UNIDAD EDUCATIVA PéREZ PALLARES

INSTITUTO ID DE CRISTO REDENTOR MISIONERAS Y MISIONERAS IDENTES

ELASTICIDAD

FíSICA

LIC: XAVIER HERRERA

INGRID MORALES

3° BGU “B”

Ley de elasticidad de Hooke

ELASTICIDAD

DEFINICIÓN: Se denomina la capacidad de un cuerpo de presentar deformaciones, cuando se lo somete a fuerzas exteriores, que pueden ocasionar que dichas deformaciones sean irreversibles, o bien, adoptar su forma de origen, natural, cuando dichas fuerzas exteriores cesan su acción o potencia

PROPIEDAD DE LOS CUERPOS

RIGIDOS.- cuando un cuerpo por la acción de una fuerza se rompe sin cambiar aparentemente su forma

PLASTICO.- Son aquellos que a la acción de fuerzas se deforma sin romperse, quedando deformada cuando deja de actuar la fuerza

ELASTICO.- Son aquellos que a la acción de una fuerza el cuerpo se deforma, pero recupera sus dimensiones originales cuando cesan dichas fuerzas

GRAFICO

Ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke, originalmente formulada para casos del estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario que experimenta un material elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada :

siendo el alargamiento, la longitud original, : módulo de Young, la sección transversal de la pieza estirada. La ley se aplica a materiales elásticos hasta un límite denominado límite elástico.

Esta ley recibe su nombre de Robert Hooke, físico británico contemporáneo de Isaac Newton, y contribuyente prolífico de la arquitectura. Esta ley comprende numerosas disciplinas, siendo utilizada en ingeniería y construcción, así como en la ciencia de los materiales. Ante el temor de que alguien se apoderara de su descubrimiento, Hooke lo publicó en forma de un famoso anagrama, ceiiinosssttuv, revelando su contenido un par de años más tarde. El anagrama significa Ut tensio sic vis ("como la extensión, así la fuerza").

Ley de Hooke para los resortes

La ley de Hooke describe cuánto se alargará un resorte bajo una cierta fuerza.

La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuación del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza ejercida en el resorte con la elongación o alargamiento producido:

donde se llama constante elástica del resorte y es su elongación o variación que experimenta su longitud.

La energía de deformación o energía potencial elástica asociada al estiramiento del resorte viene dada por la siguiente ecuación:

Es importante notar que la antes definida depende de la longitud del muelle y de su constitución. Definiremos ahora una constante intrínseca del resorte independiente de la longitud de este y estableceremos así la ley diferencial constitutiva de un muelle. Multiplicando por la longitud total, y llamando al producto o intrínseca, se tiene:

Llamaremos a la tensión en una sección del muelle situada una distancia x de uno de sus extremos que tomamos como origen de coordenadas, a la constante de un pequeño trozo de muelle de longitud a la misma distancia y al alargamiento de ese pequeño trozo en virtud de la aplicación de la fuerza . Por la ley del muelle completo:

Tomando el límite:

que por el principio de superposición resulta:

Ejercicios:

1) Para un resorte que sigue al ley de Hooke y que presenta como constanye elástica el valor de 19.62 N/cm se le cuelga un un objeto que causa una deformación de 58.86 cm ¿Cuál es la masa del objeto colgante?

K=19.62N/cm F=Kx F=19.62N/cm(58.86cm)x=58.86 cm F=1154.833 F=ma m=F/a m=1154.833N/cm/987g/cm/s(s) m=117.72Kg

2) Una fuerza de 5 N estira 1,2 cm a un resorte. ¿Qué fuerza lo estiraría 2 cm?

Datos:F = 5 Nx = 1,2 cm = 0,012 m

Primero se halla k.F = kx _ k = F/x = 5 N / 0,012 m = 416,67.. N/mEntonces, si se estira 2 cm = 0,02 m, la fuerza que se le aplica es:

F = kx = 416,67 N/m · 0,02 m = 8,33 m

Módulo de Young

El módulo de Young o módulo de elasticidad longitudinal es un parámetro que caracteriza el comportamiento de un material elástico, según la dirección en la que se aplica una fuerza. Este comportamiento fue observado y estudiado por el científico inglés Thomas Young. Para un material elástico lineal e isótropo, el módulo de young tiene el mismo valor para una tracción que para una compresión, siendo una constante independiente del esfuerzo siempre que no exceda de un valor máximo denominado

límite elástico, y es siempre mayor que cero: si se fracciona una barra, aumenta de longitud. Tanto el módulo de Young como el límite elástico son distintos para los diversos materiales. El módulo de elasticidad es una constante elástica que, al igual que el límite elástico, puede encontrarse empíricamente mediante ensayo de tracción del material. Además de este módulo de elasticidad longitudinal, puede definirse el módulo de elasticidad transversal de un material

Materiales lineales :Para un material elástico lineal el módulo de elasticidad longitudinal es una constante (para valores de tensión dentro del rango de reversibilidad completa de deformaciones). En este caso, su valor se define como el cociente entre la tensión y la deformación que aparecen en una barra recta estirada o comprimida fabricada con el material del que se quiere estimar el módulo de elasticidad:

Donde: es el módulo de elasticidad longitudinal.

es la presión ejercida sobre el área de sección transversal del objeto.es la deformación unitaria en cualquier punto de la barra.

