Memorias XIII Congreso Nacional de Matemaacutetica Educativa 2009 EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS COMO TEOREMA Y COMO HERRAMIENTA

Mariacutea de Lourdes Guerrero Magantildea LourdesGuerrerogmailcom

Facultad de Ciencias Fiacutesico Matemaacuteticas Universidad Michoacana de San Nicolaacutes de Hidalgo

Meacutexico

Resumen El teorema de Pitaacutegoras ha sido y sigue siendo una herramienta fundamental en el caacutelculo

geomeacutetrico Para que los estudiantes puedan desarrollar habilidades paras utilizar este resultado como una herramienta de resolucioacuten de problemas es necesario que conozcan la relacioacuten entre las aacutereas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo y logren un manejo adecuado de la foacutermula que expresa dicha relacioacuten Tambieacuten es necesario que los alumnos de secundaria manipulen figuras doblaacutendolas y recortaacutendolas ademaacutes del trabajo escrito relacionado con la aplicacioacuten del Teorema en diferentes situaciones

Por su parte los profesores deben conocer diferentes formas de mostrar a los estudiantes la validez del Teorema de Pitaacutegoras

El propoacutesito de este curso es trabajar sobre diferentes formas de validar el teorema de Pitaacutegoras asiacute como resolver problemas que involucren su uso como herramienta de caacutelculo geomeacutetrico

Uno de los aspectos que se quiere mostrar a lo largo del curso es la gran importancia de este Teorema en el desarrollo de las matemaacuteticas para ello se analizaraacuten algunos de los problemas praacutecticos que dieron inicio al desarrollo de resultados matemaacuteticos tan importantes como el Teorema de Pitaacutegoras

Introduccioacuten En educacioacuten matemaacutetica tanto a nivel escolar como a nivel de la investigacioacuten se estaacute

dando mucha importancia a actividades que tienen que ver con los procesos de exploracioacuten haciendo menos eacutenfasis en la actividad de demostracioacuten formal De acuerdo con Hanna (2007) esto se debe en parte a que ciertos desarrollos tecnoloacutegicos han influenciado la praacutectica educativa en matemaacuteticas y se cree que la demostracioacuten no es maacutes la parte central de las matemaacuteticas oacute en todo caso que su uso en el saloacuten de clase no propicia el aprendizaje

En lugar de hablar de la demostracioacuten ahora se habla del planteamiento y justificacioacuten de conjeturas como los temas maacutes importantes en educacioacuten matemaacutetica En este contexto en las nuevas propuestas educativas en Meacutexico y el mundo (SEP 2007 NCTM 2000) se plantea que los estudiantes deben desarrollar capacidades de argumentacioacuten con el fin de poder exponer y defender sus ideas y resultados suponiendo que dichas capacidades favoreceraacuten en el futuro los procesos de demostracioacuten matemaacutetica De hecho la comunicacioacuten verbal actualmente se retoma como una de las competencias baacutesicas que deben desarrollar todos los estudiantes a lo largo de sus estudios hasta el nivel bachillerato en Meacutexico (SEP 2007)

No hay duda del papel significativo de la argumentacioacuten en el aula y sin embargo el hacer eacutenfasis en los procesos de argumentacioacuten discursiva parece estar subyugando la importancia de diversas formas de validacioacuten que son fundamentales en matemaacuteticas como lo son el razonamiento empiacuterico y deductivo (Hollebrands amp Smith 2009)

La geometriacutea es el camino natural que ha tomado la ensentildeanza de los procesos de validacioacuten matemaacutetica en la escuela ademaacutes de ser uno de los ejes centrales de las matemaacuteticas en los niveles baacutesicos (primaria y secundaria) Como se ha mencionado por un lado es el camino natural para el estudio de las formas geomeacutetricas y entender el mundo perceptivo-visual y por otro es un aacuterea de las matemaacuteticas que se distingue especialmente por su estructura axiomaacutetica formal Particularmente el teorema de Pitaacutegoras 1 Memorias XIII Congreso Nacional de Matemaacutetica Educativa 2009

es uno de los resultados matemaacuteticos que favorece el estudio de procesos de demostracioacuten por su versatilidad y sencillez

En este taller se tiene el propoacutesito de mostrar y trabajar sobre diferentes formas de validar el teorema de Pitaacutegoras utilizando desde pruebas visuales y manipulativas hasta demostraciones formales del mismo Tambieacuten se resolveraacuten problemas en una diversidad de contextos que involucran el uso del teorema de Pitaacutegoras

Marco conceptual

La ensentildeanza de la geometriacutea en los niveles baacutesico y medio debe tomar en cuenta los recursos previos para con base en ellos desarrollar y organizar las ideas espontaacuteneas y nociones previas de los estudiantes (SEP 2004) Uno de sus propoacutesitos es que el estudiante se familiarice con los objetos geomeacutetricos aprenda los nombres de las figuras explore y descubra sus propiedades fundamentales Particularmente la nocioacuten de medida es un aspecto clave ya que permite cuantificar aquello que desde el punto de vista perceptivo solamente puede ser descrito en teacuterminos cualitativos (grande o pequentildeo delgado o ancho etc)

La cuantificacioacuten se construye a partir de los atributos mensurables propios de los objetos geomeacutetricos Especiacuteficamente el estudio de las medidas es importante para desarrollar ideas de cuantificacioacuten y conmensurabilidad de los objetos Asiacute mismo cuando se exploran de manera general el periacutemetro y el aacuterea de poliacutegonos se pueden construir foacutermulas que llevan en un proceso de aproximaciones al caacutelculo del aacuterea y periacutemetro del ciacuterculo Uno de los problemas maacutes importantes desarrollados a lo largo de toda la historia de las matemaacuteticas

Otro aspecto importante que hay que resaltar en el estudio de la geometriacutea es el relacionado con la visualizacioacuten matemaacutetica Actualmente la informacioacuten graacutefica estaacute tomando una renovada importancia en el estudio de las matemaacuteticas Los estudiantes deben tener oportunidades de aprender a interpretar entender transformar y comunicar informacioacuten graacutefica En particular en los cursos de geometriacutea las figuras y construcciones geomeacutetricas de conceptos matemaacuteticos y la posibilidad de representarlos de distinta forma ademaacutes de promover el desarrollo de habilidades de visualizacioacuten (Hitt 1998) en los estudiantes ayuda a la mejor comprensioacuten de los conceptos propios de las matemaacuteticas

La geometriacutea es una de las ramas de las matemaacuteticas que se estudia a lo largo de todo el nivel baacutesico y para muchos estudiantes la secundaria es la uacuteltima franja de estudios en la que tendraacuten oportunidad de estudiarla Por tanto su ensentildeanza no solamente debe implicar la identificacioacuten de formas geomeacutetricas sino tambieacuten de sus propiedades y relaciones Los estudiantes deben tener oportunidades de interactuar con los objetos geomeacutetricos analizando sus propiedades y trasladaacutendolos a otras representaciones es decir tener un contacto maacutes directo con los objetos matemaacuteticos a traveacutes de su manipulacioacuten y representacioacuten para propiciar un aprendizaje significativo y maacutes duradero (Carpenter amp Lehrer 1999) que aquel que se produce mediante un proceso tradicional

Seguacuten Zimmerman amp Cuningham (1991) la importancia de la visualizacioacuten matemaacutetica reside en que con ayuda de la imaginacioacuten visual podemos iluminar la multiplicacioacuten de hechos y problemas geomeacutetricos o las representaciones graacuteficas de conceptos matemaacuteticos principios o problemas ya sea dibujados a mano o generadas por computadora Tambieacuten destacan que en antildeos recientes la computadora graacutefica ha jugado un creciente e importante papel y que la visualizacioacuten ofrece un meacutetodo para ver lo inadvertido enriquecer los procesos de descubrimiento cientiacutefico y favorece la identificacioacuten de profundos e inesperados patrones

De acuerdo con Eisenberg y Dreyfus (1991) muchos estudiantes son reacios aceptar la visualizacioacuten de los conceptos matemaacuteticos ellos prefieren el pensamiento algoriacutetmico sobre el visual sentildealan que una de las razones por las que esto sucede es que pensar visualmente exige demandas cognitivas superiores a las que exige el pensar algoriacutetmicamente por lo que hacen falta esfuerzos curriculares que inviertan esta tendencia La propuesta de este trabajo es un esfuerzo en eacutesta direccioacuten

2 Memorias XIII Congreso Nacional de Matemaacutetica Educativa 2009

La visualizacioacuten matemaacutetica es una herramienta uacutetil y necesaria para el aprendizaje de las matemaacuteticas Los procesos visuales involucrar el pensamiento figurativo y al operacional por lo que podemos considerar a este proceso un preludio a la abstraccioacuten de conceptos (Hitt 1992) que permitiraacute formar modelos de una situacioacuten La visualizacioacuten va maacutes allaacute de la simple percepcioacuten y permite apoyar la formacioacuten de imaacutegenes conceptuales (Hitt Chaacutevez 1992)

Los conceptos matemaacuteticos pueden ser representados por figuras graacuteficas foacutermulas tablas siacutembolos o expresiones verbales y en cada una de estas representaciones existen variables significativas (por ejemplo en el graacutefico estaacute la escala) por lo que un proceso visual involucra la habilidad para detectar variables significativas y operar apropiadamente con ellas en cada una de estas representaciones involucra tambieacuten la traduccioacuten en teacuterminos cognitivos de las relaciones abstractas de la manipulacioacuten y transformacioacuten de las representaciones creando imaacutegenes visuales poderosas La geometriacutea es el vehiacuteculo para desarrollar en los estudiantes habilidades de visualizacioacuten

Algo de historia

Pitaacutegoras es popular por un teorema conocido mucho antes de que eacutel naciera (Peacuterez 2007) De acuerdo con documentos matemaacuteticos de las civilizaciones antiguas se sabe que en eacutepocas tan lejanas como la de las civilizaciones babiloacutenica (~3500 a C ndash 125 a C) y egipcia (~3100 ac ndash 530 ac) ya se conociacutea la relacioacuten expresada en el Teorema de Pitaacutegoras Si bien Pitaacutegoras no fue el autor de este enunciado siacute el primero al que podemos atribuirle una demostracioacuten formal

La figura 1 muestra varias imaacutegenes de la tablilla babiloacutenica denominada Plimton 322 en la que registraron ternas pitagoacutericas Esto es ordenaciones de nuacutemeros que satisfacen la relacioacuten

c2 = a2 ndash b2

Figura 1 Tablilla babiloacutenica con ternas pitagoacutericas

Tambieacuten en los papiros y en obras arquitectoacutenicas como las piraacutemides egipcias encontramos vestigios del conocimiento del teorema de Pitaacutegoras La figura 2 muestra algunas imaacutegenes del papiro de Moscuacute en el que se observa la forma de calcular el volumen de una piraacutemide trucada 3 Memorias XIII Congreso Nacional de Matemaacutetica Educativa 2009

Figura 2 Vestigio del papiro de Moscuacute y su interpretacioacuten

Uno de los documentos maacutes antiguos que han servido de referencia para conocer la historia de las matemaacuteticas es el libro de Los Elementos de Euclides (300 AC) Eacuteste fue uno de los primeros textos organizados axiomaacuteticamente y si bien se atribuye a Euclides la invencioacuten de la geometriacutea deductiva como modelo de validacioacuten matemaacutetica es Tales de Mileto (600 aC) quien inicia con esta forma de trabajo (Edwards 1979) Tales demostroacute entre otros resultados que el aacutengulo inscrito en una semicircunferencia es recto

Maacutes de dos mil quinientos antildeos despueacutes estos resultados pueden parecernos elementales pero son las primeras proposiciones geomeacutetricas que seguacuten se tiene noticia fueron demostradas utilizando un razonamiento deductivo

A Tales se le atribuyen tambieacuten muchas aplicaciones de la geometriacutea en la solucioacuten de problemas praacutecticos Por ejemplo Tales resolvioacute el problema de calcular la altura de una piraacutemide por medio de sombras Una de las cosas que llaman la atencioacuten en su solucioacuten es la utilizacioacuten de instrumentos tan baacutesicos como un bastoacuten y la sombra gracias a los cuales el problema se resuelve de manera casi inmediata

Pitaacutegoras quien nacioacute alrededor del antildeo 572 aC en la isla de Samos en Grecia continuoacute el trabajo de sistematizacioacuten de la geometriacutea sobre bases deductivas iniciado por Tales 50 antildeos antes Es muy probable que Pitaacutegoras haya viajado por Egipto y los paiacuteses del antiguo Oriente por alguacuten tiempo para luego establecerse en la ciudad griega de Crotona en Italia del sur donde fundoacute una fraternidad religiosa dedicada al estudio de la filosofiacutea las matemaacuteticas y la ciencia la escuela pitagoacuterica

Durante cerca de 200 antildeos Pitaacutegoras y sus seguidores contribuyeron al desarrollo de las matemaacuteticas Conocieron las propiedades de las paralelas y las utilizaron para probar que la suma de los aacutengulos interiores de cualquier triaacutengulo es igual a dos rectos

Impulsaron notablemente el aacutelgebra geomeacutetrica y desarrollaron una teoriacutea de la proporcioacuten bastante completa aunque limitada a las cantidades conmensurables es decir a las cantidades que estaacuten entre siacute en la misma razoacuten que dos enteros

Descubrieron la inconmensurabilidad del lado y la diagonal de un cuadrado hecho que cambioacute la historia de las matemaacuteticas Se les atribuye el descubrimiento independiente y la demostracioacuten por meacutetodos deductivos del teorema que hoy lleva el nombre de Pitaacutegoras

