“EL DATUM EN NAVEGACIÓN”

Escuela de Ingeniería Naval

“EL DATUM EN NAVEGACIÓN”

Tesis para optar al Título de Ingeniero Naval

Mención: Transporte Marítimo

Profesor Patrocinante:

Sr. Roberto Casanova Esparza. Oficial de la Marina Mercante Nacional.

PABLO ANDRÉS MEZA ROJAS VALDIVIA - CHILE

2011

Esta Tesis ha sido sometida para su aprobación a la Comisión de Tesis, como

requisito para obtener el grado de Licenciado en Ciencias de la Ingeniería.

La Tesis aprobada, junto con la nota de examen correspondiente, le permite al

alumno obtener el Título de Ingeniero Naval, Mención Transporte Marítimo.

EXAMEN DE TITULO Nota de Presentación (Ponderado) (1) : ………..………….…

Nota de Examen (Ponderado) (2) : ………………….….. Nota Final de Titulación (1+2) : ……………….…...... COMISIÓN EXAMINADORA …………………………………….... ……………………………... DECANO FIRMA …………………………………….... ……………………………... EXAMINADOR FIRMA …………………………………….... ……………………………... EXAMINADOR FIRMA …………………………………….... ……………………………... EXAMINADOR FIRMA …………………………………….... ……………………………... SECRETARIO ACADÉMICO FIRMA Valdivia, ………………………………………………………… Nota de Presentación = NC/NA x 0,6 + Nota de Tesis x 0,2.

Nota Final = Nota de Presentación + Nota Examen x 0,2.

NC = Sumatoria Notas de Curriculum, sin Tesis.

NA = Número de Asignaturas Cursadas y Aprobadas,

Incluida Práctica Profesional.

Agradecimientos

Le agradezco a mi Madre, Hilda Inés Rojas Cofré, y a mi Padre, Francisco

Solano Meza Leal, por sus esfuerzos, sacrificios y apoyo incondicional que me han

dado siempre, y que me siguen dando.

Les agradezco a todos aquellos profesores por sus enseñanzas, consejos y

motivación que me entregaron durante todos estos años.

Especial mención para el profesor Roberto Casanova Esparza, por la motivación

y dedicación que imparte día a día hacia sus estudiantes, y por mostrarme este

hermoso mundo, que es la navegación.

Índice

Resumen Summary

Introducción Pág.

Capítulo I: La Geodesia 1

1.1 La Geodesia 1

1.2 Historia de la Geodesia 1

1.2.1 Grecia 2

1.2.2 Edad Media 4

1.2.3 Siglos XV y XVI 5

1.2.4 Siglos XVII y XVIII 7

1.2.5 Siglos XIX y XX 8

1.2.6 Siglo XXI 11

1.3 Divisiones de la Geodesia 12

1.3.1 Astronomía Geodésica 12

1.3.2 Geodesia Geométrica 12

1.3.3 Geodesia Dinámica 13

1.3.4 Geodesia Física 14

1.3.5 Geodesia Tridimensional 14

1.3.6 Geodesia Espacial 14

Capítulo II: El Datum 15

2.1 El Geoide Terrestre 15

2.2 El Elipsoide Terrestre 16

2.3 Relaciones entre el Geoide y el Elipsoide 19

2.3.1 Angulo Radial de la Vertical 20

2.3.2 Desviación de la Vertical 20

2.3.3 Desviación Sobre el Meridiano 21

2.3.4 Ondulación Geoidal 22

2.4 Sistemas de Coordenadas Terrestres 23

2.4.1 Coordenadas Astronómicas 23

2.4.2 Coordenadas Geodésicas 24

2.4.3 Coordenadas Geocéntricas 25

2.4.4 Coordenadas Rectangulares Geocéntricas 26

2.4.5 Coordenadas Rectangulares Planas 28

2.5 El Datum 30

2.5.1 Tipos de Datum 31

2.5.2 Universo de Elipsoides y Datum Utilizados en Geodesia 32

2.5.3 El Datum Según su Área de Aplicación 32

2.5.4 Diferencias en el uso de Distintos Datums 32

Capítulo III: El Elipsoide como Superficie de Referencia 35

3.1 La Esfera y el Elipsoide 35

3.2 Aplicaciones del Elipsoide 39

3.2.1 Distancias en Latitud 39

3.2.2 Apartamiento 44

3.2.3 Paralaje de Altura (Luna) 47

3.2.4 Otros Casos 53

Capítulo IV: Sistema Geodésico Mundial de 1984 (WGS 84) 60

4.1 Sistema de Coordenadas WGS 84 60

4.2 Elipsoide WGS 84 62

4.2.1 Semieje Mayor (a) 63

4.2.2 Achatamiento (f) 64

4.2.3 Velocidad Angular de la Tierra (ω) 65

4.2.4 Constante Gravitacional de la Tierra (GM) 66

4.2.5 Constantes Geométricas y Físicas 67

4.3 Gravedad Elipsoidal en el WGS 84 70

4.4 Geoide EGM96 y el WGS 84 70

4.5 El WGS 84 Relacionado con otros Sistemas Geodésicos 73

4.5.1 Relación del WGS 84 con los ITRF 73

4.5.2 Relación del WGS 84 con el NAD 83 74

4.5.3 Transformaciones de un Datum Geodésico Local al WGS 84 75

Conclusiones 77 Anexos 79

Anexo A: Proyecciones Cartográficas 79

Anexo B: Universo Actual de Elipsoides y Datums Utilizados en Geodesia 87

Anexo C: Datums Utilizados en Sudamérica 90

Anexo D: Análisis Matemático al Elipsoide 94

Bibliografía y Páginas Web 103

Resumen

Esta Tesis esta orientada en mostrar al datum en su totalidad, dentro de esto, las

aplicaciones como superficie de referencia, las diferencias propias de esta superficie

con las demás superficies que se utilizan para la Tierra, entre otras, así como también

mostrar al datum WGS 84.

En cuanto a las aplicaciones como superficie de referencia, se verán que existen

unas pequeñas diferencias al hacer una comparación del punto de vista de una Tierra

esférica, con el de una Tierra elipsoidal, así como las correcciones.

En cuanto a los análisis, estos se mostrarán con resoluciones matemáticas,

apoyadas con gráficos para una mejor comprensión por parte del lector.

También se mostrará en detalle al datum WGS 84 con las distintas

consideraciones y alcances de este datum.

Este sistema de referencia actualmente es el más usado a nivel mundial, esto se

debe a que la gran mayoría de los receptores satelitales (GPS) utilizan a este datum

como referencia para la determinación de posiciones sobre la superficie de la Tierra, lo

mismo para la mayoría de las cartas náuticas, que también son referenciadas a este

datum.

Summary

This Thesis this oriented one in showing to the datum in their entirety, inside this,

the applications like reference surface, the differences characteristic of this surface with

the other surfaces that are used for the Earth, among other, as well as to show to the

datum WGS 84.

As for the applications like reference surface, they will be seen that some small

differences exist when making a comparison of the point of view of a spherical Earth,

with that of an ellipsoidal Earth, as well as the corrections.

As for the analyses, these they will be shown with mathematical resolutions,

leaning with graphics for a better understanding on the part of the reader.

It will also be shown in detail to the datum WGS 84 with the different

considerations and reaches of this datum.

This reference system at the moment is the most used at world level, this is due

to that the great majority of the satellite receiving (GPS) they use to this datum like

reference for the determination of positions on the surface of the Earth, the same thing

for most of the nautical charts that are also indexed to this datum.

Introducción

La forma de la Tierra es desde tiempos antiguos un motivo de discusión, grandes

personajes de la historia han dado su parecer, ya sea directa o indirectamente, no hay

más que leer los poemas de Homero (900 a.C.). En sus poemas heroicos resume todos

los conocimientos cosmográficos y geográficos de la época y del pueblo heleno, en

gran desarrollo, con una gran imaginación. Supone la Tierra plana y limitada en todos

sus sentidos.

Eratóstenes de Cyrene (276-195 a.C.), bibliotecario de la biblioteca de

Alejandría, fue el primero en determinar 240 años a.C. el radio terrestre, obteniendo un

valor bastante cerca de los actuales valores que definen a la Tierra.

Hoy en día con los avances tecnológicos, se ha determinado una forma para la

Tierra con innumerables irregularidades, que, auque son muy pequeñas, no permiten

utilizar una figura geométrica para representar enteramente a la Tierra, sin que esto

acarree diferencias en latitud y en longitud.

Sin embargo a esto, los levantamientos cartográficos y los receptores satelitales

utilizan como referencia a un elipsoide de revolución.

Es por esto que uno de los objetivos de esta Tesis es mostrar estas diferencias y

los alcances de estas diferencias en navegación, por muy pequeñas que sean, así

como las correcciones.

Otro de los objetivos es mostrar al sistema geodésico mundial de 1984

(WGS 84), que es el sistema más utilizado actualmente a nivel mundial, con las

distintas consideraciones y alcances de este datum.

Por ultimo, esta Tesis esta orientada a todo tipo de lectores, ya que los análisis

están en detalle, para su fácil comprensión, y especialmente a los estudiantes de la

mención de transporte marítimo, que pueden tomar este material como apoyo para su

aprendizaje.

1

Capítulo I

La Geodesia

1.1 La Geodesia

La palabra geodesia literalmente expresa división de la Tierra, sin embargo,

diversos autores notables establecen distintas definiciones de este concepto. Para unos

existe una clara diferencia entre la Geodesia Teórica y la Geodesia Práctica, indicando

que la primera estudia la forma y dimensiones de la Tierra, en cambio la segunda

establece los procedimientos para la medida de porciones terrestres. Para otros autores

esta diferencia no es tan clara, por ello se refieren a la geodesia como una ciencia cuyo

objetivo es el de proporcionar un armazón o estructura geométrica precisa para el

apoyo de los levantamientos topográficos.

Actualmente la geodesia se define brevemente como la ciencia que resuelve los

problemas relacionados con la figura y dimensiones de la Tierra, y como veremos más

adelante esta ciencia puede dividirse en varias disciplinas, atendiendo al método

seguido para llevar a cabo este objetivo.

Podemos decir que la geodesia es una ciencia, que desde la antigüedad, se ha

dedicado al estudio de la medida y forma del globo terráqueo, adaptándose a las

necesidades de la época para aplicarse a problemas prácticos, como son básicamente

la confección de mapas nacionales e internacionales, así como la preparación de cartas

para aplicaciones específicas como las geológicas e hidrográficas, entre otras.

Pudiendo afirmar que la geodesia se ha necesitado y seguirá siendo necesaria mientras

se proyecten obras humanas que requieran precisiones cada vez mayores.

Es importante hacer un recorrido por la historia de la geodesia para entender su

evolución y poder conocerla en profundidad. 1.2 Historia de la Geodesia

A continuación solo se reseñarán las contribuciones históricas de la geodesia

que tienen una relación más directa con lo tratado en esta Tesis.

2

1.2.1 Grecia

Las primeras referencias griegas sobre la forma de la Tierra son más poéticas

que científicas, no hay más que leer los poemas de Homero (900 a.C.). En sus poemas

heroicos resume todos los conocimientos cosmográficos y geográficos de la época y del

pueblo heleno, en gran desarrollo, con una gran imaginación. Supone la Tierra plana y

limitada en todos sus sentidos.

Anaximandro de Mileto (610-547 a.C.), discípulo de Tales de Mileto, dice que

es un cilindro que ocupa el centro de todo lo creado, pero construye la primera carta

geográfica conocida.

Los filósofos griegos afirmaban que la Tierra era esférica 500 años a.C. y se

apoyaban en que la forma geométrica más perfecta era la esfera. Parménides (515-440 a.C.) y Empedocles (470 a.C.) emitieron por primera vez la idea de la esfericidad

de la Tierra y su aislamiento en el espacio.

Pitágoras de Samos (569-470 a.C.) llegó a decir que la Tierra no podía tener

otra forma y que además estaba aislada en el espacio e inmóvil. Filolao (450 a.C.), de

la escuela pitagórica, opina que la Tierra gira alrededor de si misma produciendo los

días y las noches y se desplaza, como el Sol, la Luna, los planetas y a mayor distancia

el cielo con las estrellas fijas, alrededor del fuego central, alma del mundo.

Hicetas, Heráclides (388-315 a.C.) y Efanto atribuían a la Tierra un movimiento

de rotación y pensaban que por lo menos la Tierra, Mercurio y Venus se movían

alrededor del Sol.

Platón (429-338 a.C.), que admite que la Tierra es redonda, la supone aislada e

inmóvil. Eudoxio de Gnido (409-356 a.C.), discípulo de Platón, da la teoría de las

esferas de cristal para explicar el movimiento de los planetas y estrellas (supone

veintiséis) con ejes en distintas direcciones y movimientos diversos, Calipo llega a

treinta y tres esferas y Aristóteles (384-322 a.C.), a cincuenta y cinco.

El geógrafo Dicearco (350-285 a.C.) supone la Tierra esférica y refiere sus

medidas al meridiano y al paralelo de Rodas, introduciendo así las coordenadas

esféricas. El geómetra Euclides enuncia las leyes del movimiento diurno y hace

observar que entre las osas hay una estrella que no se mueve (la estrella polar).

Arquímedes (287-212 a.C.) da un gran impulso a las matemáticas y evalúa la

circunferencia terrestre. En contra de las teorías aristotélicas aparecen las

revolucionarias de Aristarco de Samos (310-230 a.C.) que eliminó todas las esferas y

estableció el sistema heliocéntrico, la oposición de Aristóteles y Cleantes (331-232 a.C.) silenciaron estas teorías hasta los tiempos de Copérnico. Admitiendo la

esfericidad de la Tierra.

3

Eratóstenes de Cyrene (276-195 a.C.), bibliotecario de la biblioteca de

Alejandría fundada por el rey de Egipto Ptolomeo Soter, fue el primero en determinar

240 años a.C. el radio terrestre. Midió la longitud del meridiano entre Siena (actual

Asuán) y Alejandría, obteniendo un valor de unos 39.000 kilómetros para la longitud de

la circunferencia terrestre (unos 6.207 Km. de radio). Eratóstenes se dio cuenta de que

en el solsticio de verano, el Sol iluminaba en Siena los pozos hasta el fondo, por lo que

en ese momento se encontraba en el zenit en su culminación. En ese mismo instante

midió la altura del Sol en Alejandría, que suponía estaba en el mismo meridiano que

Siena. La distancia zenital determinada no era otra cosa que el ángulo que en el centro

de la Tierra esférica tenía el arco de meridiano Siena-Alejandría, figura 1.a.

También conocía Eratóstenes la distancia entre ambas ciudades, así tenía todos

los datos para determinar el radio de la Tierra. Las hipótesis y medidas de Eratóstenes

no eran exactas, por ejemplo entre Siena y Alejandría hay una diferencia de longitudes

cerca de 3º, pero sí su método, conocido como método de los arcos, fue utilizado

durante muchos siglos.

Trópico de Cáncer

c

PN

QT

Rayos del Sol

Rayos del Sol

Siena (Asuán)7º 12´

Alejandría

7º 12´

Figura 1.a.

Arco de meridiano Siena-Alejandría.

Este método de los arcos fue aplicado por Posidonio (135-51 a.C.), que midió el

arco entre Rodas y Alejandría, sustituyendo el Sol por la estrella Canopus, pero obtuvo

un valor de unos 29.000 kilómetros para la circunferencia (unos 4.615 Km. de radio).

El gran astrónomo de esta época fue Hiparco de Nicea (190-120 a.C.) que

pensaba que la Tierra es esférica y que está inmóvil en el centro del mundo, inventa la

trigonometría, descubre la precesión de los equinoccios, conoce el valor de la

4

inclinación de la eclíptica y determina la duración del año trópico, entre otros trabajos

astronómicos.

El mayor geógrafo y astrónomo de este tiempo fue Claudio Tolomeo (100-170 d.C.), que admitió el valor del radio terrestre de Posidonio y además lo trasmitió a su

posteridad. Autor de los trece volúmenes del Almagesto. Ideó el sistema planetario

geocéntrico basado en sus observaciones desde el templo de Serapis. Construyó un

mapa del mundo y las posiciones terrestres las representaba por la latitud y longitud, la

autoridad de Tolomeo traspasó su época. En la figura 1.b puede verse el mapa del

mundo atribuido a Tolomeo.

Figura 1.b.

Mapa del mundo atribuido a Tolomeo.

1.2.2 Edad Media

Las ideas aristotélicas impregnaron la edad media en Europa, se admitía la

esfericidad de la Tierra, pero se explicaba muy mal. Se suponía la Tierra cubierta de

agua excepto la parte habitada (ecúmene), en las Antípodas era imposible vivir “boca

abajo”. La historia de esos siglos está impregnada por los avances y descubrimientos

de matemáticos y astrónomos que consideran los problemas geodésicos en sus

trabajos, un resumen de los conocimientos matemáticos es realizado por el geómetra

Papus (400). Es de destacar la medida del arco de meridiano realizada por el monje budista

chino I Hsing en el año 727. Las aportaciones árabes a la geodesia son muy reducidas,

aunque merecen destacarse las expediciones organizadas en las llanuras de Palmira y

Zinjar, cerca de Bagdad y Al Raqqah por el califa Al-Mamún (786-833), hijo del Haroun

al-Raschid, (830) para determinar la longitud del grado.

5

Las primitivas enseñanzas griegas, de maestros de la categoría de Pitágoras,

Eudoxio, Aristóteles, Eratóstenes, Hiparco y Tolomeo, entre otros, sobrevivieron gracias

a la civilización árabe, y en el siglo XII, a través de España, llegaron a Europa en las

traducciones al latín hechas en el reinado de Alfonso X de Castilla.

Un caso digno de mención es el de Roger Bacon (1214-1294), creador de la

óptica, estudia la refracción, gran problema de las observaciones, trata la astronomía y

la geografía y considera las mareas terrestres como el resultado de la atracción lunar.

1.2.3 Siglos XV y XVI

Pasado este tiempo, surge la época de las grandes exploraciones. En primer

lugar fue, posiblemente, el viaje de Marco Polo (1254-1324) de 1271 a 1295 el que

sirvió a Toscanelli (1397-1482) para la confección de un mapa (figura 1.c) que quizá

influyó en la decisión de Cristóbal Colón (1492) de cruzar el Atlántico navegando hacia

el oeste.

Figura 1.c.

Mapa de Toscanelli.

Pero Toscanelli, cometió un gran error pues tomaba como radio de la Tierra el

determinado por Posidonio y trasmitido por Tolomeo y como en sus mapas se apoyó

Colón no es de extrañar que éste creyera que el Cipango y el Catay estaban más cerca

(1.025 leguas) de lo que realmente resultó (3.150).

