cir u n campo perpendicular y en rrante,
La corriente t ie ne e J s en tid o d e las a g uj as d e l r e lo j.
I r
Vb
I'
3. (Madrid, 1995) Un e le ctr6 n sa m ue ve an la s p ro xim id ad es d e
u n h ito co nd ucto r re otilina o p or e l q ue cire ula u na corne nte d e 10 A.
C ua nd a e l e le etr6 n a sta a 0,05 m d el cab le , su va loo id ad as 105 m/ s y
s e d irig e p erp en dlc ula rrn en te - h ac la a l c ab le . l,C ua J e sla fu erz a q ue
a ctu s s ab re e l e le ctr 6n 7Datos: lA o = 41t10-? H m-1 ; e:: -1,6 >< 10-lli C
.-96 Selectl.vidad
9 6 .CiE'llcias
Ami l is i s p r evio :
La fuerza sobre el electron e :
97
Analisis previo:
La f ne rz a e le c tr omo tr iz in du cid a e n u n c ir cu ito e s :
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F = = e (V " B)
Respues ta :
F = 1 ,6 " 1 O- 1~ > < .1 0' " 4 :r t x [0 .)( 10/(2 x It" 0,05)
F=64x 10 L9N
E p ara le la aJ conductor y d e l m i sm o s en ti do q ue l a c or rie nt e,
5 . (Zaragoza, 1995, lOGS E) Sea un circuito rectangular de
la do s . .a . . y -o . ., y resistencia R. como i nd i ca l a f ig ur a. A l a d e re cha
d e la line a d e puntos, que e s la para le la al lad o «a», hay un cam po
m ag n& tlc o e on sta nte ,B , p erp en dic ula r a l p ap el y sa li en te . Manua, l·
m ente m ov em os e l olrc ul10 a ve loc id ad e ens tante , v , d e form a q ue
penetra en la regi6n de l campo magne t ico .
I • • · • · ·I •
·•
· · ·I • · · • • •
R~
•I
ar I• · • · · . .
I • · · · · ·b I
L I • . ' · · · ·I • • • · · ·I . · · · · ·
a) Calcular ta e ne rg fa tra ns fo rm ad a e n fo rm a d e c alo r. c ua nd ola mtt ad d e l c ir cu ito e sw in tro du cid o e n e l c a mp o B .
b) ,Q u e f ue rz a r ea liz amo s e n d ic ho in sta nte ?oj D lb uja r u n d ia gra ma q ue m ue stre la f. e. m. in du cid a e n e l c ir-
cu it o respecto a la long itud in troducida.
=-d~/dt
L a fu erz a q ue e xp en me nr a UD h ilo re ctiline e co nd uctor d en tro d e 'U ncampo ma gn et ic o e s:
F= I (I" B)
Respuesta:
a) C alc ul ar no s p ri rn er o la f .e .m . i nd uc id a e n el circuito:
£ = -diP/dt
d~ = B.dS = B.a.db =B.a.v. dt
En v al or a b so lu te la f. e.m. es:
! != B .a ..v
C onstanre por q ue B , a y v s on c on st an te s .
B n er gi a e on sum ld a e n el c ir cu it o c ua nd o e st e s e h a i nt ro du cid o J a r n it ad :
E = I;I tT = e(R: t = (b/2)/v
E = B~a~ b v/(2R)
b)
I • · • • · ·I • 1. • • • · Y L-IF l· . · · ·F P1 . + ; - . · ·· .IFI t •
z
· • • •-I I • · · · · ·• · · · · ·
. . . . . . . . .
l ) X "..I",·fl,'idIUJ.,/I ( It'III'u/'
F, + F~=0
Fisico
Respuesta:
99
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F:= T (I M B)
F=daB=B1a~v/R
c ) M ie ntras e L oircuiro e stii p ene tran do e n e l campo la f .c .m . p e rma ne -
ce constante e igual a: B a . De :pues no bay ariaci6n de flujo y, por tanto,
valecere,
Le.m
Bar
o b longitud introducida
ONDAS
1. (Mad ri d, 1 995 ) La ecuaci6n de propagaci6n de un a o nd a q ueS9g en era e n u na c ue rd a se p ue d e e xp re sa r d e la forma:
y(x,t) = 0,3 cos (300 1( t-10,. + n/2)
Donde x s e e x pr es a en metros y t en segun do s , Ca lcu la r:
a) La f re c ue n cia y la lo ng it ud d e onda.
b) L a v elo cid ad d e p ro pa ga oi6 n d e la o nd a.
Anili is previa:
E cribimo una expr sion de Laecuaci6n de onda que re ull adecuada
p ar a i de nt if ic ar L os parametres:
y(x,t) =A co s (O J t-~ t + q;)
Donde: O J = 2Jt/f, j3 = 2'J[f)...
a) Identificamos los coeficiente de t y de x:
O J = 3 00 :n := 2x.v . v = 150 Hzj3 = 10 = 2Jt(;.. , 1 1.= r r . / 5 m
b) A = v ,T ; v =NT =),.. v::: 94.25 ml s
2 . (M urcia, 1995, C OU y L OG SE ) U na ond a e n una cue rd a vie -n e d ad a p or la e c ua ci6 n:
y(x,t) = 0 ,2 s en (me) co s ( 10 0m :) 111
e n d o nd e x esta comprend ida entre 0 y 6 m. Calcule:
a) La lo ng itu d d e o nd a y la f re c ue n cla a ng ula r d e la o nd a,
b) E I numaro d e n od o s ( in clu id o s lo s e x tr emo s) ,
c) La velocidad de propagaci6n de la s a nd as e n la e ue rc a
Analisis previa:
Escribimes la ecuaci6n general de la onda estacionaria:y(x.t) =2 A se n (Bx) co (wt)
Respuesta:
a) Identificamos coeficientes:
j3=:n:rad/m, ~=2nf)..=1t, A=2m
O J = 100 nrad/s ; 2nv = lOOn' v e 50 Hz
b) Condici6n general de nodes:
se n 1 3 x = 0 ; j3 x =K 1t ; 1t '=K r r . ; K :: :: 0 , 1 ,2 . ..
x=K
K=O !,:x=OmK := 1N , : x = 1 m
K=2 2:x=2m
K=3 NJ :x=3 m
K = 4 N o.: x := 4 m
K=5 5 : x = o S m
K = 6N~: x :: 6 m
10 0 Selectividad 96 . Ciencias
Siete nodes.
c) }.. = v .T
-Fisico 1O1
Fi ICAATOMICA
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V :; A . v =2 >< 50 =100 m J
4. (Sevi lla, 1995) En una cuerda se propaga una enda transversal:
y(x,t ) =2 sen 211"(1Ot- 0 ,1x) (S. I. )
Determlnar; a) Perfodo, longitud de onda y velocidad de propaqa-
cion de - la onda, b) velocidad y aceleraci6n rn ax lrn as a n u n punto delawarda.
Ana li si s p re v io :
Escribimos la ecuacion gene r u l ell la forma mas adeeuada e identifica-
mos parame t re s :
y(x,t) =: A se o 2""[(tff - x! ' J . . . )
Respues ta :
a)
Iff = 10 ; T =0, s1(1..= 0, l ; } ..= 10 m
A = v. T ; v = 100 m J s
b)
1] = iJy/at = 4 0 1 T co s 2 1 [ ( 1 0 t - O , l x )
a = au/at = - 8 O < b t2 sen 2n lO t - O ,l x
u.-:;; 401t mI.a_ = 8 0 1 t2 ms "
L
1. (Murcia, 1995, LOGSE) iOua energia se l ibera por nucleo en
una reaccicn nuclear en la que se produce un defecto de rnasa de
0,1 u1(Dato: 1 u 1,66. 10-~ Kg).
Ana li s is p r evio :
La masa que desaparece se eonvierre en energia. La re1aci6n que Iiga
am bas m ag nitu des e :
E==m.c~
c e L a v elo cid ad d e l a l uz ,
Respuesta:• d .4
E= l,66. lO-~'. (3. J06)~ = 1,49. 10 J
2. (Murcia, 1995, LOGSE) EI perlodo de semldeslntegraci6n de
un nucleo radiactivo as de 100 s. Una muestra que inicialmente con-
tenia 1O D nucleos posee en la actual idad 107 nucleos, Calcule:
e) Laant lguedad de lamuestra.
b ) La vida media.
e ) La actividad de la muestra dentro de 1000 s.
Analisis previo;
E n un p ro ce so d e desioregracicn r ad ia ct iv a p o demo s de fi ni r:
C on r an te d e de si nt e gr ac io n : A ., es la pro bab ilid ad d e q ue e trans fo rm e
un :itomo en la u ni da d d e t iem po .
Vida media: 8 . es e l val r m ed ia de la v i d a d e lad los atomQ5 cons.iderados.
Perfodo de emideslntegracion: 't, t iempo en el que un rnimero de alo-
ma fa d iscrivos e reduce a 10.mitad.
"'f =0,693 fJ
~02 Selectividad 96 . Clencias
Velocidad de desintegraci6n: En un instante t = 0 s tenemos un niimero
de atamas radiactivos No , t s eg un do s d es pu es o r ntirnero de Momos qu e atin
DO se ban desintegrados es N. Si la constante de desintegracion es A ., se
F[sicll 103
Respuesta:
Cada hora que pa a el .m imero de atomos de la m uestra se reduce a la
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cn mp le la ecuacion:
Respuesta:
4) Calculamos en primer I nga r Lacons tan te de des in tegra ci on:
A . : :: 0,693ft; '" 0,00693 S-I
D ete rm ina mo s a ho ra la an tig ued ad d e la m ue srra a plican do Ia e cua cio n (1 )
liP=109 e-ll·OO•9J1
t= 6644 s
b) Vida media:
( ) = ~/O>693= 144,3 s
c) Calculamos los atomos sin desintegrar dentro de 1000 s:
N= 10'. e-"·!l/lIi~l,lOOO
N = 9,78.103
A ctividad de una m uestra: A = ) .. N
A = 61,8 desin tegraciones/ s
3. (Zaragoza, 1995, LOGSE) Una rnuestsa de cierto is6topo
radiactiva tiene una vida media a perfodo de sernidesintegraci6n 't '" 1
h. l .En cuanto 1Jempola actividad de la muestra sa habra reducido al
25% de la original? Repre.senta en el OY el % de la.actlvidad y en el
eje OX el t iampo en horas y a par ti r de lag~af ica estl rna al t lernpo que
ha de transcurr jr para que-Ia muestra se reduzca al t 0% de la in ic iaL
Analisis previo:
En este easo el redactor del ejercido idenrifiea vida media C0D periodo
de semidesintergracidn ..Exeepto que expllcitamente fa encoatremos asf,
resolveremes comoea el ejercicio anterior.
mitad podemns hacer la iguiente tabla:
tlh o 1 3 4
N/% 100 50 25 U,5 6,2$
Com o podem os observar al cabo de 2 b la muestra s e h a r ed uc id o a J 50 %.
Representamns la tabla e n u no s ejes de cartesiana:
% 100
t/h
1 2 3 4 5 6 7 8
Pasadas unas 3,3 h la muestra se ha reducido a110%.
4. (Castilla-La Mqncha, 1995) Elige la opcl6n que creas mas
correcta y raz6nala brevemente.
La actividad de unelemento radlaotlvo pasa a valer 1/32 de su
valor inicial cuando han transcurr ldo 45 s. Su periodo de semidesinte-
graci6n es:
a) 45 s.
b) 1/9 s.
e l 9 s.
d) 32s.
Analisis previo:
U t il iz am e s e l c on ee pt e deperiodo de semidesintegracion.
10 4 SelectMdaQ 96 . Clencias
Respuesta:
Ftsk» 10 5
CORRIENTE ALTERNA
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El enunci ado no s d ice que:
= 1/32 N D
N= (l/2)!.Nil
Bs ta e xp re s io n no s d ice que Ia mUDs II a ini ci al se h a red ucid o a la m itad
5 veces, han pasado 5 periodo de semides integracien, Si el tiempo total es
de 45 s, cada pedodo e de 9 • .
Si 13 relacion entre l a r nu e st ra a ct u al y la W e i a ) no bnbiera i do t an f ac il
de de componer en potencia de 2 hubieramo recurrido a Ia ecuacion;
N=No , e .. . . .
5, (Sevilla, 1995) En una mues tr a de ., Cr exlsten 4,1.1 0>1 1ato-
mos. Si el pe rf oc le de semideslntegraci6n del Made elernenlo es de
2 7 d las , c alc ula r: a} v id a m ed ia d el e mis or rad ia ctiv e; b ) n urne ro d e
a lomos q ue h ab ra aJ cabo d e un ana y a ctiv id ad d e la m ue stra e n a sa
momenta.
Ana li si s p r ev i a:
Utilizaremos las relaciones:
1;= (In 2)(A = (In 2) . (J
Pa ra e l a p ar ta do b) utilizaremo 1 3 ecuacion:
N = Nu• e-'"
y la de fi nl ch i n de a ctiv id ad A = A . N
R e pue Ia:
0) Vida media: B =0 't/(ln 2)= 38,95 dias.