Asimismo se acredita a los pitagoacutericos el haber introducido el estudio de los nuacutemeros figurados

El desarrollo que los pitagoacutericos dieron a la geometriacutea condujo a que hubiera cadenas cada vez maacutes largas de resultados demostrados a partir de otros resultados Al aumentar la longitud de las cadenas de proposiciones conectadas deductivamente entre siacute mdashy al unirse varias cadenas para formar cadenas auacuten maacutes largasmdash comenzoacute a vislumbrarse el siguiente gran avance de la matemaacutetica griega que consiste en la organizacioacuten axiomaacutetica de la geometriacutea (SEP 2004) 4 Memorias XIII Congreso Nacional de Matemaacutetica Educativa 2009

Algunas actividades para el taller

Se presenta una muestra del tipo de actividades para el taller Eacutestas han sido organizadas con respecto al tipo de recursos que se requeriraacuten para resolverlas 1) El teorema de Pitaacutegoras con doblado de papel

Construyendo y manipulando tres piezas como las de la figura de la izquierda colocadas sobre la figura de la derecha (ver figura 3) se puede visualizar la idea general involucrada en el teorema de Pitaacutegoras El cuadrado construido sobre la hipotenusa tiene la misma aacuterea que la de los cuadrados construidos sobre los catetos

Figura 3 Piezas para mostrar el teorema de Pitaacutegoras con doblado de papel 2) En el plano cartesiano

3) Utilizando rompecabezas (Tangram) I Por ejemplo la siguiente actividad tiene como propoacutesito que los estudiantes aprendan

a resolver problemas que conduzcan a calcular el aacuterea de las figuras comunes y de otras formadas por su combinacioacuten Asiacute mismo se espera que inicien gradualmente el desarrollo del razonamiento deductivo en diferentes situaciones Se requieren los siguientes materiales Juego de geometriacutea un pliego de cartulina y tijeras

a) Trazar un triaacutengulo rectaacutengulo cualquiera

b) Construir sobre cada uno de sus lados un cuadrado

c) Localizar el centro del cuadrado del cateto mayor (punto A)

d) Trazar una paralela a la hipotenusa que pase por el punto A

e) Trazar una perpendicular a la hipotenusa que tambieacuten pase por el punto A

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Una vez que se tenga la figura completa recortar los cuadrados de los catetos Cortar el cuadrado del cateto mayor en las cuatro partes que quedaron marcadas Con estas cuatro piezas y el cuadrado menor tratar de cubrir el cuadrado de la hipotenusa iquestSe pudo formar el cuadrado de la hipotenusa iquestCuaacutel es la relacioacuten entre el aacuterea del cuadrado de la hipotenusa y las aacutereas de los cuadrados de los catetos

II Reproducir la figura de la izquierda en un cuarto de cartulina Por los puntos A G y D se trazan paralelas a la hipotenusa del triaacutengulo ABC Recortar todos los triaacutengulos en que quedaron divididos los cuadrados de los catetos y cubrir el cuadrado de la hipotenusa Se puede notar que bull Se trata de un triaacutengulo rectaacutengulo cualquiera (de preferencia diferente al anterior) bull Se han trazado los cuadrados sobre los catetos y sobre la hipotenusa bull En cada uno de los cuadrados de los catetos se ha trazado una de las diagonales bull Por cada uno de los veacutertices que no se usaron para trazar la diagonal del inciso anterior se traza

una paralela a la hipotenusa Al igual que en la actividad I eacutesta permite practicar el uso correcto de los instrumentos geomeacutetricos para el trazo de paralelas perpendiculares el triaacutengulo rectaacutengulo los cuadrados etceacutetera asiacute como reafirmar algunas nociones como paralelismo perpendicularidad etceacutetera Las siguientes preguntas pueden servir como guiacutea para la discusioacuten bull iquestFue posible armar con las piezas de los cuadrados de los catetos el cuadrado de la hipotenusa bull iquestEl triaacutengulo rectaacutengulo era diferente al de la actividad I bull iquestSon iguales los triaacutengulos que construyeron las distintas parejas bull iquestEsto se cumpliraacute en todos los triaacutengulos bull iquestEsto se cumpliraacute en todos los triaacutengulos rectaacutengulos

III Analice las siguientes figuras y busque la manera de aprovecharlas para demostrar ante sus compantildeeros que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos

Lo que se pretende es que sean los alumnos quienes ayudaacutendose con los cuadrados y triaacutengulos rectaacutengulos del material busquen argumentos para verificar el teorema de Pitaacutegoras por medio de la equivalencia de aacutereas

IV Otra actividad consiste en construir triaacutengulos rectaacutengulos de medidas dadas (34 y 5 5 12 y 13 etceacutetera) trazar los cuadrados sobre los lados y cuadricularlos para comprobar las relaciones entre las aacutereas

V La actividad anterior tambieacuten puede hacerse con triaacutengulos rectaacutengulos de cualquier medida construidos en el geoplano y calcular el aacuterea de los cuadrados construidos sobre sus lados por medio del conteo

4) Utilizar diferentes formas de demostracioacuten del teorema de Pitaacutegoras Por ejemplo analizar las pruebas visuales generadas por la manipulacioacuten de figuras y proponer formas de trasladarlas a construcciones geomeacutetricas que permitan llegar a la demostracioacuten formal del teorema como en el caso siguiente

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5) Solucioacuten de problemas en el aacutembito de las matemaacuteticas y otros contextos I Ternas pitagoacutericas

Demostrar que si un triaacutengulo ABC satisface AB = 2n BC = n2 ndash 1 y CA = n2 + 1 entonces se trata de un triaacutengulo rectaacutengulo iquestCuaacutel es el aacutengulo recto Solucioacuten

El aacutengulo recto estaacute en el veacutertice B ya que (n2 ndash 1)2 + (2n)2 = (n2 + 1)2

Si sustituimos n = 2 3 4 en las condiciones del problema obtenemos las siguientes ternas de nuacutemeros llamadas pitagoacutericas (3 4 5) (6 8 10) (8 15 17)hellip

II Las condiciones del problema pueden generalizarse considerando dos nuacutemeros enteros positivos m y n tales que n gt m y un triaacutengulo ABC que satisfaga AB =

2mn BC = n2 ndash m2 y CA = n2 + m2

Verificar que (n2 ndash m2)2 + (2mn)2 = (n2 + m2)2

III iquestCuaacutel es el periacutemetro de las siguientes figuras

Aacuterea()2ababc=Δ Entonces

()2224cabba+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=+ 22222cabbaba+=++

De donde 222cba=+

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IV Instrucciones para encontrar un tesoro A partir del aacuterbol caminar 1048707104870735 pasos hacia el este 1048707104870730 pasos hacia el norte 1048707104870715 pasos hacia el oeste 1048707104870710 pasos hacia el norte 1048707104870760 pasos hacia el este 10487071048707finalmente 20 pasos hacia el norte 10487071048707iquestA cuaacutentos pasos del aacuterbol en liacutenea recta estaacute el tesoro

V Y asiacute sucesivamente

VI iquestCuaacutel es la altura del aacuterbol

VII Calcular la longitud del cono de sombra de la luna (distancia LI)

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Conclusiones El teorema de Pitaacutegoras es una de los resultados matemaacuteticos maacutes sobresalientes tanto

en teacuterminos matemaacuteticos como en funcioacuten del tipo de problemas que ayuda a resolver Su versatilidad y sencillez lo hace un excelente recurso educativo para introducir a los estudiantes al razonamiento deductivo y al mismo tiempo utilizarlo como una herramienta para la resolucioacuten de problemas

Bibliografiacutea Carpenter T Lehrer R (1999) Teaching and Learning Mathematics with Understanding En

Elizabeth Fennema y Thomas Romberg (Eds) Mathematics Classrooms that Promote Understanding (pp 19-32) NJ Lawrence Erlbaum Associates Publishers

Edwards H (1979) The Historical development of the calculus Springer-Verlag NY

Eisenberg T amp Dreyfus T (1991) On the reluctante to visualice in mathematics In Zimmermann amp Cunningham (1991) Visualization in Teaching and Learning Mathematics Mathematical Association of America No 19

Hanna G (2007) The ongoing value of proof En P Boero (Ed) Theorems in schools From history epistemology and cognition to classroom practice (pp 3ndash16) Sense Publishers

Hitt F Chaacutevez H (1992) Visualizacioacuten relacionada a conceptos de caacutelculo con microcomputadoras En Memorias de la VI reunioacuten centroamericana y del Caribe sobre formacioacuten de profesores e investigacioacuten en matemaacutetica educativa Vol 2 (pp 30-35) UAEM Meacutexico

Hitt F (1998) Visualizacioacuten matemaacutetica representaciones nuevas tecnologiacuteas y curriacuteculum Revista de Educacioacuten Matemaacutetica Vol 10 Meacutexico

Hollebrands K Smith R (2009) Using interactive geometry software to teach secondary school geometry Implications for research En (Craine T amp Rubbenstein R Eds) Understanding geometry for a changing word Seventy-first NCTM yearbook (pp 221-266) NCTM Reston Va USA

National Council of Mathematics Teachers (2000) Principles and Standards for School Mathematics NCTM Reston Va USA

Peacuterez A (2007) Pitaacutegoras mucho maacutes que un teorema El Universo matemaacutetico Consultado el 27102009 en httpvideogoogleesvideoplaydocid=513442171440946116

SEP (2007) Plan de Estudios 2006 Secretariacutea de Educacioacuten Puacuteblica Meacutexico

SEP (2004) El Libro para el maestro Matemaacuteticas Educacioacuten secundaria Secretariacutea de Educacioacuten Puacuteblica Meacutexico

Zimmermann amp Cunningham (1991) Visualization in Teaching and Learning Mathematics Mathematical Association of America Notes No 19 Washington DC

9

• Carpenter T Lehrer R (1999) Teaching and Learning Mathematics with Understanding En Elizabeth Fennema y Thomas Romberg (Eds) Mathematics Classrooms that Promote Understanding (pp 19-32) NJ Lawrence Erlbaum Associates Publishers
• Hitt F (1998) Visualizacioacuten matemaacutetica representaciones nuevas tecnologiacuteas y curriacuteculum Revista de Educacioacuten Matemaacutetica Vol 10 Meacutexico

es uno de los resultados matemaacuteticos que favorece el estudio de procesos de demostracioacuten por su versatilidad y sencillez

En este taller se tiene el propoacutesito de mostrar y trabajar sobre diferentes formas de validar el teorema de Pitaacutegoras utilizando desde pruebas visuales y manipulativas hasta demostraciones formales del mismo Tambieacuten se resolveraacuten problemas en una diversidad de contextos que involucran el uso del teorema de Pitaacutegoras

Marco conceptual

La ensentildeanza de la geometriacutea en los niveles baacutesico y medio debe tomar en cuenta los recursos previos para con base en ellos desarrollar y organizar las ideas espontaacuteneas y nociones previas de los estudiantes (SEP 2004) Uno de sus propoacutesitos es que el estudiante se familiarice con los objetos geomeacutetricos aprenda los nombres de las figuras explore y descubra sus propiedades fundamentales Particularmente la nocioacuten de medida es un aspecto clave ya que permite cuantificar aquello que desde el punto de vista perceptivo solamente puede ser descrito en teacuterminos cualitativos (grande o pequentildeo delgado o ancho etc)

La cuantificacioacuten se construye a partir de los atributos mensurables propios de los objetos geomeacutetricos Especiacuteficamente el estudio de las medidas es importante para desarrollar ideas de cuantificacioacuten y conmensurabilidad de los objetos Asiacute mismo cuando se exploran de manera general el periacutemetro y el aacuterea de poliacutegonos se pueden construir foacutermulas que llevan en un proceso de aproximaciones al caacutelculo del aacuterea y periacutemetro del ciacuterculo Uno de los problemas maacutes importantes desarrollados a lo largo de toda la historia de las matemaacuteticas

Otro aspecto importante que hay que resaltar en el estudio de la geometriacutea es el relacionado con la visualizacioacuten matemaacutetica Actualmente la informacioacuten graacutefica estaacute tomando una renovada importancia en el estudio de las matemaacuteticas Los estudiantes deben tener oportunidades de aprender a interpretar entender transformar y comunicar informacioacuten graacutefica En particular en los cursos de geometriacutea las figuras y construcciones geomeacutetricas de conceptos matemaacuteticos y la posibilidad de representarlos de distinta forma ademaacutes de promover el desarrollo de habilidades de visualizacioacuten (Hitt 1998) en los estudiantes ayuda a la mejor comprensioacuten de los conceptos propios de las matemaacuteticas

La geometriacutea es una de las ramas de las matemaacuteticas que se estudia a lo largo de todo el nivel baacutesico y para muchos estudiantes la secundaria es la uacuteltima franja de estudios en la que tendraacuten oportunidad de estudiarla Por tanto su ensentildeanza no solamente debe implicar la identificacioacuten de formas geomeacutetricas sino tambieacuten de sus propiedades y relaciones Los estudiantes deben tener oportunidades de interactuar con los objetos geomeacutetricos analizando sus propiedades y trasladaacutendolos a otras representaciones es decir tener un contacto maacutes directo con los objetos matemaacuteticos a traveacutes de su manipulacioacuten y representacioacuten para propiciar un aprendizaje significativo y maacutes duradero (Carpenter amp Lehrer 1999) que aquel que se produce mediante un proceso tradicional

