El corazón y la Circulación

El Corazón y la Circulación

Por: Rosa E. Padilla TorresPresentación para la clase

Modelos Matemáticos para las Ciencias Dr. Álvaro Lecompte Montes

10 de mayo de 2011

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Función de la circulación

• La función del corazón es bombear sangre.

• La sangre transporta oxígeno (O2) desde los pulmones hacia los tejidos del cuerpo y transporta el dióxido de carbono (CO2) de los tejidos nuevamente a los pulmones.

• Como el sistema circulatorio es un circuito cerrado, puede comenzar por cualquiera de los dos lados, tanto el izquierdo como derecho.

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Función de la circulación

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Lado izquierdo

• El corazón recibe la sangre rica en O2 y la bombea a través de las tres arterias sistémicas a los tejidos del cuerpo y capilares quienes intercambian al O2 por CO2.

• Al reducir la cantidad de O2 en la sangre y aumentar la de CO2, la sangre es más oscura.

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Lado derecho

• El lado derecho del corazón es responsable de bombear sangre de las arterias pulmonares hasta los tejidos y pulmones. Los capilares transportan CO2 que es liberado de la sangre y en ésta entra O2 en los espacios de aire de los pulmones.

• Dejando los capilares pulmonares, la sangre oxigenada es enviada a las venas pulmonares y vuelve al corazón nuevamente. Esto completa la circulación.

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Lado derecho

• Este proceso se tarda aproximadamente un minuto.

• Dada la simetría entre la circulación sistemática pulmonar, se dice que ambas tienen la misma ecuación. Realmente, el volumen de sangre sistémica es 10 veces más que el volumen de sangre pulmonar.

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Volumen, flujo y presión

• El volumen de sangre promedio (V0) es de aproximadamente 5 litros.

• Flujo se le llama al volumen de sangre que pasa por un punto de la circulación por unidad de tiempo.

• Se mide en litros por minutos. • Este flujo se simboliza con la letra Q. • El flujo más importante del sistema

circulatorio es la salida cardiaca que se conoce como el volumen de sangre bombeada por unidad de tiempo por cada lado del corazón.

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Volumen, flujo y presión

• La salida cardiaca debe ser calculada por el producto de accidente cardiovascular (stroke) se le llama al volumen de sangre bombeada por latido y el número de latidos por unidad de tiempo.

• Los valores típicos son:

• Presión (P) es la fuerza por unidad de área.

Medida Valor típico

Volumen “stroke” 70 cm³ / latido (0.070 litros / latido)

Taza de latidos 80 latidos / minuto

Salida cardiaca 5.6 latidos / minuto

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Resistencia y cumplimiento

de vasos sanguíneos

• El volumen de una arteria V, su afluencia Q1 a presión P1 y su salida Q2 a presión P2. La presión externa es cero (presión atmosférica).

• Para conocer como Q, P1, P2 y V se relacionan, se envuelven dos propiedades de los vasos sanguíneos: resistencia al flujo sanguíneo y compromiso en respuesta a presión o tensión.

• Q se determina P1 – P2

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• Obtenemos V = CP

• El volumen residual de un vaso sanguíneo a presión cero: V = Vd + CP

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El corazón como un par de

bombas

• Una bomba es un artefacto que acepta un fluido a una presión baja (P1) y lo transfiere a un área o región de presión mayor (P2 > P1)

• El flujo es producto de la bomba, que a su vez es producto de la taza de flujo Q y la diferencia de presión P2 – P1.

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bombas

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bombas

• El ventrículo izquierdo recibe una válvula de entrada (mitral) y una válvula de salida (aórtica).

• Cuando el ventrículo se relaja (diástole), el flujo de entrada es abierto y el flujo de salida es cerrado.

• Durante este periodo de tiempo, el ventrículo recibe la sangre del atrio izquierdo a presión, lo que es esencial para las venas pulmonares.

• P1 = Psv = 5 mm Hg

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bombas

• Cuando el ventrículo se contrae (sístole) la válvula de flujo de entrada se cierra y la válvula de salida se abre.

• Esto bombea la sangre al árbolarterial P2 – Psa = 100 mmHg

• El ventrículo se describe por:

• V(t) = Vd + C(t) P(t)

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bombas

• C(t) es una función dada con caracter cualitativo.

• Un punto importante es cuando C(t) tiene valores pequeños Csistólica

cuando el ventrículo se contrae y el valor es mucho mayor Cdiastólica

cuando el ventrículo se relaja.

• Vd depende del tiempo

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bombas

• Volumen máximo en el ventrículo

– VED = Vd + C diastole Pv

• Volumen máximo

– VEs = Vd + C sistole Pq

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Modelo matemático de una

circulación descontrolada

• Usos para el modelo:– Estudio de propiedades de

autorregulación de la circulación independientemente de mecanismos externos de control.

