Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 16/01 ...

Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario

16/01/2008 EyM 5-1

Campo Magnético Estacionario

Campos Estacionarios

Los campos electromagnéticos estacionarios aparecen cuando no hay variaciones temporales, d/dt=0, pero se permite la existencia de corrientes.

Las corrientes consideradas en estas condiciones reciben el nombre de corrientes estacionarias y deben cumplir la condición de no modificar las distribuciones de carga existentes.

Se puede expresar matemáticamente esta condición partiendo de la ecuación de continuidad:

0=+⋅∇t∂

∂ρJv

0=t∂

∂0=⋅∇ J

v

Las corrientes estacionarias tienen divergencia nula.

Ya se vio en el capítulo anterior que no pueden tener su origen en campos electrostáticos o culombianos.


16/01/2008 EyM 5-2

Campos Estacionarios

( ) ( )

( ) ( ) ( )

HB

ED

B

Dt

trDtrJtrH

ttrBtrE

rr

rr

r

r

rrrrrr

rrrr

µ

ε

ρ∂

∂∂

∂

=

=

=⋅∇

=⋅∇

+=×∇

−=×∇

0

,,,

,, ( )( )

HB

ED

B

D

JrH

rE

rr

rr

r

r

vrr

rr

µ

ε

ρ

=

=

=⋅∇

=⋅∇

=×∇

=×∇

0

0

∂∂t

= 0

Con las condiciones mencionadas las ecuaciones de Maxwell quedan :

Se puede apreciar la existencia de dos sistemas de ecuaciones independientes:

( )

ED

D

rE

rr

r

rr

ε

ρ

=

=⋅∇

=×∇ 0 ( )

HB

B

JrH

rr

r

vrr

µ=

=⋅∇

=×∇

0

El del campoEléctricoestacionario:

Y el del campoMagnético estacionario(magnetostático):

Campo Magnetostático

• Este capítulo se va a centrar en el campo magnetostático, puesto que el campo eléctrico estacionario se puede estudiar independientemente, como ya se ha hecho.

• Conviene recordar que en la naturaleza no existen situaciones estacionarias, al igual que no existían situaciones estáticas. Lo que si existen son situaciones en que la velocidad de los fenómenos es lo suficientemente lenta como para que la aproximación de despreciar las variaciones con respecto al tiempo sea suficiente para conducir a buenos resultados.

– La ley de Ampère es la que liga las fuentes con el campo.

0=⋅∇ Br

( ) JrHvrr

=×∇

HBrr

µ=

– La ecuación de la divergencia postula que las líneas de campo magnético son cerradas, o lo que es lo mismo, que no existen fuentes escalares (cargas magnéticas aisladas).

– La ecuación de estado introduce el efecto de los medios.


16/01/2008 EyM 5-3

• Utilizando el grado de libertad de que se dispone se puede escoger:

El Potencial Vector Magnetoestático

• El que la divergencia de un rotacional sea siempre nula y que ladivergencia del campo magnético sea siempre nula permite suponer que el campo magnético pueda proceder de un potencial vector:

( ) ⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=×∇⋅∇

=⋅∇

0

0

A

Br

r

• Esta definición del potencial vector deja un gran margen de libertad que será utilizado posteriormente definiendo su divergencia.

ABrr

×∇=

( ) AAABHJrrrrrr

∆−⋅∇∇=×∇×∇=×∇=×∇= µµ

0=⋅∇ Ar

JArr

µ−=∆

• Llevando esta definición a la ley de Ampère en un medio lineal, homogéneo e isótropo:

• con ello se obtiene:


• Trabajando en coordenadas cartesianas la ecuación del potencial vector se puede descomponer en ecuaciones similares a la ecuación de Poisson ya estudiada y resuelta para el caso de un medio lineal, isótropo, homogéneo e indefinido:

JArr

µ−=∆

( )

( )

( )⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

′−′′

=⇒−=∆

′−

′′=⇒−=∆

′−′′

=⇒−=∆

⇒−=∆

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

V

zzzz

V

yyyy

V

xxxx

rrVdrJAJA

rrVdrJ

AJA

rrVdrJAJA

JA

rr

r

rr

r

rr

r

rr

πµµ

πµµ

πµµ

µ

4

4

4

( ) ( )∫∫∫ ′−

′′=⇒−=∆

V rrVdrr rr

rv ρ

πεφ

ερφ

41

( )∫∫∫ ′−

′′=

V rrVdrJA rr

rrr

πµ

4


16/01/2008 EyM 5-4

– Un elemento infinitesimal de corriente da lugar a una contribución diferencial paralela a dirección de la corriente.

dA

dA

dA

dAdI


– Análogamente se pueden obtener expresiones para corrientes superficiales y lineales:

( )∫∫ ′−

′′=

S

S

rrSdrJA rr

rrr

πµ

4 ∫ ′−′

=C rr

ldIA rr

rr

πµ4

– La interpretación de su significado físico es difícil.

ldAdrv

∫∫∫∫∫ ⋅=⋅×∇=⋅=ΦCSS

B ldASdASdBrrrrrr

– En la expresión para corrientes lineales el contenido vectorial de la corriente se ha transferido al diferencial de longitud, la integral se realiza en un contorno cerrado y la corriente es constante.

– En algunos casos es muy útil para calcular el flujo del campo magnético y representar las líneas de campo:

Potencial Vector: Ejemplo

• Sea una línea de corriente Io que circula a lo largo del eje z en sentido positivo.

zAA z ˆ=r

( ) Kr +=ρπε

λφ 1ln2

r

( ) zKIozArA z ˆ1ln2

ˆ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+==

ρπµrr

( ) ( ) ϕπρ

µ∂ρ∂ϕ

∂ϕ∂

ρρ ˆ

2ˆ1ˆ IoArArB z =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=×∇=

rrrr

• Como la corriente sólo tiene componente z:

• Este problema es análogo al de una densidad de carga lineal sobre el eje z. La solución a este problema electroestático es:

• Por analogía:

• En este caso, al igual que en el problema electrostático, no se puede definir de forma unívoca el potencial vector.

• Esta indefinición no impide calcular el campo magnético:

Se obtendrá de forma más simple utilizando la ley de Ampere


16/01/2008 EyM 5-5

Campo M-E a partir de A

– Para obtener el campo a partir del potencial vector basta con aplicar la definición:

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫′′

′⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′

′−×∇=

′−′′

×∇=×∇=VV

VdrJrrrr

VdrJrArB rrrrrr

rrrrrr 1

44 πµ

πµ

( ) ( )∫∫∫∫∫∫′′

′′×′−

′−−=′′×⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′−

∇=VV

VdrJrrrrVdrJ

rrB rr

rr

rrrr

rrr

341

4 πµ

πµ

VUVUVUrrr

×∇+×∇=×∇( ) 0=′×∇ rJ rr

r′r

( ) ( )∫∫∫

′

′′−

′−×′=

V

Vdrr

rrrJB 34 rr

rrrrr

πµ

31

rrrr

rr ′−

′−−=

′−∇ rr

rr

rr

– Donde se ha invertido el orden de la integral y el rotacional.– Aplicando que

– donde se ha aplicado:

– Invirtiendo el orden del producto vectorial se obtiene la expresión definitiva:

y quepuesto que el rotacional se aplica sobre

Ley de Biot-Savart

• Adaptando para corrientes superficiales:

( ) ( )∫∫ ′

′−

′−×′=

S

S Sdrr

rrrJB 34 rr

rrrrr

πµ

( )∫ ′−

′−×′=

C rrrrldIB 34 rr

rrrr

πµ

• Y para corrientes filiformes:

• Expresión que recibe el nombre de ley de Biot-Savart.

– Observe que nuevamente se ha transferido el contenido vectorial de la corriente al diferencial de longitud, que la corriente es constante y cerrada y la forma poco formal de colocar el diferencial de longitud dentro de la expresión subintegral.


16/01/2008 EyM 5-6

Campo M-E creado por un elemento de corriente.

• Si se considera un elemento de corriente del tipo que sea:

dB

dB

dB

dBdI

( )( )( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

′′

′′

′′

=′

ldrI

SdrJ

VdrJ

rId Srr

rr

rr

rr

( )34 rrrrIdBd

′−

′−×′= rr

rrvr

πµ

– Regla del dedo gordo de la mano derecha

• Su contribución al campo será:

• Perpendicular a la corriente.• Perpendicular al vector que une el elemento de

corriente y el punto donde se calcula el campo.• Proporcional al seno del ángulo formado por la

corriente y el vector del punto anterior.– No hay campo en la línea definida por el elemento

de corriente.• Inversamente proporcional al cuadrado de la

distancia.

Espira Circular

• Sea la espira de la figura centrada en el eje z y contenida en

a

I

z0zz =

( )∫ ′−

′−×′=

C rrrrldIB 34 rr

rrrr

πµ

( )( )

( ) ( )[ ] ϕρϕϕ

ρ

ρ

′−+=′−×′⇒′=′

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+=′−

−+−=′−⇒

⎭⎬⎫

+=′=

adzzzarrldadld

zzarr

zzzarr

zzarzzr

ˆˆˆ

ˆˆ

ˆˆˆ

0

20

2

0

0

rrrr

rr

rr

r

r

a

z

Or'

r

ρ'^

φ'

• Para calcular el campo en el eje z habrá que aplicar la ley de Biot-Savart

• En este caso:

• Sustituyendo ....