Co ns ta nt e d e d e . A.= 1/8=257. 10 ~ (din )-1.
b) N = No ' e-A'
N =4 ,1 . 10 III e - O , < W 1 _ J l i S
N = 3,46. 10 16 ,homos
A= A . N =8,9.10 I,desintegraciones/dfa.
1. (S evilla, 1996) U n circuito s erie c on sta d e u na re sis te nc ia R =
20 Q Y una b ob in a, d e resistencia RL .Y aut oi nd uoc i6n L desconocidas.A I c on ec ta rlo a una t en si6 n V = 1 20 c os 1oa t V, los v alo re s ma xim a s
de las d lfe re nc la s d e p ote nc ia l e ntre lo s e xtre m os d e la re srs te no la y
d e la bob lna son 60 V y 9 0 V , r es pe c tiv ame nt e. a } Cafcular los vaJores
de Rl Y L. b } i,Que c on de n sa do r h ab ri a q ue a na d ir a J clroulto para qu ee l f ac to r d e p ot en cia f ue s e J gu al a la u nid a d?
Anal is is p re v ia :
P ar s e r u n c ir cu it o ierie la in tc ns id ad q ue c irc ula p or cada e leme nt o d e l
c ir cu it o e s I nm i sm a,
R=20Q
V=120
W=lOOR.
Relaciones e ntre los vo lta je s d e los extremes d e lo s e le m en to s y las
impedancias de l os m i smo s :
Re i st enc ia :
(1)
Bobina:
106 Seiectividad 96..Cienda:;
Circuito general:
Vo = 10, Z (3)
Fisica 107
dad decorrlente de 60 A. La lmpedancia Z, esta formada por una
resistencla 6hmica de 4 g Y una reaetancta lnductiva de 3 Q, Y la
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Z = [(R + RJ~+ (Loo)'}'/!
Respuesta:
a) Utilizamos la eeuaeion (I):
60 = 10.2010 =3A.
Utilizamos lasexpresiones (2) y (3) , sust ituycudo II)'" 3 A, VL = 90 V ,
VI) = 120V.
90 = 3. [R\ .! + (Lw) 2 ) '12
120 = 3 . [(R + R\.)l + (Lro)~I In.
D ivid lend o por 3 y e le van do al cu ad rad o e ad a un a de la s ecuaeiones
antertores resulta:
900 = RI." +(Loo)::'
1600 = (R + R\.)l + (l...al)~
Restando de la segunda Ia primera y resolviendo:
RI.=7,5.Q
l...al = 29 QL=O,29 H
b ) S i a l c ir cu it c I e a fi ad im o s nncondensador l a i mp ed an ei a s er ia igual
a :
L a co nd icie n p ara q ue e l f acto r d e p oten cia se a ig ual a la un id ad e s q ue
l a im pe da nc ia s ea 6 hm ic a p ura :
Lr o = 1!(Cw) ; C =(Lro~-' = 3 44 ,8 I J. F
2 .. (Baleares. 1994) Un circuito de corriente altarnaesta formado
por dos impedancias Z, y Z :. en ser le, por las que elrcora una intensi-
z . . par una reslst .encia 6hmica de 13 Q Y una reaetancla lnouettva
de5Q.
a) Dibujarel diagrama vectorial del clrculto,
b) Caloular la potencia disipada en la Impedancia.
Analisis previo:
I mp ed an cia Z ,:
'lt= (R~+ X~l) lIZ = (16 ...9) lIZ = 5 Qtag !P I= X!.l/RI= 0,75 ; !P I = 36,9"
Irnpedancia Z ::
Z :z = (R~+ X " L Z ) I C o l = (169 + 25) '1 2 = 13,9 Q
tag qJ; = XuIR~ = 0,38 ; \ P : a : = 21,(1"
Impedan ci a t ot al d e l c ir cu it o:
Impedancia Z:
Z = [(R, + RJl + (Xu '" :XU)~]In= (289 + 64 ) lIZ = 18,8 Q
tagcp = X , J R =0,47 ; qJ = 25,2"
AI sec u n circ uit o s erie la in te ns id ad d e c or rie nte q ue c lr ea la a tr av es d e
cualquier elemento del eircuito es la misma.. La intensidad se representa
sabre el eje de abscises,
108 Selectividad 96 , Ciencias
Los veltajes de elemen os del circuito, con resistencia 611mica pura.
estan en fase con la inten idad.
Los voltajes de elementos del circni to, con reactancia inductive, es tan
Ftsiea
109
R=300Q
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adelantados con respecto a la .intensidad, HI angulo de de fase es eJmismo
que eJde la impedatrcia,
Los voltajes de elementos del circuito, con .reactancia capaoitiva, estan
atrasados con respecto a la intens idad, EI angulo de desfase es elmismo que
el de la impedancia.
La potencia disipada en una impedaucia depende iinicamente de la
resistencia 6bmica de la impedancia:
p = 1;.R
Respuesta:
a) Teniendo en cuenta los valores obtenidos en el analisis:
V~=r.z. , VI = 3 D O J O , l I '
V 2 = r .Zl ; V1 = 83~,1f
V= I. Z; V= 1128!5.1!'
(1020,480)il.w
100V4
3
2
1
1 2 3 4 5 7
b)
IR/IOOV
10
P, = F .R. = 14400 wP 2 = P. R~=46800 wP = P. R = 61200 w
3. (Castell6n, 1993) Se monten en sene una bobina de autom-
ducci6n L y resisteno ia 300 D, Yun condensador de oapacidad G = = 20
I J . F . Se apllca una corriente altema eficaz de 220 V Y50 Hz. Calcular:
L
G '" 20 IJF
a) EI valor de L para que la corrlente sea maxima.
b) La patencia consumida en estes condiciones.
. cJ La ~utoinduccj6n que hay que colocar para que la poten-
Cia c?nsumsda sea el 80% de la consurntda en las condicionesantenores. .
Analisis previo:
La.impedancia del circuito es:
Z = [R2 + (Lw-1/ (Cw»)2] 112 (1 )
, ~. c~f1iente es maxima si la impedanoia as minima. La impedancia esmuuma 81:
Lw -l/(Cw) =0;
L= (C (2)- '. (2 )
a), to = 2 n v :0 1 0 0 . : 1 1 ; Iad/s.
Aplicamos Ia ecuaeion (2):
L:o 0,51 H
b) P ""(V1R)l. R =161.3 w
c) El voltaje en ambos cases es elrnismo:
V=l.R
V=I'.Z, Z=(R'+X2)lIl
110 SeiJlclivi41ld 9 . 6 . Ci~c:icis
1 . R = P . Z , e le vam os a J cuadrado:
P . R 2 = I'~. Z""P. R2=1'1. (Rl+X2) (3)
Fisica
Todo el circuito:
V=I.Z (:1)
Z= [R 2 + (Loi -l/(Cw») Z ] I f} . (2)
11 1
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Cornparemos ahora las potencies:
P'od'2..R
P=F.R
P'= 0,8 P , 1 " = 0,8 P (4)
Sustituimcs (4) ell (3):
Results pues:
X=± 0,5 R = ± 150 Q
X=X'cXc; X c= l/(Coo) = 159,2Q
Dos so luc iones:
1:)l= 150 + X c = 309,2 QLoi = 309 2 ; L = 0,98 H2: XI.= ~150 + x, = 9,2 Q
Lw=9,2; L=O,03H
4. (le6n, 199 3) U n g ene rad ar d e 50 H z e sta co ne ctad o a un cjr~
c uito e n s erie , fo rm ad o p or u na re sis te nc ta d e 1 00 g, una au to induo -c i6 n d e 0 ,2 5 H Y un e ond ens ad or d e 1 00 ).L F:La pa ten e ia med ia su rn l-
n is tra da a l c lr cu ito e s d e 4 00 W . S e p id e:
a) V oltaje e ftc az e n b om es d e ca da uno d e los aparatos;
b) Vo lt aj e e f ica z t ot al d e l c lr cu lt o:c) Des fa se en tr e l a i nt ens ida d y e l v olta je p ar a t od o e l c ir ou it o.
Amilisis previa:
L a in te ns id ad q ue c ir cn la a t ra ve s d e; cu alq uie r e le me nt o d el c ir cn it o e s
Ia misma,
E n to do 1 0 qu e s ig ue los v olt aj es e intensidades q u e e s cr ib amo s son efi-
caces,
tag qJ = (Lw -1/ (Coo». R-' (3)
Resistencia:
(4 )
VL=I,XL
XI.=Loo
<PI,::: n : / 2
(5 )
Condensador:
Vc = r. x ,Xc = (Cw)-~
!Pc = - 7 ( , / 2
(6 )
Potencia disipada:
(7)
R=lQO Q
L=O,25R
C = 100 !iF
112 SeltcliVidad 96 . Cienc: io .s
Respuesta:
~) A partir de la ecuaci6n (7) calculamos la intensidad:
P=F.R
QuiMICA
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400:=; P.l00
l;:::2A
PEDRO~LSANcHEZESCUDERO
Voltaje entrelos bomes de la resistencia:
VR=2.100='ZOOV COMO PREPARAR EL EXAMEN DE QUiMrCA
Voltaje entre los b me del condensador:
: : : (CW)-I = 31,8Q
Vc=2.31 =63,7V
La Qnfmica es una eiencia experimental que intenta ju .tificar la estructu-
ra y las propiedade de Inmateria; en este cntido, trata de utllizar raeional-
mente leyes , hip6~ i leona y modelos, iendo cada vez rna razonada,
mas deductiva y meno memorfstica. CONCLUSION: [Aprende la Tabla
P eriod lca d e 1 0 ele men to y los conceptc Micas de Qutrnlca, Y uti liza
racionalmente 10aprendidol Asf pues, t e s ug ie ro el siguiente plan de trabajo:
1 , M em oriza po r oo lu mnas (grupo s) los sim bo Jo de 1 0 elem entos d e
IIITabla Periodica, por ejemplo, grupo lode los alcalino : Lilio (Li), Sadio
(Na), Potasio (K), Rubidio (Rb), Cesio (Cs) y Francie (pr).
2. Segl1u la posici6n en la Tabla Periodiea (grupo y pcrfodo de cada
elemento), vas a poder deducir muchos detalles, As! en el odie, (perfodo 3°
y grupo 1) , su estructura electronioa es Js:2s~2p6 3s), y sumando superfndi-
ce , Z = 11; el estado de oxidacion ma s probable e +1, porque el atomo lien-de a perder su electrdn mas extemo para adquirir asf.la configuracion electro-
n ic a d e tipo g as n ob le , y 1 0 a nt er io r e s b as ic o p ar a formular correctamente,
3. En cuan a 10 conceptos basion , primero interua comprender,
despues intenta memorizar, y por ultimo intenta apliear dichos conceptos.
Ve.amoslo Con el concepto de mayor aplicaci6n en Quimica, el MOL.: el
mol es la c an ti da d d e c ua lq ui er s us ta n ci a (elemento, compuesto) q ue c on -
tie ne u n ntimett» d e pa r tf c uJ a s (atomos, molecules, iones eleetroees) igual
a ! n umer o d e A v og tl dr o ( N . . . .: : :6 02.1011).
Resulta asf que el mol la uuidad intemacional para la cantidad desus-
tanoia, siendo titil por Ires detalles:
• Coincide numericamente can las rnasas at6mka 0 moleculares,cuando tales rnimeros no son unidades de mass at6mica (uma, 1 1 ) , sino gramos
(g); asi, sl la masa atdmica del oxtgeno es J 6,0 U, el mol de (nomos (6,02· 1O~
litomos) corresponde a 16,0 g. y del misrno modo si la mass molecular del
ox ige no (0 0 e s 32,0 u , e l m ol de moleculas (6 ,0 2 . lOll mo le c ul as ) e s 32,0 g.
Voltaje entre los extremes de 101.utoinducci6n:
X~ =L ro c : : : 78,S Q
VL= 2.78,5 = 157,0 V
b) V olt aje e fica z d e tod o e l ci rcu ito :
Z = [R 1 + (Leo -1/(COl))2] If. = 110,4 Q
V =220,8 V
c) D esfase e ntre 1 01 .ntensidad y e 1 v o lt aj e p ar a todo e l c ir c ui to :
tag <p = [L e i - 1 / (Cro)] . R -'= 0,47
1 J l : O 25 0
114 Srdeail'idnd 96 . Ci~/I()i(1.j'
• Tratandose de gases, cl mol de cualquiergas ocupa un vo lume n s e ns i-
blemente igual a 2 2,4 Iitros, si tal v olu m en s e m id e en condiciones norma-
Q:u(miCI I 115
Ejerclelos ilustrativos
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l es d e p r es ion y t empe ra tu r a (p= Iatrn; T=OI.lC=273 K ).
• En disolucienesse maneja como unidad habitualla molaridad, que es
el mimero de moles de solute que ba y en cada Iitro de disclucion, 0 sea,
M = n lY . sien do M l a mo l ar idad , n el ru lm e ro d e moles y V el volurnen de 13
disolucionen litros.
