2.2.1 Se tiene una sección rectangular de hormigón armado de la que se conoce

su ancho “b”, la altura “h” y el peralto efectivo “d”. Se conoce que el hormigón tiene

una resistencia inferior a 28MPa. Determine la expresión del área de acero

máxima para la que la sección trabajaría en etapa controlada por tracción.

Datos.

b, h, dt, fy, f´c < 28 MPa

As=?

C=T

0.85 f ´ cb a=As f y

As=0.85f ´ cf yba(1)

cd t

=0.375

a=β1c

a=0.375 β1d t

f ´ c<28MPA→β1=0.85

a=0.32d t(2)

Reemplazamos (2) en (1)

As=0.27bf ´cfyd t

ωr=As f ybd t f ´c

As f ybd t f ´ c

=0.27=ωr

2.2.2 Se tiene una sección rectangular de hormigón armado de la que se conoce

su ancho b=0.25m, la altura h=0.40 y el peralto efectivo d=0.35m. Se conoce que

el hormigón tiene una resistencia igual a 28MPa.

a) Determine la profundidad del bloque de compresiones para que el acero en

tracción trabaje en fluencia si es de grado G-60.

b) Determine el área de acero que le corresponde.

d=0.35m

b=0.25m

h=0.40m

f ´ c=28MPa

f y=420(G 60)

a)

❑y=f yEy

=2.1 x10−3

❑y≤ε s→f s=f y

ε ´cc

=ε sd−c

(0.35−c )c

=2.1 x10−3

3 x10−3

Resolvemos la ecuación en términos de c.

c=0.21m

b)

As=0.27bf ´cfyd

As=15.75c m2

2.2.3 Datos:

f ´ c=21MPa=210kg

cm2

f y = 350MPa=3500kg

cm2

as=5ϕ 30mm=35,34 cm2

d=0.52m

b=0.35m

h=0.60m

M u=FL2

C=T

0.85 f ´ cb a=As f y

Asumimos que el acero fluye en tracción.

❑y≤ε s→f s=f y

a=A s f y

0.85 f ´c b=19.80cm

f ´ c=21MPa<28MPa→β1=0.85

c= aβ1

=23.29cm

ε ´cc

=ε sd−c

ε s=ε ´c (d−c)

c=3.70 x 10−3

ε y=f yE y

=1.75 x10−3

ε y<ε s

1.75 x10−3<3.70x 10−3

La hipótesis que asumimos es verdadera continuamos.

C=0.85 f ´ cab=1237.01kN

T = A s f y=1236.9kN

M n=T (d−a2)

FL2

=M nϕ

φ=0.9(Viga en tracción controlada)Mn respecto compresión.

F=2M nϕ

L

F=2T (d−a

2 )ϕL

F=133.90 kN

2.2.4 Datos:

f ´ c=24MPa

f y=420MPa (G 60)

A s=6ϕ 25mm=29.45 cm2

d=0.43m

b=0.25m

h=0.50m

M u=q L2

8

C=T

0.85 f ´ cb a=As f y

Asumimos que el acero fluye en tracción.

❑y≤ε s→f s=f y

a=A s f y

0.85 f ´c b=24.25cm

a=β1c

f ´ c=24MPa<28MPa→β1=0.85

c= aβ1

=28.53cm

ε ´cc

=ε sd−c

ε s=ε ´c (d−c)

c=1.52 x10−3

ε y=f yE y

=2.1x 10−3

ε y>ε s

La hipótesis que asumimos es falsa calculamos f s.

f s=E s εs

f s=E s

ε´ c(d−c )c

(1)

C=T

0.85 f ´ cb a=As f s

a=β1c

f s=0.85 f ´ cb β1 c

As(2)

Igualamos (1) y (2)

E s

ε ´c (d−c)c

=0.85 f ´ cb β1 c

As

Resolvemos la ecuación en términos de c.

c=0.26m

a=β1c=0.2225m

ε s=ε ´c (d−c)

c=1.96 x 10−3

f s=E s εs=392.31MPa

ε y>ε s

Acero no fluye en tracción, seguimos resolviendo el problema luego de la

comprobación.

C=0.85 f ´ cab=1134.75 kN

T = A s f s=1157.31kN

Mn respecto compresión.

