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Ejercicios Resueltos de NÚMEROS COMPLEJOS

IES nº 1 de Ordes Pila 1

Ejercicios Resueltos de NÚMEROS COMPLEJOS Números Complejos. Formas de expresarlos 1.- Halla las raíces de los siguientes números: 36− 100− 25 25−

Solución:

i613636 ±=−⋅=− i101100100 ±=−⋅=−

525 ±= i512525 ±=−⋅=−

2.- Representa en los ejes coordenados los siguient es números complejos en forma polar: a) Módulo 7, argumento 150º b) Módulo 2, argu mento 30º

c) Módulo 3, argumento 0º d) Módulo 2 , argumento 45º Solución:

3.-Representa en los ejes coordenados los siguiente s números complejos en forma binómica: a) 3+5i b) 4-2i c) 2i d) -1+3i Solución:

4.- Representa en los ejes coordenados los siguient es números complejos en forma trigonométrica:

a) )isen60º6(cos60º+ b) 2

πisen

2

πcos +

c) )isen225º6(cos225º+ d) ( )isenπcosπ5 +

Solución:



5.- Expresa en forma binómica los siguientes número s complejos: 815 −+ 1003 −− 72 −+

Solución:

i951815815 +=−⋅+=−+

i103110031003 −=−⋅−=−−

i7217272 +=−⋅+=−+

6.- Pasa a forma binómica los siguientes números co mplejos:

a) )4

3πisen

4

3π3(cos + b) Módulo: 3 , Argumento: -225º

Solución:

a) i2

23

2

23 +−

b) i2

6

2

6 +−

7.- Pasa a forma polar los siguientes números compl ejos: a) -5i b) )isen60º2(cos60º+ c) -i+3 d) )isen120º2(cos120º+ Solución: a) Módulo 5, argumento 270º b) Módulo 2, argumento 60º c) Módulo 10 , Argumento -18º26'6'' d) Módulo 2, Argumento 120º 8.- Pasa a forma trigonométrica los siguientes núme ros complejos:

a) i)(124 − b) Módulo: 2 , Argumento: 135º c) i2323 −− d) Módulo: 7, Argumento: 120º

e) 3i f) Módulo: 6 , Argumento: 210º g) 2i)3(5− h) Módulo: 5 , Argumento: 330º

i) i232 +− j) Módulo: 3, Argumento: 315º k) 4+6 i l) Módulo:9, Argumento: 4

5π−

Solución:

a) 8(cos315º + isen315º) b) ( )135ºisen135ºcos2 + c) )225ºisen225º6(cos +

d) )º120isenº120(cos7 + e) 3(cos90º + isen90º) f) 6(cos210º + isen210º)

g) ( ))'21º48'5'isen()'21º48'5'cos(293 −+− h) ( )330ºisen330ºcos5 + i) ( ))'71º33'54'isen()'71º33'54'cos(54 −+− j) 3(cos315º+isen315º)

k) ( )'56º18'36'isen'56º18'36'cos132 + l)

−+

−4

π5isen

4

π5cos9

9.- Pasa a forma binómica los siguientes números co mplejos:

a) )isen225º6(cos225º+ b) Módulo:3, Argumento: 2

3π

c) )

2

3πisen

2

3π2(cos + d) Módulo: 3 , Argumento: 45º

e) )isen60º8(cos60º+ f) Módulo: 1, Argumento: 180º g) isen240ºcos240º+ h) Módulo: 1, Argumento: 210º



Solución:

a) i2323 −− b) -3i c) -2i

d) i2

6

2

6 +

e) i344 + f) -1

g) i2

3

2

1 −−

h) i2

3

2

1 +−

10.- Pasa a forma polar los siguientes números comp lejos:

a) 2+i b) )6

πisen

6

π4(cos +

c) 5

d) )isen90º4(cos90º+ e) 2-2i f) 6

7πisen

6

7πcos +

Solución:

a) Módulo 5 , argumento 26º33'54'' b) Módulo 4, argumento 6

π

c) Módulo 5, argumento 0º d) Módulo 4, argumento 90º

e) Módulo 22 , Argumento 315º f) Módulo 1, Argumento 6

π7

Operaciones con números complejos en forma binómica 1.- Calcula las potencias de: a) 125i b) 2344i c) 723i d) 77i Solución:

a) iiii 114x31125 === + c) iiii 334x180723 −=== +

b) 1ii 4x5862344 == d) iiii 114x1977 === +

2.- Calcula: .....i e) i d)i

1c)

i

1 b)

i

1) 54

32−−a

Solución:

i1

i

i)(i

i)(1

i

1) −=−=

−⋅−⋅=a

1

1

1

i

i

i

1)

