ASIGNATURA: GEOMETRÍA Y

ESTADÍSTICA

DOCENTE: JUAN

FRANCISCO HURTADO

HERNÁNDEZ

GRADO: 8 A- 8 B

NOMBRE DEL ESTUDIANTE

FECHA DE ENTREGA:

10 de Julio

FORMA DE SUSTENTACIÓN:

Escrita

FECHA

DESUSTENTACIÓN:

17 de Julio

OBSERVACIONES Y SUGERENCIAS

La guía se debe entregar a mano en hojas de examen, muy bien organizada la cual será recibida el día 10 de julio, para su posterior sustentación el día 17 de Julio y se evaluaran las habilidades: COGNITIVA: 50 puntos por medio evaluación escrita. PROCEDIMENTAL: 30 puntos Desarrollo de la guía

Los materiales y recursos necesarios para el desarrollo de la guía son: Los apuntes de tu cuaderno, la información expuesta en el libro de SANTILLANA y otros textos que contemplen el desarrollo de la temática tratada.

Presentar la guía en carpeta blanca, el desarrollo de los ejercicios deben ser realizados en hojas block oficio cuadriculadas.

La los ejercicios de aplicación aquí presentados deben imprimirse para ser presentados.

DESCRIPCIÓN DE LA GUÍA

Esta guía tiene como finalidad aclarar y reforzar aquellos conceptos en donde presentaste dificultades por medio de ejercicios prácticos y consultas extras que te permitirán ampliar tus conocimientos y mejorar tu aprendizaje, anímate a desarrollarla con entusiasmo. DESARROLLO TEÓRICO GEOMETRÍA.

TRIÁNGULOS

Definición: Un triángulo es la región del plano limitada por tres rectas que se cortan dos a dos.

EJÉRCITO NACIONAL

LICEOS DEL EJÉRCITO

LICEO DEL EJÉRCITO PATRIA SECTOR SUR C- SANTA

BÁRBARA

GUÌA DE RECUPERACIÒN SEMESTRAL DE GEOMETRÍA GRADO 8°

Los puntos de intersección de las rectas son los vértices del triángulo. Se nombran con una letra mayúscula. Los segmentos determinados por dos vértices

son los lados, los cuales se nombran con la misma letra del ángulo opuesto, pero en minúscula.

CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS Dependiendo la longitud de sus lados los triángulos se clasifican en:

Equilátero: Es el triángulo que tiene sus tres lados congruentes. Isósceles: Es el triángulo que tiene dos de sus lados congruentes. El lado que tiene diferente longitud se conoce como base y los ángulos adyacentes a ese lado se llaman ángulos de la base. Escaleno: Es el triángulo que tiene sus tres lados de diferente longitud. Según la medida de sus ángulos, los triángulos se clasifican en:

Rectángulo: Es el triángulo que tiene un ángulo recto. Acutángulo: Es el triángulo que tiene sus tres ángulos interiores agudos Obtusángulo: Es el triángulo que tiene un ángulo interior obtuso. Un triángulo que tenga sus tres ángulos congruentes se llama triángulo equiángulo. Un triángulo es equiángulo si y solamente si es equilátero. Recuerda que: En un triángulo rectángulo los lados que forma el ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto al ángulo recto es llamado hipotenusa.

C

A

B

Equilátero

E

D F

Isósceles

G

H I

Escaleno

B

A C

Rectángulo

M

N O

Acutángulo

P

Q RObtusángulo

A C

B

b

ac

A

C B

b

a

c

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud

de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de

las longitudes de los catetos:

222 cba

PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS:

En todo triángulo un lado cualquiera es menor

que la suma de los otros dos y mayor que su

diferencia.

1.1.1 En todo triángulo la suma de las medidas

de los ángulos interiores es igual a 180o.

PROPIEDAD DEL ÁNGULO EXTERIOR DE UN TRIÁNGULO:

Sabemos que un ángulo exterior de un triángulo se forma por un lado del triángulo

y la prolongación del lado adyacente.

En la figura hemos señalado dos de los ángulos

exteriores del ABC

A

CB

b

a

c

a

cb

a+b>ca-b<c

C

A

B

a

cb

m<A+m<B+m<C=180

En todo triángulo la medida de un ángulo exterior

cualquiera es igual a la suma de las amplitudes de

los ángulos interiores no adyacentes.

m<1 = m<4 + m<5

m<2 = m<5 + m<6

m<3 = m<4 + m<6

LINEAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO:

ALTURA: Es una recta perpendicular desde

un vértice del triángulo hasta el lado opuesto

o hasta una prolongación del mismo.

