ejercicios2

7/18/2019 ejercicios2

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Universidad de ChileFacultad de Ciencias Físicas y MatemáticasDepartamento de Ingeniería Matemática

Semestre Primavera 2006Cálculo Numérico

MA33A-01

Profesor: Gonzalo Hernández.Auxiliar: Gonzalo Ríos.Fecha: 23 de Septiembre

Problemas ResueltosProblemas

1. Interpole la función sen(x) dentro del intervalo [1; 1] utilizando Lagrange en los puntos 1;12 ; 0; 12 ; 1: Acote el error

de lagrange. Gra…que sen(x); L4(x) y T 5(x) (polinomio de Taylor)

2. Encuentre el polinomio de newton con los siguientes datos, y vea a que función se parece

i xi f (xi)0 1 1

21 0 12 1 23 2 44 4 16

3. Dada la función f (x) = 1x+1 ; encuentre el polinomio de newton que interpole a f y a su derivada f 0 en los puntos 0; 1; 3

4. Por las fuertes lluvias que se pronostican para el mes de Mayo, se desean hacer arreglos en la carretera AutopistaCentral para evitar inundaciones, pero el Ingeniera que diseño la carretera era de la Universidad de las Américas, yperdió los planos. El gerente, desesperado, llama a un Ingeniero amigo suyo de Beauchef, y le plantea el problema. ElBeauche…ano, que pasó Calculo Numérico, sabe muy bien que hacer. Le pide al gerente una tabla de datos tomados enlos Portales de Peaje que indiquen tiempo y posición de un vehículo. La tabla que el gerente le entrega es la siguiente:

t 0 3 5 8 11x 0 225 383 623 1001y 0 9 25 64 121y0 0 22

Haga lo que un Ingeniero de Beauchef haría.

Hint: Use Spline Cúbica y Polinomio de Newton

5. Determine el sistema para aproximar una función f (x) en un intervalo [; ] por un exponencial de la forma y(x) = beax

donde a y b son las constantes a determinar.

6. Use los ceros de ~T 3 y las transformaciones del intervalo dado y construya un polinomio interpolante de segundo gradopara f (x) = x ln x ,[1; 3]

7. Obtenga el polinomio trigonométrico general de mínimos cuadrados continuos para f (x) = 0 si < x 0

1 si 0 < x <

8. Detemine el polinomio trigonométrico S 2(x) en [; ] para f (x) = x( x)

Soluciones

1. Lagrange

i xi f (xi) L4;i(x)

0 1 0 (x+ 1

2 )x(x 12 )(x1)

(1+12 )(1)(1 1

2 )(11)

1 12 1

(x+1)x(x 12)(x1)

( 12+1)( 1

2 )( 12

12 )( 1

21)

2 0 0 (x+1)(x+ 1

2 )(x 12 )(x1)

(1)( 12 )( 1

2 )(1)

3 12 1

(x+1)(x+ 12 )x(x1)

( 12+1)( 1

2+12 ) 1

2 ( 121)

4 1 0 (x+1)(x+ 1

2)x(x 12 )

(1+1)(1+12)1(1 1

2 )

=

L4;i(x)16x 1

6x2 23x3 + 2

3x4

43x + 8

3x2 + 43x3 8

3x4

5x2 4x4 143x + 8

3x2 43x3 8

3x4

16x 1

6x2 + 23x3 + 2

3x4

P 4(x) = 0

(L4;0(x))+ (

1)

43x + 8

3x2 + 43x3

83x4+ 0

(L4;2(x))+ 1

43x + 8

3x2

43x3

83x4+ 0

(L4;4(x))

P 4(x) = 43x + 8

3x2 43x3 8

3x4 + 43x 8

3x2 43x3 + 8

3x4 = 83x 8

3x3



b. E 4(x) = 4i=0(x xi)

f (5)()(5)! = (x + 1)

x + 1

2

x

x 12

(x 1)

5 cos()120 5

12

5= 1

325 ' 9: 563

c. T 5(x) = x 163x3 + 1

1205x5

Rojo: Sen(x) Rojo: Sen(x)Negro: Lagrange 8

3x 83x3 Azul: Taylor x 1

63x3 + 11205x5

2. Newton

xi f (xi) f [xi; xi+1] f [xi; xi+1; xi+2] f [xi; xi+1; xi+2; xi+3] f [xi; xi+1; xi+2; xi+3; xi+4]

