Leccion 4El Modelo de Espacio-Estado

1

Estados: Definicion y ejemploEstados: variables internas que describen la evolucion del sistema. Elconocimiento de estas variables en t = t0 junto al conocimiento de laentrada para t ≥ t0 determina el comportamiento del sistema para t ≥ t0Ejemplo

y(s)

u(s)= g(s) =

1 + s

1 + 2s+ 5s2⇔ (1 + 2s+ 5s2)y(s) = (1 + s)u(s)

Transformada inversa:

5y(t) + 2y(t) + y(t) = u(t) + u(t) (1)

Definiendo: x1(t) = y(t), x2(t) = y(t)− 15u(t), (1) es equivalente a

Ecuacion de estados Ecuacion de salidas

x1(t) = x2(t) + 1

5u(t)x2(t) = − 1

5x1(t)− 25x2(t) + 3

25u(t)y(t) = x1(t) =

[1 0

] [x1(t)x2(t)

]

Solucion unica fijada una condicion inicial x1(t0) = x10, x2(t0) = x20.[x1(t)x2(t)

]=Vector de estados del sistema.

2

Estados: Definicion y ejemploEstados: variables internas que describen la evolucion del sistema. Elconocimiento de estas variables en t = t0 junto al conocimiento de laentrada para t ≥ t0 determina el comportamiento del sistema para t ≥ t0Ejemplo

y(s)

u(s)= g(s) =

1 + s

1 + 2s+ 5s2⇔ (1 + 2s+ 5s2)y(s) = (1 + s)u(s)

Transformada inversa:

5y(t) + 2y(t) + y(t) = u(t) + u(t) (1)

Definiendo: x1(t) = y(t), x2(t) = y(t)− 15u(t), (1) es equivalente a

Ecuacion de estados Ecuacion de salidasx1(t) = x2(t) + 1

5u(t)x2(t) = − 1

5x1(t)− 25x2(t) + 3

25u(t)y(t) = x1(t) =

[1 0

] [x1(t)x2(t)

]

Solucion unica fijada una condicion inicial x1(t0) = x10, x2(t0) = x20.[x1(t)x2(t)

]=Vector de estados del sistema.

3

Estados: FormalismoLos sistemas de control:

Evolucionan en el tiempo: T =conjunto tiempo, T ⊂ R unintervalo (sistemas continuos) o T = Z o N (sistemasdiscretos)Variables externas: entradas (controles, perturbaciones,ruido,. . . ) y salidas (medidas o variables que debencontrolarse). Debe especificarse:

U= conjunto de valores de las entradas,U ⊂ u(·) : T → U= conjunto de funciones de entrada ofunciones de control.Y= conjunto de valores de las salidas.

Variables Internas: Estados: variables que describen laevolucion del sistema. Tres condiciones:

(I) El estado actual y la funcion de control determinan los futurosestados del sistema: Dado x(t0) = x0 y una funcion de controlu(·) ∈ U , x(t) determinado de forma unica para todo t en uncierto intervalo Tt0,x0,u(·) de T (periodo de existencia de latrayectoria x(·) que comienza en x0 en el instante t0 bajo elcontrol u(·)).

4

Estados: Formalismo(II) Dado x(t0) = x0, el estado x(t) para t ≥ t0 solo depende de

los valores u(·) en [t0, t).(III) Los valores de las salidas en el instante t estan determinados

completamente por los valores en t de las entradas, u(t), y delos estados, x(t).

Transicion de estados: Aplicacion que define la evolucion delos estados (solucion de las ecuaciones, generalmente). Esconsecuencia de (I) y (II)

x(t) = ψ(t; t0, x0, u(·)), t ∈ Tt0,x0,u(·).

ψ= funcion de transicion de estados. Solo depende de larestriccion de u(·) a [t0, t).X=conjunto de valores de los estados.Funcion de salidas: Por (III) existe

y(t) = η(t, x(t), u(t))

que solo depende de x(t) y u(t) para cada t.