Seguacuten Zimmerman amp Cuningham (1991) la importancia de la visualizacioacuten matemaacutetica reside en que con ayuda de la imaginacioacuten visual podemos iluminar la multiplicacioacuten de hechos y problemas geomeacutetricos o las representaciones graacuteficas de conceptos matemaacuteticos principios o problemas ya sea dibujados a mano o generadas por computadora Tambieacuten destacan que en antildeos recientes la computadora graacutefica ha jugado un creciente e importante papel y que la visualizacioacuten ofrece un meacutetodo para ver lo inadvertido enriquecer los procesos de descubrimiento cientiacutefico y favorece la identificacioacuten de profundos e inesperados patrones

De acuerdo con Eisenberg y Dreyfus (1991) muchos estudiantes son reacios aceptar la visualizacioacuten de los conceptos matemaacuteticos ellos prefieren el pensamiento algoriacutetmico sobre el visual sentildealan que una de las razones por las que esto sucede es que pensar visualmente exige demandas cognitivas superiores a las que exige el pensar algoriacutetmicamente por lo que hacen falta esfuerzos curriculares que inviertan esta tendencia La propuesta de este trabajo es un esfuerzo en eacutesta direccioacuten

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La visualizacioacuten matemaacutetica es una herramienta uacutetil y necesaria para el aprendizaje de las matemaacuteticas Los procesos visuales involucrar el pensamiento figurativo y al operacional por lo que podemos considerar a este proceso un preludio a la abstraccioacuten de conceptos (Hitt 1992) que permitiraacute formar modelos de una situacioacuten La visualizacioacuten va maacutes allaacute de la simple percepcioacuten y permite apoyar la formacioacuten de imaacutegenes conceptuales (Hitt Chaacutevez 1992)

Los conceptos matemaacuteticos pueden ser representados por figuras graacuteficas foacutermulas tablas siacutembolos o expresiones verbales y en cada una de estas representaciones existen variables significativas (por ejemplo en el graacutefico estaacute la escala) por lo que un proceso visual involucra la habilidad para detectar variables significativas y operar apropiadamente con ellas en cada una de estas representaciones involucra tambieacuten la traduccioacuten en teacuterminos cognitivos de las relaciones abstractas de la manipulacioacuten y transformacioacuten de las representaciones creando imaacutegenes visuales poderosas La geometriacutea es el vehiacuteculo para desarrollar en los estudiantes habilidades de visualizacioacuten

Algo de historia

Pitaacutegoras es popular por un teorema conocido mucho antes de que eacutel naciera (Peacuterez 2007) De acuerdo con documentos matemaacuteticos de las civilizaciones antiguas se sabe que en eacutepocas tan lejanas como la de las civilizaciones babiloacutenica (~3500 a C ndash 125 a C) y egipcia (~3100 ac ndash 530 ac) ya se conociacutea la relacioacuten expresada en el Teorema de Pitaacutegoras Si bien Pitaacutegoras no fue el autor de este enunciado siacute el primero al que podemos atribuirle una demostracioacuten formal

La figura 1 muestra varias imaacutegenes de la tablilla babiloacutenica denominada Plimton 322 en la que registraron ternas pitagoacutericas Esto es ordenaciones de nuacutemeros que satisfacen la relacioacuten

c2 = a2 ndash b2

Figura 1 Tablilla babiloacutenica con ternas pitagoacutericas

Tambieacuten en los papiros y en obras arquitectoacutenicas como las piraacutemides egipcias encontramos vestigios del conocimiento del teorema de Pitaacutegoras La figura 2 muestra algunas imaacutegenes del papiro de Moscuacute en el que se observa la forma de calcular el volumen de una piraacutemide trucada 3 Memorias XIII Congreso Nacional de Matemaacutetica Educativa 2009

Figura 2 Vestigio del papiro de Moscuacute y su interpretacioacuten

Uno de los documentos maacutes antiguos que han servido de referencia para conocer la historia de las matemaacuteticas es el libro de Los Elementos de Euclides (300 AC) Eacuteste fue uno de los primeros textos organizados axiomaacuteticamente y si bien se atribuye a Euclides la invencioacuten de la geometriacutea deductiva como modelo de validacioacuten matemaacutetica es Tales de Mileto (600 aC) quien inicia con esta forma de trabajo (Edwards 1979) Tales demostroacute entre otros resultados que el aacutengulo inscrito en una semicircunferencia es recto

Maacutes de dos mil quinientos antildeos despueacutes estos resultados pueden parecernos elementales pero son las primeras proposiciones geomeacutetricas que seguacuten se tiene noticia fueron demostradas utilizando un razonamiento deductivo

A Tales se le atribuyen tambieacuten muchas aplicaciones de la geometriacutea en la solucioacuten de problemas praacutecticos Por ejemplo Tales resolvioacute el problema de calcular la altura de una piraacutemide por medio de sombras Una de las cosas que llaman la atencioacuten en su solucioacuten es la utilizacioacuten de instrumentos tan baacutesicos como un bastoacuten y la sombra gracias a los cuales el problema se resuelve de manera casi inmediata

Pitaacutegoras quien nacioacute alrededor del antildeo 572 aC en la isla de Samos en Grecia continuoacute el trabajo de sistematizacioacuten de la geometriacutea sobre bases deductivas iniciado por Tales 50 antildeos antes Es muy probable que Pitaacutegoras haya viajado por Egipto y los paiacuteses del antiguo Oriente por alguacuten tiempo para luego establecerse en la ciudad griega de Crotona en Italia del sur donde fundoacute una fraternidad religiosa dedicada al estudio de la filosofiacutea las matemaacuteticas y la ciencia la escuela pitagoacuterica

Durante cerca de 200 antildeos Pitaacutegoras y sus seguidores contribuyeron al desarrollo de las matemaacuteticas Conocieron las propiedades de las paralelas y las utilizaron para probar que la suma de los aacutengulos interiores de cualquier triaacutengulo es igual a dos rectos

Impulsaron notablemente el aacutelgebra geomeacutetrica y desarrollaron una teoriacutea de la proporcioacuten bastante completa aunque limitada a las cantidades conmensurables es decir a las cantidades que estaacuten entre siacute en la misma razoacuten que dos enteros

Descubrieron la inconmensurabilidad del lado y la diagonal de un cuadrado hecho que cambioacute la historia de las matemaacuteticas Se les atribuye el descubrimiento independiente y la demostracioacuten por meacutetodos deductivos del teorema que hoy lleva el nombre de Pitaacutegoras

Asimismo se acredita a los pitagoacutericos el haber introducido el estudio de los nuacutemeros figurados

El desarrollo que los pitagoacutericos dieron a la geometriacutea condujo a que hubiera cadenas cada vez maacutes largas de resultados demostrados a partir de otros resultados Al aumentar la longitud de las cadenas de proposiciones conectadas deductivamente entre siacute mdashy al unirse varias cadenas para formar cadenas auacuten maacutes largasmdash comenzoacute a vislumbrarse el siguiente gran avance de la matemaacutetica griega que consiste en la organizacioacuten axiomaacutetica de la geometriacutea (SEP 2004) 4 Memorias XIII Congreso Nacional de Matemaacutetica Educativa 2009

Algunas actividades para el taller

Se presenta una muestra del tipo de actividades para el taller Eacutestas han sido organizadas con respecto al tipo de recursos que se requeriraacuten para resolverlas 1) El teorema de Pitaacutegoras con doblado de papel

Construyendo y manipulando tres piezas como las de la figura de la izquierda colocadas sobre la figura de la derecha (ver figura 3) se puede visualizar la idea general involucrada en el teorema de Pitaacutegoras El cuadrado construido sobre la hipotenusa tiene la misma aacuterea que la de los cuadrados construidos sobre los catetos

Figura 3 Piezas para mostrar el teorema de Pitaacutegoras con doblado de papel 2) En el plano cartesiano

3) Utilizando rompecabezas (Tangram) I Por ejemplo la siguiente actividad tiene como propoacutesito que los estudiantes aprendan

a resolver problemas que conduzcan a calcular el aacuterea de las figuras comunes y de otras formadas por su combinacioacuten Asiacute mismo se espera que inicien gradualmente el desarrollo del razonamiento deductivo en diferentes situaciones Se requieren los siguientes materiales Juego de geometriacutea un pliego de cartulina y tijeras

a) Trazar un triaacutengulo rectaacutengulo cualquiera

b) Construir sobre cada uno de sus lados un cuadrado

c) Localizar el centro del cuadrado del cateto mayor (punto A)

d) Trazar una paralela a la hipotenusa que pase por el punto A

e) Trazar una perpendicular a la hipotenusa que tambieacuten pase por el punto A

5 Memorias XIII Congreso Nacional de Matemaacutetica Educativa 2009

Una vez que se tenga la figura completa recortar los cuadrados de los catetos Cortar el cuadrado del cateto mayor en las cuatro partes que quedaron marcadas Con estas cuatro piezas y el cuadrado menor tratar de cubrir el cuadrado de la hipotenusa iquestSe pudo formar el cuadrado de la hipotenusa iquestCuaacutel es la relacioacuten entre el aacuterea del cuadrado de la hipotenusa y las aacutereas de los cuadrados de los catetos

II Reproducir la figura de la izquierda en un cuarto de cartulina Por los puntos A G y D se trazan paralelas a la hipotenusa del triaacutengulo ABC Recortar todos los triaacutengulos en que quedaron divididos los cuadrados de los catetos y cubrir el cuadrado de la hipotenusa Se puede notar que bull Se trata de un triaacutengulo rectaacutengulo cualquiera (de preferencia diferente al anterior) bull Se han trazado los cuadrados sobre los catetos y sobre la hipotenusa bull En cada uno de los cuadrados de los catetos se ha trazado una de las diagonales bull Por cada uno de los veacutertices que no se usaron para trazar la diagonal del inciso anterior se traza

una paralela a la hipotenusa Al igual que en la actividad I eacutesta permite practicar el uso correcto de los instrumentos geomeacutetricos para el trazo de paralelas perpendiculares el triaacutengulo rectaacutengulo los cuadrados etceacutetera asiacute como reafirmar algunas nociones como paralelismo perpendicularidad etceacutetera Las siguientes preguntas pueden servir como guiacutea para la discusioacuten bull iquestFue posible armar con las piezas de los cuadrados de los catetos el cuadrado de la hipotenusa bull iquestEl triaacutengulo rectaacutengulo era diferente al de la actividad I bull iquestSon iguales los triaacutengulos que construyeron las distintas parejas bull iquestEsto se cumpliraacute en todos los triaacutengulos bull iquestEsto se cumpliraacute en todos los triaacutengulos rectaacutengulos

III Analice las siguientes figuras y busque la manera de aprovecharlas para demostrar ante sus compantildeeros que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos

Lo que se pretende es que sean los alumnos quienes ayudaacutendose con los cuadrados y triaacutengulos rectaacutengulos del material busquen argumentos para verificar el teorema de Pitaacutegoras por medio de la equivalencia de aacutereas

IV Otra actividad consiste en construir triaacutengulos rectaacutengulos de medidas dadas (34 y 5 5 12 y 13 etceacutetera) trazar los cuadrados sobre los lados y cuadricularlos para comprobar las relaciones entre las aacutereas

V La actividad anterior tambieacuten puede hacerse con triaacutengulos rectaacutengulos de cualquier medida construidos en el geoplano y calcular el aacuterea de los cuadrados construidos sobre sus lados por medio del conteo

4) Utilizar diferentes formas de demostracioacuten del teorema de Pitaacutegoras Por ejemplo analizar las pruebas visuales generadas por la manipulacioacuten de figuras y proponer formas de trasladarlas a construcciones geomeacutetricas que permitan llegar a la demostracioacuten formal del teorema como en el caso siguiente

6 Memorias XIII Congreso Nacional de Matemaacutetica Educativa 2009

5) Solucioacuten de problemas en el aacutembito de las matemaacuteticas y otros contextos I Ternas pitagoacutericas

Demostrar que si un triaacutengulo ABC satisface AB = 2n BC = n2 ndash 1 y CA = n2 + 1 entonces se trata de un triaacutengulo rectaacutengulo iquestCuaacutel es el aacutengulo recto Solucioacuten

El aacutengulo recto estaacute en el veacutertice B ya que (n2 ndash 1)2 + (2n)2 = (n2 + 1)2

Si sustituimos n = 2 3 4 en las condiciones del problema obtenemos las siguientes ternas de nuacutemeros llamadas pitagoacutericas (3 4 5) (6 8 10) (8 15 17)hellip

II Las condiciones del problema pueden generalizarse considerando dos nuacutemeros enteros positivos m y n tales que n gt m y un triaacutengulo ABC que satisfaga AB =

2mn BC = n2 ndash m2 y CA = n2 + m2

Verificar que (n2 ndash m2)2 + (2mn)2 = (n2 + m2)2

III iquestCuaacutel es el periacutemetro de las siguientes figuras

Aacuterea()2ababc=Δ Entonces

()2224cabba+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=+ 22222cabbaba+=++

De donde 222cba=+

7 Memorias XIII Congreso Nacional de Matemaacutetica Educativa 2009

IV Instrucciones para encontrar un tesoro A partir del aacuterbol caminar 1048707104870735 pasos hacia el este 1048707104870730 pasos hacia el norte 1048707104870715 pasos hacia el oeste 1048707104870710 pasos hacia el norte 1048707104870760 pasos hacia el este 10487071048707finalmente 20 pasos hacia el norte 10487071048707iquestA cuaacutentos pasos del aacuterbol en liacutenea recta estaacute el tesoro