A menudo ha y que pasar de gramos a motes. 11 vieeversa; para evitar
errores, 10 mejores que a continuacion de cada mirnero pongas sus unidades
entre parenresis, pudiendos e opera r call la s a ni da de s c om o s i f ue se n n ri me ro s y
te ni en de e n c ue nc a q u e e ua lq u i er f 6mw la h a d e s er h om og en ea , p ore je rn plo :
M (molesllitro) = D, (moles)fV Oitros)
Y en la form ula que relaciona moles y gramos, D=m!MM (n=numero
d e m o le s y III =m as a en g), MM r ep re se nt s JIl m asa m olar, q ue es eJ v alo r
de l mol en g lm ol (iY n o Ia m as a m olec ular, In .cu al se ex pres s e n uma!). y
asf, al d iv id ir g ig /m o l: m o l. p er o a t d lv ld ir g lu m a n o da moles.
P RU EBA S R ES UE LT AS
L ESTRUCTlJRA ATOMICA Y SISTEMA PERIOmCO
Esta un id a d t ema t ic a incluye rnuy pooos problemas numericos (algun
e alc ulo re fe re nte a l m od ele a t6 mic o d e B o hr), p erc rn ue ha s cuestiones te6rl-
cas, como par ejemplo la diferencia entre 6rbita y orbital, 01 significado ffsi-
co de lo s nu rneros cllanticQS 0 preguntas mLl}! di v er sa s s ob re e st ru ct ur as
electronicas y propiedades pe r iUd icas.
A contin uacion fig ura un eu adro-resum en que pucde s ec u til c om o
recordatorio sobre los mimeros euamieos:
NUI\IERO :ALORES SIGNIFICADO rtsrcoCUANTICO NUMERICO S EGUN E L MODELO ORBITAL
--Principal (nl 1,2... 11 De termina e l t amai io ( volumen) de l or bi ta l
--
rO,i, ..._l Tecundar io ( t) Panna de l orbital----
Ma gn et ic o ( m ) - L O. ..tt. Orienraeion espacia l del orbita l--- ---
r-+ 1126 - 1 1 2 Numero iden ti fi ca tivo de cada Ie e n e l o rb it ale s pi n (5)
EJerciclo 1 (Murcia, 1995, LOGSE)
La e ne rg fa d e fo s n ive le s e fe ctr6 nic os e n 6 f a r o m o de h id r 6geno
v is ne d ad a (e n J ulio s) p or
En:=-2, 18· lO-'"/n'
Sief electrdn de un a romo de hidr6geno pass d e l n lv e ! n : ::3 al nlve l
n= 1, I "s e p ro d uc ir a s b so rc io n 0 d e sp re n dfm ie n to d e e n er gi a? G a /c ulee l v alo r de es a e n er gi a. S i e s a t ra n si ci on s e p ro d uc e s im u lt 8n e am e n te
en un m ol d e e to t no s ; l ,Gu ant o v a ld rf a l ae n e rg ia t ot a l i nv o lu c ra d a?
H ay lib era eio n d e e ne rg fa --e n fo rm a d e rad iac ie n-« , ya . que e l el ect ron
p as a d e LIn n iv el d e e ne rg fa s up er io r a o tt o i nf er io r:
EJ-E,::: (-2,] g . lO"/32) - (-2,1.8 . 10 -'~IP) = 1 ,9 4 . .lO-'3}
Y para I mol de ~i.tomos:
E = 1 ,94 . 1 0 -"(Jf;i lOmo} . 6.02 . II P - ' ( at om o slm o l) ::: 1 .1 7 . l ( } ' i J/mol
Ejerc lc lo 2 (Zaragoza, 1994)
I nd iq ue lo s p os ib le s v a/o re s d e lo s Ir es p nm e ro s n um e fO s c ua nt l-cos cor respond / en tes 8o s om ita le s 2 p y sa .
2p: n:::2, y p or se r orbital p, t= 1, con 10 que m puede valer -1. 0 y + I.
Par tanto, los Il U meres que definen los, t res orbitales 2p SOl]: (2. I. -I),
(2, J, 0) Y (2, I, +1).
4d: An4Iogamen te. , n=4, . Y PO .! 'Set orb- ita! d, t=2, can 10 que m puede
valer -2, -I.0, + I Y+2, 0 Sea, los mlrneros son: (4,2,-2)., (4,2.-1),
(4,2,0), (4,2, +1)Y(4,2, +2).
Ejerc ic ib 3 (Madrid, 1994)
In diq ue , ra zo na da me nte , e / n um em d e e le me nto s e xis le nte s e n
e/ cusna per iodo de l Sis tema Panda/co.
I---
1 1 6SeleClividatl96. Ciff(lCiall
En este perfodo se ocupan el orbital z ls (2 e"), 10 5 orbitales 3d (10 e ')
y los 3 orbitales 4p (6 e-), es decir, en total 2+10+6=18 e , correspon-
diende 18 elementos.
A la Vista de las estructuras electronicas, s610 ha y electrones desaparea-dos en a) y b).
117
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Ejercicio 4 (Oantabria, 1994; Castilla-La Mancha, 1995)
EI p r lm (1 r y segundo pafenela l de ion izac l6n para el c Homo d e I I t io
s on , r es pe et iv am e nte : 5 2 0 y 7 .3 00 k J/m o l. R a zo he : a) L a g ra n d ife -
renae que existe e ntr e a m b os v af or es d e e ne rg la . b) t,Que elamento
p ra se nt a la m is m a G o nf ig ura cio n e le ctr on ic s. q ue la p rim e ra especie
i6n ica? c) "C om o va ria e l p ote nc ia l d e io niza ci6n p ara lo s e le m en to sde l tnlsmo grupo?
a ,) En el primer potencial se parte del Momo deLi y se forma el i6n Li+,
y en el segundo potencial se parte de diche ion, muy estahle par tener
esmictura tlpo gas n oble , y par tanto hace falta runcha energfa para arran-
carleun e
b) El ion U" pesee dos e,al igual que elHe,c) Dentro de un grupo -por ejem_plo, a lcalinos- el potencial dismi-
nuye de arriba abajo porque el e externoesta cada vez menos atrafdo y M
m a s facil de arran car.
Ejercicio 5 ( Ma d ri d. 1 99 4 )
Escr lba /a c o nf ig ur ac io rJ e le c tr on ic s e n e s ta d o f un d ame n ta l d e : ti)
U n e le me nto co n Ire s e le ctro ne s e n un o rb ita l p. b ) U n e lem en to de
t rans/c ion. c) U n a lc alin o-t er re o. d ) U n a /a m en to d el g ru po 18 . " C u a -le s de e l 10 s t i en e n e l ec t (o n e s d e s a pa r e ad a s ?
a) El enunciado deberia decir tres electrones en orbitales p. y la conn-
guracion es: Is ' 2 '2p '2 p 12 p I.
b) En los elementos de transicion se estan ocupando orbitales d. par
ejemp to: b12s22p63s23p 64s23d I.
e) L os a lo al in o- te rr eo s ( gm p o. Il ) t ie ne n d o seen eLU ltip 'l ,onivel, tal
como: ls22sz.
d) COJ;re s.pon de a los gases nobles, como pOI ejernple:
l s . ll2s '2p 63s" '3p"4s '3d ,o4p·, que co rr e sponde al K r,
Ejercicio 6 (Zaragoza. 1995, LOGSE)
D a da s la s s ig uie nf es especies: io n ff uo ru ra , (o n s O dia . n eo n; a)
escrlbs la aonfigurecf6n electronics de los mismos. b) Justiflque
cua l de e/los fendra menor radio. Nume r o s at6micDs: F=9; Na="'11;Ne=10.
a) yF-: Is~2s22p~ (oon une" m a s que el atomo nentre),
lIN'a": ls'2s22p6 (can un e m e no s q ue el atomo neutro).InNe: ]s22s22p~.
b ) Como todas las estructnras son .isoelectronicas (poseen .e I mismo
mimero de e), el.menor tamatio corresponde a aquella estructura can mayor
carga nuclear (al haber mas protones en el micleo los e" SOD atrafdos con
mayor fuerza), 0 sea, en nuestro caso, el Na ",
2. ENLACE QUlMICO
Es un bloque tematioo muy extenso y c uy a s b as es teoricas debes estu-
diar con detenimiento, ya que se presta a una gran variedad de cuestiones
'razonadas, Como predecir tipos de enlace. geometrfa de las molecules 0pro-
j riedades de las redes cristalinas ; puede servir como sinresis el s iguienre
esquema sabre tipos de enlace:
TIPODE C A R A C T E R I S T I C A TIPODE P R Q PJ E D A l l E S D E
F . . N L A C E F U N D A M E N T A L RED L A S S U S T A N C I A S
T r a l J s ! t r e n c i C l de1!- r O N 1 C A N a C I , A l 1 O J
e n cr e a la m o s N u d o s COil i o n e s + y- * S 6l i clo s d e a lto P .R
r O N T e O c o n e l e c ir o n e g a ii v i d a d es q u e s e u n e n e n t r e sf * S o l u b J e s I! O s g u a
m n y d i fe r e o t es p a r f u e rz a s d e ti p o * C o n d u c ( o r e s
( < < m e t a l + n o m e t al ») e . l e e t r o s r n d c ! l ( f u n d i d o s 0 d j s u e ! t o . )
118 Selecr:illi:dlid 9 6 . Cieneius
TIPODE C A R A C T E J U s T I C A T I P O D E P R O P lE D A D E S D E
E N L A C E F U l \ ' ] ) A M E N T A L R E D L A S S U S TA N C lA S
11 9
Ejercicio 2 (Zaragoza, 1995)
Dedas los siguientes elementos 0 compuestos: manganeso, ioao,
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M Q L E C U L A l t T l, p r od u c to s o r ga ru c o s
N u d e s c o n m o le c ul 3$ * S 6 1 id o s d e ! la jo Pi.
q u e s e u n sn e nt r e s f i l n s o l u b J e s ' f I I a g \ l U
C a m p a r ti c i6 n d e e - p o ~ f u e I Z l i s d li b ile s p er e s o l\ lh le - li en e !e r
e nt re w : om o s d e V a n d e [ W a a ls *N o c Q n d k l C ! o r e ' S
C O \ l A L E N T E c o o e le n ro n eg a ti v i d a d e s
~ m e j a n t e s y a l t a s A I D M l C A c ( d i am a n te ), S i
( (n o m e ta l + n o m eta l» N 'o d o s c on i i to m os : l < S 6 I j d o ~ d e m u y a lt o
q u e se u n e n e n t re . s f P . F .
PO T e n la c e c o v a 1 e o t e * l n s o l u b l e s
m u y f it er te * N Q ' C o n d u c t o r e s
Mo v i l i d a d d e e - M E T A u C A N a . , P e I'\"
en Ire a t o l 1 1 o ~ N u d es c an r es to s + ~ S 6 l j d o s d e W ~ ~.M E T i \ L I C O ' CQ D e l e c n o n e g a t i v i d a r e s q u e s e u a en e n tr e s f v a r i a b l e
s e m ej an !e s 'j b e ja s p e r e n la c e m e ta li c o * B c i ll o m e ! a J .i c o
r « m e t a l + m e t a l » ) r e l a d v a ,m , e n le fu en e * C O J ) m l G 1 O r e S
Ejercicios ilustrativos
I
Ejercicio 1 (Madrid, 1994)
E / eloruro de sodio y ef c/oruro de magnesia son dos sdlidos ioni-
cos. Justi fique cuaJde elias sera ma s dura y cusl ten(jrB mayor punto
de fusion.
Sera el compuesto can mayor ENERGlA RETICULAR, la cual resul-
ta ser preporeional ala relacinn.earga/radio de los iones constimyentes.
Los iones son Na+ y CI- en NaCl yMg2+ y CI- en MgC12: el anion el-se repi te en ambos compuestos, pOI 10 qu~.no se tiene ell cuenta . y de los
cationes, el Mg " tiene m a s carga y menos radio que el Na \ con 10 que Ia
relacion carga/redio del Mg " es mayor, y la energfa reticular del MgCl1 es
entonces tambien mayor.
aoturo de potasio, benoeno y 6xido de betio, indique rszooeaement«que t ipo de f llerz138 0 enlaces tendr/a que romper si qu is iera fund ir
cada una de estas sustsnciss.
Mn: forma una red metalica (nudos ocupados por restos atomi(;os positi-
vos quese unen mediante enlace rcetalioo).
1 1 y benoeno: cedes moleculares (moleculas que se unen entre 8 1 par
debiles fuerzas inteunoleculares).
KC1 y BaG: rede ionicas (iones de distinto signo unidos par fuerzas
electrostatioas, el enlace ionico).