16/01/2008 EyM 5-7

Espira Circular

• Sustituyendo:

( ) ( )( )( )[ ] ( )[ ]

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡′−+′

−+=′

−+

−+= ∫∫∫

πππ

ϕρϕπ

µϕρπ

µ 2

00

2

0232

02

02

0 232

02

00 ˆˆ4

ˆˆ4

ˆ dzzdzazza

aIdzza

azzzaIzzBv

( ) 0ˆsenˆcosˆ2

0

2

0

=′′+′=′ ∫∫ππ

ϕϕϕϕρ dyxd

( )( )[ ]

zzza

aIzzB ˆ2

ˆ2

320

2

20

−+=

µv

1rr vv ′−

2Bdv

1Bdv

2rr vv ′−

1ldv

2ldv

21 BdBdvv

+

• Y considerando que:

• Finalmente:

se cancelan las componentes radiales, ver figura.

Problema

(Sept-92) Considere una espira cuadrada de lado 2a, contenida en z=0, centrada en el origen de coordenadas, con los lados paralelos a los ejes X e Y, y por la que circula una corriente I0 . a) Calcule el campo magnético que crea sobre los puntos del eje Z. Si se sustituye esta espira por otra espira circular de radio a construida con el mismo tipo de hilo, situada en la misma posición y por la que circula la misma corriente: b) ¿Cuál de las dos crea un campo más intenso en el origen de coordenadas? c) ¿Cuál de las dos crea un campo más intenso en puntos lejanos ?

x

y

z

I2(1)

(2)(3)

(4)

aa

Pa) Para obtener el potencial en el eje aplicamos la ley de Biot y Savart por tramos, comenzando por el (1).

zzryaxxrdxxld ˆ,,ˆˆ,,ˆ =+=′−=rrr

( ) adxzzdxyzax

dxzyx

rrld ˆˆ00ˆˆˆ

+=−−

−=′−×rrr

Por simetría solo quedara, al final, componente z que es la que nos interesa obtener:

( ) ( )( ) ( )( ) 21

21

23 2222

2

22222222121

244 zazaIa

zaxzaxIa

zaxadxIB

a

ax

a

axz++

=+++

=++

=−=

−=∫ πµ

πµ

πµ


16/01/2008 EyM 5-8

Problema

Al superponer los cuatro tramos la componente z se cuadruplica:

b) El campo creado por la espira circular es:

( )( ) 212222

2

212

zazaIaBz

++=

πµ

( ) 2322

2

O 2 zaaIBz+

=µ

Por tanto en z=0 será:2

2)0( aIBz π

µ=

aIBz 2

)0(Oµ

=<

c) En puntos lejanos creará un campo mayor la espira que tiene mayor superficie porque es la que tienen un momento dipolar magnético mayor.En este caso la espira cuadrada.

Potencial y Campo fuera del eje

En un punto arbitrario, para la espira circular, el potencial vector es:

( )( )[ ]

( )[ ]∫∫ ′−++

′′=

+′+′−

′′=

π

πϕϕρρ

ϕϕπ

µ

ϕϕρ

ϕϕπ

µ0 2222 2222 2

12

1

cos2cos

2cos

cos4 aza

daI

zsenaa

dIaA

Haciendo el cambio de variable ϕ=π-2θ se tiene: ( )( )[ ]∫

−++

−= 2

210 222

2

4

12π

θρρ

θθπµ

ϕsenaza

dsenaIALa función subintegral puede rescribirse como:

( )( )[ ]

( )( )( ) ( ) 2

121

21

2222

2

222

2

1

12

4

12

θρ

θ

θρρ

θ

senkza

sena

senaza

sena

−++

−=

−++

−

donde:( )[ ]22

2 4za

ak++

=ρ

ρ

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫∫ kEkKk

kaIdsenk

senkdk

kaIA

2111

1211 2

0

2

0 2

222

ρπµθθ

θθ

ρπµ ππ

ϕ

siendo K(k) y E(k) las integrales elípticas completas de 1ª y 2ª especie.

Aún puede operarse un poco más y obtenerse:


16/01/2008 EyM 5-9

Líneas de Inducción Magnética

2 1 0 1 21

0.5

0

0.5

1

B

Dado que el potencial solo tiene componente ϕ y es independiente de ϕ, tomando circunferencias concéntricas con el eje, la circulación de A será2πρAϕ que es el valor del flujo de B.

Representando las líneas de flujo constante se obtiene una representación de las líneas de campo como se indica en la figura.

Variación del Campo

Como puede verse en la figura anterior el campo crece en las proximidades de la corriente. La inducción B puede obtenerse como:

( )∂ρρ∂

ρ∂∂ ϕ

ϕϕ

ρ

ABB

zA

BAB z1,0, ==−=⇒×∇=

rr

Y teniendo en cuenta que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

akkkk

azk

zk

kkK

kkkE

kkK

kkK

kkE

kkE

442,,

4

1,,

333

2

−−=−=

−−

=−=

ρρ∂ρ∂

ρ∂∂

∂∂

∂∂

Se obtienen:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−−−

+++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−++

+−++

= kEzazakK

za

IBkEzazakK

za

zIB z 22

222

2222

222

22

12

,,2 ρ

ρ

ρπµ

ρρ

ρρπµ

ρ

En el eje solo hay componente z que vale (K(0)=E(0)=π/2):( ) 2

322

2

2 zaaIB

ejez+

=π

µ

En el plano de la espira solo hay componente z de valor:

( ) ( )( )

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

++

== kEaakK

aIzBz 2

2212

0ρρ

ρπµ


16/01/2008 EyM 5-10

Variación del Campo

2 1 0 1 2

0.5

1

Beje( )z

z

0 0.5 1 1.5 2

0

50

B( )r

r

Variación en el eje z Variación radial en z=0

Programando las expresiones anteriores se obtienen las variaciones del campo, normalizado, según z en ρ = 0 y según ρ en z=0 (a=1).

Lineas de Campo de Tres Espiras Coaxiales

2 1 0 1 21

0.5

0

0.5

1

B

Aplicando superposición se obtienen las líneas de flujo de tres espiras coaxiales iguales.


16/01/2008 EyM 5-11

Solenoide Cilindrico

0 0.5 1 1.5 22

1

0

1

2

H0 0.5 1 1.5 2

2

1

0

1

2

Hρ ρ

z z

Por integración del potencial de una espira se obtiene el potencial y el flujo de un solenoide. Se ha superpuesto la sección del solenoide. Se observa una importante imprecisión numérica debida a que en las proximidades del eje las integrales elípticas tienen valores muy próximos que hay que restar.

Solenoide Cilindrico

0 1 22

1

0

1

2

Hρ/a

z/aPara evitar las imprecisiones numéricas se haprogramado directamente el cálculo del potencialvector sin utilizar las integrales elípticas.

La figura presenta las líneas de flujo en un semiplanoϕ constante. Puede observarse el quiebro de las líneasde flujo al atravesar la corriente superficial del solenoidey la tendencia hacia la uniformidad del campo en elinterior del mismo.


16/01/2008 EyM 5-12

Solenoide Cilíndrico

• Se trata de un arrollamiento sobre un cilindro de radio a en forma de hélice de paso p(distancia entre dos hilos a lo largo de la generatriz).

• Las ecuaciones paramétricas de la hélice son

( )∫ ′ ′−

′−×′=

C rrrrldIB 34 vv

vvrv

πµ

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

==

πϕ

ϕϕ

2

sincos

pz

ayax

Usando la Ley de Biot y Savart

En el eje z:zpar

zzrˆ

2ˆ

ˆ

πϕρ

′+=′

=v

v

zpzarr ˆ2

ˆ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

−+−=′−πϕρvv

zpdadld ˆ2

ˆπϕϕϕ

′+′=′

r-1

-0.50

0.51

-1

-0.5

0

0.5

10

2

4

6

8

10

12

14 z

yx

ldr′

zpd ˆ2π

ϕ′

ϕϕ ˆ′adϕ′d

( ) ϕπϕρ

πϕϕϕ ˆ

2ˆ

2ˆ2 ′

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

−′+′=′−×′pdapzadzdarrld vvr

rv

r ′v

p

Solenoide Cilíndrico

• Al integrar en cada vuelta (p.e entre 0 y 2π) solo queda la componente según z y las otras dos se anulan.

( ) ϕπϕρ

πϕϕϕ ˆ

2ˆ

2ˆ2 ′

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

−′+′=′−×′pdapzadzdarrld vvr

• La componente según z es igual que la de la espira plana.

( )[ ]z

za

anIB ˆ2 2

322

2

+=

µv


16/01/2008 EyM 5-13

Solenoide Cilíndrico Finito

• Se trata de un apilamiento de espiras por las que circula la misma corriente I.

• Se define por el radio de las espiras, a, el número de espiras por unidad de altura, n, y su altura, h.

• Normalmente se construye enrollando un hilo sobre un núcleo y se desprecia el efecto del paso de arrollamiento y de los hilos de conexión.