Después de Colón, Vasco de Gama (1469-1524) llega al sur de África y

Magallanes (1480-1521) y Elcano (1519-1522) dan la vuelta al mundo. Las

necesidades de navegación, principalmente, hicieron que se organizasen verdaderas

escuelas de cartógrafos, quienes con los conocimientos, muchas veces imprecisos,

aportados por la geodesia confeccionaron gran cantidad de mapas, algunos de los

cuales adquieren gran renombre, como los del italiano Américo Vespucio (1415-1512)

6

quien obtuvo los primeros mapas de la costa oeste de América del norte y dio nombre al

continente. Sin embargo el cartógrafo por excelencia de esta época, cuyos mapas

satisfacían las necesidades de la navegación, fue el flamenco Gerhard Kaufmann (1512-1594) más conocido por Mercator. En la figura 1.d puede verse el mapa del

mundo de Mercator.

Figura 1.d.

Mapa del mundo de Mercator.

El gran astrónomo de esta época es Nicolás Copérnico (1473-1543) quien en

su obra "De Revolutionibus Orbium Coelestium" de 1543 da la teoría heliocéntrica del

sistema solar, que vino a revolucionar el pensamiento de la época anclado en las ideas

aristotélicas, se entablaron duras polémicas y se logró indirectamente que la atención

de los astrónomos y geodestas se dirigiese por este camino. Proliferaron las

observaciones, se construyeron observatorios y en general la astronomía tuvo el apoyo

de gobiernos y particulares que de otra manera difícilmente se hubiese logrado.

Naturalmente, la geodesia y la navegación se beneficiaron enormemente de los

resultados que se estaban obteniendo, pues pronto dispusieron de un mejor

conocimiento de las posiciones de los cuerpos celestes indispensables para sus fines

de posicionamiento y orientación. La teoría heliocéntrica pronto fue admitida por el

mundo científico, la razón se imponía a la teología, aunque no sin grandes sacrificios, el

italiano Giordano Bruno (1548-1600) fue ejecutado por hereje al admitir las ideas

copernicanas y Galileo fue obligado a retractarse de las mismas en uno de los procesos

más famosos de la historia, la inquisición.

El gran observador de esta época es Ticho Brahe (1546-1601) cuyas

observaciones del planeta Marte permitieron a Kepler (1571-1630) enunciar sus dos

primeras leyes sobre el movimiento de los planetas.

7

Un invento matemático viene a ayudar de forma definitiva la realización de

cálculos geodésicos y astronómicos. Se trata de los logaritmos inventados por Neper (1550-1617) en 1595, estos no eran ni decimales ni neperianos. Las tablas de

logaritmos decimales fueron publicadas por Briggs en 1624 y los logaritmos neperianos

fueron introducidos por Euler en 1748.

1.2.4 Siglos XVII y XVIII

Las investigaciones y los trabajos geodésicos continúan, pero con unas bases

mucho más científicas que antes. Stevin (1548-1620) intuye la gravedad. Galileo Galilei (1564-1642) aplica el anteojo a las observaciones astronómicas y enuncia las

primeras leyes de la mecánica con los importantes conceptos de velocidad y

aceleración.

En 1615 el holandés Snellius (1580-1626) realizó la primera triangulación

precisa y estudió la refracción; midió un arco entre Bergen op Zoom y Alkmaar con una

base cerca de Leyden. Este método, cuyos principios fueron dados por Gemma Frisius en 1533, perduró hasta el siglo XX con las mejoras aportadas por los instrumentos de

observación y medios de cálculo. También se efectúan mediciones en Inglaterra por

Norwood (1590-1675) que en 1633 mide el arco entre Londres y York y en Italia por los

jesuitas Riccioli (1598-1671) y Grimaldi usando por primera vez ángulos zenitales

recíprocos en 1645, aunque tuvieron problemas con la refracción atmosférica. En 1670 en Francia, el abad Picard (1620-1683) mejora los procedimientos de

observación al aplicar a los instrumentos goniométricos un anteojo provisto de retículo

formado por dos hilos en cruz. Midiendo por triangulación el arco de París entre

Malvoisine (al sur de París) y Sourdon (al sur de Amiens) determinó el radio terrestre y

su resultado (6.275 Km. de radio), fue de trascendental importancia pues sirvió a

Newton (1642-1727) para calcular la distancia a la Luna, que venía dada en unidades

del radio terrestre, y comprobar su ley de gravitación universal formulada en 1666 y

publicada en 1687. Newton suponía que la fuerza de atracción que mantiene la Luna en

su órbita alrededor de la Tierra es la misma que la fuerza que actúa sobre los cuerpos

de la superficie terrestre, entonces solo tenía que comparar la fuerza de atracción con la

gravedad obtenida por Galileo. Los precursores de la ley de Newton parecen ser el

italiano Borelli (1608-1679) y los ingleses Horrox (1619-1641) y Robert Hooke (1635-1703) que dedicó gran parte de su obra al estudio de la gravedad. También disponía

Newton de la matemática necesaria, puesta a punto por él mismo, por Descartes y por

Leibnitz (1646-1716) principalmente.

8

La aplicación de la ley de Newton a la teoría de figuras de equilibrio permitió

concluir que la Tierra no era una esfera sino que debía ser un elipsoide de revolución

achatado por los polos del eje de rotación. En 1672 Richer había observado que el

péndulo astronómico es más lento en Cayena que en París y Huygens (1629-1695), el

gran experto en relojes, que utilizó el primer reloj de péndulo preciso, interpretó estas

variaciones diciendo que la gravedad aumenta del ecuador a los polos porque la Tierra

es achatada. Esto se verifica para el elipsoide de Newton.

El siglo XVIII está dedicado en primer lugar a la medida de la longitud del grado

para determinar el achatamiento de la Tierra y en segundo lugar al desarrollo teórico de

la geodesia dinámica, Por aquel entonces Bradley (1693-1762) descubre la nutación.

El desarrollo de la matemática complementa perfectamente el desarrollo

geodésico. Euler (1707-1783), a quien se deben las primeras teorías sobre el

movimiento de cuerpos rígidos, en particular las ecuaciones de la rotación, junto con

Monge (1746-1816) y Meusnier (1754-1793) definen los elementos fundamentales de

las curvaturas de superficies y las propiedades de las líneas trazadas sobre ellas

llegando a teoremas clásicos de la teoría de superficies de aplicación geodésica.

Trabajos también importantes son los emprendidos por Lagrange (1736-1813) quien en 1788 publica la primera edición de su “Méchanique Analitique”, y obtiene las

ecuaciones del movimiento del polo. En 1785 Legendre (1752-1833) introduce la

noción de potencial y funda la teoría de funciones esféricas y en 1787 publica su

memoria sobre observaciones trigonométricas donde aparece su famoso teorema de

resolución plana de triángulos esféricos.

1.2.5 Siglos XIX y XX

La primera gran operación geodésica en el siglo XIX fue la prolongación hacia

España del meridiano de Francia, preparada por Mechain, por encargo del “Bureau des

Longitudes”, en la que intervinieron por parte de Francia Domingo Francisco Arago (1786-1853) y Juan Bautista Biot (1774-1872) y por parte de España José Chaix y

José Rodríguez y González.

Las medidas de grandes arcos de meridiano y paralelo se sucedieron a lo largo

de este siglo. Como hemos dicho, entre los años 1806 y 1808 Arago y Biot por parte

francesa y Chaix y Rodríguez por parte española prolongaron el meridiano de Francia

en España y enlazaron las islas de Ibiza y Formentera con el continente. En 1817

Struve (1793-1864) y Tanner comienzan la medida del arco del Danubio al Ártico que

terminan en 1849. En 1819 aparece calculado el elipsoide de Walbeck en Rusia. En

1823 Everest (1790-1866) mide el arco de la India y en 1830 publica los datos de su

elipsoide. Este mismo año Airy calcula su elipsoide con arcos de meridiano y paralelo

9

de Gran Bretaña. En 1866 el Coronel norteamericano Clarke (1828-1914) obtiene los

elementos de su primer elipsoide que se utiliza en América del norte y en 1880 publica

el segundo.

Es en el siglo XIX cuando la mayor parte de los científicos de elite establecen y

desarrollan las bases de la geodesia matemática y experimental. Carlos Federico Gauss (1777-1855), astrónomo, geodesta y matemático, director del observatorio de

Gottinga, inventó el heliógrafo y diseñó, calculó y compensó, utilizando por primera vez

el método de mínimos cuadrados, la red geodésica del reino de Hannover en 1821 y dio

las bases de la geometría diferencial de superficies de uso obligado en geodesia

geométrica y dinámica; también estableció el fundamento teórico de la geodesia con la

definición de la superficie matemática de la Tierra, superficie equipotencial que

posteriormente, en 1872, Listing llamaría geoide. Los fundamentos del método de

mínimos cuadrados habían sido establecidos por Mayer en 1748, Laplace en 1787 y

Legendre en 1805.

Con los trabajos realizados a lo largo del siglo se han determinado entre otros los

siguientes elipsoides:

Cuadro 1.a

Elipsoide Semieje mayor (a) Achatamiento (f) Everest (1830) 6.377,276 Km. 1/300,80 Airy (1830) 6.376,542 Km. 1/299,30 Bessel (1840) 6.377,397 Km. 1/299,15 Clark (1888) 6.378,245 Km. 1/293,50 Hayfort (1909) 6.378,388 Km. 1/297,00

Poincaré (1854-1912), demostró que el achatamiento terrestre tenía un límite,

Bruns (1848-1919), introductor de la geodesia tridimensional, presento su famosa

relación entre el potencial perturbador y la ondulación del geoide. Otro gran matemático, geodesta y astrónomo fue Bessel (1784-1846), director

del observatorio de Königsberg, que midió el arco prusiano en 1838, determinó el primer

valor fiable del achatamiento de la Tierra y cuyo elipsoide de 1840 ha formado parte de

algunos datums europeos. En 1888 Küstner observa variaciones periódicas de la latitud de un observatorio

determinada por el método de Talcott y el experimento Berlín-Waikiki de 1891-92,

demuestra que el eje de rotación de la Tierra no está fijo en la corteza. Para el estudio

de este interesante fenómeno se crea en 1899 el Servicio Internacional de Latitudes.

10

Respecto al siglo XX, solo se reseñaran los hechos más sobresalientes. Este

comienza con la aparición de la obra de Helmert (1843-1917) “Die mathematischen und

physikalischen Theorien der höheren Geodäsie”, que viene a sintetizar los trabajos

geodésicos hasta entonces y que ha servido y sirve como libro de referencia

inexcusable. Helmert es el introductor del método de nivelación astrogeodésica para la

determinación del geoide a partir de desviaciones de la vertical. En 1900 crea el

Sistema Gravimétrico de Viena y en 1901 da su fórmula de la gravedad normal.

En 1910 Poincaré resuelve el problema del movimiento del polo para una Tierra

con núcleo líquido.

En 1935 Nicolás Stoyko descubre las variaciones estacionales de la velocidad

de rotación de la Tierra.

En 1937 Kukkamäki estudia la refracción y la nivelación con importantes

resultados. Las observaciones de eclipses de Sol y de ocultaciones de estrellas por la

Luna proporcionan datos suficientes para la determinación de los parámetros del

elipsoide terrestre y para la unión en un mismo sistema de referencia de puntos de la

superficie terrestre alejados. Las observaciones de estos fenómenos proliferan en la

primera mitad del siglo XX.

En 1940 aparecen los trabajos del geodesta finlandés Weiko A. Heiskanen sobre achatamiento de elipsoides de dos y tres ejes, sobre cartas de anomalías de la

gravedad y sobre correcciones isostáticas siguiendo la hipótesis de Airy. En 1950 el japonés Takeuchi resuelve por primera vez numéricamente el

sistema de ecuaciones diferenciales que gobierna las deformaciones elásticas de una

Tierra no homogénea.

En 1957, el 4 de octubre se lanza el primer satélite artificial de la Tierra por los

rusos, el Sputnik 1, el Sputnik 2 fue lanzado un mes después y en febrero de 1958 se

lanza el primer satélite norteamericano Vanguard I. En 1958 comienza la geodesia por

satélites con las cámaras Baker-Nunn y fotografía con fondo de estrellas.

En los años setenta se perfecciona el seguimiento laser a la Luna con nuevos

reflectores depositados allí por los satélites Apollo14 y 15 y el Lunakhod II. El

lanzamiento de satélites continúa con el DIAL, el Oscar 19, el PEOLE, los satélites laser

STARLETTE y LAGEOS, el primer satélite altimétrico Geos-3 y el también altimétrico

Seasat-1. El primer satélite GPS del Bloque I, el PRN4 fue lanzado el 22 de febrero de

1978.

Otros importantes avances en esta década los constituyen las investigaciones

sobre movimientos recientes de la corteza con resultados experimentales en el este de

Europa. Se obtienen perfiles de marea gravimétrica. Aparecen modelos de marea

oceánica.

11

Se determina el WGS 72 como sistema geodésico mundial y se termina la fase II

de la retriangulación Europea RETRIG con el sistema ED-79. Los parámetros de

rotación de la Tierra quedan determinados con precisiones de 2 centésimas de segundo

de arco.

El primer satélite GPS del Bloque II fue lanzado en febrero de 1989. Por su parte

de desarrollan y comercializan receptores portátiles GPS de 10 fabricantes. En esta

década las investigaciones se dirigen fundamentalmente a la geodesia integrada,

geodesia operativa, optimización de redes, rotación de la Tierra y determinación del

geoide. Se realizan campañas de comparación de gravímetros absolutos en Sevres. Se

establecen los datums norteamericanos NADS-83 y NAVD-87. Se determina y

comienza a usarse el Sistema Geodésico Mundial del año 1984 (WGS 84). También se

establece el Sistema Europeo ED-87 y la Red Europea Unificada de Nivelación UELN-

73.

Las técnicas espaciales de posicionamiento alcanzan precisiones relativas de 1

centímetro y los parámetros de rotación de la Tierra se determinan con precisiones de

la milésima de segundo de arco.

La novedad de los años noventa es el uso de satélites medioambientales de

amplio espectro, en 1991 se lanza en ERS-1 de la Agencia Europea del Espacio, en

1992 el TOPEX/Poseidón, misión conjunta de EE.UU. y Francia y en 1995 el ERS-2 de

la ESA. Estos satélites, además de servir como satélites de recursos y oceanográficos,

proporcionan a la geodesia medidas altimétricas con las que se perfeccionan los

modelos de geopotencial, los geoides marinos y la determinación precisa de la SST,

superficie topográfica del mar.

Aparecen en estos años los modernos modelos de geopotencial como los

estadounidenses OSU91A de 1992 y el EGM96 de 1996, entre otros. En paralelo

aparecen los recientes trabajos sobre la determinación del geoide en los países

desarrollados.

1.2.6 Siglo XXI

La geodesia en el siglo XXI da un paso adelante con el ambicioso proyecto

Galileo.

Galileo es la iniciativa europea surgida para desarrollar un Sistema Global de

Navegación por Satélite, de titularidad civil, que proporcione a Europa independencia

respecto a los sistemas actuales: GPS (EEUU) y Glonass (Federación Rusa).

El funcionamiento de Galileo es similar al de sus competidores; todo se basa en

una constelación de satélites que en pocas horas dan la vuelta al mundo. La

12

componente espacial de Galileo está constituida por 30 satélites repartidos en tres

planos orbitales de 23.600 Km. de altura y 55º de inclinación, diseño que mejora su

cobertura en latitudes extremas (cerca de los polos) con respecto a los otros sistemas.

Inicialmente Galileo iba a estar disponible en el 2008 aunque el proyecto acumula

ya tres años de retraso y no podrá comercializar sus primeros servicios hasta 2011,

entre temores de que esa fecha pueda demorarse hasta 2014, entre otros motivos, por

disensiones entre los países participantes.

1.3 Divisiones de la Geodesia

A continuación se muestran las divisiones de la geodesia con sus respectivos

métodos de trabajo.

1.3.1 Astronomía Geodésica

Es aquella parte de la geodesia que con métodos y observaciones astronómicas

trata fundamentalmente de obtener la dirección de la vertical, determina coordenadas

astronómicas (latitud, longitud y azimuts astronómicos). Con los datos obtenidos trata

de determinar el geoide como figura de la Tierra por el método de nivelación

astrogeodésica, y efectuar la reorientación de redes geodésicas en la compensación

con puntos Laplace. Las determinaciones astronómicas, tanto su teoría como sus

métodos son a veces incluidas dentro de la astronomía de posición.

Los métodos de pasos meridianos y de alturas iguales son los más comúnmente

empleados.

1.3.2 Geodesia Geométrica

Es aquella rama de la geodesia en la que los datos de observación están

constituidos por las medidas de ángulos y distancias en la superficie terrestre. Estos

datos son referidos a un elipsoide de referencia para construir las triangulaciones en el

caso de la geodesia clásica bidimensional o bien estudiada en coordenadas

cartesianas, en el caso de la geodesia tridimensional. También son necesarias las

determinaciones de altitudes de puntos sobre una superficie de cota cero. El

conocimiento de la geometría del elipsoide de revolución es fundamental.

http://es.wikipedia.org/wiki/2008�



13

1.3.3 Geodesia Dinámica

Es aquella rama de la geodesia que es basada en la teoría del potencial, trata de

las medidas de la gravedad, del estudio del campo exterior y de la obtención de la

forma de la Tierra; sus datos fundamentales son las medidas de la gravedad efectuadas

generalmente en superficie, y las perturbaciones observadas en el movimiento de un

satélite artificial. Está relacionada con la geodesia geométrica, con la geofísica, con la

astronomía y con la mecánica celeste. Suele subdividirse en gravimetría, teoría del

campo y consecuencias. No obstante a estas divisiones, hoy en día los métodos

globales de la geodesia actúan en conjunto con datos geométricos y dinámicos a fin de

alcanzar sus objetivos de forma conjunta en la llamada geodesia integrada.

Desde el punto de vista temático, la geodesia puede dividirse en diversas

secciones o capítulos que, aunque relacionados unos con otros, algunos de ellos han

adquirido entidad propia. Así, entre otros, tenemos:

Teoría de la Figura de la Tierra: Constituida por los principios de la teoría del potencial

y teoría de figuras de equilibrio aplicados al campo de gravedad terrestre.

Teoría de Redes Geodésicas: Incluye el estudio de las triangulaciones y

trilateraciones, el cálculo y compensación de redes geodésicas y el cálculo de

coordenadas, con el análisis estadístico de los resultados.

Nivelación: Trata de todo lo referente a la medida de altitudes y establecimiento de

redes altimétricas.

Teoría de la Rotación de la Tierra: Estudia el movimiento de rotación de la Tierra, en

un sistema de referencia fijo en el espacio (precesión y nutación) y en un sistema de

referencia fijo al cuerpo (velocidad de rotación y movimiento del polo) y está

íntimamente ligada a la astronomía en lo referente a los sistemas de tiempo y nutación

y a la geofísica con los modelos del interior de la Tierra. Sus principales datos son las

determinaciones astronómicas clásicas, los resultados de la geodesia doppler, GPS,

laser y VLBI (Very Long Baseline Interferometry).

Gravimetría: Trata de las determinaciones de la gravedad, sus reducciones, cálculo de

anomalías y establecimiento de redes gravimétricas; sirve de base para aplicaciones

geodésicas y geofísicas.

