20

A.Paniagua-H.Poblete F-21

ELECTRICIDAD MODULO 2

Campo Eléctrico

!

r E

Campo eléctrico es aquello que existe alrededor de un cuerpo cargado y por medio del cual puede actuar con otro cuerpo cargado o descargado. Tenemos por la Ley de Coulomb (3T) que la fuerza entre cargas puntuales esta dada por

r F

1 0=

kq1q

0

r1 0

2ˆ r 1 0

(4T)

A partir de la expresión (4T ) se define el campo eléctrico como

r E

1=

r F

1 0

q0

=kq

1

r1 0

2ˆ r

1 0 (5T)

Vemos entonces que el campo eléctrico se define en función de la carga que lo produce. Apliquemos la expresión (5T) al diagrama que aparece a la derecha. Tenemos entonces que el campo eléctrico producido por una carga positiva tiene una dirección que está a lo largo de la línea que une la carga con el punto donde se desea conocer el campo, y apunta en sentido saliente desde la carga. Dibuje el vector campo eléctrico si la carga que lo produce es negativa. De la expresion (5T) se obtiene que las unidades de E son N / C .

21

Distribución discreta de carga Dibuje en la fig. a), que aparece más abajo, el campo eléctrico producido en el punto P por cada una de las cargas eléctricas que forman esta distribución.

Fig. a) Fig. b) Tenemos que el campo eléctrico total producido en el punto P por las cargas eléctrica 1, 2, 3, y 4 esta dado por

r E

T=

r E 1+

r E 2+

r E 3+

r E 4 (6T)

Líneas de campo eléctrico o líneas de fuerza

Un concepto muy útil para representar visualmente la configuración de un campo eléctrico es el de líneas del campo eléctrico o líneas de fuerza. Michael Faraday no manejo el concepto de campo eléctrico como vector sino que el siempre pensó en función de líneas de fuerza. Las líneas de fuerza siguen siendo una manera conveniente de representarse en la mente la forma de los campos eléctricos. Experimento donde se muestran las líneas de fuerza de distintas configuraciones.

22

Características de las líneas de campo eléctrico o líneas de fuerza Veamos como se representa el campo eléctrico por medio de las líneas de fuerza.

a)

b)

c)

d)

e)

1) Tenemos entonces que la tangente a un línea de fuerza en un punto cualquiera da la dirección de

r E en ese punto.

Veamos como se entiende esto cuando tenemos más de una carga que produce el campo eléctrico. En la fig. elija una línea de campo eléctrico que una las cargas positiva y negativa y que se encuentre al lado izquierdo de la fig. En ella marque un punto que divida dicha línea simétrica-mente. En dicho punto dibuje el campo producido por la carga eléctrica positiva y el campo eléctrico producido por la carga negativa. Obtenga a partir de esos campos el campo resultante.

23

2) Las líneas de fuerza se dibujan de modo que el número de líneas por unidad de área de sección transversal sea proporcional a la magnitud de

r E .

3) Las líneas empiezan y terminan en cargas eléctricas. 4) Las líneas de fuerza no se cortan. ¿ Explique porqué ?

1) Problema. H-27-Ejemplo 3 Se tiene la distribución de cargas que se muestra en la figura. a) Encontrar el campo eléctrico en el punto P. b)Si r >> a dicha configuración constituye un dipolo eléctrico, encontrar el campo eléctrico en el punto P en ese caso. c) ¿Cuál es la dirección del campo eléctrico?

Solución

a) Dibujemos en primer lugar los campos eléctricos producidos por cada una de las cargas de la configuración en el punto P.

Tenemos entonces que

r E

T=

r E 1+

r E 2

r E 1 =

r E 1 cos!ˆ i "

r E 1 sen!ˆ j

r E 2 = "

r E 2 cos!ˆ i "

r E 2 sen!ˆ j

24

Por lo tanto el campo eléctrico total en el punto P esta dado por

r E T =

r E

1!

r E

2( )cos" ˆ i !r E

1+

r E

2( )sen"ˆ j (1-1P)

tenemos que

r E 1=

r E 2=

kq

a2 + r 2( )2 (2-1P)

sen! =a

a2 + r2

(3-1P) cos ! =r

a2 + r2

(4-1P)

Reemplazando las expresiones (2-1P), (3-1P) y (4-1P) en (1-1P) tenemos

r E T =

2kqa

a2 + r2( )3

2

ˆ j (5-1P)

b) Si r >> a La distribución de cargas que aparece en la fig. puede ser considerada para efectos de cálculo de campo eléctrico como un dipolo.

r E T !

