Univ. de Alcala de Henares Ingeniera Tecnica Industrial

Complementos de matematicas. Curso 2004-2005

Coleccion de ejercicios del tema 3

Definicion y calculo de la transformada Z

1. Hallar la transformada Z de estas senales (incluyendo la ROC):

a) x =(. . . , 0, 5, 3,2, 0, 4,3, 0, . . . ,

)b) x[t] = 3[t] + [t 2] + [t+ 2]c) x[t] = u[t] u[t 10]

d) x[t] = 2tu[t] + 3(12

)tu[t]

e) x[t] = cos(0t)u[t]

f ) x[t] =(13

)tu[t]

g) x[t] = 3tu[t 1] +(12

)tu[t+ 2]

h) x[t] =(13

)t cos(0t)u[t]i) x[t] = a|t|

Solucion:

a) X(z) = 5z2 + 3z 2 + 4z2 3z3, 0 < |z| 2

e) X(z) =1 (cos0)z1

1 2 cos0z1 + z2 , |z| > 1

f ) X(z) =1

1 3z , |z| 1

i) x[t] =1 a2

(1 az1)(1 az) , a < |z| 34b) 0 < |z| 1}4. Hallar la transformada Z de la senal

s[t] =

(t

k=tat

)u[t] con |a| < 1

Solucion:

X(z) =1 + (1 + a)z1 az2(1 az1)(1 z1) , |z| > 1

5. Considerese la senal periodica (de perodo 4):

s = (. . . , 0, 1, 2, 1, 0, 1, 2, 1, 0, 1, 2, 1, 0, . . .)

y sea x[t] = s[t]u[t] (el producto de esta senal por el escalon unitario u[t].) Hallar latransformada Z de x.

Solucion:

X(z) =z1(1 + 2z1 + z2)

1 z4 , |z| > 1

Propiedades de la transformada Z

1. Usar la transformada Z para hallar la convolucion de estas senales:

x1[t] =

(12

)t0 t 2

0 en otro caso.

x2[t] = [t] + [t 1] + 4[t 2]

2

Solucion:

(x1 x2)[t] = [t] + 32[t 1] +194[t 2] + 9

4[t 3] + [t 4]

2. Usar la transformada Z para hallar la convolucion de estas senales:

x1[t] =(12

)tu[t]

x2[t] = 3tu[t]Solucion:

(x1 x2)[t] =(65

)((12

)tu[t] + 3tu[t 1]

)

3. Usar la transformada Z para hallar la convolucion de estas senales:

x1[t] = [t] + [t 1] + [t 2] + [t 3]x2[t] = [t] + [t 1] + [t 2]

Solucion:(x1 x2)[t] =

(. . . , 0, 1, 2, 3, 3, 2, 1, 0, . . .

)

4. Hallar la transformada Z de x[t] = |t|(12

)|t|Solucion:

X(z) =58z +

58z1 1(

1 12z1)2 (1 12z)2

con ROC: 12 < z < 2.

5. Sea y[t] una senal obtenida a partir de la senal x[t] de esta manera:

y[t] =t

k=t x[t]

a) Probar que y[t] satisface esta ecuacion:

y[t] = (t+ 1)x[t+ 1]

b) Usar la anterior propiedad para hallar la transformada Z de:

y[t] =t

k=0

t

(13

)tSolucion:

X(z) =z13(

1 z13)2

(1 z1)con ROC: |z| > 1

3

6. Una senal x[t] tiene transformada Z dada por:

X(z) =1

1 az1 , |z| > a

Cuanto vale x[0]?Solucion: x[0] = 1

7. Una senal x[t] tiene transformada Z dada por:

X(z) =z(

1 12z1) (1 13z2

) , |z| > 12

Cuanto vale x[0]?Solucion: x[0] = 12

8. Hallar x[1] para una senal causal x[t] que cumple:

X(z) =2 + 61

4 2z2 + 13z3

Solucion: x[1] = 32

9. Sea x[t] una senal anticausal que cumple:

X(z) =3z1 + 2z2

3 z1 + z2

Hallar x[0].Solucion: x[0] = 2

10. Si x[t] es una senal real par (es decir x[t] = x[t]) demostrar que su transformada Zcumple:

X(z) = Z(z1)

11. Usar la propiedad de la derivada para hallar la transformada Z de estas senales:

a) x[t] = t(12

tu[t 2]

)b) x[t] = 1t (2)t u[t 1]

Solucion:(a)

X(z) =12z2

1 14z1(1 12z1

)2con ROC |z| > 12 . (b)

X(z) = ln(z +

12

)con ROC: |z| < 12 .

