ejerciciosresueltoscalculoI2016-01

8/17/2019 ejerciciosresueltoscalculoI2016-01

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UNIVERSIDAD DEL BÍO-BÍOFACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

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Ejercicios Resueltos de Cálculo I


23 de abril de 2016


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Índice general

1 Números Reales 11.1 Números Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Intervalos,Ecuaciones e Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Relaciones y Funciones 122.1 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Limites y Continuidad 223.1 Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2 Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

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Capítulo 1

Números Reales

1.1. Números Reales

(a) Dé valores para x, y, z ∈R y compruebe si es verdad que

x ≤ y entonces x + z ≥ y+ z (1.1)

(b) Si la parte (a) no es verdad dé una expresión parecida a (1) para que lo sea

(c) Demostrar que ∀ x ∈R, (−1) · x = − x

Ejercicio 1

Resolución:

(a) Para x = y = 3 se tiene 3 ≤ 3 entonces para z = 4 la desigualdad 3+4 ≥ 3+4 es cierto . Para x = 4, y = 5 se tiene 7 ≤ 8 entonces para z = −8 la desigualdad 4−8 ≥ 5−8 es falso. Para x = 5, y = 6 se tiene que 5 ≤ 6 , entonces para z = 4 la desigualdad 5 + 4 ≥ 6 +4 es

falsa.

(b) Dado x, y ∈R tal que x ≤ y entonces x + z ≤ y+ z, ∀ z ∈R

(c)

(−1) · x = x · (−1) conmutativa= x · (−1)+0 neutro aditivo

= x

·(−

1)+

x+

(−

x) inverso aditivo= x · (−1)+ x ·1+ (− x) neutro multiplicativo= ( x · (−1)+ x ·1)+ (− x) asociativa= x · ((−1)+1)+ (− x) distributiva= x · (0)+ (− x) inverso aditivo= 0+ (− x) x ·0 = 0= (− x) neutro aditivo

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(a) Demostrar para cada x ∈R que (− x) ·0 = 0 (b) Demostrar que si a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1entonces a b + cd ≤ 1 para a, b, c, d ∈R

Ejercicio 2

Resolución:

(a) Sea x cualquier real, entonces − x ∈R ,

(− x) ·0 = (− x) ·0+0 neutro aditivo= (− x) ·0+ ( x + (− x)) inverso aditivo= [(− x) ·0+ (− x)]+ x asociatividad= [(− x) ·0+ (− x) ·1)+ x neutro multiplicativo= (− x)(0+1)+ x distributiva

= (

− x)

·1

+ x neutro aditivo

= − x + x neutro multiplicativo= 0 inverso aditivo

(b) Sabemos que todo número al cuadrado es mayor o igual a cero, entonces es conveniente

considerar

(a − b)2 ≥ 0 y (c − d)2 ≥ 0 , así tenemos

(a − b)2 = a2 −2ab + b2 ≥ 0 =⇒ a2 + b2 ≥ 2ab(c − d)2 = c2 −2cd + d2 ≥ 0 =⇒ c2 + d2 ≥ 2cd

=⇒ a2 + b2 + c2 + d2 1+1

≥ 2ab +2cd

=⇒ 2(ab + cd ) ≤ 2 /

·12

=⇒ ab + cd ≤ 1

Clasificar como verdadera (V) o falsa (F), las siguientes afirmaciones. Justifique cada una desus respuestas.

Expresión V F Contraejemplo si es (F) demostración si es (V)

(i) si x2 + y2 = 1 entonces | x|+ | y| > 2(ii) si x < y < 0 entonces x2 > y2 > 6(iii) si x2 y > 0, x = 0 entonces y < 0(iv) si x ∈R entonces | x| ≤ x ≤ −| x|(v) si a ≤ b y c > 0 entonces a

c ≤ b

c

(vi) si 0 < a < b entonces 0 < 1b

< 1a

(vii) si a < 0 entonces a + 1a ≤ −2

Ejercicio 3

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Resolución:

Expresión Contraejemplo

(i) Si − x es número real entonces x es positivo x = −3 entonces −(−3) = 3 es real pero −3 < 0 no es positivo)