V Y asiacute sucesivamente

VI iquestCuaacutel es la altura del aacuterbol

VII Calcular la longitud del cono de sombra de la luna (distancia LI)

8 Memorias XIII Congreso Nacional de Matemaacutetica Educativa 2009

Conclusiones El teorema de Pitaacutegoras es una de los resultados matemaacuteticos maacutes sobresalientes tanto

en teacuterminos matemaacuteticos como en funcioacuten del tipo de problemas que ayuda a resolver Su versatilidad y sencillez lo hace un excelente recurso educativo para introducir a los estudiantes al razonamiento deductivo y al mismo tiempo utilizarlo como una herramienta para la resolucioacuten de problemas

Bibliografiacutea Carpenter T Lehrer R (1999) Teaching and Learning Mathematics with Understanding En

Elizabeth Fennema y Thomas Romberg (Eds) Mathematics Classrooms that Promote Understanding (pp 19-32) NJ Lawrence Erlbaum Associates Publishers

Edwards H (1979) The Historical development of the calculus Springer-Verlag NY

Eisenberg T amp Dreyfus T (1991) On the reluctante to visualice in mathematics In Zimmermann amp Cunningham (1991) Visualization in Teaching and Learning Mathematics Mathematical Association of America No 19

Hanna G (2007) The ongoing value of proof En P Boero (Ed) Theorems in schools From history epistemology and cognition to classroom practice (pp 3ndash16) Sense Publishers

Hitt F Chaacutevez H (1992) Visualizacioacuten relacionada a conceptos de caacutelculo con microcomputadoras En Memorias de la VI reunioacuten centroamericana y del Caribe sobre formacioacuten de profesores e investigacioacuten en matemaacutetica educativa Vol 2 (pp 30-35) UAEM Meacutexico

Hitt F (1998) Visualizacioacuten matemaacutetica representaciones nuevas tecnologiacuteas y curriacuteculum Revista de Educacioacuten Matemaacutetica Vol 10 Meacutexico

Hollebrands K Smith R (2009) Using interactive geometry software to teach secondary school geometry Implications for research En (Craine T amp Rubbenstein R Eds) Understanding geometry for a changing word Seventy-first NCTM yearbook (pp 221-266) NCTM Reston Va USA

National Council of Mathematics Teachers (2000) Principles and Standards for School Mathematics NCTM Reston Va USA

Peacuterez A (2007) Pitaacutegoras mucho maacutes que un teorema El Universo matemaacutetico Consultado el 27102009 en httpvideogoogleesvideoplaydocid=513442171440946116

SEP (2007) Plan de Estudios 2006 Secretariacutea de Educacioacuten Puacuteblica Meacutexico

SEP (2004) El Libro para el maestro Matemaacuteticas Educacioacuten secundaria Secretariacutea de Educacioacuten Puacuteblica Meacutexico

Zimmermann amp Cunningham (1991) Visualization in Teaching and Learning Mathematics Mathematical Association of America Notes No 19 Washington DC

9

• Carpenter T Lehrer R (1999) Teaching and Learning Mathematics with Understanding En Elizabeth Fennema y Thomas Romberg (Eds) Mathematics Classrooms that Promote Understanding (pp 19-32) NJ Lawrence Erlbaum Associates Publishers
• Hitt F (1998) Visualizacioacuten matemaacutetica representaciones nuevas tecnologiacuteas y curriacuteculum Revista de Educacioacuten Matemaacutetica Vol 10 Meacutexico

2 Memorias XIII Congreso Nacional de Matemaacutetica Educativa 2009

La visualizacioacuten matemaacutetica es una herramienta uacutetil y necesaria para el aprendizaje de las matemaacuteticas Los procesos visuales involucrar el pensamiento figurativo y al operacional por lo que podemos considerar a este proceso un preludio a la abstraccioacuten de conceptos (Hitt 1992) que permitiraacute formar modelos de una situacioacuten La visualizacioacuten va maacutes allaacute de la simple percepcioacuten y permite apoyar la formacioacuten de imaacutegenes conceptuales (Hitt Chaacutevez 1992)

Los conceptos matemaacuteticos pueden ser representados por figuras graacuteficas foacutermulas tablas siacutembolos o expresiones verbales y en cada una de estas representaciones existen variables significativas (por ejemplo en el graacutefico estaacute la escala) por lo que un proceso visual involucra la habilidad para detectar variables significativas y operar apropiadamente con ellas en cada una de estas representaciones involucra tambieacuten la traduccioacuten en teacuterminos cognitivos de las relaciones abstractas de la manipulacioacuten y transformacioacuten de las representaciones creando imaacutegenes visuales poderosas La geometriacutea es el vehiacuteculo para desarrollar en los estudiantes habilidades de visualizacioacuten

Algo de historia

Pitaacutegoras es popular por un teorema conocido mucho antes de que eacutel naciera (Peacuterez 2007) De acuerdo con documentos matemaacuteticos de las civilizaciones antiguas se sabe que en eacutepocas tan lejanas como la de las civilizaciones babiloacutenica (~3500 a C ndash 125 a C) y egipcia (~3100 ac ndash 530 ac) ya se conociacutea la relacioacuten expresada en el Teorema de Pitaacutegoras Si bien Pitaacutegoras no fue el autor de este enunciado siacute el primero al que podemos atribuirle una demostracioacuten formal

La figura 1 muestra varias imaacutegenes de la tablilla babiloacutenica denominada Plimton 322 en la que registraron ternas pitagoacutericas Esto es ordenaciones de nuacutemeros que satisfacen la relacioacuten

c2 = a2 ndash b2

Figura 1 Tablilla babiloacutenica con ternas pitagoacutericas

Tambieacuten en los papiros y en obras arquitectoacutenicas como las piraacutemides egipcias encontramos vestigios del conocimiento del teorema de Pitaacutegoras La figura 2 muestra algunas imaacutegenes del papiro de Moscuacute en el que se observa la forma de calcular el volumen de una piraacutemide trucada 3 Memorias XIII Congreso Nacional de Matemaacutetica Educativa 2009

Figura 2 Vestigio del papiro de Moscuacute y su interpretacioacuten

Uno de los documentos maacutes antiguos que han servido de referencia para conocer la historia de las matemaacuteticas es el libro de Los Elementos de Euclides (300 AC) Eacuteste fue uno de los primeros textos organizados axiomaacuteticamente y si bien se atribuye a Euclides la invencioacuten de la geometriacutea deductiva como modelo de validacioacuten matemaacutetica es Tales de Mileto (600 aC) quien inicia con esta forma de trabajo (Edwards 1979) Tales demostroacute entre otros resultados que el aacutengulo inscrito en una semicircunferencia es recto

Maacutes de dos mil quinientos antildeos despueacutes estos resultados pueden parecernos elementales pero son las primeras proposiciones geomeacutetricas que seguacuten se tiene noticia fueron demostradas utilizando un razonamiento deductivo

A Tales se le atribuyen tambieacuten muchas aplicaciones de la geometriacutea en la solucioacuten de problemas praacutecticos Por ejemplo Tales resolvioacute el problema de calcular la altura de una piraacutemide por medio de sombras Una de las cosas que llaman la atencioacuten en su solucioacuten es la utilizacioacuten de instrumentos tan baacutesicos como un bastoacuten y la sombra gracias a los cuales el problema se resuelve de manera casi inmediata

Pitaacutegoras quien nacioacute alrededor del antildeo 572 aC en la isla de Samos en Grecia continuoacute el trabajo de sistematizacioacuten de la geometriacutea sobre bases deductivas iniciado por Tales 50 antildeos antes Es muy probable que Pitaacutegoras haya viajado por Egipto y los paiacuteses del antiguo Oriente por alguacuten tiempo para luego establecerse en la ciudad griega de Crotona en Italia del sur donde fundoacute una fraternidad religiosa dedicada al estudio de la filosofiacutea las matemaacuteticas y la ciencia la escuela pitagoacuterica

Durante cerca de 200 antildeos Pitaacutegoras y sus seguidores contribuyeron al desarrollo de las matemaacuteticas Conocieron las propiedades de las paralelas y las utilizaron para probar que la suma de los aacutengulos interiores de cualquier triaacutengulo es igual a dos rectos

Impulsaron notablemente el aacutelgebra geomeacutetrica y desarrollaron una teoriacutea de la proporcioacuten bastante completa aunque limitada a las cantidades conmensurables es decir a las cantidades que estaacuten entre siacute en la misma razoacuten que dos enteros

Descubrieron la inconmensurabilidad del lado y la diagonal de un cuadrado hecho que cambioacute la historia de las matemaacuteticas Se les atribuye el descubrimiento independiente y la demostracioacuten por meacutetodos deductivos del teorema que hoy lleva el nombre de Pitaacutegoras

Asimismo se acredita a los pitagoacutericos el haber introducido el estudio de los nuacutemeros figurados

El desarrollo que los pitagoacutericos dieron a la geometriacutea condujo a que hubiera cadenas cada vez maacutes largas de resultados demostrados a partir de otros resultados Al aumentar la longitud de las cadenas de proposiciones conectadas deductivamente entre siacute mdashy al unirse varias cadenas para formar cadenas auacuten maacutes largasmdash comenzoacute a vislumbrarse el siguiente gran avance de la matemaacutetica griega que consiste en la organizacioacuten axiomaacutetica de la geometriacutea (SEP 2004) 4 Memorias XIII Congreso Nacional de Matemaacutetica Educativa 2009

Algunas actividades para el taller

Se presenta una muestra del tipo de actividades para el taller Eacutestas han sido organizadas con respecto al tipo de recursos que se requeriraacuten para resolverlas 1) El teorema de Pitaacutegoras con doblado de papel

Construyendo y manipulando tres piezas como las de la figura de la izquierda colocadas sobre la figura de la derecha (ver figura 3) se puede visualizar la idea general involucrada en el teorema de Pitaacutegoras El cuadrado construido sobre la hipotenusa tiene la misma aacuterea que la de los cuadrados construidos sobre los catetos

Figura 3 Piezas para mostrar el teorema de Pitaacutegoras con doblado de papel 2) En el plano cartesiano

3) Utilizando rompecabezas (Tangram) I Por ejemplo la siguiente actividad tiene como propoacutesito que los estudiantes aprendan

a resolver problemas que conduzcan a calcular el aacuterea de las figuras comunes y de otras formadas por su combinacioacuten Asiacute mismo se espera que inicien gradualmente el desarrollo del razonamiento deductivo en diferentes situaciones Se requieren los siguientes materiales Juego de geometriacutea un pliego de cartulina y tijeras

a) Trazar un triaacutengulo rectaacutengulo cualquiera

b) Construir sobre cada uno de sus lados un cuadrado

c) Localizar el centro del cuadrado del cateto mayor (punto A)

d) Trazar una paralela a la hipotenusa que pase por el punto A

e) Trazar una perpendicular a la hipotenusa que tambieacuten pase por el punto A

5 Memorias XIII Congreso Nacional de Matemaacutetica Educativa 2009

Una vez que se tenga la figura completa recortar los cuadrados de los catetos Cortar el cuadrado del cateto mayor en las cuatro partes que quedaron marcadas Con estas cuatro piezas y el cuadrado menor tratar de cubrir el cuadrado de la hipotenusa iquestSe pudo formar el cuadrado de la hipotenusa iquestCuaacutel es la relacioacuten entre el aacuterea del cuadrado de la hipotenusa y las aacutereas de los cuadrados de los catetos

II Reproducir la figura de la izquierda en un cuarto de cartulina Por los puntos A G y D se trazan paralelas a la hipotenusa del triaacutengulo ABC Recortar todos los triaacutengulos en que quedaron divididos los cuadrados de los catetos y cubrir el cuadrado de la hipotenusa Se puede notar que bull Se trata de un triaacutengulo rectaacutengulo cualquiera (de preferencia diferente al anterior) bull Se han trazado los cuadrados sobre los catetos y sobre la hipotenusa bull En cada uno de los cuadrados de los catetos se ha trazado una de las diagonales bull Por cada uno de los veacutertices que no se usaron para trazar la diagonal del inciso anterior se traza

una paralela a la hipotenusa Al igual que en la actividad I eacutesta permite practicar el uso correcto de los instrumentos geomeacutetricos para el trazo de paralelas perpendiculares el triaacutengulo rectaacutengulo los cuadrados etceacutetera asiacute como reafirmar algunas nociones como paralelismo perpendicularidad etceacutetera Las siguientes preguntas pueden servir como guiacutea para la discusioacuten bull iquestFue posible armar con las piezas de los cuadrados de los catetos el cuadrado de la hipotenusa bull iquestEl triaacutengulo rectaacutengulo era diferente al de la actividad I bull iquestSon iguales los triaacutengulos que construyeron las distintas parejas bull iquestEsto se cumpliraacute en todos los triaacutengulos bull iquestEsto se cumpliraacute en todos los triaacutengulos rectaacutengulos

III Analice las siguientes figuras y busque la manera de aprovecharlas para demostrar ante sus compantildeeros que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos

Lo que se pretende es que sean los alumnos quienes ayudaacutendose con los cuadrados y triaacutengulos rectaacutengulos del material busquen argumentos para verificar el teorema de Pitaacutegoras por medio de la equivalencia de aacutereas

IV Otra actividad consiste en construir triaacutengulos rectaacutengulos de medidas dadas (34 y 5 5 12 y 13 etceacutetera) trazar los cuadrados sobre los lados y cuadricularlos para comprobar las relaciones entre las aacutereas