• Si los hilos están muy juntos se puede suponer que la corriente está distribuida uniformemente sobre la superficie lateral. Así, suponiendo que el eje del solenoide es el eje z:

a

h

I

nhIdzJIh

ST =⋅= ∫ ϕv

ϕϕϕ ˆˆ nIJJS ==v

( ) ( )∫∫ ′

′−

′−×′=

S

S Sdrr

rrrJB 34 vv

vvvvv

πµ

( )[ ]z

zza

aznIdBd ˆ2 2

322

2

′−+

′=

µvTambién puede considerarse el solenoide como un apilamiento de espiras de radio a y corriente dI=nIdz´ que producen un campo en el eje:

• Por todo ello se puede aplicar:


a

z

Or'

r

ρ'^

φ'

• Limitando el cálculo al eje z:

( )( )

( ) ( ) ( )[ ]nIzzzarrrJ

zzarr

zzzarr

zzarzzr

ρ

ρ

ρ

′′−+=′−×′

⎪⎩

⎪⎨⎧

′−+=′−

′−+′−=′−⇒

⎭⎬⎫

′+′=′=

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆˆ

22

rrrv

rr

rr

r

r

( )( )[ ]

zzza

zdInazzBh

h

ˆ2

ˆ2

2 2322

2

∫− −′+

′=

µv

( ) ( )( )[ ]∫ ∫

−

′′′−+

′′−+=

2

2

2

0 2322

ˆˆ4

ˆh

h

zdadzza

zzzanIzzBπ

ϕρπ

µv

0ˆ2

0

=′′∫π

ϕρ d

Siguiendo el primer procedimiento:

Con el segundo procedimiento se plantea esta ecuación.

• Tomando el origen de coordenadas en el centro del solenoide:

• Integrando en ϕ’ considerando que:


16/01/2008 EyM 5-14


y aplicando:

( )( ) ( ) ( )

zzha

zh

zha

zhnIzzza

zznIzzB

h

h

ˆ2

2

2

22

ˆ2

ˆ2222

2

2

22 ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

++

++

−+

−=

−′+

−′=

−

µµr

( ) 2222322 axax

axdx

+=

+∫

( )( ) ( )

zzzha

zzh

zzha

zzhnIzBc

c

c

c ˆ2

2

2

22 2222 ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+−+

+−+

−++

−+=

µr

zc

α

β

h

O

z

( ) ( )znIzB ˆcoscos2

βαµ−=

r

• Si el solenoide estuviera centrado en zc :

• Donde los términos del corchete se pueden interpretar como los cosenos de los ángulos de la figura:

se obtiene finalmente:

• Es inmediato que si el solenoide es muy largo, el campo en un punto de su eje dentro de él y alejado de los extremos tiende a:


( ) ( ) znIznIzBhzzhzh

cc

ˆˆcoscos2

limlim0

22

µβαµ

πβα

=−=→→+<<−∞→

r

zc

α

β

h

O

z

( ) ( ) znIznIhzB chˆ

2ˆcoscos

2lim2lim

2

µβαµ

πβπα

=−=+→=∞→

v

( ) ( ) znIznIhzB chˆ

2ˆcoscos

2lim2lim

2

0

µβαµ

πβα

=−=−=→∞→

v

0 5 10 15 200

1

2

B( )z

z

a=1h=20

• Mientras que el campo en en centro de sus extremos tiende justo al valor mitad:


16/01/2008 EyM 5-15

Otros Tipos de Solenoides

Arrollando espiras sobre superficies con simetría de revolución entorno a un ejepueden formarse solenoides de distintos tipos como cónicos, esféricos, etc.

II

I I

La densidad de arrollamiento se expresa en número de espiras por unidad delongitud a lo largo de la generatriz.

Campo M-E a partir de la Ley de Ampère

• Algunos problemas con determinadas geometrías pueden resolverse directamente a partir de la ley de Ampère en forma integral:

ISdJldHSdHJHSCS

=⋅=⋅=⋅×∇⇒=×∇ ∫∫∫∫∫vvvvrrrr

• De forma similar a lo que ocurría en Electrostática con la ley de Gauss, para poder calcular el campo a partir de la ley de Ampère es necesario que el campo tenga una variación sencilla a lo largo del contorno escogido.

• Los casos que se van a estudiar son:– Distribuciones de corriente con simetría de translación en una

dirección y simetría de revolución alrededor de un eje con esa dirección.

– El solenoide indefinido.– Hoja indefinida de corriente.


16/01/2008 EyM 5-16

• Normalmente se escoge que el eje de simetría coincida con eje z.

• Por la simetría de translación no puede haber variación con z:

• Al estar todos los elementos de corriente orientados según z no se genera campo con componente z:

$ϕ• Por la simetría de revolución el campo no es

función de ϕ, salvo la variación propia de :

– Se puede comprobar calculando el flujo en una superficie como la de la figura adjunta. En ella se supone que el campo tiene componente radial.

• En definitiva:

• No puede haber componente radial porque no se cumpliría:

Distribuciones de corriente axiales con simetría de revolución

0=⋅∇ Br

( )ϕρ ,HHrr

=

( ) ( )ϕϕρρϕρ ϕρ ˆ,ˆ, HHH +=r

( ) ( )ϕρρρ ϕρ ˆˆ HHH +=r

( )zJJ z ˆρ=v

( )ϕρϕ ˆHH =r

Distribuciones de corriente axiales con simetría de revolución

• Escogiendo contornos que sean circunferencias en planos z=cte y centradas en el eje z:

( )

( )πρρ

ρρρπ

πρϕρϕϕ ϕ

ρ

ϕ

π

ϕ 2

2

2ˆˆ

0

2

0

IH

IdJSdJ

HdH

SdJldH

zS

SC

=⇒

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

==⋅

=⋅

⋅=⋅

∫∫∫

∫

∫∫∫

rr

rrrr

( )ϕπρρ ˆ

2IH =

r

( )zJJ z ˆρ=v

Z

( )ϕρϕ ˆHH =v

( ) ρρπρρ

dJI z∫=0

2

• donde I(ρ) es la corriente que fluye a través del contorno:

• Por tanto:


16/01/2008 EyM 5-17

Línea de Corriente Indefinida

• En el caso de una linea de corriente indefinida de valor I que circule sobre el eje z: I(ρ)=I.

– Por lo tanto: ϕπρ

ˆ2

IH =r

a

Z

I

( )⎩⎨⎧

<<≤

==ρρπ

ρa

azaIzJJ z ;0

0;ˆˆ

2r

La corriente encerrada en la región interior es I(ρ) = I (ρ/a)2 y por tanto:

ϕρπ

ˆ2 2aIHi =

rϕ

πρˆ

2IHe =

r

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

B( )r

r

• En el caso de que la corriente se distribuya uniformemente en un hilo de radio a:

Cable Coaxial

• En el cable coaxial de la figura la corriente circula en sentidos contrarios en cada conductor.

• Suponiendo que la corriente se distribuye uniformemente en la sección de cada conductor:

– I

I

ba

Zc

I( ) ( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<<<−−<<<≤

==

ρρπρρπ

ρ

ccbzbcIbaazaI

zJJ z

;0;ˆ;0

0;ˆ

ˆ22

2

r


16/01/2008 EyM 5-18

Coaxial

• Y el resultado final es:

( ) ( ) ( )

( )⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

≤

≤≤−

−

≤≤

≤≤

===

ρ

ρϕρ

ρπ

ρϕρπ

ρϕρπ

ϕπρρϕρϕ

c

cbbc

cI

baI

aa

I

IHrH

;0

;ˆ2

;ˆ12

0;ˆ2

ˆ2

ˆ

22

22

2

rr

( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≤

≤≤−−

≤≤

≤≤

==⋅= ∫∫∫

ρ

ρρρ

ρρ

ρρπρρ

ρ

c

cbbc

cI

baI

aa

I

dJSdJI zS

;0

;

;

0;

2

22

22

2

2

0

rr

• La corriente que fluye en el interiorde la circunferencia de radio ρ es:

• Obsérvese que no se genera campo en su exterior.

– n es el número de espiras por unidad de longitud (altura en la figura).

• Las fuentes no dependen de z, el campo tampoco:

• La simetría de rotación garantiza la independencia respecto de φ:

• El campo no puede tener componente ϕ: la circulación a lo largo de una circunferencia de z constante centrada en el eje z debe ser cero porque no pasa corriente a través de ella (I es circunferencial, no tiene componente z).

Solenoide Indefinido

• Al igual que en el solenoide finito, en un solenoide indefinido la distribución de corriente puede representarse por una densidad de corriente superficial:

I

Z

aϕϕϕ ˆˆ nIJJS ==

r

0=⋅∇ Br

( ) ( )ρHrHrrr

=

( ) ( )zHrH z ˆρ=rr

( )ϕρϕ ˆH

• Si el campo tuviera componente radial no se cumpliría que:


16/01/2008 EyM 5-19

I

a

• Análogamente, con contornos como el Cb , interior

• Y con contornos como el Cc , uno de los lados paralelos dentro del solenoide y el otro fuera:


• Escogiendo contornos como el Ca , exterior al solenoide, rectangular y con dos lados paralelos al eje z:

Cc

( ) ( )[ ] ( ) cte0 ==⇒=−=⋅>∫ eazizez

C

HHLHHldHa

ρρρρ

rr

( ) ( )[ ] ( ) cte0 ==⇒=−=⋅<∫ iazizez

C

HHLHHldHb

ρρρρ

rr

Ca

Cb

[ ] nIHHnLILHHldH eieiCc

=−⇒=−=⋅∫rr


• Recordando que el límite del campo creado por un solenoide en su centro cuando su longitud tiende a infinito es: ( ) znIzB

ctezhc

ˆlim µ==∞→

r

0; == ei HnIH

( )⎩⎨⎧

<<≤

=ρ

ρa

aznIrH

;00;ˆrr

• Resulta que:

• Y por tanto:

• Un solenoide infinito solo crea campo en su interior, y este campo es constante, con componente axial y con sentido positivo de acuerdo al de la corriente.