(ii) Si x2 y < 0, x = 0 entonces y > 0 x = 2, y = −3 =⇒ y≯ 0

(iii) Si x < 1 entonces x es negativo x = 12 =⇒ x no es negativo

(iv) x < 3, y < 4 =⇒ x y < 12 x = −10, y = −20 =⇒ (−10)(−20) = 200≮ 12

(v) si x < y < 0 entonces x2 > y2 > 6 x = −2, y = −1 =⇒ (−2)2 > (−1)2≯ 6

(vi) si x ∈R entonces | x| ≤ x ≤ −| x| x = −1 =⇒|−1| = 1−1 ≤ −1

Si b > a > 0 y c > 0. Demostrar que a + cb + c >

a

b

Ejercicio 5

Resolución: Como b > a > 0 y c > 0 se tienea + c > a > 0 =⇒ 1

a + c > 0

b + c > b > 0 =⇒ 1b + c > 0

Por otro lado

0 < a < b /(·c) =⇒ ac < bc /(+ab) =⇒ ac + ab < bc + ab=⇒ a(b + c) < b(a + c)

· 1

b+

c=⇒ a < b(a + c)

b + c

·1b

=⇒ a

b< a + c

b + c

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1.2. Intervalos,Ecuaciones e Inecuaciones

Hallar el mayor subconjuntos de los reales, en notación de intervalos que satisfacen cada una

de las siguientes desigualdades:

(a) x −1

x≤ x

x −1(b) |3 x+2|− |2 x −1| ≤ 4 (c) 1

2 ≤ 3 x +1

x< 4

Ejercicio 6

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Continuación del ejercicio (3b)Resolución:

(b) (III) El conjunto solución final es

CS = CS I ∪CS I I ∪ CS I I I =−7,−2

3

∪−2

3, 1

2

∪1

2,1

=⇒ CS = [−7,1]

(c) La inecuación 1

2 ≤ 3 x +1

x < 4 es equivalente a 1

2 ≤ 3 x +1

x I

∧ 3 x +1 x

< 4 I I

(I) Conjunto solución para 12 ≤ 3 x +1

x

1

2 ≤ 3 x +1

x=⇒ 0 ≤ 3 x +1 x− 1

2 =⇒ 0 ≤ 5 x +2

2 x

=⇒ 0 ≤ 5 x +2 x

, x = 0

PC =−2

5,0

(+)(−)(+)

−25 0

Observamos que x = −25

satisface

la inecuación 0 ≤ 5 x+2 x

, por tanto

CS I = −∞,−25 ∪ ]0,+∞[(II) Conjunto solución para

3 x +1 x

< 4

3 x +1 x

< 4 =⇒ 3 x +1 x

−4 < 0 =⇒ 3 x +1−4 x x

< 0

=⇒ − x +1 x

< 0 =⇒ x −1 x

> 0

PC = {0, 1}

(+)(−)(+)

0 1

Observamos que x = 1 no satisfacela inecuación

x−1 x

> 0 , por tantoCS I I = ]−∞,0[∪ ]1,+∞[

Finalmente el conjunto solución es

CS = CS I ∩ CS I I =

−∞,−25

∪ ]0,+∞[

(]−∞,0[∪ ]1,+∞[) =

−∞,−25

]1,+∞[

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Resolver en el conjunto de los números reales (R)

(a) x2

( x−2) x2 +3 x +2 ≥ 0 (b) 7−| x −7| ≤ 4

Ejercicio 7

Resolución:

(a)

x2( x −2) x2 +3 x +2 ≥ 0 /

· 1 x2

, x = 0 =⇒ x−2

( x +2)( x +1) ≥ 0, x = 0

(1.3)

x +2 = 0 =⇒ x = −2; x +1 = 0 =⇒ x = −1; x−2 = 0 =⇒ x = 2 P.C = {−2,−1,2} Puntos críticos

(+)(−)(+)(−)

−1 2−2

C.S. = ]−2,−1[∪ {0}∪ [2,+∞[ es el conjunto solución

(b) 7−| x −7| ≤ 4 ⇐⇒ (7−| x−7| ≥ 0)∧ [4 > 0∧ (7−| x −7| ≤ 16)]

⇐⇒ (| x−7| ≤ 7)∧ [V ∧ (| x −7| ≥ −9)]⇐⇒ (−7 ≤ x −7 ≤ 7 / (+7)) ∧ [| x −7| ≥ −9]⇐⇒ (0 ≤ x ≤ 14)∧ [ x−7 ≤ 9 ∨ x −7 ≥ −9]⇐⇒ (0 ≤ x ≤ 14)∧ [ x ≤ 16 ∨ x ≥ −2]⇐⇒ [0,14]∩R⇐⇒ [0,14]=⇒ C.S. = [0,14]

Determine, si existen, el supremo, ínfimo, máximo y mínimo del conjunto A =

x +2 x +1 : x ∈N

Ejercicio 8

8


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Resolución: El conjunto A =

x +2 x +1 : x ∈N

es equivalente a

A =1+ 1 x +1 : x ∈N

=1+ 12

, 1+ 13

, 1+ 14

, · · · La menor cota superior del conjunto A es

3

2 , es decir

sup( A) = 32

y este valor es un elemento de A por tanto es máximo para A, es decir

máx( A) = 32

Por otro lado 1 + 1 x +1 −→ 1 cuando x en muy grande positivamente, así 1 es la mayor cota

inferior para A y corresponde al ínfimo de A, es decir

ı́nf( A) = 1

y este elemento no esta en A por tanto el conjunto A no tiene mínimo.

