EL FILTRO DE KALMAN: APLICACION AL ESTUDIO DEL CICLO ECONOMICO DOCTORADO EN MODELIZACION ECONOMICA...
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EL FILTRO DE KALMAN:
APLICACION AL ESTUDIO DEL CICLO ECONOMICO
DOCTORADO EN MODELIZACION ECONOMICA APLICADA.
INSTITUTO L. R. KLEIN.UNIVERSIDAD AUTONOMA DE MADRID
Julián Moral Carcedo Area Macroeconomía
INDICE
1.- Representación de sistemas dinámicos lineales en el espacio de los estados.2.- El filtro de Kalman.3.-Aplicación práctica.
BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA.
J.D. Hamilton. (Capítulo 13). Time series analysis. Princeton University Press. 1991J.D. Hamilton. State space Models. Handbook of Econometrics. Volumen IV. 1994.A.C. Harvey. Forecasting structural time series model and the Kalman filter. Cambridge University Press. 1989.Chang-Jin Kim y Charles R. Nelson. State-Space Models with regime switching. MIT Press (1999).
tttt wHxAy ''
ttt vF 1
Ecuación de medida /observación
Ecuación de estado
RE`PRESENTACION EN EL ESPACIO DE LOS ESTADOS : “STATE-SPACE REPRESENTATION”
PARTE ESTATICA
PARTE DINAMICA
(nx1) (nxk)(kx1) (nxr)(rx1) (nx1)
(rx1) (rxr)(rx1) (rx1)
ESPACIO ESTADOSMODELO DINAMICO
tY
1tY
......
1t
t tY
1tY
......
t INOBSERVADO
GENERALMENTE
EJEMPLOS
ttt YY 1
MODELO DINAMICO
AR(1)ESPACIO ESTADOS
ttY
ttt 1
MODELO DINAMICO
AR(p)
tptpttt YYYY ...2211
(1x1) (1x1)(1x1) (1x1)
(1x1) (1x1)(1x1) (1x1)
(1x1) (1x1)
(1x1) (1x1)(1x1) (1x1)(1x1) (1x1)(1x1) (1x1)
ESPACIO ESTADOS AR(p)
1
12
1
001
ppt
t
t
tY
0
0
010
001 22
1121
1
12
1
t
ppt
t
tp
ppt
t
t
(1x1) (1xp) (px1)
(px1) (pxp) (px1) (px1)
EJEMPLOS
tqtqtptpttt YYYY ..... 112211
ARMA(p,q)
MODELO DINAMICO
1
12
1
11
ppt
t
t
qtY
0
0
010
001 22
1121
1
12
1
t
ppt
t
tp
ppt
t
t
ESPACIO ESTADOS
EL FILTRO DE KALMAN
tttt wHxAy ''
ttt vF 1
0
)'(Q
vvE t
0
)'(R
wwE t 0)( wvE t
El filtro de Kalman consiste en un algoritmo que proporciona estimaciones de la ecuación de estado a partir de la información disponible hasta el momento t (“condicionada” a la información disponible en t) y de la ecuación de medida, para posteriormente, corregir las estimaciones conforme se amplia la información disponible.El algoritmo precisa de dar un valor inicial t=1 al vector , (y a su error cuadrático medio) el cual no se basa en información muestral, sino que puede considerarse un prior que se impone.
0|00/1̂ P
1|11| tttt F
QFFPP tttt '1|11|
1|1| '' ttttt HxAy
1||1|1| '' ttttttttt HxAyyy
RHPHf tttt 1/1| '
)()( 1|1
1|1/1//
tttttttttt fHP
1/1
1/1/1// ')(
tttttttttt PHfHPPP
DIAGRAMA DE FLUJO
DEL FILTRO DE
KALMAN
APLICACIÓN PRACTICA
OBJETIVO:
¿Existe un ciclo común entre las principales economías europeas?
800
1200
1600
2000
2400
2800
1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000
ALEMANIAFRANCIA
ESPAITALIA
PRINCIPALES ECONOMIAS EUROPEAS PIB (INDICE 1970=100)
-.04
-.02
.00
.02
.04
.06
.08
1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000
D(LOG(ALEMANIA))D(LOG(ESPA))
D(LOG(ITALIA))D(LOG(FRANCIA))
PRINCIPALES ECONOMIAS EUROPEAS(PIB TASA DE CRECIMIENTO)
ALEMANIA ESPAÑA ITALIA FRANCIAALEMANIA 1,00 0,45 0,61 0,64 ESPAÑA 0,45 1,00 0,45 0,74 ITALIA 0,61 0,45 1,00 0,69 FRANCIA 0,64 0,74 0,69 1,00
COEFICIENTES DE CORRELACION
tjtjt CCCEC
El ciclo observado en un país responde a dos componentes inobservables: un ciclo específico propio o residual y un
ciclo común que comparten todos los países
jtC
jtCE
tCC
Ciclo observado, crecimiento interanual del PIB del país j en el momento t
Ciclo específico del país j en el momento t, es un componente residual (lo que resulta de restar al ciclo el componente común)
Ciclo común a todos los países en el momento t
SIMILITUDES Y DIFERENCIAS CON EL ANALISIS FACTORIAL
AF: Estático F1
Y1
Y2
Y3
FE1
FE2
FE3
FK: Dinámico
F1
Y1
Y2
Y3
FE1
FE2
FE3
F1
Y1
Y2
Y3
FE1
FE2
FE3
t-1t
D(LOG(ALEMANIA)) 1 1 0 0 0 CE1 (t)D(LOG(ESPA)) 0 1 1 0 0 CC (t)D(LOG(ITALIA)) 0 1 0 1 0 CE2 (t)D(LOG(FRANCIA)) 0 1 0 0 1 CE3 (t)
CE4 (t)
ECUACION DE MEDIDA
ECUACION DE ESTADOCE1 (t) C(5) 0 0 0 0 CE1 (t-1) V1 (t)CC (t) 0 C(6) 0 0 0 CC (t-1) V2 (t)CE2 (t) 0 0 C(7) 0 0 CE2 (t-1) + V3 (t)CE3 (t) 0 0 0 C(8) 0 CE3 (t-1) V4 (t)CE4 (t) 0 0 0 0 C(9) CE4 (t-1) V5 (t)
FORMULACION ESPACIO ESTADOS
0000
0000
0000
0000
R
5
4
3
2
1
0000
0000
0000
0000
0000
Q
Ausencia de relación entre el ciclo común y los ciclos específicos y entre éstos últimos.
