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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE ECONOMÍA
DIVISIÓN DE ESTUDIOS PROFESIONALES
(DEPARTAMENTO DE INSTRUMENTALES Y ECONOMÍA DE LA EMPRESA)
PROF. FRANCISCO JAVIER REYES ZÁRATE
Ciudad Universitaria, D.F. Sem. 2014-2
Análisis de Riesgos y Portafolios de Inversión
Unidad Cuatro. Fundamentos cuantitativos
para la modelación de volatilidad
El Modelo GARCH
FRANCISCO J. REYES Z., POSGRADO DE INGENIERÍA-UNAM
Análisis, Conformación e Integración de las variables
Estadística descriptiva de los rendimientos diarios de índices
accionarios de los mercados del TLCAN
Aplicación de la metodología: Estadística descriptiva e inferencial
Análisis, Conformación e Integración de las variables
Conforme a los hechos
estilizados, en la evidencia
empírica se hallaron las
características siguientes:
1. El rendimiento de las series
no es iid, aunque se
muestre una pequeña
correlación serial.
2. Las series de rendimientos
al cuadrado o absolutos
muestran una profunda
correlación serial.
3. Los rendimientos
esperados condicionales
son cercanos a cero.
Conforme a los hechos
estilizados, en la evidencia
empírica se hallaron las
características siguientes:
4. La volatilidad parece variar con el tiempo.
5. Los rendimientos de la serie son leptocúrticos
o con colas pesadas.
6. Los rendimientos extremos aparecen
agrupados.
Análisis, Conformación e Integración de las variables
EL ESTUDIO DE LA VOLATILIDAD FINANCIERA
La volatilidad es la desviación estándar (o raía cuadrada de la varianza)
de los rendimientos de un activo de portafolios.
Es un indicados fundamental para la cuantificación de riesgos de
mercado porque representa una medida de dispersión de los rendimientos
con respecto al promedio o la media de los mismos en un periodo
determinado.
La mayor parte de los rendimientos se sitúan alrededor de un punto y
pococ a poco se van dispersando hacia las colas de una distribución dada
(normal por lo general).
. La serie no es constante en algunos
periodos (Heteroscedasticidad)
. Efecto Clúster (agrupamiento de
datos)
VOLATILIDAD HISTÓRICA
En este método se hace énfasis en el pasado inmediato, es decir, todas
las observaciones tienen el mismo peso específico y el pronóstico está
basado en las observaciones históricas.
Para su cálculo, se utiliza la fórmula de la desviación estándar:
Investigaciones (De Lara, 2001) han demostrado que es mejor
considerar solamente el cuadrado de los rendimientos, por lo que
una forma más práctica sería:
2
1
( )n
i
i
r
n
2
1
( )
1
n
i
i
r u
n
VOLATILIDAD DINÁMICA O SUAVIZAMIENTO
EXPONENCIAL (EWMA)
Una manera de capturar el dinamismo de la volatilidad de los mercados es
mediante el uso del suavizamiento exponencial de las observaciones históricas
durante algún periodo, generalmente anual.
Esta metodología le proporciona mayor peso a las últimas y más recientes
observaciones que a las primeras o más alejadas en el tiempo.
Esto representa una ventaja sobre el promedio simple de las observaciones o
volatilidad histórica: la volatilidad dinámica captura rápidamente fuertes
variaciones de precios en los mercados debido a su ponderación, y por ello es
posible genera mejores pronósticos en épocas de volatilidad.
2 2
0
1 T
t r i
i
rT
Partiendo del supuesto
de media de los
rendimientos igual a
cero, la volatilidad
histórica es:
VOLATILIDAD DINÁMICA O SUAVIZAMIENTO
EXPONENCIAL (EWMA)
Asignando al cuadrado de los rendimientos un peso específico w
2
1
2
it
T
i
it rw
De tal manera que wi=ʎi-1(1-ʎ); 0<ʎ<1, entonces:
2
1
12 )1( it
T
i
i
t r
Este modelo depende de un parámetro
ʎ que se encuentra entre 0 y 1,
conocido como factor de
decaimiento (decay factor), el cual
determina los pesos que se aplican a las
observaciones y la cantidad efectiva de
datos que se utilizarán para la
estimación de la volatilidad.