1.3. Aplicaciones

En 1990, al perforar el pozo más profundo del mundo, los soviéticos encontraron que la tem-peratura a x kilómetros de profundidad de la tierra estaba dada por

T = 30+25( x −3), 3 ≤ x ≤ 15,

donde T es la temperatura en grados Celsius.¿ A qué profndidad la temperatura estará entre200◦C y 300◦C en total.

Ejercicio 9

9


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Resolución: Debemos encontrar los valores x del conjunto

A = { x ∈R :200 ≤ 30+25( x −3) ≤ 300∧ 3 ≤ x ≤ 15}

En efecto

Si 3 ≤ x ≤ 15

200 ≤ 30+25( x −3) ≤ 300

(−30) =⇒ 170 ≤ 25( x −3) ≤ 270

· 125

=⇒ 170

25 ≤ x −3 ≤ 270

25

(+3)

=⇒ 6,8+3 ≤ x ≤ 10,8+3=⇒ 9,8 ≤ x ≤ 13,8

CS = [9,8,13,8]∩ [3,15] =⇒ CS = [9,8;13,8]

El peso p de los tarros de cáfe llenados por un procesador de alimentos satisface la desigual-dad p −160,05

≤ 1, donde p se mide en onzas.Determine el intervalo en el cual se halla p

Ejercicio 10

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Resolución: Sea A el conjunto solución donde se encuentra los valores de p con la condición que

p −16

0,05 ≤

1 , es decir

A =

p ∈R : p −160,05

≤ 1

En efecto

A =

p ∈R : p −160,05

≤ 1

⇐⇒ A =

p ∈R : −1 ≤ p −16

0,05 ≤ 1

⇐⇒ A = p ∈R : −1 ≤ 100( p −16)5 ≤ 1/ (·5)⇐⇒ A =

p ∈R : −5 ≤ 100( p −16) ≤ 5/( 1

100)

⇐⇒ A =

p ∈R : − 5100

≤ p −16 ≤ 5100

/(+16)

⇐⇒ A =

p ∈R : 16− 5100

≤ p ≤ 5100

+16

⇐⇒ A = { p ∈R : 15,95 ≤ p ≤ 16,05}

⇐⇒ A

=[15,95,16,05] El intervalo donde se halla p es [15,95,16,05]

En circuitos en serie,la resistencia total es la suma de las resistencias componentes,

es decir, R =n

i=1 Ri. Suponga que un circuito en serie está compuesto por dos resistencias

R1, R2. Si la resistencia total debe ser de 1375Ω (ohmios) y si R 1 debe ser a lo más 25Ω másque R 2. Determine a lo menos R 2.

Ejercicio 11

Resolución:

R1 + R2 = 1375 =⇒ R1 = 1375 − R2 R1 ≤ 25+ R2 =⇒ 1375− R2 ≤ 25+ R2

=⇒ 675 = 13502

≤ R2

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Capítulo 2

Relaciones y Funciones

2.1. Funciones

Ejercicio 2.1.1. Dada las relaciones siguientes

(i)

1

2

3

a

b

c

f A B

(ii)

1

2

3

a

b

c

f A B

(iii)

123

a

bc

d

f A B

(iv)

1234

a

b

f A B

(a) Diga cuáles de las relaciones representan funciones y cuáles no. Justifique su respuesta encada caso.

(b) Sólo para las funciones determine dominio, codominio y recorrido.(c) De las funciones determinadas, identifique cuales son sobreyectivas, inyectivas y biyectivas,

justificando su respuesta.

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Resolución:

(a) (i) Note que A

={1,2,3} y B

={a, b, c}. Luego para que f sea función debemos probar que:

∀ x ∈ A, ∃! y ∈ B : y = f ( x).