La ecuación de estado es una identidad
D(LOG(ALEMANIA))=SV1+SV2 D(LOG(ESPA))=SV2+SV3 D(LOG(ITALIA))=SV2+SV4 D(LOG(FRANCIA))=SV2+SV5@STATE SV1=C(5)*SV1(-1) + [var=exp(C(14))]@STATE SV2=C(6)*SV2(-1) + [var=exp(C(15))]@STATE SV3=C(7)*SV3(-1) + [var=exp(C(16))]@STATE SV4=C(8)*SV4(-1) + [var=exp(C(17))]@STATE SV5=C(9)*SV5(-1) + [var=exp(C(18))]
ESPECIFICACION EVIEWS 4.0
ESPECIFICACION EVIEWS 3.1
D(LOG(ALEMANIA))=SV1+SV2 D(LOG(ESPA))=SV2+SV3 D(LOG(ITALIA))=SV2+SV4 D(LOG(FRANCIA))=SV2+SV5 @STATE SV1=C(5)*SV1(-1) @STATE SV2=C(6)*SV2(-1) @STATE SV3=C(7)*SV3(-1) @STATE SV4=C(8)*SV4(-1) @STATE SV5=C(9)*SV5(-1)
1º CREAR OBJETO SSPACE
2º ESPECIFICACION ESPACIO ESTADOS
3º ESTIMACION : ELEGIR LAS OPCIONES: matriz de varianzas de la ecuación de medida y de la ecuación de estado
4º ALGORITMO DE ESTIMACION Y OPCIONES DE ITERACIÓN
5º ESPERAR Y “REZAR” PARA QUE EL ALGORITMO DE ESTIMACION CONVERGA A UNA MÁXIMO DE LA FUNCIÓN DE VEROSIMILITUD (LOCAL O GLOBAL)
6º EL PROGRAMA HA CREADO NUEVAS SERIES QUE CONTIENEN LAS VARIABLES DE ESTADO, TAMBIEN PODEMOS SOLICITAR LAS VERSIONES ALISADAS Y SU MSE
-0,04
-0,02
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
1973
1975
1977
1979
1981
1983
1985
1987
1989
1991
1993
1995
1997
1999
2001
ALEMANIA ESPAÑA ITALIA FRANCIA CICLO COMUN
ALEMANIA ESPAÑA ITALIA FRANCIA C COMUNALEMANIA 1,00 0,41 0,63 0,63 0,54 ESPAÑA 0,41 1,00 0,52 0,72 0,74 ITALIA 0,63 0,52 1,00 0,77 0,77 FRANCIA 0,63 0,72 0,77 1,00 0,97 C COMUN 0,54 0,74 0,77 0,97 1,00
COEFICIENTES DE CORRELACION
RESULTADOS
ALEMANIA ESPAÑA ITALIA FRANCIA C COMUN CE ALEM CE ESPAÑA CE ITALIA CE FRANCIAALEMANIA 1,00 0,41 0,63 0,63 0,54 0,67 0,01 0,42 0,31 ESPAÑA 0,41 1,00 0,52 0,72 0,74 0,19 - 0,68 0,04 0,12 - ITALIA 0,63 0,52 1,00 0,77 0,77 0,04 0,07 - 0,75 0,09 - FRANCIA 0,63 0,72 0,77 1,00 0,97 0,14 - 0,01 0,18 0,05 C COMUN 0,54 0,74 0,77 0,97 1,00 0,27 - 0,00 - 0,16 0,20 - CE ALEM 0,67 0,19 - 0,04 0,14 - 0,27 - 1,00 0,02 0,34 0,52 CE ESPAÑA 0,01 0,68 0,07 - 0,01 0,00 - 0,02 1,00 0,11 - 0,03 CE ITALIA 0,42 0,04 0,75 0,18 0,16 0,34 0,11 - 1,00 0,06 CE FRANCIA 0,31 0,12 - 0,09 - 0,05 0,20 - 0,52 0,03 0,06 1,00
La serie CE Francia parece presentar anomalías, en el sentido de que carece de ciclo específico, resultado coherente con la alta correlación que presenta la serie Francia con el ciclo común.
-.020
-.016
-.012
-.008
-.004
.000
.004
.008
1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000
SV5
-0,02
-0,01
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
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1993
1995
1997
1999
2001
ESPAÑA
CICLO COMUN
“... Cuando se registran fases expansivas la economía española registra crecimientos superiores a los de sus socios europeos, de manera contraria, las recesiones resultan más profundas en España ...”