2kqa

a2 + r2( )32

=2kqa

r3a2

r2+1

"

# $

%

& '

32

Si r >>a(a2

r2)0

1 2 4 4 3 4 4

!2kqa

r3

ET !2kqa

r3 Campo eléctrico producido por un dipolo.

Movimiento de una partícula cargada en un Campo Eléctrico

Tenemos que

r E =

r F

q0

!r F =

r E q

0

Por lo tanto una carga eléctrica en un campo eléctrico experimentará una fuerza y la aceleración estará dado por:

25

r a =

r F

m=

r E q

0

m

Dibuje en la fig. una carga positiva y otra negativa en cualquier lugar entre las placas. Represente sobre cada una de ellas la fuerza y la aceleración que produce el campo eléctrico.

Tenemos entonces que

Si q0

> 0r a !!

r E

Si q0

< 0r a !"

r E

# $ %

& %

Analicemos que sucede si penetra a un campo eléctrico una partícula cargada negativamente con una velocidad como se muestra en la fig. No consideraremos el efecto producido por la aceleración de gravedad, puesto que la fuerza eléctrica, en la mayoria de los casos, es mucho mayor que la fuerza gravitatoria. Para un electrón por ejemplo que se encuentra en un campo eléctrico uniforme E = 2000N / C tenemos que la fuerza eléctrica y la fuerza gravitatoria están en la siguiente relación.

Feléctrica

Fgravitacional

=eE

mg=(1.6 !10"19C)(2000N / C)

(9.1! 10"31Kg)( 9.8m / seg2 )= 3.6!10

13

Por lo cual en este tipo de problemas no consideraremos el efecto de la fuerza gravitatoria.

26

Podemos observar que la partícula cargada se desplaza en el campo eléctrico uniforme, que existe entre las placas, siguiendo una trayectoria parabólica que corresponde a un movimiento uniforme en eje de las X (v= cte) y un moviento uniformente acelerado en el eje de las Y (a=F/m). Recordemos las ecuaciones que rigen un movimiento uniformemente acelerado. Vx = Vx0 + ax t

x = x0 +1

2Vx0 + Vx( )t

x = x0 + Vx0t +1

2axt

2

Vx

2 = Vx0

2 + 2ax x ! x0( )

(7T)

Vy = Vy0 + ay t

y = y0 +1

2Vy0 + Vy( )t

y = y0 + Vy0t +1

2ayt

2

Vy2 = Vy0

2 + 2ay y ! y0( )

(8T)

Para el eje de las x Para el eje de las y

Efecto Millikan

En esta fig. se repre-senta el aparato uti-lizado por Millikan (1909) para determinar la carga del electrón. En este experimento se produce por medio de un atomizador una niebla fina de pequeñas gotas de aceite las que caen bajo la influencia de la gravedad y la resisten-cia del aire.

Algunas de las gotas atraviesan un pequeño agujero en la parte superior de dos placas metálicas. La velocidad a la cual cae una gota en particular (la cual fue monitoreada por un microscopio) está determinada por su tamaño y su masa. Así, midiendo la velocidad de caída de una gota, Millikan pudo calcular su masa. El aparato tenía una fuente de radiación de alta energía en la parte inferior de la cámara. Esta radiación separó electrones de las moléculas del aire, las cuales a su vez se unieron a las gotas de aceite. Al cargar la placas metálicas que se muestra en la fig., el campo existen entre las placas actúo sobre las gotas de aceite cargadas. Dependiendo de la carga sobre las gotas y la magnitud y dirección del campo eléctrico, se aceleró,

27

se retardo e incluso se invirtió la caída de las gotas. En este experimento se observó que en las gotas de aceite aparecían, entre otras cargas, en diferentes momentos las siguientes medidas de carga eléctrica. 6.563!10

"19C 13.13!10

"19C 19.71!10

"19C

8.204!10"19C 16.48 !10

"19C 22.89 !10

"19C

11.50 !10"19C 18.08!10

"19C 26.13!10

"19C

¿Qué valor de la carga elemental puede deducirse de estos datos?

