ENSAYO SOBRE ELECTROSTATICA Y

CORRIENTE CONTINUA Por Javier de Montoliu Siscar, Dr. Ing. Ind.

PROLOGO

Este texto es esencialmente una transcripción de la

electrostática y corrientes continuas del Dr. José Mª Codina Vidal Catedrático de emérito de electricidad de la facultad de ciencias físicas de Barcelona.

El objeto del presente escrito es expresar dichos temas

del libro, adaptándolos al lenguaje que he utilizado en mi trabajo sobre álgebra y cálculo tensorial.

Independientemente de la transcripción también se

desarrollan algunos temas que no figuran en el libro original. Espero que este trabajo sea de utilidad. Barcelona, octubre 2003

I

TABLA DE CONTENIDO PROLOGO...................................................... 1 TABLA DE CONTENIDO........................................... I ELECTROSTATICA............................................... 1 A.- CAMPO ELECTRICO EN EL VACIO. ........................... 1 1.- Generalidades. ....................................... 1 2.- Densidad de carga volúmica •. ........................ 6 3.- Densidad de carga superficial σ. ..................... 9

B.- MOMENTO ELECTRICO. CAMPO ELECTRICO EN EL VACÍO EN PRESENCIA DE DIELÉCTRICOS. ................................ 15 1.- Dipolo y momento eléctrico. ......................... 15 2.- Campo eléctrico en presencia de dieléctricos. ....... 19 3.- Ecuaciones fundamentales del campo E

→. ............... 21

4.- Campo irrotacional E→. Superficies equipotenciales. .. 26

C.- CAMPO ELECTRICO EN PRESENCIA DE CONDUCTORES. .......... 29 1.- Conductores. ........................................ 29 2.- Equilibrio en un sistema de n conductores. .......... 35

CORRIENTES ELECTRICAS....................................... 41

1.- Corriente eléctrica. Generalidades. ................. 41 2.- Corriente estacionaria ó contínua ................... 47 3.- Energía en una corriente estacionaria. .............. 59

INDICE DE EQUACIONES........................................ 65

1

ELECTROSTATICA

A.- CAMPO ELECTRICO EN EL VACIO.

1.- Generalidades.

1.01.- Supondremos conocidos los fenómenos elementales de la electrización de cuerpos materiales y de su comportamiento como conductores ó como aislantes y por ahora y de no avisar de lo contrario, consideraremos al vacío sólo como un cuerpo aislante, y a los distintos cuerpos materiales en general, como únicamente conductores ó únicamente aislantes.

1.02.- Admitiremos una magnitud escalar Q de volumen, llamada carga ó masa eléctrica, que puede tomar valores positivos ó negativos y que tiene las siguientes propiedades fundamentales:

1ª.- Dos cargas de distinto signo se atraen y dos del mismo signo se repelen.

2ª.- La suma algebraica de las cargas existentes en el espacio de un cuerpo determinado (variable o no) y eléctricamente aislado, es conservativa.

Todo cambio en esta suma se entenderá que es debido a la introducción ó extracción de cargas en dicho espacio. La suma algebraica de las cargas introducidas y extraídas coincidirá con la variación en la suma algebraica de las cargas de tal espacio.

3ª.- Reciben el nombre de cargas ligadas (a materia de un cuerpo sólido), las que una vez en equilibrio sólo admiten un cambio de posición que coincida con la deformacion ó movimiento de la materia en la que se asientan.

Cargas libres son las restantes.

4ª.- La introducción ó extracción de cargas positivas ó negativas en un cuerpo, ó en general cualquier cambio de posición de las mismas, constituye una corriente eléctrica.

En particular, recibe el nombre de corriente eléctrica propiamente dicha, el movimiento de cargas libres efectuado en el seno de un conductor.

5ª.- El movimiento relativo entre un sistema de masas eléctricas en equilibrio y un sistema material puede originar un desequilibrio eléctrico añadido. Al cesar el movimiento, se llega a un nuevo equilibrio eléctrico con distinta distribución y cantidad de masas eléctricas positivas y negativas, pero con igual suma algebraica (fenómeno de inducción electrostática).

Las cargas de distinto signo añadidas, son de suma algebraica nula, y se denominan cargas inducidas.

