EL MATEMATICO - Transformada Z
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TRANSFORMADA Z Información útil que todo matemático debe saber
Métodos y Teoremas Explicación de diversas formas de implementar la TZ para llegar a una solución
Comparaciones Para diferenciar la TZ con otros métodos conocidos
EDICION EXTRA INFORMATIVA
Índice
• Trasformada z ………………………………… Pag1 • Funciones elementales, Teoremas y
Propiedades de las transformada z…..Pag2 • Teorema de valor inicial…………………… Pag3 • Teorema de translación compleja, Teorema
de translación Real…………………………… Pag4 • Teorema de valor final……………………… Pag5 • Transformada Z inversa………………….. Pag6 • Método para obtener transformada Z Pag7 • Método para Fracciones Parciales……. Pag8 • Método computacional…………………….. Pag9,10 • Método de la integral de inversión….. Pag11 • Transformada Z unilateral……………….. Pag12 • Transformada Z bilateral………………….. Pag13 • Región de convergencia( ROC)……… Pag14 • Ejemplos……………………………………………. Pag15 • Propiedades ……………………………………… Pag16 • Relación con Fourier………………………….. Pag17 • Relación con Laplace.………………………… Pag18 • Aplicación en la vida real de la transformada
Z………………………………………………………… Pag19 • Función transferencia………………………. Pag20 • Ceros y Polos………………………………… Pag21,22 • Salida Del Sistema…………………………... Pag23
I
Transformada Z:
La transformada Z, al igual que otras
transformaciones integrales, puede ser
definida como una transformada
unilateral o bilateral, el papel de la
transformada z en los sistemas discretos
es similar al de la transformada de
Laplace en los sistemas continuos. La
transformada Z de una función en tiempo
continuo X(t), solo se toman los valores
muestreados de X(t), esto es X(0), X(T),
X(2T),……, donde T es el período de
muestreo. La Transformada Zeta (TZ) se
emplea en el estudio del Procesamiento
de señales Digitales, como son el análisis
y proyecto de Circuitos Digitales, los
Sistemas de Radar o Telecomunicaciones
y especialmente los Sistemas de Control
de Procesos por computadoras.
1
Teoremas y propiedades
de la transformada Z
El uso de la Transformada
Z puede facilitar las
propiedades y teoremas de
ésta, las cuales se basan y
se obtienen de la
definición. Se supone que
la función del tiempo x(t)
tiene transformada z y que
x(t) es cero (0) para t<0.
Funciones Elementales
La aplicación de la
transformada Z se demuestra
calculando la Transformada Z
de Funciones Elementales
tales como escalón unitario,
rampa unitaria, exponencial
Es importante resaltar la
aplicación de cada
propiedad con Ejemplos en particular el Teorema de
Corrimiento el cual
representa básicamente el desplazamiento de una señal y su respectiva transformada
Z.
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Teorema del valor inicial. Si x ( t ) tiene por transformada z, X( z ) , y si el existe, entonces el valor inicial x ( 0) de x ( t ) ó x ( k ) está dado por
El teorema del valor inicial es conveniente para verificar la incidencia de posibles errores en el cálculo de la transformada z. Debido a que x ( 0) se suele conocer, comprobar su valor mediante el límite ayuda a descubrir errores en la transformada z, si éstos se producen.
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Teorema de traslación compleja. Si x ( t ) tiene la transformada z, X( z ) , entonces la transformada z de
viene dada por
Teorema de traslación real. Siendo n un entero no negativo (positivo o cero), entonces
Y
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Teorema del valor final. Suponemos que x (kT) , siendo T el periodo de muestreo, tiene la transformada z, X ( z ) , con x (kT) = 0 para valores negativos de k, y que todos los polos de X(z ) están dentro del círculo unitario, con la posible excepción de un sólo polo en z = 1. Esta es la condición para la estabilidad de X ( z ) , es decir, la condición para que x(kT) (k = 0, 1, 2...) permanezca finita. Entonces el valor final de x (kT) , que es su valor conforme el tiempo tiende a infinito, puede obtenerse mediante
El teorema del valor final es muy útil para determinar el comportamiento de x(k ) a medida que k tiende a infinito, a partir de su transformada z, X ( z )
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Transformada Z inversa La notación de la transformada Z inversa es Z-1. la transformada z de inversa de X(z) da como resultado la correspondiente secuencia x(k) o x(t). A partir de la transformada z inversa de X(z) da como resultado una única x(k), pero no da una única x(t). La secuencia de tiempo x(kT) o x(k) es cero para k<0. La Transformada Z inversa se define
donde C es un círculo cerrado que envuelve el origen y la región de convergencia (ROC). El contorno, C, debe contener todos los polos x(z).
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La TZ con un rango finito de n y un número finito de z
separadas de forma uniforme puede ser procesada de forma eficiente con el
algoritmo de Bluestein. La transformada discreta de Fourier (DFT) es un caso especial de la TZ, y se
obtiene limitando z para que coincida con el círculo unidad.