4

2

2−=−==b

i

i

i

i

1)

43==c

11

1

i

1i)

44 ===−d

i

i

1

i

1

i

1i)

455 −=⋅==−e

3,. Calcula las siguientes sumas: a) (2+5i) + (3+ 4i) b) (1+i) + (1-i) c) ((1+3i) + (1+i) d) 1 + (2-5i)

Solución: a) (2+5i) + (3+4i) = 5 + 9i b) (1+i) + (1-i) = 2

c) (1+3i) + (1+i) = 2 + 4i d) 1 + (2-5i) = 3 - 5i

4.- Escribe los opuestos de los siguientes número c omplejos: a) 3+i b) 1-i c) -3+i d) -2-5i

Solución: a) Op de (3+i) = -3 – i b) Op de (1-i )= -1 + i

c) Op de (-3+i) = 3 – i d) Op de (-2-5i) = 2 + 5i



5.-Determina x para que el producto: (2 - 5i)(3 + x i) sea:

a) Un número real.

b) Un número imaginario puro. Solución: Hagamos el producto (2 - 5i)(3 + x i) = 6 + 5x + (2x - 15)i

a) Para que el producto sea un número real, la parte imaginaria debe ser nula, por tanto: 2

15x015x2 =⇒=−

b) Para que el producto sea un número imaginario puro, la parte real debe ser nula, por tanto:

5

6x0x56 −=⇒=+

6.- Calcula las siguientes diferencias: a) (2+5i) - (3+4i) b) (1+i) - (1-i) c) (1+3i) - (1+i ) d) i - (2-5i)

Solución: a) (2+5i) - (3+4i) = -1 + i b) (1+i) - (1-i) = 2i

c) (1+3i) - (1+i) = 2i d) i - (2-5i) = -2 + 6i

7.-Calcula las siguientes divisiones: a) 4i3

5i2

++

b) i1

i1

−+ c)

i1

3i1

++

d) i

5i2 −

Solución: a) i

257

2526

169i15i8206

i)4i)(34(3i)4i)(35(2

i43i52 +=+

+−+=−+−+=+

+

b) i2i2

11ii11

i)i)(1(1i)i)(1(1

i1i1 ==+

++−=+−++=−

+

c) i22

i2411

i3i31i)i)(1(1i)i)(13(1

i1i31 +=+=+

+−+=−+−+=+

+

d) i251

i25i)i(

i)i)(5(2i

i52 −−=−−=−−−=−

8.- Calcula los siguientes productos: a) (2+5i)(3+4 i) b) (1+i)(-1-i) c) (1+3i)(1+i) d) i(2 -5i)

Solución: a) (2+5i)(3+4i) = 6 + 8i +15i -20 = -14 + 23i b)(1+i)(-1-i) = -1 -i - i + 1 = -2i

c) (1+3i)(1+i) = 1 + i + 3i - 3 = -2 + 4i d) i(2-5i) = 2i + 5 = 5 + 2i

9.-Calcula los inversos de los siguientes complejos : a) 1 + i b) 2 + 3i c) 1 - i d) -2 + i

Solución:

a) i21

21

11i1

i)i)(1(1i1

i11 −=+

−=−+−=+

b) i133

132

94i32

i)3i)(23(2i32

i321 −=+

−=−+−=+

c) i21

21

11i1

i)i)(1(1i1

i11 +=+

+=+−+=−

d) i51

52

14i2

i)2i)(2(i2

i21 −−=+

−−=−−+−−−=+−



10.-Halla el valor del parámetro real en cada uno d e los siguientes casos:

a) Para que (2 + i)(a + i) sea un número real.