1 12

1 12

0+1 = 0:5 10:51+1 = 0:25 0:50:25

2+1 = 112

524

112

4+1 = 140

0 1 2110 = 1 21

20 = 0:54

30:540 = 5

24

1 2 4221 = 2 62

41 = 43

2 4 16442 = 6

4 16

P 4(x) = f [x0] + (x x0) f [x0; x1] + (x x0) (x x1) f [x0; x1; x2] + ::: + nj=0(x xj)f [x0:::xn]

P 4(x) = 12

+ (x + 1) 0:5 + (x + 1) x0:25 + (x + 1) x(x 1) 112

+ (x + 1) x(x 1)(x 2) 140

P 4(x) = 1 + 4360x + 9

40 x2 + 130x3 + 1

40x4

Rojo:Newton 1 + 4360x + 9

40 x2 + 130x3 + 1

40x4 Verde:2x

3. Newton con derivadas

f 0(x) = 1(x+1)2

xi f (xi) f [xi; xi+1] f [xi; xi+1; xi+2] f [xi; xi+1; xi+2; xi+3] f [xi; xi+1; xi+2; xi+3; xi+4] f [xi; xi+1; xi+2; xi+3;

0 1 f 0(0) = 1

12+1

10 = 12

14

12

10 = 14

116+

14

30 = 116

164

116

30 =

0 1121

10 = 12

14+

12

10 = 14

116

14

30 = 116

164+

116

30 = 164

1 12 f 0(1) = 1

4

18+

14

31 = 116

132

116

31 = 164

1 12

14

12

31 = 18

116+

18

31 = 132

3 1

4 f 0

(3) = 1

163 1

4



P 5(x) = 1 + x (1) + x2 12 + x2(x 1)

14

+ x2(x 1)2 116 + x2(x 1)2(x 3)

164

: 55

64x2 3164x3 + 9

64x4 164x5

P 5(x) = 1 x + 5564x2 31

64x3 + 964x4 1

64x5

@P 5(x)@x

= 5532x 93

64x2 + 916x3 5

64x4 1

Rojo: 1x+1 Rojo: 1

(x+1)2

Azul: 1 x + 5564x2 31

64x3 + 964x4 1

64x5 Azul: derivada 5532x 93

64x2 + 916x3 5

64x4 1

n

4. Primero se construiye un Spline cúbico S x(t) el cual depende de S i(t); i = 0; 1; 2; 3; donde

S x(t) =8>><>>:

S 0(t) = S 0;0 + S 0;1(t

0) + S 0;2(t

0)2 + S 0;3(t

0)3 t

2[0; 3]

S 1(t) = S 1;0 + S 1;1(t 3) + S 1;2(t 3)2 + S 1;3(t 3)3 t 2 [3; 5]S 2(t) = S 2;0 + S 2;1(t 5) + S 2;2(t 5)2 + S 2;3(t 5)3 t 2 [5; 8]S 3(t) = S 3;0 + S 3;1(t 8) + S 3;2(t 8)2 + S 3;3(t 8)3 t 2 [8; 10]

La matriz es266664

1 Condicion de bordeh0 2 (h0 + h1) h1 0 00 h1 2 (h1 + h2) h2 00 0 h2 2 (h2 + h3) h3

2 Condicion de borde

377775

266664

m0

m1

m2

m3

m4

377775 =

266664

0

1 = 3 (d1 d0)2 = 3 (d2 d1)3 = 3 (d3 d2)

4

377775

Los coe…cientes son

h0 = 3 0 = 3 d0 = 22503 = 75

h1 = 5

3 = 2 d1 = 383225

2

= 79h2 = 8 5 = 3 d2 = 623383

3 = 80h3 = 11 8 = 3 d3 = 1001623

3 = 126

Reemplazando en la matriz es266664

3 10 2 0 00 2 10 3 00 0 3 12 3

377775

266664

m0

m1

m2

m3

m4

377775 =

266664

0

123

1384

377775

C.B: Spline Natural266664

1 0 0 0 03 10 2 0 0

0 2 10 3 00 0 3 12 30 0 0 0 1

377775

266664

m0

m1

m2m3

m4

377775 =

266664

012

31380

377775 =)