2

Normalmente, el nuevo equilibrio eléctrico se logra en

un tiempo extraordinariamente corto.

6ª.- En el estado de equilibrio eléctrico, las cargas eléctricas de un conductor se hallan en su superficie.

7ª.- En este texto, de no indicar otra cosa, supondremos que las cargas eléctricas así como las masas materiales están en equilibrio y en reposo.

1.03.- Ley de Coulomb.

Sean las cargas puntuales Q1 y Q2, ambas situadas en el vacío, en los puntos A1 y A2 respectivamente.

Demostrada experimentalmente por Coulomb para cargas en el vacío, la ley fundamental de la electrostática, ó ley de Coulomb, es la siguiente:

(1) F→ =

041πε

Q1 3rrrQ2

Para r→=A

_1

_A_2

→, F→ es la magnitud F

→2 localizada en A2, de la

fuerza ejercida por Q1 sobre Q2, y para r→= A

_1

_A_2

→, F→ es la magnitud F

→

1 localizada en A1 de la fuerza ejercida por Q2 sobre Q1,

ε0 es una constante escalar llamada constante dieléctrica absoluta en el vacío, dependiente del sistema de unidades adoptado y el factor 4π se ha introducido en la fórmula solamente a efectos de facilitar su aplicación práctica.

En virtud de la ley de Coulomb, siempre tendremos:

F→1 = -F

→2

1.04.- Campo E

→0 creado en el vacío por cargas

eléctricas.

Llamamos intensidad E→i en un punto A del campo

eléctrico creado en el vacío por una carga inductora puntual Qi en reposo, a una magnitud de punto, cuyo valor es igual al de la fuerza por unidad de masa eléctrica con que sería afectada una masa eléctrica, bajo el supuesto de estar situada en A.

Aceptamos de acuerdo con la fórmula (1), que el valor de la intensidad E

→i del campo creado en el vacío por una carga

puntual Qi en reposo, en un punto A de radio de posición r→

respecto a la carga, y que el valor de la fuerza F→i con que actúa

sobre una carga Q situada en A son:

(2) E→i =

041πε

Qi 3rrr; F

→i = E

→iQ

3

y aceptamos también que este campo es independiente del creado por otras cargas puntuales.

1.05.- Con el conjunto de cargas puntuales Qi del espacio, y considerandolas fijas y de campos independientes, la intensidad E

→0 del campo total en el vacío será, para cada punto

A, la suma de las intensidades correspondientes a tal punto, por cada carga puntual considerada y la suma de fuerzas serán:

(3) E→

0 = ∑ E→i; Fo = ∑F

→i

La magnitud de punto E

→0 recibe el nombre de intensidad

del campo eléctrico total en el vacío, y siempre lo consideraremos finito y aplicado a cada punto A.

Sabemos por análisis tensorial que el campo de r→r-3 corresponde a un vector armónico y por tanto irrotacional y solenoidal excepto en el origen ó punto de localización de la carga inductora. En consecuencia lo mismo sucederá con cada E

→i, y

en cuanto a E→0 el campo será armónico excepto para los puntos con

carga inductora.

Es fácil ver que las fórmulas dimensionales son las siguientes: (4) [E0] = LMT

-2Q-1; [ε0] = L-3M-1T2Q2

1.06.- Potencial eléctrico.

Dado que los campos E

→i y por tanto el E

→0 son armónicos,

lo que implica su irrotacionalidad, E→0 corresponderá a una

magnitud integral escalar U0, función de punto, tal que en cualquier punto A del vacío sin carga eléctrica se verificará:

(5) E→

0 = ∇U0 ⇒ ∇×E→0 = 0→; E

→0dr→ = dU0

Entre los campos escalares U0 integrales de E

→0 (que

difieren en un campo uniforme), adoptaremos aquél en que resulta U0 = 0 para un punto del vacío infinitamente alejado de las cargas del equilibrio eléctrico considerado, que por tanto se han supuesto todas a distancia finita. Para este campo decimos que la magnitud U0 se halla normalizada.

Habitualmente, en vez de utilizar U0, se utiliza la magnitud V0 tambien puntual cuyo valor es el opuesto al de U0 para un mismo punto ó sea V0=-U0, y que se denomina potencial electrostático. Decimos que V0 se halla normalizado cuando está normalizado U0, es decir, cuando V0 es nulo en un punto infinitamente alejado, y supondremos que esto ocurre siempre, mientras no se indique otra cosa.