Un caso especial y simple de esta integral circular es que cuando C es el círculo unidad (que también puede usarse cuando la ROC incluye el círculo unidad), obtenemos la transformada inversa de tiempo discreto de Fourier:
Métodos para Obtener la Transformada Z Inversa.
Método de la División Directa Se obtiene mediante la expansión de x (z) en
un serie infinita de potencia Z-1, este método es útil cuando es difícil obtener la expresión en forma cerrada para la transformada Z inversa o cuando desea encontrar sólo algunos de los 1ros términos de x(K).
Este método se utiliza cuando es difícil encontrar una expresión en forma cerrada de la transformada z inversa o si se desea encontrar sólo algunos de los primeros términos de x(k)
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Método de Fracciones Parciales Este método se aplica igual que el de Transformada de Laplace, es muy empleado en problemas rutinarios de transformadas z. El Método requiere que todos los términos de las expansiones parciales se puedan reconocer fácilmente en la tabla de pares de Transformada Z Para encontrar la transformada z inversa, si X(z) tiene uno o más ceros en el origen (z=0), entonces X(z)/z o x(z) se expande en la suma de términos sencillos de primer o segundo orden mediante expansión en fracciones parciales y se emplean una tabla de transformada z para encontrar x(t) en cada uno de los términos expandidos. Antes de estudiar el Método es indispensable realizar un repaso del Teorema de Corrimiento de la Transformada z, ya que esta es una herramienta indispensable al aplicar Fracciones Parciales.
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Método Computacional Se presentan 2 enfoques para determinar la transformada z: · Enfoque de MATLAB · Ecuación en Diferencias.
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Matlab. Se puede utilizar Matlab para determinar la transformada z inversa. A partir de una ecuación específica. Este software tiene una cantidad de funciones y órdenes muy útiles para resolver problemas de Ingeniería de Control tanto para sistemas continuos como para sistemas discretos. Una vez que se ha estudiado los aspectos teóricos se puede utilizar MATLAB ya que tiene como ventaja que produce soluciones numéricas que implican varios tipos de operaciones incluyendo vectores y matrices. Ecuación en Diferencias. Para determinar la transformada z inversa utilizando este enfoque se deben seguir los siguientes pasos: • Dada la función (Por ejemplo G(z)) donde su entrada es la función Delta Kronecker, se linealiza la función, relacionando la entrada con la salida. • A la función linealizada le aplicamos el Teorema de Corrimiento y obtenemos una ecuación en diferencias • En la ecuación en diferencias sustituimos para los valores de k que nos permitan encontrar los datos iniciales y(0) y y(1)
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Método de la Integral de Inversión Esta es una técnica útil para la obtención de la transformada z inversa. Está basada en la definición de la Integral de Inversión la cual da como resultado Residuos de la función X(z)zk-1, así se puede definir que : Z[x(t)] = x(k) = K1 + K2 + K3 + ........... Km Donde K1, K2, K3 ........... Km son los residuos de los polos de la función X(z)zk-1 Debe observarse que el método de la integral de inversión se evalúa por residuos, siempre y cuando la función X(z)zk-1 no tenga polos en el origen (z=0).
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Transformada Z unilateral Consideraremos la definición de la Transformada Z Unilateral, la cual al muestrear una señal discontinua x(t), se supone que la señal es continua por la derecha. De forma alternativa, en los casos en que x[n] está definida únicamente para n ≥ 0, la transformada Z unilateral se define como
La transformada z representa el proceso de muestreo de una
señal. Así como se puede
determinar la transformada Z de una
función continua también podemos determinar la
transformada de Z de una Función definida en Laplace, ya que esta
representa una función de tiempo continuo.
En el procesamiento de señales, se usa esta definición cuando la señal es causal. En este caso, la Transformada Z resulta una serie de Laurent, con ROC del tipo | z | > R ; es decir que converge "hacia afuera". Un ejemplo interesante de la TZ unilateral es la función de generación de probabilidades, donde x[n] es la probabilidad que toma una variable discreta aleatoria en el instante n, y la función X(z) suele escribirse como X(s), ya que s = z−1. Las propiedades de las transformadas Z son útiles en la teoría de la probabilidad
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Transformada Z bilateral La TZ bilateral de una señal definida en el dominio del tiempo discreto x[n] es una función X(z) que se define
Donde n es un entero y z es, en general, un número complejo de la forma z = Aejω Donde A es el módulo de z, y ω es la frecuencia angular en radianes por segundo (rad/s).
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Región de convergencia (ROC) Como se puede observar, la transformada z se puede expresar como una serie de potencias infinita y existe sólo para aquellos valores de z para los cuales converge la serie. De esta forma, se define la región de convergencia (ROC) de X(z) como el conjunto de todos los valores de z para los cuales X(z) adquiere valores finitos. Siempre que se calcule la transformada z de una secuencia, se debe también indicar su correspondiente ROC , esta define la región donde la transformada-z existe.
Propiedades de la Región de Convergencia: La región de convergencia tiene propiedades que dependen de la características de la señal, x[n].
