El Analisis Dinamico de Construcciones Sismo Resistentes-1

EL ANLISIS DINMICO DECONSTRUCCIONES SISMO RESISTENTES

Conceptos bsicos y limitaciones

Agustn B. ReboredoIngeniero Civil

EL ANLISIS DINMIC O DE CONSTRUCCIONES SISMO RESISTENTES 2

PRLOGO 4

INTRODUCCIN 5

El anlisis dinmico de las construcciones 5

Diseo y anlisis 6

CONCEPTOS FUNDAMENTALES SOBRE DINMICA ESTRUCTURAL 7

Objetivo de la dinmica estructural aplicada a construcciones sismo resistentes 7Respuesta estructural 7Valor mximo de la respuesta 7Limitaciones 7

Algunas definiciones 8Grado de libertad 8Modo natural de vibracin 9

Los distintos mtodos para el anlisis dinmico terico 10Vibradores lineales de un grado de libertad 10Vibradores elsticos de varios grados de libertad 10Anlisis dinmico por integracin directa 11Respuesta de un vibrador de un grado de libertad para excitaciones caticas 11

LOS PROGRAMAS 12

Programas para el anlisis dinmico 12Programas unidireccionales 12Programas multidireccionales 12Programas de elementos finitos 12Respuestas por superposicin modal 13Programas de anlisis no lineal 13

Problemas numricos asociados con los programas 13Algunos casos concretos 14La calidad de los programas 15

El modelado de la construccin 16Los vnculos 16Las propiedades de los materiales 16La definicin de la estructura 17La validez del modelo 18

Algunas particularidades de la modelacin 18Definicin de los grados de libertad 18Generacin del modelo 19

EL MTODO DE SUPERPOSICIN MODAL 21

Descripcin del mtodo 21

Resultados posibles 21


Superposicin modal para movimientos armnicos 21Superposicin modal para movimientos caticos 21

Limitaciones tericas a la validez 22Estructuras planas 22Estructuras espaciales 23

Limitaciones prcticas a la validez 23Las estructuras reales 23Comportamiento elastoplstico 23

Ejemplos 24Prtico plano de tres niveles 24Prtico plano de muchos niveles 26

MODELOS ESPACIALES 31

Particularidades de la modelacin espacial 31Limitaciones provenientes de los programas 31Limitaciones de la superposicin modal en modelos espaciales 31Acoplamiento de vibraciones en direcciones distintas 32Un ejemplo de estructura espacial 32

LAS ACCIONES EXTREMAS 35

Particularidades del anlisis estructural para estados ltimos 35

Consideracin de la ductilidad en el mtodo de superposicin modal 35

Validez de los resultados 36

CONCLUSIONES 37

El significado del anlisis de la estructura 37

Aplicacin del mtodo de superposicin modal espectral en estructuras espaciales 37

Estructuras planas 38

Estructuras elastoplsticas 38

Los programas 38

El diseo... siempre el diseo 39

A MODO DE EPLOGO 39

BIBLIOGRAFA 40


PrlogoEl objeto de este trabajo es presentar algunas reflexiones sobre el anlisis dinmico aplicado alas construcciones sismo resistentes para servir de apoyo a los colegas y estudiantes en laaplicacin de esos procedimientos. La parte ms importante del trabajo se dedica al mtodode la superposicin modal espectral, que es el ms difundido actualmente.

El motivo es el uso creciente de ese tipo de anlisis y la creencia muy difundida de que esosmtodos son superiores en cuanto a precisin y a confiabilidad que los mtodos llamadosestticos. Esta creencia conduce a sobrevalorar los resultados del anlisis y a descuidar lospasos previos y posteriores al mismo: diseo conceptual de la estructura, formulacin delmodelo y eleccin del mtodo, interpretacin de resultados.

Esta contribucin se limita a los aspectos conceptuales, es decir a la interpretacin fsica delos distintos aspectos del anlisis y a su vinculacin con el diseo estructural. Para el estudiode los temas especficos de dinmica estructural se remite al lector a los textoscorrespondientes, en particular [2] y [6] de la bibliografa que se suministra al final.

Aunque son de mucho inters prctico y terico para la ingeniera estructural no se entra en elanlisis detallado de la interaccin suelo-estructura, ni del caso de movimientosindependientes de los apoyos, que tambin se pueden encontrar en varios textos y enpublicaciones de trabajos de investigacin. Entendemos que estos temas estn fuera de laprctica corriente por la naturaleza de la mayora de las construcciones habituales.

Mendoza, Julio de 1996.

Agustn Reboredo


Introduccin

El anlisis dinmico de las construccionesEl anlisis de la respuesta de construcciones sometidas a las acciones de impactos engeneral y de sismos en particular requiere una evaluacin de su comportamiento dinmico. Lacuestin es por dems compleja en los casos reales. Por un lado se tiene la realidad de laconstruccin misma, que pocas veces admite la representacin con modelos tericossuficientemente sencillos como para que el anlisis sea posible con los medios disponibles.Por el otro se tiene la complejidad de la excitacin que en el caso de impactos o de sismos esde caractersticas caticas, tanto en lo que se refiere a la evolucin de la accin en el tiempocomo en lo que se refiere a la intensidad mxima que la misma puede tener y que tampocoadmite esquematizaciones tericas sencillas.

El advenimiento de las computadoras de escritorio (las PC cada vez ms poderosas) almundo del trabajo profesional diario sumado al desarrollo de programas con posibilidades demodelacin cada vez ms avanzadas, que llegan al asombro, parecera que permite eliminarlas dificultades antes mencionadas. Sin embargo no es as. Las computadoras y losprogramas slo descargan al usuario de la tarea del trabajo rutinario de clculo, pero dejanintacta la tarea de representar la construccin y las acciones con un modelo terico confiabley la tarea an ms exigente de interpretar los resultados del anlisis que eventualmente puedellevar pocos segundos a la mquina. La masa de resultados suele ser imponente y alprofesional desprevenido puede resultarle muy difcil manejarla adecuadamente. No falta elcaso de aquel que cree de buena fe que debe estar bien porque es el resultado de lacomputadora y del programa...

Los propios autores de los programas comerciales, que son expertos en programacin peromuchas veces no conocen la prctica de la disciplina a la que se aplicarn sus programas,tienen fe ciega en ellos y pocas veces proporcionan a los usuarios la informacin sobre losalcances y limitaciones de los algoritmos en lo que se refiere a la representacin delfenmeno fsico real. En rigor esto no es parte de la especialidad del programador, perotampoco es fcil que el usuario novel lo adquiera por sus propios medios, salvo que tenga unacierta experiencia como programador, lo que no es frecuente. Se crea as un vaco que debeser llenado si los programas y las computadoras van a ser utilizados responsablemente.

En el campo del estudio dinmico hoy es moneda corriente la utilizacin de programas para elanlisis dinmico modal de las estructuras pero no es tan frecuente que se conozcan losalcances y las limitaciones que pueden esperarse de ese tipo de anlisis en primer trmino.Tampoco es frecuente que se conozcan los alcances y las limitaciones de los programasdisponibles en relacin con la validez fsica de los procedimientos propuestos, ms all de quelos mismos transcriban un procedimiento de reglamento. Precisamente en el campo delanlisis ssmico es indispensable una aplicacin razonada, conceptual del reglamento y nosolo el seguimiento de la letra.

Estas ideas se refuerzan an ms cuando se consideran las acciones dinmicas extremas,es decir cuando se est aceptando que la construccin debe alcanzar el estado lmite deesfuerzos sin llegar al colapso, como es el caso habitual del proyecto de construccionessismo resistentes. En esos casos el modelo se complica porque es necesario considerar lainfluencia de toda la construccin, no slo la de los componentes estructurales, porquenormalmente es muy difcil hacer un anlisis no lineal y se representa el funcionamiento ltimode la construccin por referencia a un estado lmite elstico y a una excitacin de origenelstico (el espectro de proyecto).

En algunos casos el anlisis dinmico se emplea - un tanto ingenuamente - porque se creeque sistemticamente se obtendrn valores menores que los resultantes del mtodo esttico.


Esto ya presupone una falla de enfoque en el trabajo profesional. Lo importante no es elresultado que se obtenga para el dimensionado sino la descripcin confiable delfuncionamiento de la construccin para mejorar el diseo.

Diseo y anlisisEs bastante comn que la aplicacin de los procedimientos de anlisis actuales (esttico odinmico) oscurezca con sus dificultades y con la profusin y espectacularidad de lainformacin el objeto del anlisis. El proyectista tiende a sorprenderse por la cantidad deinformacin y por la aparente precisin de los resultados. Por eso es pertinente volver una yotra vez sobre el objeto del anlisis: predecir el comportamiento probable de la construccinsometida a las acciones que puedan ocurrir durante su vida til, con una precisin aceptablepara garantizar la seguridad y la economa.

El anlisis de una estructura es una etapa del proceso de diseo, la etapa de comprobacin.El anlisis (dinmico o de cualquier otro tipo) debera ser utilizado como indicador delfuncionamiento futuro: si es bueno para aceptar el diseo y si es malo para modificarlo.

Antes de iniciar el anlisis estructural se han cumplido las etapas ms importantes de laconcepcin de la estructura: Se definieron los sistemas resistentes y se dimensionaron suscomponentes. Los caminos para cumplir esas etapas son muy variados y dependenprincipalmente de la experiencia y de la capacidad del proyectista. Obviamente los resultadosde etapas intermedias de anlisis deberan ser realimentados para optimizar la estructura.

Lo que ac interesa destacar es que el mtodo de anlisis por si slo no mejora elfuncionamiento de una estructura mal concebida, slo puede, siempre que est bieninterpretado, mostrar los defectos. Es necesario entonces que los mtodos de anlisis seutilicen con prudencia, en especial los ms complejos.

Muchas veces las incongruencias y dificultades resultantes de la aplicacin de un mtodo deanlisis muy elaborado nacen de fallas de diseo, ya que muestran que la estructura tiene uncomportamiento ambiguo o dudoso. Otras veces muestran que ese mtodo de anlisis nosirve para representar confiablemente el funcionamiento de la estructura.

Cuando se aplica el anlisis dinmico ya se ha dimensionado toda la construccin. Quedarnpor definir armaduras y detalles de armado en los componentes de hormign armado y losdetalles constructivos (uniones, principalmente) en las construcciones de acero. Por lo tantoel anlisis debera servir para confirmar o rectificar un diseo en cuya gestacin ya se tomaronla mayora de las decisiones que definen el comportamiento de la construccin.