16/01/2008 EyM 5-20

Hoja Indefinida de Corriente

• Se trata de una corriente superficial de amplitud y dirección constantes que fluye sobre un plano indefinido.

• Supongamos que el plano es el z=0 y que lacorriente lleva dirección +x.

• Como las corrientes no varíanni con x ni con y,el campo tampoco lo hará.

• Al estar los elementos de corrienteorientados según x el campogenerado solo podrá tener componentes y y z.

• De momento pues:

z

y

x

xJJS ˆ0=

( ) ( ) ( )zzHyzHrH zy ˆˆ +=rr

( )⎩⎨⎧

<>−

=0;2ˆ0;2ˆ

0

0

zJyzJy

rH rr

Hoja Indefinida de Corriente

• La componente z tampoco puede existir: dado un elemento de corriente y un punto de cálculo de campo, siempre se puede encontrar el punto simétrico que cancela la componente z

1Idv2Bd

v2Idv

1Bdv

21 BdBdvv

+

zy

x

zy

xJs ˆ//v

L

Ca

Cb

L

Cc

( ) ( )[ ] cte00

==⇒−=⋅= +

>

+−∫ yzyyC

HHLzHzHldHa

rrr

( ) 00 JHHLHHldHLJ yyyyCc

=−⇒−=⋅= +−+−∫rr

( ) ( )[ ] cte00

==⇒−=⋅= −

<

+−∫ yzyyC

HHLzHzHldHb

rrr

−+ = yy HH

• La componente y es constante a ambos lados de la hoja y tiene una discontinuidad en la hoja:

• Por simetría cabe suponer:

• Finalmente:


16/01/2008 EyM 5-21

Campo Magnético en Puntos Alejados

• El estudio de los campos magnéticos estacionarios en puntos alejados tiene un interés aún mayor que el de los campos eléctricos estáticos en situaciones similares: las magnitudes asociadas pueden aplicarse en muchos casos, con sólo pequeños cambios, a los problemas de variación temporal arbitraria.

V( )rJ ′vv

( ) 0=′⋅∇′ rJ vv

v′r

vr

O

v vr r− ′

– Obsérvese que se ha escogido el origen próximo a la distribución de forma que:

rr vv <<′max

• La situación de partida es la representada en la figura siguiente:

Campo magnético en puntos alejados

• Partiendo de la expresión general del potencial vector:( ) ( )

∫∫∫ ′−′′

=V rr

vdrJrA rr

rrrr

πµ

4rr rr

<<′max

( ) ( )[ ] [ ]

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ′⋅+≈

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ′⋅−′−≈

≈⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ′⋅−′+=′⋅−′+=′−⋅′−=′−

−−−−

22

2

21

2

22

1222

11

1122111

2112

rrr

rr

rrrr

r

rrrr

rrrrrrrrrr

r

rr

rr

rrr

r

r

rrr

rrrrrrrrrrr

( ) xxn

xxx xn

2112

1

83

2111 122

1−⎯⎯ →⎯+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−+++−=+ <<−

KK

2

2 2

r

rrrx r

rrr ′⋅−′=

r′r 2 2r rr r⋅ ′

• Y aplicando que al tratarse de un punto alejado:

donde se ha aplicado que:

siendo en este caso:

también se ha despreciado frente a


16/01/2008 EyM 5-22


• Aplicando esta simplificación, válida para puntos alejados:

( ) ( ) ( ) ( )( )∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ′′⋅′+′′≈′−

′′=

VVV

vdrrrJr

vdrJrrr

vdrJrA rrrrr

rrrrr

rrrr

3444 πµ

πµ

πµ

( ) ( )( )

( )( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ∫∫∫∫∫∫

∫∫∫

′′⋅′+′⋅′+′′⋅′−′⋅′=

=′′⋅′≈

VV

V

vdrJrrrrrJr

vdrJrrrrrJr

vdrrrJr

rA

rrrrrrrrr

rrrrrrrrr

rrrrr

rr

21

421

4

4

33

3

πµ

πµ

πµ

( )( ) ( )[ ] ( )[ ]( ) ( )[ ]∫∫∫ ′×′×′≈

×′×′=′⋅′−′⋅′

V

vdrrJrr

rA

rrJrrJrrrrrJrrrr

rrr

rrrrrrrrrrrr

21

4 3πµ ( ) ( )[ ] rvdrJr

rrA

V

rrrrr

rr×

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

′′×′≈ ∫∫∫ 21

4 3πµ

• La primera de las integrales se cancela (demostración a continuación)

• El segundo integrando se puede rescribir como:

• La segunda integral es nula (se demuestra más adelante) y la primera se simplifica:

debe existir un escalar U tal que

en nuestro caso


Demostración de que si V encierra a todas las corrientes, entonces: 0=∫∫∫V

dVJr

0=⋅∇ Jr

( ) JUJUJUrrr

⋅∇+⋅∇=⋅∇

0ˆ =⋅nJS

r

0=×∇ ar

Ua ∇=r

∫∫∫ ⋅∇=V

dVJUr

0

∫∫∫∫∫∫ ⋅=⋅=VV

dVJadVJarrrr0

∫∫∫=V

dVJr

0

Tomando como punto de partida la siguiente igualdad:

Tomando ahora un vector constante arbitrario a

Al ser a arbitrario la única posibilidad para que se verifique la expresión anterior es que:

ya que como el volumen encierra a todas las corrientes no pueden existir componentes normales a su superficie: ello implicaría que la corriente saldría del volumen y, por tanto, no estaría encerrada en el volumen.

( ) ( )∫∫∫∫∫∫∫∫ ⋅∇+⋅∇=⋅=⋅∇VSV

dVJUJUdSJUdVJUrrrr

resulta:


16/01/2008 EyM 5-23

Empecemos por calcular los términos en ax del integrando:


Demostración de: ( )( ) ( )[ ] 0=′′⋅′+′⋅′∫∫∫V

VdrJrrrrrJ rrrrrrrr

( ) ( )[ ] 0=⋅+⋅∫∫∫V

dVJarraJrrrrrr

Para simplificar la nomenclatura demostraremos que si a es un vector constante y arbitrario, y es nulo fuera de V:0=⋅∇ J

rJr

( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] xxzxyx

xxzyxxxxxa

azzJxJyyJxJxxJ

zzyyxxJaJzJyJxxarJaJxaJarraJx

ˆˆˆ2

)ˆˆˆ(ˆˆˆ

++++=

=+++++=+=⋅+⋅rrrrrrrr

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) zx

yx

x

xJzJJzxxzJxzJxzJxzJxz

xJyJJyxxyJxyJxyJxyJxy

xJJxxJxJxJxJx

+=⋅+=⋅∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇

+=⋅+=⋅∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇

=⋅=⋅∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇

rrrrr

rrrrr

rrrrr

ˆˆ

ˆˆ

2ˆ22222

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] xaazJxzyJxyxJxJarraJ

x

ˆˆˆ2rrrrrrrrr

⋅∇+⋅∇+⋅∇=⋅+⋅

observando que:

o sea:


• El resultado anterior se puede generalizar para las otras componentes de

• Integrando al volumen y aplicando el teorema de Gauss:

• Y puesto que , ya que el volumen V contiene a todas las corrientes, todas las integrales se cancelan.

ra

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ] z

y

x

ayJzyxJzxzJz

axJyxzJyzyJy

azJxzyJxyxJxJarraJ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

2

2

2

rrr

rrr

rrrrrrrrr

⋅∇+⋅∇+⋅∇+

+⋅∇+⋅∇+⋅∇+

+⋅∇+⋅∇+⋅∇=⋅+⋅

( ) ( )[ ] ( )( ) ( )∫∫∫∫

∫∫∫∫∫⋅+++⋅+++

+⋅++=⋅+⋅

Syxz

Sxzy

Szyx

V

SdJzyaJzxaJzazSdJyxaJyzaJyay

SdJxzaJxyaJxaxdVJarraJ

vrrrvrrr

vrrrrrrrrr

22

2

ˆˆ

ˆ

0ˆ =⋅nJS

r

( ) ( )[ ] 0=⋅+⋅∫∫∫V

dVJarraJrrrrrr ( )( ) ( )[ ] 0=′′⋅′+′⋅′∫∫∫

V

vdrJrrrrrJ rrrrrrrr


16/01/2008 EyM 5-24


• Habiendo demostrado que para puntos alejados:

• se observa que la dependencia del potencial vector respecto de queda fuera de la integral y, que por tanto, se puede definir una magnitud que sólo depende de la distribución. Esta magnitud recibe el nombre de momento magnético de la distribución de corrientes y se define como:

• El potencial para puntos alejados de la distribución se puede expresar ahora como:

( ) ( ) ( )[ ] rvdrJrrrr

vdrJrAVV

rrrrrrr

rrrr

×⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

′′×′≈′−

′′= ∫∫∫∫∫∫ 2

144 3π

µπµ

( )[ ] ( )2A/m21∫∫∫ ′′×′=

V

vdrJrm rrrr

( ) 34 rrmrA r

rrrr ×

≈πµ

rv


• Una vez conocida una expresión del potencial vector para puntos alejados resulta inmediata la obtención de una expresión del campo magnético:

• donde se ha aplicado que es independiente del punto donde se

calcula el campo y que siempre que no se calcule en el origen,

que por otra parte no es un punto alejado dado que consideramos que el

origen está próximo a la distribución.