Ejercicio 3 (Madrid, 1995)
a) Justifique si las siguientes mO/fkulas son po/ares 0 no oeteree:etoruro de hidr6geno, iodo y diclorometano. b ) Comente Ie natura/em
de las tuetzss intermoleculares presentee en cada ceso.
lICl: molecula polar, por er una .molecula diatomica heteronuclear, Las
fnerzas intermoleculares seran pues, Interacciones dipolo-dipolo, y tambien
fuerzas de London. gue siernpre existen,
12: molecnla apolar, por ser un a molecula diatomioa h emn nu cl ea r; S 61 0 .
pueden existir las fuerzas de.Londan, importantes al ser muy grande Iamasa
molecular (eJ iodo es un s61ido a temperatura ordinaria).
CR.Ci.:: .molecnla polar, qu e deriva del eli. al sustiruir dos H pm dos
Cl, con 10 que la surna vectorial de loS mementos dipolares de cada enlace
da resultante 1)0 nula, Sobre las fuerzas intermoleculares, son del rnismo
tipo que tnBe]'
Ejercicio 4 (Zaragoza, 1995)
Dados los compuestos HOI y Na"SO" razone: a) lEn que tipo de
compuestos ID s clasiticarra: covafentes, ionices 0metalicos? b) GOut;
estsao de agregacion seria previsible para ellbs a temperatura
ambiente?
120
HCI: c ompu e st o c o va le n te , al er pequefta L a difereneia de eleotronegati-
vidade entre H y cualquier otro elemento. Serfa gas, al no ser grandes las
fuerzas inlermoleeulare .
QU[micu 121
Ejercicio 2 (Murcia, 1995. LOGSE)
Para /a reeocioa de obtenci6n del alummia a part" de fa bauxita
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alSO~: compue to i6nico, al e st ar fr um ad o p ar 10 iones a Y SOl",
Sen1 un solidc de alto punta de fusion, como todos 10 compuestos ionicos.
3. TERMODINAMICA QUfMICA
En cste tercer bloque debe dominar:
A) Ca lcu lo s. numer ico obre entalpfas de reaceion
• A veces es WI s im p le c aI cu Jo e st eq ni er ne tr tc o, r ef er id o al termi-
n o e ne rg et ic o d e In reaccion. .
• F re cu en te me nte , e l calcu lo e sta b asa do e n u na aplicacien dlrec-
ta de L a expres ion:
Mf {reaoci6n) = L . 6 H ~ (productos) - Wl~reactivos),R ec ue rd a q ue A H ~ pa ra c ua lq nie r e le m en io v ale O .
B) Cuestiones razonadas sabre espontaneidad de reacciones
Utilizando la ecuaci6n: ~G:;;;m- T~S. se deterrnina el signa de ~G:
si ~G < 0, el proeeso es espontaneo (si ~G> O.e l proceso es no espontaneo,
y si .6.0= 0 el sistema ba alcanzado el equilibria).
Ejercicios ilustrativos
EJerclclo 1 (Madrid, 1994)
t» entaJpfa de formaci6n del amoniaco es LlH"= -46,2 kJ/mol. CsI-
cule el calor de reaccion cuando se forman tres Iftros de amoniaco,
med/dos en condiciones norma/as. DAmS. R=O,082 atm . VK . mol.
Masas at6micas: N = 14; H = 1.
m oles de N Hl=3 (1) /22 ,4 (11mo1) : :: 0 .134 mol
Y si cada m ol Iibera (signo negative de Mi) 4 6,2 k J, e l calor pedido es:
~ H :;;; , ] 34 ( mo l) . (- 4 6, 2) ( kl/m o l) = - 6,19 kJ .
(a 2S"C): AbO~(s) =2A/(s) + 3/2 O.,(g). se sabe J.H = +1675,1 kJ/mol.
Calcule (a cant idad de energ ia cstor tt ic« neoesene pars obtener seis
tetes de aluminio para eetvez», cada una de elias can un peso de
13,5 g. Peso a/6mico del aluminio: 27 glmol.
+1.675.7 kl/mol e el calor necesano para destruir cada mol de Al.lO],
que al t iempo produce 2 moles de AI. 0 sea, 2(mo\) . 27(g/mol):= 54 g.
COlD 4 lata on: 4 . J 3,5::054 g. la energia pedida vale tambien+ 1675 .7 kJ.
Ejerclcio 3 (Extremadura, 1994)
La enta/pia estBndar de formaci6n del diox ida de carbona (0) es
-393,5 kJ/mo/. la del agua Jfquida -285.8 kJlmol y 1 8 del metana (g)
-748.D kJ/mo/. a) i,Cual es /8 variacion de enta/pfa estiindar de /a
reacclon de combust ion del gas metana? b) "Cusntas calorias S9
desprenden (0 absorben, decida/o) sl quemar 10 9 de metana? Pesos
atdmicos: H=1,0; C = 12.0; 0", 16,O. 1Julio = 0.239 ca/orras.
CI) CH..(g) +202 (g) ~ Oz(g} +ZHaO (I)
HO(reacci6n): :o2AHr" (productos) - #lli,o (reacti 0 )
.6.H"=1(-393,5) + 2· (- 285,8)J - [(-748) + 2· 0]=-217, I kl/mal
1 mol CH.= 16,0 (g) 10 (g)------------~--- =__ . => X = -3 24 . 10' cal-217,1 (kJ)=- 217) J • 1000· D.239"(cal) x(cal) •
Como vemos, el resultado es negative, luego es un calor liberado,
EJerelcio 4 (Madrid. 1994)
Calcule el calor de formaci6n del acet ilena (el ina) . conocidos losc.a lores de formscidn del H.O(I) Y del cq, es! como sf calor de com-busfidn del ecetiteoo.
DATOS: MI,' H,O(I) = - 285.8 kJ/mol,' AHt" COig) = - 393, 18 kJ/ma/;l:JH~r1f;)I.'3u<mclln;:rwc = = - 1.300 kJ/mol.
122 Seleetividad 96. Cienaias
C2H7.C,g)+ 5/2 Oig) ~ 2C01(g) + HzO(1)
MI" (reaecion) = IAHr" (productos) -L,1.H/ (reactivos)
Qw'm ica 123
II;) A alta t em pe ra tu ra , T .6 .S "» AH ·, re su lt an do . 6. 0° _ - T .6 .S "; e n n ue s-
tro caso .6.S·<0, es decir, A G" >O. Conclusion: a al ta temperatura el procesono es espontaneo.
ill) Atemperarura intermedia, AGo =M:l0_ TA S· Y a priori no se puede
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En este caso el primer miembro de laecuacidn es dato y por tanto:
-1.300= [2· (-393,13) +(-285 8)J - [x+ (5 /2) ·01; x= 227,9 kl/mol
Ejerclclo 5 . (La Laguna, 1995)
Sabiendo que IDS cetates de combusfi6n del H,(g), O(s) y OH.ig)
son, respectivarnente: -68,40, ~95,29Y -200,1 kcaVmol: a) Escribir
las ecuaciones qulmiaas de las reecciones mencionsdss; b) Ca/aular
el cstor de formaci6n del CH4; tes Bste un proceso endotermico?,
lPor que?
a) (1 ) H 2(g) + 112 Ol (g ) =H ,O (1 )
(11) C(s) + 02(g) = CO2 (g)
(III) c:fL(g) + 202(g) =CQ1(g) + 2H lO mb) C (5) + 2~(g) = C~(g) t ,1.H?
P ara c alc ular la M I d e J a r eac cio n anterior s e ap lic a L aley de Hess com-
binando las ecuaciones (1), (II) y (Ill):
llH=MI~+2 AH,-A~n::;;- 95,29 +2· (-68.40)- (-200,1)
MI = - 31.99 kl/mol < 0, Iuego es un proceS0 exotermico.
Ejercicio 6 (Madrid, 1993; Zaragoza. 1995, LOGSE)
ExpliQue c6mo variars cor : te t em p e ra tu ra / a e s po n ta n ei da d de
una r-eBccion en le que /1H"< 0 y 6.S·< 0, suponiendo que ambas
magnitudes son constentes con la temperatura.
Como sabemos, un proceso es espontaneo si .6 .G~<O. siendo AG"=
=A H_ " - T.6.S 0.
I) A b aj a t emp e ra tu ra , Tas"«IlH·, y pOI lo tanto, 80'- 6H"j en
nuestro caso MIo<O, a sea, .6 .0"<0. C en elu sio n: a b aja temperatura el pro-
eeso es espontaneo.
despreciar un . lermino frente al otro; en nuestro caso, tanto .AHo como 8S· son
n eg atives ; res ultan do el prim er term in o n eg ativ e p ero el se gu ndo p os itiv e.
Co n c lu s ion: a t em pe ra tu ra in te rm ed ia h ac en fa lla lo s d atQ s n um eric os c on cre -
t os p ara e alc ula r A O" y p od er p re de cir a sf In espontaneidad de l p r oce so ,
4. CINETICA Y EQUILffiRIOQv1MIco
Acerca de los contenidos de CINfiTICA QuiMICA, e plantean con
frecuencia cuestiones teoricas sobre el coneepto de velocidad de reaction y
los factores de los cuales depende (muy especialmenre 10 factores tempera-
tura y catalizadores),
Ea cuanto al EQUILIBRIO QuiM:rco, Sf: proponen cuestiones teorioas
sobre aplitacion de la ley de-Le Chatelier y problemas sabre di lculo de K<
y K" . A menodo se incluyen cuestion teor ica y problema numerico dentro
del mismo ejercicio.
Ejercicios flustratlvos
Ejercicio 1 (Zaragoza, 1995)
Qile efecto tendrEi sobre Is concentreaion de equil ibria de<S03 en
/a reacoi6n: 2S0lg) + 02g)=2S0l~),AH:.-198 kJ , cada un o de lo s
s igu ientes cambios: a) Dup1icar el volumen de f a v as ij a cle reacci6n.
b) Aumenter / a t empe ra tu ra sir; atterar e / v o /umen .
a) AJ aumentar el volumen, la presion total disminuye (se cumple la
ley de Boyle) y eJ sistema se opone a dicha disminucion. desplazandese
hacia el aumento de volumen, en este caso bacia la.izquierda (segnn la reac-
cion ajustada, 2+ 1 volurnene de reactivos dan 2 volumenes de productos).
con 10cual la concemraclon de SO~ disminuye.
b) AI aumentar la temperatura, el sistema se opone a dicho aumeato
desplazandose en sentido endotennico, en este, caso bacia la izquierda, eon
1 0 cual la eencentracion de SO; disminuye, igual que en el apartado anterior.
12 4 St!li!ctividad 96. CitllCitlS
Ejercicio 2 (Madrid. 1995)
S upue sto c om po riB mie nto ide al de lo s ga se s e n fa s{n/8s(s de l
Qu;micu 125
Ejercicio 4 (Madnd, 1994)
La constsnte de equitlbrio, K.. de (a reecoton: Hdg)+
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amon iaco , N (g) + 3Hig) :::2NHlg)· 8) E x pr es e la s c o ns ta n te s K . . yK ; para esta reaccion y la r efa cid n e nt re ambas. b) l Como afectaria
u n e um em a d e p re sio n. a 'emperatura c o ns ta n te , a /s c om po s io io n y
a f a c o ns ta n ts d e e q ui li br ia Kp?
[NEll!
K <
[NJ [H,]'
Kp= (PNH)1
( P N ' 1 ) (PH/
~=. K c (RT)~" = Kc(RT) 2-(1 +3 1
b) A l aumentar l a p r es lon, el s is tem a s e opone a d ie h o a um e at o d e sp la -
Z l1 n do e b ac ia la d ls m in uc io n d e v ol um e n, e n e st e c as o b ac ia la derecha (BegUn
l a r e ac ci 6n a ju st ad a, 3 + 1 v ol dm e ne s d e r ea ct iv os d an _2 v ol il mc ne s d e p ro du c-
to ). con 1 0 cual au rnen ta Ia c on ce nt ra cio n d e am on fa co : e n c am b io , e l valor de
K , n o v ar ia p or qu e la c on st an te d e e qu il ib ri o s ol o d e pe nd e d e l a t em p er at ur a.
a)
Ejerc ic io 3 (La Laguna, 1995)
A 425"C,p a ra / a r e ac c i6 n : 2H (g)+CO (g)=CHOH(g). K=300. a )
iC ua l e s sl v a lo r d e K g 1;b ) A I a lc an za r e l e q u ilib ria le n em o s 0 , 1moles
de H 2 Y 0,05 m o le s d e C O, s ie nd o 2 I ff ro s 131o lumen t o ta l, icual es lac oncent ra c ic ln d e CH30H en e l equ il ib r ia ? R=0,OB2 a tm · lIm ol . K .
a) K,,= 1 < . " (RT)" · =300[0,082 . (425 + 2 7 3 ) J 1 - ( 2 + 1 1 =0,0916
b )
coneentracione
de equilibria 0,]/2 0,05 /2 x
x-----~= 30 0
t A l ( ~H.J.2 rCO]
x=O.0188 molJl
. , .CO,(g)=H"O(g) + 1650"C. iniciarla tnyectan
0,8 0 m ole s d e HJ Y 0,80 m oles de CO 2 e n u n r ec ip ie n te de 5 0 I a)
Ca/cule .'a concentracl ( jn de e s a e sustancI8 en el equi l ib r ia. b; . T e n -drs dls/mto valor K " de K.? "
a)
concentracinne
de equilibrio O . 1 5 - 0,8/5-x
(HlO] (CO) x .K,,=----=------
[Rll t O~ J
x x
4,2(O.16-x)(O, 16- x)
Resolviendo, x.=0,11 rnol/l, y portanto:
[H20] =[CO} =x=O,11 l'l1olfl~[HJ= fCO I]=O.16-x=O,11 malll
b) En este case, al er An=(l + 1) - (+ 1)=0, K;,= 1{ . .
