Elasticidad Bidimensional

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2 ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL (ESFUERZO PLANO Y DEFORMACION PLANA). 2.1 INTRODUCCIÓN Si un cuerpo consiste de dos planos paralelos que están separados por un espesor constante y limitados por cualquier superficie cerrada, ver figura, se dice que se tiene un cuerpo plano. Este tipo de cuerpo tiene asociado un caso particular de problemas dentro de la teoría general de elasticidad, mismos que se denominan problemas elásticas planos, los cuales permiten diversas suposiciones de simplificación para su análisis. Sin embargo, con el objeto de simplificar estas simplificaciones, son necesarias ciertas restricciones respecto al sistema de carga aplicado: 1. Ninguna carga puede aplicarse en las superficies planas superior e inferior. 2. Las cargas generadas en los límites laterales y los esfuerzos cortantes en la superficie deben encontrarse en el plano del cuerpo y deben distribuirse en forma uniforme en todo el espesor.

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Teoria sobre la solucion de problemas elasticos bidimencionales

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2 ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL (ESFUERZO PLANO Y DEFORMACION PLANA).

2.1 INTRODUCCIÓN

Si un cuerpo consiste de dos planos paralelos que están separados por un espesor constante y limitados por cualquier superficie cerrada, ver figura, se dice que se tiene un cuerpo plano.

Este tipo de cuerpo tiene asociado un caso particular de problemas dentro de la teoría general de elasticidad, mismos que se denominan problemas elásticas planos, los cuales permiten diversas suposiciones de simplificación para su análisis.

Sin embargo, con el objeto de simplificar estas simplificaciones, son necesarias ciertas restricciones respecto al sistema de carga aplicado:

1. Ninguna carga puede aplicarse en las superficies planas superior e inferior. 2. Las cargas generadas en los límites laterales y los esfuerzos cortantes en la

superficie deben encontrarse en el plano del cuerpo y deben distribuirse en forma uniforme en todo el espesor.

3. De forma similar, las fuerzas de cuerpo en las direcciones X y Z deben ser uniformes en todo el espesor, y la fuerza de cuerpo en la dirección Y debe ser igual a 0.

No hay limitación en cuanto al espesor del cuerpo plano y, en realidad, el espesor funciona como un medio de clasificación, dentro del tipo general del problema. Normalmente se aplica un método de esfuerzo plano a los miembros que son relativamente delgados respecto a sus demás dimensiones, mientras que se emplean métodos de deformación plana para miembros con espesor relativamente grandes.

El tipo elástico plano de este problema puede definirse como aquel en el cual los esfuerzos y las deformaciones no varían en la dirección y. Además, las líneas paralelas al eje y permanecen rectas y paralelas a este eje durante la carga.

Esta simplificación en dos dimensiones permite tener soluciones exactas para diversos problemas de ingeniería y se comentara, las aplicaciones físicas de estos dos estados. El método de Airy nos permitirá obtener la solución de las ecuaciones generales y sus funciones de esfuerzo.

2.2 ESTADO DE ESFUERZO PLANO (EEP).

Se define un EEP cuando los esfuerzos satisfacen las condiciones siguientes:

El tensor de esfuerzo se reduce a:

Este estado puede ser representado, con pocos errores, en una placa delgada la cual está sujeta a fuerzas aplicadas en la frontera, paralelas al plano de la placa y uniformemente distribuidos sobre el espesor.

σx, σy y τxy son independientes de Z, es decir, no varían con el espesor.

Aplicaciones:

• Problema de Kirsh • Problema de Hertz.

Para esfuerzo plano, las ecuaciones de equilibrio, se reducen a:

Y las ecuaciones de compatibilidad se reducen a:

De la ley de Hooke:

Las ecuaciones de Chauchy se reducen:

y las ecuaciones de Beltrami-Mitchell, se reducen a:

CIRCULO DE MOHR.

Introducción

El Círculo de Mohr para un estado de esfuerzos en un punto fue construido primero por el ingeniero alemán Otto Mohr [1914], quien se dio cuenta que las ecuaciones de transformación definen un círculo en el plano s-t . Por lo tanto el círculo de Mohr es una representación grafica de las ecuaciones de transformación de esfuerzo, también se puede utilizar para determinar las componentes de los esfuerzos normal y cortante s x´ y tx´y´ que actúa en cualquier plano arbitrario.

Teoría.

Considere un cuerpo sobre el cuál actúa un estado plano de cargas. Consideremos al plano de carga para nuestro sistema al plano xy (ver figura 1), de modo de que no existan esfuerzos en el sentido perpendicular a este (esfuerzos en z nulos). Adoptamos un elemento triangular donde se supone que los ejes x e y son principales, o sea las tensiones de corte en esos planos son nulas. Esta suposición se hace con el fin de no complicar por demás la matemática siendo el objeto de este desarrollo conocer el desarrollo matemático a fin de ser asociado con el modelo físico:

Figura 1

En la figura 1, además de los ejes x e y, se muestra otro par de ejes coordenados los cuales han sido rotados un ángulo θ respecto del eje z (normal al plano), el par de ejes x1 e y1 son normal y tangente al plano Aθ respectivamente.