– Explicar la necesidad de controles externos.

– Servir como fundamento en el cual construir modelos simples para el control de la circulación.

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• Primero: Lado derecho del corazón

– Qr = Kr Psv

– QL = KL Psv

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• Segundo:

– Vsa = Csa Psa

– Vsv = Csr Psr

– Vpa = Cpa Ppa

– Vpv = Cpr Ppr

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• Tercero:

– Qs = (Psa –Psv) /Rs

– Qp = (Ppa –Ppv) /Rp

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• El volumen total de la sangre

– Vsa + Vsv + Vpa + Vpv = V0

• El modelo se completa cuandoobtenemos las nueve desconocidas:

– Q, Psa, Psv, Ppa, Ppv, Vsa, Vsv, Vpa, Vpr

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• De la ecuación de bombeo:

– Psv = Q/ Kr

– Ppv = Q/KL

• Sustituyendo el resultado en la ecuación de resistencia:

– Psa = (Q/Kr) + Rs Q

– Ppa = (Q/KL) + Rp Q

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• Sustituyendo en las ecuaciones de presión:

– Vsv = (Csv/Kr) Q

– Vpv = (Cpv / KL) Q

– Vsa = [(Csa / Kr) + Csa Rs] Q

– Vpa = [(Cpa / KL) + Cpa Rp] Q

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• Combinando parámetros:

– Tsv = Csv/Kr

– Tpv = Cpv / KL

– Tsa = (Csa / Kr) + Csa Rs

– Tpa = (Cpa / KL) + Cpa Rp

• Esto se resume:

– Vi = Ti Q, i = sv, pv, sa, pa

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• Sustituyendo esas expresiones en las ecuaciones para el volumen total de sangre, resolvemos para Q:– (Tsa + Tsv + Tpa + Tpv) Q = V0

– Q = V0 / (Tsa + Tsv + Tpa + Tpv)

• La solución es completada usandolas ecuaciones Vi = Ti Q y Pi = Vi / Ci

• Vi = Ti V0 / (Tsa + Tsv + Tpa + Tpv)

• Pi = (1/ Ci)(Ti V0) / (Tsa + Tsv + Tpa + Tpv)

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• Parámetros normales en descansodel Modelo de Circulación

Sistémico Pulmonar

R: Rs = 17.5 Rp = 1.79 mm Hg / (litros por minuto)

C: Csa = 0.01 Cpa = 0.00667 litros / mm Hg

Csv = 1.75 Cpv = 0.08 litros / mm Hg

Derecho Izquierdo

K: Kr = 2.8 KL = 1.12 (Litros / minuto) / mm Hg

V: V0 = 5.0 litros

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Balanceando los dos lados

del corazón

• Vp / Vs = (Vpa + Vpv) / (Vsa + Vsv)

• = (Tpa + Tpv) / (Tsa + Tsv)

• = ((Cpa + Cpv) / KL + Cpa Rp) / ((Csa + Csv) / Kr +Csa Rs)

• La clave del exito de este intríncicomecanismo de control es sudependencia de la salida cardiacaen la presión de la vena.

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Balanceando los dos lados

del corazón

• Para balancear ambos lados del corazón, se asumen los volúmenespulmonar y sistémico (Vp, Vs):

• Vsa + Vsp = Vs

• Vpa + Vpv = Vp

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Salida cardiaca y presión arterial:

Necesidad o mecanismo de control de la

circulación

• Las arteriolas en el ejercicio muscular se dilata y la resistencia sistémica Rs falla.

• La salida cardiaca y la presión sistemática se mantienen cuando aumenta la salida cardiaca.

• Los latidos aumentan, comotambién el riesgo de un accidentecardiovascular.

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circulación

• Las consecuencias de cambios en Rs

es el modelo de circulacióndescontrolada.

• Cuando Rs baja, resulta en una levereducción en el ritmo cardiaco.

• El efecto es más notable cuando la presión sistémica aumenta.

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circulación

• Psa es proporcional a Rs

• Q es inversamente proporcional a Rs

• Q = V0 / (Tsa + Tsv + Tpa + Tpv)

• Psa = (V0/Csa)(Tsa/ (Tsa + Tsv + Tpa + Tpv))

Efecto del Cambio de Resistencia Sistémica en la salida cardiaca y Presión Arterial Sistémica en Circulación descontrolada

Normal Rs = Rsnormal/2 Cambio % de Cambio

Q 5.6 6.2 + 0.6 litros/ min +11%

Psa 100.0 57 - 43.0 mm Hg - 43%

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circulación

• Los resultados derivados se puedenresumir utilizando conceptos de sensitividad.