En efecto para

x = 1 ∈ A,∃! y = b ∈ B : b = f (1) x = 2 ∈ A,∃! y = a ∈ B : a = f (2)

x = 3 ∈ A,∃! y = c ∈ B : c = f (3)

Esto afirma que f es función.

(ii) Note que A = {1,2,3} y B = {a, b, c}. Comprobaremos que f no es función. En efecto para la preimagen 2 existen dos imágenes a y b distintos, es decir f (2) =a = b = f (2) , lo que contradice la definición de función. Por lo tanto f no es función.

(iii) Note que A = {1,2,3} y B = {a, b, c, d}. Comprobaremos que f es función. En efecto para

x = 1 ∈ A,∃! y = a ∈ B : a = f (1) x = 2 ∈ A,∃! y = c ∈ B : c = f (2)

x = 3 ∈ A,∃! y = d ∈ B : d = f (3)


(iv) Note que A = {1,2,3} y B = {a, b}. Comprobaremos que f es función. En efecto para

x = 1 ∈ A,∃! y = a ∈ B : a = f (1) x = 2 ∈ A,∃! y = a ∈ B : a = f (2)

x = 3 ∈ A,∃! y = b ∈ B : b = f (3) x = 4 ∈ A,∃! y = b ∈ B : b = f (4)


(b) (i) D om( f ) = {1,2,3} Cod( f ) = {a, b, c} R ec( f ) = {a, b, c}(iii) D om( f ) = {1,2,3} Cod( f ) = {a, b, c, d} R ec( f ) = {a, c, d}(iv) D om( f ) = {1,2,3,4} Cod( f ) = {a, b} R ec( f ) = {a, b}

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Resolución:

(c) Sea f : A

→ B función

(i) * SOBREYECTIVA: Co d( f ) = {a, b, c}= R ec( f ). Por lo tanto f es sobreyectiva.* INYECTIVA:

a ∈ R ec( f ),∃! 2 ∈ A : a = f (2)b ∈ R ec( f ),∃! 1 ∈ A : b = f (1)

c ∈ R ec( f ),∃! 3 ∈ A : c = f (3)

Por lo tanto f es inyectiva.

* BIYECTIVA: Como f es sobreyectiva e inyectiva entonces f es biyectiva.

(iii) * SOBREYECTIVA: Co d( f ) = {a, b, c, d}= R ec( f ). Por lo tanto f no es sobreyecti-va.

* INYECTIVA:

a ∈ R ec( f ),∃! 1 ∈ A : a = f (1)c ∈ R ec( f ),∃! 2 ∈ A : c = f (2)

d ∈ R ec( f ),∃! 3 ∈ A : d = f (3)

Por lo tanto f es inyectiva.

* BIYECTIVA: Como f no es sobreyectiva entonces f no es biyectiva.

(iv) * SOBREYECTIVA: Co d( f ) = {a, b} = R ec( f ). Por lo tanto f es sobreyectiva.* INYECTIVA:

Para a ∈ R ec( f ) existen 1, 2 ∈ A tal que f (1) = f (2) = a, esto implica que f no esinyectiva.

* BIYECTIVA: Como f no es inyectiva entonces f no es biyectiva.

Ejercicio 2.1.2. Sea f :Dom( f ) ⊆R−→R función tal que f ( x) = 6 x x −3

(a) Halle el dominio y recorrido de la función.

(c) Determine la preimagen de 43 y la imagen de56 .

(d) Demuestre que f es inyectiva. Justifique surespuesta.

(e) ¿Es f sobreyectiva?. Justifique su respuesta.

(f) ¿Es f biyectiva?.

(i) Si su respuesta es afirmativa, definala función inversa indicando dominio ycodominio y la ecuación de definición.

(ii) Si su respuesta es negativa, restrinjaadecuadamente para que lo sea y defi-na la función inversa indicando su do-

minio, codominio y ecuación de defini-ción.

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Resolución:

(a) D om( f )

={ x

∈R : x

=3}

=R

−{ x

∈R : x

−3

=0}

= R

−{3}

R ec( f ) =

y ∈R : ∃ x ∈ Dom( f ), y = 6 x x −3

=

y ∈R : ∃ x ∈ Dom( f ),

y = 6 x

x−3 =⇒ y( x −3) = 6 x =⇒ ( y−6) x = 3 y =⇒ x =3 y

y−6

=

y ∈R : ∃ x ∈ Dom( f ), x = 3 y

y−6

= { y ∈R : y = 6} = R− {6}

(b) Para y = 43

se tiene: y = f ( x) = 43 = 6 x

x

−3 =⇒ 4 x−12 = 18 x =⇒ x = −6

7 es la preimagen.