Las alturas de un triángulo se intersecan en

un punto llamado ortocentro.

BISECTRIZ: Es la recta que divide un ángulo

en dos ángulos congruentes.

Las bisectrices de un triángulo se intersecan en

un punto llamado incentro. El incentro es el

centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

MEDIANA: Es un segmento que va desde

un vértice del triángulo hasta el lado opuesto.

Las medianas de un triángulo se intersecan

en un punto llamado baricentro.Una mediana

divide a un triángulo en dos triángulo.

1

2

3

5 6

4

ortocentro

baricentro

incentro

MEDIATRIZ: Es una recta perpendicular a un segmento por su punto medio.

Las mediatrices de un triángulo se intersecan en

un punto llamado circuncentro.

El circuncentro es el centro de la circunferencia

circunscrita al triángulo.

En todo triángulo, el ortocentro, el incentro

y el circuncentro determinan una recta

llamada la recta de Euler.

DESARROLLO TEORICO ESTADÍSTICA

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL La estadística descriptiva en su función básica de reducir datos, propone una serie de indicadores que permiten tener una percepción rápida de lo que ocurre en un fenómeno. La primera gama de indicadores corresponde a las “Medidas de Tendencia Central”. Existen varios procedimientos para expresar matemáticamente las medidas de tendencia central, de los cuales, los más conocidos son: la media aritmética, la moda y la mediana. CAPITULO 4 61 CAPITULO 4: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Medidas de tendencia central: Son indicadores estadísticos que muestran hacia que valor (o valores) se agrupan los datos. Esta primera parte la dedicaremos a analizar tres medidas de tendencia central: • La media aritmética • La moda • La mediana En el suplemento de este capitulo incluiremos otras medidas de tendencia central. 4.1 LA MEDIA ARITMÉTICA Equivale al cálculo del promedio simple de un conjunto de datos. Para diferenciar datos muestrales de datos poblacionales, la media aritmética se representa con un símbolo para cada uno de ellos: si trabajamos con la población, este indicador

circuncentro

circuncentro

incentro

ortocentro

baricentro

será μ; en el caso de que estemos trabajando con una muestra, el símbolo será X. Media aritmética (μ o X): Es el valor resultante que se obtiene al dividir la sumatoria de un conjunto de datos sobre el número total de datos. Solo es aplicable para el tratamiento de datos cuantitativos. Hay que entender que existen dos formas distintas de trabajar con los datos tanto poblacionales como muestrales: sin agruparlos o agrupándolos en tablas de frecuencias. Esta apreciación nos sugiere dos formas de representar la media aritmética. 4.1.1 Media aritmética para datos no agrupados Podemos diferenciar la fórmula del promedio simple para datos poblaciones y muestrales:

�̅� =∑𝑋𝑖

𝑛

4.1.2 Ejemplo: la media aritmética para datos no agrupados El profesor de la materia de estadística desea conocer el promedio de las notas finales de los 10 alumnos de la clase. Las notas de los alumnos son: 3,2 3,1 2,4 4,0 3,5 3,0 3,5 3,8 4,2 4,0 ¿Cuál es el promedio de notas de los alumnos de la clase? SOLUCIÓN Aplicando la fórmula para datos no agrupados tenemos: 10 34,7 10 3,2 -3,1- 2,4- 4,0- 3,5- 3,0-3,5- 3,8- 4,2- 4,0

𝒙 =3,2 + 3,1 + 2,4 + 4,0 + 3,5 + 3,0 + 3,5 + 3,8 + 4,2 + 4,0

10

�̅� =34,7

10

�̅� = 𝟑, 𝟒𝟕 Cabe anotar que en el ejemplo estamos hablando de una población correspondiente a todos los alumnos de la clase (10 alumnos en total). El promedio de las notas es de 3,47. Modifiquemos la primera nota por 0,0 y calculemos nuevamente la media aritmética.