14

1.3.4 Geodesia Física

Está constituida por aquellas teorías y métodos encaminados a la determinación

del geoide, con datos dinámicos o gravimétricos, mediante un análisis del problema de

contorno de la teoría del potencial. Describe los modelos terrestres de comparación

para el establecimiento de la figura de la Tierra, calcula y utiliza fundamentalmente las

anomalías gravimétricas. También estudia el campo exterior de la gravedad.

Mareas Terrestres: Estudia las desviaciones periódicas de la vertical, debidas a las

acciones gravitatorias del Sol y la Luna y sus efectos sobre el geoide y deformaciones

de la Tierra, tanto desde un punto de vista teórico, como numérico y experimental.

1.3.5 Geodesia Tridimensional

Trata el problema de la forma y dimensiones de la Tierra en un sistema de

referencia tridimensional, aquí el elipsoide solo será una superficie auxiliar de la que

puede prescindirse.

1.3.6 Geodesia Espacial

Esta nueva rama de la geodesia trata principalmente con satélites artificiales

cuya observación resulta más cómoda y precisa que la tradicional. Aplica técnicas

tridimensionales y resuelve todos los problemas de la geodesia tanto geométricos como

dinámicos.

Como entidad independiente, se tienen:

Cartografía: Trata del establecimiento de cartas de todo tipo y engloba todas las fases

de trabajo, desde los primeros levantamientos hasta la impresión final de los mapas. Se

incluyen los Sistemas de Información Geográfica.

Topografía: Trata del estudio y aplicación de los métodos necesarios para llegar a

representar el terreno con todos sus detalles, naturales o no, en él existentes, así como

de los instrumentos utilizados.

Fotogrametría: Técnica que trata de estudiar y definir con precisión las formas,

dimensiones y posiciones en el espacio, de un objeto cualquiera, utilizando

esencialmente una o varias fotografías del mismo.

15

Capítulo II

El Datum

Antes de entrar de lleno a la definición del datum y sus alcances, se explicarán

primeramente unos conceptos que forman parte esencial de esta definición.

2.1 El Geoide Terrestre

La palabra geoide significa “forma de la Tierra” y fue introducida por Listing en el

año 1872, mencionado previamente. El geoide constituye una superficie equipotencial

imaginaria que resulta de suponer la superficie de los océanos en reposo y prolongada

por debajo de los continentes y que sería la superficie de equilibrio de las masas

oceánicas sometidas a la acción gravitatoria y a la de la fuerza centrífuga ocasionada

por la rotación y traslación del planeta, de manera que la dirección de gravedad es

perpendicular en todos los lugares.

El geoide tiene en cuenta las anomalías gravimétricas (debidas a la distribución

de las masas continentales y la densidad de los componentes de la Tierra) y el

achatamiento de los polos, por el cual es una superficie irregular con protuberancias y

depresiones.

Aparte de obtener el geoide desde el punto de vista gravimétrico, también se

puede obtener con mediciones astronómicas, las cuales se fundan en la dirección de

gravedad del lugar, y también con mediciones de las deformaciones producidas en la

órbita de los satélites.

A continuación se muestra una imagen del geoide, exagerada para una mejor

comprensión, ya que el geoide realmente se vería como un elipsoide con pequeñísimas

irregularidades, casi imperceptibles. Esto quedará más claro al comparar el geoide con

el elipsoide, lo cual se verá más adelante.

16

Figura 2.a.

Geoide con irregularidades exageradas.

La obtención de una superficie de referencia, con una definición matemática

sencilla que permita efectuar cálculos, es imprescindible para poder realizar la

proyección de los puntos del relieve terrestre sobre la misma y permitir la elaboración

de cartas, mapas y planos. El geoide no puede ser la superficie de referencia adoptada

por lo irregular, se toma entonces la hipótesis de escoger un elipsoide de revolución que

se adapte en lo posible al geoide, denominando a este elipsoide, como elipsoide de

referencia.

2.2 El Elipsoide Terrestre

Debido a las irregularidades que presenta la superficie física de la Tierra, se hace

necesario asimilarla a una cierta superficie más o menos ideal que reproduzca ciertas

magnitudes físicas, es lo que denominamos un "modelo", en el caso del geoide este

sería el modelo dinámico.

Desde el punto de vista geométrico, el modelo de la Tierra puede considerarse

en primera aproximación, como una esfera de radio igual a 6.371 kilómetros, y en

17

segunda aproximación, como un elipsoide de revolución, este elipsoide es el resultado

de revolucionar una elipse sobre su eje menor.

La esfera y el elipsoide son equivalentes, tanto en área como en volumen, y el

radio de la esfera, llamado radio medio de la Tierra (RMT), es la media aritmética de los

tres semiejes del elipsoide, con RMT = ((2 x a) + b) / 3.

En cuanto a las irregularidades de la Tierra son detectables y no extrapolables a

todos los puntos de la misma, ya que no existe un único modelo matemático que

represente toda la superficie terrestre, por lo que cada continente, nación, o

determinada región emplean un elipsoide de referencia distinto, que se adapte mejor a

la forma de la Tierra en la zona a cartografiar, dejando el eje menor del elipsoide

paralelo al eje de rotación de la Tierra, y el eje mayor paralelo al plano del ecuador

terrestre.

Los elementos del elipsoide de revolución que fue adoptado como "elipsoide

internacional" por la Asamblea General de la Unión Geodésica y Geofísica Internacional

(U.G.G.I.) celebrada en Madrid en 1924 son:

Radio ecuatorial (a) = 6.378,388 Km.

Achatamiento (f) = (a - b) / a = 1/297

De los que se deduce:

Radio polar (b) = 6.356,912 Km.

Excentricidad (e) = ((a2 - b2)1/2) / a

2ª Excentricidad (e´) = ((a2 - b2)1/2) / b

18

Pe

b

c a Qe´

Pe´

Qea

Figura 2.b.

El elipsoide.

Como consecuencia de los resultados obtenidos mediante la observación de

satélites artificiales, en la Asamblea General de la Unión Astronómica Internacional

(U.A.I.), celebrada en Hamburgo en 1964, se recomendó trabajar con los siguientes

elementos:

a = 6.378,160 Km.

f = 1/298,25

Últimamente, en la Asamblea General de la Unión Astronómica Internacional que

se celebró en Grenoble en 1976, se adoptó un nuevo sistema de constantes

astronómicas, designado por IAU (1976), que entró en vigor el 1 de enero de 1984, en

él se toma:

a = 6.378,140 Km.

f = 1/298,257

Tras la definición del elipsoide de referencia, surge la pregunta sobre la

necesidad del mismo y su relación con las observaciones que se efectúan sobre la

superficie terrestre. Debe quedar claro que estas últimas deberán ser corregidas

(reducción) y referidas al elipsoide, pues éste último será la base para la posterior

elaboración de cartas, mapas y planos.

19

Para la reducción es necesario el conocimiento de las desviaciones entre la

superficie real terrestre y la del elipsoide de referencia. Para ello tendremos que:

1) Determinar la altura de los puntos que están sobre la superficie terrestre.

2) Medir las desviaciones de la vertical en dichos puntos.

3) Calcular la fuerza gravitatoria en los puntos indicados, para lo cual suelen

utilizarse los gravímetros.

Estas determinaciones entran de lleno en el campo de la geodesia física, y su

cálculo se realiza basándose en la teoría del potencial gravitatorio y las ecuaciones de

Laplace, entre otros.

2.3 Relaciones entre el Geoide y el Elipsoide

A continuación primeramente se definirán unos parámetros que intervienen en

los siguientes análisis de las relaciones entre el geoide y el elipsoide para un

determinado punto de la superficie de la Tierra.

Vertical Geocéntrica: Esta vertical es la normal a una esfera con centro en el centro de

masas de la Tierra (este centro es un punto en común que tienen estas verticales).

Vertical Geodésica: Esta vertical es la normal al elipsoide (estas verticales no tienen

un punto en común).

La vertical geocéntrica y la vertical geodésica coinciden solo en el ecuador y en

el polo.

Vertical Astronómica: Esta vertical es la normal al geoide (estas verticales no tienen

un punto en común).

Además para los análisis, el centro de masas de la Tierra es coincidente con el

centro del elipsoide.

20

2.3.1 Ángulo Radial de la Vertical

Este ángulo es el que se forma entre la vertical astronómica o vertical física y la

vertical geocéntrica para un determinado punto, medible sobre el meridiano, y tiene un

valor igual a cero en el ecuador y en los polos, pero en otras latitudes formará un

ángulo, al que se le llama ángulo radial de la vertical. Este ángulo es máximo alrededor

de los 45º de latitud, alcanzado un valor de unos 11,5 minutos de arco (no confundir

este concepto con el de la desviación de la vertical). Esto ocurre ya que la Tierra tiene

forma elipsoidal debido a la rotación, de no existir ésta, la dirección de la gravedad

siempre coincidiría con el centro de masas de la Tierra.

Vertical Geocéntrica

θa = Ángulo Radial

c aQt

Vertical Astronómica

Superficie de la TierraGeoideElipsoide

b

Pt

Meridiano Celeste

θa

Figura 2.c.

Angulo radial de la vertical.

2.3.2 Desviación de la Vertical

Se conoce como desviación de la vertical, al ángulo que existe entre la vertical

astronómica y la vertical geodésica, para un determinado punto, medible sobre el

21

meridiano, su valor varía desde fracciones de segundo hasta un minuto de arco,

especialmente en aquellas partes del geoide en que la protuberancias y depresiones

son máximas, como en zonas cercanas al sur de la India, alrededor de Nueva Guinea y

al weste de Irlanda.

Cuando la desviación de la vertical es igual a cero, quiere decir que la vertical

astronómica y la vertical geodésica, están contenidas en el mismo plano de latitud, o en

planos distintos, pero paralelos.

θv = Desviación de

c

b

aQt

Vertical Geodésica

Meridiano Celeste

ElipsoideGeoideSuperficie de la Tierra

Pt


θv

Figura 2.d.

Desviación de la vertical.

2.3.3 Desviación Sobre el Meridiano

Esta desviación es el ángulo que se forma entre la vertical geodésica y la vertical

astronómica, para un determinado punto, medible sobre el vertical primario, su valor al

igual que la desviación de la vertical varía desde fracciones de segundo hasta un

minuto de arco, y son máximas en las mismas zonas.

22

Cuando la desviación sobre el meridiano es igual a cero, quiere decir que la

vertical astronómica y la vertical geodésica, están contenidas en el mismo plano de

meridiano, o en planos distintos, pero paralelos.

θm = Desviación Sobre



c´

al Meridiano Geodésico.

θm

Vertical Primario

Figura 2.e.

Desviación sobre el meridiano.

2.3.4 Ondulación Geoidal

La desigual distribución de la gravedad superficial, y de lo local de las

perturbaciones, causa que existan zonas de la Tierra por encima del geoide y por

debajo de éste, a esta diferencia se la conoce como ondulación geoidal, o también

conocida como altura o separación geoidal, es la diferencia o separación entre el

elipsoide y el geoide, y su magnitud va a depender de la mayor o menor diferencia

gravitatoria.

Estas diferencias gravitatorias son causadas por la composición terrestre y la

presencia de la gran masa de agua en los océanos, que causa una menor atracción, y

23

hace que, por lo general, el geoide quede por encima del elipsoide en la zona

continental y por debajo en la zona oceánica.

Incremento de Masa

Ondulación Geoidal

Nivel Medio del Mar Anomalía Gravitatoria Negativa

Decremento de Masa

Geoide

Superficie de la Tierra Anomalía Gravitatoria Positiva

Elipsoide

Figura 2.f.

Ondulación geoidal.

2.4 Sistemas de Coordenadas Terrestres

Los sistemas de coordenadas geodésicos han sido de escaso interés para la

mayoría de los técnicos, hasta la llegada de los modernos sistemas de posicionamiento

por satélite, por lo que se hace necesario definir las distintas coordenadas según su

referencia para identificar sus diferencias y aplicaciones.

2.4.1 Coordenadas Astronómicas Latitud Astronómica: Es el ángulo formado entre la vertical astronómica de un punto y

el ecuador celeste. Esta latitud es la que resulta directamente de observaciones de

cuerpos celestes, por ende es la verdadera latitud para un determinado punto. Se mide

de 0º a 90º (Norte y Sur). Ecuador celeste (0º), hacia el polo norte y sur hasta los 90º

(ídem para las latitudes geodésicas y las geocéntricas).

Longitud Astronómica: Es el ángulo formado entre la vertical astronómica de un punto

y el meridiano celeste de Greenwich. Esta longitud, al igual que la latitud resulta

directamente de observaciones de cuerpos celestes. Se mide de 0º a 180º (Este y

Weste). Meridiano celeste de Greenwich (0º), hacia el este y weste hasta los 180º (ídem

para las longitudes geodésicas y las geocéntricas).

24

Éstas son las coordenadas observadas por los navegantes, que usan un

sextante y un reloj muy exacto para posicionarse, basándose en la rotación de la Tierra,

además, las observaciones astronómicas, también pueden ser determinadas con

instrumentos ópticos que utilizan dispositivos niveladores los cuales hacen coincidir el

eje vertical del instrumento con la dirección de la gravedad, esto quiere decir que son

perpendiculares al geoide, por consiguiente las posiciones astronómicas coinciden con

el geoide, al cual, como ya se nombró unos puntos atrás, no se le puede aplicar un

modelo matemático, ya que este es irregular, al contrario del elipsoide, que es la

superficie regular más próxima a la Tierra.

Yendo de menor a mayor precisión, se tiene a la esfera, el elipsoide, el geoide, y

la superficie real de la Tierra.

Las coordenadas astronómicas también son llamadas coordenadas geográficas,

aunque también se les denomina así a las coordenadas geodésicas.

2.4.2 Coordenadas Geodésicas

Latitud Geodésica: Es el ángulo formado entre la vertical geodésica de un punto y el

ecuador celeste. Se mide de 0º a 90º (Norte y Sur). Además, debido a la forma achatada del elipsoide, la longitud de un grado de

latitud geodésica no es el mismo para todo el elipsoide, aumentando aproximadamente

de 59,7 millas náuticas en el ecuador a aproximadamente 60,3 millas náuticas en los

polos, estas diferencias en el grado de latitud geodésica se analizarán en el capítulo 3,

punto 3.2.1.

Cuando la posición sea geodésica, es necesario que se dé a conocer, para no

confundirla con la astronómica, ya que existe una pequeña diferencia entre sus

verticales para un determinado punto de la Tierra, conocido como desviación de la

vertical, visto previamente, aunque esta diferencia no tiene mayor relevancia desde el

punto de vista del navegante.

Longitud Geodésica: Es el ángulo formado entre la vertical geodésica de un punto y el

meridiano celeste de Greenwich. Se mide de 0º a 180º (Este y Weste). Esta longitud difiere de la longitud astronómica debido a la diferencia entre sus

verticales, lo que se conoce como desviación sobre el meridiano, visto previamente.

Las coordenadas geodésicas son las que se utilizan para el trazado de cartas,

mapas y planos.

25

2.4.3 Coordenadas Geocéntricas

Latitud Geocéntrica: Es el ángulo formado entre la vertical geocéntrica de un punto y

el ecuador celeste. Se mide de 0º a 90º (Norte y Sur). Si referimos las latitudes geocéntricas al elipsoide, los paralelos de latitud son

círculos menores exactos, igual que los paralelos de latitud geodésicos, pero separados

entre si una cierta distancia, a diferencia de las latitudes astronómicas, los paralelos de

latitud son círculos menores levemente irregulares.

Longitud Geocéntrica: Es el ángulo formado entre la vertical geocéntrica de un punto

y el meridiano celeste de Greenwich. Se mide de 0º a 180º (Este y Weste).

Las longitudes geodésicas y geocéntricas son las mismas, ya que ambas se

refieren a superficies regulares, por último cabe agregar que las coordenadas celestes

(declinación y ángulo horario de un astro) son las mismas que las coordenadas

geocéntricas, ya que ambas tienen como referencia al centro de masas de la Tierra.

A continuación se muestra una figura con las distintas latitudes y longitudes.

Mer

idia

no d

e G

reen

wich

Ondulación Geoidal

λ

a

cλ2

ψ

b

ϕ

λ1

φa Qt

Vertical Geodésica

Vertical GeocéntricaPt



Meridiano Celeste

Figura 2.g, coordenadas angulares.

26

Con:

ϕ = latitud astronómica. φ = latitud geodésica. ψ = latitud geocéntrica.

λ1 = longitud astronómica. λ = longitud geodésica. λ2 = longitud geocéntrica.

2.4.4 Coordenadas Rectangulares Geocéntricas

Definido las distintas coordenadas, es posible definir un sistema de coordenadas

cartesianas (x, y, z). Asociado de esta forma, tenemos un triedro en el que el eje X

suele tomar la dirección del meridiano de origen, el eje Z es perpendicular al plano

ecuatorial, y el eje Y es perpendicular a los otros dos. El origen de este nuevo sistema

de referencia puede ser el centro del elipsoide (c), o bien el centro de masas de la

Tierra, ver figura 2.h.

Pe´

Qe

X

c a

b

Pe

Z

Qe´

h

Yφλ

(x, y, z) (φ, λ, h)P

Figura 2.h.

Coordenadas rectangulares geocéntricas

y coordenadas geodésicas.

27

A continuación se muestran unas ecuaciones con las que a partir de las

coordenadas geodésicas (φ, λ, h) se pueden obtener las coordenadas rectangulares

geocéntricas (x, y, z):

x = (V + h) x Cos φ x Cos λ (2-1)

y = (V + h) x Cos φ x Sen λ (2-2)

z = (k x V + h) x Sen φ (2-3)

Donde:

V = a / (1 - (1 - k) x Sen2 φ)1/2

k = b2 / a2 = (1 - f)2

φ = latitud geodésica.

λ = longitud geodésica.

h = altura normal al elipsoide.

f = achatamiento.

a y b = semiejes mayor y menor del elipsoide, respectivamente.

Con (y) positivo si el signo de la longitud geodésica es Este, y (z) positivo si el

signo de la latitud geodésica es Norte, por ende si los signos son Weste y Sur serán

negativos.

A continuación se muestra el caso contrario al anterior, en el cual a partir de las

coordenadas rectangulares geocéntricas (x, y, z) se pueden obtener las coordenadas

geodésicas (φ, λ, h):

Para este caso el valor de φ se obtiene mediante un proceso de iteración con la

siguiente expresión:

C = z / Tg φ + a x (1 - k) / (1 + k x Tg2 φ)1/2 (2-4)

Donde:

C = (x2 + y2)1/2

28

La primera aproximación de φ se puede obtener con:

φ = arcTg (z / (k x (x2 + y2)1/2))

λ se obtiene directamente con:

λ = arcTg (y / x) (2-5)

Con el valor de φ que satisface el valor de C, se determina h, con:

h = (z / Sen φ) - k x V (2-6)

En el Anexo D se pueden apreciar las obtenciones matemáticas de estas

equivalencias entre coordenadas.

Con el desarrollo de la geodesia cósmica, los sistemas de coordenadas

espaciales han cobrado una gran importancia. La resolución de los problemas

geodésicos con estos sistemas se denomina geodesia tridimensional.