Puede ser til concluir esta introduccin con unas palabras de autor para mi desconocido 1:Hay dos caminos para estudiar un problema natural: Ellos son el del cientfico puro y el delingeniero. El cientfico puro solamente est interesado en la verdad. Para l hay slo unarespuesta, la verdadera, no importa cuanto tiempo le tome lograrla. Para el ingeniero, por otraparte, hay muchas respuestas posibles, todas las cuales son compromisos entre la verdad yel tiempo, porque el ingeniero debe tener una respuesta ahora; su respuesta debe sersuficiente para un cierto propsito, an cuando no sea verdadera en sentido estricto.Por esa razn el ingeniero debe hacer suposiciones - suposiciones que en algunos casos elsabe que no son estrictamente correctas - pero que le permiten obtener una respuesta que essuficientemente verdadera para su propsito inmediato.

1 Un colega chileno me dio copia de este prrafo (en ingls) que he traducido. No recordaba la fuente pero lo tena en

un cuadro en su oficina. Agradezco a ese estimado colega la gentileza de regalrmela y las conversaciones quetuvimos.


Conceptos fundamentales sobre dinmica estructural

Objetivo de la dinmica estructural aplicada a construcciones sismo resistentesEl objetivo del estudio dinmico de una estructura es, en ltima instancia, predecir elcomportamiento de la misma para establecer el grado de seguridad frente al colapso. Comoqued sealado antes el anlisis siempre es la verificacin de un diseo, que deber sercorregido hasta lograr un comportamiento satisfactorio. La aceptacin de este objetivoprimario es importante porque ubica al proyectista frente al problema y le permite descubrir laslimitaciones de los mtodos empleados.

Respuesta estructural

Se debe elegir un indicador apropiado para definir el comportamiento de la estructura. Elindicador elegido se llama respuesta de la estructura. La respuesta esencial es el estado dedeformacin. Es el estado de deformacin el que determina la supervivencia o no de laconstruccin. Las solicitaciones o las tensiones - que resultan de las deformaciones segnuna ley terica dada - son indicadores tericos que pueden ser ms fciles de manejar parael ingeniero con la formacin habitual pero slo indirectamente representan el estado deseguridad de una construccin.

En la prctica se pueden elegir distintos indicadores como respuesta: pueden ser losdesplazamientos de puntos escogidos, fuerzas de inercia equivalentes, solicitaciones en loscomponentes estructurales, etc. A primera vista la eleccin del indicador debera ser sencilla ysin embargo la experiencia prueba que no es as: de otro modo no se explica queconstrucciones proyectadas conforme a los criterios de anlisis ms actuales se daengravemente o an colapsen en cada terremoto.

Es obvio que la respuesta podra obtenerse en un nivel de detalle tan grande como sedeseara, al menos tericamente. Por ejemplo sera posible obtener el momento flector entodas las secciones de una estructura... que son infinitas. Por consiguiente se impone lanecesidad de restringir el nmero de componentes de la respuesta y esto es una primeracausa de limitaciones.

Valor mximo de la respuesta

En muchos casos es suficiente encontrar el valor mximo de la respuesta para compararlacon un valor de referencia que depende de las caractersticas constructivas de la estructura ypredecir la seguridad. Esto es as cuando la respuesta elegida es nica y definitoria delcomportamiento de la estructura. En estructuras complejas y con materiales heterogneos lacuestin no se define tan directamente.

Limitaciones

Un ejemplo sencillo puede aclarar estos aspectos. Supongamos una pieza de hormignarmado sometida a flexin compuesta. La combinacin del esfuerzo normal de compresinmximo con el momento flector mximo no es necesariamente la ms peligrosa. Seranecesario estudiar al menos cuatro casos para obtener una envolvente de situaciones ydeterminar la seguridad: El momento flector mximo con el esfuerzo normal simultneo, elmomento flector mnimo con el esfuerzo normal simultneo, el esfuerzo normal mnimo (decompresin) con el momento flector simultneo y el esfuerzo normal mximo (de traccin)con el momento flector simultneo. Se debe poner atencin sobre la palabra simultneo entodos los casos. Y si la estructura es espacial la cantidad de combinaciones es mucho mayor.En estos casos es muy dudoso que el valor mximo de una sola magnitud proporcione elindicador buscado.


El indicador que toman los reglamentos para definir los mtodos llamados estticos deevaluacin de la accin ssmica parte de estudiar como respuesta las fuerzas equivalentesaplicadas en las masas que producen el mximo corte en cada piso. Esto es vlido enedificios de pisos pero puede ser muy diferente en otro tipo de estructuras. El asunto no harecibido la atencin que merecera porque la principal preocupacin de los estudiosos hastaahora era proporcionar mtodos sencillos de verificacin para un grupo de construccionesmuy frecuentes y tambin muy peligrosas. Los ltimos terremotos demuestran lavulnerabilidad de todo tipo de construcciones y la peligrosidad de generalizar procedimientossin un anlisis ms detallado de sus limitaciones.

Otro aspecto importante es que los programas disponibles actualmente pueden proporcionarrespuestas de cualquier tipo pero, como se demostr, no necesariamente son tiles paraevaluar el comportamiento de la construccin. Algunas hasta pueden carecer de sentidofsico.

Algunas definicionesDentro del propsito de este trabajo cabe presentar la interpretacin fsica, relativa a lasconstrucciones, de ciertos temas que pueden encontrarse en cualquier texto de dinmicaestructural pero que la experiencia prueba que no son comprendidos cabalmente.

Grado de libertad

El concepto de grado de libertad est vinculado al de un movimiento (desplazamiento o giro)de un punto cualquiera de la construccin. Obviamente en una construccin hay infinitospuntos pero sus movimientos no son independientes porque estn vinculados por loscomponentes de la estructura. En consecuencia se considera grado de libertad a todomovimiento independiente de un punto de la construccin. Esta definicin parece absolutapero al reflexionar un poco se advierte que es contingente ya que depende del propsito parael que se utilizar el grado de libertad.

El siguiente ejemplo permite aclarar la cuestin: Supongamos una estructura espacial debarras tal como un prtico tridimensional de un edificio. Si tratamos de utilizar el concepto degrado de libertad para resolver las solicitaciones de las barras tendramos que considerar 6grados de libertad por cada nudo de la estructura, suponiendo que podemos referir loscorrimientos de los puntos intermedios (en realidad del continuo que forma la barra) a losdesplazamientos de los puntos extremos. Si, en cambio, tratamos de expresar laspropiedades dinmicas de la construccin, aceptamos que la masa se concentra en lospisos, que los entrepisos son diafragmas rgidos y que las nicas componentes dedesplazamiento significativas son los movimientos horizontales tendremos que considerar 3grados de libertad por piso. Es la misma estructura... qu ha cambiado? el modelo analtico,porque intentamos resolver problemas distintos.

Desde el punto de vista del estudio dinmico de la construccin se puede decir que hay quedefinir tantos grados de libertad como sea necesario para representar adecuadamente elintercambio de energa en la construccin. Se podra pensar que se pueden representartodos los sistemas como continuos y estudiar en toda generalidad el problema. Sin embargoun rpido examen del tema pone en evidencia las limitaciones para hacerlo. En primer trminola cantidad de datos y de resultados crece rpidamente y su interpretacin se vuelveimposible. En segundo trmino muchos de los resultados son irrelevantes para el problema encuestin: el movimiento propio o local de un muro fuera de su plano puede ser peligroso parael muro pero tal vez no tenga significacin para el movimiento de la construccin completa.Por ltimo se debe considerar que los mtodos numricos tienen errores propios que crecencon la cantidad de operaciones a realizar, en particular cuando se dan ciertas circunstanciasdesfavorables que sintticamente se pueden expresar en el intento de comparar variables deimportancia muy diferente. Sobre este aspecto volveremos ms adelante.


Por esta razn es prctica corriente discretizar el movimiento de la construccinconcentrando las masas en unos pocos puntos y refiriendo a esos puntos los grados delibertad dinmicos. Es el caso de considerar las masas concentradas en los pisos para lasestructuras de edificios comunes. Conviene advertir, sin embargo, que este procedimientoimplica que esos movimientos representan adecuadamente todo el efecto dinmicosobre la construccin. En muchos casos esa hiptesis puede ser invlida.

En conclusin la definicin de los grados de libertad est relacionada con la definicin delmodelo de anlisis. Ambos dependen de los aspectos que se quieren estudiar e implican unadecisin previa que supone una interpretacin limitada y limitante del fenmeno fsico. Estasson las hiptesis simplificativas del anlisis que antes se expresaban abiertamente pero queel uso de computadoras y de mtodos complejos tiende a disimular. Es necesario que elproyectista explicite claramente sus hiptesis de anlisis para verificar la validez de todos susprocedimientos, contrastando los resultados con las hiptesis iniciales. Este tema es muyextenso y su discusin completa excede nuestros propsitos 2.

Modo natural de vibracin

La dinmica estructural clsica ensea que los vibradores elsticos (lineales) apartados dela posicin de equilibrio por una perturbacin momentnea inician un movimiento vibratorioarmnico, es decir que la deformacin de la estructura en un instante cualquiera se reproduceidnticamente luego de un lapso fijo: el perodo del movimiento. Tambin ensea que esemovimiento se puede considerar resultante de la superposicin de movimientos armnicossimples (senoidales) cada uno con un perodo y una forma caractersticos y que el nmero demovimientos simples es igual al nmero de grados de libertad del sistema. Cada uno de esosmovimientos simples es un modo natural de vibracin y el perodo correspondiente es unperodo natural. Cuando hay amortiguamiento (pequeo) estas consideraciones son vlidascon la salvedad de que el movimiento no se repite idnticamente al cabo de un perodo sinoque la forma es semejante porque la amplitud del movimiento disminuye exponencialmente. Elmodo natural de vibracin de perodo ms largo se llama Modo fundamental o primer modo,por el hecho que es el primero que aparece en la mayora de los mtodos de anlisis y quegeneralmente da una descripcin bastante buena del comportamiento de las construccionescorrientes sometidas a terremotos.