5

Ejemplo

x(t) =

[0 1−1

5 −25

]x(t) +

[15325

]u(t)

y(t) = x1(t) =[1 0

]x(t)

Suponiendo la condicion inicial x(t0) = x0 (diremos que el estadoesta en la posicion x0 en el instante t0):

Funcion de transicion de estados

(A =

[0 1−1

5 −25

], b =

[15325

])

ψ(t; t0, x0, u(·)) = eA(t−t0)x0 +

∫ t

t0

eA(t−s)bu(s) ds, t ∈ [t0, t1].

posicion del estado en el instante t: x(t) = ψ(t; t0, x0, u(·)).

Funcion de salida (respuesta del sistema)(C =

[1 0

])

y(t) = η((t, x(t), u(t)) = Cx(t)

6

Sistemas diferenciales

(i) T ⊂ R es un intervalo abierto.

(ii) U ⊂ Rm, Y ⊂ Rp y X ⊂ Rn abiertos.

(iii) U = C(T , U) o PC(T , U)

(iv) x(t) = ψ(t; t0, x0, u(·)) es la unica solucion del P.C.I.1

x(t) = f(t, x(t), u(t)), t ≥ t0, t ∈ Tx(t0) = x0

(v) η : T ×X × U → Y es continua.

1Una condicion suficiente para que exista y sea unica es queg(t, x) = f(t, x, u(t)) sea continua a trozos respecto de t y continuamentediferenciable respecto a x (i.e., ∃ ∂g

∂xi, y son continuas). El Teorema de

Caratheodory da condiciones suficientes para la existencia y unicidad desoluciones para funciones mas generales.

7

Sistemas recursivos o en diferencias finitas

(i) T = N o Z.

(ii) U,X, Y conjuntos no vacıos

(iii) x(t) = ψ(t; t0, x0, u(·)) es la unica solucion del sistema en

diferencias finitas

x(t+ 1) = f(t, x(t), u(t))

con la condicion inicial x(t0) = x0 con t0 ∈ T , x0 ∈ X yt ≥ t0.

8

Sistemas linealesUn sistema dinamico es lineal si

(i) U , U , X, Y son espacios vectoriales sobre K (un cuerpo)(ii) Las aplicaciones

ψ(t; t0, ·, ·) : X × U → X(x, u(·)) → ψ(t; t0, x, u(·))

η(t, ·, ·) : X × U → Y(x(t), u(t)) → η(t, x(t), u(t))

son lineales para todo t, t0 ∈ T , t ≥ t0Algunas consecuencias de la linealidad:

ψ(t; t0, 0X , 0U ) = 0X , η(t; 0X , 0U ) = 0Y , t, t0 ∈ T , t ≥ t0Principio de descomposicion:(x0, u(·)) = (x0, 0U ) + (0X , u(·))⇒

⇒ ψ(t; t0, x0, u(·)) = ψ(t; t0, x

0, 0U ) + ψ(t; t0, 0X , u(·)) ,

Movimiento libre Movimiento forzado(Lo mismo para las salidas) 9

Mas sobre sistema lineales

Principio de superposicion: La salida de una suma deestados y entradas es la suma de las salidas de cada uno delos estados y entradas:

ψ(t; t0,

∑ki=1 λixi,

∑ki=1 λiui(·)

)=∑k

i=1 λiψ(t; t0, xi, ui(·)),η(t,∑k

i=1 λixi,∑k

i=1 λiui

)=∑k

i=1 λiη(t, xi, ui).

