Luis Emilio Garcia Laj

2012 13048

Transferencia de masa en etapas de equilibrio (IQ-4)

Ing. Williams Álvarez

Ejercicio 4.1 de Operaciones de transferencia de masa de Roberto E. Treybal

Se ha demostrado que la eliminación del aceite de soya que impregna una arcilla porosa por

contacto con un disolvente del aceite, es ocasionada por difusión interna del aceite a través

del

sólido [Boucher, Brier y Osburn, Trans. AIChE, 38,967 (1942)]. La placa de arcilla, 1/16 in de

espesor, 1.80 in de longitud y 1.08 in de grosor (1.588 mm x 45.7 mm x 27.4 mm), con los

lados estrechos sellados, se impregnó con aceite de soya hasta una concentración uniforme de

0.229

kg de aceite/kg de arcilla seca. Se sumergió en una corriente en movimiento de

tetracloroetileno puro a 120°F (49”C), en donde el contenido de aceite en la placa se redujo a

0.048 kg aceite/kg arcilla seca en 1 h. La resistencia a la difusión puede considerarse que

reside completamente en la placa; el contenido final de aceite en la arcilla puede considerarse

como cero cuando se pone en contacto con el solvente puro durante un tiempo infinito.

(a) Calcule la difusividad efectiva.

(b) Un cilindro de la misma arcilla, 0.5 in (12.7 mm) de diámetro, 1 in (25.4 mm) de longitud,

contiene una concentración inicial uniforme de 0.17 kg aceite/kg arcilla. Cuando se sumerge

en una corriente en movimiento de tetracloroetileno puro a 49 “C, ¿a qué concentración

descenderá el contenido en aceite después de 10 h?

(c) Vuelva a calcular (b) para los casos en que únicamente una de las puntas del cilindro esté

sellada y en que ninguna de las puntas esté sellada.

(d) En cuánto tiempo descenderá la concentración hasta 0.01 kg aceite/kg arcilla para el caso

(b) cuando ninguna de las puntas está sellada.

Análisis: en este problema se nos pide aplicar el modelo de Treybal para estado no

estacionario. Para sólidos de figuras geométricas comunes, Newman resumió los resultados

de la segunda ley de Fick tomando en cuenta que no existe reacción química, no existe

resistencia a la difusión de A fuera del sólido y que el fluido se está reemplazando

constantemente. De la misma manera, la figura 4.2 del libro muestra la solución gráfica para

paralelepípedos, esferas y cilindros con distintas características.

Solución

(a) En este inciso se requiere calcular la difusividad efectiva del aceite de soya, debido a

que la temperatura no cambia con el tiempo y tomando en cuenta la porosidad de la

arcilla mencionada. Para fines explicativos, se denominará “A” al aceite de soya y “B” a

la arcilla seca. Se considera entonces la difusión desde una barra rectangular con las

puntas selladas. A continuación, se muestra la placa de arcilla con sus respectivas

dimensiones.

Figura 1. Imagen para inciso (a).

Los datos que se proporcionan en el problema se resumen como sigue:

CA,0: 0.229 kg A/ kg B

CA,Ө: 0.048 kg A/ kg B

CA,∞: 0 kg A/ kg B

: Ө 1h, o 3600 s

Se plantea entonces

E=C A, θ−C A,∞

C A, 0−C A,∞=f ( Dθa2 )=Ea

Y sustituyendo los valores ya conocidos, se obtiene

E=0.048 kg A /kg B−00.229 kg A /kg B−0

=0.210

Entonces, en la figura 4.2 del libro de Treybal se busca dicho valor en la abscisa

correspondiente a una losa, para extraer el valor requerido, como se muestra a continuación

Con lo que se observa que el valor en el eje “x” es aproximadamente 0.538. Con este valor, ya

es posible calcular la difusividad efectiva de la siguiente forma:

Dθa2

=0.538 ,D=0.538×a2

θ

Y debe recordarse que 2a = 1.588 mm según la Figura 1, por lo que a = 0.794 mm que equivale

también a 0.0794 cm.

Entonces, el cálculo de la difusividad efectiva queda de la siguiente manera

D=0.538×(0.0794 cm)2

3600 s=9.42×10−7cm2/s

(b) En este inciso, se trata de un cilindro de una arcilla de las mismas características que

para la placa. De la misma forma, es posible determinar la concentración promedio

luego de cierto tiempo mediante las soluciones gráficas de Newman. Se considera un

cilindro con las puntas selladas. A continuación, se muestra el cilindro con sus

respectivas dimensiones.

Figura 2. Imagen para el inciso (b).

Como se observa, la trayectoria que puede seguir el aceite de soya es radial únicamente, ya

que las puntas del cilindro se encuentran selladas. Los datos proporcionados se resumen

como sigue

CA,0: 0.17 kg A/ kg B

CA,Ө: ¿?

CA,∞: 0 kg A/ kg B

: Ө 10h, o 36,000 s

Entonces, para un cilindro con las puntas selladas, se plantea lo siguiente:

E=C A, θ−C A,∞

C A, 0−C A,∞=f ' '( Dθa2 )=Er

Según la Figura 2, 2a = 12.7 mm, por lo que a = 6.35 mm que también equivale a 0.635 cm. Con

esta información, es posible sustituir valores conocidos en la expresión anterior, quedando

entonces

E=CA ,θ−0

0.17 kg A /kg B−0

Y dado que se trata de la misma arcilla que en el inciso anterior, se sabe que

Dθa2

=(9.42×10−7 cm2/s)(36,000 s)(0.635 cm)2

=0.0841

Entonces, ahora debe buscarse dicho valor en la figura 4.2 del libro de Treybal nuevamente

Con lo que es posible observar que el valor en el eje “y” correspondiente a E r es

aproximadamente 0.44. Con este valor encontrado, ya es posible calcular la concentración de

aceite de soya luego de 10 horas.