Es necesario llamar la atencin sobre el hecho que estamos refirindonos a sistemaslinealmente elsticos y con amortiguamiento de tipo viscoso (proporcional a la velocidad). Lasconstrucciones no son linealmente elsticas y las causas de disipacin de energa son muyvariadas. Algunas son de carcter viscoso pero las ms importantes son de otro tipo:plastificacin, frotamiento, etc. Se podra concluir que las construcciones reales no tienenperodos propios en sentido estricto 3. Sin embargo cuando el movimiento del suelo excita laconstruccin el estado de esta se puede representar por un vibrador lineal concaractersticas apropiadas y de ese vibrador se podrn obtener los modos naturales paraemplearlos en la representacin del comportamiento de la construccin real.

En sntesis el estudio de los modos de vibracin de un sistema, que se llama Anlisis modal,permite obtener el perodo y la forma de cada modo. Por forma del modo se entiende larelacin de las amplitudes de desplazamiento de los distintos grados de libertad. Tambin sepuede obtener el factor de participacin modal que fsicamente representa la energacontenida en el modo cuando la excitacin es senoidal unitaria, es el valor de escala quemide la importancia del modo en el intercambio total de energa del vibrador complejo.

Conviene destacar que este ltimo concepto suele definirse matemticamente sin intentarexplicar su significado fsico, siendo que es el indicador que nos permite descartar los modos

2 Hay que sealar una carencia importante en la formacin profesional. El modelado recibe poca o ninguna atencin en

los cursos curriculares de estructuras, que estn casi exclusivamente orientados al aprendizaje de mtodos deanlisis en su aspecto algortmico.

3 Ver [2] Analysis of nonlinear systems.


cuya importancia es secundaria para la descripcin del movimiento. Consecuentemente es unindicador muy importante para acotar la validez del modelo analtico.

Los distintos mtodos para el anlisis dinmico tericoLa primera idea a considerar en relacin con la utilizacin de mtodos de anlisis dinmico esel origen y evolucin de los mismos. Ella puede ayudar a comprender sus alcances ylimitaciones.

Por otra parte los mtodos a emplear dependen de lo que se quiera obtener. Por lo tantodependen de la manera de representar el funcionamiento de la construccin y nuevamenteesto nos trae a la necesidad de conceptualizar fsicamente el funcionamiento de laconstruccin durante el terremoto.

Vibradores lineales de un grado de libertad

Los primeros planteos tericos de dinmica - se pueden ver en cualquier texto elemental defsica para ingenieros - se refieren a un vibrador elstico de un grado de libertad. Estevibrador permite aplicar de manera sencilla las ecuaciones de equilibrio o de conservacin dela energa y obtener una solucin cerrada cuyo principal mrito - y esa es la principaljustificacin para seguir ensendolo - es hacer comprender la influencia de las distintasvariables que caracterizan a esa construccin ideal.

Conviene tener presente que el desarrollo de la dinmica aplicada proviene de la ingenieramecnica, en muchos de cuyos problemas este modelo es aceptablemente fiel. En el campode las construcciones civiles el vibrador elstico de un solo grado de libertad es tan irrealcomo el punto matemtico. No obstante puede dar resultados utilizables en el campo de lasconstrucciones reales, como sucede con tantos modelos tericos que se utilizan para explicarel mundo real.

Un modelo de un solo grado de libertad permite obtener el perodo propio y la respuesta parauna excitacin sencilla, en particular una excitacin peridica cualquiera en forma cerrada.

Vibradores elsticos de varios grados de libertad

Un avance obvio es el vibrador elstico con varios grados de libertad que se excitansimultneamente. Podramos calificarlo de vibrador plano, aunque tal vez sera mejorllamarlo unidireccional. En primera instancia la teora de este vibrador se desarroll paraestructuras con acoplamiento dbil entre los distintos grados de libertad. Es el caso deestructuras aporticadas con vigas muy rgidas en relacin con las columnas. Paralelamentese desarrollaron procedimientos de solucin (mtodos de Stodola o de Holzer, por ejemplo)que permiten la convergencia bastante rpida como para que se puedan utilizar manualmente.Estos mtodos son poco eficientes cuando el sistema presenta un acoplamiento fuerte entrelos grados de libertad (como ocurre en la estructuras con tabiques). En ellos es muy frecuenteque la convergencia sea lenta y se vuelve muy difcil la utilizacin manual.

De todos modos los mtodos mencionados y otros realizan el anlisis modal, es decir quepermiten determinar la forma y el perodo de los modos naturales de vibracin del modeloanalizado. La utilidad de este anlisis reside en que por aplicacin del principio desuperposicin - vlido solamente para sistemas elsticos lineales - es posible representarel movimiento de un sistema complejo de varios grados de libertad como resultado de lasuperposicin de los movimientos de varios sistemas de un solo grado de libertad, cada unode los cuales representa uno de los modos naturales del sistema.

Este es el mtodo de superposicin modal.


Anlisis dinmico por integracin directa

Una vertiente distinta del estudio dinmico de vibradores con uno o varios grados de libertades el anlisis dinmico por integracin directa de las ecuaciones del movimiento. Este mtodopermite obtener directamente la respuesta del modelo para cualquier tipo de excitacin, noslo excitaciones armnicas. Pero slo cuando la excitacin es armnica esta respuesta sepuede obtener en forma cerrada. En el caso de excitaciones cualesquiera casi la nicasolucin prctica es el anlisis numrico utilizando computadoras.

El resultado de este tipo de anlisis es la historia del movimiento (time history) del vibradorcuando es excitado por una accin determinada. Cuando las excitaciones son caticas, comoes el caso de un terremoto, no es posible obtener valores tiles en forma directa. Sernecesario considerar los valores extremos de variables (respuestas) significativas para laseguridad de la construccin.

Este tipo de anlisis es bastante ms complejo que el anlisis modal y la interpretacin de susresultados tambin. Hay dos aspectos que son crticos: la eleccin del conjunto deexcitaciones a ensayar y la eleccin de las respuestas 4.

La mayora de los expertos y de los reglamentos se inclinan por recomendar que se estudie larespuesta para un conjunto de sismos cuyos espectros cubran el espectro de proyectoreglamentario. Estos sismos pueden ser generados artificialmente o pueden seracelerogramas de sismos reales modificados para obtener las caractersticas deseadas. Hayincluso programas para generar sismos artificiales.

En cuanto a la respuesta los conocimientos actuales conducen a considerar losdesplazamientos de las masas como valores ms representativos que fuerzas osolicitaciones en las piezas estructurales.

Respuesta de un vibrador de un grado de libertad para excitaciones caticas

La naturaleza extremadamente catica de los movimientos ssmicos hizo imposible lautilizacin directa de los mtodos originalmente desarrollados para obtener la respuesta delvibrador. Se trat de encontrar un mtodo para obtener resultados prcticos para la ingenieraestructural. As naci la idea del espectro, que representa el valor mximo de unacaracterstica cualquiera del movimiento de un vibrador de un grado de libertad durante eldesarrollo completo de una excitacin (un sismo) dada. Es importante destacar que elespectro slo informa sobre el valor mximo de esa caracterstica, no indica en que instantesucede, ni siquiera el sentido que tiene. La obtencin del espectro de una excitacin realcualquiera implica la realizacin de un anlisis por integracin directa de vibradores de un sologrado de libertad para la excitacin que se estudia.

El espectro de respuesta corresponde a un sismo determinado, es histrico. Naturalmente esimposible que el sismo que sacudir a nuestra estructura repita el movimiento de un sismohistrico. Adems los espectros de respuesta suelen presentar picos muy abruptos que pocainfluencia tienen en las estructuras reales y que muchas veces resultan de influencias de losmtodos de medicin o de integracin.

Por lo tanto se hace necesario adoptar un espectro que represente las caractersticas de lossismos previsibles para la zona de la obra. Es lo que se llama espectro de proyecto, quesuele obtenerse estadsticamente a partir de los sismos registrados y de los datos geolgicos.En ellos se suavizan las curvas de respuesta, en general se adoptan leyes sencillas. Cadareglamente tiene un espectro de proyecto, en general uno para cada zona y para cada tipo deterreno.

4 Obviamente este mtodo requiere un gran entrenamiento terico y prctico en dinmica estructural. Slo se debera

aplicar luego de la experiencia del anlisis por procedimientos ms sencillos.


Los programas

Programas para el anlisis dinmicoLa mayora de los programas actuales para anlisis de estructuras incluyen la posibilidad derealizar anlisis dinmicos. Muchos incluyen algn acelerograma (es tpico el de El Centro,cuyo nico mrito es haber sido el primero pero que est lejos de representar un terremotoverdaderamente peligroso) o espectros standard. Pocos tienen una descripcin precisa de lashiptesis y limitaciones que presuponen los mtodos empleados y son an menos los queproporcionan una introduccin que permita aprender a utilizarlos adecuadamente. Todo quedabajo la responsabilidad del usuario, quien debera conocer y comprender todos esos aspectospara usar responsablemente el programa.

En general los programas permiten realizar el anlisis modal y luego la superposicin modalespectral o la superposicin modal por integracin directa, mtodos que luego se definen.En muchos casos los mtodos de superposicin espectral tienen limitaciones muy serias queno estn suficientemente divulgadas.

Programas unidireccionales

Algunos programas se basan en mtodos muy conocidos: Stodola-Viannello, Holzer, porejemplo. El usuario debe conocer los fundamentos y las limitaciones del mtodo. Losprogramas basados en estos mtodos son poco eficientes en estructuras complejas confuerte acoplamiento. La mayora de estos programas se limitan a casos unidireccionales enel que todos los grados de libertad son excitados directamente por un movimientounidireccional. Estos programas pueden ser utilizados para representar el movimiento de unaestructura de pisos siempre que slo sean significativas las traslaciones horizontales y queno haya mucho acoplamiento entre las direcciones de anlisis.

Por ejemplo: no podran utilizarse para describir el movimiento de un sistema en voladizo conuna gran masa en el extremo superior cuyas rotaciones de eje horizontal fueransignificativas para el intercambio de energa 5.

Programas multidireccionales

Se pueden corregir o escribir programas basados en los mtodos mencionados anteriormentepara que tomen en cuenta que los distintos grados de libertad pueden ser excitados o no porel movimiento externo. Este tipo de programas no tienen la limitacin mencionada en elprrafo anterior pero no son frecuentes en el mercado.