2.4.5 Coordenadas Rectangulares Planas

En general, el sistema de coordenadas geográficas es muy adecuado para

grandes superficies, pero para pequeñas zonas se utilizan las coordenadas

rectangulares planas, por lo simple de su utilización.

Estas coordenadas empezaron a utilizarse durante la Primera Guerra Mundial,

actualmente, el empleo de sistemas de cuadrícula es prácticamente universal, sin

embargo, el cambio de un sistema a otro no es fácil, pues la superficie del elipsoide no

es desarrollable, es decir, no puede extenderse sobre un plano sin sufrir deformaciones

ni rasgaduras.

La solución que se ha adoptado es la de representar la superficie del elipsoide

sobre un plano según una determinada ley matemática.

29

Existen gran cantidad de leyes matemáticas que permiten la representación del

elipsoide sobre un plano, pero una de las premisas fundamentales es la de obtener la

mínima distorsión al proyectar los elementos de una superficie a la otra. Es entonces

cuando entramos de lleno en los dominios de la cartografía y de las proyecciones

cartográficas.

En el Anexo A se puede apreciar una descripción general de las Proyecciones

Cartográficas.

Por Ultimo, los distintos sistemas de coordenadas definidos, aunque parezcan

relativamente complejas, son más que simplificaciones de un problema todavía más

complicado, pues se han despreciado los siguientes efectos:

El eje de rotación instantáneo no está fijo con respecto a la masa sólida de la

Tierra, sino que está afectado de un cierto movimiento, denominado movimiento polar.

Este efecto fue predicho por Euler en 1765, pero no ha sido determinado con exactitud

hasta mucho tiempo después, como resultado, la posición del polo norte (intersección

del eje de rotación con la superficie terrestre) puede variar alrededor de 5 a 10 metros

cada año. Por esta razón, lo más usual es definir las coordenadas con respecto a un eje

medio, internacionalmente admitido, y no con respecto al eje de rotación instantáneo.

Por otra parte, el meridiano de origen no pasa por un punto en particular de

Greenwich, sino que se define como el valor medio de las longitudes adoptadas para

una serie de observatorios en todo el mundo. En este sentido, en el año 1988, el

International Earth Rotation Service (IERS), cuya sede está en París, definió el eje de

rotación medio, el IERS Reference Pole (IRP, Polo Norte de Referencia) y el meridiano

de origen, denominado el IERS Reference Meridian (IRM).

Por último, si nos centramos en las coordenadas astronómicas, debemos saber

que es posible que las direcciones de la vertical astronómica (según el vector de

gravedad) puedan ser paralelas en una pequeña zona de la superficie terrestre, lo que

implicaría que la latitud y la longitud astronómica serían la misma para esta pequeña

zona.

30

2.5 El Datum

El datum se define como el punto donde el geoide y el elipsoide son tangentes y

coincidentes desde el punto de vista de la vertical astronómica y la vertical geodésica.

Cada datum se compone de:

1) Un punto fundamental.

2) Un elipsoide de referencia.

Respecto al punto fundamental es aquel punto en el cual coinciden la vertical

astronómica y la vertical geodésica, además de un azimut en una dirección con origen

en el punto fundamental. En cuanto al elipsoide de referencia, éste se define por el

semieje mayor y el achatamiento.

El elipsoide se aproxima al geoide de tal forma que, cuanto más cerca del datum

(punto fundamental) nos hallemos, mejor resultados se obtienen, es por tanto éste, un

método local, válido con precisión únicamente para una zona restringida de la Tierra.

Actualmente, se están utilizando como referencia elipsoides centrados en el centro de

masas de la Tierra, consiguiendo una aproximación en toda la superficie terrestre. Es

por esto que el elipsoide geocéntrico debe ser calculado cuidadosamente para

minimizar el error global, lo cual se consigue combinando las mediciones terrestres con

observaciones por satélite. Cabe agregar que los elipsoides geocéntricos no poseen

punto fundamental, pero igual se les denomina datums (datums geocéntricos).

La forma habitual de determinar las coordenadas de un punto es enlazar por

medios topográficos con una red geodésica. Todos los puntos de ésta se han calculado

por triangulación y observaciones topográficas en relación al datum. El hecho de que se

conozcan con precisión las coordenadas astronómicas y el azimut en el datum permite

que se puedan calcular las coordenadas referidas al elipsoide. De esta forma se tiene

que las coordenadas geodésicas están referidas a un sistema geodésico, elipsoide y

datum. El mismo punto de la superficie terrestre tendrá distintas coordenadas en

distintos sistemas, con una oscilación típica de 100 a 300 metros. Esto hace que el

sistema geodésico sea de importancia en escalas superiores a 1:400.000.

31

c´

cm a

a´ Qe´Qe


b´

Pe

b

Pe´

Superficie de la Tierra

Geoide

Punto Fundamental

Vertical GeodésicaDatum Geocéntrico

Datum Local

Figura 2.i.

Datum geocéntrico y local.

Con:

cm = centro de masas de la Tierra, coincidente con el centro del elipsoide geocéntrico.

c´ = centro del elipsoide local.

2.5.1 Tipos de Datums

Respectó al datum, este puede ser horizontal o vertical (según su referencia) y

además el datum puede ser local o geocéntrico, para el caso del elipsoide.

Los datum horizontales y verticales no es algo propio del elipsoide, sino que

puede abarcar varias superficies, según cuál se tome como referencia, como se verá a

continuación.

El datum horizontal, es cualquier modelo para ubicar posiciones en la superficie

de la Tierra, si se considera al elipsoide como datum horizontal, las cartas de

navegación serían un ejemplo de esto.

32

En cambio un datum vertical es cualquier superficie nivelada (por ejemplo el

Nivel Medio del Mar) que se toma como superficie de referencia a partir de la cual se

calculan las elevaciones, usualmente se escoge el geoide, el cual es la superficie

equipotencial del campo gravitacional terrestre que mejor se aproxima al nivel medio del

mar.

Las alturas referidas al geoide, se llaman alturas ortométricas (H), y son las que

usualmente se encuentran representadas en las cartas topográficas. Si el geoide es

reemplazado por un elipsoide, se puede definir la altura elipsoidal (h), también llamada

altura geométrica.

En cuanto a los datums locales, en el mundo existen varios centenares, y como

se nombró previamente, son referenciados a un punto conveniente de referencia (punto

fundamental), de la zona a cartografiar. Actualmente los datum horizontales locales se

están dejando de lado con la aparición del datum horizontal geocéntrico WGS 84 (World

Geodetic System 1984), el NAD83 es otro tipo de datum horizontal geocéntrico, de esto

se desprende que los datum geocéntricos carecen de punto fundamental, y que las

posiciones determinadas en los datum horizontales locales, serán más próximas a las

posiciones astronómicas que los datum horizontales geocéntricos, especialmente cerca

del punto fundamental.

2.5.2 Universo de Elipsoides y Datums Utilizados en Geodesia

Respecto al universo de elipsoides y datums que se utilizan en geodesia, estos

se pueden apreciar en el Anexo B.

2.5.3 El Datum Según su Área de Aplicación

Respecto al datum según su área de aplicación, existe una gran variedad de

datums para una misma zona, por esto solo se mostrarán los datums que se utilizan en

Sudamérica, los cuales se pueden apreciar en el Anexo C.

2.5.4 Diferencias en el uso de Distintos Datums

Como se nombró previamente, en el mundo existen una gran cantidad de

datums, cada uno con un ámbito de aplicación distinto, y no puede ser empleado fuera

de la zona geográfica para la que fue creado, por ejemplo, el datum NAD 27 es de uso

exclusivo de América del norte, en cambio el datum ED50 es de uso exclusivo de

Europa.

33

Solo algunos datums se pueden aplicar globalmente como el WGS 84, pero al

ser un datum global, siempre existirán diferencias al compararla con las posiciones

astronómicas, y por ende siempre tendrán diferencias con los datums locales, es por

esto que un punto tiene coordenadas geográficas distintas en función del datum de

referencia.

En el recorte 2.a se muestra un ejemplo de esto, en el cual se muestra el

rotulado de una carta náutica, en el que, en la parte inferior del rotulado se muestra un

valor de corrección en latitud y longitud para posicionar un punto referido al datum NAD

27, también en el rotulado hacen referencia a que el datum NAD 83 es equivalente con

el WGS 84, esto se debe esencialmente a que las diferencias entre ambos son del

orden del metro, algo imperceptible debido a la escala a la cual está proyectada esta

carta.

Recorte 2.a.

Rotulado de una carta náutica.

34

A continuación se muestran otros ejemplos, para los cuales se considera una

latitud de 39º 50´ S y una longitud de 73º 15´ W, para distintos datums, con su

respectiva posición transformada referida al datum WGS 84.

Cuadro 2.a.

Posición a considerar perteneciente al área de aplicación del datum.

Datum Posición a Posición Transformada Elipsoide Considerar Referida al Datum WGS 84

P. SOUTH A. 1956 L = 39º 50´ S L = 39º 49´ 39,43´´ S International 1924 G = 73º 15´ W G = 73º 14´ 50,66´´ W SOUTH A. 1969 L = 39º 50´ S L = 39º 49´ 58,46´´ S South A. 1969 G = 73º 15´ W G = 73º 14´ 56,97´´ W

Cuadro 2.b.

Posición a considerar NO perteneciente al área de aplicación del datum.

Datum Posición a Posición Transformada Elipsoide Considerar Referida al Datum WGS 84

ARC 1950 L = 39º 50´ S L = 39º 49´ 42,47´´ S Clarke 1880 G = 73º 15´ W G =73º 14´ 53,15´´ W BISSAU L = 39º 50´ S L = 39º 49´ 51,69´´ S International 1924 G = 73º 15´ W G =73º 14´ 56,10´´ W SCHWARZECK L = 39º 50´ S L = 39º 49´ 57,63´´ S Bessel 1841 G = 73º 15´ W G = 73º 15´ 25,99´´ W IRELAND 1965 L = 39º 50´ S L = 39º 50´ 23,19´´ S Airy (Modificado) G = 73º 15´ W G = 73º 15´ 18,90´´ W KERTAU 1948 L = 39º 50´ S L = 39º 49´ 48,99´´ S Everest (1948) G = 73º 15´ W G = 73º 15´ 9,87´´ W SOUTH ASIA L = 39º 50´ S L = 39º 49´ 59,69´´ S Fischer 1960 (Mod.) G = 73º 15´ W G = 73º 15´ 0,16´´ W WAKE-E. 1960 L = 39º 50´ S L = 39º 49´ 55,73´´ S Hough G = 73º 15´ W G = 73º 15´ 4,74´´ W

Las distintas posiciones transformadas de los cuadros 2.a y 2.b, se obtuvieron

utilizando un programa geodésico, el cual se basa en el método de transformación de 3

parámetros (Δx, Δy, Δz). Con este método se obtienen exactitudes alrededor de 8 a 10

metros.

En el Anexo C se pueden apreciar los 3 parámetros de transformación (Δx, Δy,

Δz), de los datum utilizados en Sudamérica relacionados con el WGS 84.

Cabe agregar que existen varios métodos de transformación, aparte de la

transformación de 3 parámetros, tales como la transformación de 7 parámetros,

Molodensky y regresión múltiple, entre otros.

En el punto 4.5.3 se muestra el método de transformación estándar de

Molodensky.

35

Capítulo III

El Elipsoide como Superficie de Referencia

En los cálculos realizados en navegación se considera a la Tierra como una

esfera, que en realidad es más semejante a un elipsoide, por lo que en algunos casos

existen unas pequeñas diferencias, tanto en distancias, como por paralaje (Luna), tales

diferencias son las que se mostrarán en este capítulo, con resoluciones matemáticas,

apoyadas con gráficos para una mayor comprensión.

3.1 La Esfera y el Elipsoide

En este punto se mostrarán unos análisis de las diferencias básicas entre la

esfera y el elipsoide, así como también las fórmulas para determinar estas diferencias.

Tales análisis se aplicarán a los distintos puntos tratados en este capítulo.

Primero que nada se tienen que identificar las diferencias entre las coordenadas

geocéntricas y las geodésicas.

Recapitulando, en cuanto a las coordenadas geocéntricas, todas las latitudes

tienen un punto en común, el centro de masas de la Tierra (centro del elipsoide), a

diferencia de las coordenadas geodésicas las latitudes no tienen un punto en común,

dicho de otro modo, la vertical geocéntrica forma un ángulo distinto al que forma la

vertical geodésica con el ecuador, para un mismo punto sobre el elipsoide, solo en el

ecuador y en el polo ambas verticales coinciden.

En la figura 3.a se muestra un ejemplo de lo anterior, en la cual para una latitud

geocéntrica (ψ), le corresponde una latitud geodésica (φ).

En cuanto a las longitudes, ambas coordenadas son afines, ya que comparten el

mismo eje, eje polo norte-sur, por ser superficies regulares.

Cabe agregar que para todas las fórmulas de este capítulo, a las coordenadas

geodésicas se las pueden considerar como coordenadas astronómicas o geográficas

(recordando que este último término también se utiliza para las geodésicas), ya que las

diferencias entre las coordenadas geodésicas y las astronómicas son despreciables

desde el punto de vista del navegante.

36

Meridiano Celeste del Observador

Horizonte Sensible

Horizonte Verdadero

θ

Qe

a

φ

c´ c

ψ

Zψ Zφ

Circunferencia de Referencia

Pe

b

Elipse

θ

Figura 3.a.

Diferencia entre la esfera y el elipsoide.

Con:

Zψ = zenit geocéntrico de ψ.

Zφ = zenit geodésico de φ.

θ = diferencia entre las verticales geodésica y geocéntrica, que le corresponde a φ.


Qe, Pe y c = ecuador, polo y centro del elipsoide, respectivamente.

La latitud geocéntrica (ψ) se puede obtener con la siguiente fórmula:

37

ψ = arcTg (k x Tg φ) (3-1)

Donde:

k = b2 / a2 = (1 - f)2


f = achatamiento.


En el Anexo D se puede apreciar la obtención matemática la fórmula (3-1).

Además de la figura 3.a se deduce que θ es:

θ = φ - ψ = φ - arcTg (k x Tg φ) (3-2)

Lo expresado en la figura 3.a a primera vista parece ser algo irregular, ya que la

normal a la esfera es muy distinta a la normal al elipsoide, teniendo presente que para

la forma de la Tierra, como primera aproximación se tiene a la esfera, como segunda al

elipsoide, y como tercera al geoide.

El salto entre la esfera y el elipsoide tiene diferencias máximas cercanas a 21

kilómetros en la posición, y el salto entre el elipsoide y el geoide tiene diferencias

máximas cercanas a los 2 kilómetros.

Un ejemplo claro de lo mostrado en la figura 3.a, utilizando la fórmula (3-1), sería

relacionar las coordenadas celestes con las coordenadas geodésicas, para un punto de

la superficie del elipsoide, la cual sería:

Para una declinación (ψ) de 39º 48,6´ S, con un ángulo horario de Greenwich de

73º al W, le corresponde una latitud geodésica de 40º N y una longitud de 73º W.

Este es el motivo por el cual se relacionan las coordenadas celestes con las

coordenadas geográficas solo para grandes distancias (astros), ya que ambas

coordenadas coinciden en un único valor (figura 3.b). Es conveniente ver lo que sucede

al proyectar las coordenadas celestes sobre la superficie de la Tierra, y un ejemplo de

esto se ve en el punto 3.2.4 (triángulo de posición).

Además del ejemplo anterior se desprende que la declinación y la latitud

geocéntrica son lo mismo, tanto para cortas como para grandes distancias, ya que

ambas se refieren al centro de masas de la Tierra (c).

38

Como ya se identificaron en detalle a las diferencias entre las coordenadas

geocéntricas y las geodésicas, a continuación se mostrará lo que sucede para una

latitud geocéntrica y una geodésica de igual ángulo respecto del ecuador.

Lo que ocurre es que la latitud geodésica (φ) se encuentra a cierta distancia

hacia el ecuador de la latitud geocéntrica (ψ2), ambas latitudes de igual ángulo respecto

del ecuador, correspondiéndole a la latitud geodésica (φ) una latitud geocéntrica distinta

(ψ).

Esta cierta distancia expresada horizontalmente viene a ser la distancia horizontal

entre las verticales geodésica y geocéntrica (Dv), de lo que se deduce que Dv es

perpendicular a las verticales, y que ambas verticales son paralelas, figura 3.b.

Pe



Horizonte Verdadero

Horizonte Sensible

Vertical Geodésica

Qe

a φ

c´ c

θ

ψ2

ψ

b

Elipse

Vertical Geocéntrica

Dv

θ

Z Z 2

Figura 3.b.

Latitudes geocéntrica y geodésica de igual ángulo respecto del ecuador.

39

La distancia horizontal entre las verticales geodésica y geocéntrica (Dv), se

puede obtener con la siguiente fórmula:

Dv = a x Sen φ x (1 - k) / (1 + k x Tg2 φ)1/2 (3-3)

Donde:

k = b2 / a2 = (1 - f)2


f = achatamiento.


En el Anexo D se puede apreciar la obtención matemática la fórmula (3-3).

El valor máximo que puede alcanzar Dv es alrededor de 21 kilómetros.

3.2 Aplicaciones del Elipsoide

A continuación se mostrarán en detalle los casos de distancias y paralaje para

una Tierra elipsoidal, ya que son los casos más relevantes al compararlo con una Tierra

esférica, aunque del punto de vista de la navegación las diferencias no tienen mayor

relevancia, pero el fin de mostrar las diferencias, es que las diferencias existen, lo que

nos da un entendimiento más profundo del tema.

3.2.1 Distancias en Latitud

En este punto se mostrarán las distancias en el datum (elipsoide), que son las

distancias que se encuentran en las cartas de navegación, ya que estas utilizan como

referencia a esta superficie.

Estas distancias en realidad son distancias de distintas magnitudes dependiendo

de las latitudes de la carta, o dicho de otra forma, tomando como referencia al grado

geodésico, que los grados no son iguales, los cuales para zonas cercanas a los polos,

un grado de latitud geodésica mide alrededor de 60,3 millas náuticas, (ver ejemplo 1),

para zonas cercanas al ecuador 59,7 millas náuticas, (ver ejemplo 2), y solo para

latitudes cercanas a 45º, un grado mide aproximadamente 60,0 millas náuticas, (ver

ejemplo 3), cabe recalcar que estas diferencias son producidas por el achatamiento de

la Tierra.

40

xb

xa

xb

xa

En cuanto a las distancias de arcos de la elipse, no existe una fórmula exacta,

solo aproximaciones, ya que la integral de línea (1) aplicada a la elipse no tiene solución

con las funciones actuales, a continuación se muestra un ejemplo de esto.

y = f(x), x perteneciente [xa, xb]

L = (1 + f´(x)2)1/2 dx (1)

Resolviendo para la elipse se tiene:

f(x) = b x 1 - x2 1/2 a2 f´(x) = -b x x a2

x 1 - x2 1/2 a2 f´(x)2 = b2 x x2 a4

x 1 - x2 a2

Con lo que la integral de línea de la elipse queda como sigue:

L = 1 + b2 x x2 1/2 dx a4

x (1 - (x2 / a2))

Esta forma de integral no tiene un desarrollo integrable, pasa lo mismo al tratar el

problema con los otros tipos de integral de línea.