V La actividad anterior tambieacuten puede hacerse con triaacutengulos rectaacutengulos de cualquier medida construidos en el geoplano y calcular el aacuterea de los cuadrados construidos sobre sus lados por medio del conteo

4) Utilizar diferentes formas de demostracioacuten del teorema de Pitaacutegoras Por ejemplo analizar las pruebas visuales generadas por la manipulacioacuten de figuras y proponer formas de trasladarlas a construcciones geomeacutetricas que permitan llegar a la demostracioacuten formal del teorema como en el caso siguiente

6 Memorias XIII Congreso Nacional de Matemaacutetica Educativa 2009

5) Solucioacuten de problemas en el aacutembito de las matemaacuteticas y otros contextos I Ternas pitagoacutericas

Demostrar que si un triaacutengulo ABC satisface AB = 2n BC = n2 ndash 1 y CA = n2 + 1 entonces se trata de un triaacutengulo rectaacutengulo iquestCuaacutel es el aacutengulo recto Solucioacuten

El aacutengulo recto estaacute en el veacutertice B ya que (n2 ndash 1)2 + (2n)2 = (n2 + 1)2

Si sustituimos n = 2 3 4 en las condiciones del problema obtenemos las siguientes ternas de nuacutemeros llamadas pitagoacutericas (3 4 5) (6 8 10) (8 15 17)hellip

II Las condiciones del problema pueden generalizarse considerando dos nuacutemeros enteros positivos m y n tales que n gt m y un triaacutengulo ABC que satisfaga AB =

2mn BC = n2 ndash m2 y CA = n2 + m2

Verificar que (n2 ndash m2)2 + (2mn)2 = (n2 + m2)2

III iquestCuaacutel es el periacutemetro de las siguientes figuras

Aacuterea()2ababc=Δ Entonces

()2224cabba+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=+ 22222cabbaba+=++

De donde 222cba=+

7 Memorias XIII Congreso Nacional de Matemaacutetica Educativa 2009

IV Instrucciones para encontrar un tesoro A partir del aacuterbol caminar 1048707104870735 pasos hacia el este 1048707104870730 pasos hacia el norte 1048707104870715 pasos hacia el oeste 1048707104870710 pasos hacia el norte 1048707104870760 pasos hacia el este 10487071048707finalmente 20 pasos hacia el norte 10487071048707iquestA cuaacutentos pasos del aacuterbol en liacutenea recta estaacute el tesoro

V Y asiacute sucesivamente

VI iquestCuaacutel es la altura del aacuterbol

VII Calcular la longitud del cono de sombra de la luna (distancia LI)

8 Memorias XIII Congreso Nacional de Matemaacutetica Educativa 2009

Conclusiones El teorema de Pitaacutegoras es una de los resultados matemaacuteticos maacutes sobresalientes tanto

en teacuterminos matemaacuteticos como en funcioacuten del tipo de problemas que ayuda a resolver Su versatilidad y sencillez lo hace un excelente recurso educativo para introducir a los estudiantes al razonamiento deductivo y al mismo tiempo utilizarlo como una herramienta para la resolucioacuten de problemas

Bibliografiacutea Carpenter T Lehrer R (1999) Teaching and Learning Mathematics with Understanding En

Elizabeth Fennema y Thomas Romberg (Eds) Mathematics Classrooms that Promote Understanding (pp 19-32) NJ Lawrence Erlbaum Associates Publishers

Edwards H (1979) The Historical development of the calculus Springer-Verlag NY

Eisenberg T amp Dreyfus T (1991) On the reluctante to visualice in mathematics In Zimmermann amp Cunningham (1991) Visualization in Teaching and Learning Mathematics Mathematical Association of America No 19

Hanna G (2007) The ongoing value of proof En P Boero (Ed) Theorems in schools From history epistemology and cognition to classroom practice (pp 3ndash16) Sense Publishers

Hitt F Chaacutevez H (1992) Visualizacioacuten relacionada a conceptos de caacutelculo con microcomputadoras En Memorias de la VI reunioacuten centroamericana y del Caribe sobre formacioacuten de profesores e investigacioacuten en matemaacutetica educativa Vol 2 (pp 30-35) UAEM Meacutexico

Hitt F (1998) Visualizacioacuten matemaacutetica representaciones nuevas tecnologiacuteas y curriacuteculum Revista de Educacioacuten Matemaacutetica Vol 10 Meacutexico

Hollebrands K Smith R (2009) Using interactive geometry software to teach secondary school geometry Implications for research En (Craine T amp Rubbenstein R Eds) Understanding geometry for a changing word Seventy-first NCTM yearbook (pp 221-266) NCTM Reston Va USA

National Council of Mathematics Teachers (2000) Principles and Standards for School Mathematics NCTM Reston Va USA

Peacuterez A (2007) Pitaacutegoras mucho maacutes que un teorema El Universo matemaacutetico Consultado el 27102009 en httpvideogoogleesvideoplaydocid=513442171440946116

SEP (2007) Plan de Estudios 2006 Secretariacutea de Educacioacuten Puacuteblica Meacutexico

SEP (2004) El Libro para el maestro Matemaacuteticas Educacioacuten secundaria Secretariacutea de Educacioacuten Puacuteblica Meacutexico

Zimmermann amp Cunningham (1991) Visualization in Teaching and Learning Mathematics Mathematical Association of America Notes No 19 Washington DC

9

• Carpenter T Lehrer R (1999) Teaching and Learning Mathematics with Understanding En Elizabeth Fennema y Thomas Romberg (Eds) Mathematics Classrooms that Promote Understanding (pp 19-32) NJ Lawrence Erlbaum Associates Publishers
• Hitt F (1998) Visualizacioacuten matemaacutetica representaciones nuevas tecnologiacuteas y curriacuteculum Revista de Educacioacuten Matemaacutetica Vol 10 Meacutexico

La visualizacioacuten matemaacutetica es una herramienta uacutetil y necesaria para el aprendizaje de las matemaacuteticas Los procesos visuales involucrar el pensamiento figurativo y al operacional por lo que podemos considerar a este proceso un preludio a la abstraccioacuten de conceptos (Hitt 1992) que permitiraacute formar modelos de una situacioacuten La visualizacioacuten va maacutes allaacute de la simple percepcioacuten y permite apoyar la formacioacuten de imaacutegenes conceptuales (Hitt Chaacutevez 1992)

Los conceptos matemaacuteticos pueden ser representados por figuras graacuteficas foacutermulas tablas siacutembolos o expresiones verbales y en cada una de estas representaciones existen variables significativas (por ejemplo en el graacutefico estaacute la escala) por lo que un proceso visual involucra la habilidad para detectar variables significativas y operar apropiadamente con ellas en cada una de estas representaciones involucra tambieacuten la traduccioacuten en teacuterminos cognitivos de las relaciones abstractas de la manipulacioacuten y transformacioacuten de las representaciones creando imaacutegenes visuales poderosas La geometriacutea es el vehiacuteculo para desarrollar en los estudiantes habilidades de visualizacioacuten

Algo de historia

Pitaacutegoras es popular por un teorema conocido mucho antes de que eacutel naciera (Peacuterez 2007) De acuerdo con documentos matemaacuteticos de las civilizaciones antiguas se sabe que en eacutepocas tan lejanas como la de las civilizaciones babiloacutenica (~3500 a C ndash 125 a C) y egipcia (~3100 ac ndash 530 ac) ya se conociacutea la relacioacuten expresada en el Teorema de Pitaacutegoras Si bien Pitaacutegoras no fue el autor de este enunciado siacute el primero al que podemos atribuirle una demostracioacuten formal

La figura 1 muestra varias imaacutegenes de la tablilla babiloacutenica denominada Plimton 322 en la que registraron ternas pitagoacutericas Esto es ordenaciones de nuacutemeros que satisfacen la relacioacuten

c2 = a2 ndash b2

Figura 1 Tablilla babiloacutenica con ternas pitagoacutericas

Tambieacuten en los papiros y en obras arquitectoacutenicas como las piraacutemides egipcias encontramos vestigios del conocimiento del teorema de Pitaacutegoras La figura 2 muestra algunas imaacutegenes del papiro de Moscuacute en el que se observa la forma de calcular el volumen de una piraacutemide trucada 3 Memorias XIII Congreso Nacional de Matemaacutetica Educativa 2009

Figura 2 Vestigio del papiro de Moscuacute y su interpretacioacuten

Uno de los documentos maacutes antiguos que han servido de referencia para conocer la historia de las matemaacuteticas es el libro de Los Elementos de Euclides (300 AC) Eacuteste fue uno de los primeros textos organizados axiomaacuteticamente y si bien se atribuye a Euclides la invencioacuten de la geometriacutea deductiva como modelo de validacioacuten matemaacutetica es Tales de Mileto (600 aC) quien inicia con esta forma de trabajo (Edwards 1979) Tales demostroacute entre otros resultados que el aacutengulo inscrito en una semicircunferencia es recto

Maacutes de dos mil quinientos antildeos despueacutes estos resultados pueden parecernos elementales pero son las primeras proposiciones geomeacutetricas que seguacuten se tiene noticia fueron demostradas utilizando un razonamiento deductivo

A Tales se le atribuyen tambieacuten muchas aplicaciones de la geometriacutea en la solucioacuten de problemas praacutecticos Por ejemplo Tales resolvioacute el problema de calcular la altura de una piraacutemide por medio de sombras Una de las cosas que llaman la atencioacuten en su solucioacuten es la utilizacioacuten de instrumentos tan baacutesicos como un bastoacuten y la sombra gracias a los cuales el problema se resuelve de manera casi inmediata

Pitaacutegoras quien nacioacute alrededor del antildeo 572 aC en la isla de Samos en Grecia continuoacute el trabajo de sistematizacioacuten de la geometriacutea sobre bases deductivas iniciado por Tales 50 antildeos antes Es muy probable que Pitaacutegoras haya viajado por Egipto y los paiacuteses del antiguo Oriente por alguacuten tiempo para luego establecerse en la ciudad griega de Crotona en Italia del sur donde fundoacute una fraternidad religiosa dedicada al estudio de la filosofiacutea las matemaacuteticas y la ciencia la escuela pitagoacuterica

Durante cerca de 200 antildeos Pitaacutegoras y sus seguidores contribuyeron al desarrollo de las matemaacuteticas Conocieron las propiedades de las paralelas y las utilizaron para probar que la suma de los aacutengulos interiores de cualquier triaacutengulo es igual a dos rectos

Impulsaron notablemente el aacutelgebra geomeacutetrica y desarrollaron una teoriacutea de la proporcioacuten bastante completa aunque limitada a las cantidades conmensurables es decir a las cantidades que estaacuten entre siacute en la misma razoacuten que dos enteros

Descubrieron la inconmensurabilidad del lado y la diagonal de un cuadrado hecho que cambioacute la historia de las matemaacuteticas Se les atribuye el descubrimiento independiente y la demostracioacuten por meacutetodos deductivos del teorema que hoy lleva el nombre de Pitaacutegoras

Asimismo se acredita a los pitagoacutericos el haber introducido el estudio de los nuacutemeros figurados

El desarrollo que los pitagoacutericos dieron a la geometriacutea condujo a que hubiera cadenas cada vez maacutes largas de resultados demostrados a partir de otros resultados Al aumentar la longitud de las cadenas de proposiciones conectadas deductivamente entre siacute mdashy al unirse varias cadenas para formar cadenas auacuten maacutes largasmdash comenzoacute a vislumbrarse el siguiente gran avance de la matemaacutetica griega que consiste en la organizacioacuten axiomaacutetica de la geometriacutea (SEP 2004) 4 Memorias XIII Congreso Nacional de Matemaacutetica Educativa 2009

Algunas actividades para el taller

Se presenta una muestra del tipo de actividades para el taller Eacutestas han sido organizadas con respecto al tipo de recursos que se requeriraacuten para resolverlas 1) El teorema de Pitaacutegoras con doblado de papel

Construyendo y manipulando tres piezas como las de la figura de la izquierda colocadas sobre la figura de la derecha (ver figura 3) se puede visualizar la idea general involucrada en el teorema de Pitaacutegoras El cuadrado construido sobre la hipotenusa tiene la misma aacuterea que la de los cuadrados construidos sobre los catetos

Figura 3 Piezas para mostrar el teorema de Pitaacutegoras con doblado de papel 2) En el plano cartesiano

3) Utilizando rompecabezas (Tangram) I Por ejemplo la siguiente actividad tiene como propoacutesito que los estudiantes aprendan

a resolver problemas que conduzcan a calcular el aacuterea de las figuras comunes y de otras formadas por su combinacioacuten Asiacute mismo se espera que inicien gradualmente el desarrollo del razonamiento deductivo en diferentes situaciones Se requieren los siguientes materiales Juego de geometriacutea un pliego de cartulina y tijeras

a) Trazar un triaacutengulo rectaacutengulo cualquiera

b) Construir sobre cada uno de sus lados un cuadrado

c) Localizar el centro del cuadrado del cateto mayor (punto A)

d) Trazar una paralela a la hipotenusa que pase por el punto A

e) Trazar una perpendicular a la hipotenusa que tambieacuten pase por el punto A

5 Memorias XIII Congreso Nacional de Matemaacutetica Educativa 2009

Una vez que se tenga la figura completa recortar los cuadrados de los catetos Cortar el cuadrado del cateto mayor en las cuatro partes que quedaron marcadas Con estas cuatro piezas y el cuadrado menor tratar de cubrir el cuadrado de la hipotenusa iquestSe pudo formar el cuadrado de la hipotenusa iquestCuaacutel es la relacioacuten entre el aacuterea del cuadrado de la hipotenusa y las aacutereas de los cuadrados de los catetos