M n=T (d−a2)

M n=A s f s(d−a2)

M n=368.89kN−m

φM n=M u

φ=0.9(Viga en tracción controlada)M u=

q L2

8

q=8φM n

L2

q=49.84 kNm

2.2.5 En la siguiente sección rectangular determine si el acero en compresión

trabaja a la fluencia, si se sabe que la profundidad del bloque a compresión es la

línea para la sección controlada por tracción.

f y=280MPa

d=0.35m

d '=0.04m

b=0.25m

Por tracción controlada tenemos.

cd=0.375

c=0.13m

ε y=f yE y

=1.4 x10−3

ε ´ s=ε ´c (c−d´ )

c=2.1 x10−3

ε y<ε ´s

Acero fluye en compresión.

2.2.6 Teniendo en cuenta que el acero fluye, determine el momento nominal de la

sección de hormigón armado del ejercicio anterior donde:

f ´ c=21MPa

A s=18cm2

A´ s=4 cm2

C c+C s=T

0.85 f ´ cb a+A ´s f y=As f y

a=f y (As−A ´s)0.85 f ´c b

=0.088m

Mn respecto a la tracción.

M n=C c (d−a2 )+C s (d−d ' )

M n=0.85 f ´ c ab(d−a2 )+A´ s f y (d−d ' )

M n=1236.38kN−m

2.2.7 Determine los esfuerzos en el acero en compresión en límite del fallo

caracterizado por la etapa de tracción controlada. Determine el Mn considerando y

sin considerar el aporte del acero en compresión. Datos:

f ´ c=24MPa

f y=420MPa

A s=12cm2

A´ s=6cm2

d=0.3m

b=0.25m

Por tracción controlada tenemos.

cd=0.375

c=0.11m

a=β1c=0.094m

ε y=f yE y

=2.1x 10−3

ε ´ s=ε ´c (c−d´ )

c=1.36 x 10−3

ε y>ε ´s

Acero en compresión no fluye calculamos f ´ s.

f ´ s=ε´ s Ey=272MPa

Sin considerar acero en compresión.

M n=C c (d−a2 )

M n=0.85 f ´ c ab(d−a2 )

M n=121.29kN−m

Considerando acero en compresión.

M n=C c (d−a2 )+C s (d−d ' )

M n=0.85 f ´ c ab(d−a2 )+A´ s f s (d−d ' )

M n=160.46 kN−m

2.2.8 Determinar la carga ultima a la que está sometido el elemento.

f ´ c=21MPa

f y=420MPa

A s=4∅ 25mm=19.63cm2

A´ s=2∅ 12mm=2.26 cm2

b=0.30m

h=0.60m

r=3cm

estribo=1∅ 10mm

M u=q L2

9√3

Determinamos d y d’.

d=h− y

y=(r+∅ estr .+∅ As

2 )d=54.75cm

d ´=(r+∅ estr .+∅ A´ s

2 )=4.6cmAsumimos que el acero en compresión y tracción fluye.

C c+C s=T

0.85 f ´ cb a+A ´s f y=As f y

a=f y (As−A ´s)0.85 f ´c b

=0.14m

a=β1c

c=0.16m

ε s=ε ´c (d−c)

c=7.13 x10−3

ε ´ s=ε ´c (c−d´ )

c=2.14 x 10−3

ε y=f yE y

=2.1x 10−3

ε s>ε ´ s>ε y

Comprobamos que la hipótesis es correcta, continuamos.

M n=T s1(d−a2 )+T s2 (d−d ' )

M n=f y (As−A´ s )(d−a2 )+A´s f y (d−d ' )

M n=397.07 kN−m

φM n=M u

φ=0.9(Viga en tracción controlada)M u=

q L2

9√3

q=9√3 φM n

L2

q=136 kNm

2.2.8 Determinar la carga ultima a la que está sometido el elemento.

f ´ c=34MPa

f y=520MPa

A s1=5∅ 24mm=22.62cm2

A s2=5∅ 22mm=19.01cm2

A´ s=4∅ 20mm=12.57cm2

b=0.30m

h=0.55m

r=4 cm

estribo=1∅ 10mm

separador=2.5cm

M u=q L2

8

Determinamos d y d’.

y=A s1(r+∅ estr .+

∅ A s1

2 )+A s2(r+∅ estr .+∅ As 1+separador+

∅ A s2

2 )A s1+A s2

y=8.12cm

d=h− y

d=46.88cm

d ´=(r+∅ estr .+∅ A´ s

2 )=6cmAsumimos que el acero fluye en tracción y compresión.