Cuando las integrales tienen esta forma, lo que se hace es desarrollar la

expresión radical a través del teorema del binomio, incluyendo solo un número limitado

de términos, e integrar por separado, con lo que se obtienen excelentes resultados de

aproximación.

A continuación se muestra la fórmula clásica de distancia del arco de la elipse (S)

entre el ecuador y una latitud geodésica cualquiera, en función de los senos de los

múltiplos de la latitud, la cual se obtiene expresando la integral de línea de la elipse en

función de la latitud geodésica, y procediendo como se menciona en el párrafo anterior,

la cual es como sigue:

41

S(φ) = a x k x [B0 x (2 x π / 360) x φ - (1 / 2) x B1 x Sen (2 x φ) + (1 / 4) x B2 x Sen (4 x φ) -

1 / 6 x B3 x Sen (6 x φ) + ...]

(3-4)

Donde:

B0 = 1 + (3 / 4) x (1 - k) + (45 / 64) x (1 - k)2 + (175 / 256) x (1 - k)4

B1 = (3 / 4) x (1 - k) + (15 / 16) x (1 - k)2 + (525 / 512) x (1 - k)4

B2 = (15 / 64) x (1 - k)2 + (105 / 256) x (1 - k)4

B3 = (35 / 512) x (1 - k)4

k = b2 / a2 = (1 - f)2


f = achatamiento.


Por lo que la fórmula de distancia en latitud entre dos latitudes geodésicas (DLat)

es:

DLat = S(φ2) - S(φ1) (3-5)

Considerando los parámetros del elipsoide WGS 84*, y despreciando el valor de

B3 por ser muy pequeño, la fórmula (3-5) queda como sigue:

DLat (metros) = 111.132,93 x (φ2 - φ1) - 16.037,53 x (Sen (2 x φ2) - Sen (2 x φ1)) +

16,64 x (Sen (4 x φ2) - Sen (4 x φ1))

Donde:

φ1 y φ2 = latitudes geodésicas a considerar.

* Parámetros del elipsoide WGS 84:

Semieje mayor (a) = 6.378,137 Km. Achatamiento (f) = 1/298,25722 Estos parámetros son los que se utilizaran en los distintos ejemplos presentes en este capítulo.

42

Ejemplos

Para los resultados obtenidos en los ejemplos 1, 2 y 3, se utilizaron las fórmulas

(3-2) y (3-5).

Además para las figuras de los ejemplos se tiene:

Vgc = vertical geocéntrica que le corresponde a la latitud geocéntrica.

Vgd = vertical geodésica que le corresponde a la latitud geodésica.

Ejemplo 1:

Vgc = 85º 0,0´Vgd= 85º 0,0´

Vgc = 84º 58,0´

2,0´


60,306 Millas Náuticas

2,0´

Vgc = 85º 58,4´

Elipse

1,6´

Vgc = 86º 0,0´Vgd = 86º 0,0´

1,6´

Meridiano Celeste

Figura 3.f.

Distancia en latitud (85º - 86º).

43

Ejemplo 2:

Vgc = 3º 58,4´

2,0´


1,6´

Vgd= 4º 0,0´Vgc = 4º 0,0´

Vgc = 4º 58,0´

Circunferencia de ReferenciaElipse

Vgc = 5º 0,0´Vgd = 5º 0,0´

2,0´1,6´ Meridiano Celeste

Figura 3.g, distancia en latitud (4º - 5º).

Ejemplo 3:

Elipse

Meridiano Celeste

Vgd = 45º 30,0´Vgc = 45º 30,0´

Vgc = 44º 18,5´

Vgd= 44º 30,0´Vgc = 44º 30,0´


11,5´ 11,5´

Vgc = 45º 18,5´

11,5´11,5´

Figura 3.h, distancia en latitud (44,5º - 45,5º).

44

3.2.2 Apartamiento

El apartamiento (Ap) de se define como longitud del arco de paralelo terrestre

comprendido entre dos meridianos (figura 3.i), expresada en millas u otra medida

itineraria.

Esfera de Referencia

Elipsoide

Qe

c φ

bAp

Pe

a dg

Figura 3.i.

Apartamiento en el elipsoide.

El apartamiento (Ap) se puede obtener con la siguiente fórmula:

Ap = (π / 180º) x dg x a / (1 + k x Tg2 φ)1/2 (3-6)

Donde:

k = b2 / a2 = (1 - f)2


dg = diferencia de longitudes para el Ap a considerar en grados.

f = achatamiento.


En el Anexo D se puede apreciar la obtención matemática de la fórmula (3-6).

45

A continuación se anexan las tablas Nº 7 de Bowditch, en las cuales se pueden

apreciar las distintas distancias de un grado de latitud y longitud (estas distancias se

pueden obtener con las fórmulas (3-5) y (3-6)).

46

Hay que tener presente que los distintos valores que aparecen en estas tablas se

obtuvieron con los parámetros del elipsoide WGS 72.

47

3.2.3 Paralaje de altura (Luna)

Punto de vista de una Tierra esférica

El mostrar este caso, es solo para fines de comparación.

Paralaje

Paralaje es un desplazamiento aparente de un objeto debido a un cambio de

posición del observador. Al mirar el dedo pulgar con el brazo extendido y cerrar

alternativamente un ojo y después el otro, el dedo parece desplazarse con respecto al

fondo. La cantidad de paralaje será igual al ángulo subtendido en el dedo entre las

líneas que lo unen con los dos ojos.

Los paralajes del Sol, la Luna y los cuerpos más cercanos de nuestro sistema

planetario, están basados en un desplazamiento aparente de estos astros entre dos

observadores, que están separados por una distancia igual al radio de la Tierra. Para

más claridad, el paralaje de uno de estos astros, es el ángulo subtendido por el radio

terrestre del observador. De aquí que el ángulo de paralaje varía con la distancia a la

Tierra. Es mayor cuando está más cercano. El paralaje medio del Sol es 8,8´´ y el de la

Luna 58,8´. Las estrellas están a distancias tan grandes que el radio de la Tierra no

daría suficiente paralaje para ser medido. El paralaje de los astros que componen el

sistema solar, cuando se considera en relación con la altura del astro se llama “Paralaje

de altura”. El paralaje a altura cero es el mayor, y se llama “Paralaje horizontal”. Cuando

la altura es de 90° el paralaje es “cero”.

En la figura 3.j se tiene L (la Luna), su altura sobre el horizonte aparente (Aap) es

el ángulo LOh y su altura sobre el horizonte verdadero (Av) es el ángulo LCH, que a la

vez es igual al ángulo LBh por ser correspondiente. El ángulo OLC es el paralaje (P). En

todos los casos el paralaje tiene signo positivo.

48

Figura 3.j.

Paralaje Tierra esférica (Luna).

A continuación se muestra la fórmula general de paralaje de altura de una Tierra

esférica (Pa):

Pa = Ph x Cos Aap (3-7)

Donde:

Ph = paralaje horizontal = arc Sen (RTR / DTC)

RTR = radio Tierra esférica de referencia.

DTC = distancia Tierra-cuerpo celeste.

Aap = altura aparente.

Punto de vista de una Tierra elipsoidal

Para la Luna, el paralaje de altura de una Tierra elipsoidal, difiere en una

pequeña cantidad del de una Tierra esférica, esta pequeña diferencia solo es notoria

para ésta, por su cercanía con la Tierra.

A continuación se determinara una fórmula con la cual se puede obtener este

paralaje, y por consiguiente, la pequeña diferencia.

En la siguiente figura (figura 3.k) se pueden apreciar las distintas variables que

intervienen en el análisis.

49


Horizonte Verdadero

Horizonte Sencible

90°


Elipse

Av

Luna

DTL

Qe

a

Aap

Pa´

θ b

cc´

RTR

φ RPe

Vertical GeodésicaVertical Geocéntrica

ZgcZgd

Figura 3.k, paralaje Tierra elipsoidal (Luna).

Con: Pa´ = paralaje de altura de una Tierra elipsoidal.

R = radio elipsoidal que le corresponde a la latitud geodésica.

θ = diferencia entre las verticales geodésica y geocéntrica, que le corresponde a la

latitud geodésica.


Aap = altura aparente.

DTL = distancia Tierra-Luna.

RTR = radio Tierra esférica de referencia.

50

De la figura 3.k se deduce que aplicando el teorema del seno se puede obtener

la fórmula exacta de Pa´, para la Luna ubicada en el meridiano (Pa´(±θ)), la cual es:

Pa´(±θ) = arc Sen ((R / DTL) x Cos (Aap ± θ))

Donde:

R = a / (Sen2 ψ x (1 / k - 1) + 1)1/2

ψ = arcTg (k x Tg φ)

k = b2 / a2 = (1 - f)2

f = achatamiento.


θ = φ - arcTg (k x Tg φ)

(+θ) Luna hacia el polo depreso, Aap de 0º a 90º - θ.

(-θ) Luna hacia el polo elevado.

En el Anexo D se puede apreciar la obtención matemática de la fórmula de

R.

A continuación se determinara una fórmula de Pa´, para la Luna ubicada en

cualquier azimut verdadero.

El siguiente gráfico (gráfico 3.a) muestra las variaciones de Pa´, que sufre al

variar el azimut verdadero (Azv) de 0º a 360º, partiendo de un Pa´(+θ) = 21,16´

(Aap constante = 68º, φ = 40º Sur, DTL = 384.400 Km., y el elipsoide WGS 84).

Cabe agregar que las variaciones de Pa´ que sufre al variar el Azv de 0º a 180º,

por simetría, son las mismas que las de 360º a 180º.

51

21,16

21,21

21,26

21,31

21,36

21,41

21,46

21,51

0 45 90 135 180 225 270 315 360Azv (º)

Varia

cion

es d

e Pa

´ (´)

Gráfico 3.a.

Estas variaciones de Pa´ en Azv se obtuvieron con un programa computacional

(Autocad), en el cual se consideraron las distintas distancias a escala.

A continuación se muestra una fórmula que cumple con precisión, con el

comportamiento de las variaciones de Pa´ en Azv, la cual es:

Pa´ = 21,51´ + (21,16´ - 21,51´) x (1 + Cos Azv) / 2 (3-8)

Nota: La línea de tendencia del gráfico 3.a es similar para cualquier condición de

Pa´ (Luna), por lo que la forma de la fórmula (3-8) se puede utilizar en forma general.

En resumen, la fórmula general de paralaje de altura de una Tierra elipsoidal

(Pa´), para la Luna es:

Pa´ = arc Sen ((R / DTL) x Cos (Aap + θ)) + [arc Sen ((R / DTL) x Cos (Aap - θ)) -

arc Sen ((R / DTL) x Cos (Aap + θ))] x (1 + Cos Azv) / 2

(3-9)

(+φ) latitudes Norte.

(-φ) latitudes Sur.

La fórmula (3-9) se puede aplicar para obtener el paralaje de altura, en un marco

de referencia de precisión, a cualquier satélite artificial, cuya distancia con el centro de

la Tierra sea superior a 20.000 kilómetros.

52

Para obtener la altura verdadera de la Luna, en los cálculos de navegación, se

considera el paralaje de altura de una Tierra esférica, por lo simple de su expresión, ya

que la diferencia con el paralaje de altura de una Tierra elipsoidal es muy pequeña, por

lo que se desprecia. En el caso que se quiera considerar esta pequeña diferencia (ΔPa),

se obtendría la "verdadera" altura verdadera de la Luna, esto se traduciría en afinar la

posición alrededor de 400 metros como máximo.

Con la siguiente fórmula se puede obtener ΔPa, la cual resulta simplemente, Pa´

(fórmula (3-9)), menos Pa (fórmula (3-7)):

ΔPa = Pa´ - Pa (3-10)

Este ΔPa se sumaria con su signo, a las distintas correcciones que se consideran

para determinar la altura verdadera de la Luna.

El valor máximo que puede alcanzar ΔPa es alrededor de 0,2 minutos de arco.

Ejemplo de cálculo de ΔPa:

Latitud = 40º Sur.

Aap = 68º

Azv = 45º

R = 6.369 Km.

θ = -0,1894º

Ph = 57´

RTR = 6.371 Km.

DTL = 384.261 Km.

ΔPa = Pa´ - Pa

ΔPa = 0,3537º - 0,3559º

ΔPa = -0,0022º

Para un Ph de 54´ y de 61,5´, los valores de ΔPa son de -0,0020º y de -0,0023º,

respectivamente.

53

A continuación se anexa un recorte del almanaque náutico del año 2006, emitido

por la armada de Chile, en el cual hacen referencia a esta pequeña diferencia, en la

página Nº 267.

Recorte 3.a.

La fórmula del recorte 3.a nos da una “aproximación” de ΔPa, además, para que

el signo y el valor de OB cumplan como corrección, hay que considerar a la latitud

estimada (Le) positiva, si es Norte, y Le negativa, si es Sur.

3.2.4 Otros Casos

Los siguientes casos son otra aplicación de tomar al elipsoide como referencia,

pero no tienen relevancia en navegación, son solo casos de apreciación.

Triángulo de Posición

La intersección, sobre la esfera celeste, del meridiano celeste superior del

observador, el círculo horario del astro, y el círculo vertical del astro define un triángulo

esférico cuyos vértices son el polo celeste elevado, el zenit y el astro, este es el

triángulo de posición, más precisamente, el triángulo de posición es su proyección

sobre la superficie de la Tierra, con el polo terrestre, el observador y la proyección del

astro como vértices. Sin embargo, como se podría pensar la proyección de este

triángulo esférico sobre la superficie de la Tierra genera dos triángulos de posición, uno

respecto a las coordenadas celestes y otro respecto a las coordenadas geográficas.

Esto resulta ya que las coordenadas celestes consideran como un mismo origen, el

centro de masas de la Tierra, y las coordenadas geográficas un origen distinto para

cada latitud.

54

A continuación se muestra un ejemplo de esto, figura 3.l, la cual es una imagen

referenciada al datum WGS 84, en la cual se aprecia la parte de interés de los

triángulos, para unas determinadas latitudes.

Figura 3.l.

Triángulos de posición a escala.

Con:

PG Astro y PG Zenit = proyecciones geodésicas del astro y del zenit, a las que les

corresponden unas latitudes geodésicas iguales a la declinación del astro (φPGA) y a la

latitud del observador (φPGZ), respectivamente.

Astro y Zenit = proyecciones geocéntricas del astro y del zenit, a las que les

corresponden unas latitudes geocéntricas iguales a la declinación del astro (ψA) y a la

latitud del observador (ψZ), respectivamente, pero con latitudes geodésicas iguales a φA

y a φZ, respectivamente.

55

De lo anterior se tiene que φPGA = ψA y que φPGZ = ψZ, el signo igual indica un

mismo ángulo respecto del ecuador, pero separados uno del otro una cierta distancia

Dv (punto 3.1).

Las latitudes geodésicas φA y φZ se pueden obtener con la siguiente fórmula,

deducida de la fórmula (3-1):

φ = arcTg (Tg ψ / k) (3-11)

Donde:

k = b2 / a2 = (1 - f)2

ψ = latitud geodésica = latitud geocéntrica.

f = achatamiento.


Lo anterior se puede aplicar para determinar cualquier latitud geodésica que le

corresponde al triángulo esférico.

Además se deduce que la línea ortodrómica entre dos puntos del elipsoide,

independientemente de su proyección cartográfica, es una línea levemente curvada

hacia el ecuador.

Los análisis anteriores son un ejemplo claro de porque los sistemas de

posicionamiento consideran como referencia para la Tierra al datum y no a una esfera.

En el polo no se produce esta diferencia entre los triángulos, ya que ambas

coordenadas coinciden, tanto en el polo como en el ecuador.

Antípodas Elipsoide

El antípoda o las antípodas (del griego anti- "opuesto" y pous "pie") es el lugar de

la superficie terrestre diametralmente opuesto a otro o, dicho de otra forma, es el lugar

de la superficie terrestre más lejano de otro. Según la RAE (Real Academia Española),

la antípoda es cualquier habitante del globo terrestre con respecto a otro que more en

lugar diametralmente opuesto.

http://es.wikipedia.org/wiki/Griego_antiguo�

http://es.wikipedia.org/wiki/Tierra�

http://es.wikipedia.org/wiki/Real_Academia_Espa%C3%B1ola�

56

Este es un ejemplo claro de la aplicación de los análisis del punto 3.1, en el cual

parece muy simple desde el punto de vista de considerar a la Tierra como una esfera,

pero no así del punto de vista del elipsoide, como referencia la diferencia máxima entre

ambas consideraciones es alrededor de 42 kilómetros, algo no menor, a continuación

se mostrará un análisis “simpático” a fondo para este caso, ver figura 3.m.

Además, para todos los análisis se tratara para la antípoda solo la latitud, ya que

la longitud de una esfera y de un elipsoide son los mismos (meridiano que dista 180º).

Qe´

Caso 2

ψ

Caso 3

Vertic

al Lu

gar

Caso 1

Qeφ

Pe´

cφ2

b

a

ψ2

Meridiano Celeste

Circunferencia de ReferenciaElipse

Pe

Figura 3.m, antípodas elipsoide.

Primer Caso

Para este caso es la latitud antípoda de una esfera, en el cual ψ2 es igual a ψ,

con ψ2 con signo contrario.

57

Segundo Caso Para este caso es la latitud antípoda de una esfera, con su correspondiente al

elipsoide con φ2 igual a ψ, con φ2 con signo contrario, en este caso φ2 esta a cierta

distancia hacia el ecuador de ψ2, esta cierta distancia se puede determinar con la

fórmula (3-3).

Tercer Caso Para este caso es lo que verdaderamente ocurre, con un valor de latitud antípoda

igual a φ3, figura 3.n.

Vertical Lugar


Caso 3

θ1

Qe

R

Pe´

φψ3

θ2

cφ3

bR

a

ψ3

Qe´

Vertical Antípoda

Meridiano Celeste

ElipsePe

θ3

θ4

Figura 3.n.

Antípodas elipsoide.

58

A continuación se muestra la fórmula de latitud antípoda (φ3), la cual se deduce

de la figura 3.n, la cual es como sigue:

φ3 = arcTg (Tg (ψ3 + θ2) / k)

Donde:

ψ3 = arcTg (k x Tg φ)

θ2 ≈ 2 x θ1, por ser ángulos muy pequeños*.

θ1 = φ - arcTg (k x Tg φ)

k = b2 / a2 = (1 - f)2

φ = latitud geodésica (lugar).

f = achatamiento.


Note que la fórmula de φ3 considera lo mismo que la fórmula (3-11).

Reemplazando las distintas igualdades y resolviendo en φ3, se obtiene:

φ3 = arcTg (Tg (2 x φ - arcTg (k x Tg φ)) / k) (3-12)

Note que θ4 esta dado implícitamente en la fórmula de φ3.