Para x = 56

se tiene f

5

6

=

6 · 56

5

6−3

= −3013

es la imagen.

(c) Tomemos dos elementos cualquiera x1, x2 ∈ Dom( f ) tal que f ( x1) = f ( x2) vamos a probarque x1 = x2 En efecto

6 x1 x1 −3

= 6 x2 x2 −3

=⇒ 6 x1( x2 −3) = 6 x2( x1 −3) =⇒ x1 = x2 por tanto f es inyectiva.

(d) No es sobreyectiva por que el codominio es R = Rec( f ) =R− {6}

(e) No es biyectiva, por que no es sobreyectiva. Redefinimos la función f por F : R−{3} →R−{6} para que sea biyectiva, siendo la inversa F −1( x) = 3 x

x −6 , obtenido anteriormente para el recorrido, donde

F −1 : Dom( F ) =R− {6} → Cod( f ) =R− {3}

Ejercicio 2.1.3. Sea f : R→R una función definida por f ( x) = 2 x −3 x −1 .

1. Determine Dominio y recorrido de f 2. Diga si f es inyectiva. Justifique

3. Diga si f es sobreyectiva. Justifique.

4. ¿Es la función f biyectiva?, en caso contrariorestringir para determinar su función inver-sa

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Resolución:

(a) Cálculo del dominio

D om( f ) = { x ∈R : x = 1} = −{ x ∈R : x = 1}= R− {1}

cálculo del recorrido

R ec( f ) =

y ∈: ∃ x ∈ d om( f ) : y = 2 x−3 x −1

= { y ∈: ∃ x = 1 : x( y−2) = y−3}

=

y ∈: ∃ x = 1 : x = y−3 y−2

= −{ y ∈: y−2 = 0}

= −{2}

(b) Dados x1, x2 ∈ D om( f ) : f ( x1) = f ( x2) debo probar que x1 = x2 En efecto:

2 x1 −3 x1 −1

= 2 x2 −3 x2 −1

(2 x1 −3)( x2 −1) = (2 x2 −3)( x1 −1)3 x1 −2 x1 = 3 x2 −2 x2

x1 = x2, ∀ x1, x2 ∈ Dom(f)

esto implica que f es inyectiva.

(c) Como Cod ( f ) == −{2} = R ec( f ) entonces f no es sobreyectiva.(d) f no es biyectiva por que f no es sobreyectiva, entonces para que lo sea redefinimos

F : − {1} → −{2}, cuya inversa es F −1( x) = x −3 x −2 , F

−1 : − {2} → −{1}

Ejercicio 2.1.4. Sea f : Dom( f ) ⊆R → R

x → f ( x) = 5 x x

−2

1. Halle el dominio y recorrido de la función.

2. Realice su gráfico de f ( x)

3. Demuestre que f es inyectiva.

4. Determine la preimagen de 52 y la imagen de35 .

5. ¿Es f sobreyectiva?. Justifique su respuesta.

6. ¿Es f biyectiva?.

a) Si su respuesta es afirmativa, definala función inversa indicando dominio ycodominio y la ecuación de definición.

b) Si su respuesta es negativa, restrinjaadecuadamente para que lo sea y defi-na la función inversa indicando su do-minio, codominio y ecuación de defini-ción.

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Resolución:

1. Dom( f )=R

−{ x

∈: x

−2

=0}

= −{2} Rec( f )

={ y

∈R :

∃ x

∈ Dom( f ), y

=

5 x

x−2} , es decir a

partir de y = 5 x x−2 despejamos x

y( x−2) = 5 x =⇒ ( y−5) x = 2 y =⇒ x = 2 y y−5

así Rec( f ) = −{ y ∈: y−5 = 0} = −{5}

2.

3. Tomemos dos elementos cualquiera x1, x2 ∈ Dom( f ) tal que f ( x1) = f ( x2) es decir5 x1

x1 −2 =5 x2

x2 −2 =⇒ 5 x1( x2 −2) = 5 x2( x1 −2) =⇒ x1 = x2

por tanto es inyectiva.

4. f ( x) = 52 = 5 x

x −2 =⇒ x − 2 = 2 x =⇒ x = −2 es la preimagen f

3

5

=

5 · 35

3

5−2

= −157

es la

imagen.

5.