b) Para que el módulo del cociente (a + 2i) : (1 - i) sea 2. Solución: a) (2 + i)(a + i) = 2a - 1 + (a + 2)i, el resultado es real si su parte imaginaria es nula, por tanto:a + 2 = 0 � a = -2

b) Como el módulo de un cociente es el cociente de los módulos, se tiene:

2a42a842a42

42a2

21)(21

42a ±=⇒=⇒=+⇒=+⇒=

−+

+

11.-Dados los números complejos 2 - mi y 3 - ni, ha lla los valores que deben tomar m y n para que su producto sea el complejo 8 + 4i. Solución: Efectuamos el producto (2 - mi)(3 - ni) = 6 - mn - (2n + 3m)i = 8 + 4i, por tanto:

−=→=

=→−=⇒=−+⇒

−=+−

−=⇒

−=+=−

3n32m

1n2m04m42m3

4m3m22

m2n

4m3n28mn6

Se tienen dos soluciones: 1ª solución m = -2 y n = 1 2ª solución m = 2/3 y n = -3

12.- Calcula los siguientes productos: a) (2+5i)(2- 5i) b) (1+i)(1-i) c) (1+3i)(1-3i) d) (- 2-5i)(-2+5i)

Solución:

a) 292542i2522i)5i)(25(2 =+=−=−+

b) 2112i21i)i)(1(1 =+=−=−+

c) 10912i2321i)3i)(13(1 =+=−=−+

d) 292542i2522)(i)52i)(52( =+=−−=+−−−

13.-Representa los siguientes números complejos, su s opuestos y sus conjugados:

a) 4i3+ b) i1− c) i3+− d) 5i2−− Solución: Las gráficas de los cuatro complejos, sus opuestos y conjugados, son las de la figura adjunta:

14.- Calcula las siguientes potencias: a) ( )24i3+ b) ( )2i1− c) ( )2i3+− d) ( )25i2−−

Solución:

a) ( ) i42716i2492i16i2492i43 +−=−+=++=+



b) ( ) i21i212ii212i1 −=−−=+−=−

c) ( ) i681i692ii692i3 −=−−=+−=+−

d) ( ) ( )( ) ( ) i202125i2042i25i2042i522i522i52 +−=−+=++=+=+−=−−

15.- Halla x, con la condición de que (x - 2i) 2 sea imaginario puro. Pon un ejemplo para comprobar el resultado. Solución:

( ) 4xi4x4i4xix2ix 2222 −−=+−=−

Para que el resultado sea un número imaginario puro, su parte real debe ser nula, por tanto: 2x04x 2 ±=⇒=−

Los dos únicos ejemplos para comprobar se obtienen dando a x esos dos valores, a saber:

( ) ( ) puro imaginario es que i84i84i4i84i22Z es cuadradosu que tali22Z 22211 −=−−=+−=−=−=

( ) ( ) opur imaginario es que i84i84i4i84i22Z es cuadradosu que tali22Z 22212 =−+=++=−−=−−=

16.- Calcula las siguientes operaciones con complej os:

a) ( )i4

i1 2

++ b)

( )2i1

i2

++ c) ( )3125 ii −+

Solución:

a) ( )i

17

8

17

2

116

i82

i)i)(4(4

i)(4i2

i4

i2

i4

ii21

i4

i1 22

+=+

+=−+

−⋅=+

=+++=

++

b) ( )

i2

1

2

i21

i)i)((2

i)(i)(2

i2

i2

ii21

i2

i1

i222

−=−=−

−⋅+=+=++

+=++

c) ( ) ( ) i221i33i1i3i3i1ii

1iii 233

3

12

3125 +−=++−−=+++=+=

+=+ −

17.-Sea Z1 = a + 5i y Z 2 = b - 3i , sabiendo que el producto de dichos núm eros complejos es 63 - 16i. calcular los valores enteros de a y b Solución: - Cálculo de Z1 y Z2:

−=+−=+

⇒−=+−++⇒−=−+⇒−=⋅16b5a3

6315abi1663b)5a3i(15abi1663i)3i)(b5(ai1663ZZ 21

Operando se ve que la única solución entera del sistema es: a = 12 y b = 4

18.- Resuelve la siguiente ecuación: (a + i)(b - 3 i) = 7 - 11i. Solución: (a + i)(b - 3i) = 7 -11i ⇒ ab + 3 + (b - 3a)i = 7 - 11i

Igualando las partes reales e imaginarias de ambos miembros, se tiene el sistema:

−=→−=

=→=⇒=−−⇒

=+−−=

⇒

−=−=+

12b3

1a

1b4a04a11a3

7311)aa(3

11a3b

11a3b

73ab 2

Se tienen dos soluciones: 1ª solución a = 4 y b = 1 2ª solución a = -1/3 y b = -12



Operaciones con números complejos en forma polar y trigonométrica 1.- Dado el complejo: i322Z +−= Halla: a) Su cuarta potencia. b) Sus raíce s cuartas.

Solución:

Pasamos el complejo Z a forma polar: º1204Zº120ºα Argumento

4ρ Módulo tienei322Z =⇒

==

+−=

por tanto:

a) ( ) i31281282562564Z 120º480º4

120º4 +−====

b)

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

=

=

=

=

==

+

+

+

300º90º210º

210º90º120º

120º90º30º

30º30º4

4120º

4

22

22

22

24

4Z

2.- Dado el complejo 8i38Z −−= halla 45 y Z Z . Solución:

Pasamos el complejo Z a forma polar: 210º16Z210ºα Argumento

16ρ Módulo tienei838Z =⇒

==

−−=

-

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

=

=

=

=

==

+

+

+

+

330º5

72º258º5

258º5

72º186º5

186º5

72º114º5

114º5

72º42º5

42º5

5210º

5

1616

1616

1616

1616

16

16Z

( ) ( ) i33276832768120ºisen120ºcos65536655366553616Z 120º840º4

210º4 +−=+====

3.- Un complejo que tiene de argumento 80º y módulo 12 es el producto de dos complejos; uno de ellos t iene de módulo 3 y argumento 50º, halla en forma binómic a el otro complejo y su quinta potencia. Solución:

- Sea Z el otro complejo, tal que se verifica: 30º50º80º50º

80º50º80º 4Z

3

12

3

12ZZ312 =⇒

==⇒⋅=−

Que expresamos en forma binómica: ( ) i23230ºisen30ºcos44Z 30º +=+==

Quinta potencia de Z: ( ) ( ) i5123512150ºisen150ºcos102410244Z 150º5

30º5 +−=+===

4.-Calcula las siguientes raíces: a) 3 27− b) 6 729i c) ( )4 isen180ºcos180º16 +

Solución:

a)

=−====−

+

+

300º120º180º

180º120º60º

60º

3180º

3

33

333

3

2727



b)

=====

==

++

++

+

315º60º255º255º60º195º

195º60º135º135º60º75º

75º60º15º15º

690º

6

33;33

33;33

33;3

729i729

c) ( )

==

===+

+

+

+

315º90º225º

225º90º135º

135º90º45º

45º

4180º

4

22

22

22

2

16180ºisen180ºcos16

5.- Calcula las potencias de exponente 2, 3 y 4 de los siguientes complejos: a) i1+ b) i3 + c) i31−

Solución:

a) ( ) ( )

−=⋅=⋅=

+−=+==

==

⇒=⇒

==

⇒+

4i2i2ZZZ

i22135ºisen135ºcos2222Z

i22Z

2Z45ºα Argumento

2ρ Móduloi1

224

135º3

90º2

45º

b)

( )( )

( )

+−=+==

=+==

+=+==

⇒=⇒

==

⇒+




2Z30ºα Argumento

2ρ Móduloi3

120º4

90º3

60º2

30º

c)

( )( )

( )

+−=+===

−=+===

−−=+===

⇒=⇒

==

⇒−


8180ºisen180ºcos888Z


2Z300ºα Argumento

2ρ Móduloi31

120º1200º4

180º900º3

240º600º2

300º

6.- Se consideran los complejos: 10i310By i31010A +=−= Calcula: 4

646

B

Ay B ;A .