También se puede saber el ángulo entre la proyección de la vertical de φ, que

forma con la vertical de φ3, el cual es igual a θ3 + θ4, con:

θ3 ≈ θ1, por ser ángulos muy pequeños*.

θ4 = φ3 - (ψ3 + θ2)

Reemplazando las distintas igualdades y resolviendo, se obtiene:

(θ3 + θ4) = φ3 - φ = arcTg (Tg (2 x φ - arcTg (k x Tg φ)) / k) - φ

(3-13)

* Como el valor máximo de θ1 es menor que 0,2º, las aproximaciones de θ2 y θ3 difieren en -0,000005º como máximo, respecto de los valores verdaderos. Esto se traduce en diferencias menores a 1 metro para el valor de latitud antípoda (φ3) en la superficie del elipsoide.

59

A continuación, a modo de ejemplo, se muestra la antípoda para Valdivia.

Coordenadas geodésicas aproximadas para Valdivia (lugar):

Latitud = 40º S

Longitud = 73º W

Cuadro resumen 3.a.

Lugar Antípoda Esfera Antípoda Elipsoide Latitud 40º S 40º N 40º 22,75´ N

Longitud 73º W 107º E 107º E

Además el ángulo entre la proyección de la vertical del lugar que forma con la

vertical antípoda es igual a 22,75´.

Los valores obtenidos se pueden interpretar de la siguiente forma. Si dejáramos

caer una esfera metálica en Valdivia (Lat. = 40º S, Long. = 73º W), y ésta atravesara a

la Tierra en línea recta, saldría en una latitud de 40º 22,75´ N y en una longitud de 107º

E, con un ángulo de 22,75´ hacia el ecuador, respecto al zenit de la latitud de salida,

aproximadamente.

Lo anterior se podría afinar levemente, considerando la desviación de la vertical,

y la desviación sobre el meridiano, para las posiciones geodésicas a considerar (lugar y

antípoda), con lo que se obtendrían los valores exactos.

60

Capítulo IV

Sistema Geodésico Mundial de 1984 (WGS 84)

4.1 Sistema de Coordenadas WGS 84

El sistema de coordenadas WGS 84 es un sistema convencional de referencia

terrestre, CTRS (Conventional Terrestrial Reference System). La definición de este

sistema de coordenadas sigue un criterio según el servicio internacional de rotación de

la Tierra, IERS (Internacional Earth Rotation Service).

El criterio de la IERS es:

1) Sistema geocéntrico, el centro de masas está definido para toda la Tierra,

incluido los océanos y la atmósfera.

2) Su escala, es el marco local de la Tierra, en el significado de una teoría relativista

de gravitación.

3) Su orientación se dio inicialmente por el BIH (Bureau International de l’Heure),

orientación de 1984.

4) Su evolución en el tiempo, en la orientación, no creará ninguna rotación global

residual con la corteza terrestre estimada.

El WGS 84 es un sistema de coordenadas ortogonal, con la Tierra fija, y

gráficamente, es como sigue:

61

X WGS 84

Centro de Masas de la Tierra

a

b

Y WGS 84

Z WGS 84

IERS Reference Meridian (IRM)

IERS Reference Pole (IRP)

Figura 4.a.

Sistema de coordenadas del WGS 84.

El origen de los ejes de la figura 4.a se define como sigue:

Origen: Centro de masas de la Tierra.

Eje Z: Toma la dirección del IRP (IERS Reference Pole), esta dirección corresponde a

la dirección del BIH CTP (Conventional Terrestrial Pole), época de 1984, con una

incertidumbre de 0,005´´.

Eje X: Intercepción del IRM (IERS Reference Meridian) y un plano a través del origen y

normal al eje Z, el IRM coincide con el BIH Zero Meridian, época de 1984, con una

incertidumbre de 0,005´´.

Eje Y: Sistema de coordenadas ortogonal con la Tierra centrada y fija.

62

El sistema de coordenadas WGS 84 también sirve como centro geométrico del

elipsoide WGS 84, y el eje Z sirve como eje de rotación de este elipsoide de revolución.

Se debe notar que la definición del WGS 84 CTRS no ha cambiado de manera

fundamental, continúa siendo definido como ortogonal y sistema de coordenadas

Tierra-fija que se intenta sea coincidente en todo lo posible con el CTRS definido por el

IERS, o previo a 1988, su predecesor, el BIH.

Actualmente se están considerando los cambios temporales en la corteza

terrestre, estos son modelados o estimados, los cambios más importantes son del

movimiento de las placas tectónicas y los efectos de las mareas terrestres, entre otros.

Además para estos cambios, es necesario designar la época del marco de

referencia, por ejemplo el marco de referencia del WGS 84 (G730) es 1994, mientras la

época asociada al marco de referencia WGS 84 (G873) es 1997.

4.2 Elipsoide WGS 84

Las aplicaciones geodesias globales requieren tres superficies diferentes para

quedar claramente definidas, la primera es la superficie topográfica de la Tierra, esta

superficie incluye la familiar superficie terrestre y la topografía del fondo de los océanos.

Debido a la elevada irregularidad de la topografía de la Tierra, esta definición necesita

una superficie de referencia geométrica o matemática, el elipsoide y una superficie

equipotencial llamada geoide.

En cuanto al elipsoide y los parámetros que lo definen, el comité original

desarrollador del WGS 84 decidió tomar el acercamiento usado por la IUGG

(International Union of Geodesy and Geophysics) cuando estableció y adopto el sistema

de referencia geodésico de 1980 (GRS 80), de acuerdo con un elipsoide geocéntrico de

revolución, se tomó esto para el elipsoide WGS 84.

En cuanto a los parámetros, los seleccionados originalmente que definían al

elipsoide WGS 84 eran: el semieje mayor (a), la constante gravitacional de la Tierra

(GM), el coeficiente normalizado gravitatorio (Ĉ2.0)*, y la velocidad angular de la Tierra

(ω).

* El (Ĉ2.0) también se conoce como harmónico zonal de segundo grado y se determina en base al modelo dinámico de la Tierra (geoide).

63

Estos parámetros eran idénticos a los del elipsoide GRS 80, con una excepción

menor, la fórmula usada para el coeficiente normalizado gravitatorio es original del

WGS 84, en lugar del “J2” usado por el elipsoide GRS 80.

En 1993, dos factores fueron considerados para el afinamiento de la definición de

los parámetros originales, el primer afinamiento fue recomendado por la DMA, (Defense

Mapping Agency) basado en evidencia empírica. El valor de afinamiento estaba dado

por el parámetro GM. En 1994, este parámetro mejorado GM fue recomendado para

usarse en las elevadas exactitudes requeridas por el DoD (Department of Defense,

USA) para aplicarlas en determinaciones orbitales.

El segundo afinamiento ocurrió cuando el proyecto de Earth Gravitational Model

1996 (EGM96) de la unión NIMA/NASA (National Imagery and Mapping

Agency/National Aeronautics and Space Administration) produjo un nuevo valor

estimado para el coeficiente normalizado gravitatorio (Ĉ2.0).

Estas modificaciones tenían que realizarse al WGS 84, con lo que los valores de

los parámetros originales cambiarían, por lo que se tomó la decisión de retener el

semieje mayor y el valor de achatamiento (a = 6.378.137,0 m y f = 1/298,257223563)

del original elipsoide WGS 84, lo que llevó a que los cuatro parámetros pasarían a ser el

(a), (f), (ω) y (GM).

Se debe notar que el valor refinado de GM esta dentro del valor original del GM

del año 1987.

Respecto ha (Ĉ2.0), se debe notar que hay dos valores distintos para este

término, uno dinámico derivado del EGM96, y otro geométrico.

A continuación se definen los 4 parámetros:

4.2.1 Semieje Mayor (a)

El semieje mayor (a) es uno de los parámetros definidos para el WGS 84 y su

valor adoptado es:

a = 6.378.137,0 metros (4-1)

Este valor es el mismo que el valor del elipsoide GRS 80.

64

El semieje mayor del WGS 84 está basado en estimaciones del periodo de

tiempo de 1976-1979, determinado usando técnicas laser, Doppler y datos de altímetria

de radar, aunque recientemente hay estimaciones mejoradas para este parámetro,

estas nuevas estimaciones difieren del valor anterior por solo unos decímetros

(54 centímetros).

Lo importante, es el gran numero de aplicaciones prácticas de este elipsoide,

como en los receptores GPS y en los procesos de cartografiado, que usan a este

elipsoide como una superficie conveniente de referencia.

Al contrario, no se consideró al geoide por el sentido común, ya que se tendrían

que hacer numerosas modificaciones al software de los receptores GPS y a los

procesos de cartografiado, por esto se tomó la decisión para retener el elipsoide de

referencia original.

Es más, al considerar al elipsoide se descarta la necesidad de transformar o

recalcular las coordenadas del gran número de datos geoespaciales exactos que han

sido reunidos y transformados al elipsoide WGS 84 en la última década.

De esto se desprende que las aplicaciones especializadas y experimentos que

requieren el mejor ajuste de los parámetros del elipsoide pueden manejarse

separadamente, fuera de la línea central de toda la generación de información

geoespacial del DoD.

4.2.2 Achatamiento (f)

El achatamiento (f) es ahora unos de los parámetros actuales del WGS 84, este

valor adoptado es:

f = 1/298,257223563 (4-2)

Para el desarrollo del original WGS 84 se usó el coeficiente normalizado

gravitatorio dinámico (Ĉ2.0), este valor es un parámetro definido. En este caso, el valor

de achatamiento del elipsoide fue derivado del (Ĉ2.0). Se aceptó a través de una

expresión rigurosa, además esto derivó un achatamiento ligeramente diferente al

achatamiento del GRS 80, aunque esta diferencia no tiene ninguna consecuencia

práctica.

65

4.2.3 Velocidad Angular de la Tierra (ω)

El valor usado de ω es uno de los parámetros que definen al WGS 84 y al GRS

80, y es:

ω = 7.292.115 x 10-11 radianes/segundos (4-3)

Este valor representa una rotación estándar para la Tierra con una velocidad

angular constante, se debe notar que la velocidad angular actual de la Tierra fluctúa con

el tiempo.

Aunque ω es conveniente para el uso estándar de la Tierra y del elipsoide WGS

84, la IAU (International Astronomical Union) y el GRS 67 (Geodetic Reference System

1967), dan su versión de este valor (ω´):

ω´= 7.292.115,1467 x 10-11 radianes/segundos (4-4)

Este valor (ω´) junto con una variable en la que se considera el tiempo (m), se

utilizan para la velocidad angular en un marco de referencia de precisión (ω*), y esta es

como sigue:

ω* = ω´+ m (4-5)

Donde:

m = (7,086 x 10-12 + 4,3 x 10-15 Tu) radianes/segundos

Tu = siglos Julianos de la época J2000,0

Tu = du / 36.525

du = El número de días de tiempo universal (UT) de la fecha Juliana (JD) 2.451.545,0

UT1, tomando los valores de ± 0,5, ± 1,5, ± 2,5...

du = JD - 2.451.545

Por consiguiente, la velocidad angular de la Tierra en un marco de referencia de

precisión para aplicaciones satelitales, se da por:

ω* = (7.292.115,8553 x 10-11 + 4,3 x 10-15 Tu) radianes/segundos

(4-6)

66

4.2.4 Constante Gravitacional de la Tierra (GM)

Constante Gravitacional de la Tierra (GM), (Tierra y Atmósfera Incluida)

El término central en el campo gravitatorio de la Tierra es GM, es conocido con

una exactitud mayor que la constante gravitatoria universal “G”, o la masa de la Tierra

“M”.

La mejora significante en el conocimiento del GM ha ocurrido subsecuentemente

al desarrollo del original WGS 84. El valor refinado del parámetro WGS 84 de GM, junto

con la incertidumbre es:

GM = (3.986.004,418 ± 0,008) x 108 m3/s2 (4-7)

Este valor se recomienda en las convenciones de la IERS (1996) y también es

recomendado por la IAG (International Association of Geodesy).

Especiales consideraciones para los GPS

Basado en una recomendación del DMA (Defense Mapping Agency) a la fuerza

aérea de los estados unidos, el valor refinado del WGS 84 GM (3.986.004,418 x 108

m3/s2) se implemento en el GPS en el OSC (Operational Control Segment) durante el

otoño de 1994, esta mejora quitó 1,3 metros de error radial a las estimaciones orbitales

del OCS.

GM de la Atmósfera

Para algunas aplicaciones es necesario que el valor GM para la Tierra no incluya

la masa de la atmósfera o que se precise un valor de GM para la atmósfera. Para lograr

esto, es necesario saber la masa de la Tierra y la masa de la atmósfera, y la constante

gravitatoria universal G.

Usando el valor recomendado para G por la IAG, y el valor aceptado para la

masa de la atmósfera, la estimación que se adoptó para el valor GM de la atmósfera

(GMA) para su uso con el WGS 84 es:

GMA = (3,5 ± 0,1) x 108 m3/s2 (4-8)

67

GM con la Atmósfera de la Tierra Excluida (GM´)

La constante gravitatoria de la Tierra con la masa de la atmósfera excluida

(GM´), puede obtenerse substrayendo simplemente GMA, ecuación (4-8), de GM,

ecuación (4-7), quedando:

GM´ = (3.986.000,9 ± 0,1) x 108 m3/s2 (4-9)

Note que GM´ es conocido con menos exactitud que GM, debido a la

incertidumbre introducida por GMA.

Cuadros Resumen:

Tabla 1.

Los 4 parámetros definidos del WGS 84.

Parámetro Notación Valor Semieje Mayor a 6.378.137,0 metros Achatamiento f 1/298,257223563 Velocidad Angular de la Tierra ω 7.292.115,0 x 10-11 rad/s Constante Gravitacional de la Tierra GM 3.986.004,418 x 108 m3/s2

(Tierra y Atmósfera Incluida)

Tabla 2.

Valores de los parámetros del WGS 84 para aplicaciones especiales.

Parámetro Notación Valor Exactitud Constante Gravitacional GM´ 3.986.000,9 x 108 m3/s2 ± 0,1 x 108 m3/s2

(Atmósfera Excluida) GM de la Atmósfera GMA 3,5 x 108 m3/s2 ± 0,1 x 108 m3/s2

Velocidad Angular de la Tierra (En un ω* (7.292.115,8553 x 10-11 + ± 0,15 x 10-11

Marco de Referencia de Precisión) 4,3 x 10-15 TU) rad/s rad/s

4.2.5 Constantes Geométricas y Físicas

Hay muchas constantes asociadas al elipsoide WGS 84, aparte de los cuatro

parámetros definidos anteriormente (tablas 1 y 2) que se necesitan para algunas

aplicaciones geodésicas.

Utilizando los cuatro parámetros definidos, es posible derivar unas constantes

geométricas y físicas.

68

Las constantes más usadas, asociadas con el elipsoide WGS 84, se encuentran

en las tablas 3 y 4.

Estas constantes derivadas deben contener un gran número de dígitos, con tal

que la consistencia entre los niveles de precisión de los parámetros se mantenga.

Constantes Geométricas

El coeficiente normalizado gravitacional geométrico (Ĉ2.0) se deriva a través del

set de parámetros definidos (a, f, ω y GM). La nueva constante geométrica derivada

es igual a -0,484166774985 x 10-3, el cual difiere del original WGS 84 (Ĉ2.0) en

7,5015 x 10-11. Esta diferencia está dentro de la precisión del original WGS 84 (Ĉ2.0), que

es de ± 1,30 x 10-9.

Tabla 3.

Constantes geométricas derivadas del elipsoide WGS 84.

Constante Notación Valor Harmónico Zonal de Segundo Grado Ĉ2.0 -0,484166774985 x 10-3

Semieje Menor b 6.356.752,3142 m Primera Excentricidad e 8,1819190842622 x 10-2

Primera Excentricidad al Cuadrado e2 6,69437999014 x 10-3

Segunda Excentricidad e´ 8,2094437949696 x 10-2

Segunda Excentricidad al Cuadrado e´2 6,73949674228 x 10-3

Excentricidad Linear E 5,2185400842339 x 105

Curvatura del Radio Polar c 6.399.593,6258 m Relación de Ejes b/a 0,996647189335 Radio Medio de los Semiejes R1 6.371.008,7714 m Radio de una Esfera de Igual Área R2 6.371.007,1809 m Radio de una Esfera de Igual Volumen R3 6.371.000,7900 m

Tabla 4.

Constates físicas derivadas.

Constante Notación Valor Potencial de Gravedad Teórico del Elipsoide U0 62.636.851,7146 m2/s2

Gravedad Teórica en el Ecuador del Elipsoide γe 9,7803253359 m/s2

Gravedad Teórica en el Polo del Elipsoide γp 9,8321849378 m/s2

Valor Medio Teórico de Gravedad γm 9,7976432222 m/s2

Constante de Gravedad Teórica k 0,00193185265241 Masa de la Tierra (Atmósfera Incluida) M 5,9733328 x 1024 kg m = ω2

xa2xb/GM m 0,00344978650684

69

Constantes físicas

Otras 2 constantes son una parte íntegra de la definición del WGS 84, estas

constantes son la velocidad de la luz (c) y la elipticidad dinámica (H).

Actualmente el valor aceptado de la velocidad de la luz en el vacío (c) es de:

c = 299.792.458 m/s (4-10)

Este valor es reconocido oficialmente por la IAG y la IAU y se ha adoptado para

su uso con el WGS 84.

La elipticidad dinámica (H) es necesaria para determinar los momentos

principales de inercia de la Tierra, A, B y C. en la literatura hay varias referencias a la

elipticidad dinámica, como elipticidad mecánica o constante de precesión, este factor es

el valor teórico del cambio de precesión de los equinoccios, el cual es bien sabido por

observaciones en 1983 en un reporte de las constantes fundamentales geodésicas de

la IAG.

El siguiente valor de H se da para la determinar el momento de inercia:

H = 1/305,4413 ± 0,0005 (4-11)

Este valor ha sido adoptado para usarse en el WGS 84.

Los valores de la velocidad de la luz en el vacío y la elipticidad dinámica

adoptadas para usarse con el WGS 84 se muestran en la tabla 5, con otras constantes

asociadas al WGS 84, usadas en aplicaciones especiales.

Tabla 5

Diversas constantes relevantes

Constante Notación Valor Velocidad de la Luz en el Vacío c 299.792.458 m/s Elipticidad Dinámica H 1/305,4413 Constante Universal de Gravitación G 6,673 x 10-11 m3/kgxs2

Momentos Principales de Inercia de la Tierra A 8,0091029 x 1037 kgxm2

(Solución Dinámica) B 8,0092559 x 1037 kgxm2

C 8,0354872 x 1037 kgxm2

70

4.3 Gravedad Elipsoidal en el WGS 84

El elipsoide WGS 84 es identificado como un elipsoide de revolución geocéntrico

equipotencial. Un elipsoide equipotencial es simplemente un elipsoide definido por una

superficie equipotencial, en esta superficie el valor del potencial de gravedad es el

mismo, pero no así la gravedad, la cual se deriva del potencial de gravedad.