Programas de elementos finitos

Casi todos los programas de elementos finitos tienen rutinas de anlisis dinmico. Entre lasventajas indudables de los mismos se tiene la generacin automtica de masas, lo que evitalas muy tediosas preparacin e introduccin de datos. Sin embargo conviene tener presenteque la masa generada se refiere solamente a los elementos estructurales y no toma encuenta el peso propio de otros componentes de la construccin. Esas masas debern serintroducidas por separado, por ejemplo en nudos apropiados de la estructura, para lo cualesos programas generalmente tienen opciones adecuadas, o bien modificando el pesoespecfico del material de ciertos componentes. Por ejemplo se puede representar la cargatotal de una losa con un elemento del espesor real de la losa, con las caractersticas

5 Como es el caso de un tanque de agua con un fuste cilndrico y una cuba con un voladizo grande.


mecnicas del material verdadero y un peso especfico ficticio tal que con el espesorestructural se tenga la carga total. Lo mismo vale para los otros componentes de laconstruccin. El uso a ciegas del programa puede llevar a resultados totalmente irreales, enparticular por lo que concierne a los perodos de los distintos modos.

No todos los programas de elementos finitos incluyen la capacidad de definir los grados delibertad excitados directamente por el movimiento del suelo. Esto puede acarrear dificultades,mostrar perodos anormalmente largos o movimientos parsitos poco representativos de larealidad cuando se trata de obtener valores de respuestas utilizables para el estudio de laestructura.

Respuestas por superposicin modal

Casi todos los programas de anlisis modal incluyen la determinacin de respuestas porsuperposicin modal espectral. Generalmente est incluida la suma geomtrica y a veces seobtienen la suma de valores absolutos y el promedio de ambos valores. En general comorespuesta se puede pedir cualquier valor asociado con el anlisis estructural:desplazamientos de los distintos grados de libertad, fuerzas de inercia asociadas a losdistintos grados de libertad, solicitaciones en las secciones, etc.. La utilidad de esos valoresdepende del modo de utilizarlos y luego ser analizada.

Algunos programas permiten obtener la historia del movimiento (time history) durante unproceso catico representado por un acelerograma dado como dato. Con ellos sera posibleobtener valores simultneos de deformacin y, a partir de estos, las solicitaciones. En generaltal tipo de aplicacin no est implementada y se puede advertir que actualmente sera muydifcil hacerlo por la cantidad de datos numricos que deberan almacenarse para obtenerresultados utilizables en la ingeniera estructural, particularmente para programasuniversales. Casi todos dan los desplazamientos de los distintos grados de libertad enfuncin del tiempo. A partir de ellos sera posible obtener valores de respuestas tiles para laevaluacin de la seguridad.

Programas de anlisis no lineal

La mayora de estos programas estn en el mbito de la investigacin. Muchos sonelaboraciones personales de los propios investigadores. Los programas que pueden utilizarseen computadoras personales son muy limitados. La mayora tienen limitaciones importantesen lo que se refiere al modo de representar las estructuras, lo que lleva a obtener resultadosms cualitativos que cuantitativos 6.

El anlisis no lineal dinmico de estructuras complejas en condiciones comparables a las delos anlisis estticos hoy corrientes (programas para estructuras de barras o programas deelementos finitos tipo SAP, etc.) requiere el uso de computadoras mayores main frame ytiempos de operacin que los dejan por completo fuera del empleo del profesional y la prcticacorrientes por razones de costo. Su uso est reservado por el momento a la investigacin o alanlisis de estructuras muy especiales.

Problemas numricos asociados con los programasEl conjunto programa - computadora no es infalible. Descartados los errores de lgica delprograma y los errores en los datos, ambos errores humanos previos al programa o a lamquina, existen fuentes de error en las propias mquinas y que provienen de su finitud. Mspropiamente provienen de la necesidad de discretizar (digitizar) procesos o variablescontinuas.

6 Ver [5]: Dynamic inelastic time history analysis


Las mquinas tienen una capacidad limitada para representar las cantidades o nmeros. Hayuna cantidad mxima de dgitos significativos que se puede incluir en un nmero. Todos losdgitos restantes que excedan esa cantidad son eliminados: truncados. Por ejemplo si elsistema admitiera 8 dgitos significativos (precisin real en FORTRAN IV) los nmerossiguientes 1.2345678901 y 1.234567812 valen igual: 1.2345678, su diferencia es 0 (y no0.000000011) su suma es 2.34691356, con todas las consecuencias imaginables cuando serepiten sumas, multiplicaciones y divisiones entre ellos.

Tambin hay un valor finito mnimo, por debajo del cual todos los nmeros son cero, y unomximo, por encima del cual todos los nmeros son infinito, lo que para la mquina significacapacidad excedida: overflow7.

Estas cuestiones elementales del clculo numrico aplicadas a la computacin son pococonocidas por la mayora de los usuarios de programas comerciales. En muchos casos seobtienen resultados inconsistentes y el usuario no sabe que sucede. En otros - y es peor - nose da cuenta de la inconsistencia de los resultados.

Algunos programas tienen advertencias cuando los datos presentan posibilidades de errorescomo los mencionados, pero otros simplemente ignoran en forma automtica los valoresanmalos (suprimen grados de libertad, por ejemplo), en muchos casos sin aviso.

En particular los programas de anlisis dinmico tienen o sufren ms esas limitaciones quelos procesos de anlisis esttico porque el nmero de operaciones es muchsimo mayor eneste segundo caso. Los usuarios deben estar alerta.

Algunos casos concretos

Los programas basados en los mtodos de Stodola o de Holzer tienen problemas deconvergencia y de estabilidad cuando las estructuras presentan acoplamiento fuerte entre losdistintos grados de libertad. Ms concretamente cuando hay tabiques o estructuras verticalesque no presentan inflexiones en cada piso.

El mtodo de Stodola va resolviendo uno a uno los distintos modos, y utiliza la ortogonalidadde los modos para reducir en cada paso el orden de la matriz. En general a medida queaumenta el orden del modo es menos confiable el resultado y el proceso demora ms.Cuando los modos de vibracin son muy prximos o cuando el perodo del modo que se estresolviendo es muy corto el programa puede quedarse iterando sin terminar nunca. El mtodode Holzer permite en teora empezar con cualquier modo, aunque los programas normalmenteproceden en secuencia. De todos modos tiene las mismas dificultades de resolucinsealadas para el mtodo de Stodola.

Los datos que se introducen deben proporcionar una cantidad suficiente de dgitossignificativos. Por eso es preferible introducirlos en forma automtica, generados a partir delos datos de la estructura, en lugar de calcularlos fuera del programa e introducirlos a mano.Por lo que se explic antes el proceso de solucin implica operaciones que pueden truncar losnmeros y hacer perder significado a los datos.

Ciertos tipos de estructuras son especialmente crticos, porque tienen uno o ms modos deperodo relativamente largo y los restantes modos tienen perodos mucho ms cortos y susdiferencias comparadas con el primer modo son demasiado pequeas. El anlisis puede darvalores inconsistentes o no dar valores en absoluto para los modos superiores. Sin embargoen algunos casos el problema es de carcter fsico. Los modos superiores son pocosignificativos para la estructura y el modo de introducir los datos los disfraza. Un ejemplopuede aclarar este punto y ayudar a crear mtodos para diagnosticar y resolver el problema:

7 El modelo analtico representa un continuo cuyos valores tericos varan - continuamente - entre - y + . La

construccin fsica tiene funcionamiento continuo entre valores limitados. Para el hombre la idea de infinito escontinua...mente inalcanzable. En tren de filosofar, parece que el dilogo entre los tres universos: hombre,construccin y mquina - modelo se hace difcil.


Supongamos una estructura muy rgida apoyada en una base que puede rotar con rigidezrelativamente pequea. En el primer modo la estructura prcticamente rotar como cuerporgido sobre la fundacin. Ese modo puede tener un perodo bastante largo. En cambio losmodos superiores, que implican inversiones de sentido de los desplazamientos de losdistintos niveles tienen perodos muchsimo ms cortos. Es posible que los resultados paraesos modos sean totalmente inconsistentes. Un anlisis esttico, que permite obtener lasdeformaciones de la estructura, es un buen modo de diagnosticar esta posibilidad. Si seadvierte que la elstica de los corrimientos de los distintos niveles se distingue poco de unarecta (la diferencia entre la recta y la deformada est en el orden de la precisin de lamquina) el problema puede presentarse casi con seguridad. Otro modo de evaluar losresultados es hacer un nuevo anlisis dinmico con vnculos fijos, lo que har aparecer slolos modos provenientes de la deformacin de la estructura. Sin embargo el primer mtodo esmucho ms adecuado para formar juicio y para ahorrar esfuerzo. Por ltimo, qu importanciapuede tener esta situacin? ninguna, salvo que se puede vaticinar que los modos superioresno son significativos para la estructura y que esta se comporta como una nica masaequivalente apoyada en un nico resorte equivalente... fcilmente representable por unsistema de un solo grado de libertad.

De todo esto resulta que el anlisis dinmico normalmente debera estar precedido por unanlisis esttico, que en todos los casos se debe empezar por modelos sencillos (y toscos)para refinarlos luego. Solamente de ese modo se puede tener control sobre la validez de losresultados.

Por ltimo, el ejemplo elegido no es casual: muchas construcciones del Oeste Argentinotienen esas caractersticas.

La calidad de los programas

El avance de la computacin es explosivo. En los veinte aos transcurridos desde que sepuso una computadora sobre el escritorio del profesional las mquinas han alcanzado unacapacidad que antes slo era propia de los main frames. La velocidad de este cambio haimpedido que se descubran y exploten todas las posibilidades de utilizar la mquina comoinstrumento de aprendizaje de las distintas disciplinas. Es inevitable que muchosprofesores tengan poca experiencia en el uso de computadoras y programas en los temasespecficos de sus materias, lo que ir cambiando con el tiempo. Es frecuente que losalumnos tengan ms afinidad con la computadora que sus profesores y esto les da una falsasensacin de superioridad, porque no tienen la experiencia para reconocer las limitaciones deese instrumento. De todos modos es malo negar la posibilidad del uso de programas durantela formacin del profesional.

En una primera poca heroica el profesional deba preparar muchos de los programas siquera utilizar la mquina. Hoy es inevitable que la programacin se profesionalice cada vezms por la creciente complejidad de las mquinas, la necesidad de utilizarlas eficientemente yla especificidad del tema. En consecuencia hay una tendencia irreversible a utilizar programasenlatados, lo que en s mismo no es malo y, en todo caso, parece inevitable.