Utilizando V0, las ecuaciones (5) pasan a:

4

(6) E→0 = -∇V0 ⇒ ∇×E→0 = 0

→; E

→0dr→ = -dV0

Para una carga Qi en el punto Pi, el campo potencial

originado en un punto A, con r→i= A_P_

i

→, será:

V0Ai = - rdrr

Q41

3i

ii

A

0

rr

⎮⌡⌠

∞ πε = -

0

i

4Qπε ⎮⌡

⌠∞

A

3i

i rdrr rr

= i

i

0 rQ

41πε

y por lo tanto, el valor de V0 correspondiente al punto A y a un conjunto de cargas será:

(7) V0A = ∑ii

i

0 r

Q

41πε

1.07.- Por ser E

→0 un vector irrotacional, tendremos que

la circulación de E→0 es nula en cualquier circuito cerrado,

(8) ∫ E→0dr→ = 0

y en general se tendrá la expresión:

∫B

AE→0dr→ = U0B - U0A = V0A - V0B

que, siempre para U0 y V0 normalizados, cuando el punto B se supone en el infinito se convierte en:

∫∞

AE→0dr→ = - U0A = V0A

Siendo ∫A

BE→0qdr

→ el trabajo realizado por una masa eléctrica q (infinitesimal para que su movimiento no altere el equilibrio eléctrico) al pasar por el vacío del punto A al punto B, la fórmula anterior es análoga a la utilizada en mecánica, y por tanto qV0 representa la energía potencial de la carga eléctrica q.

Observaremos que el valor en un punto A de V0 normalizado, representa el trabajo necesario, por unidad de carga eléctrica, para pasar una carga dq desde el infinito al punto A.

1.09.- Vector desplazamiento D→0 en el vacío.

A la magnitud originada en los puntos r→, por una carga

puntual Qi, y que tiene por expresión:

(9) D→

i = π41Qi 3r

rr = ε0E

→i

la llamaremos vector desplazamiento en el vacío, originado por Qi

5

en r→, y el valor total D→

0 para un conjunto de Qi será pues:

(10) D→

0 = ε0E→

0

Esta expresión nos autoriza a establecer que el campo D→

0 es armónico en el mismo dominio en que es armónico el campo E→0,

o sea en donde no haya cargas eléctricas.

La fórmula dimensional será: (11) [D] = L-2Q

6

2.- Densidad de carga volúmica •.

2.01.- Hasta ahora hemos hablado de una distribución de

cargas eléctricas Qi puntuales, en el vacío y de suma finita.

En este capítulo vamos a suponer solamente el caso de que Q es una magnitud de volumen (distribución volúmica) con cargas finitas en volúmenes finitos, a base de utilizar una magnitud puntual ρ llamada densidad de carga, finita y determinada para cada punto, que relaciona cada elemento dv de volumen con su carga dQ de la siguiente manera: dQ = ρdv

Obtendremos la carga eléctrica total en un volumen v determinado, integrando ρ en este volumen:

QV = ∫v ρdv

La ley de Coulomb y la ecuación (2) seguirán siendo aplicables, pero no será admisible el caso de dos cargas infinitamente próximas que sean finitas sino solo el de que ambas sean infinitesimales. De ello se deduce que al tender a cero la distancia entre cargas, la fuerza mutua entre ellas tiende a cero y que por lo tanto para aplicar la ley de Coulomb o la ecuación (2), a un sistema en equilibrio, la acción de las cargas exteriores a un punto representativo de un diferencial dv, se puede considerar equivalente a la acción de todas las cargas del espacio, incluídas las contenidas en dv, siempre que la densidad de cargas ρ en el punto, o sea en dv, sea finita. Para obtener la intensidad de campo en cualquier punto O y de acuerdo con la ecuación (2), lo tomaremos como origen, y consideraremos la carga total del espacio como suma de cargas infinitesimales ρdv situadas en los puntos r→ representativos de cada dv, y obtendremos:

(12) E→0 = ∑ E

→i = -

041πε ⎮⌡

⌠v

3rr

dvr

ρ

Esta intensidad actúa sobre la carga diferencial dq

correspondiente al dv del punto, que así estará sometido a una fuerza E

→0ρdv. Un volumen v1, estará sometido a la fuerza:

F→ = ∫1 E

→0ρdv

Cada sumando de E

→0, corresponde al campo de la carga de

cada dv, y este campo es irrotacional por serlo el de r→r-n. Por consiguiente, el campo suma, ó sea el campo de E

→0, es siempre

irrotacional. Sólo será armónico, según veremos, en el dominio carente de cargas.