La ecuación anterior se puede expresar también como:

Por lo que dadas dos barras o prismas mecánicos geométricamente idénticos pero de materiales elásticos diferentes, al someter a ambas barras a deformaciones idénticas, se inducirán mayores tensiones cuanto mayor sea el módulo de elasticidad. De modo análogo, tenemos que sometidas a la misma fuerza, la ecuación anterior reescrita como:

nos indica que las deformaciones resultan menores para la barra con mayor módulo de elasticidad. En este caso, se dice que el material es más rígido.

Materiales no lineales: Cuando se consideran ciertos materiales, como por ejemplo el cobre, donde la curva de tensión-deformación no tiene ningún tramo lineal, aparece una dificultad ya que no puede usarse la expresión anterior. Para ese tipo de materiales no lineales pueden definirse magnitudes asimilables al módulo de Young de los materiales lineales, ya que la tensión de estiramiento y la deformación obtenida no son directamente proporcionales.

Para estos materiales elásticos no lineales se define algún tipo de módulo de Young aparente. La posibilidad más común para hacer esto es definir el módulo de elasticidad secante medio, como el incremento de esfuerzo aplicado a un material y el cambio correspondiente a la deformación unitaria que experimenta en la dirección de aplicación del esfuerzo:

Donde:

es el módulo de elasticidad secante.es la variación del esfuerzo aplicado

es la variación de la deformación unitaria

La otra posibilidad es definir el módulo de elasticidad tangente:

Materiales anisótropos: Existen varias "extensiones" no excluyentes del concepto. Para materiales elásticos no isótropos el módulo de Young medido según el procedimiento anterior no da valores constantes. Sin embargo, puede probarse que existen tres constantes elásticas Ex, Ey y Ez tal es que el módulo de Young en cualquier dirección viene dado por:

y donde son los cosenos directores de la dirección en que medimos el módulo de Young respecto a tres direcciones ortogonales dadas

Dimensiones y unidades

Las dimensiones del módulo de Young son . En el S

Ejercicios:

Módulo de corte

El módulo de elasticidad, también llamado módulo de cizalladura, es una constante elástica que caracteriza el cambio de forma que experimenta un material elástico (lineal e isótropo) cuando se aplican esfuerzos cortantes. Este módulo recibe una gran variedad de nombres, entre los que cabe destacar los siguientes: módulo de rigidez transversal, módulo de corte, módulo de cortadura, módulo elástico tangencial, módulo de elasticidad transversal, y segunda constante de Lamé.

Para un material elástico lineal e isótropo, el módulo de elasticidad transversal es una constante con el mismo valor para todas las direcciones del espacio. En materiales anisótropos se pueden definir varios módulos de elasticidad transversal, y en los materiales elásticos no lineales dicho módulo no es una constante sino que es una función dependiente del grado de deformación.

. 1 Esquema para la medición del esfuerzo cortante.

Experimentalmente el módulo elástico transversal (o módulo cortitilatante) puede medirse de varios modos, conceptualmente la forma más sencilla es considerar un cubo como el de la fig. 1 y someterlo a una fuerza cortante, para pequeñas deformaciones se puede calcular la razón entre la tensión y la distorsión angular:

Experimental también puede medirse a partir de experimentos de torsión, por lo que dicha constante no sólo interviene en los procesos de cizalladura.

Materiales isótropos lineales

Para un material isótropo elástico lineal el módulo de elasticidad transversal está relacionado con el módulo de Young y el coeficiente de Poisson mediante la relación

:

Donde:

es el módulo de elasticidad longitudinal o módulo de Young.es el coeficiente de Poisson.

son respectivamente la tensión tangencial y la deformación tangencial sobre el plano formado por los ejes Xi y Xj.

Materiales anisotrópicos lineales

Los materiales elásticos lineales anisótropos se caracterizan por presentar diferentes valores de las constantes elásticas según la direccionalidad del material. En general, en un material anisotrópico la ley de Hooke,

donde el tensor de constantes elásticas está dado por:

en notación de Voigt, que contrae un tensor de orden 4 en una matriz debido a los requerimientos de simetría que impone la conservación del momento angular sobre el tensor de tensiones, 1 .

En un material isótropo el módulo de cizalla se corresponde con el elemento del tensor de constantes elásticas. En materiales con simetría cúbica no simple es posible definir un módulo de cortadura equivalente identificándolo con el el elemento de dicho tensor, pero su significado físico cambia. Existen igualmente casos en los que, sin

tratarse de un material isótropo ni de simetría cúbica, es posible definir un módulo de cizalla: un caso sería el de los materiales de simetría hexagonal compacta, en los cuales el plano basal tiene simetría cúbica y, por lo tanto, presenta un comportamiento isótropo dentro del plano2 .