Según la fórmula de Somigliana, la gravedad teórica (γ) en cualquier punto el

elipsoide es:

γ = γe x (1 + k x Sen2 φ) / (1 - e2 x Sen2 φ)1/2 (4-12)

Donde:

k = ((b x γp) / (a x γe)) - 1


γe y γp = gravedad teórica en el ecuador y en los polos, respectivamente.

e2 = primera excentricidad al cuadrado del elipsoide.


El sistema MKS (metros-kilogramos-segundos) es usado para evaluar la fórmula

(4-12), con lo que las unidades de gravedad son m/s2, pero pueden ser convertidas a

miligal (abreviatura de mgal) por el factor de conversión 1 m/s2 = 105 mgal.

Cabe agregar que la forma más exacta de terminar la gravedad en la superficie

de la Tierra es utilizando instrumentos gravimétricos en el sitio de interés.

4.4 Geoide EGM96 y el WGS 84

Como se menciono previamente, para las aplicaciones geodésicas se utilizan

tres superficies primarias de referencia para la Tierra:

1) La superficie topográfica de la Tierra.

2) La superficie geométrica de la Tierra, tomando un elipsoide de revolución.

3) El geoide.

71

En la práctica común el geoide se expresa para un punto dado, por lo que se

refiere a la distancia sobre (+N) o bajo (-N) del elipsoide (figura 4.c). Por razones

prácticas, el geoide ha sido usado para servir como superficie de referencia vertical

para la altura del nivel medio del mar (NMM).

En aquellas áreas dónde los datos de elevación de nivelación convencional no

están disponibles, se aproxima a la altura del nivel medio del mar, usando alturas

ortométricas.

h = H + N (4-13)

H = h - N (4-14)

Donde:

h = altura geodésica (altura relativa al elipsoide).

N = ondulación geoidal.

H = altura ortométrica (altura relativa al geoide).

Alternativamente, algunos países reemplazan las alturas ortométricas con las

alturas normales y las ondulaciones del geoide con las anomalías de altura. Este uso de

anomalías de altura elimina el asumir una densidad para las masas entre el geoide y el

suelo, por consiguiente, la ecuación (4-13) puede ser reformulada por:

h = H + N = H* + ζ (4-15)

Donde:

H* = altura normal.

ζ = anomalía de altura.

La ecuación (4-14) ilustra el uso de la ondulación geoidal en la determinación de

la altura ortométrica (H) por la altura geodésica (h), derivada usando posiciones

satelitales (GPS) localizada en la superficie física de la Tierra o a bordo un vehículo que

opera cerca de la superficie de la Tierra.

72

Ondulación Geoidal entre el WGS 84 y el EGM96

La siguiente figura (figura 4.c) muestra la ondulación geoidal entre el WGS 84 y

el EGM96 en un mapa de colores para toda la Tierra, con sus respectivas equivalencias

en metros.

Figura 4.c.

La ondulación geoidal entre el WGS 84 y el EGM96 para toda la Tierra, exhibe

las siguientes estadísticas:

Medio = -0,57 metros.

Desviación estándar = 30,56 metros.

Mínima = -106,99 metros.

Máxima = 85,39 metros.

La localización de la ondulación mínima y máxima es:

Mínima: L = 4,75º N, G = 78,75º E

Máxima: L = 8,25º S, G = 147,25º E

La desviación estándar indica la diferencia típica entre el geoide y el elipsoide de

referencia.

73

La ondulación geoidal del WGS 84 y el EGM96 posee un rango de error de ± 0,5

a ± 1,0 metros para toda la Tierra.

4.5 El WGS 84 Relacionado con otros Sistemas Geodésicos

Uno de los principales propósitos del sistema geodésico mundial de 1984

(WGS 84) es el de eliminar el uso de datums horizontales locales. Unas décadas atrás

el número de datums geodésicos locales excedía el centenar, actualmente este número

es significativamente menor y continúa disminuyendo.

Hasta que un datum geodésico global se acepte para su uso en todo el mundo,

se requieren unos medios para hacer conversiones entre los distintos datums

geodésicos.

Los datums horizontales se desarrollaron en el pasado para satisfacer la

cartografía y los requisitos de la navegación para regiones específicas de la Tierra.

En cambio para grandes extensiones geográficas, se utilizan unos determinados

datums, como el datum norteamericano de 1983 (NAD 83). En las pasadas 2 décadas,

el desarrollo de un datum geodésico global se a hecho posible, el WGS 84 y los datums

ITRF (IERS Terrestrial Reference Frame) son ejemplos de aquello.

Los datums ITRF son aquellos que utilizan el criterio IERS definido en el punto

4.1.

El acercamiento más exacto para obtener coordenadas WGS 84, es adquirir

datos de rastreo satelital del sitio de interés (GPS) y posicionarlo directamente en el

WGS 84 (cartas o mapas referenciadas al WGS 84).

Cuando no se disponga de una carta o mapa referenciado al WGS 84, una

transformación de datums puede usarse para convertir las coordenadas del sistema

local al WGS 84.

4.5.1 Relación del WGS 84 con los ITRF

El WGS 84 es consistente con los ITRF. Las diferencias entre el WGS 84 y los

ITRF son del rango del centímetro para todo el mundo. Por consiguiente, para el

propósito de las cartas y mapas, éstos se consideran iguales.

74

Un ejemplo de esto es el European Terrestrial Reference Frame de 1989

(EUREF89).

4.5.2 Relación del WGS 84 con el NAD 83

El North American Datum de 1983 (NAD 83) es un datum geocéntrico, esto se

estableció en 1986 para los Estados Unidos, Canadá, México, América central y las

islas Caribes. Hawai y Groenlandia también están conectados con este datum.

Esto es basado en un ajuste horizontal de datos de estudios convencionales y a

la inclusión de datos del tránsito satelital doppler y del VLBI (Very Long Baseline

Interferometry).

Datos de estos dos últimos son usados para orientar el marco de referencia del

NAD 83 al sistema terrestre de 1984 BIH. La orientación de los ejes coordenados del

ECEF (Earth-Centered Earth-Fixed) del marco de referencia del NAD 83 es idéntica al

marco de referencia original del WGS 84.

El NAD 83 usa el elipsoide GRS 80 (Geodetic Reference System de 1980) como

elipsoide de referencia, con el centro geométrico del elipsoide coincidente con el centro

de masas de la Tierra y como el origen del sistema de coordenadas.

El semieje mayor y achatamiento de este elipsoide son:

a = 6.378.137 metros

f = 1/298,257222101

El elipsoide WGS 84 para todos los propósitos prácticos es idéntico al elipsoide

GRS 80. Estos usan el mismo valor para el semieje mayor y tienen la misma orientación

con respecto al centro de masas de la Tierra y el mismo origen del sistema de

coordenadas. Sin embargo, el WGS 84 usa un valor derivado para el achatamiento, el

calculado por el coeficiente normalizado gravitatorio (Ĉ2.0), en cambio el valor derivado

(Ĉ2.0) del GRS 80, es por J2, de la siguiente forma:

Ĉ2.0 = -J2 / 51/2 (4-16)

El valor resultante del WGS 84 para f es 1/298,257223563. La diferencia entre el

valor de f del GRS 80 y del WGS 84, crea una diferencia de 0.1 mm en los semiejes

menores derivados de los 2 elipsoides.

75

Basado en lo anterior, las posiciones geodésicas determinadas con respecto al

NAD 83 o al WGS 84, tienen incertidumbres de 1 metro aprox.

Para el mapeado y el cartografiado en navegación, los dos sistemas son

indistinguibles en escalas de 1:5.000 o menores.

4.5.3 Transformaciones de un Datum Geodésico Local al WGS 84

Para la mayoría de las aplicaciones y operaciones del DoD que involucran a los

mapas, cartas, navegación e información geoespacial, las coordenadas WGS 84 se

obtendrán de una transformación de un datum geodésico local al WGS 84. Esta

transformación puede ser realizada en coordenadas curvilíneas geodésicas.

φWGS 84 = φLocal + Δφ

λWGS 84 = λLocal + Δλ (4-17)

hWGS 84 = hLocal + Δh

Donde Δφ, Δλ, Δh se pueden obtener utilizando varios métodos de transformación,

entre estos el que generalmente se utiliza con el WGS 84 es la Transformación

Estándar de Molodensky, con la que se obtienen exactitudes alrededor de 8 metros, la

cual se muestra a continuación:

Δφ = {-Δx x Sen φ x Cos λ - Δy x Sen φ x Sen λ + Δz x Cos φ + Δa x (RN x e2 x Sen φ x

Cos φ) / a + Δf x [RM x (a / b) + RN x (b / a)] x Sen φ x Cos φ} x 1 / [(RM + h) x Sen 1´´]

Δλ = [-Δx x Sen λ + Δy x Cos λ] x 1 / [(RN + h) x Cos φ x Sen 1´´]

Δh = Δx x Cos φ x Cos λ + Δy x Cos φ x sin λ + Δz x Sen φ - Δa x (a / RN) + Δf x (b / a) x

RN x Sen2 φ

Donde:

φ, λ, h = coordenadas geodésicas.

Con latitud geodésica (φ) positiva con signo Norte y negativa con signo Sur, y

longitud geodésica (λ) positiva con signo Este y negativa con signo Weste.

76

h = N + H

Con altura geodésica (h) (altura relativa al elipsoide), altura geoidal (N) y altura

ortométrica (H) (altura relativa al geoide).

Δφ, Δλ, Δh = corrección para transformar las coordenadas del datum geodésico local a

los valores φ, λ, h, del WGS 84. Las unidades de Δφ y Δλ son segundos de arco (´´), y

las unidades de Δh son metros (m).

Δx, Δy, Δz = cambios entre los centros del datum geodésico local y del WGS 84,

correcciones para transformar el sistema relacionado con coordenadas rectangulares

(x, y, z) del datum geodésico local con los valores relacionados (x, y, z) del WGS 84.

a y b = semiejes mayor y menor del elipsoide del datum geodésico local,

respectivamente.

b / a = 1 - f

f = achatamiento del elipsoide del datum geodésico local.

Δa, Δf = diferencias entre el semieje mayor y achatamiento del elipsoide del datum

geodésico local y del elipsoide WGS 84, respectivamente (WGS 84 menos local).

e = primera excentricidad.

e2 = 2 x f - f2

RN = a / (1 - e2 x Sen2 φ)1/2

RM = a x (1 - e2) / (1 - e2 x Sen2 φ)3/2

Note que todas las cantidades Δ se generan substrayendo los valores del

elipsoide del datum geodésico local de los valores del elipsoide WGS 84.

En el Anexo C se pueden apreciar los valores Δx, Δy, Δz, que son conocidos

como parámetros de transformación, de los datums utilizados en Sudamérica.

77

Conclusiones

El conocer los distintos alcances del datum como superficie de referencia es de

gran importancia para el navegante de hoy en día, ya que continuamente lo utiliza, ya

sea en las cartas de navegación para trazar su travesía o para posicionarse, o cuando

utiliza los receptores satelitales.

El conocer que existen diferencias entre los distintos datum, y a qué se deben

estas diferencias, nos da un entendimiento más profundo del tema.

Un ejemplo de esto sería la navegación por los canales del sur de Chile, en los

cuales no es recomendable bajo ningún motivo utilizar un receptor satelital para llevar la

travesía del buque, ya que aparte de contar con las diferencias introducidas por los

factores propios de la señal de los receptores satelitales (atmósfera, rebotes de la

señal, etc.), se tendría que contar la diferencia introducida por la carta de navegación, el

cual va a depender del datum de referencia, alrededor de 300 metros como máximo.

Lo anterior es solo algo superficial, ya que si no se tuvieran diferencias por la

atmósfera, rebotes de la señal, etc., y el datum de la carta fuera el mismo del receptor

satelital, La posición obtenida sería exacta sobre una superficie de referencia

aproximada, que sería el elipsoide, que al compararla con posiciones obtenidas

astronómicamente, siempre existirán diferencias debido a la desviación de la vertical.

En cuanto al elipsoide como superficie de referencia, personalmente creo que el

mostrar las diferencias entre la Tierra esférica y la Tierra elipsoidal, nos da una

perspectiva diferente para nuestro planeta, sacando ese pensamiento de perfección

introducido por la esfera, más precisamente por la trigonometría esférica, sin

desmerecer a esta última.

Un ejemplo de esto se apreció en el caso del paralaje de altura, el cual arrojó

diferencias que se traducen en afinar la posición alrededor de 400 metros como

máximo. La verdad es que esta diferencia es algo insignificante y despreciable del

punto de vista de la navegación, pero el fin de mostrarla, como se ha mencionado

previamente, es que ésta existe.

Lo otro es que el conocer las distintas consideraciones que se tomaron para

definir al sistema WGS 84, nos da un mejor acercamiento y entendimiento de este

datum, el cual se utiliza en la mayoría de los receptores satelitales (GPS) y en las cartas

de navegación actualmente en uso.

78

Por último, creo que un gran plus de este sistema, es que esta considerando

entre otros, los movimientos de las placas tectónicas, observando desplazamientos

horizontales de hasta 7 centímetros por año.

Personalmente creo que es difícil saber a ciencia cierta si estas precisiones están

siendo traspasadas para usos civiles, por el antecedente del error introducido a la señal

de los GPS (disponibilidad selectiva) de los usuarios civiles.

79

Anexos

Anexo A: Proyecciones Cartográficas

Las proyecciones cartográficas permiten representar la superficie de la Tierra en

una lámina de papel plana. Una proyección cartográfica es una representación

sistemática de los paralelos y meridianos de una superficie tridimensional en una

superficie bidimensional. Dado que una superficie plana no puede ajustarse a la Tierra

sin estirarse o encogerse, no es posible representar sus atributos (ej. meridianos,

paralelos, límites entre países, etc.) en una carta o mapa sin causar distorsiones.

Existen diversas proyecciones y cada una de ellas trata de minimizar las

distorsiones. Por ejemplo, el cartógrafo puede diseñar una cuadrícula sobre la superficie

terrestre de tal forma que una o más de sus propiedades geométricas se mantengan o

de tal forma que las áreas de mayor distorsión se ubiquen en zonas de menor

importancia para el uso que se le dará a la carta (ej. mantener la geometría de los

continentes a expensas de la geometría de los océanos).

Las proyecciones que se utilizan en la actualidad se han derivado a partir de

modelos matemáticos en los cuales se proyecta la Tierra y todas ellas comparten la

misma característica, mostrar la posición correcta de las líneas de latitud y longitud del

planeta.

En otras palabras, cada proyección es solamente un reordenamiento de los

meridianos y paralelos trasladados del elipsoide terrestre a una carta. Dado que no hay

forma de eliminar los errores al trasladar una superficie curva (elipsoide) a una

superficie plana (carta), ninguna proyección es geométricamente perfecta.

En síntesis, cada proyección es elaborada a partir de una figura geométrica con

un propósito particular y por ende tiene sus propias virtudes y limitaciones (figura A.1).

80

Figura A.1.

Derivación de una proyección cartográfica

a partir de un cilindro, un plano y un cono.

Compromiso entre Equivalencia y Conformalidad

Para proveer una representación correcta del tamaño y forma de los objetos en

la superficie terrestre, el mapa debe mostrar la distancia y la dirección de dichos objetos

sin distorsiones. Sin embargo hasta la fecha esto no es posible y las diferentes

proyecciones enfatizan uno de los dos atributos, tamaño ó forma.

Proyecciones equivalentes

Las proyecciones de tipo equivalente se caracterizan por su capacidad de

mantener una razón constante de superficie a lo largo y ancho de la carta. En otras

palabras el tamaño de un objeto en la superficie terrestre no es afectado por su posición

en la carta.

Esta proyección es útil para mostrar la distribución de variables geográficas ya

que el tamaño de la superficie es independiente de su posición en el mapa y por lo tanto

elimina errores cuando comparamos áreas de diferentes dimensiones en diferentes

partes del planeta.

Por ejemplo, en una carta de una proyección equivalente 1 cm2 representa la

misma área en los Estados Unidos, Chile, o Siberia. Sin embargo la exactitud en

tamaño se logra a expensas de una distorsión en las formas de los objetos o superficies

(figura A.2).

81

Figura A.2.

Proyección Albers de igual área.

Proyecciones Conformales

La proyección conformal se caracteriza por mantener la forma de los objetos o

superficies que se muestran en la carta. En esta proyección las relaciones angulares no

son distorsionadas y por lo tanto los objetos o superficies mantienen en el mapa la

forma que tienen en la superficie terrestre. Las proyecciones de tipo conformal tienen

meridianos y paralelos que se cruzan en ángulo recto, tal y como sucede en la

superficie de la Tierra.

La desventaja de las proyecciones de tipo conformal es que distorsionan

fuertemente el tamaño de las superficies cartografiadas y como consecuencia la escala

no es constante entre regiones de la carta. Por ejemplo, en un mapa mundi las

superficies en altas latitudes se muestran más grandes de lo que realmente lo son. Por

ejemplo, en la proyección Mercator, Groenlandia aparece mucho más grande que

África, Australia y América del sur. Sin embargo, en realidad África es 14 veces más

grande que Groenlandia, América del sur 9 veces más grande y Australia 3,5 veces

más grande (figura A.3).

82

Figura A.3.

Proyección Mercator.

Las propiedades de equivalencia y conformalidad son mutuamente excluyentes,

excepto para cartas o mapas de gran escala (ej. áreas muy pequeñas). En la práctica

las cartas o mapas se hacen utilizando una de las dos proyecciones.

Las Proyecciones y su Clasificación

Aun cuando existen más de mil proyecciones diferentes en el mundo, la gran

mayoría pueden agruparse en unas cuantas familias basadas en su derivación (cuadro

A.1). Las proyecciones de una misma familia comparten las mismas distorsiones y

propiedades. A continuación se presentan cuatro de las familias de proyecciones más

comunes.

A. Proyecciones Cilíndricas

La proyección cilíndrica se deriva al proyectar el globo terráqueo en un papel con

forma de cilindro que es tangente o que se intercepta con dicho globo (figura A.4).

La mayoría de las proyecciones cilíndricas se derivan de tal forma que el cilindro

toque al globo en el ecuador (punto de tangencia). En un mapa rectangular los

meridianos y los paralelos se cruzan en ángulo recto y no existe distorsión en el punto

de tangencia con el globo. Las distorsiones aumentan conforme nos alejamos de dicha

83

línea. La proyección Mercator es un buen ejemplo de estas distorsiones. Las

proyecciones cilíndricas son utilizadas para mapas mundi.

Figura A.4.

Proyección Miller.

B. Proyecciones Elípticas u Ovales

Las proyecciones elípticas u ovales son representadas por un conjunto de

proyecciones con forma de balón achatado (figura A.5). Con frecuencia en estas

proyecciones un paralelo central (normalmente el ecuador) y un meridiano central

(normalmente el meridiano cero) se cruzan en ángulo recto en el centro del mapa, el

cual representa un punto de no distorsión.

Las distorsiones en estas proyecciones aumentan conforme nos acercamos al

margen de la carta. Los paralelos mantienen sus propiedades geométricas sin embargo

los meridianos son mostrados como líneas curvas (excepto en el meridiano central).

84

Figura A.5.

Proyección Mollweide.