Es malo utilizar el programa como sustituto del conocimiento conceptual del tema, sinconocer los fundamentos del programa, sus posibilidades y limitaciones. Es malo usar losprogramas sin juicio crtico, sin analizar la validez de los resultados. En esos casos elprofesional se convierte en un perifrico de su computadora.

Por otra parte no todos los programas son iguales en calidad. La diferencia entre un programaque resuelve un determinado algoritmo y uno que ayuda a resolver un problema de ingenieraes enorme y generalmente se refleja en el costo. Los buenos programas para ingeniera sonresultado de equipos grandes donde hay ingenieros expertos en ingeniera que disean elprograma y programadores que los resuelven en detalle. Un programa es tanto ms confiablecuanto ms detalladamente se describan sus posibilidades y, sobre todo, sus limitaciones. Yen esto no se puede caer en la ingenuidad de pensar que los programas estn exentos de los


vicios de otros productos comerciales, en los que la publicidad pretende disfrazar laslimitaciones del producto.

La piratera informtica - muy corriente en esta poca - ha provocado la difusin extraordinariade programas pirateados. Muchos usuarios inexpertos han obtenido esos programas,algunos de dudosa calidad, sin contar con informacin suficiente.

Antes de usar un programa - en cualquier caso pero ms en ste - el usuario debera estudiarlos fundamentos tericos del tema, debera conocer la procedencia del programa y teneracceso a manuales, ejemplos de uso, descripciones del funcionamiento y de los mtodosempleados. Y debera probarlo antes de comprarlo.

El modelado de la construccinNingn programa modela la estructura. Es el proyectista quien lo hace. Debe aprender arepresentar el funcionamiento de la estructura utilizando las herramientas que leproporciona el programa. Este aprendizaje es continuo porque cada estructura presentaproblemas nuevos y necesidades nuevas de representacin 8.

Entre las cuestiones a considerar estn los vnculos externos e internos, la representacin delas propiedades de los materiales estructurales y, aunque parezca paradjico, la definicin dela estructura. Una cuestin insoslayable es valorar la validez del modelo.

Los vnculos

Es comn considerar slo los tipos elementales de vnculos que forman parte de los cursoscurriculares de Estabilidad: apoyos mviles, articulaciones y empotramientos (que restringendesde 1 hasta 6 grados de libertad, segn su caso) perfectos. Pero tales fijaciones noexisten en la vida real. Todos los sistemas de vnculo son ms o menos imperfectos.

La prctica de los pases ms destacados en la ingeniera antissmica (Estados Unidos, Japno Chile, por ejemplo) es apoyar los edificios importantes en grandes plateas o cajones defundacin que garantizan deformaciones relativas muy pequeas entre los distintossistemas verticales al nivel de la fundacin. En esos casos y slo para un anlisis estticoes vlido considerar los sistemas verticales empotrados rgidamente en la fundacin. Estasimplificacin es completamente invlida cuando se hace cualquier tipo de estudio dinmico,an la elemental determinacin del perodo propio 9.

La prctica ms comn en el oeste Argentino es fundar los distintos sistemas en formaindependiente. En estos casos la simplificacin de considerar empotramientos perfectos esinvlida an para un anlisis esttico.

Los mismos razonamientos pueden aplicarse a los otros tipos de vnculos. Entonces lacuestin es tratar de representar con razonable fidelidad las fijaciones internas y,especialmente, externas de la construccin. Esta representacin es crucial para cualquieranlisis, ms an para un anlisis dinmico.

Las propiedades de los materiales

Los programas comerciales de uso ms difundido slo aceptan materiales lineales. Enalgunos casos se pueden incluir rutinas de anlisis con materiales de comportamientodiscontinuo: slo en compresin o slo en traccin, pero lineales. La dificultad es que losmateriales reales no son linealmente elsticos.

8 Ya se seal que normalmente el ingeniero joven ha recibido poca o ninguna informacin sobre este aspecto del

anlisis estructural.9 Ver [9]


Otra cuestin es que todos los materiales muestran una diferencia muy marcada entre elcomportamiento para cargas estticas o cuasi estticas, el comportamiento para accionesvariables con frecuencias bajas y el comportamiento correspondiente a las frecuencias de unsismo. En general se advierte un aumento de la rigidez al aumentar la velocidad dedeformacin.

Se puede linealizar el comportamiento de los materiales adoptando un mdulo de elasticidadque corresponda a la tangente de la ley tensin-deformacin pero el rango de tensiones varapermanentemente durante el sismo. Por lo tanto se aconseja adoptar un mdulo equivalenteque se vincula con un determinado estado de deformacin en la curva de un ensayo esttico.La definicin de este valor suele ser causa de discusiones interminables entre losproyectistas.

Sin embargo cabe una reflexin: la mayora se preocupa mucho por los materiales quecomponen la superestructura, cuando lo que ms incertidumbre aporta es el comportamientodel suelo. Frente a esta incertidumbre el resto pasa a segundo plano.

En realidad no hay soluciones simples para este problema. La nica posibilidad es hacer unestudio de sensibilidad: analizar el modelo con diversos valores para los mdulos, interpretarlos resultados y, eventualmente, tratar de obtener cotas mximas y mnimas para losresultados. En algunos casos se comprueba que la estructura es relativamente insensible alas variaciones de estos parmetros, en otros que la variacin entre colocar un valor finito ydespreciar la influencia por completo es mucho ms significativa que las variaciones debidasa los diferentes valores adoptados. Otras veces se comprueba que la estructura realmente esmuy sensible a las variaciones mencionadas y en ese caso slo se pueden adoptar losvalores extremos y hacer una cuidadosa interpretacin de los resultados.

La definicin de la estructura

Estructura es todo lo que restringe la deformacin, no importa qu carcter le haya asignadoel proyectista en su modelo. Sin embargo se sigue haciendo distincin entre la estructura ylos componentes no estructurales, que muchas veces se designan un tantodespectivamente como secundarios. Generalmente estos elementos aportan una rigidezconsiderable. A veces tambin tienen mucha resistencia. Siempre son muy costosos.

Cuando la construccin se deforma todos los componentes que estn unidos a la estructura -y todos tienen que estar unidos de una u otra manera a ella - restringen de alguna manera lasdeformaciones. Estas restricciones originan dos tipos de efectos: la estructura puede alterardescontroladamente su funcionamiento - que es lo ms grave - o los componentes puedenaveriarse, lo que resulta en costos de reparacin importantes 10.

Es obvio que el modelo de anlisis debe incluir los componentes que puedan restringir ladeformacin de la construccin, sean ellos estructurales o no desde el punto de vistareglamentario. Tambin, en este caso, puede ser necesario analizar la construccin convarias hiptesis (con los componentes en cuestin sanos o rotos) para acotar los resultados yprever el comportamiento efectivo durante el terremoto.

10 Se ha propuesto independizar los componentes no estructurales pero en ese caso las juntas deben estar libres (con

aire) para que los cuerpos o componentes supuestamente independientes puedan moverse. Los rellenos blandosno son tales durante el sismo. Hay que sealar que a la velocidad de deformacin que se origina durante un sismomuy pocas cosas permiten la deformacin de la estructura.La nica solucin para evitar las interferencias de los componentes llamados no estructurales est en el diseo de laestructura principal, no en el mtodo de anlisis. Desde el principio se debe proyectar la estructura para que searelativamente insensible a la presencia de esos componentes. Un diseo inteligente puede aprovechar la presenciade componentes reglamentariamente no estructurales como lineas de defensa escalonadas para que con su fallagasten la energa del terremoto destructivo pero esto exige proyectar la estructura considerando su presencia comoparte de la misma. Dicho de otro modo la estructura debe ser coherente con la construccin.


La validez del modelo

Nos encontramos con la paradoja de tratar de representar el funcionamiento de unaconstruccin cuyo funcionamiento no conocemos con un modelo que supuestamente indicarcomo funciona y cuya validez queremos apreciar. No podemos hacer el ensayo fsico, porrazones obvias. El nico modo es comparar la respuesta del modelo - las deformaciones -con la construccin real y nuestra interpretacin fsica de esa construccin.

Es necesario insistir en el aprendizaje gradual, en la necesidad de empezar interpretando losresultados de modelos sencillos para ajustar las ideas y comprender las hiptesis implcitasen cada modelo analtico 11. Este aprendizaje gradual se refiere tanto a la gestacin de lasolucin de un caso concreto como a la propia vida profesional. En ste ltimo aspecto losprofesionales ms jvenes necesitan aplicarse con paciencia a aprender empezando porejemplos muy sencillos.

Algunas particularidades de la modelacinEs comn aplicar ciertos procedimientos de modelacin de manera automtica, a modo derecetas. Esto puede ocasionar errores importantes porque no hay procedimientos de validezuniversal. Es necesario reflexionar sobre el funcionamiento de la construccin para elegir elmodo ms adecuado de modelarla. Nada reemplaza al buen criterio: el juicio ingenieril.

Definicin de los grados de libertad

Esta definicin implica ya una interpretacin del funcionamiento de la construccin. Se eligenmovimientos que pueden representar adecuadamente todo el intercambio de energa entre laconstruccin y el suelo. La tentacin actual es definir un nmero muy grande de movimientoso grados de libertad, lo que al final conduce a un modelo cuyos resultados son difciles deinterpretar. Esto se agrava porque hay muchos programas de elementos finitos que definenlos mismos grados de libertad para el anlisis esttico que para el anlisis dinmico, sinposibilidades de condensar los grados de libertad menos significativos para el estudiodinmico 12.

La definicin de grados de libertad para el anlisis dinmico est asociada con la definicin delas masas o agrupamientos de masas. An cuando las estructuras pueden ser continuas losprogramas de elementos finitos discretizan las masas suponindolas concentradas en losnudos del sistema.

El sistema discreto de masas debe representar razonablemente el intercambio de energa. Esnecesario comprobarlo y para eso se puede estudiar la deformacin del sistema con fuerzashorizontales estticas proporcionales a los pesos de los distintos componentes (esta es labase del mtodo de Rayleigh para la determinacin del perodo fundamental).