• Si y depende de x y x cambia, entonces la sensitibilidad de y para x se define como:– yx = ∆ log (y) / ∆ log (x)

– = (log (y) – log (y) / (log (x’) – log (x))

– = log (y’/ y) / log (x’/ x)

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circulación

• Si los cambios en x y y son pequeños, este cambio se aproxima:

– y x = (dy/Y) / (dx/X)

• Si y = a xn, entonces log y = n log x

• y x = n

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Control Neural:

El Ciclo Barorreceptor

• En el cuerpo, Psq es controlada porel ciclo barorreceptor.

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Elementos del Ciclo

Barorreceptor

• Los barorreceptores (B) son receptores localizados en la arteriacarótida, en el arco de la aorta.

• Transmiten impulsos nerviosos al cerebro, que aumentan segúnaumenta la presión arterial.

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Elementos del Ciclo

Barorreceptor

• El sistema nerviso parasimpático(PNS) se agita por la actividad de los barorreceptores.

• Este efecto reduce el ritmo cardiaco(F).

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Elementos del Ciclo

Barorreceptor

• El sistema nervioso simpático (SNS) es inibido por la actividad de los barorreceptores.

• Esto tiene varios efectos:

– Aumenta el ritmo cardiaco

– Aumenta la presión arterial y por endeel volumen de flujo de salida

– Aumenta la resistencia sistémica

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Control Neural:


• Este ciclo se cierra a través del mecanismo de circulación, el cualimplica queQ = F Vstroke y Psa = QRs

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Control Neural:


• La función general de este modeloes asumir ajustes en el ritmocardiaco (F) mientras la presiónarterial sistémica se acerca a un valor P*

• Qr = F Cr Psv

• QL = F CL Ppv

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Control Neural:


• Cuando comparamos Psv con Psa, notamos una resistencia sistémica. Esto representa un 2% de error el cual es calculado mediante :Q Rs = P*

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Control Neural:


• El volumen pulmonar en comparación con el volumensistémico en la ecuación de volumen total de sangre, representaun 10 % de error, dado por:

– Vsa + Vsv = V0

– Eso lo podemos reescribir:Csa P* + Csv Psv = V0

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Control Neural:


• A partir de aquí, podemosdeterminar Q y Psv directamente:

– Q = P* / Rs

– Psv = (V0 – Csa P*) Csv

• F = P* Csv / (Rs Cr (V0 – Csa P*))

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Control Neural:


• Una circulación controladaresponde a cambios en Rs, con cambios inversamenteproporcionales a los cambios de salida cardiaca cuando la presiónarterial se mantiene.

• La salida cardiaca es proporcional al volumen de sangre.

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Autoregulación

• Fenómenos que han sido objeto del término de autoregulación:– Cuando la relación entre presión y

flujo de un tejido medido, a menudo a su vez es relativamente intenso a diferentes presiones

– A una diferencia constante de presión, el flujo a través de algunostejidos, depende de la taza de consumo de O2 del tejido.

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Autoregulación

• La clave de la hipótesis es que la resistencia de un tejido es reguladapor la concentración de oxígeno del tejido

• La concentración de oxígeno [O2] esel número de litros de oxígeno queson transportados en un litro de sangre.

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Autoregulación

• Este oxígeno es transportado a la hemoglobina, entonces, tanto el oxígenoestá ocupando las moléculas de hemoglobina y la [O2]a = 1/5

• La [O2] venosa ([O2]v) es diferente en los distintos tejidos corporales.

• Todo depende de la taza de metabolismo.

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Autoregulación

• La diferencia medida en la tazametabólica de un tejido es dada por la ecuación:• Q [O2]a – Q [O2]v = M

• Principio de Fick:• [O2]v = [O2]a – M / Q

• Definimos Q*• Q = Q* = M / [O2]a

• Resistencia• R = R0 [O2]v donde R = P / Q

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Autoregulación

• El comportamiento de este modelo se resume:– La sensitivilidad del flujo de presión ( Q

P) es menor cuando R = R0 [O2]v quecuando R es constante.

– Los tejidos siempre reciben al menos el flujo minimo Q* requerido para sostenerla taza metabólica.

– A una P constante, si M cambia, entonces∆Q = ∆Q* = ∆M / [O2]a . El cambio en el flujo sanguíneo es justamente necesariopara soportar el consumo adicional de O2

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Autoregulación

• El comportamiento de este modelose resume: (Cont.)– A P constante, si M aumenta, entonces

R automáticamente reduce.

– Si [O2]a cambia, con P y R0

constante, entonces Q automáticamete se ajusta tal que Q [O2]a es constante.La taza de O2 necesaria es suplida a todos los tejidos de la misma forma que antes del cambio.