C c+C s=T

0.85 f ´ cb a+A ´s f y=As f y

a=f y (As−A ´s)0.85 f ´c b

=0.17m

a=β1c

c=0.21m

ε s=ε ´c (d−c)

c=3.7 x 10−3

ε ´ s=ε ´c (c−d´ )

c=2.14 x 10−3

ε y=f yE y

=2.6 x10−3

ε s>ε y>ε ´s

Acero fluye en tracción, pero no fluye en compresión, calculamos f ´ s

C c+C s=T

0.85 f ´ cb a+A ´s f ´ s=As f y (1)

a=β1c (2 )

Reemplazamos (2) en (1)

0.85 f ´ cb β1 c+A´ s f s=As f y (3)

f ´ s=ε´ s Ey

f ´ s=E s

ε´ c (c−d´ )c

(4 )

Reemplazamos (4) en (3)

0.85 f ´ cb β1 c+A ´ s Ey

ε´ c (c−d ´ )c

=As f y

Resolvemos la ecuación en términos de c.

c=0.23m

a=β1c=0.19m

ε ´ s=ε ´c (c−d´ )

c=2.22 x10−3

f ´ s=ε´ s Ey=443.38MPa

ε s=ε ´c (d−c)

c=3.11 x 10−3

ε s>ε y>ε ´s

Comprobamos que el acero fluye en tracción y no fluye en compresión, hallamos

el Mn respecto a la tracción.

M n=C c (d−a2 )+C s (d−d ' )

M n=0.85 f ´ c ab(d−a2 )+A´ s f s (d−d ' )

M n=862.77 kN−m

φM n=M u

φ=0.9(Viga en tracción controlada)M u=

q L2

8

q=8φM n

L2

q=12.68 kNm

2.2.9 Se tiene una sección “T” de hormigón armado de la que se conoce sus

dimensiones. Se conoce que el hormigón f ´ c<28MPa. Determine la expresión de

área de acero mínima para que trabaje como T”, en etapa de tracción controlada.

Datos:

f ´ c<28MPa ,b ,bw ,h , d , hf

Asumimos que h f=a

C=T

0.85 f ´ cbh f=As f y

h f=As f y

0.85 f ´ cb

As=0.85 f ´ cbh f

f y

h f=a≤0.375 (0.85d )

h f ≤0.31875 d

2.2.10 Determine el Mn en la sección en forma de “T”. Datos:

f ´ c=21MPa

f y=420MPa

A s=30cm2

b=0.60m

bw=0.25m

h f=0.10m

d=0.40m

Asumimos que h f=a.

C=T

0.85 f ´ cb a=As f y

a=As f y

0.85 f ´c b=0.1177m

h f<a

La sección está trabajando como “T”, asumimos que el acero fluye en tracción.

C c1+C c 2=T

0.85 f ´ cbw a+0.85 f ´ ch f (b−bw)=As f y

a=As f y−0.85 f ´ ch f (b−bw)

0.85 f ´c bw=0.14m

a=β1c

c=0.165m

ε s=ε ´c (d−c)

c=4.27 x10−3

ε y=f yE y

=2.1x 10−3

ε s>ε y

La hipótesis es verdadera, continuamos con el cálculo.

M n=C c 1(d−a2 )+C c 2 (d−d ' )

M n=0.85 f ´ cbw a(d−a2 )+0.85 f ´ ch f (b−bw) (d−d ' )

M n=424.83kN−m

2.2.11 Determine el Mn del ejercicio anterior considerando.

A´ s=3cm2

d ´=4cm

ε ´ s=ε ´c (c−d´ )

c=2.27 x 10−3

ε y=f yE y

=2.1x 10−3

ε ´ s>ε y

Acero fluye en compresión.

M n=C c 1(d−a2 )+C c 2 (d−d ' )+C s (d−d ' )

M n=0.85 f ´ cbw a(d−a2 )+0.85 f ´ ch f (b−bw) (d−d ' )+A ´s f y (d−d ' )

M n=470.19kN−m

2.2.12 Se necesita determinar el Mn de una sección de hormigón armado, se tiene

un elemento tipo vigeta con sección transversal trapezoidal, datos:

f ´ c=21MPa

f y=420MPa

A s=4 cm2

b=0.12m

be=0.20m

h=0.25m

d s=0.05m

d=0.20m

Valor de c para tracción controlada.

cd=0.375

c=0.075m

Planteamos el área del hormigón en compresión, se calcula mediante suma de

áreas.