El Cdigo de construcciones sismo resistentes de Mendoza (1987) proporciona un mtodoorientador para definir las concentraciones de masas: Las masas de los componentes cuyas

11 Por eso el CCSR exige que se compruebe la validez de cada procedimiento aproximado estudiando la deformacin

de algn modelo muy simple que pretende representar el fenmeno ms general.12 Por condensacin o condensacin esttica se entiende la reformulacin del sistema de ecuaciones de modo que las

incgnitas sean solamente aquellas que realmente se necesitan al final. Supongamos una barra que pornecesidades de representacin se divide en varios tramos, pero que slo interesaran los corrimientos de los nudosextremos. Se puede expresar el corrimiento de los nudos extremos en funcin de los intermedios y de ese modoutilizar los nudos intermedios para la formulacin del sistema pero eliminarlos como incgnitas del sistema. Un casotpico es el del llamado Mtodo matricial para distribucin espacial de fuerzas horizontales en estructuras deedificios. En este mtodo se parte de los planos estructurales con un nmero grande de grados de libertad (tres pornudo) para llegar, por condensacin, a un sistema de tres corrimientos por piso. Hay muchas tcnicas decondensacin, que pueden estudiarse en los textos modernos de teora de las estructuras.


deformaciones locales son insignificantes comparadas con los corrimientos de sus extremospueden ser agrupadas con las que estn directamente vinculadas a los extremos.13

Muchas veces se puede representar bien el sistema con un nmero relativamente pequeo degrados de libertad y de masas asociadas. Ese es el caso de edificios comunes conentrepisos rgidos en los que se puede suponer todas las masas concentradas en las losaspero este modelo no puede aplicarse siempre. Hay muchas construcciones, particularmenteindustriales, donde las masas se ubican de maneras muy diferentes.

En un sistema bien modelado los movimientos locales de las agrupaciones de masas slotendran importancia para los vnculos relativos y no afectaran sensiblemente la respuesta delconjunto estructural. Estos movimientos locales deberan ser estudiados para evaluar lassolicitaciones sobre los soportes o estructuras propias de los componentes en cuestin. Sonlas llamadas partes de la construccin.

Sin embargo el criterio de definicin de parte debe ser manejado con cuidado. Un hecho realocurrido hace algunos aos permite entender la idea: Se trataba de un edificio industrial detres niveles de losas con cargas relativamente pesadas y un conjunto de silos apoyados sobrela losa de azotea. La masa de los silos era mayor que la masa del resto del edificio. Losproyectistas utilizaron el programa SAP para modelar la estructura suponiendo los silos comoparte de la construccin, en consecuencia su masa se agreg al nivel de la ltima losa.Llegaron a un modelo de varios cientos de grados de libertad. Con ese modelo realizaron elanlisis dinmico por superposicin modal aplicando la norma INPRES - CIRSOC 103. Luegotrataron de aplicar a los silos las disposiciones correspondientes a partes de la construccin,con lo que resultaban solicitaciones imposibles de soportar. Es obvio que en este caso conslo tres grados de libertad por piso y un grado de libertad para cada direccin en elcentro de gravedad de cada silo se describa la estructura de un modo ms eficiente. Es loque se sugiri y los resultados fueron mucho ms sensatos. Todo el episodio proviene de unaaplicacin literal de la norma, sin reflexionar sobre el significado fsico de las disposiciones, delfenmento en s y de los resultados.

Generacin del modelo

Es casi imposible, salvo para las construcciones ms sencillas, llegar a un modelosatisfactorio en el primer intento. Ms todava cuando el proyectista tiene poca experiencia, noslo por sus aos sino por su relacin con el tema que est resolviendo. Es necesarioproceder por etapas y con prudencia. Lo que parece una repeticin de trabajo suele evitarmuchos esfuerzos intiles.

En primer trmino debe imaginarse la construccin funcionando en el espacio. Aunqueparezca una exageracin estudiar una maqueta espacial es un paso indispensable en muchoscasos. Hoy se puede construir una maqueta electrnica (con programas CAD), aunque esmejor si es fsica, que se pueda deformar empujndola con la mano 14.

El estudio de la construccin en el espacio permite formarse una idea de los agrupamientosde masas posibles y de los correspondientes grados de libertad a definir. De todos modosconviene proceder paso a paso, inciando el anlisis con un modelo relativamente tosco y porprocedimientos estticos, antes de hacer un anlisis dinmico.

Los resultados, sobre todo las deformaciones, se deben estudiar con cuidado. Solamente lasdeformaciones pueden dar una idea del ajuste entre el modelo y la realidad. A partir de los

13 CCSR 4.5.214 El producto ms importante de la maqueta es visualizar y ayudar a mejorar el diseo conceptual de la estructura,

luego permitir ayudar con el modelo. En los ltimos aos se est haciendo una experiencia muy interesante en laFacultad de Ingeniera con alumnos del curso de Hormign II. Uno de los trabajos prcticos consiste en el proyecto dela estructura para un edificio real. A medida que el proyecto evoluciona se construye (y evoluciona) una maquetaestructural. Los resultados de aprendizaje son sorprendentes hasta para los mismos alumnos.


resultados se puede mejorar el modelo, sin perder de vista que lo ms importante esdescubrir los problemas de diseo de la estructura para corregirlos.


El mtodo de superposicin modalEn los proyectistas que utilizan tcnicas desuperposicin modal para definir las fuerzas ssmicas deproyecto hay una tendencia a dejarse llevar por laelegancia de las matemticas involucradas y a olvidar lasincertidumbres asociadas con los datos...

T. Paulay - N. Priestley [5]

Por la generalizacin creciente del uso de este mtodo y, particularmente, por la difusin deprogramas que admiten su aplicacin automtica conviene presentar algunos comentarios.En particular se analizan las limitaciones y las posibilidades cuando se aplica al anlisis deestructuras sismo resistentes.

Descripcin del mtodoDesde el punto de vista matemtico el movimiento de un vibrador complejo se puederepresentar por superposicin de los movimientos de los vibradores que representan losdistintos modos naturales de vibracin. Una ventaja importantsima del mtodo es quegeneralmente un nmero relativamente pequeo de modos (normalmente los primeros) tieneinfluencia significativa en la respuesta de la estructura y esto permite simplificar el anlisis.

En consecuencia es necesario evaluar la respuesta para cada modo y luego superponer lainfluencia de los distintos modos. Esto es relativamente fcil cuando las excitaciones sonsencillas, en particular una excitacin peridica, porque la respuesta se puede expresar enforma cerrada.

Se puede aplicar al estudio de la respuesta para excitaciones caticas por integracin directa.En ese caso es ms sencillo integrar N ecuaciones independientes y sumar los resultadosque integrar un sistema de N ecuaciones simultneas 15.

Sin embargo la aplicacin ms comn del mtodo es la obtencin de valores de la respuestaestructural elegida (es decir los valores mximos de las variables que supuestamenterepresentan el comportamiento de la construccin) por superposicin de respuestasespectrales.

Resultados posibles

Superposicin modal para movimientos armnicos

El tema tiene un carcter acadmico para nosotros. Es de inters sealar que se puedenaplicar los mtodos propios de otras disciplinas (la electrnica, por ejemplo) y utilizar mtodoscomo el Anlisis de Fourier para determinar en forma cerrada las distintas respuestaselegidas. Algunas veces se lo utiliza para el anlisis de la transmisin de ondas elsticas en elsuelo.

Superposicin modal para movimientos caticos

Una vez elegida la respuesta ms apropiada para describir el comportamiento de la estructurael resultado se puede obtener de dos modos. Obtener el valor mximo por integracin

15 Ver [2]: Summary of mode superposition procedure


directa, lo que implica definir acelerogramas de excitacin, o bien utilizar el espectro deproyecto y superponer los valores de las respuestas modales.

Este es el mtodo ms comn, el ms sencillo y al que casi sin excepcin los profesionalesse refieren cuando mencionan superposicin modal. Ms apropiado sera llamarlosuperposicin espectral de las respuestas modales.

El espectro de proyecto permite obtener el valor mximo probable de la respuesta elegida paracada uno de los vibradores simples que representan a cada modo. Ese valor mximocorresponde a la mxima excitacin ssmica que se supone puede ocurrir en la zona.

El estudio probabilstico clsico de la respuesta para excitaciones caticas en sistemaselsticos (lineales) de varios grados de libertad conduce a que el valor mximo probable dela respuesta (cualquiera sea) se obtiene por la suma geomtrica de las respuestas modalescuando los modos tienen perodos suficientemente diferentes:

R = SRi2 . Cuando los modos tienen perodos prximos el valor mximo ms probable corresponde a lasuma de valores absolutos.

R = SRi . En ambos casos el valor obtenido es el mximo ms probable, en valor absoluto.

Trabajos ms modernos adoptan la llamada Superposicin Cuadrtica Completa CQC 16,que toma en cuanta la relacin de perodos en forma continua, que tambin da un valorabsoluto mximo probable para la respuesta.

La utilidad de ese valor depende del tipo de estructura, de la respuesta que se pretendeobtener, de la simultaneidad o no de excitacin de los distintos grados de libertad y delcomportamiento del material estructural. Todos estos aspectos deberan ser analizadoscuidadosamente antes de dar crdito a los resultados del anlisis y de emplearlos parajustificar el dimensionamiento de la construccin.

En sistemas de varios grados de libertad se utilizar un programa y en consecuencia seaplican todos los comentarios hechos al tratar ese tema.

Limitaciones tericas a la validezEl mtodo de superposicin modal en cualquiera de sus formas es aplicable solamente aestructuras lineales. Esta primera limitacin es extremadamente importante en el anlisisprctico de estructuras sismo resistentes y aunque es conocida se la tiene poco en cuenta.Hay otras limitaciones importantes relativas a la superposicin modal espectral que sonmenos conocidas.

Estructuras planas

Toda estructura es espacial, pero aqu nos referimos a aquellos casos en que la espacialidadinfluye poco en el comportamiento: la seguridad de los componentes depende desolicitaciones ubicadas en un solo plano. Muchas veces los resultados son inconsistentes sise elige como respuesta una solicitacin que puede cambiar de sentido. En el modelomatemtico el cambio de sentido se representa necesariamente con signos distintos ycomo el mtodo de superposicin espectral elimina la influencia del signo el resultado quedadistorsionado por completo.

16 [5] Summary of mode superposition procedure: R = (Si SjRi.r ij.Rj). Se remite al lector a la referencia indicada

para los detalles del procedimiento. El coeficiente de superposicin r ij es funcin del amortiguamiento y de larelacin de perodos de los modos. Algunos programas modernos tienen incorporado este procedimiento.