6. No es sobreyectiva por que el codominio es R

= Rec( f )

7. No es biyectiva, por que no es sobreyectiva. Redefinimos la función f por F : − {2} → −{5} para que sea biyectiva, siendo la inversa F −1( x) = 2 x

x −5 , obtenido anteriormente para elrecorrido, donde

f −1 : Dom( F ) = −{5} → Cod( f ) = −{2}

Ejercicio 2.1.5. Sean f : Dom( f ) ⊆R → R

x

→ f ( x)

=

5 x

x −2 g : Dom( f ) ⊆R → R

x → g( x) =

2 x −2 , x ≤ 1

1

x −1 , x > 1

Determine f ◦ g, si existe.

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Resolución:

Dom( f ◦

g) =

{ x∈

Dom( g1)∧

g1( x)∈

Dom( f )}∪

{ x∈

Dom( g2)∧

g2( x)∈

Dom( f )}

= { x ≤ 1∧ x ∈ −{2}}∪ { x > 1∧ 1 x −1 ∈−{2}}

= ]−∞,1]∪

x ∈: x > 1∧ 1

x −1 1∧ 1

x −1 > 2

= ]−∞,1]∪ { x > 32

}∪ {1


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Resolución:

(a) D om( g)

=[0,

+∞[ , y por el ejercicio anterior D om( f )

=R

−{3}.

Ahora hallaremos, si es posible, el D om( f ◦ g) Dom( f ◦ g) = { x ∈ Dom( g)∧ g( x) ∈ Dom( f )}

= { x ∈ [0,+∞[∧ x +5 ∈R− {3}}=

x ∈ [0,+∞[∧

x+5 < 3∨ x+5 > 3

=

x ∈ [0,+∞[∧

x < −2∨ x > −2

= { x ∈ [0,+∞[∧( F ∨ x ≥ 0)}= { x ∈ [0,+∞[∧ x ≥ 0}= { x ∈R : x ≥ 0}

= [0,

+∞[=

esto implica que la función f ◦ g existe Ahora hallaremos, si es posible, el D om( g ◦ f )

Dom( g ◦ f ) = { x ∈ Dom( f )∧ f ( x) ∈ Dom( g)}=

( x ∈R− {3}) ∧ 6 x

x −3 ∈ [0,+∞[

= {( x ∈R− {3})∧ ( x ≤ 0∨ x > 3)}= (R− {3})∩ (]−∞, 0]∪]3,+∞[)= ]−∞, 0]∪]3,+∞[=

esto implica que la función g ◦ f existe.

(b) La ecuación de definición de f ◦ g es ( f ◦ g)( x) = f ( x +5) = 6

x +30 x +2

La ecuación de definición de g ◦ f es ( g ◦ f )( x) = g

6 x

x −3

=

6 x

x −3 +5

Ejercicio 2.1.7. Sea

f :

D om( f

) ⊆ R

→R

la función definida por f

( x

) =

| x

−2|−3. Encuentre elmayor dominio posible de f

Resolución: El dominio de f ( x) está dada por

D om( f ) = { x ∈R : | x −2|−3 ≥ 0} = { x ∈R : | x −2| ≥ 3} = { x ∈R : x −2 ≥ 3∨ x −2 ≤ −3}= { x ∈R : x −2 ≥ 3}∪ { x ∈R : x −2 ≤ −3} = { x ∈R : x ≥ 5}∪ { x ∈R : x ≤ −1}= ]−∞,−1]∪ [5,+∞[

19


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2.2. Aplicaciones

Ejercicio 2.2.1. Una piscina rectangular de 8 metros de ancho por 14 metros de largo está rodea-da de un prado verde de ancho uniforme x. Si A representa el área del prado.

(a) Exprese A en función de x . (b) Calcule el ancho del prado, si el área A es de968m2

Resolución:

14+2x

8+2x

14

8

x x

(a) El área del prado es

A = 2(14+2 x) x +2 x(8)= 28 x +4 x2 +16 x= 44 x +4 x2

(b) Si A = 968 entonces de la ecuacion anterior

968 = 44 x+4 x2 =⇒ x2 +11 x −242 = 0=⇒ ( x +22)( x −11) = 0 =⇒ x = −22∨ x = 11

Se elije x = 11 por que se trata de una longitud. Así concluimos que el ancho del prado esde 11 metros.

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Ejercicio 2.2.2. La siguiente formula, que es válida para los terremotos en el este de EstadosUnidos, relaciona la magnitud R del sismo con el área que lo rodea A (en millas cuadradas), quees afectada por el temblor.

R = 2,3log( A +34000) −7,5 (2.1)

(a) De la ecuación (2.1) obtenga A en términos de R .

(b) Si el área afectada es de 20.000 millas cuadradas, ¿de que magnitud es el temblor?