II Reproducir la figura de la izquierda en un cuarto de cartulina Por los puntos A G y D se trazan paralelas a la hipotenusa del triaacutengulo ABC Recortar todos los triaacutengulos en que quedaron divididos los cuadrados de los catetos y cubrir el cuadrado de la hipotenusa Se puede notar que bull Se trata de un triaacutengulo rectaacutengulo cualquiera (de preferencia diferente al anterior) bull Se han trazado los cuadrados sobre los catetos y sobre la hipotenusa bull En cada uno de los cuadrados de los catetos se ha trazado una de las diagonales bull Por cada uno de los veacutertices que no se usaron para trazar la diagonal del inciso anterior se traza

una paralela a la hipotenusa Al igual que en la actividad I eacutesta permite practicar el uso correcto de los instrumentos geomeacutetricos para el trazo de paralelas perpendiculares el triaacutengulo rectaacutengulo los cuadrados etceacutetera asiacute como reafirmar algunas nociones como paralelismo perpendicularidad etceacutetera Las siguientes preguntas pueden servir como guiacutea para la discusioacuten bull iquestFue posible armar con las piezas de los cuadrados de los catetos el cuadrado de la hipotenusa bull iquestEl triaacutengulo rectaacutengulo era diferente al de la actividad I bull iquestSon iguales los triaacutengulos que construyeron las distintas parejas bull iquestEsto se cumpliraacute en todos los triaacutengulos bull iquestEsto se cumpliraacute en todos los triaacutengulos rectaacutengulos

III Analice las siguientes figuras y busque la manera de aprovecharlas para demostrar ante sus compantildeeros que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos

Lo que se pretende es que sean los alumnos quienes ayudaacutendose con los cuadrados y triaacutengulos rectaacutengulos del material busquen argumentos para verificar el teorema de Pitaacutegoras por medio de la equivalencia de aacutereas

IV Otra actividad consiste en construir triaacutengulos rectaacutengulos de medidas dadas (34 y 5 5 12 y 13 etceacutetera) trazar los cuadrados sobre los lados y cuadricularlos para comprobar las relaciones entre las aacutereas

V La actividad anterior tambieacuten puede hacerse con triaacutengulos rectaacutengulos de cualquier medida construidos en el geoplano y calcular el aacuterea de los cuadrados construidos sobre sus lados por medio del conteo

4) Utilizar diferentes formas de demostracioacuten del teorema de Pitaacutegoras Por ejemplo analizar las pruebas visuales generadas por la manipulacioacuten de figuras y proponer formas de trasladarlas a construcciones geomeacutetricas que permitan llegar a la demostracioacuten formal del teorema como en el caso siguiente

6 Memorias XIII Congreso Nacional de Matemaacutetica Educativa 2009

5) Solucioacuten de problemas en el aacutembito de las matemaacuteticas y otros contextos I Ternas pitagoacutericas

Demostrar que si un triaacutengulo ABC satisface AB = 2n BC = n2 ndash 1 y CA = n2 + 1 entonces se trata de un triaacutengulo rectaacutengulo iquestCuaacutel es el aacutengulo recto Solucioacuten

El aacutengulo recto estaacute en el veacutertice B ya que (n2 ndash 1)2 + (2n)2 = (n2 + 1)2

Si sustituimos n = 2 3 4 en las condiciones del problema obtenemos las siguientes ternas de nuacutemeros llamadas pitagoacutericas (3 4 5) (6 8 10) (8 15 17)hellip

II Las condiciones del problema pueden generalizarse considerando dos nuacutemeros enteros positivos m y n tales que n gt m y un triaacutengulo ABC que satisfaga AB =

2mn BC = n2 ndash m2 y CA = n2 + m2

Verificar que (n2 ndash m2)2 + (2mn)2 = (n2 + m2)2

III iquestCuaacutel es el periacutemetro de las siguientes figuras

Aacuterea()2ababc=Δ Entonces

()2224cabba+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=+ 22222cabbaba+=++

De donde 222cba=+

7 Memorias XIII Congreso Nacional de Matemaacutetica Educativa 2009

IV Instrucciones para encontrar un tesoro A partir del aacuterbol caminar 1048707104870735 pasos hacia el este 1048707104870730 pasos hacia el norte 1048707104870715 pasos hacia el oeste 1048707104870710 pasos hacia el norte 1048707104870760 pasos hacia el este 10487071048707finalmente 20 pasos hacia el norte 10487071048707iquestA cuaacutentos pasos del aacuterbol en liacutenea recta estaacute el tesoro

V Y asiacute sucesivamente

VI iquestCuaacutel es la altura del aacuterbol

VII Calcular la longitud del cono de sombra de la luna (distancia LI)

8 Memorias XIII Congreso Nacional de Matemaacutetica Educativa 2009

Conclusiones El teorema de Pitaacutegoras es una de los resultados matemaacuteticos maacutes sobresalientes tanto

en teacuterminos matemaacuteticos como en funcioacuten del tipo de problemas que ayuda a resolver Su versatilidad y sencillez lo hace un excelente recurso educativo para introducir a los estudiantes al razonamiento deductivo y al mismo tiempo utilizarlo como una herramienta para la resolucioacuten de problemas

Bibliografiacutea Carpenter T Lehrer R (1999) Teaching and Learning Mathematics with Understanding En

Elizabeth Fennema y Thomas Romberg (Eds) Mathematics Classrooms that Promote Understanding (pp 19-32) NJ Lawrence Erlbaum Associates Publishers

Edwards H (1979) The Historical development of the calculus Springer-Verlag NY

Eisenberg T amp Dreyfus T (1991) On the reluctante to visualice in mathematics In Zimmermann amp Cunningham (1991) Visualization in Teaching and Learning Mathematics Mathematical Association of America No 19

Hanna G (2007) The ongoing value of proof En P Boero (Ed) Theorems in schools From history epistemology and cognition to classroom practice (pp 3ndash16) Sense Publishers

Hitt F Chaacutevez H (1992) Visualizacioacuten relacionada a conceptos de caacutelculo con microcomputadoras En Memorias de la VI reunioacuten centroamericana y del Caribe sobre formacioacuten de profesores e investigacioacuten en matemaacutetica educativa Vol 2 (pp 30-35) UAEM Meacutexico

Hitt F (1998) Visualizacioacuten matemaacutetica representaciones nuevas tecnologiacuteas y curriacuteculum Revista de Educacioacuten Matemaacutetica Vol 10 Meacutexico

Hollebrands K Smith R (2009) Using interactive geometry software to teach secondary school geometry Implications for research En (Craine T amp Rubbenstein R Eds) Understanding geometry for a changing word Seventy-first NCTM yearbook (pp 221-266) NCTM Reston Va USA

National Council of Mathematics Teachers (2000) Principles and Standards for School Mathematics NCTM Reston Va USA

Peacuterez A (2007) Pitaacutegoras mucho maacutes que un teorema El Universo matemaacutetico Consultado el 27102009 en httpvideogoogleesvideoplaydocid=513442171440946116

SEP (2007) Plan de Estudios 2006 Secretariacutea de Educacioacuten Puacuteblica Meacutexico

SEP (2004) El Libro para el maestro Matemaacuteticas Educacioacuten secundaria Secretariacutea de Educacioacuten Puacuteblica Meacutexico

Zimmermann amp Cunningham (1991) Visualization in Teaching and Learning Mathematics Mathematical Association of America Notes No 19 Washington DC

9

• Carpenter T Lehrer R (1999) Teaching and Learning Mathematics with Understanding En Elizabeth Fennema y Thomas Romberg (Eds) Mathematics Classrooms that Promote Understanding (pp 19-32) NJ Lawrence Erlbaum Associates Publishers
• Hitt F (1998) Visualizacioacuten matemaacutetica representaciones nuevas tecnologiacuteas y curriacuteculum Revista de Educacioacuten Matemaacutetica Vol 10 Meacutexico

Figura 2 Vestigio del papiro de Moscuacute y su interpretacioacuten

Uno de los documentos maacutes antiguos que han servido de referencia para conocer la historia de las matemaacuteticas es el libro de Los Elementos de Euclides (300 AC) Eacuteste fue uno de los primeros textos organizados axiomaacuteticamente y si bien se atribuye a Euclides la invencioacuten de la geometriacutea deductiva como modelo de validacioacuten matemaacutetica es Tales de Mileto (600 aC) quien inicia con esta forma de trabajo (Edwards 1979) Tales demostroacute entre otros resultados que el aacutengulo inscrito en una semicircunferencia es recto

Maacutes de dos mil quinientos antildeos despueacutes estos resultados pueden parecernos elementales pero son las primeras proposiciones geomeacutetricas que seguacuten se tiene noticia fueron demostradas utilizando un razonamiento deductivo

A Tales se le atribuyen tambieacuten muchas aplicaciones de la geometriacutea en la solucioacuten de problemas praacutecticos Por ejemplo Tales resolvioacute el problema de calcular la altura de una piraacutemide por medio de sombras Una de las cosas que llaman la atencioacuten en su solucioacuten es la utilizacioacuten de instrumentos tan baacutesicos como un bastoacuten y la sombra gracias a los cuales el problema se resuelve de manera casi inmediata

Pitaacutegoras quien nacioacute alrededor del antildeo 572 aC en la isla de Samos en Grecia continuoacute el trabajo de sistematizacioacuten de la geometriacutea sobre bases deductivas iniciado por Tales 50 antildeos antes Es muy probable que Pitaacutegoras haya viajado por Egipto y los paiacuteses del antiguo Oriente por alguacuten tiempo para luego establecerse en la ciudad griega de Crotona en Italia del sur donde fundoacute una fraternidad religiosa dedicada al estudio de la filosofiacutea las matemaacuteticas y la ciencia la escuela pitagoacuterica

Durante cerca de 200 antildeos Pitaacutegoras y sus seguidores contribuyeron al desarrollo de las matemaacuteticas Conocieron las propiedades de las paralelas y las utilizaron para probar que la suma de los aacutengulos interiores de cualquier triaacutengulo es igual a dos rectos

Impulsaron notablemente el aacutelgebra geomeacutetrica y desarrollaron una teoriacutea de la proporcioacuten bastante completa aunque limitada a las cantidades conmensurables es decir a las cantidades que estaacuten entre siacute en la misma razoacuten que dos enteros

Descubrieron la inconmensurabilidad del lado y la diagonal de un cuadrado hecho que cambioacute la historia de las matemaacuteticas Se les atribuye el descubrimiento independiente y la demostracioacuten por meacutetodos deductivos del teorema que hoy lleva el nombre de Pitaacutegoras

Asimismo se acredita a los pitagoacutericos el haber introducido el estudio de los nuacutemeros figurados

El desarrollo que los pitagoacutericos dieron a la geometriacutea condujo a que hubiera cadenas cada vez maacutes largas de resultados demostrados a partir de otros resultados Al aumentar la longitud de las cadenas de proposiciones conectadas deductivamente entre siacute mdashy al unirse varias cadenas para formar cadenas auacuten maacutes largasmdash comenzoacute a vislumbrarse el siguiente gran avance de la matemaacutetica griega que consiste en la organizacioacuten axiomaacutetica de la geometriacutea (SEP 2004) 4 Memorias XIII Congreso Nacional de Matemaacutetica Educativa 2009

Algunas actividades para el taller

Se presenta una muestra del tipo de actividades para el taller Eacutestas han sido organizadas con respecto al tipo de recursos que se requeriraacuten para resolverlas 1) El teorema de Pitaacutegoras con doblado de papel

Construyendo y manipulando tres piezas como las de la figura de la izquierda colocadas sobre la figura de la derecha (ver figura 3) se puede visualizar la idea general involucrada en el teorema de Pitaacutegoras El cuadrado construido sobre la hipotenusa tiene la misma aacuterea que la de los cuadrados construidos sobre los catetos

Figura 3 Piezas para mostrar el teorema de Pitaacutegoras con doblado de papel 2) En el plano cartesiano

3) Utilizando rompecabezas (Tangram) I Por ejemplo la siguiente actividad tiene como propoacutesito que los estudiantes aprendan

a resolver problemas que conduzcan a calcular el aacuterea de las figuras comunes y de otras formadas por su combinacioacuten Asiacute mismo se espera que inicien gradualmente el desarrollo del razonamiento deductivo en diferentes situaciones Se requieren los siguientes materiales Juego de geometriacutea un pliego de cartulina y tijeras

a) Trazar un triaacutengulo rectaacutengulo cualquiera

b) Construir sobre cada uno de sus lados un cuadrado

c) Localizar el centro del cuadrado del cateto mayor (punto A)

d) Trazar una paralela a la hipotenusa que pase por el punto A

e) Trazar una perpendicular a la hipotenusa que tambieacuten pase por el punto A

5 Memorias XIII Congreso Nacional de Matemaacutetica Educativa 2009

Una vez que se tenga la figura completa recortar los cuadrados de los catetos Cortar el cuadrado del cateto mayor en las cuatro partes que quedaron marcadas Con estas cuatro piezas y el cuadrado menor tratar de cubrir el cuadrado de la hipotenusa iquestSe pudo formar el cuadrado de la hipotenusa iquestCuaacutel es la relacioacuten entre el aacuterea del cuadrado de la hipotenusa y las aacutereas de los cuadrados de los catetos