Leyes de superposicion para los movimientos libre yforzado:

ψ(t; t0,

∑ki=1 λixi,

∑ki=1 λi0U

)=∑k

i=1 λiψ(t; t0, xi, 0U )

ψ(t; t0, 0x,

∑ki=1 λiui(·)

)=∑k

i=1 λiψ(t; t0, 0X , ui(·))

(Lo mismo para las salidas)

10

Sistemas lineales de dimension finita

Sistemas Diferenciales Sistemas en Diferenciasx(t) = A(t)x(t) +B(t)u(t)y(t) = C(t)x(t) +D(t)u(t)

x(t+ 1) = A(t)x(t) +B(t)u(t)y(t) = C(t)x(t) +D(t)u(t)

T ⊂ R un intervalo, PC =continuas a trozos:

A(t)= matriz de estados: A(·) ∈ PC(T ,Rn×n)B(t= matriz de controles o entradas: B(·) ∈ PC(T ,Rn×m)C(t)= matriz de salidas: C(·) ∈ PC(T ,Rp×n)D(t)=matriz de salidas directas: D(·) ∈ PC(T ,Rp×m)

El problema de condiciones iniciales:x(t) = A(t)x(t) +B(t)u(t), t ∈ Tx(t0) = x0 (2)

tiene solucion unica: Para cada (t0, x0, u(·)) ∈ T × Rn× PC(T ,R),

ψ(·; t0, x0, u(·)) : T → Rn es una aplicacion continua definida comola unica solucion del P.C.I. (2). ψ es diferenciable en todo t ∈ Texcepto en los puntos de discontinuidad de A(·), B(·) y u(·). 11

Estados de equilibriox ∈ X es un estado de equilibrio o estacionario de un sistemabajo el control u(·) si

ψ(t; t0, x, u(·)) = x

parar todo t ∈ T con t ≥ t0.0X es un estado de equilibrio para los sistemas dinamicoslineales bajo el control u(·) = 0U porqueψ(t; t0, 0X , 0U ) = 0X , t, t0 ∈ T , t ≥ t0.Si x(t) = f(t, x(t), u(t)), t ∈ T es la ecuacion del sistema,para cada u(·) ∈ U , los estados de equilibrio bajo el controlu(·) son las soluciones constantes de

x(t) = f(t, x, u(t)) (i.e., f(t, xe, u(t)) = 0)Es decir, sus soluciones de equilibrio: Si en un instante inicialt0 ∈ T el estado es x(t0) = xe y el sistema esta bajo elcontrol de u(·) entonces el estado de Σ es x(t) = xe paratodo t ≥ t0, t ∈ T .

12

Pendulo invertidoSe quiere aplicar una fuerza en la base del pendu-lo amortiguado para devolverlo a la posicion vertical.:u(t) actua sobre el pendulo oponiendose a su movi-miento. Recordando la expresion para el par de fuerzas:x(t)F2(t)− y(t)F1(t) = N(t) = mr2ω(t)):

m`2θ(t) = −cθ(t) +mg` sen θ(t)− u(t)` cos θ(t).

Suponiendo, por sencillez que ` = g = c = 1m y supri-

miendo el argumento t:

θ = −θ + sen θ − u cos θ.Ecuaciones de espacio-estado (x1 = θ y x2 = θ):

x1 = x2(t)x2 = −x2(t) + senx1 − u cosx1

⇒ f(t, x, u) =

[x2

−x2 + senx1 − u cosx1

].

Los estados estacionarios bajo el control u(·): soluciones constantes def(t, x, u) = 0. Si u(t) = 0:

f(t, x, 0) =

[x2

−x2 + senx1

],

f(t, x, 0) = 0 (x constante) si y solo si x2 = 0 y x1 = kπ, k = 0, ±1,±2, . . .