(c) Si la magnitud es de 8.5, ¿cuántas millas será afectada?

Resolución:

(a) Despejamos de la ecuación ( 2.1 ) A en términos de R.

R = 2,3log( A +34000) −7,5 ⇐⇒ R +7,5 = 2,3log( A +34000)⇐⇒ R +7,5

2,3 = log( A +34000)

⇐⇒ 10 R+7,5

2,3 = A +34000⇐⇒ A = 10

R+7,52,3 −34000 (2.2)

(b) Reemplazamos en la ecuación ( 2.1 ) el valor de A = 20000

R = 2,3log(20000+34000)−7,5= 2,3log(54000)−7,5

≈ 3,384(c) Reemplazamos en la ecuación ( 2.2 ) el valor de R = 8,5

A = 108,5+7,5

2,3 −34000≈ 9013377,242 millas cuadradas

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Capítulo 3

Limites y Continuidad

3.1. Límites

Ejercicio 3.1.1. Utilizando la definición del límite demostrar

lı́m x→4

3 x = 12

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Resolución: Según la definición del límite se tienelı́m

x→43 x = 12

⇐⇒ (∀ ǫ > 0,∃δ(ǫ) > 0) : | x −4| < δ =⇒ |3 x −12| < ǫ(3.1)

Hallaremos un δ que dependa de ǫ a partir de | f ( x)− L| = |3 x −12| En efecto:

|3 x−12| = |3( x −4)| = 3| x −4| < ǫ (3.2)

Por hipótesis | x−4| < δ (está acotado por δ )

A partir de (2) , la idea es explicitar una expresión similar a |

x

−4| 0, ∃δ = ǫ3 >0 : | x−4| < δ =⇒ |3 x−12| < ǫ

Hemos demostrado que lı́m x→4

3 x = 12

4

8

12

16

−42 4−2 δ δ

Ejercicio 3.1.2. Utilizando la definición del límite demostrar

lı́m x→2

( x2 +2 x −1) = 7

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Resolución: Según la definición del límite se tienelı́m

x→2( x2 +2 x −1) = 7

⇐⇒ (∀ ǫ > 0,∃δ(ǫ) > 0) : | x −2| < δ =⇒ |( x2 +2 x −1)−7| < ǫ(3.3)

Hallaremos un δ que dependa de ǫ a partir de | f ( x)− L| = |( x2 +2 x−1)−7| En efecto:

|( x2 +2 x −1)−7| = | x2 +2 x −8| = | x +4|| x −2| (3.4)

Por hipótesis | x−2| < δ (está acotado por δ )

Falta acotar | x+4| , es decir encontrar k > 0 tal que | x+4|


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Resolución:

(a)

lı́m x→ −1

x2 +3−2

x +1 = lı́m x→ −1

x2 +3+2

x +1

x2 +3−2 x2 +3+2

= lı́m x→−1

( x2 +3)−4

( x +1)

x2 +3+2

= lı́m

x→−1 x2 −1

( x +1)(

x2 +3+2)

= lı́m x→−1

( x +1)( x −1)( x +1)(

x2 +3+2)

= lı́m x→−1

( x +11)( x−1)

( x +1)(

x2 +3+2)

=

lı́m x→−1

( x −1)

lı́m x→−1(

x2 +3+2)= −1−1

1+3+2 = −2

4

= −12

(b)

lı́m x

→1

x2 +4 x −5 x2

−1

= lı́m x

→1

( x −1)( x +5)( x

−1)( x

+1)

= lı́m x→1

( x −1)( x +5) ( x −1)( x +1)

=lı́m

x→1( x +5)

lı́m x→1

( x +1)

= 1+51+1

= 3

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Ejercicio 3.1.4. Encuentre el límite siguiente:

lı́m x→1

3

7 x +1−2 x −1

Resolución: Note que

(7 x +1)−8 =

3 7 x+13

−23 =

3 7 x +1−2

3 7 x +12

+2 3

7 x +1+4

⇐⇒

3 7 x +1−2

= (7 x+1)−8

3

7 x +12 +2 3 7 x+1+4 (3.7)

Usando ( 3.7 ) en el límite se tiene

lı́m x→1

3 7 x +1−2 x −1 = lı́m x→1

(7 x +1)−8( x −1)

3

7 x +12 +2 3 7 x +1+4

= lı́m x→1

7 ( x −1) ( x −1)