266664

m0

m1

m2m3

m4

377775 =

266664

011659

226

59735590

377775

S k;0 = yk S k;1 = dk hk(2mk+mk+1)3 S k;2 = mk S k;3 = mk+1mk

3hk

S x(t) =

8>>>>>>><>>>>>>>:

S 0(t) = 0 +

75 3(20+11659 )

3

(t 0) + 0 (t 0)2 +

11659 033 (t 0)3 t 2 [0; 3]

S 1(t) = 225 +

79 2(2 11659

22659 )

3

(t 3) + 116

59 (t 3)2 +

22659

11659

32 (t 3)3 t 2 [3; 5]

S 2(t) = 383 +

80 3(2( 226

59 )+ 73559 )

3

(t 5) +

22659

(t 5)2 +

73559 +

22659

33 (t 5)3 t 2 [5; 8]

S 3(t) = 623 +

126 3(2 73559 +0)

3

(t 8) + 735

59 (t 8)2 +

0 73559

33 (t 8)3 t 2 [8; 11]



S x(t) =

8>><>>:

430959 t + 116

531t3 if 0 t ^ t 3242259 t + 629

59 t2 5759t3 + 1887

59 if 3 t ^ t 544116177 t 5483

177 t2 + 961531t3 167267

531 if 5 t ^ t 8269559 t2 364t 245

177t3 + 233695177 if 8 t ^ t 11

S (0) = 0S (3) = 225S (5) = 383S (8) = 623

S (11) = 1001

Dx(t) =

8>><

>>:

116177t2 + 4309

59 if 0 t ^ t 3125859 t 171

59 t2 + 242259 if 3 t ^ t 5

10966177 t + 961

177t2 + 44 116177 if 5 t ^ t 8

539059 t

24559 t2

364 if 8

t

^t

11

D(0) = 17807241 = 73: 887966804979253112

D(3) = 18611241 = 77: 224066390041493776

D(5) = 19359241 = 80: 327800829875518672

D(8) = 18804241 = 78: 024896265560165975

D(11) = 87 909

1205 = 72: 953526970954356846

F x(t) =

8>><>>:

232177t if 0 t ^ t 3

34259 t + 1258

59 if 3 t ^ t 51922177 t 10966

177 if 5 t ^ t 8490

59 t + 539059 if 8 t ^ t 11

F (0) = 0F (3) = 232

59 = 3: 9322033898305084746F (5) = 452

59 = 7: 6610169491525423729F (8) = 1470

59 = 24: 915254237288135593

F (11) = 0

S x(t) Dx(t) = dS x(t)dt

F x(t) = d2S x(t)dt2

Luego, para la coordenada y hacemos una interpolación de Newton

0 0 y0(0) = 0 3030

= 1 0 0 0 0

0 0 9030 = 3 83

50 = 1 0 0 0

3 9 25953 = 8 138

83 = 1 0 0

5 25 642585 = 13 1913

115 = 1 0

8 64 12164118 = 19 2219

118 = 111 121 y0(11) = 2211 121

y(t) = 0 + 0 t + 1t2 + 0 = t2

despejando t =) t =p

y

reemplazando en S x(t)

S x(t) = S x(p

y) =

8>><>>:

430959

p y + 116

531

p y3 if 0 p

y ^p y 3242259

p y + 629

59

p y2 57

59

p y3 + 1887

59 if 3 p

y ^p y 544116177

p y 5483

177

p y2 + 961

531

p y3 167267

531 if 5 p

y ^p y 82695

59 p y2

364p y

245

177p y3

+

233695

177 if 8 p y^p

y 11

transformando en una función que depende de y :

=) S x(y) =

8>><>>:

430959

p y + 116

531

p y3 if 0 y ^ y 9

242259

p y + 629

59 y 5759

p y3 + 1887

59 if 9 y ^ y 2544116177

p y 5483

177 y + 961531

p y3 167267

531 if 25 y ^ y 64269559 y 364

p y 245

177

p y3 + 233695

177 if 64 y ^ y 121

Gra…cando en un plano xy se obtiene el plano pedido.