Queremos obtener una relación entre las tensiones en las áreas Ax , Ay y Aθ.

Evaluemos el equilibrio de fuerzas en la dirección del eje x:

Ahora evaluemos el equilibrio de fuerzas en la dirección del eje y:

Considerando que Ax

=Aθ.cosθ y que A

y =A

θ.senθ, re escribimos las ecuaciones 1

y 2:

Multiplicando la ecuación (1-1) por cosθ, la (2-2) por senθ y sumando ambas se llega a:

Y considerando las relaciones trigonométricas:

Se llega a:

Analizamos las ecuaciones (1-1) y la (2-2) para obtener el corte en el plano θ:

Multiplicando la ecuación (1-1) por senθ, la (2-2) por cosθ, sumando ambas y considerando las relaciones trigonométricas (4) se llega a:

Obsérvese que las ecuaciones (5) y (6) no son más que las componentes cartesianas de los puntos correspondientes a una circunferencia en el plano xy, la ecuación de la circunferencia se obtiene considerando la relación trigonométrica sen2 θ + cos2 θ= 1 , entonces reemplazando en (5) y (6) se obtiene:

Componentes de esfuerzo en un plano arbitrario.

a continuación se muestra la correlación de este plano arbitrario en un circulo de Mohr

Las componentes de los esfuerzos normal y cortante sx´ y t x´y´ que actúan en cualquier plano especificado definido por el eje x´ y orientado a un ángulo q del eje x, pueden ser encontradas con las coordenadas del punto P en el círculo, el cual está orientado a un ángulo 2θ medido desde la línea de referencia CA (θ =0°) hasta la línea CP.

Esfuerzos principales.

A continuación se muestra la localización de los esfuerzos principales dentro del circulo de Mohr.

Esfuerzo cortante máximo en el plano.

El esfuerzo cortante máximo se ubicara en el punto de la línea vertical que pase por el centro y alcanza la circunferencia por la parte de abajo del círculo de Mohr como se muestra a continuación.

Pasos para construir el círculo de Mohr.

1.- Calcule el estado de esfuerzos planos para cualquier sistema de coordenadas x-y de manera que σx, σy y τ xy sean conocidos.

2.- El centro del círculo se coloca en

[(σx+σy)/2 ,0 ]

3.- Dos puntos opuestos diametralmente uno de otro sobre el círculo corresponde a los puntos (σx, τ xy) y (σy, - τ xy). Usando el centro y cualquiera de estos dos puntos se forma el círculo.

4.- El radio del círculo se puede calcular por medio de la geometría del círculo, usando el centro y un punto sobre el círculo, el cual puede ser ( σx, τ xy) ó (σy, - τ xy ).

5.- Los esfuerzos principales tiene los valores

6.- El esfuerzo cortante máximo es igual al radio

7.- Los ejes principales se pueden encontrar calculando el ángulo entre el eje x y el punto (sx, t xy) y el ángulo entre las líneas CA y CE en el plano del círculo de Mohr.

8.- Los esfuerzos en una orientación girada q del eje x en el plano real se pueden leer trazando un arco de 2q en la misma dirección sobre el círculo de Mohr, desde los puntos de referencia (σ x, τ xy) y (σy , - τ xy). Los nuevos puntos sobre el círculo corresponden a los nuevos esfuerzos (σx´ , τ x´y´ ) y(σ y´ , τ x´y´ ), respectivamente.

Ejemplos.

Ejemplo 1.

El estado de esfuerzo plano en un punto se muestra en el elemento de la figura. Determine los esfuerzos principales y la orientación del elemento en el punto. Además, determine los esfuerzos cortantes máximos en el plano y la orientación del elemento en el cual actúan.

Construcción del círculo:

El centro C del círculo se localiza en el eje s, en el punto

Las componentes de esfuerzo en la cara derecha del elemento son las coordenadas del punto de referencia A(-20 , 60), θ = 0°.

El Radio del círculo es

Los esfuerzos principales son:

El círculo quedara dibujado de la siguiente manera:

El ángulo θs1 en el sentido antihorario se puede calcular en círculo, identificado como 2θ1. Con el resultado de φ = 47.5º, se obtiene

Ejemplo 2.

El estado de esfuerzo plano en un punto se muestra en el elemento de la figura. Represente este estado de esfuerzo en un elemento orientado en el sentido antihorario a 30º de la posición mostrada.