1.La ROC no tiene que contener algún polo. Por definición un polo es donde x[z] es infinito. Ya que x[z] tiene que ser finita para todas las z para tener convergencia, no puede
existir ningún polo para ROC.
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2.Si x[n] es una secuencia de duración finita, entonces la ROC es todo el plano-z, excepto en |z|=0 o |z|=∞. 3.Si x[n] es una secuencia del lado derecho entonces la ROC se extiende hacia fuera en el ultimo polo desde x[z]. 4.Si x[n] es una secuencia del lado izquierdo, entonces la ROC se extiende hacia dentro desde el polo mas cercano en x[z]. 5.Si x[n] es una secuencia con dos lados, la ROC va ser un anillo en el plano-z que esta restringida en su interior y exterior por un polo.
Ejemplo 1 (Sin ROC)
Sea Expandiendo en obtenemos Siendo la suma No hay ningún valor de Z que satisfaga esta condición
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LINEALIDAD: La TZ de
una combinación lineal de
dos señales en el tiempo es
la combinación lineal de
sus transformadas en Z.
DESPLAZAMIENTO
TEMPORAL: Un
desplazamiento de k hacia la
derecha en el dominio del
tiempo es una multiplicación
por z−k en el dominio de Z.
CONVOLUCIÓN: La TZ
de la convolución de dos
señales en el tiempo es el
producto de ambas en el
dominio de Z.
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Relación con Fourier
La TZ es una
generalización de la
transformada de Fourier
de tiempo discreto
(DTFT). La DTFT puede
hallarse evaluando la TZ
X(z) en z=℮^jw o, lo que
es lo mismo, evaluada en
el círculo unidad. Para
determinar la respuesta
en frecuencia del sistema,
la TZ debe ser evaluada
en el círculo unidad.
¿SABIAS QUE?
Jean-Baptiste-Joseph
Fourier, fue
un matemático y físico francés
conocido por sus trabajos
sobre la descomposición de
funciones periódicas en series
trigonométricas convergentes
llamadas Series de Fourier,
método con el cual consiguió
resolver la ecuación del calor.
La transformada de
Fourier recibe su nombre en
su honor. Fue el primero en
dar una explicación científica
al efecto invernadero en un
tratado. Se le dedicó un
asteroide que lleva su
nombre y que fue descubierto
en1992.
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donde X(t) es la señal continua muestreada, X [n]= X(nT) la n-ésima muestra, T el período de muestreo, y con la sustitución : Z= e^sT
Del mismo modo, la TZ unliateral es simplemente la transformada de Laplace unilateral de la señal ideal muestreada. En ambas se asume que la señal muestreada vale cero para todos los índices negativos en el tiempo.
Relación con Laplace
La TZ bilateral es simplemente la
transformada de Laplace
bilateral de la señal muestreada
Para procesar imágenes digitales
Como las utilizadas en:
Televisores de Alta Definición HD
Cámaras Digitales
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Función de transferencia
Se calcula haciendo la TZ de la ecuación
y dividiendo
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Ceros y polos
Gracias al teorema fundamental del álgebra sabemos que
el numerador tiene M raíces (llamadas ceros) y el
denominador tiene N raíces (llamadas polos).
Factorizando la función de transferencia
Donde qk es el k-ésimo cero y pk es el k-ésimo polo.
Los ceros y polos son por lo general complejos, y por
tanto se pueden dibujar en el plano complejo.
En definitiva, los ceros son las soluciones de la ecuación
obtenida de igualar el numerador a cero, mientras que
los polos son las de la ecuación que se obtiene al igualar
a cero el denominador.
Se puede factorizar el
denominador mediante la
descomposición en fracciones
simples, las cuales pueden ser
transformadas de nuevo al dominio
del tiempo. Haciendo esto
obtenemos la respuesta al impulso
y la ecuación diferencial de
coeficientes lineales constantes del
sistema.
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Grafica Simple de Polos y Ceros
H(z)=z(z−1/2)(z+3/4)
Los ceros son: {0}
Los polos son: {1/2,−3/4}
Graficas de Polos y Ceros
Figura: Usando los ceros y polos de la funcion de
transferencia, un cero es graficado a el valor cero y los
dos polos se colocan en 1/2 y −3/4
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Salida del sistema
Si por un sistema H(z) pasa una señal X(z) entonces la
salida será Y(z) =H(Z) X(z) . Haciendo una
descomposición en fracciones simples de Y(z) y la TZ
inversa de cada una de ellas puede encontrarse
entonces la salida Y(n)
Región de convergencia de la transformada z.
Como se puede observar, la transformada z se puede
expresar como una serie de
potencias infinita y existe sólo para aquellos valores de z
para los cuales converge la
serie. De esta forma, se define la región de
convergencia (ROC) de X(z) como el
conjunto de todos los valores de z
para los cuales X(z) adquiere valores
finitos.
Siempre que se calcule la
transformada z de una secuencia, se
debe también indicar
su correspondiente ROC. En el
ejemplo 1, X(z) toma valores finitos
para todo z
excepto para el punto z=0, y por
tanto la ROC se define como C-{0}
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