VOLATILIDAD DINÁMICA O SUAVIZAMIENTO
EXPONENCIAL (EWMA)
2
1
12 )1( it
T
i
i
t r
• Mientras más pequeño es ʎ, mayor
peso tienen los datos más recientes.
• Así, si ʎ =1, el modelo se convierte
en la volatilidad histórica con pesos
uniformes a todas las
observaciones, i.e, dado que una
observación hace n días es
multiplicada por ʎn-1 y éste es un
factor muy pequeño en la medida
en que n es grande, menos peso
tienen las observaciones más
lejanas.
0.00
0.50
1.00
1.50
1 3 5 7 9 1113151719212325272931333537394143
Decay Factor MX Peso
A= Lambda^(i-1)
Distribución de pesos de la volatilidad exponencial
Resumen volatilidad
Peso Petróleo Gruma
Des. Est. 0.68% 0.97% 1.32%
EWMA 0.80% 1.27% 1.21%
Dif. 0.12% 0.30% 0.11%
Modelos GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heterokedasticity)-
Autoregresivos Condicionales Generalizados heteroscedáticos)
- Es un modelo cuyo propósito es estimar la varianza no
condicional de los rendimientos de los activos financieros.
- Son procesos autoregresivos generalizados con
heteroscedasticidad condicional; es decir, modelos que
suponen que la varianza cambia a través del tiempo.
- Existen diferentes especificaciones de los modelos
GARCH para estimar la volatilidad del rendimiento de los
activos financieros. A continuación se describe el modelo
GARCH(1,1), el cual es el más común en la estimación de
la volatilidad.
Modelo GARCH (1,1)
Este modelo estima la varianza condicional (volatilidad), en
función del cuadrado de los errores rezagados un periodo y
de la varianza condicional del periodo anterior (término
autoregresivo).
2 2 2
1 1 1 1ˆt t t
Para que el modelo sea
estacionario, es decir,
que converja a un nivel
de equilibrio, se
requiere que los
parámetros cumplan
las restricciones
siguientes:
1) +1 (persistencia de volatilidad (Test de Wald,
donde H0: +=1 P>0.05;
Ha: +1 P<0.05
Mientras mayor sea la suma, mayor será la persistencia.
1) es el término de error, en donde se supone que:
N(0,𝝈𝟐 t).
(1)
- La varianza se estima a partir de los residuales de la ecuación de
regresión de la media condicional. Para estimar la media,
generalmente se utiliza el modelo autoregresivo de orden uno, es
decir, el rendimiento en el periodo actual se explica
exclusivamente por el valor rezagado del rendimiento.
Modelo GARCH (1,1)
- Otros métodos de estimación de la media condicional de los
rendimientos: promedios móviles y más sofisticados como redes
neuronales y algoritmos genéticos (¡cuidado!: estimaciones
ineficientes de la media condicional implican estimaciones
inconsistentes de la volatilidad, no así lo contrario
(Bollerslev et.al, 1992).
(2)
- Cabe destacar que, a diferencia de los modelos ARMA,
donde la varianza se estima con base en los rendimientos
observados, los modelos GARCH utilizan rendimientos
esperados medidos con base en la ecuación (2).
- Sin embargo, como los rendimientos esperados no son
observables, la estimación de la volatilidad requiere de
métodos de optimización conocidos como de “máximaverosimilitud” (cuyas propiedades asintóticas son:
consistencia, normalidad asintótica, eficiencia de primero e
incluso de segundo orden tras corregir el sesgo).
- Por lo anterior, su estimación en Excel o SPSS es muy
complicado o nulo (se recomienda utilizar software
especializado, como Eviews, RATS y STATA, entre otros).