Materiales ortótropos

Un caso particular de material anisótropo donde sí se puede hablar de módulos de elasticidad longitudinales y transversales son los llamados materiales ortótropos; la madera es un ejemplo de material ortótropo, frecuentemente usado en construcción. En los materiales ortótropos los modos transversales y longitudinales de deformación están desacoplados. Eso permite identificar claramente módulos de elasticidad transversal y módulos de elasticidad longitudinal. Para un material ortótropo general pueden definirse tres módulos de elasticidad longitudinales básicos (Ex, Ey', Ez) y tres módulos de elasticidad transversal (Gxy, Gxz', Gyz). Estos últimos se definen como:

Para un material como la madera las coordenadas X, Y y Z anteriores se toman de la siguiente manera:

el eje X está alineado con la dirección longitudinal de la fibra. el eje Y se toma perpendicular a los anillos de la sección transversal. el eje Z se toma tangente a los anillos de la sección transversal.

Los módulos de elasticidad transversal en estas tres direcciones son diferentes para la madera y pueden llegar a presentar grandes diferencias de valor entre ellas.

Ejercicios:

1.- Una varilla de aluminio cuyo diámetro es de 20 mm sobresale 4 cm de la pared. El extremo del perno está sujeto a una fuerza de corte de 48000 N. Calcule la flexión hacia abajo. El módulo de corte del aluminio es de 23700 x 106 Pa

A = π D2/4 = (3.14) (0.20 m)2/ 4 = 0.0314 m2.

d = Fl/AS = (48000 N) (0.40 m) = 2,58 x 10-5 m = 258 mm.

(0.0314 m2.) (23700 x 106 Pa)

2.- Una varilla de acero sobresale 1 in por encima del piso y tiene 0.5 in de diámetro. La fuerza de corte F, aplicada es de 6000 lb y el módulo de corte es 11.6 x 106 lb/in2. ¿Cuál es el valor del esfuerzo cortante?

A = π D2/4 = (3.14) (0.5 in)2/4 = 0.196 in2.

Esfuerzo cortante = F/A = 6000 lb/0.196 in2. = 3.06 x 104 lb.in2.

MÓDULO VOLUMÉTRICO

Consideremos un paralelepípedo diferencial de lados (dx, dy.dz) sometido a la acción de tensiones normales σx, σy, σz actuando sobre sus caras. La deformación lineal según los ejes (x, y,z) es igual a єx, єy, єz (figura 11). En consecuencia, el volumen del elemento experimenta una variación unitaria igual a:

Donde dv = dxdydz es el volumen inicial y dv’ = (1+ єx) dx (1+єy) (1+єz)dz es el volumen después de la deformación.Si se desprecian infinitésimos de orden superior, esta variación es igual a:

De la relación anterior se observa que la dilación cúbica, es decir el incremento unitario de volumen, es igual a:

Para obtener la expresión de esta dilación volumétrica en función de las tensiones actuantes, se suman las igualdades de la ley de Hooke generalizada es decir:

Si el estado tensional a que esta sometido el paralelepípedo elemental es tal que se cumple que σx =σy =σz= ρ (estado de presión hidrostática), entonces el valor de la dilación volumétrica es igual a:

Es una constante física del material que se llama modulo de elasticidad volumétrico, y tiene dimensiones [FL -2].

Por intuición física y razones termodinámica, el modulo de elasticidad volumétrico debe ser positivo, lo cual implica que V ≤1/2.. es decir, que en cualquier material isótropo el coeficiente de poisson debe ser necesariamente inferior a 0.5, que corresponde al limite de comportamiento incompresible(k =∞).

Ejercicios:

FUENTES DE TRABAJO

http://www.google.com.ec/url?q=http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_elasticidad_de_Hooke&sa=U&ei=LXOCU57kGuaosQSK24Fg&ved=0CB8QFjAA&usg=AFQjCNHja-6wXEtLNmyr20EgD9y2D8mFjw

http://www.google.com.ec/url?q=http://es.wikipedia.org/wiki/M%25C3%25B3dulo_de_Young&sa=U&ei=aHOCU5zhDMm3sATJwIHIBA&ved=0CB8QFjAA&usg=AFQjCNFfR4EhpkPjpT4ghrptKZnz6R-Mhw

http://www.google.com.ec/url?q=http://galia.fc.uaslp.mx/~medellin/Applets/Corte/Corte.htm&sa=U&ei=pHOCU_mVK-rSsASMzoDQBQ&ved=0CCkQFjAB&usg=AFQjCNFD2w6Pl-0fm1DevyMnwZq7yZ8cgw

http://www.google.com.ec/url?q=http://maquinariasyequiposindustriales.blogspot.com/2013/09/modulo-volumetrico-de-elasticidad.html&sa=U&ei=zHOCU4DJE_LQsQTcwoD4CA&ved=0CC8QFjAF&usg=AFQjCNE7nZqneqkGcA9Bh8zBjZyq7G7jvQ