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ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIS 1532 (4)

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMOFIS 1532 (4)

Ricardo RamırezFacultad de Fısica, Pontificia Universidad Catolica, Chile

2do. Semestre 2010

Ricardo Ramırez Facultad de Fısica, Pontificia Universidad Catolica, Chile


Electrostatica, Trabajo

Energıa potencial

F




TrabajoCalculemos el trabajo realizado para mover una carga q en contradel campo electrico, desde A a B:

~F = −q~E W =

∫ B

A

~F · d~l = −q∫ B

A

~E · d~l

A

B

dl

E




Tomemos por ejemplo el campo debido a una carga q′, ~E = kq′ ~rr3 .Entonces el trabajo para mover una carga q de A a B es:

W = −q∫ B

Akq′

~rr3 · d~r = kqq′

[1rB− 1

rA

]

A

B

q’

q




Si el punto A esta en infinito el trabajo por unidad de carga es:

w = −∫ B

Akq′

~rr3 · d~r = k

q′

rB(1)

A

B

q’

q



Electrostatica, Propiedad del campo electrico

Propiedad del campo electricoEl campo electrico tiene una dependencia espacial de la forma:

~rr3 = −∇1

r

Ası por ejemplo:

~E =1

4πεo

∫ρ(r ′)(~r −~r ′)|~r −~r ′|3

d3r ′ = − 14πεo

∇∫

ρ(r ′)|~r −~r ′|

d3r ′

Esto nos muestra que ~E se puede escribir como el gradiente de unacantidad escalar. Por lo tanto:

∇× ~E = 0



Electrostatica, Propiedad del campo electrico

Alternativamente:Se puede demostrar facilmente que el rotor del campo electrostaticoes cero:

∇× ~E = 0

Esto implica que ~E puede ser escrito como:

~E = −∇V , ya que el rotor de un gradiente es cero



Electrostatica, Potencial electrostatico

Potencial electrostaticoLa cantidad V se llama potencial electrostatico.Si aplicamos esto al calculo del trabajo realizado para mover unacarga unidad q = 1 de A a B en presencia de un campo electrico:

W = −∫ B

A

~E · d~l =

∫ B

A∇V · d~l = VB − VA

Es decir el trabajo realizado para mover la carga q = 1 entre A y B esigual a la diferencia de potencial entre estos puntos.




Ya que

~E = −∇V y ~E = − 14πεo

∇∫

ρ(r ′)|~r −~r ′|

d3r ′

podemos concluir que el potencial se puede escribir como:

V (~r) =1

4πεo

∫ρ(r ′)|~r −~r ′|

d3r ′ + const.

Donde la constante es un potencial de referencia. En el caso decargas ubicadas en una region finita del espacio, el potencial eninfinito es cero, y se toma como el potencial de referencia, y por lotanto la constante se toma igual a cero.




Si se trata de distribuciones de cargas en una superficie σ o en una lınea λ,simplemente se reemplaza ρ(~r ′)d3r ′ por σ(~r ′)d2r ′ y λ(~r ′)dr ′,respectivamente.Para una carga puntual q el potencial a la distancia r desde ella esta dadopor la ecuacion (1), i.e.:

V =1

4πεo

qr

Ahora si la carga puntual q esta ubicada en la posicion ~r ′, el potencial en laposicion ~r es:

V (~r) =1

4πεo

q|~r −~r ′|

Para un conjunto de cargas puntuales q1, q2, . . . qn ubicadas en lasposiciones ~r1,~r1, . . . ,~rn, el potencial es:

V (~r) =1

4πεo

n∑i=1

qi

|~r −~ri |




Ejemplo 1Calcular el potencial en el eje de un anillo con una carga quniformemente distribuıda. Calcular el campo electrico.

dl

z

R

h




Aquı debemos utilizar:

V (~r) =1

4πεo

∫λ(~r ′)dr ′

|~r −~r ′|

donde la distribucion lineal de carga es λ(~r ′) = const. = λ = q/(2πR).

El vector ~r indica el punto donde se mide el potencial, es decir,~r = hz. El vector ~r ′ indica un punto del anillo, |~r ′| = R, y dr ′ unelemento de arco del anillo. Entonces:

|~r −~r ′| =√

h2 + R2

y el potencial es:

V =1

4πεo

∫λ√

h2 + R2dr ′ =

14πεo

λ√h2 + R2

∫dr ′

=2πR4πεo

λ√h2 + R2

=λR

2εo√

h2 + R2




Ejemplo 2Calcular el potencial de un disco de radio R uniformente cargado conuna densidad de carga σ

z

h

drr




Usamos la expresion obtenida para el anillo en en Ejemplo anterior. Paraesto tomamos un anillo de radio 0 < r < R de espesor dr . Este anillo tieneun area igual a 2πrdr y por lo tanto su carga es σ2πrdr y la carga por unidadde largo es:

dλ =σ2πrdr

2πr= σdr

Reemplazando en la expresion para el anillo (con R = r ), tenemos:

dV =rσdr

2εo√

h2 + r 2

Luego, con s = r 2

V =σ

2εo

∫ R

0

rdr√h2 + r 2

=σ

4εo

∫ R2

0

ds√h2 + s

=σ

4εo

∫ R2

0

dds

[2√

h2 + s]

ds =σ

2εo

[√h2 + R2 − h

]