Estructuras espaciales

Nos referimos a los casos en que la seguridad de los componentes depende de solicitacionesubicadas en planos diferentes del espacio. por ejemplo las columnas solicitadas en flexin endos planos, con excitaciones provenientes de las acciones ssmicas en ambas direcciones, obien sistemas como cscaras o mallas espaciales. En esos casos el valor ms probableobtenido por aplicacin del mtodo indicado en el apartado anterior puede carecer totalmentede significado. El valor ms probable para cada componente de solicitacin es atemporal yes evidente que las respuestas de vectores ubicados en ejes diferentes no puedencomponerse porque no son simultneas. Por lo tanto el mtodo indicado no tiene validez.

Limitaciones prcticas a la validez

Las estructuras reales

Cuando los materiales o las piezas tienen comportamiento diferente al cambiar el sentido dela solicitacin el mtodo no es aplicable en forma directa. Por ejemplo en vigas de hormignarmado con armaduras asimtricas (nudos de prtico), el momento obtenido porsuperposicin sera siempre positivo y no tomara para nada en cuenta la posible inversin. Lomismo sucede con piezas solicitadas axilmente: columnas o barras de reticulado, donde nopodra tomarse en cuenta el posible efecto de pandeo porque el esfuerzo normal serasiempre positivo (cualquiera fuera el significado de ese signo).

Por ltimo como el mtodo de superposicin no toma para nada en cuenta el tiempo deocurrencia de la respuesta mxima se suscitan dos cuestiones: la consideracin apropiadadel estado ms peligroso y la posibilidad de sobredimensionar indiscriminadamente uncomponente estructural. En cuanto a la primera cuestin en muchos casos la superposicindirecta de mximos (absolutos) no conduce necesariamente a la situacin ms peligrosa parael componente o sistema: en una columna de hormign armado en flexin compuesta puedeser ms peligroso el esfuerzo normal de menor compresin con el momento simultneo queun estado de mxima compresin y mxima flexin. En cuanto a la segunda es posible que lapieza quede sobredimensionada al superponer mximos absolutos no simultneos, con lo quela absorcin de energa se concentrar en menos piezas y la ductilidad requerida a stasltimas crecer. Inevitablemente la verificacin debe hacerse para estados de solicitacionessimultneas.

Comportamiento elastoplstico

El mtodo de superposicin modal es inaplicable en esos casos porque no es aplicable elprincipio de superposicin. La aplicacin de valores espectrales reducidos por ductilidadpuede conducir a resultados totalmente inciertos.

El desarrollo de la ductilidad de una estructura resulta de la plastificacin de distintas zonascrticas en las que se alcanza la capacidad sin que se produzca la destruccin de la pieza.Esto posibilita la redistribucin de esfuerzos entre otros componentes menos solicitados,cambia las caractersticas dinmicas de la construccin y disipa energa del terremoto. Todosesos resultados son beneficiosos y aprovechar esas caractersticas es la esencia de loscriterios actuales de proyecto sismo resistente.

Lo que debe tenerse presente es que el comportamiento elastoplstico depende de lasecuencia de plastificacin. En consecuencia la aplicacin indiscriminada de un espectroreducido por ductilidad, con un valor de reduccin establecido a priori, es completamenteinconsistente. Los resultados pueden ser extremadamente peligrosos porque las zonas


crticas y los modos de falla pueden ser muy distintos que los implicados en la asignacin deductilidad 17.

EjemplosAlgunos ejemplos ayudarn a comprender el significado de las limitaciones mencionadas. Enestos ejemplos numricos se omitieron los desarrollos en detalle y, salvo en uno, la reduccinpor ductilidad. Todo ello en mrito a la brevedad y porque lo que se pretende mostrar son laslimitaciones tericas y prcticas del mtodo de superposicin modal espectral as como susconsecuencias para el anlisis estructural y no la aplicacin detallada del mtodo de anlisisdinmico.

Prtico plano de tres niveles

En este ejemplo se analizar la influencia de la falta de signo de los valores resultantes de lasuperposicin modal espectral y se mostrar un mtodo posible para tomar en cuenta elsigno.

Los datos de la estructura estn en la figura 1. La estructura es ficticia pero corresponde a uncaso posible. La Figura 2 es el diagrama de momentos flectores por cargas verticales.

Se obtienen los tres modos de vibracin con un programa que emplea el mtodo de StodolaViannello. Luego se aplica el espectro de proyecto elstico del CCSR y se obtienen lassolicitaciones por accin ssmica en las secciones crticas de vigas y de columnas. Elprograma permite obtener directamente las solicitaciones para cada modo y la superposicingeomtrica para el valor mximo ms probable.

Figura 1 Figura 2

La Figura 3 es el diagrama de momentos mximos probables por sismo obtenidos porsuperposicin modal espectral. Como ya se ha explicado los valores son todos positivos.Una consecuencia directa de la prdida de los signos es que no se satisfacen las condicionesde equilibrio en los nudos. La Figura 4 es el diagrama de momentos flectores resultante desumar las solicitaciones por acciones ssmicas con las solicitaciones por cargas verticales.Este diagrama es directamente la envolvente para la verificacin porque no hay alternanciade sentidos en el diagrama de momentos por sismo. Es evidente que este diagrama noproporciona datos tiles para verificar la seguridad de la estructura. Los momentos en

17 Es habitual que la influencia de la ductilidad se asigne como un valor de reglamento, sin pensar en el modo y la

distribucin de la absorcin de energa en el total de la construccin.


columnas producen traccin de un solo lado y en las vigas, salvo las del ltimo piso, noaparecen tracciones en el borde superior. Este resultado es totalmente contrario a lainterpretacin fsica de la deformacin de la estructura y no es vlido en absoluto.

Figura 3 Figura 4

Debemos intentar algn mtodo que permita conservar los signos de las solicitaciones. Lafigura 5 es el diagrama de momentos obtenidos por superposicin modal espectral corregidocon el signo de los momentos del primer modo. La figura 6 es el diagrama resultante desumar los momentos por sismo con los momentos por cargas verticales.

Figura 5 Figura 6


Finalmente la figura 7 es el diagramaenvolvente obtenido al considerar ambossentidos de sismo. En este caso los resultadosson coherentes con la interpretacin de lasdeformaciones de la estructura.

Son evidentes las diferencias entre uno y otrodiagrama, as como es fcil entender lasconsecuencias de utilizar uno u otro paraverificar la seguridad de la construccin.Alguien podra sugerir que se empleen losresultados de la superposicin modal espectralcon signos alternativos, pero este mtodo noproporciona resultados aceptables porque,entre otras razones, no se respeta el equilibrioen los nudos, es evidente que las solicitacionesen las zonas de nudos son inconsistentes yadems se sobredimensionaranindiscriminadamente algunas partes de la estructura.

El lector podra descubrir esas cuestiones si realizara las superposiciones y las operacionescorrespondientes. Nosotros preferimos seguir comentando las consecuencias del usoautomtico de programas.

Los programas disponibles no asignan signo a los resultados de superposicin. Por otra parteslo cuando el primer modo es dominante es vlido el mtodo que se emple para obtener lafigura 5. Parece entonces que es necesario hacer un anlisis de las solicitaciones obtenidaspara cada modo para definir el signo.

Esta es una estructura extremadamente simple y el programa utilizado proporciona losvalores de respuesta para cada modo con su signo, adems de la superposicin. Sinembargo cmo analizar los valores individuales en una estructura con muchos grados delibertad?... ms an: qu sucede cuando los resultados son utilizados directamente para laverificacin por programas enganchados?

Prtico plano de muchos niveles

En el primer ejemplo la influencia de la variacin del esfuerzo normal en las columnas porsismo es poco significativa. En este ejemplo se analizar la influencia de considerarsimultneamente el mximo de compresin con el mximo de flexin en una columna y semostrar un mtodo para tomar en cuenta los valores simultneos. Se trata de un edificio de10 pisos cuya estructura sismo resistente principal est formada por dos tabiques en unadireccin y dos prticos en la otra Figura 8.

Figura 7


Figura 8

La configuracin de este edificio admite el anlisis independiente para cada direccin. Seanaliza en la direccin de los prticos utilizando el mismo programa del ejemplo anterior. Seobtienen los seis primeros modos y, por superposicin modal espectral se obtienen lassolicitaciones en las secciones crticas de las columnas del primer nivel (C1) y del segundonivel (C2). Tambin se obtiene el corte global por nivel. Para considerar la reduccin desolicitaciones por comportamiento no lineal se calcula el factor de reduccin por ductilidadpara cada modo y el de la estructura segn especifica el CCSR. Se supone un mecanismo decolapso por flexin de las piezas (ge = 1). Ver la Tabla 1.

Tabla 1

MODO T i(seg) fpi Sai Ri

1 1,258 1,305 0,457 2,500

2 0,401 0,459 0,750 2,500

3 0,220 0,251 0,630 2,101

4 0,145 0,175 0,518 1,726

5 0,108 0,141 0,463 1,542

6 0,080 0,111 0,420 1,401

Factor de reduccin global: R = 2,317

En la tabla 2 se muestran los momentos flectores y los esfuerzos normales para lassecciones de pie y cabeza de las columnas del primero y segundo nivel obtenidas porsuperposicin modal espectral. Son solicitaciones ltimas elsticas

Tabla 2

COLUMNA

DNs (t) DMsp (tm) DMsc (tm)

C1 446,07 231,11 203,52C2 367,96 210,88 215,18


En la tabla 3 se muestran las solicitaciones por cargas verticales y las solicitaciones poraccin ssmica, reducidas por ductilidad. Notar que slo se reducen las solicitaciones poraccin ssmica, no las solicitaciones combinadas.

Tabla 3

COLUMNA SECCIN Nq (t) DNs (t) Mq(tm) DMS (tm)C1 Pie -240,00 192,52 1,23 -99,75

Cab. -240,00 192,52 -18,73 87,83C2 Pie -216,00 158,81 25,73 -91,01

Cab. -216,00 158,81 -22,47 92,87

El proyectista desprevenido se encuentra con dos valores extremos de esfuerzo normal y dosvalores extremos de momento flector para cada seccin. Cules considerar? Supongamosuna columna de 75x75 cm, H17 y ADN420, con armadura simtrica concentrada en losbordes. La tabla 4 muestra todas las combinaciones posibles y las armadurascorrespondientes.

