UNIVERSIDAD DEL BÍO-BÍO

FACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

Segundo Semestre 2015

AFG

Listado 1: Lógica y Conjuntos

I) Determinar el valor de verdad(si existe) de las siguientes proposiciones y niegue cada unade ellas.1) (p→ q) ∧ r ; si p, q verdadero y r falso2) (p→ q) ∨ (q → p) ; si p es verdadera y q es falsa3) p ∧ [(q ∨ r)→ (p↔ q)] ; si p, r son falsas y q es verdadera4) (p↔ r)→ [(q∨ ∼ r) ∧ (∼ p ∧ r)] ; si p, q son falsas y r es verdadera5) (p→ q)→ r ; si r es verdadero6) (p ∨ q)↔ (∼ p∧ ∼ q) ; si q es verdadera7) (p ∧ q)→ (p ∨ r) ; si p es verdadera y r es falsa8) p ∧ (q → r); si (p→ r) es verdadera9) p ∨ (q → r) ; si (p→ q) es falsa

II) Escriba en lenguaje simbólico matemático las siguientes proposiciones y luegonegar cada una de las proposiciones.1) Todo cuadrado de un un número real es mayor o igual a cero.2) Existe un número entero que es menor a su antecesor.3) Existen enteros cuyo cubo aumentado en una unidad es igual al cubo de su sucesor.4) Existe una pareja de números naturales cuya suma es la unidad.5) Para cada número entero, existe otro entero, cuya adición entre ambos es nula.6) Si x es real entonces existe un natural tal que el producto de ambos es mayor que x.7)Cada entero es mayor que su antecesor si y solo si existe un numero menor que 5.8) Existe un único número real cuya raíz cuadrada es 0.9) No todos los números reales poseen raÃz cuadrada real.10) La ecuación 2x+ 6 = 1 posee una única solución en los reales, pero no posee solución en losenteros.11) La suma de cualquier par de enteros es un entero.12) Existen al menos 2 enteros cuyo cociente no es un entero.

III) Negar las siguientes proposiciones con cuanti�cadores.1)(∀x ∈ R)(∃y ∈ R)(x · y ≤ 0) 2)(∃a ∈ R)(∀b ∈ R)(a+ b = 2)3)(∀p ∈ R)(∃q ∈ R)(|x− 4| < y ∨ x+ |y| ≥ 5) 4)(∀m ∈ R)(∃n ∈ R)(nm ∈ Z↔ mn 6∈ Z)5)(∃n ∈ N)(2n < n ∧ n ≥ 3) 6)(∃!x ∈ R)(x = 2) 7)(∃!a, b ∈ N)(a− b = 0)8)(∀ε > 0)(∃δ > 0)(|x− x0| < δ → |f(x)− L| < ε)9)(∀ε > 0)(∃N ∈ N)(n,m ≥ N → (|xn − xm|) < ε)10)[(∀y ∈ R)(∀x > 0)]→ [(∃n ∈ N)(nx > y)]

IV) Escribir la forma recíproca, contraria y contra-recíproca de los siguiente enunciados.1) Si x es un numero par entonces x2 también lo es.2) Si x ∈ R entonces x ≥ 0.3) Si x+ 1 = 0 entonces x = −1.4) Si x · y = 2 entonces x = 2 ∨ x = 1.5) Si la suma de 2 números es positivo entonces al menos uno de ellos es positivo.

V) Completar con ∈;⊂; = ; según corresponda, pudiendo ser más de una opción o ningunade ellas.1)∅ {∅} 2){a, b} {b, a, b} 3){a, b} {a, b, ∅}4){a, {b}} {a, b} 5){a} {a, {a}} 6){a, b} {a, b, {a, b}}7)∅ {∅, {∅}} 8){∅} {∅, {∅}} 9){∅, {∅}} {∅, {∅}, {{∅}}}10){b, {a, ∅}} {a, b, ∅} 11){a, ∅, b} {a, {∅}, b} 12){{a}, {b}} P ({a, b})

VI) Si U = {x ∈ N/1 ≤ x ≤ 10}, A = {1, 3, 6, 8}, B = {6}, C = {2, 3, 4, 5}, D = {1, 9} ;encontrar:i) Ac, Bc, Cc, Dc

ii) A ∪B,B ∪ C,C ∪D,D ∪ Aiii)A ∩B,B ∩ C,C ∩D,D ∩ Aiv) A ∪ (B ∩ C), (A ∪B) ∩ CV) A−B,B − C,C −D,D − A,A−D

VII) Si U = R, A =]0, 1],B = [1, 5],C = {1},D = [−1, 2[; encontrar:i) Ac, Bc, Cc, Dc

ii) A ∪B,B ∪ C,C ∪D,D ∪ Aiii)A ∩B,B ∩ C,C ∩D,D ∩ Aiv) A ∪ (B ∩ C), (A ∪B) ∩ CV) A−B,B − C,C −D,D − A,A−D

VIII) De un total de 80 alumnos, 52 aprobaron álgebra, 47 aprobaron cálculo y 15 reproba-ron ambas asignaturas.(a) Realizar un diagrama.(b)Determine:i) Cuántos aprobaron sólo álgebra. ii) Cuántos aprobaron sólo cálculo.iii) Cuántos aprobaron ambas asignaturas. iv) Cuántos aprobaron cálculo o álgebra.

IX) En un grupo de 40 personas hay 15 que no estudian ni trabajan, 10 que estudian y 3que estudian y trabajan.Determinar la cantidad de personas que sólo trabajan y cuántas personas sólo estudian.

X) A un puesto de trabajo postulan 50 personas. De los postulantes 32 dominan inglés,17 francésy 10 sólo español. Se desea determinar:i) Cuántas personas manejan inglés y francés.ii) Cuántas personas manejan sólo inglés. iii) Cuántas personas manejan sólo francés.