03 =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅∇

rrr

rrrmr

( )

( ) ( ) ( ) 33333

3

44

4

rrmm

rr

rrm

rrmm

rr

rrmArB

r

rrr

r

r

r

rr

r

rrr

r

r

r

rrrrr

∇⋅−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅∇−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅∇+∇⋅−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛∇⋅=

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ××∇≈×∇=

πµ

πµ

πµ


16/01/2008 EyM 5-25


• Desarrollado los términos en de la última expresión:

( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+−=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+−=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=∇⋅−=

354333

3333

ˆ34

3ˆ4

1ˆ4

1144

ˆ4

rxm

rrxm

rx

rr

rxm

dxrd

rrr

rxm

rxr

xr

rm

rr

xm

rrxmB

xxxx

xxxmx

rr

r

rrr

r

r

rrv

r

rv

r

rr

r

r

rr

πµ

πµ

∂∂

πµ

∂∂

∂∂

πµ

∂∂

πµ

πµ

xm

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

35

35

35

ˆ34

ˆ34

ˆ34

rzm

rrzmB

r

ym

r

rymB

rxm

rrxmB

zzm

yy

m

xxm

z

y

x

rr

vr

rr

rr

rr

rr

πµ

πµ

πµ

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

⋅= 35

34 r

mr

rrmrB r

r

r

rrrrr

πµ

• Expresión análoga a la de electrostática.

• Trabajando con el resto de componentes:


• El desarrollo anterior presenta la limitación de que el origen debe estar cerca de la distribución. Así no serían utilizables respecto del origen . Pero si se escoge como origen provisional un punto de la distribución o muy próximo a ella, entonces:

• Y con solo trasladar el origen de coordenadas:

OO1

drrr vvv −=1

( ) [ ] ( ) 31

1113

15

1

1111 4

;34 r

rmrArm

rrrmrB ×

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

⋅=

vvvvv

πµ

πµ

( ) ( )[ ]( ) ( )335 4

;34

d

d

dd

dd

rrrrmA

rrm

rrrrrrmrB vv

vvvvvv

v

vv

vvvvvvv

−

−×≈

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−

−

−−⋅=

πµ

πµ

VJv

rv1O

O

1rv

drv

– La condición de punto lejano es ahora:

Vr dedimensiónmáxima>>v


16/01/2008 EyM 5-26

• Su valor es independiente del origen de coordenadas escogido: si llamamos y a los momentos magnéticos de una misma distribución con respecto a los orígenes y , unidos por el vector , resulta:

Momento magnético

• El momento magnético de una distribución caracteriza totalmente la misma desde el punto de vista de campo en puntos alejados.

• Su unidades son Amperios/m2

• La expresión ya vista se puede generalizar sin problemas al caso de distribuciones superficiales y lineales:

∫∫∫∫∫∫ ×=×=×=CS

SV

ldrImdSJrmdVJrmrrrrrrrrr

2;

21;

21

vm1vm2

1O 2ORv

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 222222222222

221211111

21

21

21

21

21

21

mdVrJrdVrJRdVrJr

dVRrJRrdVrJrm

VVV

V

Rrr

V

rrrrrrrrrr

rrrrrrrrr rrr

=×=×+×=

=+×+⎯⎯ →⎯×=

∫∫∫∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫ +=

1O 2ORv

1rv

2rv

Jv

V

Momento magnético de una espira plana

• El momento magnético de una espira plana tiene una interpretación muy simple:

• el producto representa una contribución en la dirección normal de valor igual al área sombreada en la figura superior. Luego su mitad se puede hacer corresponder con el área más oscura.

• Al integrar se van sumando las áreas asociadas con el resto de los diferenciales dando como resultado el área total de la espira.

• Considerando que el producto va en el sentido positivo de la normal:

• Este resultado es válido aunque el origen no esté en el plano de la espira.

dlv

Ovr

dlv

Ovr

r rr d l×

∫ ×=C

ldrImrrr

2

nISm ˆ=r


16/01/2008 EyM 5-27

Regularidad en el infinito

• A pesar de que una simple inspección de las expresiones del potencial vector y del campo magnético podría llevar a pensar en unas condiciones de regularidad en el infinito similares a las de electrostática, esto no es así.

( ) ( )[ ] ( ) rmr

rAmrrmr

rB ˆ4

;ˆˆ34 23

1

×=−⋅=r

rvrr

rrr

πµ

πµ

( ) ( ) 0lim;0lim 112 ==

∞→∞→rrArrB

rr

rrrrrrrr

( ) ( ) ctelim;ctelim 211

3 ==∞→∞→

rrArrBrr

rrrrrrrr

• Pero si una distribución de corrientes estacionarias puede ser encerrada dentro un volumen finito, el campo que generará a grandes distancias será el de un dipolo magnético:

• Luego el comportamiento del campo en el infinito podría describirse como:

• Serán:

( )∫∫∫ ′−

′′=

V rrVdrJA rr

rrr

πµ

4( ) ( )

∫∫∫′

′′−

′−×′=

V

Vdrr

rrrJB 34 rr

rrrrr

πµ

Energía del Campo Magnético Estacionario

Al estudiar el Teorema de Poynting se definió la Energía del Campo Magnético como

( ) ( )∫∫∫ ′′⋅′=Vm vdrHrBW rrrr

21

siendo V la región de existencia de campo magnético, que en general es todo el espacio. Resulta pues conveniente obtener una expresión de la energía en términos de las fuentes de campo, que en general solo se extenderán a regiones limitadas del espacio. Para ello hay que tener en cuenta que:

( ) JABHHAAHHAHAHArrrrrrrr(rrr(rrr

⋅−⋅=×∇⋅−×∇⋅=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ×⋅∇+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ×⋅∇=×⋅∇

( ) ∫∫∫∫∫∫ ⋅+×⋅∇=VVm dvJAdvHAW

rr44 844 76 rr

21

21

0

La primera integral se anula porque con el teorema de Gauss puede transformarse en una integral sobre la superficie del infinito, y teniendo en cuenta el comportamiento asintótico de A como 1/r2 y de H como 1/r3 la integral se anula. Si hubiera densidades superficiales de corriente estas aparecerían de las discontinuidades de H. Queda pues:

∫∫∫∫∫ ⋅+⋅=S sVm dSJAdvJAW

rrrr

21

21


16/01/2008 EyM 5-28

Energía del Campo Magnético Estacionario

Las integrales para obtener la energía habrán de extenderse únicamente a las fuentes.

El potencial vector puede a su vez expresarse en función de las densidades de corriente. Así en el caso de solo densidades volumétricas :

( ) ( )∫∫∫ ′

′′−

′=

Vvd

rrrJrA rr

rrrr

πµ4

y sustituyendo en la integral de la energía resulta:

( ) ( )∫ ∫∫∫∫ ′

′′−

′⋅=⋅=

V VVm dvvdrr

rJrJdvJAW rr

rrrrrr

πµ

821

Sistema de Corrientes Lineales

Una situación práctica frecuente es la de que el campo se genere, voluntaria o involuntariamente, por las corrientes existentes en diversos circuitos próximos.

I1

C1

Ik

Ck

IN

CN

Transformando las expresiones generales para corrientes filiformes, la energía puede expresarsecomo:

∑ ∫∑∫∫∫∫ ⋅=⋅=⋅=k

C kkk

VVmkk

ldAIdvJAdvJAWrrrrrr

21

21

21

Pero: ( ) kSSC kkkk

SdBSdAldA Φ=⋅=⋅×∇=⋅ ∫∫∫∫∫rrrrrr

donde Φk es el flujo de B a través de la espira Ck. Por lo tanto:

∑∑ ∫ Φ=⋅=k

kkk

C kkm IldAIWk 2

121 rr

Es frecuente que las corrientes puedan considerarse filiformes en cuyo caso se tiene lo que se denomina un sistema de corrientes lineales. En general se tendrán N circuitos Ck y por cada uno de ellos circulará una corriente total Ik


16/01/2008 EyM 5-29

Coeficientes de Inducción

Usando la segunda expresión de la energía, para el sistema de conductores, resulta: ( ) ( ) ∑∑ ∫ ∫∫ ∫ ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡′−

⋅=′

′−′⋅

=′

k lC C

lklkV Vm

k l rrldldIIdvvd

rrrJrJW rr

rr

rr

rrrr

πµ

πµ

421

8Puede verse que los términos entre corchetes solo dependen de la geometría y de los sentidos de circulación de las corrientes pero no de los valores de estas. Reciben el nombre de coeficientes de inducción Lkl .

∫ ∫ ′−⋅

=k lC C

lkkl rr

ldldL rr

rr

πµ4

Cuando k=l los coeficientes se denominan de autoinducción y de inducción mutua en caso contrario. La expresión se conoce con el nombre de fórmula de Neumann. La energía será:

∑∑=k l

kllkm LIIW21

Y por comparación : ∑=Φl

kllk LI

Para el caso de un solo conductor: 2

21

21 LIIWm =Φ= LI=Φ

Energía de Formación y de Interacción

Para el caso de un solo conductor: 2

21

21 LIIWm =Φ= LI=Φ

Y la podemos considerar como la energía de formación de la distribución de corriente.