13

Satelites de comunicacionesOrigen: centro de la TierraMT= Masa de la tierraMS= Masa del sateliteG= cte de gravitacion universal (6,67428×10−11 N·m2

Kg2)

Ω= velocidad angular de la Tierra (7,27 ×10−5rad/seg)

Posicion del satelite: sobre el ecuadorCoordenadas polares: (r, θ, ψ)→ (r, θ)Ecuaciones del movimiento (Fr(t), Fθ(t) fuerzas ejercidas porpropulsores en el satelite en las direcciones radial y tangencial):

MS r(t) = MSr(t)θ(t)

2 − GMTMS

r(t)2 + Fr(t)

MSr(t)θ(t) = −2MS r(t)θ(t) + Fθ(t)

Renombrando Fr = Fr/MS , Fθ = Fθ/MSr(t) = r(t)θ(t)2 − GMT

r(t)2 + Fr(t)

r(t)θ(t) = −2r(t)θ(t) + Fθ(t)14

Orbita geosıncrona

Es la orbita geosıncrona (mismoperiodo que la Tierra), circular ycon inclinacion cero (ψ = 0)

Velocidades angulares iguales: θ(t) = θ0 + ΩtCambio de variables: x1(t) = r(t), x2(t) = r(t),x3(t) = θ(t)− (θ0 + Ωt), x4(t) = θ(t)− Ωθ0 angulo de referencia ⇒ x3(0) = 0

Sistema en espacio-estado:

x1(t)x2(t)x3(t)x4(t)

=

x2(t)

x1(t)(x4(t) + Ω)2 − GMT

x1(t)2+ Fr(t)

x4(t)

−2x2(t)(x4(t) + Ω)

x1(t)+Fθ(t)

x1(t)

15

Estados estacionarios

Supondremos control 0: Fr(t) = Fθ(t) = 0.

xi(t) = cte⇒ x1 = R0, x3 = Θ0, x2 = x4 = 0⇓ ( 2a ecuacion)

0 = x1(t)Ω2 − GMTx1(t)2

= R0Ω2 − GMT

R20

⇓R0 =

(GMT

Ω2

) 13 ≈ 42164 Km

Como x3(t) es constante y x3(0) = 0, debe ser x3(t) = 0.

Estado estacionario a control 0: (R0, 0, 0, 0) → r(t) = R0,θ(t) = θ0 + Ωt

16

Solucion de los sistemas lineales

La unica solucion del P.C.I.x(t) = A(t)x(t) +B(t)u(t)x(t0) = x0

es

x(t) = Φ(t, t0)x0 +

∫ t

t0

Φ(t, s)B(s)u(s) ds, t ∈ T

donde Φ(t, t0) es una matriz fundamental de soluciones: cada unade sus columnas es solucion del sistema x(t) = A(t)x(t) ydet Φ(t, t0) 6≡ 0, y la matriz de transicion de estados: unicasolucion de

X(t) = A(t)X(t), t ∈ TX(t0) = In

17

Sistemas diferenciales lineales invariantes en el tiempo

x(t) = Ax(t) +Bu(t), t ∈ R A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×my(t) = Cx(t) +Du(t) C ∈ Rp×n, D ∈ Rp×m

Matriz fundamental de soluciones o de transicion de estados:Φ(t, t0) = eA(t−t0)

eAt =∞∑

k=0

tk

k!Ak, t ∈ R (Matlab: expm)

Solucion (funcion de transicion de estados):

x(t) = eA(t−t0)x0 +

∫ t

t0

eA(t−τ)Bu(τ) dτ, t ∈ R

Respuesta del sistema:

y(t) = Cx(t)+Du(t) = CeA(t−t0)x0+

∫ t

t0

CeA(t−τ)Bu(τ) dτ+Du(t)

18

Matriz de transicion: Forma de JordanSi A ∈ Rn×n, existe T ∈ Cn×n t.q. T−1AT = J , con

J =

J1

. . .

Jr

, Jj =

λj 1 0 · · · 00 λj 1 · · · 0

.

.

.

.

.

.. . .

. . ....

0 0 · · · λj 10 0 · · · 0 λj

∈ Cnj×nj ,

Esta es la forma de Jordan de A y λ1, . . . , λr ∈ C son los valores propios(v.p.) distintos (λi 6= λj) de A. Se cumple que:

eJt

=

eJ1t

. . .

eJkt

, e

Jjt = eλjt

1 t t2

2!· · · t

nj−2

(nj−2)!tnj−1

(nj−1)!