2) Problema Se lanza un electrón con una velocidad inicial V

0= 6.0 !10

6m / seg

formando un ángulo de 40° con la horizontal como muestra la figura. Si el campo eléctrico es de 1.0 !104N / C, la separación entre las placas d = 0.8 cm y la longitud de ellas es L=1.5 cm, diga si el electrón choca con alguna de las placas.

d

L

40o

v

Solución: Datos e = 1.6 !10

"19C

m = 9.11!10"31Kg

V0= 6.0 !10

6m / seg

# = 40°

E = 1.0 !104N / C

d = 0.8cm = 0.8!10"2m

L = 1.5 cm

L > x1choca x

1= ?

x = x0+V

0xt (1-2P)

y

1= y

0+ V

0y t +1

2ayt

2

x0= 0

V0x= V

0cos 40°

t = ?

y1= d y

0= 0

V0y = V0sen40°

ay =F

m=eE

m

28

1

2ayt

2

+V0y t ! y1

= 0

t = !V

oy± V

oy

2 + 2ayy1

ay

(2-2P)

V0y = 6 !10

6m seg sen40°= 3.9 !10

6m / seg (3-2P)

ay =1.6 !10"19 / C 1.0 !104N / / C

9.1 !10"31kg= 1.8 ! 10

15m / seg

2 (4-2P)

reemplazando en (2-2P) los valores correspondientes a Vo y y ay tenemos:

t =1.5 !10"9seg

reemplazando t en (1-2P) tenemos:

x1 = 6.9 !10"3m = 0.69cm # L > 0.69cm $ que choca con la lámina superior

Dipolo en un Campo Eléctrico

a) Uniforme. b) No uniforme.

Dipolo en un campo eléctrico uniforme

!

r E = cte

Existe un par de fuerzas que producen un torque sobre el dipolo. Tenemos que

r ! =

r r "

r F

r ! =

r r

r F sen"

en este caso r = 2a

r F = qE

Tenemos entonces que ! = 2aqEsen"

Se desea escribir esta última expresión en forma vectorial para lo cual se define un vector momento dipolar eléctrico

r p ( ) , cuya magnitud es 2aq

siendo 2a la separación entre las cargas, su dirección es a lo largo de la línea que une las cargas y el sentido apunta de la carga negativa (-) a la carga positiva (+).

29

Tenemos entonces que el torque eléctrico se puede escribir vectorialmente como:

r ! =

r p "

r E (9T)

Analizaremos el equilibrio de un dipolo en un campo eléctrico uniforme. Recordemos los diferentes tipos de equilibrio que existen.

En el caso de equilibrio inestable si el cuerpo se desplaza de su posición de equilibrio el no regresa por si sólo a ella. En el caso de equilibrio estable si el cuerpo se desplaza de su posición de equilibrio el regresa por si sólo a ella. En el caso de equilibrio indiferente si el cuerpo se desplaza de su posición de equilibrio permanece en esa nueva posición de equilibrio.

Analicemos ahora que le sucede a un dipolo cuando se coloca en las posiciones b) y e)

30

Del análisis del equilibrio de un dipolo en un campo eléctrico uniforme vemos que el momento dipolar

r p tiende a alinearse con el campo

eléctrico r E .

En dicha posición queda en equilibrio ya que r F + = !

r F ! por ser un campo

eléctrico uniforme.

Dipolo en un campo eléctrico no uniforme

!

r E " cte

Del análisis de un dipolo en un campo eléctrico no uniforme vemos que el dipolo rota hasta alinearse

r p con

r E , pero no

permanece en dicha posición en equilibrio ya que

r F + !

r F "

debido a que el campo eléctrico es no uniforme.

Se tiene un dipolo ubicado en el campo eléctrico de una carga puntual. Dibuje las fuerzas que actúan sobre el dipolo y analice el movimiento que le producen. Indique si la posición final es de equilibrio y en caso de serlo de que tipo.

31

Energía de un dipolo en un Campo Eléctrico Tenemos que: W

1!2 = "#U1! 2 (10T)

Cuando existe rotación el trabajo está dado por la siguiente expresión: W =

r ! "

r # ó

W =

r ! "d

r

# $ (11T)

donde dr ! es perpendicular

saliente al plano de la hoja. d!

Tenemos que:

r ! =

r p "

r E ! = p "E "sen#

El torque es entrante perpendicular al plano de la hoja. Tenemos entonces que

r ! y d

r ! forman en este caso un ángulo de 180° .