Ac=bxa+12

(be−bx )a

bx=(be−2 x)

x= 425a(relación de triangulos)

bx=(be− 825a)

Ac=(be− 825a)a+ 12 ( 825 a)a

Ac=0.2a−0.16 a2

0.16a2−0.2a+Ac=0

Asumimos un valor de c menor al calculado en tracción controlada. c=0.06m

a=β1c

a=0.051m

ε s=ε ´c (d−c)

c=7 x 10−3

ε y=f yE y

=2.1x 10−3

ε s>ε y

Acero fluye en tracción.

C=T

0.85 f ´ c Ac=As f y

0.85 f ´ c (0.2a−0.16 a2)=As f y

0.171≠0.168

Asumimos c=0.058m

a=β1c

a=0.049m

ε s=ε ´c (d−c)

c=7.34 x 10−3

ε y=f yE y

=2.1x 10−3

ε s>ε y

Acero fluye en tracción.

C=T

0.85 f ´ c Ac=As f y

0.85 f ´ c (0.2a−0.16 a2)=As f y

0.168≠0.168

M n=C c j

M n=0.85 f ´ c [a (be−0.32a )∗(d−a2 )+0.16a2(d−a

3 )]

M n=29.55kN−m

Solución del ejercicio por medio de otro método.

C=T

0.85 f ´ c Ac=As f y

Ac=As f y0.85 f ´ c

=9.41∗10−3m2

0.16a2−0.2a+Ac=0

Resolvemos la última ecuación en términos de a.

a=0.0489

a=β1c

c=0.0576m

ε s=ε ´c (d−c)

c=7.42 x10−3

ε y=f yE y

=2.1x 10−3

ε s>ε y

Acero fluye en tracción.

M n=0.85 f ´ c [a (be−0.32a )∗(d−a2 )+0.16a2(d−a

3 )]M n=29.50kN−m

2.2.13 Datos:

f ´ c=24MPa

f y=420MPa

A s=8cm2

b=0.30m

be=0.20m

h=0.30m

d=0.25m

C=T

0.85 f ´ c Ac=As f y

Ac=As f y0.85 f ´ c

=1.65∗10−2m2

Planteamos el área del hormigón en compresión, se calcula mediante suma de

áreas.

Ac=be a+12

(bx−be)a

bx=(be+2x )

x=16a(relación de triangulos)

bx=(be+ 26 a)

Ac=be a+12 ( 26 a)a

Ac=0.2a+0.167a2

0.167a2+0.2a−Ac=0

0.167a2+0.2a−1.65∗10−2=0

Resolvemos la última ecuación en términos de a.

a=0.0775

a=β1c

c=0.0912m

ε s=ε ´c (d−c)

c=5.22 x10−3

ε y=f yE y

=2.1x 10−3

ε s>ε y

Acero fluye en tracción.

M n=0.85 f ´ c [be a(d−a2 )+ 16 a2(d−a

3 )]M n=71.38kN−m

2.2.14 Datos:

f ´ c=28MPa

f y=420MPa

A s=8∅ 22mm=30.41cm2

b=0.35m

be=0.55m

h=0.55m

h1=0.20m

r=4 cm

estr .=1∅ 10mm

separador=2.5cm

Determinamos d y d’.

y=A s(r+∅ estr .+

∅ As

2 )+A s(r+∅ estr .+∅ As+separador+

∅ A s

2 )2 A s

y=8.45cm

d=h− y

d=46.55cm

Asumimos que el acero fluye en tracción.

C=T

0.85 f ´ c Ac=As f y

Ac=As f y0.85 f ´ c

=5.37∗10−2m2

Planteamos el área del hormigón en compresión, se calcula mediante suma de

áreas.

Ac=bxa+12

(be−bx )a

bx=(be−2 x)

x=12a (relación de triangulos)

bx=(be−a )

Ac= (be−a )a+ 12

(a )a

Ac=0.55a−0.5a2

0.5a2−0.55a+Ac=0

Resolvemos la última ecuación en términos de a.

a=0.108

a=β1c

c=0.127m

ε s=ε ´c (d−c)

c=8 x 10−3

ε y=f yE y

=2.1x 10−3

ε s>ε y

Acero fluye en tracción.

M n=0.85 f ´ c [ (be−a )a(d−a2 )+0.5 a2(d−a

3 )]M n=527.57 kN−m

3.1.1 Determine el área del acero en tracción sin considerar el aporte del acero en

compresión. Datos:

f ´ c=24MPa

f y=420MPa

b=0.30m

h=0.45m

M u=180kN−m

y=0.05m

r=4 cm

estr .=1∅ 10mm

separador=2.5cm

Solución:

d=h− y=0.40m

ur=M u

0.9∗d2∗b∗f ´ c=0.1736

url=0.2276

ur<url

Esta en tracción controlada seguimos calculando.

w r=1−√1−2.36ur

1.18=0.1969

w rl=0.2709

w r<wrl

Esta en tracción controlada seguimos calculando.