II Reproducir la figura de la izquierda en un cuarto de cartulina Por los puntos A G y D se trazan paralelas a la hipotenusa del triaacutengulo ABC Recortar todos los triaacutengulos en que quedaron divididos los cuadrados de los catetos y cubrir el cuadrado de la hipotenusa Se puede notar que bull Se trata de un triaacutengulo rectaacutengulo cualquiera (de preferencia diferente al anterior) bull Se han trazado los cuadrados sobre los catetos y sobre la hipotenusa bull En cada uno de los cuadrados de los catetos se ha trazado una de las diagonales bull Por cada uno de los veacutertices que no se usaron para trazar la diagonal del inciso anterior se traza

una paralela a la hipotenusa Al igual que en la actividad I eacutesta permite practicar el uso correcto de los instrumentos geomeacutetricos para el trazo de paralelas perpendiculares el triaacutengulo rectaacutengulo los cuadrados etceacutetera asiacute como reafirmar algunas nociones como paralelismo perpendicularidad etceacutetera Las siguientes preguntas pueden servir como guiacutea para la discusioacuten bull iquestFue posible armar con las piezas de los cuadrados de los catetos el cuadrado de la hipotenusa bull iquestEl triaacutengulo rectaacutengulo era diferente al de la actividad I bull iquestSon iguales los triaacutengulos que construyeron las distintas parejas bull iquestEsto se cumpliraacute en todos los triaacutengulos bull iquestEsto se cumpliraacute en todos los triaacutengulos rectaacutengulos

III Analice las siguientes figuras y busque la manera de aprovecharlas para demostrar ante sus compantildeeros que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos

Lo que se pretende es que sean los alumnos quienes ayudaacutendose con los cuadrados y triaacutengulos rectaacutengulos del material busquen argumentos para verificar el teorema de Pitaacutegoras por medio de la equivalencia de aacutereas

IV Otra actividad consiste en construir triaacutengulos rectaacutengulos de medidas dadas (34 y 5 5 12 y 13 etceacutetera) trazar los cuadrados sobre los lados y cuadricularlos para comprobar las relaciones entre las aacutereas

V La actividad anterior tambieacuten puede hacerse con triaacutengulos rectaacutengulos de cualquier medida construidos en el geoplano y calcular el aacuterea de los cuadrados construidos sobre sus lados por medio del conteo

4) Utilizar diferentes formas de demostracioacuten del teorema de Pitaacutegoras Por ejemplo analizar las pruebas visuales generadas por la manipulacioacuten de figuras y proponer formas de trasladarlas a construcciones geomeacutetricas que permitan llegar a la demostracioacuten formal del teorema como en el caso siguiente

6 Memorias XIII Congreso Nacional de Matemaacutetica Educativa 2009

5) Solucioacuten de problemas en el aacutembito de las matemaacuteticas y otros contextos I Ternas pitagoacutericas

Demostrar que si un triaacutengulo ABC satisface AB = 2n BC = n2 ndash 1 y CA = n2 + 1 entonces se trata de un triaacutengulo rectaacutengulo iquestCuaacutel es el aacutengulo recto Solucioacuten

El aacutengulo recto estaacute en el veacutertice B ya que (n2 ndash 1)2 + (2n)2 = (n2 + 1)2

Si sustituimos n = 2 3 4 en las condiciones del problema obtenemos las siguientes ternas de nuacutemeros llamadas pitagoacutericas (3 4 5) (6 8 10) (8 15 17)hellip

II Las condiciones del problema pueden generalizarse considerando dos nuacutemeros enteros positivos m y n tales que n gt m y un triaacutengulo ABC que satisfaga AB =

2mn BC = n2 ndash m2 y CA = n2 + m2

Verificar que (n2 ndash m2)2 + (2mn)2 = (n2 + m2)2

III iquestCuaacutel es el periacutemetro de las siguientes figuras

Aacuterea()2ababc=Δ Entonces

()2224cabba+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=+ 22222cabbaba+=++

De donde 222cba=+

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IV Instrucciones para encontrar un tesoro A partir del aacuterbol caminar 1048707104870735 pasos hacia el este 1048707104870730 pasos hacia el norte 1048707104870715 pasos hacia el oeste 1048707104870710 pasos hacia el norte 1048707104870760 pasos hacia el este 10487071048707finalmente 20 pasos hacia el norte 10487071048707iquestA cuaacutentos pasos del aacuterbol en liacutenea recta estaacute el tesoro

V Y asiacute sucesivamente

VI iquestCuaacutel es la altura del aacuterbol

VII Calcular la longitud del cono de sombra de la luna (distancia LI)

8 Memorias XIII Congreso Nacional de Matemaacutetica Educativa 2009

Conclusiones El teorema de Pitaacutegoras es una de los resultados matemaacuteticos maacutes sobresalientes tanto

en teacuterminos matemaacuteticos como en funcioacuten del tipo de problemas que ayuda a resolver Su versatilidad y sencillez lo hace un excelente recurso educativo para introducir a los estudiantes al razonamiento deductivo y al mismo tiempo utilizarlo como una herramienta para la resolucioacuten de problemas

Bibliografiacutea Carpenter T Lehrer R (1999) Teaching and Learning Mathematics with Understanding En

Elizabeth Fennema y Thomas Romberg (Eds) Mathematics Classrooms that Promote Understanding (pp 19-32) NJ Lawrence Erlbaum Associates Publishers

Edwards H (1979) The Historical development of the calculus Springer-Verlag NY

Eisenberg T amp Dreyfus T (1991) On the reluctante to visualice in mathematics In Zimmermann amp Cunningham (1991) Visualization in Teaching and Learning Mathematics Mathematical Association of America No 19

Hanna G (2007) The ongoing value of proof En P Boero (Ed) Theorems in schools From history epistemology and cognition to classroom practice (pp 3ndash16) Sense Publishers

Hitt F Chaacutevez H (1992) Visualizacioacuten relacionada a conceptos de caacutelculo con microcomputadoras En Memorias de la VI reunioacuten centroamericana y del Caribe sobre formacioacuten de profesores e investigacioacuten en matemaacutetica educativa Vol 2 (pp 30-35) UAEM Meacutexico

Hitt F (1998) Visualizacioacuten matemaacutetica representaciones nuevas tecnologiacuteas y curriacuteculum Revista de Educacioacuten Matemaacutetica Vol 10 Meacutexico

Hollebrands K Smith R (2009) Using interactive geometry software to teach secondary school geometry Implications for research En (Craine T amp Rubbenstein R Eds) Understanding geometry for a changing word Seventy-first NCTM yearbook (pp 221-266) NCTM Reston Va USA

National Council of Mathematics Teachers (2000) Principles and Standards for School Mathematics NCTM Reston Va USA

Peacuterez A (2007) Pitaacutegoras mucho maacutes que un teorema El Universo matemaacutetico Consultado el 27102009 en httpvideogoogleesvideoplaydocid=513442171440946116

SEP (2007) Plan de Estudios 2006 Secretariacutea de Educacioacuten Puacuteblica Meacutexico

SEP (2004) El Libro para el maestro Matemaacuteticas Educacioacuten secundaria Secretariacutea de Educacioacuten Puacuteblica Meacutexico

Zimmermann amp Cunningham (1991) Visualization in Teaching and Learning Mathematics Mathematical Association of America Notes No 19 Washington DC

9

• Carpenter T Lehrer R (1999) Teaching and Learning Mathematics with Understanding En Elizabeth Fennema y Thomas Romberg (Eds) Mathematics Classrooms that Promote Understanding (pp 19-32) NJ Lawrence Erlbaum Associates Publishers
• Hitt F (1998) Visualizacioacuten matemaacutetica representaciones nuevas tecnologiacuteas y curriacuteculum Revista de Educacioacuten Matemaacutetica Vol 10 Meacutexico

Algunas actividades para el taller

Se presenta una muestra del tipo de actividades para el taller Eacutestas han sido organizadas con respecto al tipo de recursos que se requeriraacuten para resolverlas 1) El teorema de Pitaacutegoras con doblado de papel

Construyendo y manipulando tres piezas como las de la figura de la izquierda colocadas sobre la figura de la derecha (ver figura 3) se puede visualizar la idea general involucrada en el teorema de Pitaacutegoras El cuadrado construido sobre la hipotenusa tiene la misma aacuterea que la de los cuadrados construidos sobre los catetos

Figura 3 Piezas para mostrar el teorema de Pitaacutegoras con doblado de papel 2) En el plano cartesiano

3) Utilizando rompecabezas (Tangram) I Por ejemplo la siguiente actividad tiene como propoacutesito que los estudiantes aprendan

a resolver problemas que conduzcan a calcular el aacuterea de las figuras comunes y de otras formadas por su combinacioacuten Asiacute mismo se espera que inicien gradualmente el desarrollo del razonamiento deductivo en diferentes situaciones Se requieren los siguientes materiales Juego de geometriacutea un pliego de cartulina y tijeras

a) Trazar un triaacutengulo rectaacutengulo cualquiera

b) Construir sobre cada uno de sus lados un cuadrado

c) Localizar el centro del cuadrado del cateto mayor (punto A)

d) Trazar una paralela a la hipotenusa que pase por el punto A

e) Trazar una perpendicular a la hipotenusa que tambieacuten pase por el punto A

5 Memorias XIII Congreso Nacional de Matemaacutetica Educativa 2009

Una vez que se tenga la figura completa recortar los cuadrados de los catetos Cortar el cuadrado del cateto mayor en las cuatro partes que quedaron marcadas Con estas cuatro piezas y el cuadrado menor tratar de cubrir el cuadrado de la hipotenusa iquestSe pudo formar el cuadrado de la hipotenusa iquestCuaacutel es la relacioacuten entre el aacuterea del cuadrado de la hipotenusa y las aacutereas de los cuadrados de los catetos

II Reproducir la figura de la izquierda en un cuarto de cartulina Por los puntos A G y D se trazan paralelas a la hipotenusa del triaacutengulo ABC Recortar todos los triaacutengulos en que quedaron divididos los cuadrados de los catetos y cubrir el cuadrado de la hipotenusa Se puede notar que bull Se trata de un triaacutengulo rectaacutengulo cualquiera (de preferencia diferente al anterior) bull Se han trazado los cuadrados sobre los catetos y sobre la hipotenusa bull En cada uno de los cuadrados de los catetos se ha trazado una de las diagonales bull Por cada uno de los veacutertices que no se usaron para trazar la diagonal del inciso anterior se traza

una paralela a la hipotenusa Al igual que en la actividad I eacutesta permite practicar el uso correcto de los instrumentos geomeacutetricos para el trazo de paralelas perpendiculares el triaacutengulo rectaacutengulo los cuadrados etceacutetera asiacute como reafirmar algunas nociones como paralelismo perpendicularidad etceacutetera Las siguientes preguntas pueden servir como guiacutea para la discusioacuten bull iquestFue posible armar con las piezas de los cuadrados de los catetos el cuadrado de la hipotenusa bull iquestEl triaacutengulo rectaacutengulo era diferente al de la actividad I bull iquestSon iguales los triaacutengulos que construyeron las distintas parejas bull iquestEsto se cumpliraacute en todos los triaacutengulos bull iquestEsto se cumpliraacute en todos los triaacutengulos rectaacutengulos

III Analice las siguientes figuras y busque la manera de aprovecharlas para demostrar ante sus compantildeeros que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos

Lo que se pretende es que sean los alumnos quienes ayudaacutendose con los cuadrados y triaacutengulos rectaacutengulos del material busquen argumentos para verificar el teorema de Pitaacutegoras por medio de la equivalencia de aacutereas

IV Otra actividad consiste en construir triaacutengulos rectaacutengulos de medidas dadas (34 y 5 5 12 y 13 etceacutetera) trazar los cuadrados sobre los lados y cuadricularlos para comprobar las relaciones entre las aacutereas

V La actividad anterior tambieacuten puede hacerse con triaacutengulos rectaacutengulos de cualquier medida construidos en el geoplano y calcular el aacuterea de los cuadrados construidos sobre sus lados por medio del conteo

4) Utilizar diferentes formas de demostracioacuten del teorema de Pitaacutegoras Por ejemplo analizar las pruebas visuales generadas por la manipulacioacuten de figuras y proponer formas de trasladarlas a construcciones geomeacutetricas que permitan llegar a la demostracioacuten formal del teorema como en el caso siguiente

6 Memorias XIII Congreso Nacional de Matemaacutetica Educativa 2009

5) Solucioacuten de problemas en el aacutembito de las matemaacuteticas y otros contextos I Ternas pitagoacutericas

Demostrar que si un triaacutengulo ABC satisface AB = 2n BC = n2 ndash 1 y CA = n2 + 1 entonces se trata de un triaacutengulo rectaacutengulo iquestCuaacutel es el aacutengulo recto Solucioacuten

El aacutengulo recto estaacute en el veacutertice B ya que (n2 ndash 1)2 + (2n)2 = (n2 + 1)2

Si sustituimos n = 2 3 4 en las condiciones del problema obtenemos las siguientes ternas de nuacutemeros llamadas pitagoacutericas (3 4 5) (6 8 10) (8 15 17)hellip

II Las condiciones del problema pueden generalizarse considerando dos nuacutemeros enteros positivos m y n tales que n gt m y un triaacutengulo ABC que satisfaga AB =

2mn BC = n2 ndash m2 y CA = n2 + m2

Verificar que (n2 ndash m2)2 + (2mn)2 = (n2 + m2)2

III iquestCuaacutel es el periacutemetro de las siguientes figuras

Aacuterea()2ababc=Δ Entonces

()2224cabba+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=+ 22222cabbaba+=++

