El problema de Monty Hall

ALUMNOS: Marchant Ezequiel Doroni Guido Pereyra Matías García Gisela

MATERIA: PROBABILIDAD

PROFESOR: LIC. PROF. PAULA DIESER

FECHA: 5/06/2013

Vamos a ver algo de historia

El problema de Monty Hall es un problema matemático de probabilidad que está inspirado por el concurso televisivo estadounidense Let's Make a Deal (Hagamos un trato). El nombre del problema tiene su origen en el nombre del presentador del concurso: Monty Hall. (Fue un programa famoso en Estados Unidos entre 1963 y 1984)

Esto lo podemos encontrar en http://edu.jccm.es/ies/4hellin/Matematicas/MCSII/Probabilidad/Probabilidad.htm#2

En wikipedia, en el siguiente linck, http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Monty_Hall encontramos lo siguiente:

• El concursante en el concurso televisivo debe elegir una puerta de entre tres (todas cerradas), el premio consiste en llevarse lo que se encuentra detrás de la elegida. Se sabe con certeza que tras una de ellas se oculta un automóvil, y tras las otras dos hay sendas cabras. Una vez que el concursante haya elegido una puerta y comunicado su elección a los presentes, Monty, el presentador, que sabe lo que hay detrás de cada puerta, abrirá una de las otras dos y mostrará que detrás hay una cabra. A continuación, le da la opción al concursante de cambiar, si lo desea, de puerta (tiene dos opciones) ¿Debe el concursante mantener su elección original o escoger la otra puerta? ¿Hay alguna diferencia?

• Esa pregunta ha generado un intenso debate. Como la respuesta correcta parece contradecir conceptos básicos de probabilidad, se puede considerar como una paradoja. La respuesta se basa en suposiciones que no son obvias y que no se encuentran expresadas en el planteamiento del problema, por lo que también se puede considerar como una pregunta con trampa.

Bienvenidos a mi show!!!, mi nombre es

Monty Hall

Detrás de una de estas puertas hay un coche Detrás de las otras dos

hay una cabra

Nuestro concursante seleccionará una puerta ...

A B C

Elijo la puerta A

Monty Hall (que conoce dónde está el coche) abre la puerta C.

Ahora sabemos que el coche está o bien en A o bien en B.

A B CC

Monty Hall nos permite cambiar de elección si queremos …

¿Es más probable ganar el coche si cambiamos de puerta? (En este caso de A a B).

PUERTA SELECCIONADA

Si el concursante CAMBIA su elección original

A

B C

C

B

A

A

A A BCB CCB

Pierde Gana Gana

Gana

Gana

Gana

Gana

Pierde

Pierde

En el cuadro anterior podemos observar que si el jugador cambia de puerta tiene más probabilidades de ganar, pues gana en 6 de las 9 posibilidades, por lo cual la probabilidad es 2/3, en cambio en el caso de que el jugador decida no cambiar solo le quedan las posibilidades restantes, es decir 3 de 9 o bien 1/3 de probabilidad, por lo cual matemáticamente se puede entender que es mejor cambiar de puerta.

Busquemos ahora algunas soluciones formales dentro del campo de la probabilidad:

VAMOS A RESOLVERLO CON PROBABILIDAD CONDICIONAL

Probabilidad condicional

Sean A,B y G los siguientes sucesos:A = El jugador selecciona la puerta que contiene al auto

en su elección inicial.B = El jugador selecciona una puerta que contiene una

cabra en su elección inicial.G = El jugador gana el auto.

Podemos ver en este ejemplo que el espacio muestral se encuentra particionado por los sucesos A y B, con las siguientes propiedades cumpliéndose:

• A U B = Ω • A ∩ B = Ø• P (A)>0 Ʌ P(B)>0

Cumpliéndose estas hipótesis del teorema de la probabilidad total, podemos aplicar entonces el mencionado teorema.

Pero en principio lo resolveremos del siguiente modo:

Tomaremos a G = (G ∩ A) U (G ∩ B), con las condiciones que antes mencionamos.