5. Primero se hace una transformación para tener un sistema lineal. En este caso se usa el ln

(a) y = beax =) ln(y) = ln(b) + ax

Ahora buscamos el minimo del error cuadrático

(b) E =R

(ln(f (x)) (ln(b) + ax))2dx

(c) @E@a

=R

x (2ln b + 2ax 2 l n (f (x))) dx = 0 =) R

(x ln b + ax2 )dx =R

x ln(f (x)) dx

(d) @E@b

= 1b

R

(2ln b + 2ax 2 l n (f (x))) dx = 0 =) R

(ln b + ax )dx =R

ln(f (x)) dx

El sistema de forma matricial queda de la forma

(e)

"R

x dxR

x2dxR

dxR

xdx

#ln(b)

a

=

"R

x ln(f (x)) dxR

ln(f (x)) dx

#

6. Primero, los ceros de ~T 3 se encuentran en xk = cos( 2k12n

); k = 1; 2; 3:

(a) x1 = cos(16) = 0:86602540378443864676

(b) x2 = cos(36) = 0:0

(c) x3 = cos(56) = 0:86602540378443864676

Debemos usar una transformacion lineal para pasar de [1; 1] a [1; 3]:Esto es ~xk = 2 + xk:

(d) ~x1 = 2: 8660254037844386468' 2:866

(e) ~x2 = 2

(f) ~x3 = 1: 1339745962155613532' 1:134

Ahora debemos calcular los valores de f (x) en ~x1; ~x2; ~x3

(g) f (~x1) = f (2:866) = 3: 0176610660775389879' 3: 018

(h) f (~x2

) = f (2) = 1: 3862943611198906188'

1: 386

(i) f (~x3) = f (1:134) = 0:14260186681650541201' 0:143

Las diferencias divididas son:

(j)

x f (x) f [x; x] f [x;x;x]2:866 3: 018 1: 3863: 018

22:866 = 1: 885 1: 4351: 8851:1342:866 = 0:26

2 1: 386 0:1431: 3861:1342 = 1: 435

1:134 0:143

El polinomio interpolante de segunda grado es:

(k) ~P 3(x) = 3: 018 + 1: 885(x 2:866) + 0:26(x 2:866)(x 2) = 0:61984x + 0:26x2 0:89409

El error del polinomio está acotado de la forma

(l) maxx2[1;3] ~P 3(x) f (x)

123(3+1)! maxx2[1;3] f (4)(x) =

1192 maxx2[1;3]

12x3 =

1192

12 = 1

384 < 0:0026042

7. Calculemos ak y bk



(a) ak = 1

R

f (x) cos(kx)dx = 1

R 0

f (x)cos(kx)dx + 1

R 0 f (x)cos(kx)dx = 1

R 0 cos(kx)dx = 1

k sen(kx )j0 = 0

(b) bk = 1

R

f (x)sen(kx)dx = 1

R 0 sen(kx)dx = 1

k cos(kx)j0 = 1

k(1 (1)k)

Luego, el polinomio general S n(x) es

(c) S n(x) = a02

+ an cos(nx) +n1Pk=1

ak cos(kx) + bksen(kx) =n1Pk=1

1k

(1 (1)k)sen(kx)

8. El polinomio es S n(x) = a02 + a2 cos(2x) + a1 cos(x) + b1sen(x): Calculemos los coe…cientes

(a) a0 = 1 R x(

x)dx = R xdx

1 R x2dx = x2

13 x3 =

232

(b) a1 = 1

R

x( x) cos(x)dx =R

x cos(x)dx 1

R

x2 cos(x)dx = 1

hx2sen(x)

R

2xsen(x)dxi

=

2

R

xsen(x)dx = 2

h x cos(x)j

+R

cos(x)dx

i = 2

2 = 4

(c) a2 = 1

R

x( x) cos(2x)dx = 1

R 22

u2 ( u

2 ) cos(u)du2 = 18

R 22

u(2 u) cos(u)du

= 14

R 22 u cos(u)du 1

8

R 22 u2 cos(u)du = 1

8

R 22 u2 cos(u)du = 1

8

hu2sen(u)

22

R 22 2usen(u)du

i= 1

4

R 22 u sin(u)du = 1

4

h x cos(x)j2

2 +R 2

2 cos(x)dxi

= 144 = 1

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