Modelo GARCH (1,1)
Los modelos GARCH toman en cuenta la correlación temporal y las discontinuidades de las
series de tiempo. La ecuación es despejada algebraicamente para obtener la volatilidad no
condicional:
Modelo GARCH (1,1)
2 2 2
1 1 1 1ˆt t t
2 2
tˆ E( )= tcomo
2 2 2
1 1 1 1ˆt t t
2 2
1 1 1ˆ ( )t t
En un régimen estacionario 2 2
1ˆ ˆt t
1 1
ˆ1
t
Función de autocorrelación (FAC)
La función de autocorrelación (FAC) y la función de autocorrelación parcial (FACP)
miden la relación estadística entre las observaciones de una serie temporal. Por ejemplo,
el coeficiente de autocorrelación entre la variable yt y la misma variable un período antes,
yt-1, al que denominaremos coeficiente de autocorrelación de primer orden, se formula
como:
Dado el supuesto de estacionariedad, se tiene que var(yt) = var(yt-1) , por lo que
Función de autocorrelación (FAC)
En general, para un desfase de k períodos se tiene que:
y cuando k=0,
A efectos de la identificación del modelo, debemos comparar el valor que esta función
presentaría para los distintos modelos teóricos, con una estimación de la misma para nuestra
serie. Pues bien, el estimador muestral de la FAC, para el que utilizaremos la expresión rk,
viene dado, con ciertas condiciones y aproximaciones que no trataremos aquí por:
¿Qué es la función de autocorrelación parcial (FACP)?
• La función de autocorrelación parcial mide la “aportación” que a las
variaciones de una variable como yt tiene otra variable, digamos yt-2,
aislados los efectos de las posibles restantes variables, por ejemplo yt-1.
• Por el contrario, la función de autocorrelación ignora el hecho de que
parte de la correlación que pueda existir entre, por ejemplo yt y yt-2, se
debe a que ambas están correlacionadas con yt-1. Pues bien, los distintos
coeficientes de autocorrelación parcial de los modelos teóricos se
denotan como Φkk , y los estimados para nuestra muestra como Φkk.
• La utilidad de los mismos se deriva de que en determinadas ocasiones
el simple conocimiento de la fac muestral no sería suficiente para la
determinación del verdadero proceso generador de la serie.
Función de autocorrelación (FAC)
• Aunque no entraremos en el detalle de la formulación teórica sí es
importante conocer algunas propiedades de la facp. En primer lugar,
por definición la facp de orden 1 es igual a la fac de orden 1. En segundo
lugar, en el modelo teórico, el coeficiente de autocorrelación parcial
coincide con el último coeficiente autorregresivo de un modelo AR. En
otros términos, el coeficiente de correlación parcial de orden 1 será el
valor de en un AR(1); el de orden 2 coincidirá con en un AR(2), y así
sucesivamente.
• En la práctica, los coeficientes de autocorrelación parcial calculados
no son buenos estimadores de los parámetros correspondientes, aunque
pueden servir como valores iniciales para el proceso iterativo de
cómputo que ha de seguirse.
¿Qué es la función de autocorrelación parcial (FACP)?
•Aunque no entraremos en el detalle de la formulación teórica, sí es
importante conocer algunas propiedades de la FACP.
•En primer lugar, por definición la FACP de orden 1 es igual a la FAC de
orden 1.
•En segundo lugar, en el modelo teórico, el coeficiente de autocorrelación
parcial coincide con el último coeficiente autorregresivo de un modelo AR.
En otros términos, el coeficiente de correlación parcial de orden 1 será el
valor de Φ1 en un AR(1); el de orden 2 coincidirá con Φ2 en un AR(2), y
así sucesivamente.
•En la práctica, los coeficientes de autocorrelación parcial calculados no
son buenos estimadores de los parámetros correspondientes, aunque
pueden servir como valores iniciales para el proceso iterativo de cómputo
que ha de seguirse.
MARCO TEÓRICO: MODELOS EWMA, GARCH Y TARCH
ESTRATEGIA DE PORTAFOLIOS
Se especificarán modelos para el cálculo de
la volatilidad* para especificar la varianza y
a su vez introducirla en un portafolios de
inversión, el cual será determinante para
cuantificar los modelos Value at Risknecesarios para el análisis de riesgo.