• Aplicando probabilidad en ambos miembros se tiene:

P(G)=P((G ∩ A) U (G ∩ B))

Por ser A y B disjuntos se tiene:

P(G)=P(G ∩ A) + P (G ∩ B)

Aplicando la definición de probabilidad condicional:

P(G)=P(G/A).P(A)+P(G/B).P(B)

Que es la definición del teorema de la probabilidad total

Aplicando la regla de Laplace se tiene:

P(A)=1/3 y P(B)=2/3

Calculamos entonces las probabilidades de las condicionadas:

1- En el caso en el que el jugador no cambia:

P(G/A)= 1 y P(G/B)= 0

2- En el caso en el que el jugador decide cambiar:

P(G/A)= 0 y P(G/B)= 1

Luego podemos abordar la misma conclusión que antes.

Pues los cálculos de probabilidades nos dieron lo siguiente:

En el caso de no cambiar

En el caso de cambiar obteniendo la respuesta esperada!!!!!

Ahora vamos a resolverlo definiendo variables aleatorias:

Sea x, y las variables aleatorias tal que:x = número de puerta en la cual se encuentra el

auto.y = número de puerta que elije el concursante.

Sea W el suceso tal que W= Lo que encuentra el presentador al abrir una puerta.

Entonces

W={auto, cabra}

Por otro lado es importante resaltar que X ʯ (3) Y ʯ (3) ̴� ̴� y W depende de X e Y

Lo que vamos a averiguar es la probabilidad de que gane dado ambas situaciones, es decir que cambie o que no cambie, por este motivo calculamos: P(X=Y) dado que W siempre elegirá cabra, es decir que P(W=cabra)=1 y P(W=auto)=0 por la forma en que se organiza el juego, y por otro lado también averiguaremos P(X ≠ Y) dado las condiciones antes anunciadas. Entonces:

P(X=Y) = P(X=Y/W=cabra).P(w=cabra)+ P(X=Y/W=auto).P(W=auto)P(X=Y)=P(X=Y/W=cabra).P(W=cabra) = 1/3 . 1 = 1/3

Calculamos la probabilidad de ganar dado que no cambia:

Ahora vamos a resolverlo por el teorema de Bayes.

Sean X, Y sucesos, tales que:

X = Puerta en la que se encuentra el auto.

Y = Puerta que abre el presentador

X={A, B, C} Y={A,B,C}

Suponemos que el jugador eligió la puerta A

P(Y=B)= P(Y=B/X=A).P(X=A) + P(Y=B/X=B).P(X=B) + P(Y=B/X=C).P(C)

P(Y=B)= 1/2 . 1/3 + 0 . 1/3 + 1 . 1/3=

Veremos en principio cual es la probabilidad de que el presentador abra la puerta B, sabiendo que el concursante eligió la puerta A. El caso de que el presentador abra la C, será análogo de este.

1/2

Calcularemos ahora la probabilidad de que el auto este detrás de la puerta A si es que el presentador abrió la puerta B.

P(X=A/Y=B) = [P(Y=B/X=A).P(X=A)]/ P(Y=B) = (1/6) / (1/2) = 1/3

P(X=B/Y=B) = [P(Y=B/X=B).P(X=B)] / P(Y=B) = 0/(1/2) = 0

P(X=C/Y=B) = [P(Y=B/X=C).P(X=C)] / P(Y=B) = (1/3) / (1/2) = 2/3

Análogamente vemos los casos faltantes:

Desde aquí llegamos a la conclusión de que la probabilidad de que el auto esté en la puerta C, si el presentador abrió la B y el concursante eligió la A es igual a 2/3, en cambio, la probabilidad de que esté detrás de la puerta A es 1/3.

Por otro lado si suponemos que el participante elige la puerta B, por obviedad también los resultados serán análogos, veamos en este ejemplo:

Como antes dijimos el caso en que el presentador abra la puerta C es análogo al caso anterior, ya que lo único que se modificará será el orden de los resultados, obteniendo 1/3 la probabilidad de que el auto esté detrás de la puerta A, y 2/3 de que esté detrás de la B, por lo que también es beneficioso cambiar.

Sabemos que la P(Y=A) = P (Y=C) = 1/2

P(X=A/Y=A) = [P(Y=A/X=A).P(X=A)]/ P(Y=A) = 0 / (1/2) = 0

P(X=B/Y=A) = [P(Y=A/X=B).P(X=B)]/ P(Y=A) = (1/6) / (1/2) = 1/3

P(X=C/Y=A) = [P(Y=A/X=C).P(X=C)]/ P(Y=A) = (1/3) / (1/2) = 2/3

Como podemos observar los resultado se repiten, y siempre coinciden en el resultado esperado, es decir es preferible cambiar de puerta, con una probabilidad de 2/3, mientras que la probabilidad de que el auto esté en la escogida desde el principio es solo de 1/3.