C. Proyecciones Cónicas

En esta familia de proyecciones uno o más conos son ubicados tangentes a ó de

tal forma que intercepten una porción del globo y la cuadrícula geográfica es proyectada

en dicho cono(s) (figura A.6).

Normalmente el vértice del cono es ubicado sobre uno de los polos de tal forma

que el círculo de tangencia coincida con uno de los paralelos, el cual se convierte en el

paralelo estándar de la proyección.

Las distorsiones son mínimas en los alrededores del paralelo estándar y

aumentan conforme nos alejamos de dicho paralelo.

Por las características de la proyección, solo se puede cartografiar un semi

hemisferio o sea una cuarta parte de la Tierra.

La proyección es especialmente apropiada para cartografiar áreas pequeñas.

85

Figura A.6.

Proyección Lambert conformal cónica.

D. Proyecciones Azimutales

Las proyecciones azimutales también conocidas como planas o zenitales, son

derivadas a partir de un grid o cuadrícula geográfica del planeta, expresada como un

plano que es tangente a un punto de la Tierra (figura A.7). Teóricamente el punto de

tangencia puede ser cualquier punto en el planeta, sin embargo con frecuencia se utiliza

para tal fin el polo norte, el polo sur, o algún punto en el ecuador.

La proyección mantiene sus propiedades geométricas alrededor del punto de

tangencia y las distorsiones aumentan conforme nos alejamos de su punto de origen.

En esta proyección, solo es posible mostrar un hemisferio.

86

Figura A.7.

Proyección equidistante azimutal.

Por último se muestra un cuadro (Cuadro A.1) con las familias de proyecciones

más comunes.

Cuadro A.1.

87

Anexo B: Universo Actual de Elipsoides y Datums Utilizados en Geodesia

Universo actual de elipsoides:

Nombre del Elipsoide a (metros) 1/f Código

Airy 1830 6.377.563,396 299,32496 AA Australian National 6.378.160,000 298,25000 AN Bessel 1841 6.377.397,155 299,15281 BR Bessel 1841 (Namibia) 6.377.483,865 299,15281 BN Clarke 1866 6.378.206,400 294,97869 CC Clarke 1880 6.378.249,145 293,46500 CD Delambre 1800 6.375.635,000 334,00000 - Everest (India 1830) 6.377.276,345 300,80170 EA Everest (Sabah Sarawak) 6.377.298,556 300,80170 EB Everest (Malay&Sing 1948) 6.377.304,063 300,80170 EE Everest (India 1956) 6.377.301,243 300,80170 EC Everest (Malaysia 1969) 6.377.295,664 300,80170 ED Everest (Pakistán) 6.377.309,613 300,80170 EF Modified Airy 6.377.340,189 299,32496 AM Modified Fischer 1960 6.378.155,000 298,30000 FA Hayford 1910 Internacional 6.378.388,000 297,00000 - Helmert 1906 6.378.200,000 298,30000 HE Hough 1960 6.378.270,000 297,00000 HO Indonesian 1974 6.378.160,000 298,24700 ID Internacional 1924 6.378.388,000 297,00000 IN Krassovsky 1940 6.378.245,000 298,30000 KA GRS 80 6.378.137,000 298,25722 RF South American 1969 6.378.160,000 298,25000 SA Struve 1924 6.378.298,300 294,73000 - Walbeck 1819 6.376.896,000 302,80000 - WGS 72 6.378.135,000 298,26000 WD WGS 84 6.378.137,000 298,25722 WE

Universo actual de datums:

Nombre del Datum Elipsoide de Referencia

Adindan Clarke 1880 Afgooye Krassovsky 1940 Ain el Abd 1970 International 1924 American Samoa 1962 Clarke 1866 Anna 1 Astro 1965 Australian National Antigua Island Astro 1943 Clarke 1880 Arc 1950 Clarke 1880 Arc 1960 Clarke 1880 Ascensión Island 1958 International 1924 Astro Beacon E 1945 International 1924 Astro Dos 71/4 International 1924 Astro Tern Island (FRIG) 1961 International 1924 Astronomical Station 1952 International 1924 Australian Geodetic 1966 Australian National Australian Geodetic 1984 Australian National

88

Ayabelle Lighthouse Clarke 1880 Bellevue (IGN) International 1924 Bermuda 1957 Clarke 1866 Bissau International 1924 Bogota Observatory International 1924 Bukit Rimpah Bessel 1841 Camp Area Astro International 1924 Campo Inchauspe International 1924 Canton Astro 1966 International 1924 Cape Clarke 1880 Cape Canaveral Clarke 1866 Carthage Clarke 1880 Chatham Island Astro 1971 International 1924 Chua Astro International 1924 Corrego Alegre International 1924 Dabola Clarke 1880 Deception Island Clarke 1880 Djakarta (Batavia) Bessel 1841 DOS 1968 International 1924 Easter Island 1967 International 1924 European 1950 (ED-50) International 1924 European 1979 (ED-79) International 1924 Fort Thomas 1955 Clarke 1880 Gan 1970 International 1924 Geodetic Datum 1949 International 1924 Graciosa Base SW 1948 International 1924 Guam 1963 Clarke 1866 Gunung Segara Bessel 1841 GUX 1 Astro International 1924 Herat North International 1924 Hjorsey 1955 International 1924 Hong Kong 1963 International 1924 Hu-Tzu-Shan International 1924 Indian 1954 Everest (India 1830) Indian 1960 Everest (India 1830) Indian 1975 Everest (India 1830) Indonesian 1974 Indonesian 1974 Irelan 1965 Modified Airy ISTS 061 Astro 1968 International 1924 ISTS 073 Astro 1969 International 1924 Johnston Island 1962 International 1924 Kandawala Everest (India 1830) Kerguelen Island 1949 International 1924 Kertau 1948 Everest (Malay&Sing 1948) Kusaie Astro 1951 International 1924 L. C. 5 Astro 1961 Clarke 1866 Leigon Clarke 1880 Liberia 1964 Clarke 1880 Luzon Clarke 1866 Mahe 1971 Clarke 1880 Massawa Bessel 1841 Merchich Clarke 1880 Midway Astro 1961 International 1924 Minna Clarke 1880

89

Montserrat Island Astro 1958 Clarke 1880 M´Poraloko Clarke 1880 Nahrwan Clarke 1880 Naparima BWI International 1924 North American 1927 (NAD 27) Clarke 1866 North American 1983 (NAD 83) GRS 80 North Sahara 1959 Clarke 1880 Observatorio Meteorológico 1939 International 1924 Old Egyptian 1907 Helmert 1906 Old Hawaiian Clarke 1866 Oman Clarke 1880 Ordnance Survey Great Britain 1936 Airy 1830 Pico de las Nieves International 1924 Pitcairn Astro 1967 International 1924 Point 58 Clarke 1880 Pointe Noire 1948 Clarke 1880 Porto Santo 1936 International 1924 Provisional South American 1956 International 1924 Provisional South Chilean 1963 International 1924 Puerto Rico Clarke 1866 Pulkovo 1942 Krassovsky 1940 Qatar nacional International 1924 Qornoq International 1924 Reunion International 1924 Rome 1940 International 1924 S-42 (Pulkovo 1942) Krassovsky 1940 Santo (DOS) 1965 International 1924 Sao Braz International 1924 Sapper Hill 1943 International 1924 Schwarzeck Bessel 1841 (Namibia) Selvagem Grande 1938 International 1924 S-JTSK Bessel 1841 Sirgas GRS 80 South American 1969 South American 1969 South Asia Modified Fischer 1960 Tananarive Observatory 1925 International 1924 Timbalai 1948 Everest (Sabah Sarawak) Tokyo Bessel 1841 Tristan Astro 1968 International 1924 Viti Levu 1916 Clarke 1880 Voirol 1960 Clarke 1880 Wake Island Astro 1952 International 1924 Wake-Eniwetok 1960 Hough 1960 WGS 1972 WGS 72 WGS 1984 WGS 84 Yacara International 1924 Zanderij International 1924

90

Anexo C: Datums Utilizados en Sudamérica

En este anexo se mostrarán los distintos datums utilizados en Sudamérica con

sus respectivos parámetros de transformación, referidos al datum WGS 84.

Variables relevantes de los cuadros:

Δa = diferencia entre los semiejes mayores de los datum a considerar.

Δf = diferencia entre los achatamientos de los datum a considerar.

Δx, Δy, Δz = parámetros de transformación.

Datums utilizados en Sudamérica.

91



92



93


94

Anexo D: Análisis Matemático al Elipsoide

A continuación se mostrará en detalle las obtenciones matemáticas de unas

relaciones para el elipsoide, las cuales se aplicaron a los ejemplos del capítulo 2 y 3.

Consideraciones para los análisis:

φ = latitud geodésica (latitud del lugar).

ψ = latitud geocéntrica que le corresponde a φ.

ψ2 = latitud geocéntrica (mismo ángulo que φ).

R = radio elipsoidal que le corresponde a φ.

Dv = distancia horizontal entre las verticales geodésica (φ) y geocéntrica (ψ2).

θ = diferencia entre las verticales geodésica y geocéntrica, que le corresponde a φ.

f = achatamiento.



ψ ψ2

x2 x1

ax

cDv φ

b R

θ

Pe

Elipse

Qe

θ

y

Meridiano Celeste

Figura D.1.

Relaciones en el elipsoide.

95

Obtención de ψ en Función de φ:

De la figura D.1 se tiene que y = Tg ψ x x (1), de la ecuación de la elipse (2) se

despeja (x) en función de (y) (3), y se reemplaza en (1).

x2 + y2 = 1 (2) a2 b2

x = a x 1 - y2 1/2 (3) b2

y = Tg ψ x a x 1 - y2 1/2 (1) b2

Con (x) en función de (y), se aplica Tg φ = -dx / dy, que es la pendiente de la

recta normal a una curva, y se despeja (y) (4).

Aplicando derivadas en (3):

dx = -a x y dy b2

x 1 - y2 1/2 b2

y = Tg φ x b2 x 1 - y2 1/2 (4) a b2

Igualando (1) con (4), resolviendo y despejando (ψ), se obtiene:

Tg ψ x a x 1 - y2 1/2 = Tg φ x b2 x 1 - y2 1/2

b2 a b2

Tg ψ = (b2 / a2) x Tg φ

Asiendo k = b2 / a2 = (1 - f)2


Además de la figura D.1 se deduce que θ es:

θ = φ - ψ = φ - arcTg (k x Tg φ)

96

Obtención de R en Función de φ:

De la figura D.1 se tiene que Tg ψ = y / x, de la ecuación de la elipse (2) se

despeja (y) en función de (x) (5).

y = b x 1 - x2 1/2 (5) a2 Con x = R x Cos ψ b x 1 - R2

x Cos2 ψ 1/2

a2 Tg ψ = R x Cos ψ

Resolviendo, despejando R y reemplazando (b2 / a2) por k, se tiene:

R = a / (Sen2 ψ / k + Cos2 ψ)1/2

Con Cos2 ψ = 1 - Sen2 ψ, resolviendo se obtiene:

R = a / (Sen2 ψ x (1 / k - 1) + 1)1/2

Donde:


Obtención de Dv en Función de φ:

De la figura D.1 se desprende que ψ2 = φ, y que Dv = x2 x Sen φ (6), con

x = R x Cos ψ, y = R x Sen ψ, x1 = y / Tg φ.

Resolviendo en (6):

Dv = R x Sen φ x (Cos ψ - Sen ψ / Tg φ)

Con Tg φ = (1 / k) x Tg ψ, resolviendo:

Dv = R x Sen φ x Cos ψ x (1 - k)

97

Reducción a φ de Dv:

Dv = a x Sen φ x Cos ψ x (1 - k) / (Sen2 ψ / k + Cos2 ψ)1/2

Resolviendo:

Dv = a x Sen φ x (1 - k) / (1 + Tg2 ψ / k)1/2

Con Tg2 ψ = k2 x Tg2 φ, resolviendo se obtiene:

Dv = a x Sen φ x (1 - k) / (1 + k x Tg2 φ)1/2

Obtención del Apartamiento (Ap) en Función de φ:

Consideraciones para el análisis:

Esfera de Referencia

Elipsoide

Qe

gc φψ

R

xbAp

Pe

a dg

Figura D.2.

Apartamiento en el elipsoide.

De la figura D.2 se tiene:

98

Ap = g x (x / a)

Donde:

x = R x Cos ψ

g = ((2 x π x a) / 360º) x dg

dg = diferencia de longitudes para el Ap a considerar en grados.

Resolviendo:

Ap = (π / 180º) x dg x R x Cos ψ

Reducción a φ de Ap:

Ap = (π / 180º) x dg x Cos ψ x a / (Sen2 ψ / k + Cos2 ψ)1/2

Resolviendo:

Ap = (π / 180º) x dg x a / (1 + Tg2 ψ / k)1/2

Con Tg2 ψ = k2 x Tg2 φ, reemplazando se obtiene:

Ap = (π / 180º) x dg x a / (1 + k x Tg2 φ)1/2

Además de la figura D.2 se deduce que la velocidad de rotación para una Tierra

elipsoidal (Vr) en función φ es:

Vr = (2 x π / ds) x R x Cos ψ

Donde:

ds = día sidéreo = 23,9345 horas.

Reducción a φ de Vr:

Este caso tiene un desarrollo similar al caso anterior, con lo que Vr queda como

sigue:

Vr = (2 x π / ds) x a / (1 + k x Tg2 φ)1/2

99

Obtención de las Equivalencias Entre las Coordenadas Rectangulares

Geocéntricas (x, y, z) y las Coordenadas Geodésicas (φ, λ, h):

Consideraciones para los análisis:

a

(x, y, z) (φ, λ, h)

Pe´

Qe

R

φ

X

λ

c ψ φ

b

Z

Pe

h

V φ

P

Qe´ Y

Figura E.1.

Coordenadas rectangulares geocéntricas

y coordenadas geodésicas.

Parte A:

Obtención de las coordenadas rectangulares geocéntricas (x, y, z) a partir de las

coordenadas geodésicas (φ, λ, h):

De la figura E.1 se tiene:

x = (R x Cos ψ + h x Cos φ) x Cos λ

y = (R x Cos ψ + h x Cos φ) x Sen λ

z = R x Sen ψ + h x Sen φ

100

Reducción a φ de (x) e (y):

x = (a x Cos ψ / (Sen2 ψ / k + Cos2 ψ)1/2 + h x Cos φ) x Cos λ

Resolviendo:

x = (a / (1 + Tg2 ψ / k)1/2 + h x Cos φ) x Cos λ

Con Tg2 ψ = k2 x Sen2 φ / Cos2 φ, resolviendo:

x = (a x Cos φ / (k x Sen2 φ + Cos2 φ)1/2 + h x Cos φ) x Cos λ

Con Cos2 ψ = 1 - Sen2 ψ, resolviendo:

x = (a x Cos φ / (1 - (1 - k) x Sen2 φ)1/2 + h x Cos φ) x Cos λ

Asiendo V = a / (1 - (1 - k) x Sen2 φ)1/2, con lo que (x) queda igual a:

x = (V + h) x Cos φ x Cos λ

Considerando lo mismo para (y):

y = (V + h) x Cos φ x Sen λ

Reducción a φ de (z):

z = a x Sen ψ / (Sen2 ψ / k + Cos2 ψ)1/2 + h x Sen φ

Con Sen ψ = k x Sen φ x Cos ψ / Cos φ, resolviendo:

z = k x a x Sen φ / (Tg2 ψ x Cos2 φ / k + Cos2 φ)1/2 + h x Sen φ

Con Tg2 ψ = k2 x Tg2 φ, resolviendo:

z = k x a x Sen φ / (k x Sen2 φ + Cos2 φ)1/2 + h x Sen φ

101

Con Cos2 ψ = 1 - Sen2 ψ, resolviendo:

z = k x a x Sen φ / (1 - (1 - k) x Sen2 φ)1/2 + h x Sen φ

Con V = a / (1 - (1 - k) x Sen2 φ)1/2, con lo que (z) queda igual a:

z = (k x V + h) x Sen φ

Con lo que las equivalencias de (x, y, z) son:

x = (V + h) x Cos φ x Cos λ

y = (V + h) x Cos φ x Sen λ

z = (k x V + h) x Sen φ

Donde:

V = a / (1 - (1 - k) x Sen2 φ)1/2

k = b2 / a2 = (1 - f)2

λ = longitud geodésica.

h = altura normal al elipsoide.

Con (y) positivo si el signo de la longitud geodésica es Este, y (z) positivo si el

signo de la latitud geodésica es Norte, por ende si los signos son Weste y Sur serán

negativos.

Parte B:

Obtención de las coordenadas (φ, λ, h) a partir de las coordenadas rectangulares

geocéntricas (x, y, z):

Obtención de φ:

Despejando h de (z):

h = (z / Sen φ) - k x V

102

Reemplazando h en (x), resolviendo:

x = (V x Cos φ x (1 - k) + z / Tg φ) x Cos λ

Reemplazando la igualdad de V y resolviendo, se obtiene:

x / Cos λ = z / Tg φ + a x (1 - k) / (1 + k x Tg2 φ)1/2

Con x / Cos λ = (x2 + y2)1/2 = C

En el que C es el Valor a satisfacer mediante un proceso de iteración con φ, con

lo que la expresión para obtener el valor de φ es:

C = z / Tg φ + a x (1 - k) / (1 + k x Tg2 φ)1/2

La primera aproximación de φ se puede obtener con:

φ = arcTg (z / (k x (x2 + y2)1/2))

Obtención de λ:

Este valor se obtiene directamente con:

λ = arcTg (y / x)

Obtención de h:

Con el valor de φ que satisface el valor de C, se determina h con:

h = (z / Sen φ) - k x V

103

Bibliografía y Páginas Web

S.H.O.A. Pub. 3030

Manual de Navegación

Volumen I

Tercera Edición

1989

S.H.O.A. Pub. 3019

Almanaque Náutico

2006

Introducción Histórica a la Geodesia

Miguel J. Sevilla de Lerma

Universidad Complutense de Madrid

Localizaciones Geográficas

Ignacio Alonzo Fernández Universidad de Valladolid

2001

The American Practical Navigator

An Epitome of Navigation

Nathaniel Bowditch

Bicentennial Edition

2002

Technical Report 8350.2

World Geodetic System 1984

Department of Defense (USA)

Third Edition

Technical Manual 8358.1

Datums, Ellipsoids, Grids, and

Grid Reference Systems

Defense Mapping Agency (USA)

104

Technical Manual 8358.2

The Universal Grids:

Universal Transverse Mercator (UTM)

And Universal Polar Stereographic (UPS)


Geodesy for the Layman


1984

McKnight

Physical Geography A Landscape Appreciation

1984

ESRI

Map Projections

1994

www.wikipedia.org

www.ineter.gob.ni

www.cartografia.cl

www.mapping.usgs.gov

www.utexas.edu

www.gabrielortiz.com

www.publicacions.ub.es

www.webmar.com

“EL DATUM EN NAVEGACIÓN”

Documents

Transcript of “EL DATUM EN NAVEGACIÓN”