0 1 t · · · tnj−3

(nj−3)!tnj−2

(nj−2)!

.

.

.

.

.

.

.

.

.. . .

.

.

.

.

.

.0 0 0 · · · 1 t0 0 0 · · · 0 1

.

Si λj = aj + ibj ⇒ eλjt = eajteibjt = eajt(cos(bjt) + i sen(bjt))

eA(t−τ) = TeJ(t−τ)T−1

(Matlab: eig) (valores propios)(Matlab (symbolic toolbox): jordan) (forma de Jordan)

19

Oscilador lineal amortiguado

mx+ cx+ kx = 0 (movimiento libre)x(0) = x0, x(0) = v0

Con el cambio

ω0 =√

km ζ = c

2√km

(frecuencia natural) (razon de amortiguamiento)

x+ 2ζω0x+ ω20x = 0

Ecuaciones de estado (x1 = x, x2 = x):[x1

x2

]=

[0 1−ω2

0 −2ζω0

] [x1

x2

],

[x1(0)x2(0)

]=

[x0

v0

]

20

Oscilador lineal amortiguadoPolinomio caracterıstico:

λ2 + 2ζω0λ+ ω20 =

(λ+ ζω0 + ω0

√ζ2 − 1

)(λ+ ζω0 − ω0

√ζ2 − 1

)

Solucion general: x(t) = TeJtT−1

[x0v0

]

Movimiento subamortiguado: 0 < ζ < 1.

eJt =

[e(−ζω0+ωdi)t 0

0 e(−ζω0−ωdi)t

]

ωd = ω0

√1− ζ2 (frecuencia de amortiguamiento)

e(−ζω0±ωdi)t = e−ζω0t(cos(ωdt)± i sen(ωdt))x(t) = e−ζω0t (A cos(ωdt) +B sen(ωdt))

x(t) = Ae−ζω0t cos(ωdt− φ)

Movimiento sobreamortiguado: ζ > 1.

eJt =

[e(−ζ+

√ζ2−1)ω0t 0

0 e(−ζ−√ζ2−1)ω0t

]

x(t) = Ae(−ζ+√ζ2−1)ω0t +Be(−ζ−

√ζ2−1)ω0t

21

Oscilador lineal amortiguadoMovimiento crıticamente amortiguado: ζ = 1.

J =

[−ω0 1

0 −ω0

], eJt = e−ω0t

[1 t0 1

]

Solucion general: x(t) = TeJtT−1

[x0

v0

]

x(t) = e−ω0t [(v0 + ω0x0)t+ x0]

Observacion: Las tres figuras tienen una caractrıstica comun:despues de un tiempo en el que el sistema evoluciona con cambiossignificativos, tiende al estado estacionario. Es una propiedadgeneral de los sistemas lineales amortiguados (c ≥ 0). 22

Respuesta de los sistemas linealesx(t) = A(t)x(t) +B(t)u(t),y(t) = C(t)x(t) +D(t)u(t)

y(t) = C(t)Φ(t, t0)x0 +

∫ t

t0

C(t)Φ(t, s)B(s)u(s) ds+D(t)u(t) , t ∈ T .

respuesta al movimientolibre (control 0)

respuesta al movimientoforzado (estado inicial 0)

La respuesta al movimiento forzado se divide en dos:

Respuesta transitoriaRespuesta de estado estacionario

23

Respuesta a un impulso

impulso unidad en τ : δτ (t) :=

0, t 6= τ+∞, t = τ∫ +∞

−∞f(u)δ(t− u) du =

∫ +∞

−∞f(t− u)δ(u) du = f(t)

Respuesta a un impulso= Salida al estado inicial cero en t0 deu(t) = ejδ(t− t0).

hj(t, t0) =

[∫ t

t0

C(t)Φ(t, s)bj(s)δ(s− t0) ds+D(t0)(t)δ(t− t0)

]ej ,

Matriz de Respuesta a un Impulso:

H(t, s) =

C(t)Φ(t, s)B(s) +D(s)δ(t− s) t ≥ s0 t < s

y(t) = C(t)Φ(t, t0)x0 +

∫ t

t0

H(t, s)u(s) ds,

Sistemas invariantes en el tiempo:H(t, s) = CeA(t−s)B +Dδ(t− s) =: H(t− s),y(t) = eA(t−t0)x0 +

∫ t

t0

H(t− s)u(s) ds =

= eA(t−t0)x0 +

∫ t

t0

CeA(t−s)Bu(s) ds+Du(t). 24

Respuesta transitoria y de estado estacionarioMATLAB: impulse,impulseplotEjemplo: Oscilador armonico lineal( ω0 = 0,5, ζ = 0,25)[

x1

x2

]=

[0 1−ω2

0 −2ζω0

] [x1

x2

]+

[01

]δ(t); y(t) = x(t)

>> w=0.5; z=0.25;

>> A=[0 1; -w^2 -2*z*w]; B=[0;1]; C=eye(2);

>> sis=ss(A,B,C,0)

>> impulse(sis)

25

Respuesta a un salto unidadx(t) = Ax(t) +Bu(t)y(t) = Cx(t) +Du(t)

Hipotesis: A invertible

Funcion salto unidad

γ(t) :=

0, t < t01, t ≥ t0 ⇒ uj(t) = γ(t)ej , 1 ≤ j ≤ m

Respuesta del sistema (x(0) = 0): 1 ≤ i ≤ p, para cada uj , t ≥ t0sij(t) =

∫ t

t0

cieA(t−s)Bγ(s)ej ds+ dijγ(t) =

= ci

∫ t

t0

eA(t−s)bj ds+ dij =

= ci

[(−A−1eA(t−s)bj

]tt0

+ dij

= ciA−1eAtbj − ciA−1bj + dij

Matriz de respuesta a un salto:

S(t) = CA−1eAtB −CA−1B +D

respuesta transitoria respuesta de estado estacionario

CA−1eAtB → 0 si Reλi(A) < 0, 26

Respuesta a un salto unidadx(t) = Ax(t) +Bu(t)y(t) = Cx(t) +Du(t)

Hipotesis: A invertible

Funcion salto unidad

γ(t) :=

0, t < t01, t ≥ t0 ⇒ uj(t) = γ(t)ej , 1 ≤ j ≤ m

Respuesta del sistema (x(0) = 0): 1 ≤ i ≤ p, para cada uj , t ≥ t0sij(t) =

∫ t

t0

cieA(t−s)Bγ(s)ej ds+ dijγ(t) =

= ci

∫ t

t0

eA(t−s)bj ds+ dij =

= ci

[(−A−1eA(t−s)bj

]tt0

+ dij

= ciA−1eAtbj − ciA−1bj + dij

Matriz de respuesta a un salto:

S(t) = CA−1eAtB −CA−1B +D

respuesta transitoria respuesta de estado estacionario

CA−1eAtB → 0 si Reλi(A) < 0, 27

Parametros en la respuesta a un salto unidad

El valor de estado estacionario yee: valor final de la salida(suponiendo convergencia).

Tiempo de Subida Tr: cantidad de tiempo que se requierepara que la senal pase del 10 % al 90 % de su valor final.

Sobreelongacion (Overshoot) Mp: porcentaje del valor finalque la senal sube por encima de este en la etapa transitoria.

Tiempo de Ajuste Ts: cantidad de tiempo necesaria para quela senal se situe en el 2 % de su valor final.