Concluimos en que si el concursante elige la puerta C, será también un caso análogo a los antes vistos.

Ahora veremos si lo podemos generalizar:

Supongamos que tenemos un número n de puertas, tal que n>3, donde detrás de n-1 puertas hay cabras y detrás de la puerta restante hay un auto.

Al elegir una puerta, el presentador nos abre n-2 puertas que ocultan cabras. Nuestro interrogante se genera de pensar en la manera que se modifica la probabilidad de ganar el auto, al ir incrementando el valor de n.

En primer término estudiaremos la idea con un sencillo ejemplo para intentar lograr una visualización, luego de este análisis buscaremos una “absoluta” generalización haciendo tender el número de puertas hacia el infinito.

Veremos en primer lugar qué pasa con 4 puertas:

Tenemos 4 puertas, elegiremos la puerta 1, con una probabilidad de 1/4 de acertar.

Claramente la probabilidad de ganar cambiando es mayor, es decir realizando los cálculos correspondientes tendríamos que la probabilidad de ganar cambiando es 3/4, veamos:

Ahora sabemos que nos conviene cambiar, veamos:

Es como bien pensamos…

Vemos la justificación matemática:

Si graficamos como en el caso de las tres puertas todas las posibilidades obtendremos que dentro de 16 posibilidades, es decir 4²; dentro de dicha matriz, obtendremos el número de soluciones igual a 4, es decir a n, pues siempre es la diagonal principal de la misma.

Luego comprendemos que las posibilidades de ganar sin cambiar son 4/(4²)= 1/4 mientras que la probabilidad de ganar cambiando es (4²-4)/(4²)= 4(4-1)/4² = 3/4

Con 5 puertas sucede lo mismo:Probabilidad de ganar sin cambiar es 5/(5²) = 1/5, en cambio la

probabilidad de ganar cambiando es (5²-5)/5² = 5(5-1)/5² = 4/5

Siempre se mantiene esta regularidad claramente visible en la matriz!

Pensemos de vuelta en n puertas:

La probabilidad de ganar sin cambiar sería entonces 1/n , mientras que la probabilidad de ganar cambiando es (n-1)/n.

En primer lugar calcularemos la probabilidad de ganar dado que no cambia:

Probabilidad de ganar sin cambiar =

Probabilidad de ganar cambiando =

Quedando mas que claro lo conveniente que es cambiar!!!!

¿Que pasará si pensamos ahora que hay una cantidad mayor que uno de autos dentro de una cantidad finita e infinita de puertas?

• Para ello habría que modificar el enunciado y determinar con cuántos autos se organizará el juego.

• La propuesta del juego pensado es esta: Sobre una cantidad n de puertas hay k = (n/2)-1 autos, siendo k

y n valores enteros, en el caso de haber una cantidad de puertas pares.

Si en cambio n fuere impar habría entonces [n/2] autos.Esta idea de aproximar la cantidad de autos, sobre la cantidad de

cabras es interesante para pensar, y observar si la probabilidad cambia al incrementar la cantidad de puertas.

Veamos ahora cómo lo resolvemos:

La probabilidad de ganar sin cambiar, por la regla de Laplace es claramente k/n

Pensemos ahora la probabilidad de ganar cambiando:

Se lo puede pensar como el complemento del resultado anterior, pues sería el caso de que el auto no estuviera en la puerta elegida inicialmente, vemos entonces que pasa:

Probabilidad de ganar cambiando= 1-(k/n)= (n-k)/n

Luego, dado que K= (n/2) - 1 podemos concluir que (n-k) > k, por lo que nuevamente concluimos que conviene cambiar.… Te invitamos a pensar la conclusión del caso de n impar.

AHORA SABEMOS COMO GANAR!!!!

Bibliografía:

La información de la historia se extrajo de los siguientes linck:• http://edu.jccm.es/ies/4hellin/Matematicas/MCSII/Probabilid

ad/Probabilidad.htm#2• http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Monty_Hall

(wikipedia).

El libro usado:“Notas de clase 2013”, curso “Probabilidad y estadística 2013” de Prof. Lic. Maria Paula Dieser

Muchas gracias por su atención!!!!