Ejerciclo 5 (Oviedo, 1995, COU y BachiUerato LOGSE)
A 4 2~ <> Cla c on sta nte d e e qu ilib ria p ara la (o rm ac i6 n d e u n m of d e
H I a pa rtir de H ~ ~ . ' 2 0 K , es 7.45 y su ca lo r de fo rm ac ion , H , 26,48kJ_ a) E n u n r eC ip le n te . a 425 ·C. se in tro du ce n ft(g ), I;(g ) Y H I ( g),
ca n p~slones parc la~es de 1 atm . t,estaran enequi l ib r io?, 5i no 10
asian, mdlque sl sentldo en qua evoluc ionara af sistema h a st a a lo a n -
z a !" lo . b ) I nd iq u e . com o a fe c ta r an a l e q ulf lb r /o , a 1 8 c o ns ta n ts d e e q ul/ i-
b oo y ala. ve/oC/dad de r e ac c io n , lo s s igu lentes camb l os : iJ AUmento
de ' s . cant ids.d. de H,: ~i)D i sm i nu c i6 n d e la t emper a tu r a . i ii ) E lim inac ionparCial d e H I. IV) Adrclon de un catalizador pos i t i va .
a) 1 /2 H,l(g) + 11212(g) = HI (g)
Pli
K=-----P (P )It.! (P ) r n .
112 'I
~on presiones parciales de 1 atrn, saldria ~= I. peru al ser K >1 talespreslones 1 de eouilibri -. . P'no son as e equi ibrio, S1llO que la presion parcial de H] debe
126 Selectividad 96 . Ciencias
aurnentar -y las presiones de H~'j 1 1 deben disminnlr hasta alcanzar el equili-
bria, a sea. el sistema evoluciona bacia Iaderecha,
b ) i) Al aurnentar [HJ, se rompe 01 equilibria, y e1sistema evoluciona
1'27
5. PROCESOSACIDO-BASE
L~S cuestiones ~6rjcas habituales suelen tratar aeerca de los conceptos
de aCJdo y base (vease cuadro), el concepto de pH y los indicadores la
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en el sentido de opnnerse a tal anmento, en nuestro easo bacia la derecha,
aurnentando 18velocidad en este sentido, pem 11'1onstants de equilibrio no
varia al ne variar ta temperatura.ii) A J disminuir Latemperatura, el s i s tema se apone desplazandose en
sentido exotermico, en nuestro caso bacia la izquierda, y at bajar Intempera-
tura disminuyen tanto 11'1onstante de equilibria como la velocidad de reac-
cion.iii) Se parece al caso i) , ya que, al disrninuir [HI], el sistema se opene a
dicha disminucion desplazandose hacia la derecha, aumentando la velocidad
en este sentido pero sin variar la constante de equilibrio.
IV) Un catalizador positive aurnenta la velocidad de reaceion, la velo-
cidad con que se alcanza el equilibria, pero una vez alcanzado este no
afecta a la composicion del equilibrio.ni par tanto a 1a cons tante de equi-
librio,
Ejerc ic io 6 (Madr id , 1990 y 1995)
EI tetrdxido de dlnltr6geno es un gas inca/oro que se descompone
en df6xldo de nitfdgeno gaseoso, de coJor rojo. Sabiendo que a Z5IC
la constante K .= D ,125, esoriba fa reacci6n ajustada y calcule el por-
centaje de tetr6xido disocia,do en di6xido ouando se encierran 0,03
moles de tetr6xido de dinitr6geno en un recipiente de 11, a 2S"G.
Inici almente, [N204] =:O,03(mol)!l(l) = 0,03 .mol/l, de modo que si x ~S
el grado de disociacidn (tanto por uno de moles disoeiados) tenemos:
N20,(g) ::::2NO~(g:)
ooncentraciones
de equilibria O,03( l-x) 2 ·O.Oh
(0,06xY.----"= 0 125 ~x =0,6250,03 (l-x)
Por 10 tanto, elporcentaje de diseeiacion .seni:
0,625 . 100 =62,5%
hidrolisis y las disolnciones regnladoras, '
CONCEPTO CONtEPTO CONCEPTODE ARRlIENlUS DE :BRONSTEO natswrs
Acmo ACIDO AeTno
Sust ancia que en agua S u s t ! l n G i a dadora Sustanciaq u e a ce p taangina H' deB' p ar es d e e - p ar a c omp ar ti r
B A S E BASE BASESustancia q ue e n agua Sustancia a c e p t o r a Sus tancia que aporta
ongina, OH - d e H ' p ar es d e e - p ar a c omp ar ti r
PROCESO ACIDO-BASE PROCESO AcmO-BASE PROCESO AcmO-BASENeutral incion ' Ir an s fe re nc ia d e H~ Forma ti6n de enlaceentre )1'y O B- d el a ci do IIa base c.ovhlente coordinado
En cnanto a eakulos numericos, son frecuentes 10 caleulos de pH e n
diseluciones de acidos y bases, fuertes y debile , y tambien sabre volume-trias acido-base.
:Ejercicios ilustratlvos
I:jercicio 1 (Murcia, 1995, LOGSE)
Ctasi(ique. euendo sea posibls, las siguientes especies como acl-
dos 0 bases de Br6nsted-Lowry, escribiendo reecciottes que jusfi fr-
quen sus afirmaciones: HS04-; NH/; CH.- O-CHi]; CHa-CH;; t:
El ion hidrogenosulfato es un ikido, ya que cede protones al agua para
dar .iones sulfato: HSO~+ R a O = = : SOl+A,p +.
EI ion anionic es un acido pOT la misma razon, pasando a amonfaco:
NHt+ lL .P=NH~+8]0+.
1 2 8
EI dimeti leter _puede aceptar protones par los pares de electrones sin
compartir sabre el oxigeno, luego es tina base:
C~- 0-CH,+ H20 = CH3- 0 tH - CHJ+OH-m etano no se puede clasificar ni como acido ill como base segtin el
129
a) 'p H== 10.
b) pOH=:oS' pFI= 14-pOH=9.
c) lOH-] =10-12 M; pOH=-1ogfOH-) = 12; pH=14 - :pOH==2.
d) [H+J=10-6M;pH=-log[H+]=6.
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concepto de Brons ted-Lowry,
El io n loduro es una base porque puede aeeptar protones del agua, dan-
do acido iodhfdrieo: 1-+H20 = HI + OH-.
Ejercicio 2 ( Zar ag oza , 1 9 95 )
In diq ue ra zo na da m en te s i s on a cid as , b as ic as 0 n eu tr es c ad auna de la s d is oJuc ion es e cue se s de los s ig ui en te s c ompu e st os : B )
b ro mu ro d e h ld r6 ge no , b ) donira de smonio. 0) h f dl 6J (i do d e s o d ia , yd) a ce ta to e te sodio. F or m ule la s e cu ao io ne s i6nicps que jus ti f iquen
s u r e s pu e s ta .
a) HEr en disolucl6n, aeuosa se disocia dando H+ y Br ": HEr ~
H++ Br", Iuego es un acldQ segrin Arrhenius.
b) NH4Cl en disoluoinn acuosa se disocia dando NH~ y Cl"; e] i6n
amonio sufre hidr6Usis pOT proceder de base dehil, el amonfaco:
NH1+H2( : )=NH3.+H.O+, ' 1 . . debido a los iones hidronioJa disolueion es
acida,
0) N aOH e n d is olu cio n ao uo sa s e d is oc ia d an do Na+ y OH-~ NaOH ~
Na + + O H -, lu eg o es una base segdn Arrhenius.
d) CH a- COONa en d iso luc io nacu os a se disocia dando eEl - COO - y
Na"; el ion acetate se hidroliza porqueproeede de ;icido d~bil, el acid0 ace-
tico: C~ - COO~+ H10 =(m , - eOGH + OH-, y como se onginan lanes
hidroxido la dlsolueion e s ba s ic a ,
Ejercjcio 3 (Mad r id , 1995)
Def ina lo s concep tos de ac ido y b ase segun la teo rfa de A rrhe -
n iu s. C la sifiq ue p ar s u s cid ez ; d e m ay or 8 m e no r, la s s ig uie nt es d is o-
tuciones: a) pH = 10. b) pOH = 5. c) (OH-] = 10-"M. d) (W 7 x: 10-'6M.
Segr in Arrhenius; acido es toda sus tancia que en disolucion acuosa se
disocia liberando protones (iones H~), y base 5 1 libera iones hidr6xido
(OH-) ,
EJorden pedido es: 0.> d>b>a (mayor acidez, rnenor pH).
Ejercicio 4 (Madriq, 1994)
Una disolweion de un a ddo monopr6t leo en coneeni faei r jn 10-:!M
se eneuentra {onizado en un 3%. Caltular: B) E I p H de 18 disoJuEi6n:
b ) La constente d e d is oe ia cio n d e d ie ho B e id o.
cencentraciones
de equilibrio c(J -<xj cc co .
[A -] [H JO' lK=-----
[HA]=--=----=9,3 ·W
c(1-a) I-o 1-0,03
e< x . co. co;" lQ-J . 0 ,0 3 ~
Ejercicio 5 (Extrernadura, 1995)
Se p re p ar a u n a d is o lu e i6 n d is oM en d o 180g d e h id r6 x; do d e s e a t oen 4 00 9 d e a gu a. La dens idad de la d is o lu c i6 n r e su lt a nt e es de 1,840
g/cr rP. .a) C?a'eufarIe mo/ar idad de l a d i so luc i6n . b) Ca / eu la r l os g ramos
d e h ld rr Jx ld o d e s or ;l(e n eo es ar io s p ar a p re pa rs r 1 1 1 1 m d e d fs o lu c i6 n
0, 1 MMasC lSat6micas en U.m.B . : Na=23 ,O; ' 0=16,0 ; H= 1,0 .
a) Par definicion de rnolaridad, M =: o!V; donde:
180 (g)n (moles de solute) = = 4,50 mol
400 (g/mol)
V(Iitr
d eli I.,.) m (l,_80+400)(g)
. os e so ucion =-= 43 3 emJ = 0.,433 tD 1,340 (g/cm')
M = 4,50 (mol)/0,43 3 (0 = 10,4 moll]
130 Selealil'idud 9 ? Clelle/as
b} 0 ,1 M im plica q ue bay 0 ,1 m ole s e n I litro , 0 sea ,
G ram es d e N aO H : 0 , I ( m ol) . 4 0,0 (g lm ol) = 4,0 g
EJercic,o 6 (La t.aquna, 1993 y 1995)
Quimioa 13J
b) Al ser las concentraciones iguales, quedan sin neutralizar 400-
-] 00 =300 ml de Hel 0,10M en un volurnen de 500 ml, ypor tanto:
o M ·Y O,lQ (molll)·0,300(I)[W] = = [l-lClj = = - : ; : : - = 0 . 06 0 r n ol /l
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Se dispone de un a disoluci6n de HNO~cuye r iquezs es del 70% Y
s u d en sid ad e s 1,42glrn/.a) 6Cuill es / 1 3 . rna/added de d ieha d i sa / li e ion?
b ) 6 Cu;iotos gramos de esta disoluci6n s er an n ea es ar io s p ar a p re pa ra r
300 ml de Be id a n ft nc o 2,5 M? Mesas 816m ieas : H : : =1,0; N = 14;0= 16.
a) Por definicion de molaridad, M=nN. donde:
70 (g)11 (moles de SQluto):;:: = 1,11mol
63.0 (g/rnol)
. m 100 (g)V (litros de disolucion) =: - =: = 70,4 ml~ 0 ,07 04 ~
D 1,42 (g/m:l)
M ",I, II (mol)/O,(')704 (1 )= 1 5 ,8 m o lJ J
b) M ole s d e H N O,: 0 : ;: :M . V =2, 5 ( rn o l/ l) . 0.3(1) =0.75 mol
Grames de RN01: 0,75 (mol) . 63 ( ')(g/mo]) .=47,25 g
Grames de disolucion: 47,25 (g) . LOO/70=67,5 g
Volumen de disolucien: 67,5 (g)/l,42 (g/ml) =47,5 rnl
Ejercicio 7 (Madrid, 1995)
Calcule e lpH de las disalue iones obtenidas a/ mezcter : a) 400 ml
d e a c id o c ia rh id ri co q 01 My 1 00 m l de h id ro x id o s o di eo 0 ,1 0 M. b ) 4 00
m! de B e i da e / or hr dr ic o 0 , 1 0 My 100 rn lde h idr6xido s6d ico 0,10 M.
a) HCI +NaOH ~ NaCI + H 20
M oles de H C J: n = = M . V= 0.0 I (m ol/l) . 0 ,4 00 (1 ) = 4,0 ' 1 0-3 mol
Moles de NaOR n=O.IO(moll1)· O,JOO(l)=],O . 10-<mol
A s f p ue s, q ue d an sin n eu tr al iz ar 1 ,0 · 1 0- "! -4 ,0 . 10- ' =6 ,0 ·1 0-3 m ole s
de NeOl.Len un volumen de-O,SOO I,es deck
rmr-] = = [NaOH] =6 ,0 . 10-3 (mo l )/O,500 ( l ) = = 0,0)21110]11
pOH=-log[OH-] = = 1,9;pH=14-pOH=d2,1
V V 0,500 (I)
pH= -log [ H _ + - l : ; : : 1,2
Ejerc ic io 8 (Valencia, 1Q95)
f) i ,Que sucede ouandQ se disuelve cianuro de sod la en agua?