En el caso de dos circuitos la energía será:

1221222211

21

22222112122111

21

21

21

21

21

21

21

LIILILI

LILIILIILIWm

++=

+++=

En este caso los dos primeros términos corresponden a las energías de formación de las distribuciones de corriente y el tercero a la energía de interacción entre estas.


16/01/2008 EyM 5-30

Propiedades de los Coeficientes de Inducción

1- Los coeficientes de inducción son parámetros meramente geométricos y dependientes del medio, cuyo valor no depende de las corrientes que circulan tal como puede verse de su expresión .

2- Los coeficientes de inducción mutua son simétricos: Lij = Lji tal como puede verse de su expresión .

3- En general el cálculo de los coeficientes implica la realización de integralescomplicadas (integración de potenciales fuera de los ejes de simetría aun en elcaso de que esta exista).

4- Los coeficientes de autoinducción de corrientes filiformes son infinitos (las integrales son impropias). Ello implica que la energía asociada con un sistema de corrientes filiformes es infinita, lo que indica que las corrientes filiformes son un modelo matemático sin realidad física (se necesita infinita energía para hacer pasar una corriente finita por un conductor de sección transversal nula). Sin embargo la energía de interacción entre corrientes (asociada con los coeficientes de inducción mutua) es finita aunque estas sean filiformes.

Problema

Dos espiras cuadradas, una de lado L1 y otra de lado L2, y situadas en los planos x=0 y z=0 respectivamente, soportan unas corrientes I1 e I2 con los sentidos de circulación de la figura. Calcule aplicando la ley de Neumann y razonando sobre ella, el coeficiente de inducción mutua entre las espiras. Si la espira pequeña puede girar según el eje OY, diga, razonando la respuesta, cuál sería la posición de mínimo de energía.

x

y

z

L1

L2

I1

I2

(1)

(1)(2)(2)

(3)(3)

(4)(4)

La ley de Neumann es: ∫ ∫ −⋅

=1 2 21

2112 4 C C rr

ldldL rr

rr

πµ

Los tramos 2 y 4 de la espira 1 son perpendiculares a todos los tramos de la espira 2 y su contribución a la integral es cero. Queda:

04

4

3 311 31

3

0

43

0

211

0

43

0

2112

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡++++

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+++=

∫ ∫∫∫ ∫∫

∫ ∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫

πµ

πµL

ya que: ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ −=−=3 33 11 31 1

,,

La posición de mínimo de energía es con las dos espiras coplanares y sus corrientes circulando en sentido contrario. Equilibrio -> Wint máxima021 ≤⋅ ldld

rr


16/01/2008 EyM 5-31

Cálculo de la Autoinducción

El coeficiente de autoinducción puede obtenerse de la energía:

∫∫∫ ⋅==V

m dvHBII

WLrr

22

12

Considerando una distribución finita de corriente habrá campo magnético, y energía asociada al mismo, tanto en el interior como en el exterior de la distribución.

∫∫∫∫∫∫ ⋅+⋅=+=+=ei VV

emimei dvHB

IdvHB

IIW

IW

LLLrrrr

222,

2, 1122

A cada una de estas energías se asocia un coeficiente de autoinducción que se denominan respectivamente coeficiente de autoinducción interna y coeficiente de autoinducción externa.

Cálculo de la Autoinducción

Por otra parte la energía y L pueden obtenerse también a partir del flujo.

( ) ( ) Φ′⋅=⋅′=′⋅′=⋅ dldHBdSHldldSdHBldvHBrrrrrrr ˆ

Por tanto [ ] ( )∫∫∫∫ ∫∫∫∫ Φ′=Φ′⋅=⋅=′ SS lVm dlIdldHdvHBW

21

21

21 rrrr

En los tubos de flujo exteriores a la distribución (Se) la corriente encerrada es la corriente total pero no así en los interiores (Si). Por tanto:

( ) ( ) ( )I

dlII

dlII

dlII

dvHBII

WL eSSSSV

m

iei

Φ+Φ′=Φ′=Φ′=⋅== ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ + 22222

11112 rr

Considerando un tubo de flujo, cada elemento de volumen puede considerarse como: dv = dS dl´ donde dl´ está alineado con el campo B y dS es el área transversal del tubo de flujo. Se puede entonces poner:

donde I(l´) es la corriente encerrada dentro del tubo de flujo elemental l´.

dSdl´

Br

Jr


16/01/2008 EyM 5-32

Autoinducción de un Hilo Conductor

El coeficiente de autoinducción puede obtenerse a partir de la energía como:

2

2IWL m=

Considerando un hilo conductor rectilíneo de radio a y supuesta una distribución uniforme de la corriente habrá campo magnético, y energía asociada al mismo, tanto en el interior como en el exterior del hilo.

a

Z

I ϕπρ

ˆ2

IHext =r

∫ ∫∫∞

=

∞

=∞==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

a aext dddI

ImL

ρ

π

ϕ ρρ

πµρϕρ

πρµ

221 2

0

2

2

En el exterior:

A cada una de estas energías se le asocia un coeficiente de autoinducción que se denominan respectivamente coeficiente de autoinducción interna y coeficiente de autoinducción externa.

En una longitud infinita de conductor la energía almacenada será infinita por lo que se estudian la energía y autoinducción por unidad de longitud.

Autoinducción Interna

ϕρπ

ˆ2 2aIHi =

r

πµρϕρρ

πµ

ρ

π

ϕ 16221 2

0

2

0

2

2int Idd

aI

metroW a

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫ ∫= =

mHenrios

Im

W

mL

πµ

8

2

2

intint ==

En el interior:

Puede observarse como un hilo conductor tiene una autoinducción interna porunidad de longitud que puede dar lugar a una impedancia importante en fenómenos de variación rápida con el tiempo.

( )MHzfLX 100101058104

88

70

int =Ω=⋅⋅==== −−

πωπ

πωπ

µωω


16/01/2008 EyM 5-33

Autoinducción Cable Coaxial

Sea un cable coaxial de conductor interior de radio a y conductor exterior de radio b y espesor despreciable. Por unidad de longitud la energía almacenada en el conductor interior dará lugar a una autoinducción interna igual a la calculada para el hilo. Por otra parte ni en el conductor exterior (de espesor despreciable) ni en la región exterior al mismo hay campos ni en consecuencia energía almacenada ni contribución a la autoinducción .

El campo en la región entre conductores es: ϕπρ

ˆ2

IH =r

∫ ∫∫= =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

b

a

b

aext

abdddI

ImL

ρ

π

ϕ πµ

ρρ

πµρϕρ

πρµ ln

2221 2

0

2

2

y por tanto la autoinducción externa por unidad de longitud:

– I

I

ba

Z

I La autoinducción interna del conductor interior por unidad de longitud será igual que la del hilo: µ/8π.

( )

( ) ( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−−

−=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−= ∫ ∫ ∫= = =

442224222

1

0

2

0

22

222int

41ln

2

211

bcbccbcc

bc

dzddcbcIm

Lz

c

b

πµ

ρϕρρρπ

µρ

π

ϕ

Si el conductor exterior tuviese un espesor c-b su autoinducción interna por unidad de longitud seria:

b

a

Autoinducción Cable Coaxial

El valor de la autoinducción también puede obtenerse a partir del flujo.

Para el cable coaxial la autoinducción externa por unidad de longitud se obtiene del flujo a través de la sección Se indicada en la figura.

∫ ∫∫= =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Φ

1

0ln

222z

b

a

b

a abIdIdzdI

πµ

ρρ

πµρ

πρµ

ρ

Y por tanto la autoinducción por unidad delongitud correspondiente resulta:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Φ=

ab

ImL extext ln

2πµ

Si

De forma análoga se obtiene la autoinducción interna del conductor interior a partir del flujo a través de Si:

( ) ∫ ∫∫∫∫ = ===⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Φ′=

1

0 0

340 22

2

22 82211

z

aa

Si da

dzda

Ia

II

dlII

Li π

µρρπµρρ

πµ

ππρ

ρ

dρ

z=0 z=1

Se


16/01/2008 EyM 5-34

Línea Bifilar de Conductores Gruesos

La distribución de la corriente estacionaria en el interior de los conductoresserá uniforme. El potencial vector podrá obtenerse como la superposición de los creados por cada uno de los dos hilos. Por tanto se comenzará calculando el potencial vector creado por un hilo de radio a.Aplicando simetría resultan ∂ /∂z =∂ /∂ϕ = 0. Solo hay componente ϕ de B y por tanto:

ϕ∂ρ∂ϕϕ ˆˆ zAABB −=×∇==

rr

Por tanto integrando se obtiene: CdBAz +−= ∫ ρϕ

Para el interior del hilo será: 12

2

12 42C

aICd

aIAz +−=+−= ∫ π

ρµρπ

ρµ

Para el exterior será: 22 ln22

CICdIAz +−=+−= ∫ ρπ

µρπρµ

Las constantes C1 y C2 se obtienen haciendo que el potencial en la superficie ρ = a sea un valor constante A0. Resultan:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>−−

<−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=aAaI

aAa

I

Az

ρρπ

µ

ρρπ

µ

,,ln2

,,14

0

02

2

ρ

Az

BϕI

πµ

πµ

44 0112

2

0IACC

aIaA +=⇒+−=

aIACCaIA ln2

ln2 0220 π

µπ

µ+=⇒+−=

Linea Bifilar de Conductores Gruesos

Sea la línea bifilar formada por dos conductores iguales de radio a y separados una distancia d como se indica en la figura.El cálculo de la energía almacenada por unidad de longitud a partir de la integración de B·H resulta cuanto menos tediosa. Sin embargo puede abordarse a partir de la integración de A·J

x

y

zd

a

1 2

Si el potencial en la superficie del conductor 1 se toma arbitrariamente como A0 su potencial en cualquier punto vale:

La distribución de la corriente estacionaria enlos conductores es uniforme por lo que el potencial puede obtenerse a partir del creado por cada uno de los conductores aislados.