Tabla 4

NIVEL SEC. COMBINACIN N (t) Mx (tm) A (cm2)C1 Pie 1) N + DNs+ M + DMs -47,49 -98,52 * 59,14

2) N + DNs+ M - DMs -47,49 100,98 ++ 60,903) N - DNs+ M + DMs -432,51 -98,52 30,884) N - DNs+ M - DMs -432,51 100,98 32,86

Cab. 1) N + DNs+ M + DMs -47,49 69,10 * 38,022) N + DNs+ M - DMs -47,49 -106,56 ++ 64,903) N - DNs+ M + DMs -432,51 69,10 6,524) N - DNs+ M - DMs -432,51 -106,56 37,29

C2 Pie 1) N + DNs+ M + DMs -57,19 -65,28 33,102) N + DNs+ M - DMs -57,19 116,74 ++ 70,003) N - DNs+ M + DMs -374,81 -65,28 0,214) N - DNs+ M - DMs -374,81 116,74 * 38,90

Cab. 1) N + DNs+ M + DMs -57,19 70,40 36,782) N + DNs+ M - DMs -57,19 -115,34 ++ 69,003) N - DNs+ M + DMs -374,81 70,40 4,224) N - DNs+ M - DMs -374,81 -115,34 * 37,87

Si se examinan los diagramas de momentos por cargas verticales y por sismo (Figuras 2 y 5)del prtico de 3 pisos se advierte que la columna cuyo momento aumenta se comprime yaquella para la que el momento disminuye tambin disminuye la compresin (o an setracciona). Por lo que en este caso slo son vlidas las combinaciones 1 y 4. Sin embargohay programas de dimensionamiento automtico que slo consideran la combinacin 4(mximo valor absoluto del momento flector y mximo valor absoluto del esfuerzo normal), o 4y 2 (mximo valor absoluto del momento flector con ambos valores extremos del esfuerzonormal). Otros programas analizan todas las combinaciones posibles y toman el valor mayorde armadura. En la tabla anterior se indica con (*) el valor determinante de la armadura paralas combinaciones vlidas y con (++) el mayor valor de armadura obtenido de todas lascombinaciones en cada seccin. En este caso particular ninguno de esos valores mximoscorresponde a combinaciones vlidas.

El proyectista formado en la tradicin que el valor mayor de armadura est del lado de laseguridad en todos los otros casos se inclinara a aceptar ese ltimo procedimiento sinreservas. Sin embargo las consecuencias del sobredimensionamiento en flexin de las


columnas podra ser una desastrosa falla por corte. Observar el esfuerzo de corte ltimoobtenido a partir de los momentos ltimos correspondientes a los esfuerzos normales de losdos casos vlidos para cada una de las armaduras en la tabla 5. El esfuerzo de corte querealmente desarrollaran las columnas durante un sismo sera 37 % mayor si se dimensionarala armadura con el criterio de adoptar el mayor valor posible.

Tabla 5

NIVEL SEC. ESTADO N (t) A (cm2) Mu(tm) Qu (t)C1 (v1) Pie 1) Q+S+ -47,49 59,14 98,52 55,87

Cab -47,49 38,02 69,09Pie 2) Q+S- -432,51 59,14 134,59 (*) 80,69Cab -432,51 38,02 107,48

C1(v2) Pie 1) Q+S+ -47,49 60,90 100,98 69,18Cab -47,49 64,90 106,56Pie 2) Q+S- -432,51 60,90 136,88 (++) 93,00Cab -432,51 64,90 142,11

C2 (v1) Pie 1) Q+S+ -57,19 38,90 73,75 48,42Cab -57,19 37,87 71,91Pie 2) Q+S- -374,81 38,90 116,75 (*) 77,37Cab -374,81 37,87 115,34

C2 (v2) Pie 1) Q+S- -57,19 70,00 116,74 77,36Cab -57,19 69,00 115,34Pie 2) Q+S- -374,81 70,00 159,32 (++) 105,76Cab -374,81 69,00 157,95

(v1) indica versin 1: Armadura mxima determinada con las combinaciones posibles.(v2) indica versin 2: Armadura mxima determinada con todas las combinaciones.

Como en el ejemplo anterior la estructura es muy sencilla y el anlisis conceptual de lasimultaneidad que hemos hecho es relativamente simple, aunque demande bastante trabajo.Qu sucede en una estructura muy compleja con muchos nudos? Qu sucede cuando seutiliza un programa de dimensionamiento automtico enganchado directamente con elprograma de anlisis?

Una manera de llegar a manejar adecuadamente la simultaneidad de solicitaciones esformular un estado de acciones estticas que resulte equivalente de la accin ssmica. Haydos posibilidades para esta idea. La primera es adoptar como respuesta las fuerzas de inerciaen cada masa, asignando a todas el mismo sentido. La segunda es obtener como respuestala solicitacin global ms peligrosa - habitualmente el corte - y a partir de ese estado formularun estado de cargas horizontales equivalentes. Podra haber ms de una solicitacin globalpeligrosa cada una para distintos componentes de la estructura y consecuentemente podrahaber ms de un estado esttico, cada uno vlido para el grupo de componentescorrespondiente. En la tabla 6 se muestran los esfuerzos de corte globales obtenidos porsuperposicin espectral y las fuerzas estticas equivalentes que permiten obtener lamisma envolvente de corte (sin reducir por ductilidad).

Tabla 6

NIVEL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Qmx(t) 575,7 561,5 534,4 497,8 454,0 403,6 345,8 278,5 199,5 107,0

Fie (t) 14,2 27,1 36,6 43,8 50,4 57,9 67,3 79,0 92,5 107,0

Con estas fuerzas y las cargas verticales correspondientes se analiz el prtico y seobtuvieron los valores de la tabla 7 (ya reducidos por ductilidad) para las columnas C1 y C2:


Tabla 7

COL. Nq (t) Mq (tm) DNs (t) DMs(tm)

Nq+s (t) Mq+s(tm)

Nq-s (t) Mq-s (tm)

C1p -240,0 1,2 456,4 -230,2 -42,8 -98,2 -437,2 100,61

C1c -18,7 201,8 68,4 -105,8

C2p -216,0 25,7 387,6 -211,3 -48,6 -65,5 -383,4 117,0

C2c -22,5 210,0 68,3 -113,1

Estos valores difieren poco de los obtenidos por superposicin directa. Las diferencias soninsignificantes para los fines prcticos del dimensionamiento de armaduras y ms an si setoman en consideracin las otras incertidumbres que afectan todo estudio ssmico. Lo msimportante es que de este modo se puede tener un control ms efectivo sobre la validez delos resultados, an en estructuras complejas.

Esta ltima conclusin es consecuencia de un hecho simple: el mtodo de superposicinmodal espectral puede dar valores confiables para los mximos probables de las respuestas,pero no indica la simultaneidad de los valores. El modo aparentemente indirecto de determinarlas solicitaciones en la estructura utilizado en la segunda parte del ejemplo adopta una nicarespuesta como indicador: el corte entre niveles. Por consiguiente se independiza de latemporalidad de la respuesta, al menos en sus aspectos prcticos ms importantes.

Consideremos ahora las diferencias entre los valores obtenidos por uno u otro mtodo. Ladiferencia ms importante se tiene en los valores de esfuerzo normal en el estado que originamenos compresin (la accin ssmica origina traccin en esa columna) 17 % para la columnaC1 y 11 % para la columna C2; en los dems casos la diferencia no supera el 2 %.

Esto se debe a dos circunstancias. En primer trmino la resta de valores aumenta el valorrelativo de la variacin entre ambos resultados porque el valor de comparacin final es mschico que en el caso de la suma. En segundo lugar se puede observar que en el segundomtodo se exageran los valores de traccin por sismo respecto del mtodo directo; esoocurre porque la influencia de los modos superiores, en los que hay inversin del sentido delas fuerzas, es ms importante sobre el momento global (causante del esfuerzo normal en lascolumnas) que sobre el corte global (causante de la flexin de las columnas). O sea que losproblemas de temporalidad han disminuido pero no han desaparecido 18.

En este caso el mtodo proporciona una solucin vlida, pero de ninguna manera estgarantizada su confiabilidad en cualquier estructura. Por lo tanto siempre se requiere elanlisis cuidadoso y la interpretacin de los resultados.

18 Todo ello se debe a que habra que dimensionar instante a instante la armadura con las combinaciones M, N

correspondientes y elegir la mayor armadura.


Modelos espacialesSon muy pocas las referencias a la utilizacin prctica y a las limitaciones de los modelosespaciales en la bibliografa.

En general se admite que las construcciones pueden analizarse por separado en dosdirecciones cuando no hay acoplamiento entre los grados de libertad correspondientes. Sedeben considerar tambin los efectos rotacionales. En caso contrario las construccionesdeben analizarse utilizando modelos espaciales. Se debe recordar que los modelosespaciales son mucho ms complejos para formular y para interpretar los resultados, ascomo requieren mucho ms tiempo de proceso que los modelos planos.

La cuestin es determinar cuando se presenta ese acoplamiento. De nuevo el modo mssimple de estudiar el problema es analizar las deformaciones de la estructura sometida acargas horizontales estticas y comparar los valores que corresponden a la direccin de laexcitacin con las que corresponden a la direccin perpendicular. Para evaluar los efectosrotacionales se pueden comparar las traslaciones debidas a la rotacin del sistema con lastraslaciones directas 19.

La mayora de los programas comerciales de elementos finitos permiten formular modelosespaciales para anlisis dinmicos en forma automtica. Esto aparentemente liberara a losproyectistas de una tarea extraordinariamente penosa. Sin embargo ya se han sealadoalgunas limitaciones importantes, sobre las que se vuelve a continuacin.

Particularidades de la modelacin espacial

Limitaciones provenientes de los programas

Pocos de los programas de elementos finitos permiten seleccionar un conjunto de grados delibertad para el anlisis dinmico distinto del conjunto adoptado para definir el sistemaestructural. La consecuencia inmediata es que el tamao de los modelos, en trminoscomputacionales, crece muchsimo. Consecuentemente el tiempo de proceso y la masa deresultados son muy importantes.

Por otra parte pocos de esos programas proporcionan el factor

El Analisis Dinamico de Construcciones Sismo Resistentes-1

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