De donde 222cba=+

7 Memorias XIII Congreso Nacional de Matemaacutetica Educativa 2009

IV Instrucciones para encontrar un tesoro A partir del aacuterbol caminar 1048707104870735 pasos hacia el este 1048707104870730 pasos hacia el norte 1048707104870715 pasos hacia el oeste 1048707104870710 pasos hacia el norte 1048707104870760 pasos hacia el este 10487071048707finalmente 20 pasos hacia el norte 10487071048707iquestA cuaacutentos pasos del aacuterbol en liacutenea recta estaacute el tesoro

V Y asiacute sucesivamente

VI iquestCuaacutel es la altura del aacuterbol

VII Calcular la longitud del cono de sombra de la luna (distancia LI)

8 Memorias XIII Congreso Nacional de Matemaacutetica Educativa 2009

Conclusiones El teorema de Pitaacutegoras es una de los resultados matemaacuteticos maacutes sobresalientes tanto

en teacuterminos matemaacuteticos como en funcioacuten del tipo de problemas que ayuda a resolver Su versatilidad y sencillez lo hace un excelente recurso educativo para introducir a los estudiantes al razonamiento deductivo y al mismo tiempo utilizarlo como una herramienta para la resolucioacuten de problemas

Bibliografiacutea Carpenter T Lehrer R (1999) Teaching and Learning Mathematics with Understanding En

Elizabeth Fennema y Thomas Romberg (Eds) Mathematics Classrooms that Promote Understanding (pp 19-32) NJ Lawrence Erlbaum Associates Publishers

Edwards H (1979) The Historical development of the calculus Springer-Verlag NY

Eisenberg T amp Dreyfus T (1991) On the reluctante to visualice in mathematics In Zimmermann amp Cunningham (1991) Visualization in Teaching and Learning Mathematics Mathematical Association of America No 19

Hanna G (2007) The ongoing value of proof En P Boero (Ed) Theorems in schools From history epistemology and cognition to classroom practice (pp 3ndash16) Sense Publishers

Hitt F Chaacutevez H (1992) Visualizacioacuten relacionada a conceptos de caacutelculo con microcomputadoras En Memorias de la VI reunioacuten centroamericana y del Caribe sobre formacioacuten de profesores e investigacioacuten en matemaacutetica educativa Vol 2 (pp 30-35) UAEM Meacutexico

Hitt F (1998) Visualizacioacuten matemaacutetica representaciones nuevas tecnologiacuteas y curriacuteculum Revista de Educacioacuten Matemaacutetica Vol 10 Meacutexico

Hollebrands K Smith R (2009) Using interactive geometry software to teach secondary school geometry Implications for research En (Craine T amp Rubbenstein R Eds) Understanding geometry for a changing word Seventy-first NCTM yearbook (pp 221-266) NCTM Reston Va USA

National Council of Mathematics Teachers (2000) Principles and Standards for School Mathematics NCTM Reston Va USA

Peacuterez A (2007) Pitaacutegoras mucho maacutes que un teorema El Universo matemaacutetico Consultado el 27102009 en httpvideogoogleesvideoplaydocid=513442171440946116

SEP (2007) Plan de Estudios 2006 Secretariacutea de Educacioacuten Puacuteblica Meacutexico

SEP (2004) El Libro para el maestro Matemaacuteticas Educacioacuten secundaria Secretariacutea de Educacioacuten Puacuteblica Meacutexico

Zimmermann amp Cunningham (1991) Visualization in Teaching and Learning Mathematics Mathematical Association of America Notes No 19 Washington DC

9

• Carpenter T Lehrer R (1999) Teaching and Learning Mathematics with Understanding En Elizabeth Fennema y Thomas Romberg (Eds) Mathematics Classrooms that Promote Understanding (pp 19-32) NJ Lawrence Erlbaum Associates Publishers
• Hitt F (1998) Visualizacioacuten matemaacutetica representaciones nuevas tecnologiacuteas y curriacuteculum Revista de Educacioacuten Matemaacutetica Vol 10 Meacutexico

Una vez que se tenga la figura completa recortar los cuadrados de los catetos Cortar el cuadrado del cateto mayor en las cuatro partes que quedaron marcadas Con estas cuatro piezas y el cuadrado menor tratar de cubrir el cuadrado de la hipotenusa iquestSe pudo formar el cuadrado de la hipotenusa iquestCuaacutel es la relacioacuten entre el aacuterea del cuadrado de la hipotenusa y las aacutereas de los cuadrados de los catetos

II Reproducir la figura de la izquierda en un cuarto de cartulina Por los puntos A G y D se trazan paralelas a la hipotenusa del triaacutengulo ABC Recortar todos los triaacutengulos en que quedaron divididos los cuadrados de los catetos y cubrir el cuadrado de la hipotenusa Se puede notar que bull Se trata de un triaacutengulo rectaacutengulo cualquiera (de preferencia diferente al anterior) bull Se han trazado los cuadrados sobre los catetos y sobre la hipotenusa bull En cada uno de los cuadrados de los catetos se ha trazado una de las diagonales bull Por cada uno de los veacutertices que no se usaron para trazar la diagonal del inciso anterior se traza

una paralela a la hipotenusa Al igual que en la actividad I eacutesta permite practicar el uso correcto de los instrumentos geomeacutetricos para el trazo de paralelas perpendiculares el triaacutengulo rectaacutengulo los cuadrados etceacutetera asiacute como reafirmar algunas nociones como paralelismo perpendicularidad etceacutetera Las siguientes preguntas pueden servir como guiacutea para la discusioacuten bull iquestFue posible armar con las piezas de los cuadrados de los catetos el cuadrado de la hipotenusa bull iquestEl triaacutengulo rectaacutengulo era diferente al de la actividad I bull iquestSon iguales los triaacutengulos que construyeron las distintas parejas bull iquestEsto se cumpliraacute en todos los triaacutengulos bull iquestEsto se cumpliraacute en todos los triaacutengulos rectaacutengulos

III Analice las siguientes figuras y busque la manera de aprovecharlas para demostrar ante sus compantildeeros que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos

Lo que se pretende es que sean los alumnos quienes ayudaacutendose con los cuadrados y triaacutengulos rectaacutengulos del material busquen argumentos para verificar el teorema de Pitaacutegoras por medio de la equivalencia de aacutereas

IV Otra actividad consiste en construir triaacutengulos rectaacutengulos de medidas dadas (34 y 5 5 12 y 13 etceacutetera) trazar los cuadrados sobre los lados y cuadricularlos para comprobar las relaciones entre las aacutereas

V La actividad anterior tambieacuten puede hacerse con triaacutengulos rectaacutengulos de cualquier medida construidos en el geoplano y calcular el aacuterea de los cuadrados construidos sobre sus lados por medio del conteo

4) Utilizar diferentes formas de demostracioacuten del teorema de Pitaacutegoras Por ejemplo analizar las pruebas visuales generadas por la manipulacioacuten de figuras y proponer formas de trasladarlas a construcciones geomeacutetricas que permitan llegar a la demostracioacuten formal del teorema como en el caso siguiente

6 Memorias XIII Congreso Nacional de Matemaacutetica Educativa 2009

5) Solucioacuten de problemas en el aacutembito de las matemaacuteticas y otros contextos I Ternas pitagoacutericas

Demostrar que si un triaacutengulo ABC satisface AB = 2n BC = n2 ndash 1 y CA = n2 + 1 entonces se trata de un triaacutengulo rectaacutengulo iquestCuaacutel es el aacutengulo recto Solucioacuten

El aacutengulo recto estaacute en el veacutertice B ya que (n2 ndash 1)2 + (2n)2 = (n2 + 1)2

Si sustituimos n = 2 3 4 en las condiciones del problema obtenemos las siguientes ternas de nuacutemeros llamadas pitagoacutericas (3 4 5) (6 8 10) (8 15 17)hellip

II Las condiciones del problema pueden generalizarse considerando dos nuacutemeros enteros positivos m y n tales que n gt m y un triaacutengulo ABC que satisfaga AB =

2mn BC = n2 ndash m2 y CA = n2 + m2

Verificar que (n2 ndash m2)2 + (2mn)2 = (n2 + m2)2

III iquestCuaacutel es el periacutemetro de las siguientes figuras

Aacuterea()2ababc=Δ Entonces

()2224cabba+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=+ 22222cabbaba+=++

De donde 222cba=+

7 Memorias XIII Congreso Nacional de Matemaacutetica Educativa 2009

IV Instrucciones para encontrar un tesoro A partir del aacuterbol caminar 1048707104870735 pasos hacia el este 1048707104870730 pasos hacia el norte 1048707104870715 pasos hacia el oeste 1048707104870710 pasos hacia el norte 1048707104870760 pasos hacia el este 10487071048707finalmente 20 pasos hacia el norte 10487071048707iquestA cuaacutentos pasos del aacuterbol en liacutenea recta estaacute el tesoro

V Y asiacute sucesivamente

VI iquestCuaacutel es la altura del aacuterbol

VII Calcular la longitud del cono de sombra de la luna (distancia LI)

8 Memorias XIII Congreso Nacional de Matemaacutetica Educativa 2009

Conclusiones El teorema de Pitaacutegoras es una de los resultados matemaacuteticos maacutes sobresalientes tanto

en teacuterminos matemaacuteticos como en funcioacuten del tipo de problemas que ayuda a resolver Su versatilidad y sencillez lo hace un excelente recurso educativo para introducir a los estudiantes al razonamiento deductivo y al mismo tiempo utilizarlo como una herramienta para la resolucioacuten de problemas

Bibliografiacutea Carpenter T Lehrer R (1999) Teaching and Learning Mathematics with Understanding En

Elizabeth Fennema y Thomas Romberg (Eds) Mathematics Classrooms that Promote Understanding (pp 19-32) NJ Lawrence Erlbaum Associates Publishers

Edwards H (1979) The Historical development of the calculus Springer-Verlag NY

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5) Solucioacuten de problemas en el aacutembito de las matemaacuteticas y otros contextos I Ternas pitagoacutericas

Demostrar que si un triaacutengulo ABC satisface AB = 2n BC = n2 ndash 1 y CA = n2 + 1 entonces se trata de un triaacutengulo rectaacutengulo iquestCuaacutel es el aacutengulo recto Solucioacuten

El aacutengulo recto estaacute en el veacutertice B ya que (n2 ndash 1)2 + (2n)2 = (n2 + 1)2

Si sustituimos n = 2 3 4 en las condiciones del problema obtenemos las siguientes ternas de nuacutemeros llamadas pitagoacutericas (3 4 5) (6 8 10) (8 15 17)hellip

II Las condiciones del problema pueden generalizarse considerando dos nuacutemeros enteros positivos m y n tales que n gt m y un triaacutengulo ABC que satisfaga AB =

2mn BC = n2 ndash m2 y CA = n2 + m2

Verificar que (n2 ndash m2)2 + (2mn)2 = (n2 + m2)2

III iquestCuaacutel es el periacutemetro de las siguientes figuras

Aacuterea()2ababc=Δ Entonces

()2224cabba+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=+ 22222cabbaba+=++

De donde 222cba=+

7 Memorias XIII Congreso Nacional de Matemaacutetica Educativa 2009

IV Instrucciones para encontrar un tesoro A partir del aacuterbol caminar 1048707104870735 pasos hacia el este 1048707104870730 pasos hacia el norte 1048707104870715 pasos hacia el oeste 1048707104870710 pasos hacia el norte 1048707104870760 pasos hacia el este 10487071048707finalmente 20 pasos hacia el norte 10487071048707iquestA cuaacutentos pasos del aacuterbol en liacutenea recta estaacute el tesoro

V Y asiacute sucesivamente

VI iquestCuaacutel es la altura del aacuterbol

VII Calcular la longitud del cono de sombra de la luna (distancia LI)

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Conclusiones El teorema de Pitaacutegoras es una de los resultados matemaacuteticos maacutes sobresalientes tanto

en teacuterminos matemaacuteticos como en funcioacuten del tipo de problemas que ayuda a resolver Su versatilidad y sencillez lo hace un excelente recurso educativo para introducir a los estudiantes al razonamiento deductivo y al mismo tiempo utilizarlo como una herramienta para la resolucioacuten de problemas

Bibliografiacutea Carpenter T Lehrer R (1999) Teaching and Learning Mathematics with Understanding En

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IV Instrucciones para encontrar un tesoro A partir del aacuterbol caminar 1048707104870735 pasos hacia el este 1048707104870730 pasos hacia el norte 1048707104870715 pasos hacia el oeste 1048707104870710 pasos hacia el norte 1048707104870760 pasos hacia el este 10487071048707finalmente 20 pasos hacia el norte 10487071048707iquestA cuaacutentos pasos del aacuterbol en liacutenea recta estaacute el tesoro

V Y asiacute sucesivamente

VI iquestCuaacutel es la altura del aacuterbol

VII Calcular la longitud del cono de sombra de la luna (distancia LI)

8 Memorias XIII Congreso Nacional de Matemaacutetica Educativa 2009

Conclusiones El teorema de Pitaacutegoras es una de los resultados matemaacuteticos maacutes sobresalientes tanto

en teacuterminos matemaacuteticos como en funcioacuten del tipo de problemas que ayuda a resolver Su versatilidad y sencillez lo hace un excelente recurso educativo para introducir a los estudiantes al razonamiento deductivo y al mismo tiempo utilizarlo como una herramienta para la resolucioacuten de problemas

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