Escriba la ecuaejon de fa r~cci6n y ana/fee/a desde e/ punta de vistat lG i do -b a s e d e Bronsted. ii) Calcule e l pH de una diso/uei6n 0, 1 M de
cienuro de soaio sabiendo que la constante de aeidez de l c isnuro dehidr6geno es K R==4,9 . 10-'·, K .•=1,0· 1 0 - - , · 1 .
i) Cuando una sal se disuelveen agua, la porcion disuelta esta disociada
en sus iones (aqnf, Na~ y CN-); e] io n CN-se hidrollza porgue precede de
lin acido debii (HCN): CN- + H20 = = HeN + 011, y s eg ii n es ta r ea cc ion , eLlon
cianuro es una base porque acepta protones del agua, 0 sea, la disolucion de
cianuro de sodio tiene c ar ac te r b a si co.
il) CN- + H~O= HCN + oa-
[HeNJOi--rl x, rOFr-] 1-
Kh=-----=--=---[CN-] K. rsall
pOH=-log [c)H1=2,85; pH= 14-pOH = it.is
6. PROCESOS REDOX. ELECTROQuiMIcA
E n c ad a una d e las d os partes c o nv ie n e de s ta o ar 10 siguiente:
SOBRE AJlJSTE DE REACCIONES REDOX: hay que repasar el
m eto do d el ion-electron: a r ne nu do s e p la nt ea n c ue st io ne s d e t ip o G on ce p-
tual 0 oalculos estequiometricos.
21hol KMnO.~= 2· 158 (g) 10,0 (g)--=--- => x=Ll,2g ct.
L32 SeUJclil 'idad 90 . Cilllldos Qu(mica
SOBRE ELECTROQutMrCA: debes saber diferenciar bien entre pro-
cesos galvantcos y electrolit icos , calcnlar eTpotencial de una pi la y apli-
car las Ieyes de Faraday a supuestos numericos.
b) Puesto que por carla 2 moles de MnOi"' s e producen 5 moles deC1 2:
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Ejercicios ilustratlvos5molC12=5·71 (g) x (g)
Ejercicio 3 (Ssvilla, 1995)
81 i on 8n2• e s o x id a do a io n Sn: en medio s eid o p or {a s d is olu -
o io ne s a eu os as q ue c on tie n en tones p e rm a n ga n at o, p a sa n do este a
io n M n'" m as a gua ; I) escr lb i r y a ju s ta r f a t ee c ci cn d e o x id o -r e au c ct enque t ie ( 1e l uga r; i1) calcu/ar el e q ui va le n te -g ram o d e l ctorut» d e S n (/ I)
pa ra e sta resccion: iii) ostculsr los gram os de ctoruro Sn(II) qu e
ha bra que dis olve r e n a gua pa ra o bte ne « 75 0 m L d e dis olu ci6n O ,[)1M. D A TO S: m as as a t6 m;e as : C I= 35 ,5 ; S n»118,7.
Ejerciclo 1 (Ex tremadu ra , 1995)
En c ie rt as c o nd ic io n e s, e / s u lf ur o de h id r6 ge n o r ea e cio n a c an B e i-
d a n ltt ic o, p ar a p ro du ci t a zu fr e, a gu a y n l tr ogene mo / e cu la t : 8) Ajuste
le r ee cc io n . b ) I nd iq ue lo s s is te m as oxidente y reouctor.
B2S = S + 2H' + 2e- (x 5)
2N0:J+ 12W+ lOe-=Nl+6H20
5H zS + 2NOi + 12H~ =:: 58 + lOR + +N 2 + 6H.O
5H.S + 2.}IN03 = = 58 +6~O+ N2Sn2+ =Sn ,+ + 2e- (x 5)
MnO; + 8Rt + 5e- :;MnH+ 4H20 (x 2)
b) E1 oxidants es el NO:-, que se reduce a N1 ganando e", y el H 2S el
r ed uc to r, p orq ue s e o xid a a Sal p erder e . ii) Como cada mol d-eSn 1·, intercarnbia 2 moles de e":
Eje.rcicio 2 (~fago<:a, 1995)
Cuenao se f rata ctoruro d e s od io c on p erm an ga na to d e p ota slo
en sotuctan Be ide . se p ro du ce la s ig uie nt$ reeccion: MnO ; +C/-
+H'=Mn2'+CI2+H 20. a) Ajuste la e cu Be /o n r ed ox p ar e l m eto da Io n
electron. b) C a/c u/e e / n um ero d e gra mo s de c /o ro g as eo so que se
p ue de n o b te ne r a p artfr d e 1 0,0 9 d e K M nO • . M a sa s a to m/c as : K = 39;Mn=5S ' 0= 16;CJ=35 ,5 .
Eq(SnOz ) =molJ2 ::::189,7 (g)/2 =94,8 g
iii) Mole s de SnC~ . : [I=M· V =O ,O l(mo] ll ) . 0 ,7 5 0 (l)= 7 , 5 . 1 0 .. .3mo l
G ra mes d e S nC 12= 7 ,5 . 10 -a (m ol) . J 89,7 (g/moJ) = 1,423 g
MnO;- + 8H~ + 5e- = = f y 1 n _ l ' " + 4}l20 (x2)
20-= Cl,+ 2e- (x S)
Ejercicio 4 (Madrid, 1994)
Supon/ endo c o nd id o ne s e st an d ar . t ,r ea e ci on a ra n e l io n nltrato y
c in e m e ta li co e n m e dio < ie lo o p a ra d ar io n emonio e tones cine? Razo-n e /a r es pu es te . E n caso af i rmat i vo ,' a j us te te r ea e ci6 n q ue t ie ne L ug ar
entre elfos,. DATOS: P ot en o ia /e s n or me ie s: ion nitrato/16n emo -n ia ~ 0 ,8 9 V ; ion c ine /c ino met l il iao =- 0,76V.
13 4 Se l t !t : I i\ < idm l 9( 5 . C ie l lt : i as
Qu (m ;CG
135
Se prodccirs la reaccioa espontaneemente si al consteuir la pila con los
des semielemeatcs resuha E"> 0 .:
Anodo (oxidacion): Zn= ZnJ~ + 2eo-(x 4) [ EI =+ 0 ..7 6 V)
Ejerclclo 6 (Madrid, 1995)
En la e Je ct r6 lis is d e u na d is olu ci6 n a cu D sa q ue c on t/e n a s lJ lla to
de atne y s ulfa to d e c ad mio s e d ep os ita to dD sf cIne y a/ c a dm i o, p a ra
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Catodo (reduccion): NOii- IOH++8e- = NH .t+ 3 H! O (~ = + O. 89 V)
Pila (redox): 4Z n + NO;..,.. IOH'= 4Zn).o+ N I L . + + 3H 20 (E"::: + 0 ., 46 V )
/0 c ua l s e neee pa sa r un a co rde nle de 10am p er io s d ur a nt e 2 notes ,
o ble n;e nd os a u na m ez e/a d e a mb os m eta /a s de 35,44 g . C a le u /e eI
po roen ta je en peso de zinc en la m eze/a m ela lies . D ATOS : M asas
8 t6 m ic as : C d =112,4; Z n '" 85,4.Como nG"=- nFE~, al ser E~>O\ nG·<o.,y par tanto Ia reacci6n entre
Zn y NO;l 6S esponranee,
Q=I·l ; ; =
10(A)· 2·3.600.( :; )=72.000 C
EJerclclo 5 (Murcia, 1995)
U na d is olu cld n 0 .0 1 M de lanes A g- se mezae c on u n v r: !J lu m en
i gu a /d e u n a d is o lu c i6 n 2 M d e io ne s c o= , e n p re se nc ia d e u na v arllla
de cobra metehco. Jusflfique 5 1 se ra espon tanea la reeecion:
2Ag«aq)+ Curs) =: 2Ag(s) + Cu2·(aq). Poteneietes norma/es :
A g -(a q)/A g (s ) + 0. 80 V ; cu': ( aq) /Cu ( s) + 0 ,34 V .
Segun las leyes de Faraday de la electr6lisis. para que se deposite 1
eqnivalente de sustancia h ae c fa lt a 1 faraday de electricidad (96.500 C). de
m od o que H am an d o x a los gram os d e Zn d e pos it ad c s:
I Eq (Zn+Cd)
96.500 (C)
x.(g Zn) 35,44-x(g Cd)- - - -- - - -- - + - - - -- - - -- - -65,4412 CglEq) 112,412 (gfEq)
72.000 (C)~x=9,03g
Anodo (oxidacion): CIl = Cu l++ 2e-Ctitodo (reducclon): Ag" + e" = Ag (x.2)
9,03% Zn = - - x 100=25.5 %
35,44
AnaJogamenleal problemaanterior:
(E,=-O,34 V)(Ez=+0,80 V)
Pila (redox): Cu + 2Ag~ =Cu2"+ 2A g (E0=+ 0,46 V) 7 . E QU TI.JB RIO S D E S OL UB IL 1D AD
2
0.,0.59 . [Cu~1 0.059 2E=E·-~·--log--=O,46---log--~
n LAg'P 2
( O ~ 7 '
Resaltan tres aspectos teerico-pnicticos,
• R ELACl6N ENTRE sOLUBn..mAD Y PRODUcrO DE SOLUBl-
L lD A D q ue v aria se gtlR la fo rm .u la d e la s us tan cia p oc o soluble: a s ], c an
formula tipo AB . J o ; =51;con tipo AB 2• i{..=45\ etc.
• C ON DJC I6N D E DfSOLUC16N SATURADA Y CONDIC16N DE
PRECIPITACI6N, que en el easo de una sustaneia t ipo An son;
En este caso, al no ser concenfraciones 1 M. hay que apl icar la ecuacion
de Nemsi para ealcular el potencial. y como al mezclar vohimenes iguales
las concentraeiones sereducet!a la mitad,tenemos:
Disolucion saturada:
Precipitaci6n:
[A-] rs-] = K.[A - 1 [B-] = K, .
B=0,32 V .• EFECTO DE r6N COMUN; euando a una disoluci6n d e u na s us ta nc ia
poco soluble se afiade otra sustaneia can alglin i6n connin. disminuye Ia
solubilidad, de acuerdo can el principle deLe Chatelier,Asi pues, como nO=- nFE, al ser Ee-O, 60<0.. luego la reaccion
redox. es espontanea en sentido directo, 0 sea, entre Cu (I)) y AS t (aq),
136 Sl!iect/vldad 96 . Cielloias
Ejercicio ilustrativos
Ejercicio 1 (Madrid, 1995)
Ejercicio 3 (Madrid. 1995)
Se l iene una dtsotuaon ssturada de hidr6xido de magnesio en
equilibria con su solido. Calcule: a) La solubilJdad de! hidroxido de
13 7
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La so luhi lidad del yoduro de plomo ( 1 / ) en aguB es de 922 mglf.Os/eule: a) La s olu bilid ad d e d lc ha s al en mo/es/l. b ) Su producto de
s o lu b i/ id a d. D A TOS : M a s as atomicas: 1= 126.9; Pb=207,2.
oj PbM ) = Pb~(ac) + 2I-(ac)concentraciones
de equilibrio 2s
0,922 (gil)s = 922 (rngfl) :=0,922 (gil) = =2,00' t o " " " ' moll!
461 (g/mol)
b ) K,=[pbhlWll= s· (2s)1=45'= 4 (2.00· lO-')J= 3,20· IO-!
Ejerclclo 2 (L a Laguna, 1995)
La solubil idad del Ag~OrO. en agua es 1,2· 10 'M. a) tOuantosgramos de pfata habren disuef tos en 1,8 turoe de dlsofuci6n? b)
tOuanto vale elproducto de solubifidad de esta sal? Masas etomices:
Ag= 107,9; Cr=52,0; 0=16,0.
a )
conceutraciones
de equilibria
Ag, erG. (s) '"2Ag• (ae) .".Cr(n (ae)
s 2s s
[Ag '] = 2' =2· 1,2· 10-"= 2A . 1O->!molll
Si en 1 litro hay di uelt s 2.4 . 10->moles. es de ir: 2.4 . 10'" (mol) .