Construcción del círculo:

El centro C del círculo se localiza en el eje σ, en el punto

El punto inicial cuando θ = 0° tiene las coordenadas A(-8,-6). Por consiguiente el radio CA es

Como el elemento ha de ser girado 30º en el sentido antihorario, se debe construir una línea CP, a 2(30º)=60º en el mismo sentido, desde CA (q=0º). Ahora deben obtenerse las coordenadas del punto P. Por la geometría del círculo,

Ejemplo 3.

Este ejemplo es un ejercicio del libro “Mechanics of Materials”, de James M. Gere.

Es interesante ya que pide lo mismo que los otros ejemplos pero al revés.

Dados los esfuerzos del problema se hace un dibujo aproximado del círculo de Mohr, ubicando los puntos A y B, como se muestra en la figura:

De la geometría del círculo se puede calcular el σprom , de la siguiente manera

Igualmente, de la geometría del círculo se pueden encontrar los valores de α y θ, de la siguiente manera:

tan α = 2360/5520 , por lo tanto α=23.15°

15220-4180 = 11040 Distancia entre A y B

11040/2 = 5520

15220-5520= 9700

4180+5520= 9700 por lo tanto, σav = -9700

θ = 60° - 23.15° = 36.85°

Con el valor de θ, se puede encontrar el valor del cateto adyacente del triangulo formado por el eje σx’, y el radio del circulo, con este cateto adyacente es fácil encontrar el valor de σx

cos θ = cateto adyacente(ca) / R

por lo tanto ca = R cosθ = 6003.33 cos(36.85°)

ca = 4803.9

σx = -9700 – 4803.9 = -14503.92 psi

Por último se encuentran los valores de σy y τxy, de la siguiente manera:

Problemas propuestos:

Libro: Mechanics of Materials, sixth edition, James. M. Gere

7.2-5, 7.2-7, 7.2-16, 7.2-19, 7.3-17, 7.3-19

Libro: Advanced Mechanics f Materials, sixth edition, Boresi

2.5, 2.8

2.3 ESTADO DE DEFORMACIÓN PLANA (EDP).

Se tiene un estado de deformación plana, cuando se satisfacen las siguientes condiciones para las componentes de desplazamiento elástica, o sea,

y también,

quedando el tensor como:

Ejemplo:

Presa larga y restringida en los extremos.

Del equilibrio:

Notar que estas ecuaciones son iguales para el EEP.

De las ecuaciones de Hooke:

y las ecuaciones de Beltrami-Mitchell, se reducen a:

Cilindro largo sujeto a presión interna y/o externa.

(Problema de Lamé)

2.4 CONDICIONES DE FRONTERA.

Haciendo sumatoria de fuerzas:

Las condiciones de equilibrio para EEP y el EDP deben satisfacerse para todas los puntos del cuerpo. En la frontera, las componentes de esfuerzo deben de estar en equilibrio con la frontera. Así, las fuerzas externas pueden ser tomadas o consideradas como una continuación de la distribución de esfuerzo interno.

2.5. FUNCIÓN DE ESFUERZOS DE AIRY.

(Astrónomo Ingles)

Introducción.

Se ha mostrado que la solución del problema bidimensional (2D) se reduce a la integración de las ecuaciones diferenciales de equilibrio junto con la ecuación de compatibilidad y las condiciones de frontera. Si se comienza con el caso cuando el peso del cuerpo (Y0) es la única fuerza del cuerpo, entonces las ecuaciones de equilibrio resultan como:

0=∂∂

+∂∂

yxxyx τσ

00 =+∂∂

+∂∂

Yyx

yxy στ

la ecuación de compatibilidad de Beltrami-Michelle Resultan como:

( ) 022

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

yxyxσσ

El método analítico que se propone para resolver las tres ecuaciones anteriores, es por medio de una función llamada función de esfuerzos de Airy. El introdujo una función Φ (x,y), la cual esta relacionada a las componentes de esfuerzo como:

2

2

yx ∂Φ∂

2

2

xy ∂Φ∂

xYyxxy 0

2

−∂∂Φ∂

−=τ

Estas ecuaciones satisfacen las ecuaciones de equilibrio; es decir, se deriva parcialmente con respecto a x sx y txy con respecto de y y se suman, el resultado debe dar igual a cero. Lo mismo se hace para sy se deriva con respecto a y sumándole Y0 y txy con respecto de x y la suma debe dar igual a cero.

La ecuación de compatibilidad Beltrami-Michell, sustituyendo los valores de sx y sy quedaría como:

ΔΔΦ =0

La solución del problema bidimensional cuando el peso del cuerpo es su única fuerza de cuerpo, se reduce a encontrar la solución del doble Laplaciano de Φ con la utilización de las condiciones de frontera. Conocida Φ se pueden determinar los esfuerzos, las deformaciones, los desplazamientos, etc.