0.44=CA ,θ

0.17 kg A /kgB

CA,Ө = 0.0748 kg A/kg B

(c) En este inciso se trata con el mismo cilindro, a diferencia que se requiere calcular la

concentración promedio luego de cierto tiempo para dos casos: cuando únicamente

una de las puntas está sellada y cuando ninguna de las placas está sellada. Se muestra

entonces el cilindro para el primer caso.

Figura 3

Como se muestra en la imagen anterior, el aceite de soya puede difundirse tanto en dirección

radial como en dirección axial, esto eso, el eje del cilindro.

Se plantea entonces la difusión desde un cilindro, como sigue

E=C A, θ−C A,∞

C A, 0−C A,∞=f ( Dθc2 ) f ' ' (Dθa2 )=EcE r

En el caso de Er se pueden tomar los valores calculados en el inciso anterior, por lo que

únicamente queda calcular el valor de Ec, y debe recordarse que la difusión ocurre solamente

en una cara, por lo que debe calcularse como si el espesor fuese el doble del valor real, por lo

que c = 2c. Debe recordarse también que 2c = 25.44 mm por lo que c = 12.72 mm, que equivale

a 1.272 cm.

Dθ4 c2

=(9.42×10−7cm2/ s)(36,000 s )

4 (1.272 cm)2=0.0052

Y se procede a buscar dicho valor nuevamente en la figura 4.2 del libro de Treybal

Con lo que se observa que el valor para Ec del eje “y” es aproximadamente 0.88. En base a

esto, es posible determinar la concentración promedio como sigue

(0.88)(0.44)=CA ,θ−0

0.17 kg A /kg B−0

CA,Ө = 0.0663 kg A/kg B

Ahora se considera el caso en que ninguna de las placas está sellada, mostrado en la siguiente

figura

Figura 4

De igual forma, el aceite de soya puede difundirse en dirección axial y radial, con la única

diferencia que en este caso no hay ninguna placa sellada, por lo que puede plantearse la

segunda ley de Fick sin realizar ninguna modificación, como sigue

E=C A, θ−C A,∞

C A, 0−C A,∞=f ( Dθc2 ) f ' ' (Dθa2 )=EcE r

Al igual que en el inciso anterior, el valor de Er ya fue calculado y corresponde a 0.44, por lo

que únicamente queda determinar el valor de Ec como sigue

Dθc2

=(9.42×10−7 cm2/s)(36,000 s)

(1.272cm)2=0.0210

Por lo que se procede nuevamente a buscar dicho valor en la figura 4.2 del libro de Treybal

Con lo que nuevamente es posible observar que el valor en el eje “y” equivale

aproximadamente a 0.85, y es el valor de Ec. De esta forma, ya es posible calcular la

concentración promedio a través del cilindro sin puntas selladas luego de 10 horas

(0.85)(0.44)=CA ,θ−0

0.17 kg A /kg B−0

CA,Ө = 0.06358 kg A/kg B

(d) Este inciso requiere calcular el tiempo transcurrido para que la concentración

promedio en el mismo cilindro de arcilla disminuya hasta un valor dado. Los datos

proporcionados se resumen a continuación

CA,0: 0.17 kg A/ kg B

CA,Ө: 0.01 kg A/ kg B

CA,∞: 0 kg A/ kg B

: Ө ¿?

Por lo que es posible plantear nuevamente la difusión desde un cilindro

E=C A, θ−C A,∞

C A, 0−C A,∞=f ( Dθc2 ) f ' ' (Dθa2 )=EcE r

Sustituyendo los valores conocidos se obtiene

E=0.01 kg A /kg B−00.17 kg A /kg B−0

=0.05882= f (Dθc2 ) f ' '( Dθa2 )=E cEr

Y de esta forma, es posible plantear los valores de Ec y Er

Dθc2

=(9.42×10−7 cm2/s)θ(1.272 cm)2

=5.822×10−7θ

Dθa2

=(9.42×10−7 cm2/s)θ(0.635 cm)2

=2.34×10−6θ

Sin embargo, para este caso no se cuenta con un tiempo, por lo que es necesario realizar

iteraciones con distintos tiempos hasta que el producto de Ec y Er sea igual a 0.05882. Dicho

proceso se muestra en la siguiente tabla.

Tabla 1. Iteraciones para la determinación del tiempo a cierta concentración promedio.

Ө/s DӨ/a^2 Er DӨ/c^2 Ec Ec*Er ¿Er*Ec = 0.05882?20000 0.047 0.580 0.012 0.85 0.493 FALSO40000 0.093 0.465 0.023 0.83 0.38595 FALSO80000 0.187 0.370 0.047 0.75 0.2775 FALSO120000 0.280 0.135 0.070 0.7 0.0945 FALSO140000 0.327 0.120 0.082 0.685 0.0822 FALSO147000 0.343 0.095 0.086 0.6192 0.05882 VERDADERO

Fuente: Elaboración propia

Con lo que se observa que el tiempo aproximado es de 147,000 segundos, o 40.83 horas

= 40.83 h ≈ 41 hӨ