𝒙 =0,0 + 3,1 + 2,4 + 4,0 + 3,5 + 3,0 + 3,5 + 3,8 + 4,2 + 4,0

10

�̅� =31,5

10

�̅� = 𝟑, 𝟏𝟓 En este caso la media pasa de 3,47 a 3,15. Esta variación notoria se debió a que la media aritmética es sensible a los valores extremos cuando tratamos con pocos datos. El 0,0 es una nota atípica comparada con las demás, que están ubicadas entre 3,0 y 4,2.

4.2 LA MEDIANA Mediana (Me): Valor que divide una serie de datos en dos partes iguales. La cantidad de datos que queda por debajo y por arriba de la mediana son iguales. La definición de geométrica se refiere al punto que divide en dos partes a un segmento. Por ejemplo, la mediana del segmento AB es el punto C.

Existen entonces dos segmentos iguales: AC = CB

4.2.1 Ejemplo: mediana para datos no agrupados (cantidad de datos par) Modifiquemos el ejemplo anterior, eliminando el último dato. Encontrar la mediana: 4 1 2 3 4 2 2 1 5 5 SOLUCIÓN

PASO 1: Ordenar los datos.

1 1 2 2 2 3 4 4 5 5

PASO 2: Localizar el valor que divide en dos parte iguales el número de datos.

1 1 2 2 2 3 4 4 5 5 El punto medio se encuentra entre dos valores: 2 y 3, por tanto, el valor de la mediana será 2,5.

Me 2,5

4.2.2 Ejemplo: mediana para datos no agrupados (cantidad de datos impar) Encontrar la mediana para los siguientes datos: 4 1 2 3 4 2 2 1 5 5 3 SOLUCIÓN PASO 1: Ordenar los datos. 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 PASO 2: Localizar el valor que divide en dos parte iguales el número de datos.

1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 La mediana es 3, dejando 5 datos a cada lado. Me = 3

4.3 LA MODA Moda (Mo): indica el valor que más se repite, o la clase que posee mayor frecuencia. En el caso de que dos valores presenten la misma frecuencia, decimos que existe un conjunto de datos bimodal. Para más de dos modas hablaremos de un conjunto de datos multimodal. 4.3.1 Ejemplo: moda para datos no agrupados Los siguientes datos provienen del resultado de entrevistar a 30 personas sobre la marca de gaseosa que más consume a la semana: Marca 1 Marca 2 Marca 1 Marca 1 Marca 1 Marca 3 Marca 1 Marca 3 Marca 1 Marca 2 Marca 1 Marca 1 Marca 2 Marca 1 Marca 3 Marca 3 Marca 2 Marca 1 Marca 1 Marca 1 Marca 1 Marca 3 Marca 1 Marca 2 Marca 3 Marca 1 Marca 3 Marca 3 Marca 2 Marca 3 SOLUCIÓN PASO 1: Determinar las frecuencias de cada valor de la variable. La marca 1 se repite 15 veces La marca 2 se repite 6 veces La marca 3 se repite 9 veces PASO 2: la moda representa el valor que más se repite. En este caso es la marca 1. Mo = Marca 1

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

GEOMETRÍA

1. Construye los triángulos que satisfagan las siguientes características. Si no es posible, indica la razón.

Un triángulo rectángulo isósceles.

Un triángulo rectángulo equilátero.

Un triángulo escaleno rectángulo.

Un triángulo acutángulo rectángulo. 2. Halla las medidas de los ángulos 1 y 2 de las figuras:

a) b)

A

C

B

130 701

2

A

C

B1

2

40 2040

100

3. Halla la medida de los ángulos internos del triángulo ABC, de la figura, si

BC a paralelo DE

4. ¿Puedes construir un triángulo cuyas medidas son 36 cm, 10 cm y 8 cm? 5. Si un ángulo interior de un triángulo mide 30 y el ángulo exterior no

adyacente mide 120 , ¿cuánto miden los ángulos interiores? 6. En cada uno de los dos siguientes triángulos trazar las alturas, las medianas,

las bisectrices y las mediatrices.

7. Observar la siguiente figura. Luego identificar: a. Un triángulo obtusángulo. b. Dos triángulos rectángulos, la hipotenusa y los catetos de cada uno de ellos.

8. El triángulo ΔPQR es isósceles con p y q de la misma medida. Si p = 2 X y

A

C

B D

E

1403X

X

A

q= 4 X – 18, hallar el valor de X para encontrar el valor de p y q.