3

7 x +12 +2 3 7 x +1+4

=lı́m

x→1(7)

lı́m x→1

3

7 x +12

+2 3

7 x +1+4

= 712

Ejercicio 3.1.5. Determinar los siguientes límites

(a) lı́m x→1−

3 x +2 x −1

(b) lı́m

x→−∞

x2 −2 x +3−1

2 x +5

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Resolución:

(a) Sea f ( x) = 3 x +2 y g( x) = x−1 , entonces lı́m

x

→1−

3 x +2 = 5lı́m

x→1− x−1 = 0− =⇒ lı́m x→1− 3 x +2 x −1 = −∞

(b)

lı́m x→−∞

x2 −2 x +3−1

2 x+5 = lı́m x→−∞

x21− 2

x+ 3

x2

−1

x

2+ 5

x

= lı́m x→−∞

| x|

1− 2 x

+ 3 x2

−1

x

2+ 5

x

= lı́m x→−∞

− x

1− 2 x

+ 3 x2

+ 1 x

x2+ 5 x = lı́m

x→−∞

−

1− 2 x

+ 3 x2

+ 1 x

2+ 5 x= −

lı́m

x→−∞

1− 2

x+ 3

x2

+ lı́m

x→−∞1

x

lı́m x→−∞

2+ 5

x

= −1+0

2

= −12

3.2. Continuidad

Ejercicio 3.2.1. Encuentre los valores de a y b para que la función f sea continua en x = −2 y x = 2

f ( x) =

x3 − x2 −4 x +4 x+2 , x < −2

ax2 −2bx +1 , −2 ≤ x ≤ 2

x2 −13 x +22

x−2 , x

>2

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Resolución:

Cálculo de los límites laterales en

−2 y 2

Límite lateral izquierdo en −2

lı́m x→−2−

x3 − x2 −4 x +4 x+2 = lı́m x→−2−

( x +2)( x −2)( x −1) ( x +2)

= lı́m x→−2−

( x −2)( x −1)

= (−2−2)(−2−1)

= 12 (3.8)

Límite lateral derecho en −2lı́m

x→−2+ax2 −2bx +1 = 4a +4b +1 (3.9)

Límite lateral izquierdo en 2

lı́m x→2−

ax2 −2bx +1 = 4a −4b +1 (3.10)

Límite lateral derecho en 2

lı́m x

→2+

x2 −13 x +22 x

−2

= lı́m x

→2+

( x −11) ( x −2) ( x

−2)

= lı́m x→2+

( x −11)

= −9 (3.11)

Como los límites laterales en −2 deben ser iguales, obtenemos la ecuación siguiente aligualar las ecuaciones ( 3.8 ) y ( 3.9 )

4a +4b +1 = 12

Como los límites laterales en 2 deben ser iguales, obtenemos la ecuación siguiente al

igualar las ecuaciones ( 3.10 ) y ( 3.11 )

4a −4b +1 = −9

Ahora resolveremos las dos últimas ecuaciones 4a +4b = 114a −4b = −10

de donde a = 18

, b = 218

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Ejercicio 3.2.2. Determinar los valores de a y b para que f sea continua en R donde

f ( x)=

x2 −2 x + a x −3 , x < 3

x2 −5 , 3 ≤ x < 5 x + b , x ≥ 5

Resolución:

Cálculo de aComo f es continua en x0 = 3 , se cumple

lı́m x→3−

x2 −2 x + a x −3 = 4 = lı́m x→3+( x

2 −5) = f (3)

La división x2 −2 x + a

x −3 debe ser exacta, entoces usando polinimio se tiene:

1 −2 a3 3 3

1 1 3+ a = 0

de donde el valor de a = −3Comprobando de esta forma que

lı́m x→3−

x2 −2 x−3 x −3 =

lı́m x→3−

( x+

1)=

4=

lı́m x→3+

x2

−5

= f (3)

Cálculo de bComo f es continua en x0 = 5 se cumple

lı́m x→5−

x2 −5 = lı́m x→5+

x + b = f (5)

de donde 20 = 5+ b =⇒ b = 15

Así la función f es

f ( x) = x2 −2 x −3

x

−3

, x < 3

x2 −5 , 3 ≤ x < 5 x +15 , x ≥ 5

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Ejercicio 3.2.3.

(a)

Para la gráfica siguiente, determine el tipo dediscontinuidad que se produce (esencial o desalto, removible o evitable). Justifique su re-spuesta.

24

6

−2 2 4−2

• x

y

3

5

1

(b) Encontrar asíntotas, horizontal, vertical y oblícua, si es que existen de la función f ( x) = 3 x2 +1

x −2

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