El nombre auri
Transcript of El nombre auri
WebQuest sobre el nombre d’or, on introduïmtambé conceptes relacionats amb la sèrie deFibonacci.
Clàudia PeñaElisabeth Rodríguez
Marc PérezMehwish Mughal
El nombre auri
1. Introducció
2. Què és el nombre auri?
3. Nombres relacionats
4. Successió de Fibonacci
5. Relació amb l’ésser humà
6. Relació amb la naturalesa
7. Relació amb l’art
8. Relació amb els objectes quotidians
9. Conclusió
Índex
1. Introducció
El nombre d’or es representa amb la lletra gregaφ.
El nombre diví està relacionat amb:
Art
Objectes Quotidians
Ésser humà
Naturalesa
2. Què és el nombre auri?
Descobert a l’época clàssica.
El primer document sobre el nombre Phi s’estableix en els Elements de Geometria d’Euclides.
“Dize se ser dividida una línea recta con razón extrema y media quando fuere quecomo se ha toda a la mayor parte, assi la major a la menor”.
Traduït al català actual:
Es diu que una recta està dividida en mitja i extrema raó quan la longitud de lalínea total és a la de la part major, com la d’aquesta part major és a la menor.
2.1 Maneres de calcular-lo
Tot sorgeix d’una equació de segon grau:
1
𝑥 − 1=
𝑥
1
𝑥 · 𝑥 − 1 = 1 · 1
𝑥2−x − 1 = 0
𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎→ 𝑥 =
1 ± 12 − 4 · 1 · (−1)
2 · 1
3. Nombres relacionats El nombre Pi 3,141592
El nombre e (1 +1
𝑛)𝑛 2,71828
SEMBLANCES DIFERÈNCIES
Els tres nombres tenen infinites
xifres decimals.
Aquestes xifres no són periò-
diques.
Gràcies a aquestes carac-
terístiques, tots tres nombres
són irracionals.
El nombre Pi, i el nombre e no
són solució de cap equació
polinòmica(nombres
transcendents).
El nombre d’or en canvi, si que és
solució de una equació de segon
grau:
4.1 Successió de Fibonacci
Leonardo Pisano Fibonacci (1170-1250)
Introducció dels nombres aràbics en la nostra cultura.
Creador de la successió de Fibonacci i del Liber Abaci.
4.2 Què és la sèrie de Fibonacci?
Els nombres que la componen són el resultat de la suma dels dos nombres queels precedeix.
1
1= 1+0
2= 1+1
3= 2+1
5= 3+2
8= 5+3
13= 8+5
21= 13+8
34= 13+21
55= 34+21
89= 55+34
144= 55+89
233= 144+89
377= 233+144
610= 377+233
987= 610+377
1597= 987+610
∞
4.3 El Liber Abaci
Quantes parelles de conills tindrem al cap d’un any si comencem amb una parellaque produeix cada mes una altra parella que procrea al seu cop als dos mesos devida?
4.4 Relació amb el nombre auri
Divisió de 2 nombres consecutius de la sèrie de Fibonacci entre ells (sempre elmajor entre el menor) donen com a resultat una aproximació al nombre auri. Commés grans siguin els nombres dividits (dividend i divisor) més exacta seràl’aproximació.
1/1= 1
2/1= 2
3/2= 1.5
5/3= 1.66666
8/5= 1.6
13/8= 1.625
21/13= 1.61538461538
34/21= 1.61904761905
55/34= 1.61764705882
89/55= 1.61818181818
144/89= 1.6179775281
233/144= 1.618055556
377/233= 1.618025751
610/377= 1.618037135
987/610= 1.618032786
1597/987= 1.61803447
∞
Phi=1.6180339887498948482045868343656381177203091798057628621354486
5.1 Marcos Vitruvius Pollio
Va viure durant l’època de Juli Cèsar i August.
La fama de Vitruvi es deu al tractat De Architectura.
5.2 Estudis de Vitruvi
Vitruvi va inscriure el cos d’un home amb els braços i les cames en posicions
sobreposades en un cercle que al seu cop estava inscrit també en un
Agafem un pentàgon regular i fem les diagonals.
Obtindrem, llavors, diferents triangles isòsceles.
5.3 El triangle i el pentàgon auri
En el triangle isòsceles es compleix que:
𝐸𝐵
𝐸𝐷=𝐸𝐷
𝐸𝐹
ED=FD=FB=1 i EF=EB-1
𝐸𝐵
1=
1
𝐸𝐵 − 1
𝐸𝐵2 − 𝐸𝐵 = 1
𝐸𝐵2 − 𝐸𝐵 − 1 = 0
𝐸𝐵 =1 + 5
2= 𝑃ℎ𝑖
5.3 El triangle i el pentàgon
auri
5.4 Proporcions àuries humanes
En el cos humà trobem diferents proporcions que podem considerar comperfectes.
𝑙𝑙𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎
𝑎𝑚𝑝𝑙𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎= 1,618…
Podem trobar relacions àuries en els llocs més insospitats del cos humà comper exemple les dents i les mans.
5.4 Proporcions àuries humanes
5.5 El modulor
Va ser establert per Le Corbusier.
Es divideix en dues sèries
Sèrie blava
Sèrie vermella
𝒏 +𝒏
𝑷𝒉𝒊+
𝒏
𝟐𝑷𝒉𝒊= 𝟐𝒏
Sèrie blava: 9,57; 5,92; 3,66; 2,26; 1,40; 0,86; 0,53; 0,33; 0,20...
Sèrie vermella: 4,79; 2,96; 1,83; 1,13; 0,70; 0,43; 0,26; 0,16; 0,10…
6.1 La filotaxis
Significa ordenació de les fulles al voltant d’una tija.
La filotaxis està estretament relacionada amb la successió de Fibonacci.
Podem trobar l’espiral logarítmica en alguns exemples de la natura.
En el nautilus En les galàxies
6.3 Espiral logarítmica àuria
Phi és un nombre de vital importància per el desenvolupament tant
artístic com biològic.
La presència del nombre d’or en alguns elements concrets i reals té una
gran repercussió en la manera de veure’ls i percebre’ls.
Naturalesa Desenvolupament i creixement.
Art Disseny de les obres.
Objectes quotidians Mercantilització de productes.
9. Conclusió