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>−−

<−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=aAaI

aAa

I

Az

101

102

21

1

,,ln2

,,14

ρρπ

µ

ρρπ

µ

siendo ρ1 la distancia del punto considerado al eje del conductor 1.


16/01/2008 EyM 5-35


En cuanto al potencial creado por el conductor 2 se obtiene de forma análoga ytomando, también arbitrariamente, potencial cero en este caso en su superficie.Resulta:

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=aaI

aa

I

Az

22

22

22

2

,,ln2

,,14

ρρπ

µ

ρρπ

µ

x

y

z

d

a ρ1 ρ2 ϕ

1 2

En un punto arbitrario del conductor 2, su distancia al eje del conductor 1 es: ϕρρρ cos2 2

22

21 dd ++=

Por tanto el potencial vector en dicho punto será:

( ) ( )0

222

22

2221

cos2ln21

4A

dda

aIAAA zzz −

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

++−−=+=

ϕρρρ

πµ

La densidad de corriente en el conductor 2 vale Jz=I/πa22 por lo que su

contribución a la inductancia será:

( ) ∫ ∫ ∫ ∫= = = ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

++−−=⋅=

V z

adzdd

IaA

dda

aadvJA

IL

1

0 0

2

0 2220

222

22

22

2222

2 cos2ln21

41

ρ

π

ϕρϕρ

πϕρρρ

πµrr


La integral en z da la unidad. La integral restante del tercer término resulta:

∫ ∫∫ ∫ = == = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

++−

aadd

ddaddd

dda

0

2

0 2

2

0

2

0 2222cos21lnln2

cos2ln2

ρ

π

ϕρ

π

ϕρϕρϕρρ

ρϕρϕρρ

Aquí la integral del segundo término es nula. Por ello resulta la siguiente autoinducción por unidad de longitud:

( )

IA

ada

IaAa

ad

aaa

aL 0

2

20

2

2

42

222 ln

21

81

22

2ln2

4242

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−=

ππµπ

πππµ

Procediendo de forma análoga con el conductor 1 se obtiene:

( )

IA

adL 01 ln

21

81

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

ππµ

Por tanto: ( ) ( )2

21 ln28

2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=+=

adLL

mL

πµ

πµ

Se ve claramente que el primer término es la autoinducción interna y por tanto el segundo es la autoinducción externa por unidad de longitud.


16/01/2008 EyM 5-36

Linea Bifilar usando el Flujo

Para integrar el flujo a través de la superficie indicada en la figura (de longitud 1 en z) se superpone el flujo de cada uno de los dos hilos.

( ) ( )

aaddzdI

ILL

mL

z

ad

aext −

=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+= ∫ ∫=

−

=lnˆˆ

212

1

0

21

πµρϕϕ

πρµ

ρ

x

y

za

1 2

d Para d>>a:2

ln2

ln ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=≅

ad

ad

mLext

πµ

πµ


A partir del potencial vector con solo componente z se puede obtener el flujo como líneas de Az constante.

4 2 0 2 42

1

0

1

2

B

Línea de integracióndel flujo

Zona de la que no seha tenido en cuentala energía almacenada

En la figura puede observarse como las líneas de flujo cortan la superficie de los conductores por lo que la autoinducción obtenida a partir del flujo no representa exactamente la autoinducción externa.


16/01/2008 EyM 5-37

8 6 4 2 0 2 4 6 8

1

0

1

B


Sin embargo cuando la separación entre conductores es mucho mayor que el radio de los mismos las líneas de flujo se ajustan más a la superficie de los conductores como puede verse en la figura adjunta.

Por tanto se comete menos error al obtener la autoinducción por el método del flujo.


La figura compara los valores normalizados de autoinducción (πL/µ) en función de la relación d/a para las expresiones exacta (Le) y aproximada (La) por unidad de longitud.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

2

4

Le( )d

La( )d

d

El error relativo cometido al usarla expresión aproximada es menordel 5% para d/a > 10. 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0

5

10

15

20

25

30

e( )d

d

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

ad

adLe lnln

2

2

πµ

πµ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=a

adLa lnπµ


16/01/2008 EyM 5-38

a b

Autoinducción de un Solenoide Toroidal

Sea un arrollamiento sobre un toroide de sección transversal rectangular como el indicado en la figura de radios a y b y altura d. El arrollamiento es de N espiras totales y la corriente que circula es de I amperios.

a bd

Por simetría y aplicando la regla de la manoderecha el campo solo puede tener componente ϕ en cada punto. Además su valor debe ser constante en cualquier circunferencia ρ = cte.

Aplicando el teorema de Ampere a circunferencias de radios mayores que b o menores que a se ve que el campo es nulo en el exterior del toroide. En el interior se obtiene:

( ) ϕπρ

πρρϕ ˆ2

2 NIHNIH =⇒=⋅r

( )ϕρϕ ˆHH =r

ρ

El flujo en cada espira es:

abNIddzdNId

z

b

aes ln2

ˆˆ20 π

µρϕϕπρ

µρ

=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Φ ∫ ∫= =

El flujo de las N espiras será n veces el anterior. La autoinducción por tanto es:

abdN

INL es ln

2

2

πµ

=Φ

=

Superficie de integración para el Cálculo de Flujo del Solenoide

-1-0.5

00.5

1

-1

-0.5

0

0.5

10

2

4

6

8

10

12

14En un solenoide cilíndrico de N espiras el flujo es N veces el de una espira.

Suponiendo el campo constante en el interior del solenoide será.

NanIB ⋅=Φ 2πµ

2anNI

L B πµ=Φ

=


16/01/2008 EyM 5-39

Problema

Sean dos espiras cuadradas de lado L metros, situadas la primera con el centro en el origen y contenida en el plano x=0, y la segunda con centro en el punto P (r,θ,ϕ) y contenida en un plano z=cte., tal como se muestra en la figura. Calcular el coeficiente de inducción mutua entre ambas espiras para r>>L.

Consideramos la segunda espira en el campo lejano de la primera, que calcularemos a partir de su momento dipolar. Además se considera que el campo en toda esta espira es igual a su valor en P. Por tanto el flujo del campo de la 1ª en la 2ª será:

( ) ( ) 211 ˆ

2,1LPBdxdyzPB zB =⋅=Φ ∫∫

rL

L

LL

P

x

y

z

θ

ϕ

r1

2

xILm ˆ2=r( )

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

⋅= 351

34 r

mr

rrmBrrrrr

πµ

ysensenxsenzr ˆˆcosˆcosˆ ϕθϕθθ ++=

0ˆ =⋅ zmr

ϕθ cosˆ msenrm =⋅r

Por tanto: 5

22

1coscos3

4 rsenrILB z

θϕθπµ

=

3

4 coscos342,1 r

senILB

ϕθθπµ

=Φ 3

4

12 4coscos32,1

rsenL

IL B

πϕθθµ

=Φ

=

Inducción Mutua entre 2 Espiras

Calcular la inducción mutua entre dos espiras filiformes coaxiales de radios a y b separadas una distancia d como indica la figura.

∫ ∫ −⋅

=1 2 21

2112 4 C C rr

ldldL rr

rr

πµ

z

a

b

d

C2

C1y

x1ldr

2ldr

21 rr rr−

$ϕ1

$ϕ2

ϕθ

Puede verse fácilmente que:

θθϕϕϕθϕϕθϕϕ cosˆˆˆˆ

212122

11 dabddabdldldbdldadld

=⋅=⋅⇒⎭⎬⎫

== rr

r

r

θcos222221 abbadrr −++=−rr

Por tanto:

∫

∫ ∫

=

= =

−++=

=−++

=

π

θ

π

ϕ

π

θ

θθθµ

θθθϕ

πµ

0 222

2

0

2

0 22212

cos2cos

cos2cos

4

abbaddab

abbaddabdL

Que o bien se expresa en términos de integrales elípticas o se integra numéricamente.

La inducción mutua, por la fórmula de Neumann es:


16/01/2008 EyM 5-40

Inducción Mutua entre 2 Espiras

La figura representa la inducción mutua normalizada (L12/µa) en función de laseparación entre espiras normalizada al radio de la mayor (d/a) y tomandocomo parámetro la relación entre sus radios (b/a).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

2

4

6

L12( ),1.01 d

L12( ),1.5 d

L12( ),2 d

dd/a

b/a=1.01b/a=1.5

b/a=2

La inducción mutua siempre es máxima cuando las espiras son coplanares(d=0). Si las dos espiras son de radios muy parecidos (b/a~1) la inducción mutua crece muy rápidamente cuando se hacen coplanares (d=0).