Solución: Pasamos los complejos A y B a forma polar:

==

+=

==

−=30ºα Argumento

20ρ Módulo tienei10310B ;

300ºα Argumento

20ρ Módulo tienei31010A

- ( ) ( ) 6660º

61800º

6300

6 200ºisen0ºcos20202020A =+====

- ( ) ( ) ( )i3101020i2

3

2

120120ºisen120ºcos202020B 3444

120º4

30º4 +−=

+−=+===

( ) ( )( )

( )( )( )

i3200200400

i3180000

i31010i31010

i310108000

i31010

8000

i31010320

6204B

6A−−=

+−=

−−+−−−

=+−

=+−

=

7.- Halla las siguientes raíces cúbicas, expresando los resultados en forma binómica:

a) 3 27 b) 3 1000− c) 3 i− Solución:



a)

−−==

+−==

=

==

+

+

i2

33

2

333

i2

33

2

333

33

2727

240º120º120º

120º120º0º

0º

30º

3

b) ( )

( )

−=+==

−==+=+=

==−

+

+

i355300ºisen300ºcos101010

101010


10001000

300º120º180º

º180º120º60º

60º

3180º

3

c)

( )

( )

( )

−=+==

−−=+==

=+=

==−

+

+

i2

1

2


i2

1

2


i90ºisen90ºcos1

1i

330º120º210º

210º120º90º

90º

3270º

3

8.- Calcula las siguientes potencias: a) ( )5i1+ b) ( )2i322 + c) ( )20i1+

Solución:

a) ( ) ( ) ( ) i44225ºisen225ºcos2424i145ºα Argumento

2ρ Módulo tienei1 225º

5 −−=+==+⇒

==+

b) ( ) ( ) i388120ºisen120ºcos1616i32260ºα Argumento

4ρ Módulo tienei322 120º

2+−=+==+⇒

==

+

c) ( ) ( ) 1024180ºisen180ºcos102410241024i145ºα Argumento

2ρ Módulo tienei1 180º900º

20 −=+===+⇒

==+

9.- Calcula la siguiente raíz: ii

Solución:

=+

=+

=+==−==

337º30'190º247º30'1

247º30'190º157º30'1

157º30'190º67º30'1

67º30'1

4270º14 i3iii

10.- Calcula las siguientes potencias: a) ( )6i322+− b) 2i

ii 77 −− c) 3

2

3i

2

33

+

Solución:

c) ( ) ( ) ( ) ( ) 40960ºisen0ºcos40960º4096720º40966

i322120ºα Argumento

4ρ Módulo tienei322 =+===+−⇒

=

=+−



d) 12

2

i2

1i

i2i

1i

i2i

1i

i2

ii2

233

77

−=−

=+−=+−

=−

=− −

c) ( ) ( ) i2790ºisen90ºcos27272

i3

2

33

30ºα Argumento

3ρ Módulo tiene

2

i3

2

3390º

3

=+==

+⇒

==

+

11.- Calcula las siguientes raíces: a) 4

i

16 b) ( )3 3i1−

Solución:

a)

==

=====

+

+

+−

337º30'90º247º30'

247º30'90º157º30'

157º30'90º67º30'

67º30'

4270º

490º4

90º

0º4

22

22

22

2

16161

16

i

16

b) Como una de las raíces de: ( ) ( ) ( )315º45º3 3 22i1i1 ==−=− −

las otras dos raíces tendrán el mismo módulo, y solo

se diferencian en los argumentos, que como sabemos están en progresión aritmética, se tiene:

( )( )( ) ( )( ) ( )

=

==−

−

−

75º120º195º

195º120º315º

315º

3 3

22

22

2

i1

12.- Se consideran los complejos: i1By i1A +=+−= Calcula: 20

302030

B

Ay B ;A

Solución: Pasamos los complejos A y B a forma polar:

==+=

==+−=

45ºα Argumento

2ρ Módulo tienei1B ;

