El Modelo de Crecimiento de Solow. Parte I Cómo el producto por trabajador y el crecimiento...
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El Modelo de Crecimiento de
Solow
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Parte I
Cómo el producto por trabajador y el crecimiento económico son
determinados por el ahorro.
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El modelo de crecimiento de Solow es tambien conocido
como el modelo de crecimiento neoclasico o el
modelo de crecimiento exogeno.
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Proemio
• Los modelos tales como “la economía cerrada” y “la pequeña economía abierta” proporcionan una
visión estática de la economía.
• El modelo de crecimiento de Solow permite una visión dinámica de como, con el tiempo, el
ahorro, el crecimiento de la población y el cambio tecnológico determinan el avance de la
economía.
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Las variables endógenas del modelo son y y k (producto y capital por
trabajador).
•La variable exógena es s (tasa de ahorro).
•En el modelo de Solow el equilibrio de largo plazo ocurre en el punto en donde la inversion por trabajador i y
la depreciacion del capital k se igualan e y permanece constante
(y=0)
Las variables del Modelo
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Construyendo el Modelo: La oferta del mercado de bienes
• Partimos de la función de producción: Y = ƒ (K,L)
• Asumimos rendimientos constantes: zY = ƒ (zK,zL)
• Reemplazando z = 1/L
• Creamos la función de producción por trabajador………..
Y/L= ƒ (K/L,1) …. y = ƒ(k)
Así resulta que el producto por trabajador (productividad) es función del capital por trabajador.
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Construyendo el Modelo: La oferta del mercado de bienes
• La pendiente de esta función es el producto marginal del capital por trabajador:
• PMK = ƒ (k+1)- ƒ(k)
k
y
Cambio en y
Cambio en k
y=ƒ(k)kencambioyencambio
PMK
• Indica el cambio en el producto por trabajador que resulta del aumento del capital por trabajador en uno.
• Trazamos producto por trabajador vs. capital por trabajador
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Construyendo el Modelo:
• La inversion por trabajador es
• i = s*y …. o i = s*ƒ(k)
k
y
y =ƒ(k)
• El producto por trabajador depende de la inversion por trabajador.
i = s*ƒ(k)
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Construyendo el Modelo: La demanda del mercado de bienes
• Partimos del consumo e inversión por trabajador. (El gasto gubernamental y las exportaciones netas no se incluyen en el modelo de Solow).
• Llegamos al ingreso por trabajador y = c + i
• Dados la tasa de ahorro (s) y la tasa de consumo (1-s) la función de consumo es c = (1-s) y
• Remplazamos y = (1-s) y + i
• Reestructuramos i = s * y
• La inversión por trabajador es igual a la tasa de ahorro por el producto por trabajador.
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El Estado estacionario
El estado estacionario es el estado de equilibrio de largo plazo de la
economia.
Ocurre en el punto en donde i y k se igualan e y permanece constante.
= tasa de depreciacion
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Equilibrio en el Estado Estacionario
• Como y = ƒ(k), sustituyendo y por ƒ(k) ..
• la función inversión por trabajador i = s*y se convierte en i = s*ƒ(k)
• El desgaste del capital es igual al producto de la tasa de depreciación por el capital por trabajador k .. k
• El impacto de la inversión y la depreciación del capital se expresa en la siguiente formula
• cambio en acumulacion del capital ………k = i - k
• sustituyendo s*ƒ(k) por i …… k = s*ƒ(k) - k
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Equilibrio en el Estado Estacionario
• En el punto en donde s*ƒ(k) = k k = 0 k = s*ƒ(k) - k = 0
• Este punto es el punto de equilibrio k*. k altok bajo
• Si la asignacion inicial de k fue demasiado alta, k disminuira porque la depreciacion excede la inversion. k = i - k
• En k* la depreciacion iguala la inversion.
k
s*f(k),δk
k*
s*ƒ(k*)=δk* s*ƒ(k)
δk• Si la asignacion inicial de k fue demasiado baja, k aumentara porque la inversion excede la depreciacion.
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Equilibrio en el Estado Estacionario (demostración)
• La asignación inicial de k es demasiado baja.
k1 k
s*ƒ(k),δk
k*
s*f(k*)=δk* s*ƒ(k)
δkk2=k1+k
k3=k2+k
k4=k3+ k
k2 k3 k4
k5=k4+ k
k5
Este proceso continúa hasta que s*ƒ(k) y δk
convergen en k* K2 todavía es
demasiado baja.
K3 todavía es demasiado
baja.
K4 todavía es demasiado
baja.
K5 todavía es demasiado
baja.
inversion - depreciacion
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Ejemplo Numérico
• Dividiendo por L la función de produccion de Cobb-Douglas …….Y=K1/2L1/2
• Obtenemos la funcion producción por trabajador …. Y/L=(K/L)1/2 …o… y = k1/2
• k cambia hasta que k = s*ƒ(k) - k = 0
es decir hasta que s*ƒ(k) = k
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Ejemplo Numérico
• Dado s y el k inicial, podemos calcular los valores que adoptan con el tiempo las
variables en su trayecto al estado estacionario.
• Asumamos s = 0.4, = 0.09 y k1 = 4.
• En el equilibrio s*ƒ(k) = k. .. o…
……..0.4*k1/2 = 0.09*k … 4.444 = k1/2
• ... k* = 19.749.
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Ejemplo Numérico ¿Cómo calculamos las variables?
• El algoritmo para cada período es el siguiente:
• En el periodo 1 y = k1/2 …. y = 41/2 = 2
• Como c = (1-s)y y s = 0.4, c = 0.6y = 1.2
• Como i = s*y …. i = 0.4*2 = 0.8
k = 0.09*4 = 0.36
k = s*y - k .... k = 0.8 - 0.36 = 0.44
• Así, en el próximo período, k = 4 + 0.44 = 4.44.
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Ejemplo Numérico
Período k y c i δk Δk
1 4 2 1.2 .8 .36 .44
2 4.44 2.107... 1.264... .842… .399… .443…
. . . . . . .
12 8.344... 2.889... 1.733... 1.155... .751… .404…
. . . . . . .
∞ 19.749. 4.44… 2.667... 1.777... 1.777... 0.000...
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Cambiando la variable exógena: el ahorro
• El estado estacionario está en el punto en dónde s*ƒ(k) = k
k *k
s*ƒ(k), δk
k*
s*f(k*)=δk*
δk
s*ƒ(k)
s*ƒ(k) s*f(k *)=δk*
• ¿Y si aumentamos la tasa de ahorro?
• Esto aumenta la pendiente de la función de inversión.
• La función cambia hacia arriba
• Esto aumenta el nivel del capital y del producto por trabajador del estado estacionario.
• ¿Y si bajamos la tasa de ahorro?
• Esto disminuye el nivel del capital y del producto del estado estacionario.
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Conclusión
• El modelo de Crecimiento de Solow es un modelo dinámico que nos permite ver cómo la variable exógena
ahorro afecta a las variables endógenas: capital por trabajador y producto por trabajador.
• También como la depreciación afecta la formacion de capital, y el efecto que la asignacion inicial de capital
tiene en la determinacion de los valores de las variables en su trayectoria hacia el equilibrio.
• En la próxima presentacion incluiremos los cambios en otras variables exógenas; el crecimiento de la población
y el cambio tecnológico.