4

Transformada Z inversa (antitransformada)

1. Hallar la antitransformada de

X(z) = z2(1 1

2z1)(1 z1) (1 + 2z1) , 0 < |z| 2.

d) X(z) =1

(1 z1)(1 z2) , |z| > 1

Solucion:

a) x[t] = (. . . , 0, 3, 0, 4, 0, 3, 0, . . .)

b) x[t] =(12

)tu[t] + 3

(13

)tu[t]

c) x[t] = 2(2)tu[t] (1)tu[t]d) x[t] =

(14

) ((1)t + 1 + 2(t+ 1))u[t]

3. Hallar la antitransformada de

X(z) =3

z 2 , |z| > 2

Solucion: x[t] = 3(2t1

)u[t 1]

4. Hallar la antitransformada Z de

X(z) =1 + 14z

1(1 12z1

)2 , |z| > 12Solucion: x[t] = (12)t+1 u[t] + 3(t+ 1) (12)t+1 u[t]

5. Hallar la antitransformada de

X(z) =z

2z2 3z + 1 , |z| 1

Solucion: x[t] =(1 (12)t)u[t]

5

7. Hallar la antitransformada de

X(z) =z

z(z 1)(z 2)2 , |z| > 2

Solucion: x[t] =(1 2t + t2t1)u[t]

8. Hallar la antitransformada de

X(z) =2z3 5z2 + z + 3(z 1)(z 2) , |z| < 1

Solucion: x[t] = 2[t+ 1] + 32[t] +(1 2t1)u[t 1]

9. Hallar la transformada Z inversa de

X(z) = ln(1 1

2z1), |z| > 1

2

Solucion: x[t] = 1t(12

)tu[t 1]

10. Hallar la transformada Z inversa de

X(z) = e1/z

sabiendo que x[t] es causal.Solucion: x[t] = [t] + 1t!u[t 1]

Aplicacion a los sistemas LTI

1. Un sistema T de tipo LTI y causal viene descrito por esta ecuacion en diferencias

y[t] 34y[t 1] + 1

8y[t 2] = x[t]

Hallar la funcion de transferencia y la respuesta al impulso de este sistema.

Solucion:

H(z) =z2(

z 12) (z 14

) , |z| > 12

h[t] =

(2(12

)t(14

)t)u[t]

2. Un sistema T de tipo LTI tiene esta funcion de transferencia:

H(z) =

(1 12z2

)(1 12z1

) (1 14z1

)con ROC dada por |z| > 12 .a) Hallar la respuesta al impulso de este sistema.

b) Hallar una ecuacion en diferencias que describa este sistema.

6

3. Un sistema T de tipo LTI recibe esta senal de entrada

x[t] =(12

)tu[t] + 2tu[t 1]

y produce como senal de salida:

y[t] = 6(12

)tu[t] 6

(34

)tu[t]

Hallar la funcion de transferencia H(z) y decidir si el sistema es causal.

Solucion: H(z) =1 2z11 34z1

; el sistema es causal.

4. Cuando la entrada a un sistema T de tipo LTI es:

x[t] = 2u[t]

la salida es:

y[t] =

(4(12

)t 3

(34

)t)u[t]

Hallar la respuesta al impulso de este sistema.Solucion: h[t] = 12[t] +

(2 (12)t 72 (34)t)u[t 1]

5. Un sistema T de tipo LTI viene descrito por la ecuacion en diferencias

y[t] =14y[t 1] + 1

8y[t 2] + x[t] x[t 1]

y condiciones iniciales de reposo. Encontrar la respuesta al impulso y la funcion de trans-ferencia de este sistema.Solucion:

H(z) =1 z1(

1 12z1) (1 + 14z

1) , |z| > 12h[t] = 2

3

(12

)tu[t] +

53

(14

)tu[t]

6. Un sistema T de tipo LTI tiene funcion de transferencia:

H(z) =z

z 12, |z| > 1

2

Encontrar la respuesta del sistema a la senal de entrada x[t] = tu[t].Solucion: y[t] = 2

((12

)t + t 1)u[t]7. Un sistema T de tipo LTI y causal tiene funcion de transferencia:

H(z) =1 + z1

1 12z1

Hallar la transformada Z de la senal de entrada x[t] a la que le corresponde una saliday[t] = T (x[t]) dada por

y[t] = 13

(14

)tu[t] 4

32tu[t 1]

7

Solucion:

x[t] =115

(14

)tu[t] 2

32tu[t 1] 4

15(1)t u[t 1]

8. Cuales de estas cuatro funciones pueden ser la funcion de transferencia de un sistema Tde tipo LTI si sabemos que el sistema es causal?

a) X(z) =

(1 12z1

)2(1 13z1

)b) X(z) =

(z 1)3(z 14

)2c) X(z) =

(z 12

)3(z 13

)4d) X(z) =

(z 13

)4(z 12

)3Solucion: a y c.

9. Cuando la entrada a un sistema T de tipo LTI es:

x[t] =(13

)tu[t] + 2tu[t 1]

la salida es:

y[t] = 5(13

)tu[t] 5

(23

)tu[t]

a) Obtener la funcion de transferencia H(z) (sin olvidar la RC).

b) Obtener la respuesta al impulso del sistema.

c) Escribir una ecuacion en diferencias que describa este sistema.

d) Es causal el sistema?

Solucion: h[t] = 12[t] +(2 (12)t 72 (34)t)u[t 1]

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