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Cambios en la circulación

al nacer

• La circulación forma un ciclo cerradosimple después del nacimiento.

• Antes del nacimiento, la configuracióndel sistema circulatorio es aún máscomplicada por tener conexionesadicionales

• Una de esas conexiones es llamada“ductos arteriales”, los cuales conectanlos sistemas pulmonares y arteriassistémicas cerca del corazón.

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al nacer

• El corazón posee una abertura en la pared que separa los atrios derechoe izquierdo (Fenómeno Oval).

• Un tejido plano actúa como válvulapara permitir o bloquear el paso de sangre del lado derecho al izquiedo.

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al nacer

• La función de esas conexionesadicionales es desviar sangre fuerade los pulmones, los cualescolapsan antes del nacimiento y presenta una gran resistencia al flujo sanguíneo.

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al nacer

• El desvío fluye por ductos Qd, y el flujodel agujero Qf.

• Cuando tanto Qd como Qf son cero, el modelo toma la configuración de ciclosimple, en el cual la sangre fluye a través del lado derecho del corazón, arterias pulmonares, tejidos y venas; lado izquierdo del corazón, arterias sitémicas, tejidos y venas.

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al nacer

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al nacer

• Esta dirección se eligió para ser llamada “positiva”, la cual es la dirección normal del flujo durante la vida del feto.

• Durante el nacimiento, los ductosartriales se cierran y el flujo va en dirección opuesta.

• Cuando Qd > 0 significa que el flujo vaen la dirección indicada por las flechas.

• Cuando Qd < 0 significa que el flujo vaen dirección opuesta.

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al nacer

• Ecuaciones para circulacióndescontrolada:

– Qr = Kr Psv

– QL = KL Ppv

– Qp = (Ppa – Ppr) / Rp

– Qs = (Psa – Psv) / Rs

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al nacer

• El ducto es modelado comoresistencia simple:

– Qd = (Ppa – Psa) / Rd

• Cuando la válvula abre, Qf ≥ 0 y Psv = Ppv

• Cuando la valvula cierra, Qf = 0 y Psv ≤ Ppv

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al nacer

• Presión arterial común:

– Rs Qs = Rp Qp = Pa – Pv

– Qp / Qs = Rs / Rp

– (Q – Qd) / (Q + Qd) = Rs / Rp

Resolvemos para Qd / Q:

– Qd / Q = (Rp – Rs) / (Rp + Rs)

Si reducimos a Qf = Qd apartir de Qr = QL

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al nacer

• Finalmente:

• Qs / Q = 1 + Qd / Q = 1 + (Rp – Rs) / (Rp + Rs)= 2 Rp / (Rp + Rs)

• Qp / Q = 1 - Qd / Q = 1 - (Rp – Rs) / (Rp + Rs)= 2 Rs / (Rp + Rs)

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Dinámica del Pulso Arterial

• El pulso arterial es el procesomediante el cual el corazón se comtrae y la presión sanguíneaaumenta rápidamente y caenuevamente entre contracciones, según como la sangre corre fuera de las arterias a través de los tejidos.

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• Este pulso es utilizado para contar el ritmo cardiaco.

• Cuando la presión es medida con la manga de aire (“Air Cuff”) en la parte superior del brazo, determinala cantidad actual máxima (sistólica) y la mínima (diastólica).

• La diferencia entre ambas presionesse le llama presión de pulso.

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• Tanto la presión sistólica como la diastólica dependen de los parámetros del corazón y la circulación.

• En un vaso sanguíneo el flujo de entrada Q1(t) en cada instante V(t) denota el mismo.

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• Para conocer el volumen de sangreen un vaso sanguíneo a un tiempo t, tenemos:

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• Psv << Psa entonces:

• Csa dPsa / dt = QL(t) – Psa / Rs

• Durante la diástole, cuando la valvula aórtica se cierra, QL = 0.

• En ese caso la solución es:

– Psa(t) = Psa(0) exp(-t / (Rs Csa))

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• Cambio en volumen del vaso:

– V(t) = C P(t) ó V(t) = C P(t) + Vd

• Tenemos que:

– dV / dt = C dP / dt

• Entonces:

– C dP/dt = Q1 – Q2

– Qs = (Psa – Psv) / Rs

– Aproximadamente Qs = Psa / Rs

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Bibliografía

• F. C. Hoppensteadt, C. S. Peskin; Mathematics in Medicine and the Life Sciences; 1992; páginas 105 a 139

• http://es.wikipedia.org/wiki/Barorreceptor; 6 de diciembre de 2010

• http://es.wikipedia.org/wiki/Coraz%C3%B3n; 6 de mayo de 2011

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Gracias por su atención

• Blog:

–rosaepadilla.blogspot.com

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