9. En la figura, la medida del ángulo  1 corresponde a: Realiza el procedimiento.

10. Soluciona el siguiente triangulo hallando los valores desconocidos.

10. Copia triángulo y construye lo que se te pide.

a) La mediana de AC.

b) La bisectriz del ángulo ABC.

c) La mediatriz de BC

d) La altura de AC.

e) La altura de AB.

PREGUNTAS. 11. ¿En qué tipos de triángulos los cuatro puntos notables del triángulo

coinciden? 12. ¿Un triángulo se puede graficar con dos ángulos de 100°? 13. Grafique un triángulo de lados 4cm, 12cm y 17cm ¿Analice que sucede con

el triángulo y justifique? 14. ¿En los triángulos isósceles el ortocentro y el baricentro coinciden? 15. ¿Cómo hayo el centro de la circunferencia circunscrita en un triángulo?

16. Si en la siguiente figura el ángulo 3 mide 125° hallar el valor de los otros 7

ángulos mencionando con argumentos válidos el por que.

Ángulo A

63º 57º

100º

C

A B

1 = mide ________ por que ______________________________

2 = mide ________ por que ______________________________

4 = mide ________ por que ______________________________

5 = mide ________ por que ______________________________

6 = mide ________ por que ______________________________

7 = mide ________ por que ______________________________

8 = mide ________ por que ______________________________

17. Trácese un triángulo ABC con AB=5cm BC=7cm y CA= 8cm. Trácese el

baricentro, incentro, circuncentro, ortocentro y la línea de Euler. (utilice un

triángulo cada vez.

18. Completa los siguientes enunciados:

La línea notable que se construye utilizando la mediatrices se llama_____________________ La construciión que emplea ____________________para determinar el ortocentro se denominan__________________________ de un triángulo. Para construir el incentro de un triángulo es necesario construir las _______________de cada ángulo de un triángulo. Al ubicar el baricentro necesitamos construir las ______________________________de cada lado y unir el punto___________resultante con cada ________________________ La línea de Euler se utiliza trazando el________________________ , ____________________ y __________________________________

ESTADÍSTICA

1 Las edades de los estudiantes de un curso de informática son:

17 17 18 19 18 20

20 17 18 18 19 19

21 20 21 19 18 18

19 21 20 18 17 17

21 20 20 19 20 18

a) Determine los cuartiles de los datos

b) Calcula la media, mediana y moda.

2 El número de faltas de ortografía que cometieron un grupo de estudiantes en un

dictado fue:

0 3 1 2 0 2 1 3 0 4

0 1 1 4 3 5 3 2 4 1

5 0 2 1 0 0 0 0 2 1

2 1 0 0 3 0 5 3 2 1

a) Cuál es la variable y de qué tipo es.

b) Determine P70. Cuántos datos superan el percentil 70?

c) Calcula la mediana y compárala con el P50. ¿Que similitudes encuentra?

4 A un grupo de 30 personas se les ha tomado el número de pulsaciones por

minuto (ritmo cardíaco) obteniéndose los siguientes resultados:

87 85 61 51 64 75 80 70 69 82

80 79 82 74 90 76 72 73 63 65

67 71 88 76 68 73 70 76 71 86

a) Calcula la media.

b) Cuántas personas superan la media?

5. Un experimento consiste en lanzar dos dados: si la suma es par se lanzan de

nuevo, si la suma es impar termina el experimento. De acuerdo al anterior enunciado

determine el número de arreglos posibles de tres números.

6. Un estudiante de primaria debe construir un número de tres cifras usando las

tarjetas marcadas con los números:

¿Cuántos números puede conformar si no se pueden repetir los dígitos?

7. Supongamos que la Universitaria Nueva Colombia ofrece 5 cursos de estadística, 4 cursos de matemáticas y 2 cursos de probabilidad. ¿De cuantas formas se pueden hacer los horarios?

8. Suponga que una clave está formada por 4 caracteres, siendo las dos primeras letras del alfabeto y los dos últimos, dígitos. El número de opciones que se tienen para escoger la clave está dado por 26 formas de escoger cada uno de los 2 primeros caracteres y 10 formas de escoger cada uno de los últimos 2 caracteres. ¿De cuantas formas se puede ingresar la clave?

9. Determinar cuántos números de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos 1,4,3,5,7,8, sin repetir dígito.