135ºα Argumento

2ρ Módulo tienei1A

- ( ) ( ) i32768i290ºisen90ºcos222A 15151590º

30

4050º30 ==+===

- ( ) ( ) 10242180ºisen180ºcos222B 101010180º

20

900º20 −=−=+===

- i32

1024

i32768

B

A20

30

−=−

=

Aplicaciones de los números complejos. Raíces de un a ecuación algebraica 1.- Halla todas las soluciones reales e imaginarias de las siguientes ecuaciones:

a) 05i5z4 =+− b) 043zz2 =+− Solución:



a)

=

=

=

=

==−=⇒=+−

348º45'

44

258º45'

43

168º45'

42

78º45'

41

4315º

44

52z

52z

52z

52z

5)(2i55z0i55z

b)

−=

+==−±=⇒=+−

i2

7

2

3z

i2

7

2

3z

2

1693z04z3z

2

12

2.- Formula, en cada uno de los siguientes casos, l a ecuación de segundo grado cuyas raíces son:

a) i y -i b) 1 + i y 1 - i Solución:

a) La ecuación de segundo grado cuyas raíces son i y -i es: 01x0ix0i)i)(x(x 222 =+⇒=−⇒=+−

b) La ecuación de segundo grado cuyas raíces son 1 + i y 1 - i es:

02x2x011x2x0i1)(x0i)1i)(x1(x 2222 =+−⇒=++−⇒=−−⇒=+−−−

3.- Formula, en cada uno de los siguientes casos, l a ecuación de segundo grado cuyas raíces son:

a) i23y 2i3 −+ b) ( ) ( )315º45º 2y 2 Solución: a) La ecuación de segundo grado cuyas raíces son i23y i23 −+ es:

013x6x049x6x0i43)(x0i)23i)(x23(x 2222 =+−⇒=++−⇒=−−⇒=−−+−

b) La ecuación de segundo grado cuyas raíces son: ( ) ( )( ) ( )

−=+=

+=+=


i145ºisen45ºcos22

315º

45º

es: 02x2x011x2x0i1)(x0i)1i)(x1(x 2222 =+−⇒=++−⇒=−−⇒=+−−−

4.- Comprueba que los números complejos 2 + 3i y 2 - 3i verifican la ecuación: 0134xx2 =+−

Solución: Sean: i32zy i32z 21 −=+=

Calculemos su suma y su producto: 4i32 i32zz 21 =−++=+

1394i94i)3i)(23(2zz 221 =+=−=−+=⋅

Luego, los números complejos z1 y z2 verifican la ecuación propuesta, basta recordar las propiedades de las raíces x1

y x2 de la ecuación de segundo grado

=⋅

−=+=++

a

cxx

a

bxx

:0cbxax

21

212

5.- Escribe una ecuación de segundo grado cuyas raí ces sean los números complejos:

a) 3i2y Z i1Z 21 +=+= b) i-3y Z 2Z 21 == Comprueba, en cada caso los resultados obtenidos.



Solución: a) Calculamos la suma y el producto de las dos raíces:

0i51Zi)4(3 Z:esecuación la i51ZZ

i43ZZ 2

21

21 =+−+−⇒

+−=⋅+=+

Comprobamos la 1ª raíz: 0i51i)71(i)(2i51i)i)(14(3i)(1i51Zi)4(3Z 22 =+−+−−=+−++−+=+−+−

Análogamente se comprueba la 2ª raíz.

b) Calculamos la suma y el producto de las dos raíces:

0i26Zi)(5 Z:esecuación la i26ZZ

i5ZZ 2

21

21 =−+−−⇒

−=⋅−=+

Comprobamos la 1ª raíz: 0i26i2104i26i)2(52i26Zi)(5Z 22 =−++−=−+−−=−+−−

Análogamente se comprueba la 2ª raíz.