I07,9(g/mol)=O,026 g. en 1.3 Iitros hay 1,3 voce mas,o ea: 0.026 .
. 1.3=0.034 g.
magnesia en ague, expresada en gTHmos par li tra. b) La coooontre-
cion de , tones hidroxilo y 81 p H de dicha d is o /u c io n . DATOS. Ks hidr6·
x/do de magnesia = 1O- r.4, Mases atomicas: Mg = 24,3; 0 = 16; H = 1.
0)
concentracione
de equilibrio
Mg (Ol"f)~( ) =Mg" (ac) + 20H- (ac)
s 2
1~ f i O ~Ks=[Mgl+] [OR f=s·(2s?=4s1;s =~41 ~-4-= 1,0.10- 1 molil
1 ,0 · 1 0 -> (moU I) = 1 .0 . lO -~ (mol/l) ·58,3 (glmol)= 5,8 . 10-1 gil
b) [OH-]=2s=2· J ,0· 10....= 2.0·10--" molll
pOH:;;-log[OH ]=3,7; pH=14-pOH=lO.3
Ejercicio 4 (Valencia, 1995)
Bproducto de solub ilidad del peTCIoralo de potasio es K,,=2,9 .
. 10- '. Oslcule cuantos gramos de esle compuesfo se disolveran. a
es a temperatura, en 100 mL de : i) agu8 pura; if) una diso/ueion 0,2 M
de cloruto potas ico. Oompare y comeme los resultados oblenidos.
Ar (K) =3 9. 1 .A, (01)=35,45. A, (0)= 16,0.
i)
concenuaeiones
de equilibria
KC104 ( ) = K· (ac) + CIO;{ae)
s
K.,=[K+] [C10..-]:;; '$=8:; s=~=~219'IO-J= O.054molfl
Si en 1 litre hay disueltos 0,054 moles,es decir: O ,0 5 4(moJ ) . 138,5
(g/mol) =7,5 g, en 100 ml h ay 0 ,7 5 g.
L3 8 Se le e ti vi do d: 9 15 .Cirl ) l ; i<M '
ii) AJ aiiadir KCT, una sal soluble que suministra el ion cormin K+,
cambia Ia soluhilidad, que Ilamaremos s':
K , 2.9·10-)K. = [K+] [CIOiJ = (8'+0,2) s' =0,2s'; s'=- = 0,00145 rnol/l
139
al ser Kg = s '. resulta: [B~uJ=s=l 1()-~mol/I; de 80;- queda
8+(0,080-0,020), pero s es muy pequei'ia, YpOTtanto: [SOt] =0,060 0 1 0 1 1 1 .
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0,2 0,2
Si en 1 Iitro hay disneltos 0,0145 moles, es decir: O,0145(mol) .
138!5 (g/mol)» 2,0 g, en 1 00 m 1 hay 0,20 g; oomo vemos, la solubilidad dis-
minuye par efecio de ion comun (es vlilida la apn!Jximaci6n de despreeiar s'
frente a 0,2) .
Ejercicio 5 (Sevi lla, 1995)
S I s e m eze lan 10 m L de e /o ruro de b ario con 40 m L de suf(a to de
soaie; am bos en concenttecones 0 , 1 M , i n di ca r r a zo n adamen te sf
p re cip ita ra s ulfa to d e b a rio . E n e es o a firm a tiv o, c alc ula r fa e;lntidad
p re cip ita da . G ua le s s er an la s c on ce nt ra cio ne s m o /a re s p ar a c ad s. u no
d e lo s i on e s s ig uie n te s : c io ru ra , s o di o, s ul fa to y b ario , p re se nte s e n J a
d is o lu c /o n d e s pu e« de Is preclpJtaci6n 5 1 fa h ub /e ra . D A TO S : v alo r de l
p ro du eto d e s olub i/id ad de l s ulfa to de b aria a 25 dG, K s= 1 . 10 40;
masa s a t 6m i c as : 0= 16; S=32; Sa= 137,7.
La ionizacion de las sales es: BaC12~
Baz+-
+ 2CI-, y N~S04 ~2N a~+ SD:-, por tanto:
0, L (mol/l} 0,010 (l)~--___--__- =0.020 mol/l
0,030 (1) .
n M·V 0,1 (molll)·0,040~1)[SOt] = [ N a vS Q . , J = - :;:0- ::: - 0,080 mol/l
V V 0,050 (1)
[Ba~+][SOrJ=O,020· 0,080=1,6· ]0-3 >K . , 0 sea, preoipita Basft;
Las concenrraciones despues de la precipitation seran:
Para Cl" ¥ Na ' no varian al sec iones «espectadores», 0 sea, [CI-}=
;;;2 [Ba 2 + ] =:;0,040 moll l, y [Na'l=2 [SO~-J= 0,16 moM.Ba2• y SO;- desaparecenen igaal propercien poc Ia precipitacicn: de
Ba 2~, ion en menor proporcion, s610 queda la ooncentracion de saruracion, y
8. DESCRIPTIVA INORGANIC A
C O M P B F S T O S T I P O S PROPIEDADES
*Car~cteri6nico
S A L 1 N O S ( r ed e s J 6 i 1 ic l l. sde a lt o P . E )
(1 1 + m e t a ] IA 0 lli\) ' *Con agua dan 11 2 (CaHJ:hidmro + agua = bidrogeno + hidt6xido
HIDRURQS
(H + otro elemento) *Car~ktercovalente
VOLATIlES (redes moleculares de ba jo P .E)
(H +no me ta l) *Propiedades < l o i d a s ( R e I ) ,n e u t r a s (H~O)0 b a s i c a s (NIl,)
* C~!nktera n i c QM E ' I w e o s ( rede s i 6nkas de alto P. F . )
(0 +metalJ *P~opiedades basicas,(CaO):
o x m o s
oxidotagua=hldi6xido
(0 + otto elemento) *Caracler covalente
NO METALIeO'S (redes m o l e c o l a r e s de bajo P .E)
(0 + 110 m e ta l ) * £ r Q p l e d a d e s a c i t l a s ( C O r l :
«anhldridOi>+agua=oxacido
Ejercicios ilustrativss
Ejerclclo 1 (Zaragoza, 1995. LOGSE)
A I c afe nt ar o to rs to d e p ota sio (K G lO ,); s e f or ma c fo ru ro d e p ota sio(KGI ) y ox{geno (OJ. S i S8de sco mp one n 2 50 g de KC103• cafeule : a)
c a nt id ad d e ka q ue s e fo rm a, b) v olu me n d e o xfg en o q ue s e o btie ne
m ed id o a 2 5"G y 1 a tm o sfe ra d e p re sio n. M a sa s a t6 m ic a.s : C/=35,5;
0= 16; H=1.
140 Se i . e (: : li v i dad96 , C ;e r i c ;i ( l~
La reacci6n ajustada es: 2KCIOl - - - - + 2KCl + 302
0)
2 mol KCI03 =2 . . 122,) (g ) 250 (g)--_ ~ x=152g KCI
Q",mita 141
Los oxides metalicos (Na20 y CaD) ohginan lo s hidroxidos correspon-
dientes y pOl ' tanto tienen caracter basico, pOT ejemplo, el 6xido de calcic
(cal viva) cia hidrtixido de calcio (cal apagadaj:
CaO +~O ~ Ca(OFl)2
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2molKCl = 2·74.5 (g ) x(g)
b)
2woi KC1Q~=2 ' 122,5 (g) 250 (g)- - - = > y=3,06 mol O.
3 m ol O 2 J (mol)
nR T 3 . 0 6 (mol) ,O,082.(atm -t-rnol" ·K-I). (273+25) (K)pV=oRT~V= -- =~----------:____----
P 1(atm)
V=74,8 J O 2
Ejercicio 2 (Madrid, 1994)
In diq ue e l o aM ete r a eid o, Msieo 0 neutro d (3 l a s d i so / I. .l e ia nes
aOIJOS8S o bte nida s e l a na dir e ada un a de ie s siguierres susisncies:
a ) h id ru ro d e N tia , b ) 6 xid a d e s ad ia , c) t n' ox id o d e a zu fr e, d ) elorutos6dieo.
a) LiH + H20 - - - - + LiOH + 1/2 H2; como se'forma un hidroxido, LiOR,
l a d is o lu c ion t ie n e caraoter basics.
b) Na<O + H20 - - - - + 2NaOH; la disolncien es basica par la misma
raz6n anterior,
c) SO~+ R:tO ~ H2S04; la disolucion es iicida, debido a Ia formacion
de acido sulftirico,
d) NaC] + H.O ~ Na + + Cl" + HaO; los iones Na t y Cl no reaccie-
nan con el agua no bay hidrolisis, porque el ion .Na+procede de base fuerte
y el jon Cl" de acido fuerte, y par tanto la disolucion esneutra,
Ejercicio 3 (Madrid, 1995)
E xp /iq ue e l c ar aa te r a cid o-b a se q ue p re sa nt ar an e n m e dio ' e cu o-
so /0$ s ig uie n te s o xid es : o xi do d e s od io , 6 xid Q d e c a/c io , p en to xid o d e
dff6sfaro y m o no xld o d e die/oro.
Po r contra, l os o x id os 00 rnetalicos cP:;O,y c t, O) d an L ug ar a o x acid as y
en consecuencia tienen caracter a cid o, y as], 0 1 mon6~o de dicloro («anl:tl-
deido.hipocloroso») ongina licido hipocloroso:
ellO +H20 ~ 2HCIO
9. QU1M1CA ORGANICA
Es un tema arnplfsimo donde conviene destacar:
• FORMULACION: repasar los grupos fundonales y las reglas bast-
cas de nomenclatura.
• [SOrwrERlA: formular y nombrar los distinros Isomeros para una rnis-
rna formula molecular; detenerse en la estereoisomerfa (isomerias geome-
trica y optical,
• R BA CCroN ES G EN ERA LES : memorizar reaociones clasicas como
obtencion de alceholes a partir de derivados halogenados, deshldraracion de
a lc oho l es a a lq u eno s 0 esterificacion, incluyendo rrociones de mecanismos.
Ejercicios iJustrativos
J;: je rc. ic io 1 (Madrid, 1994)
A/ a ft ad ir a g ua a/ cerauio ea/cico, CaC 2, 58produoe hidr6xido deceicto y aeetileno (etino). a) Ajuste te reecoion oulmice qu e tiene
lugar, b) Ca/cule cusntos g ra m os d e a gu a son n ec es et ia s p ar a o b re -
ne r oo s n tro s d e a ce tife no , a 2 7"C y 760 m m de H g. D ATOS : M esas
atomicas: C8=40; H= 1;0= 16;C= 12.
b ) Nrimero de moles de C~H,: PV:=:nRT; n=PVIRT
142 SlIlsr:lillidad 96. C ie lida.v
J (arm)- 2 ( I)n= = 0 08 1 m ol ~1l2
0,082 (atm-J .mer' K-'){27+273) (K)
2m ol H20=2 . 18 (g)
Imol C =12,0 (g) x (g) 1,403---=?x=l,403g;-- x l00=54,5%C
J n1,OlC02=44,0 (g) 5,143 (g) 0 2,573
2molH=2·1,0 (g) y (g.) 0,100. = =? y-=I,IOOg; -- X 100 =3,89% H
143
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1mo[C~Hl
E je rc ic lo 2 ( E xt remadu ra , 1994 )
AI quemar 3 , 1 5 9 de antracita (csrb6n minera i), se obt/eoen 5,44
l itros de di6xido de carbona en condiciones normales. Csleular. a)EI
porcentaje de carbona que t iene esa antracita. b) EI mune ro de mole-
ou lss de didxido de carbona que se han obten/do. Masas at6micas:
C= 12,0,' 0= 16.0.
a) Enola combustion de cualquier sustancia con C, cada m ol d e C da I
mol de CO2,, 10 cual permite calcular los gramos de C puro, Y pOI: tanto e1
procentaje de C :
ImolC= 12,0(g)
Lmol CO 2=22,4 (1)
x(g) ~~,91---=*x=291g;-- x 100= 92,4%C5,44(1) 3,15
b ) 5,44 (1)/22,4 (l/mol = 0,243 mo l
0,243 (mol) . 6.02 . 10)3(moleculaszmol)« 1,46 . 1023 molecules
EJercicio 3 (E Jr tr emadur a 1995 )
La combustiOn de 2,573 g de un compuesto organ ico dio 5,143 9
de CO2 Y 0,9015 9 de H"O. Si este 5610 contenie G, H yO, Gcuel es la
f6rmula empfrica del compuesto? Masas etomices en u.m.a.:
c= 12,0; H= 1,0;0=16,0.
En la combustitio de una sustancia organica, el C se oxida a CO 2 y el
H a HlO, es decir, cada mol de C da 1mol de CO 2, Y c ada 2 moles de H
dan I mol de H~Otde modo que se pueden plantear las siguientes proper-clones:
1 m ol H10 =18,0 (g) 0,9015 (g) 2.573. .