Si hacemos R →∞ tendrıamos el potencial de un plano infinito. Sinembargo en este lımite obtenemos∞, por que este caso el potencialno converge a cero a grandes distancias. Lo que podemos calculares la diferencia de potencial, debido al plano infinito, para dos valoresh distintos, i.e. h1 > h2. Ası obtenemos:

∆V =σ

2εolım

R→∞

[√h2

1 + R2 − h1 −√

h22 + R2 + h2

]

=σ

2εolım

R→∞

R

√1 +

(h1

R

)2

− h1 −

√1 +

(h2

R

)2+ h2

=

σ

2εolım

R→∞

[R{

1 +12

(h1

R

)2

+18

(h1

R

)4

+ · · ·}

−h1 − R{

1− 12

(h2

R

)2

− 18

(h2

R

)4

+ · · ·}

+ h2

]=σ(h2 − h1)

2εo




Ejemplo 3Calcular el potencial de un plano infinito cargado uniformemente conuna densidad de carga σ

σ

Usando E = En = σ/(2εo), obtenemos el potencial entre lasdistancias h1 > h2, desde el plano.

V2 − V1 = −∫ h2

h1

σ

2εodx =

σ(h2 − h1)

2εo




Ejemplo 4Calcular el potencial de una esfera conductora de radio R y carga Qen los puntos A y B.

B

A

Q




El campo electrico para r < R es cero, por lo tanto de ~E = 0 = −∇V ,obtenemos VA = const.

Q

R A

B

r

El campo E en el punto B se obtiene por la ley de Gauss aplicada ala esfera de radio r :

4πr2E =Qεo

→ E =Q

4πεor2




El potencial entre el punto B e infinito es:

VB − V∞ = VB = −∫ r

∞

Q4πεor2 dr =

14πεo

qr

El potencial en la superficie de la esfera es:

VR =1

4πεoQR

y este es el potencial en cualquier punto en el interior de la esfera.




Unidades. Repaso

Unidad de campo electrico: [N/C] = [V/m]

Unidad de energıa y trabajo: [N-m] = [J] = [C-V]

Unidad de potencial: [V] = [J/C] = [N-m/C]

Unidad de energıa y trabajo (NO MKS): [eV]

1[e] = 1.6×10−19 [C]

1[eV] = 1.6×10−19 [J]




Energia potencial electrostatica

El potencial es el trabajo que realiza un agente externo paramover una carga unidad entre dos puntos.Es igual a la energıa potencial por unidad de carga que adquiereel campo electrico.Ası la energıa potencial de una carga q es U = qV donde V esel potencial en el punto donde se encuentra q.




Ejemplo 5En un proceso de fision nuclear un atomo de uranio 235 U235 capturaun neutron y se separa en un atomo de Bario (Ba) y uno de Cripton(K). Suponga que despues de la fision estos nucleos estanseparados una distancia r = 14.6× 10−15 m. Calcule la energıapotencial en [eV].

U + n Ba + K

Z=92 Z=56 Z=36




LINEAS DE FUERZAS Y POTENCIAL

• Las lıneas de fuerza cortan normalmente a las superficiesequipotenciales.• Las lıneas de fuerza apuntan en la direccion en que decrece elpotencial.

−q

A

πεo4

q

rA

1V =

q

A

πεo4

q

rA

1V =

EE




Potencial de una esfera uniformemente cargadaCalculamos el potencial a partir de las expresiones del campoelectrico que ya conocemos:

~E = kQrR3 r r < R

~E = kQr2 r r > R

y usamos:dV = −~E · d~r , donde d~r = r dr




Por ejemplo para calcular el potencial en un punto B dentro de la esfera (r < R),usamos la definicion de potencial:

V = VB − V∞ =

∫ ∞

B

~E · d~l =∫ ∞

rEdr

=

∫ R

rEdr +

∫ ∞

REdr

=

∫ R

rk

QrR3

dr +∫ ∞

Rk

Qr2

dr

=kQR2 − r2

2R3+

kQR

Para r ≥ R obtenemos facilmente V =kQr




Ejemplo 6Dos esferas cargadas unidas por un alambre delgadoTenemos dos esferas de radios a > b. La esfera de radio a tieneinicialmente una carga Q. Las dos esferas se conectan por un cablemuy largo y delgado. ¿Como se distribuye la carga Q entre las dosesferas?

Q




Ejemplo 7Dos esferas concentricasTenemos dos esferas concentricas. La externa, que es hueca, tieneuna carga Q, mientras que la esfera interna se encuentra conectadaa tierra, i.e. a potencial cero.Encuentre la carga de la esfera interior.

b

a

Vb =[k(−q)

b− k(−q)

a]

=k(Q − q)

b→ q = −Q

ab


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