28

Ejemplo salto unidadOscilador lineal con ω0 = 0,6 rad/seg, ζ = 0,25:

x(t) + 0,30x(t) + 0,36 = 0,36ku(t)

Ecuaciones de espacio-estado:

x(t) =

[0 1

−0,36 −0,30

]+

[0

0,36k

]u(t)

y(t) =[1 0

]x(t),

Funcion de transferencia (con y(t) = x1(t)):

g(s) =0,36k

s2 + 0,30s+ 0,36= C(sI −A)−1B

>> A=[0 1;-0.36 -0.30]

>> B=[0;0.36], C=[1 0]

>> siso=ss(A,B,C,0)

>> g=tf(sis)

>> num=[0.36], den=[1 0.3 0.36]

>> sis=tf(num,den)

>> sises=ss(sis)

>> A1=sises.a, B1=sises.b,

>> C1=sises.cPara obtener los parametros del sistema: stepinfo(g) ostepinfo(sis) o stepinfo(sises) 29

Ejemplo salto unidad. Graficasstep(g) o step(sis) o step(sises) producen la misma gafica:la respuesta al movimiento forzado por el salto unidad

Para obtener la grafica de la evolucion de todos los estados delsistema:

>> [y t x]=step(sis);

>> plot(t,x(:,1), ’b-’,t,x(:,2), ’r--’)

30

Oscilador lineal y salto unidadLa forma de la curva que representa la respuesta del osciladorlineal a la funcion salto depende de la razon de amortiguamiento ζmientras que la velocidad depende de la frecuencia natural delsistema ω0.

Figura: Respuesta del osciladorlineal a la funcion salto unidadpara ω0 = 0,25, 0,5, 0,75

Figura: Respuesta del osciladorlineal a la funcion salto unidadpara ζ = 0, 0,2, 0,5, 1,05

31

La respuesta de frecuenciaEs la respuesta de un sistema lineal a una excitacion sinusoidal.Por ejemplo u(t) = cosωt = 1

2

(eiωt + e−iωt

)↔ u(t) = est

Respuesta:

y(t) = −CeAt(sI −A)−1B︸ ︷︷ ︸respuesta transitoria

+(C(sI −A)−1B +D

)est.︸ ︷︷ ︸

respuesta de estado estacionario

Matriz de transferencia del sistema: C(sI −A)−1B+D ∈ Cp×mp = m = 1 C(sI −A)−1B +D = Meiθ (M= magnitud, θ=fase)

Re(Λ(A)) < 0⇒ y(t)→ yee = Mest+iθ para t→∞u(t) = Au sen(ωt+ ψ)⇒ yee(t) = MAu sen(ωt+ (θ + ψ))

ganancia(ω) = M =AyAu,

fase(ω) = ϕ− ψ = θ

32

Parametros de la respuesta de frecuencia

La ganancia de frecuencia cero M0 es la ganancia del sistemapara ω = 0 (i.e. s = 0) .

M0 = −CA−1B +D

i.e., es la respuesta de estado estacionario a la funcion saltounidad. (Matlab: evalfr,respfreq)

El ancho de banda ωb es el rango de frecuencia en el que laganancia ha decrecido no mas que 1/

√2 de su valor de

referencia. (Matlab: bandwidth)

El pico resonante Mr y la frecuencia del pico ωr. El primeroes el valor maximo de la ganancia del sistema y el segundo esel valor de la frecuencia de entrada donde se alcanza elprimero. (Matlab: getPeakGain)2

2Las unidades de la ganancia devuelta son absolutas. Para pasar a Db(decibelios) se debe hacer la oparacion Db = 20 log(ua)

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Diagramas de Bode (Bode plot)Proposito: visualizar graficamente la fase y ganancia a una entradasinusoidal. MATLAB: bode, bodeplot, bodemag.EJEMPLO: oscilador lineal

funcion de transferencia: g(s) =kω2

0

s2+2ζω0s+ω20

Meiθ =kω2

0

(iω)2+2ζω0(iω)+ω20

=kω2

0

ω20−ω2+2iζω0ω

Figura: Respuesta de frecuencia para el oscilador lineal en funcion de ζ.La grafica superior representa la ganancia y la inferior la fase. Valorespequenos de ζ producen picos resonantes mas agudos y un cambio rapidoen la fase cuando ω = ω0

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