Yentences: 100 - (54,5+389) =41,6 % 0
Ntirnero relative d e m o le s d e < H omo sd e c ad a c la se :
n~C=54,5 (g)112 (g/moIJ=4.54 mol
n?H =3,89 (g}/1,O (g lm o l )=3.89 moln.
00=41,6 (g)116.0(g!mo])=2.60 mol
Para convertir estos ruimeros en enteros, dividirnos todos elias entre el
menor (2,60), dando respecti vumente 1.75; \,50; 1,00. Por tiltimo, rnultipli-
cando par 4 (que es el factor mas p e qu e no garn obtener n t ir n er os en L "I 'H ' oS ) , se
obtienen 7 ; 6 ; 4 . A sf p ue s, la f6,r:mula e r np fr ie a e s C 7Hf iO~ .
Ejercic]o 4 (Valencia, 1995)
EI analisis elemental de un oompuest{!) quimi()o da los siguientes
resultados: C 9,9%; ct 58,7%; F 31,4%. i) Determine su tottnute
emp/rica. I i) Sab iendo que su masa moiecutsr es 120,9, establezea
su formula molecular. iii) ldenttt toue el compuesto de que se uets(n6mbrelo). A,(C)= 12. AlGI) =35,45. AlF) = 1 9 .
i) Ntimero relative de moles deatomos de cada clase:
n:' C = = 9,9 (g)/12 (glmol) =0.825 mol
n~ C I=58 , 7 (g)/35,45 (g/mol)= 1.65 mol
nO F =31,4 (g 1 1 9 (g/mol)= 1,65 mol
Dividiendo entre el ru irn e ro rneno r para pasar a r n ir n er os e n te r o, r e su lt a:
0,825/0,825::= I; 1.65/0,825 =2; 1,6510,S25 =2,Asf plies, la tonnula empiri-
ca es CCllF2.
I i) Ala formula empfrica corresponds una masa molecular de:
MM= 12+2·35,45 +2· 19=120,9
[ 4 4 Qulmit-a
b ) Se obtienen alcoholes, de acuerdo co n hi.reaccion general de susti-
tucion iguiente (mecanismo Ss l 0 t<2):
E ta rnasa es sensiblemente igual a 121. luego tambien la formula mole-
c ula r e . C C l2 _F ~ .
iii) El compuesto es un CFC C£lo ra f !uo ro£a rbono), concretamente el
diolorcdifluorometano.
R- X+OH---+ R- OH +x -
'Ejemplos: J -cloroetano a etanol: 2-bromopropano a 2 - p ropanoL ; 2 - io d o-
145
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2-me t il~propano a 2-me t il - 2 -p ropano l :
E Je rc lc lo 5 ( Ca sti ll a· L a M an ch a, 1 99 5)
Q ue tip o d e is om er la e xls te e n c ad a u na d e la s s ig uie nte s p ara Je s
d e c om p ue sto s: a ) P en ta n al y 2 -Pen t anona ; b J 2 -Pen ls nona y 3-Pen-
t en o n s: c ) l- B ule n o y 2 -Bu teno .
CH,-CHzC[ + OH - --+
CH 1-CH-13r-CFl .1 + OH - --+
CHJ-C(CHl)[-CHl -I- OH- -)
CR~--CH~OH + Cl-CH,-CHOH-CH, + Br-
CH~-C(CH1)OH-CH3+)-
PRUEBAS GLOBALES CON SOL ION FINAL
(I) CH~-CH.-CH2-CH:rCHO y CRJ-CHrCHcCO-C~ son isomeros
de funcion, por ser un aldehido y una cetona,
b) CHr-CHrCH,-CO-CH. y CH,,-CH2-CO-CH1-CH] 00 rsomeros de
posicion. al t ra ta rs e d e d os e et on a c on grupo c ar bo n il o e n di tinta posicion.
c) CHJ-CH~-CH = CH , y C H ,C H= C H-C H~ son is6 meros d e po sicion
porque dlfieren en la posici6n del doble enlace; par otro lade, e l 2 -b u te n o
presenta isomeria geometrica 0cis-trans:
MADRlD. 1995
rc da s la s p re gu nta s s e c allfic ara n c an u n fm ix im o d e 2 p un to s.
1 . T en ie nd o e n cu an ta q ue e l a cid o fluo rhfd rica e s u n B e id a debU,
c uy a c on et an ta d e d is oc ia ci 6n v al e K .= 1O - ~) , c al ou le en q ue v ol um e n
deben es tar cont enidos 2 g ra mo s d e d ich o a cld o p ara q ue - el p H s ea 2 ,1 .
l. Cu al s erfa e t g ra do d e disociacl6n de dieho aCldo? S I esos 2 gram os
es tuv iesen con len idos en 10 I de disolucl6n. io ua l s eri a e l pH y el g ra do d e
d iSocj ac i6n d e l a nueva d i so lu c i6n? DATOS . Masas a to rn ic as : F =19 : H = = 1.
2. l.C ua nto s g ra mo s d e sulfato de c-obre (II) penta-tndrataoo, del
85 % d e r iqu e za , ha y q ue p es ar p ara p re pa ra r 1 ,5 litro s d e d is olu ci6 n,
e n la q ue la conce ntraci6 n de e u (11)sea 10 - M ? D AT OS. Masas aro-
micas: 5=32; 0= 16; Cu =63,5; H= 1.
3. A pa rt ir d s l c anc e p to d e e l ec lr one ga ti vi d ad se define la polari-
da d de los e n la c es cova le n te s y al momento dipolar molecular; Apli-
que est as Ideas a l as mo ls c ul as de a gu a, am on la oo y f lu or ur o d e
hidr6geno, y c om e nt e a lg un a propiedad I mp or ta nte r el ac io na da c an l a
exlstencia de momento d ipolar pe rmanen ts e n o lc h aa mOleculas.
4. C oncep tos de v el oc id ad d e r eac; ci 6n y e ner gr a d e act iv ac io n.
S ig nif ic ad o d e l a e cu ac i6 n d e A rrh e ni us .
5. Ind ique e l e stad o d e ox id acion d el azufre e n las siguiente s
cornbinaciones qutmlcas: sulfuro d e h id r 6ge no , dioxido de azufre y
acldo sulfurlco, E stu di e. a simi sm o , s u c om por tam ie nt o oxldants-reductor, en cadacaso .
E Je rc ic lo 6 ( Ex lr em a du ra , 1 99 5)
a) Formule 0 n om b re . s eg un c or re sp on da , lo s s lg uie n te s com-
p u es to s o rg a ni co s : I) bur i lamina; 1 /) dieti l-etBr; 1 1 / ) Beido benzo ico ; IV )
CH J-C H ,O H : V ) C HR= CH -CO -CH J• b ) (_ Q ue p ro du ct os s e o b t/e n ena l p on er lo s h stu ro s de a /q ui /o ( ha J o ge n ur os d e a lq ui lo ) e n p re s e nc ia
de p ot ss » a lc oh 6lic a? P on I re s ejemplos.
a) I) CH3-CHl-CH1-CHl-NB.~
m CH}-CH,-O-CH1-CH3
III) C~H.rCOOH
rv) etanol (alcohol etllico)
V) butenona (metil-vinil-cetona)
SoIuciones: l)V=0,93 l; grad 01 = 0,074; grado 2 =0,22; pH =2,6. 2)
0,44 g. 3) 4) y 5). Censulta lu texte 0 apuntes.
146
CASTILLA-LA 'MANCHA. 1995
NOTA DEL AUTOR: Este repertorio coincide en gran parte con laspruebas de acceso de Cantabr ia en 1994.
147
ZARAGOZA. 1995
Problemas
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1. (3,5 puntos) EI fosgene (COCI.) es un producto gaseoso qu e
se descompone en rnoncxido de carbone y cloro, segun el proceso:
COCI~(g) = CO (g ) +C~ (g). En u n reclpiente de 250 ml de capaoidad
se mtrcduleron 0,213 9 de lasgeno, de manera. que ouando se alcan-
z ,o el equ il ibr ia a la temperatura de 27QC, la presion en e1 interior del
matraz lue de 230 mm de Hg. A partir de estos datos, calcular. a) EI
grado de disoclacion del losgeno; b) La presion parc ial de cada com-
ponente gaseoso en la mezcla : c) EI valor de las constantes K p y K o.
Datos: (Masas at6micas: C==12; 0= 16; CI=35.5).
2. (3,5 puntos) En la r eaco ion corna let a de 1 !;jramo de un deter-
minado metal , con un excesa qe acldo sul fQr ico di luldo, se despren-
d ie ro n 3 90 rn l de hiclr6geno, medidos sobre agua, a la temperatura de
25" C Y 7 45 r nr n de Hg, de presion. Sabiendo que e1aoido sul tur tco
dlluido se prepare a part ir de un acldo comercial concentrado, de den-
sidad 1,83 glml y de riqueza en peso del 910/0, calcular: a) La rnolart-
dad del aoldo concentrado de part lda; b ) EIvolumen del acido, corner-
clal que ssrla prsciso para prsparar un litre de acldo sulfu~ico 0,5 N;
0) EI peso equlvalente del metal. Datos: Presion de vapor del agua a
25"C=23,B mm Hg; Masas atornicas; H= 1; 0=16; 8=32.
3. (2,0 puntas) Def ina brevemente ef concepto de «dlsolucion
re.guladora .. y seriale de entre los siguientes pares de sustancias el0
la s que torrnaran una d lsoiucion r squladora : a) acido elorhidrleo/cloru-
r o s odl co ; b ) acldo clanhidnco/danuro po tas tco : c ) ac ido n f tr ico /n i tr a to
am6nioo; d) hidr6xido am6nico/cloruro am6nlco. Justifique brevemen-
Ie la respuesta.
4. (1.0 puntas) Sabiendo que los proeuctos de solubl lidad del
oloruro de plata y del fosfato de plata son respeetivamente 1~6. 10,0
Y 1.8. 10-1", indfquese razonaoamente: a) iQue sal sera mas solub le
en agua?; b) iComo se modlf icara la solubi lidad, s i se las disue lve en
una disoluelon de nitrata de plata?
Soluciones:I. (I ) grado
=0,43;b)
P (COCL~) = 0 12 aim:p(CO)=p(Cll)=O,091 atm; c) K p -. =:O, 06 9;K ,= 2 ,8 . LQ-J. 2. a) 17 ,0 M; b)
V=J4,7 0 1 1 ; c) 33,3 g. 3. Consulta tu texto 0 apuntes: solo b) y r1 ) (siste-
mas acidO d6bHls~1 Q base debil/sal) ..4. a) s(AgCl) = I .3 . lO""M, Y
S(A .glPO~) .=1 ,6 . lO-,$M, luego Ag)PO, es l ig er am e nt e m a s soluble; 0) Dis-
rni:nuye Iasolnbilidad pO I efecto de 16,11omiin.
1.. Una dl~0Iuci6,n A contiene 3,65 9 de acldo clorhldrlco (HCI)
en un l itre .de dtsOluclo!1. Otra diseluci6n B cantiene 19,5 9 de hidroxi-
d ? de-::?dIO (NaOH) en un IItro de disoluci6n, a) Calcule el pH de la
disoluclon A y de la disolucion B. b) Caloule el pH final despues de
mezclar las des dlseluciones. Masas aterntcas: Cl=35.5~ H= 1-Na=23j 0=16 (3 puntos). '
~. Un determinado compuesto orqanlco t iene la siguiente com-
poslclon porcentual: C =75,450'%; H = = 6.587%; N= 8,383%;
0=9,581 %. Calcu/a su formula ernpfrica. Masas at6mleas: C=12;
H=l; N= 14; 0=16 (2 puntas),
Cuestiones
_ t: Escriba la configutaclon eleotronica del elemento de nurnsro
alomlco.20. Indique sj se tratade un metal 0 un no metal ya que gru-po del sistema de per/ados pertenece (1 punta).
2. Dados los compuestos NH, y NaCI, razone para cada uno de
ellos: a) en qU&tipo de compuestos los clasif lcarta (covalentes, i6n i-
cos 0 mstallcos), b) estado de agregacion prevlsibfe a temperaturaambiente (2 puntas). .
~. L~ siguiente reaccion t ranscurre en media acido: rBr,= 103"++Br . a) AJuste la scuaclon. b) Ind ique que espeeie es el oxidante (2puntas).
Soluciones: Problema]. a) p1-- l , ,=L;pHB;o:13,7;b) pH=] 3~3.Problema 2.
c;l~:cN:.o1' Cuestion.]. 1s~2s~~3s~p'4s);Metal del grtrpo 2. Cuesti6n 2. a)
NR~ covalence y NaCl i O l 1 1 C O : b) NH.l gas y NaCl s o l i d o . Cuesti6n 3. a)
1-+3Br.+3H!O =O;+6Br-+t5H+;'b) El Br : 1 . , que al ganar e" s e reduce aBr",