A s=wr f ´cb d

f y=1.35∗10−3m2

Escogemos un área de acero en las tablas.

A s(real)=13.57c m23∅ 24mm

Comprobación acero

A s(min1)=0.25√ f ´ cf y

bd=3.49c m2

A s(min2)=1.4bdf y

=4.00c m2

A s(real )>A s (min2)>A s(min1 )

3.1.2 Calcule el Mn en el ejercicio anterior a partir del área de As real en tracción

colocada, compare con el momento actuante.

w r=A s(real ) f ybd f ´c

=0.198

w r<wrl

ur=w r(1−0.59wr)

ur=M n

bd2 f ´c

M n=b d2 f ´ cw r(1−0.59wr)

M n=201.45kN−m

φM n=M u

181.31>180 (kN−m )

La sección resiste las solicitaciones de carga.

3.1.3 Diseñe la sección con acero mínimo necesario sin tener en cuenta el aporte

del acero en compresión. Datos:

f ´ c=28MPa

f y=420MPa

b=0.25m

h=0.50m

M u=220kN−m

y=0.06m

r=4 cm

estr .=1∅ 10mm

separador=2.5cm

Solución:

d=h− y=0.44m

ur=M u

0.9∗d2∗b∗f ´ c=0.1804

url=0.2276

ur<url

Esta en tracción controlada seguimos calculando.

w r=1−√1−2.36ur

1.18=0.2053

w rl=0.2709

w r<wrl

Esta en tracción controlada seguimos calculando.

A s=wr f ´cb d

f y=1.505∗10−3m2

Escogemos un área de acero en las tablas.

A s(real)=15.93c m23∅ 26mm

Er=2 r+2∅ estr.+nS+n1∅ A s (real )=24.57 cm

Ereal=b−(2 r+2∅estr .+n1∅ A s (real ) )

n1−1=3.6cm

dreal=h−(r+∅estr .+∅ A s (real )

2 )=43.7cmComprobación acero

A s(min1)=0.25√ f ´ cf y

bd=3.46 cm2

A s(min2)=1.4bdf y

=3.67 cm2

A s(real)>A s (min2)>A s(min1 )

Verificamos que continúe en tracción controlada.

w r=A s(real ) f ybdreal f ´c

=0.219

w r<wrl

ur=w r(1−0.59wr)

ur=M n

bd2 f ´c

M n=b d2 f ´ cw r(1−0.59wr)

M n=254.93kN−m

φM n=M u

229.44>220 (kN−m )

La sección resiste las solicitaciones de carga.

3.1.4 Diseñe la sección con acero mínimo necesario sin tener en cuenta el aporte

del acero en compresión. Datos:

f ´ c=30MPa

f y=520MPa

b=0.25m

h=0.40m

M u=250kN−m

y=0.06m

r=4 cm

estr .=1∅ 10mm

separador=2.5cm

Solución:

d=h− y=0.34m

ur=M u

0.9∗d2∗b∗f ´ c=0.3204

url=0.2243

ur>url

Esta en tracción controlada seguimos calculando.

w r=1−√1−2.36ur

1.18=0.2053

w rl=0.2709

w r<wrl

Esta en tracción controlada seguimos calculando.

A s=wr f ´cb d

f y=1.505∗10−3m2

Escogemos un área de acero en las tablas.

A s(real)=15.93c m23∅ 26mm

Er=2 r+2∅ estr.+nS+n1∅ A s (real )=24.57 cm

Ereal=b−(2 r+2∅estr .+n1∅ A s (real ) )

n1−1=3.6cm

dreal=h−(r+∅estr .+∅ A s (real )

2 )=43.7cmComprobación acero

A s(min1)=0.25√ f ´ cf y

bd=3.46 cm2

A s(min2)=1.4bdf y

=3.67 cm2

A s(real)>A s (min2)>A s(min1 )

Verificamos que continúe en tracción controlada.

w r=A s(real ) f ybdreal f ´c

=0.219

w r<wrl

ur=w r(1−0.59wr)

ur=M n

bd2 f ´c

M n=b d2 f ´ cw r(1−0.59wr)

M n=254.93kN−m

φM n=M u

229.44>220 (kN−m )

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(terminar)