Autoinducción de la Espira

La autoinducción de una espira circular de radio r formada por un conductor de radio a, como se indica en la figura, puede obtenerse a partir del flujo.

r 2a

El campo creado por esta espira de radio a puede obtenerse aproximadamente como el creado por una espira filiforme a lo largo de r.

El coeficiente de autoinducción externo puede pues aproximarse por el coeficiente de inducción mutua entre dos espiras filiformes coplanarias de radios r y r-a. De acuerdo con lo visto anteriormente será:

( )( ) ( )∫ = −−−++

−≅π

θ θ

θθµ0 222 cos2

cos

arrarrd

darrLext

Una aproximación a la anterior expresión, obtenida expresándola en términos de integrales elípticas y aproximándolas para valores grandes de r/a, es:

rLin ππµ 2

8≅Una aproximación para la autoinducción interna será:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛≅ 28ln

arrLext µ


16/01/2008 EyM 5-41


La figura adjunta representa la autoinducción externa normalizada (L11/µa) en función del radio normalizado (r/a) para las dos expresiones anteriores.

1 10 1001

10

100

1000

L11( )r

L11a( )r

rr/a

L11/µa


El error cometido al tomar la expresión aproximada en lugar de la exacta serepresenta en la siguiente figura:

0 20 40 60 80 1000

5

10

15

20

e( )r

rr/a

%

El error cometido al tomar la expresión aproximada en lugar de la exacta es menor del 5% para r/a > 15.


16/01/2008 EyM 5-42

Efectos Mecánicos

Se recordará la expresión de la fuerza de Lorentz (fuerza del campo electromagnético sobre una carga q en movimiento, con velocidad v) dada por:

( )BvEqFrrrr

×+=Si en un conductor se tienen N cargas por unidad de volumen que constituyen una corriente de densidad J, la fuerza sobre la corriente por unidad de volumen será:

( ) dvBJdSdlBldSdtNqBl

dtdlNqBvNqFd

rrrrrrr×=×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=×=×= ˆˆ

Por tanto la fuerza sobre una distribución de corrientes J en el seno de un campo B es:

∫∫∫ ×=V

dvBJFrrr

En el caso de que la corriente sea filiforme será: ∫ ×=C

BldIFrrr

Por la identificación realizada entre corrientes elementales y dipolos magnéticos, teniendo en cuenta la analogía con electrostática, la fuerza vendrádada por: y el par por:( )BmF

rrr⋅∇= BmT

rrr×=

Completando la analogía, la energía de interacción entre las corrientes de momento m y un campo B será: y la fuerza:BmWm

rr⋅−=int, ( )int,mWF −∇=

r

dSdl

rv

VrJ

rB

Ejemplo 1

Fuerza por unidad de longitud entre dos corrientes filiformes paralelas e indefinidas.

La corriente I1 crea un campo: ( )rurI

rIB rrr

×== 1211

1 2ˆ

2 πµϕ

πµ

I1I2

rr

siendo u1 un vector unitario en la dirección de la corriente I1.

La fuerza sobre un elemento de I2 será:

1222122 BudlIBldIFdrrrrr

×=×=

La fuerza unitaria será por tanto:

( ) ( ) ( )

( ) ( )ruurIIruu

rII

ruuururIIruu

rIIBuI

dlFdf

ˆ22

22

1221

12221

121

0

2221

12221

1222

rrrrr

rrrr876 rrrrrrrr

r

⋅−=⋅−=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅−⋅=××=×==

πµ

πµ

πµ

πµ

Si las dos corrientes llevan el mismo sentido la fuerza será de atracción, mientras que si llevan sentidos contrarios la fuerza será de repulsión.


16/01/2008 EyM 5-43

IE

R

Ejemplo 2

Calcular la fuerza entre una corriente IH por un hilo rectilíneo indefinido y una IE por una espira circular situada en un plano que contiene al hilo.

IH

d

rx$ϕ

α

$u

dlr

Para calcular la fuerza es más fácil obtener elcampo que crea el hilo en los puntos de la espira que lo contrario. Será: ϕ

πµ ˆ2 rIB H

H =r

La fuerza sobre un elemento de corriente de la espira será:

( ) urRdIIRd

rIIBldIFd EHEH

HE ˆ2

ˆˆ2 π

αµϕααπ

µ=×−=×=

rrr

Pero: αcosRdr += zsenxu ˆˆcosˆ αα +=

x

z

La componente z de la fuerza, que debe anularse por simetría:

( ) 0cosln12cos2

2

0

2

0=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−=

+= ∫ =

ππ

αα

πµ

ααα

πµ Rd

RRII

RddsenRIIF EHEH

z

En cuanto a la componente x: ∫ = +=

π

α ααα

πµ 2

0 coscos

2 RddRIIF EH

x

Ejemplo 2

Haciendo el cambio de variables tg(α/2)=x y descomponiendo en fracciones se obtiene:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−=

+∫ = 22

2

012

coscos

Rdd

RddR π

αααπ

α

Por tanto: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−=

221

RddIIF EHx µ

Si la separación d es mucho mayor que el radio de la espira d>>R, esta podráconsiderarse como un dipolo: ϕπ ˆ2

EIRm =r

( ) 2

222 ˆ

2ˆ1

2ˆ

2ˆ

dxRIIx

xxRII

xIIRBmF EH

dx

EH

dx

HEH

µ∂∂µϕ

πµϕπ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅∇=⋅∇=

==

rrr

Pero si en Fx se desarrolla en serie:

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−

−−

L2

2

2

222

211111 2

1

21

dR

ddR

dRd

2

2

2

2

221111

dRII

dR

ddIIF EH

EHxµµ −≅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−= L

que coincide con el resultado anterior.


16/01/2008 EyM 5-44

Ejercicio

Un cable coaxial tiene un conductor interior cilíndrico de radio a y uno exterior de radio b y espesor despreciable como se indica en la figura. Entre ambos hay un dieléctrico de permitividad ε y permeabilidad µ0, el conductor exterior está a masa, el interior a potencial V voltios y circula una corriente de I amperios en sentidos contrarios en cada conductor y distribuida uniformemente en cada uno de ellos.

a

b

IV

I

z

Si los conductores son eléctricos perfectos calcule y en la región entre conductores a < ρ < b. (2p).

Er

Hr

Por simetría el potencial solo depende de ρ por lo que

01=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=∆ρφρ

ρρφ A=

∂∂ρφρ BA += ρφ ln

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=ρ

φ b

ab

V lnln

Por tanto el campo será:Er

ρρ

ρρ

ρρφφ ˆ1

lnˆˆ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=−=∂∂

−=−∇=

ab

VAEr

ContHr

Por otra parte, aplicando Ampere, el campo resulta:Hr ϕ

πρˆ

2IH =

r

Calcule el vector de Poynting y su flujo a través del plano z=0 en la región a < ρ < b. (2p)

El vector de Poynting se define como HEPrrr

×=

( ) z

ab

VII

ab

VHEP ˆln2

ˆˆ2

1

ln 2ρπϕρ

πρρ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=×=rrr

Por lo tanto el flujo pedido será:

( ) VId

ab

VIddzHESdPb

a

b

a

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⋅×=⋅ ∫∫ ∫∫∫= =

2

2

0

2ln2

ˆρ

ρρππ

ϕρρρ

π

ϕ

rrrr

Calcule la densidad superficial de carga en el conductor interior. (2p)

Obtenga la capacidad por unidad de longitud del cable. (2p)


16/01/2008 EyM 5-45

Cont

La densidad de corriente en la región pedida es:

Si la región h < z < h+L, a < ρ < b, 0 < ϕ < α se rellena con un material de conductividad σ calcule el valor de su resistencia. (2p)

ρρσσ ˆ

ln ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

==

ab

VEJrr

La corriente total es por tanto:⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⋅= ∫ ∫∫∫+

= =

abVLdzad

aab

VSdJILh

hz lnˆˆ

ln0

ασϕρρσα

ϕ

rr

Y la resistencia será Lab

IVR

ασ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

==ln

Ejercicio

Una línea biplaca está formada por dos cintas metálicas, planas, paralelas, de espesor despreciable, anchura w, longitud indefinida y separadas d. Entre ambos hay un dieléctrico de permitividad ε0 y permeabilidad µ0, el conductor superior está a masa, el inferior a potencial V voltios y circula una corriente de I amperios en sentidos contrarios en cada conductor y distribuida uniformemente en cada uno de ellos como se indica en la figura. Suponiendo w>>d pueden despreciarse los efectos de borde.

x

y

z

d

w

I I

V

Si los conductores son eléctricos perfectos calcule y en la región entre conductores (aproxime las placas por hojas indefinidas de carga y de corriente). (2p)

Calcule el vector de Poynting y su flujo a través del plano z=0 en la región –w/2 < x < w/2, -d/2 < y < d/2. (2p)

Obtenga la capacidad por unidad de longitud del cable (C). (1p)Calcule la energía del campo magnético almacenada por unidad de longitud en la región, la autoinducción por unidad de longitud de la línea (L) y el producto LC. (3p)


16/01/2008 EyM 5-46

Cont.

Si la región h < z < h+L, –w/2 < x < w/2, -d/2 < y < d/2 se rellena con un material de conductividad σ calcule el valor de su resistencia (R) así como el producto RC. (2p)

Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario 16/01 ...

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