De la expresión (11T) tenemos entonces:

W1!2 = " # $ d%

%1

% 2

& = " p $E $sen% $d% =%1

%2

& " p $E sen% $ d%%1

%2

&

= !p "E !cos#( )

#1

#2

= p "E cos##1

#2

W

1!2 = p "E cos#2 $ cos#1( ) = p "E cos#2$ p "Ecos#

1 (12T)

De la expresión (12T) tenemos:

W1!2 = "#U1! 2

= " U2"U

1( ) = "U

2+U

1 (13T)

U = ! p "E cos# = !r p "

r E

U = !r p "

r E (14T)

U = 0 si

r p !

r E o sea si ! = 90°

Analice el equilibrio de un dipolo utilizando la expresión de la energía. Considere que cuando un cuerpo está en situación de equilibrio inestable se encuentra en un máximo de energía potencial y tenemos que cuando un

32

cuerpo está en situación de equilibrio estable se encuentra en un mínimo de energía potencial (ver fig. página 30).

Cálculo campo eléctrico Cálculo para distribuciones de carga continua.

r E T = d

r E

por toda la

distribución de cargas

!ETX = dEX!ETY = dEY!

"

# $

% $

r E T = ETX

ˆ i + ETYˆ j dE =

k dq

r2 (12T)

Densidad de carga

a)Densidad lineal ! por Ej.: varillas, alambres.

! =q

L

q

L

b)Densidad superficial ! por Ej.: Discos, planos.

! =q

S q

R

c)Densidad volumétrica ! por Ej.: Esferas, cilindros. ! =

q

V

q

R

El elemento dq que aparece en (12T) depende de la densidad de la distribución.

dq = ! "dl

lineal

1 2 4 3 4

dq = ! " ds

superficial1 2 4 3 4

dq = ! " dV

volumétrica

1 2 4 3 4

33

3) Problema Se tiene una varilla de longitud L, que está cargada con una densidad lineal de carga ! . Encontrar el campo eléctrico

r E en el punto P que se

muestra en la figura.

Solución

r E T = ETX

ˆ i + ETYˆ j

ETX = dEX!por toda la

var illa cargada

1 2 3

ETY = dEY!por toda la

varilla cargada

1 2 3

ETX= dE

X= ! dE sen"## (1-3P) E

TY= dE

Y= dE cos!"" (2-3P)

dE = ?

sen! = ?

cos! = ?

dE =

k ! dq

x2

+ h2

dq = ! " dx#

dE =k ! " !dx

x2 + h2

(3-3P)

sen! =x

x2 + h2

(4-3P)

cos! =h

x2 + h2

(5-3P)

34

a)Cálculo de ETX

reemplazando en (1-3P) las expresiones de (3-3P) y (4-3P) tenemos:

ETX= !k " #

x "dx

x2 + h2( )

32

!L3

2L3

$ cambio de variable x2 + h2 = Z

2x !dx = dZ

ETX= !

k " #

2Z

!32$ dZ = k "# "Z

!12 =

k " #

x2 + h2 ! L

3

2L3

ETX

= k ! "1

4 L2

9 + h2#

1

L2

9 + h2

$

%

& &

'

(

) )

b)Cálculo de E

TY

reemplazando (3-3P) y (5-3P) en (2-3P) tenemos:

ETY = k ! " !hdx

x2+ h

2( )32

h3 tg2#+1( )32

h3 sec2 #( )32 =h3!sec3 #

1 2 4 3 4 $L3

2 L3

%

cambio de variable x = h ! tg"

dx = h !sec2 " ! d"

ETY

= k !" ! / h / h ! / s ec

2# ! d#

h/ 3 !sec

/ 3 #$ =

k !"

h

d#

sec #$ =k !"

hcos# !d#$

ETY=k !"

hsen# =

k !"

h!

x

x2 + h2 $L

3

2L3

ETY

=k !"

h

2L

3 4L2

9 + h2

+L

3 L2

9 + h2

#

$

% %

&

'

( (

r E T = k !"

1

4L2

9 + h2#

1

L2

9 + h2

$

%

& &

'

(

) )

ˆ i +2L

3h 4 L2

9 + h2

+L

3h L2

9 + h2

$

%

& &

'

(

) )

ˆ j

*

+ ,

- ,

.

/ ,

0 ,

35

4) Problema H-27-22, N 32 Un disco delgado de radio a está cargado uniformemente y su carga por unidad de área es ! encontrar el campo eléctrico en el eje del disco a una distancia h de este.

Solución

r E = d

r E

Er

= dEr! = dE "sen#! = 0

Ez= dE

z! = dE " cos#!