6.- Halla todas las soluciones reales e imaginarias de la siguiente ecuación 022zz2 =+− :

Solución:

a)

−=+=

=−±=⇒=+−i1z

i1z

2

842z02z2z

2

12

7.-Halla todas las soluciones reales o complejas de las siguientes ecuaciones:

a) 081x 4 =− b) 08x 3 =+ Solución:

a)

−==−==

===

==⇒=−

i33x

33x

i33x

3x

81x081x

270º4

180º3

90º2

1

44

b)

−==

−==+==

==−=⇒=+

i312x

22x

i312x

88x08x

300º3

180º2

60º1

3180º

33

8.-Halla todas las soluciones reales e imaginarias de las siguientes ecuaciones:

a) 04xx 3 =+ b) 046x4xx 23 =−+− Solución:

a)

−==

⇒−=⇒+

=⇒=⇒=+⇒=+

i2x

i2x4x4x

0x0x

04)x(x0x4x

3

22

123

b) 04x6x4x 23 =−+− aplicando la regla de Ruffini, se tiene:

02)x22)(x(x04x6x4x 223 =+−−⇒=−+− por tanto

−=+=

=⇒

−±=⇒=+−

=⇒=−

i1x

i1x

2x

2

842x02x2x

2x02x

3

2

1

2



9.- Calcula la suma de las cinco raíces quintas de la unidad, y a continuación calcula la suma de las seis raíces sextas de la unidad. ¿Qué se puede decir de la suma de las n raíces enésimas de la unidad? Solución:

- 0ZZZZZ

360º72º288º que ya Z1Z


1Z

1Z

11Z

11 54321

_

2288º5

_

3216º4

144º3

72º2

0º1

50º

5 =++++⇒

=+==

=+==

==

==

==

0ZZZZZZ

36060º300º que ya Z1Z


11Z

1Z

1Z

11Z

11 654321

_

2300º5

_

3240º5

180º4

120º3

60º2

0º1

60º

6 =+++++⇒

=+==

=+==

−====

==

==

Se observa que la suma de las n raíces enésimas de la unidad es cero (para n > 1)

10.- Dada la ecuación: 04Z12Z2 =+− :

a) Halla sus soluciones y expresarlas en forma pola r.

b) Halla las potencias octavas de esas soluciones. Solución:

a)

−=

+=⇒

±=−±=⇒=+−i3Z

i3Z

2

i232

2

161212Z04Z12Z

2

12

Que expresamos en forma polar:

=⇒

=−==+=−=

=⇒

==+=+=

330º22

30º11

2Z330º30ºα Argumento

213ρ Módulo tienei3Z

2Z30ºα Argumento

213ρ Módulo tienei3Z

b) ( )( )

( ) i3128128240ºisen240ºcos256Z2562562Z

2562Z 81

120º2640º8

330º82

240º8

30º81 −−=+=⇒

===

==

11.- Halla todas las soluciones reales o complejas de las siguientes ecuaciones:

a) 034xx 24 =++ b) 084x2xx 23 =−+− Solución:



−=−=

⇒−±−=⇒=++⇒==++

3w

1w

2

12164w03w4wx whaciendo 03x4x 2224

−==

⇒−=⇒−==ix

ix1x1xw

2

12

−=

=⇒−=⇒−==

i3x

i3x3x3xw

4

32

b) 08x4x2x 23 =−+− Aplicando la regla de Ruffini, se tiene: 04)2)(x(x08x4x2x 223 =+−⇒=−+−

por tanto:

−==

⇒−=⇒=+

=⇒=−

i2x

i2x4x04x

2x02x

3

22

1

12.- Expresa en forma polar los módulos y argumento s de las soluciones de la ecuación: iZ

i)3(Z

iZ

iZ

+−=

−+

Solución:

La ecuación es: iZ

i)3(Z

iZ

iZ

+−=

−+

Eliminando los denominadores y operando se tiene:

( ) ( ) 3−−=−+⇒−=+ iZ6Z31iZ2ZiZ3iZ 2222

Agrupando términos y simplificando, resulta una ecuación de segundo grado:

( ) ( )( ) ( )

−=⇒−=

+=⇒+=⇒

±=+−±=⇒=−−90º22

90º112

32Zi32Z

32Zi32Z

2

i32i4

2

416i4Z01iZ4Z

Ejercicios+Resueltos+de+NÚMEROS+COMPLEJOS-alumnos+11-12

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