$

% &

' & ! (por simetría)

Ez= dE !cos"# (1-4P)

dE = ?

cos! = ?

dE =k ! dq

h2 + r2( )2

cos! =h

h2 + r 2

dq = ! " ds ds = ?

r

dr

dld!

! ds = r " d# " dr

dE =k !" !r ! d# ! dr

h2 + r 2

reemplazando en (1-4P)tenemos:

Ez= k !" !h

r!d#!dr

h2 +r 2( )

32$$ = k !" !h d#

0

2%

$r!dr

h2+ r2( )

32

0

a

$

36

Ez= k !" !h !2# r!dr

h2 + r2( )

32

0

a

$ cambio de variables: h2 + r2 = u

2r ! dr = du

Ez= k !" !h ! # du

u32

h2

h2 + a2

$ = %k !" ! h ! 2# %u%12( )

h2

h2 +a2

= %k ! " !h !2# !1

h2 + r2

0

a

Analice el resultado obtenido, en los siguientes casos: a)a!" b)a! 0 a)Si a!" el disco se convierte en un plano infinito.

lima!"

Ez

= lima!"

# k $ % $ h $ 2&1

h2 + a

2

06 7 4 8 4

#1

h

'

( )

* ) )

+

, )

- ) )

=k $ % $ / h $ 2&

/ h

ya que k =1

4!"0

lima!"

Ez=

#

2$0

% Ez=

!

2"0

Campo eléctrico producido por un plano infinito

b)Si a! 0 el disco se convierte en una carga puntual.

Si Q es la carga del disco ! =Q

"a2# $ %

& Ez = '2khQh2 + a2( )

' 12 ' h'1

a2

(

)

* *

+

,

- -

a! 0 " Ez=0

0

lima!0

Ez = lima! 0

" 2k # h #Q" 1

2 h2

+ a2( )

"32

/ 2 / a

/ 2 / a

$

%

& & &

'

(

) ) )

=khQ

h3

lima!0

Ez =kQ

h2=

k

4*+0h2

37

E =kQ

r2

Campo eléctrico producido por una carga puntual.

5) Problema

Se tiene un semianillo de radio a, que tiene una carga Q uni-formemente distribuída. Encontrar el campo eléctrico

r E

en el punto O que se indica en la figura.

a

o

Solución En primer lugar dibuje-mos el campo eléctrico producido en el punto O por un elemento dl y analicemos la simetría del problema.

!

dl

d!

!dE

dE

Y

X

r E = Ex

ˆ i + Eyˆ j

Ex

= ! dE "cos# (1! 5P)$E

y= 0 por simetría

% & '

( '

dE = ? dE =

k !dq

a2

dq = ! " dl =Q

a#dla"d${ =

Qd$

#

dE =k !Q ! d"

#a2

reemplazando esta expresión en (1-5P) tenemos

38

Ex = !k "Q

#a2cos$ "d$

!#2

#2

% = !k "Q

#a2sen$ !#

2

#2 = !

2k "Q

#a2

Ex = !2k "Q

#a2

r E = !

2k "Q

#a2

ˆ i

6) Problema

Se tiene un alambre que tiene la forma indicada en la figura. Si dicho alambre tiene una densidad carga uniforme ! , encontrar el campo eléctrico

r E

en el punto P.

Solución:

Dividimos el alambre en tres partes que son: dos alambres paralelos cada uno de longitud 6a y un semianillo de radio a. Denominamos 1 y 3 a los tramos rectos y 2 al semianillo.

y

x

2

E2

1

3

x

y

dE3

dE1

Tenemos entonces que el campo eléctrico total en el punto P está dado por:

39

r E T =

r E 1 +

r E 2 +

r E 3

ETY = 0 por simetría

ETX = EX1 + EX2 + EX3 EX1 = EX3

= 2EX3

?

{+ E X2

?

{ (1! 6P)

"

#

$ $

%

$ $

* Cálculo de E

X2

Del problema 5 tenemos:

Ex = !2kQ

"a2 ya que ! =

Q

"a# Ex2 = $

2k!

a (2-6P)

* Cálculo de E

X3

x

y

a

!

x6a

xdxdE

dE

x + a2 2

Del problema 3 tenemos:

EX3

= !k"xdx

x2 + a2( )

32

=k"

a

1

37!1

# $ %

& ' (

= !0.840

6a

)k"

a

EX3= !0.84

k"

a (3-6P)

reemplazando (2-6P) y (3-6P) en (1-6P)tenemos:

ETX= !3.68

k"

a

r E T = !3.68

k"

a

ˆ i