7

El campo de E

→0, por ser irrotacional en todos los

puntos del espacio con ρ finito, corresponde a un campo escalar U0 finito y continuo tal que E

→0 = ∇U0, y por tanto corresponde

también a un campo potencial V0 con E→

0 = -∇V0 también finito y continuo en todos los puntos del espacio con ρ finito.

2.02.- Por la ecuación (7) obtendremos la expresión del potencial VO.

(13) V0 = 04

1πε ⎮⌡

⌠v

dvrρ

Y por (9) obtendremos el desplazamiento D

→O

(irrotacional como E→0, por ser D

→0=ε0E

→0):

(14) D→0 = - π4

1⎮⌡⌠v

3rr

dvr

ρ

2.03.- Cuando el conjunto de cargas puntuales de suma Q

constituye una esfera de radio R y densidad eléctrica uniforme ρ, y carga total Q, se verifica que el valor de E0 para los puntos de radio de posición r→ respecto al centro de la esfera, según el Análisis tensorial y refiriéndonos a la acción parcial de la esfera se tendrá:

Punto exterior (r>R):

E→

0 = 04

1πε

Q 3rrr

Punto interior (r<R):

E→

0 = 0

1ε

ρ3rr

y como según el análisis tensorial se verifica:

3rrr = -∇

r1; r→ = ∇

2r2

resultan para los potenciales eléctricos normalizados, los siguientes valores:

Punto exterior (r>R):

(15) V0 = -U0 = 04

1πε r

Q

Punto superficial (r=R):

8

(16) V0 = -U0 = 04

1πε R

Q =

03ερR2

Punto interior (r<R):

(K=Cte): U0 = 03ερ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ K

2r2

y como para r=R, U ha de coincidir con el valor superficial anterior se tendrá:

(17) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2R3

K2

: -V0 = U0 = 03ερ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

2R3

2r 22

En cuanto a los desplazamientos D

→0, resultan siempre de

multiplicar por ε0 la intensidad de campo correspondiente.

2.04.- Divergencias ∇D→0 y ∇E→0.

Siendo ρ la densidad volúmica de carga eléctrica en un

punto, ε0 la constante para el vacío de la ley de Coulomb, y D→0 el

vector desplazamiento total en un punto, según el cálculo tensorial tendremos para ∇D→0 en el mismo punto, y con cualquier distribución de cargas, el siguiente valor:

(18) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ==

34

k;4 n

ππρµ : ∇D→0 = nµkn = ρ

y como D

→0=ε0E

→0, se verifica la ecuación de Poisson:

(19) ∇E→0 = 0ερ

que incluye la ecuación de Laplace para ρ=0.

La fórmula dimensional de ∇D→0 es pues la de una masa eléctrica específica:

[∇D→0] = L-3Q

y llegamos al mismo resultado si para ∇ consideramos siempre la fórmula dimensional L-1, teniendo en cuenta su definición.

2.05.- Teorema de Gauss.

Recordaremos la fórmula de Gauss. también llamada de Ostrogradski, que relaciona la integral de superficie de un tensor τ→ en la frontera de un cuerpo con una integral de volumen del tensor ∇τ→ en los puntos no exteriores al cuerpo:

9

∫ τ→ds→ = ∫v (∇τ→)dv y recordaremos asimismo, que si ρ es la densidad de carga en los puntos de un cuerpo, se verifica ∫VρdV=Q siendo Q la suma algebraica de cargas eléctricas contenidas en el volumen.

Acabamos de ver en los párrafos anteriores, que como D→0

es irrotacional, siempre se verifica:

∇D→0 = ρ en (18)la fórmula no considera el factor 4π y por tanto se adjudica a ρ, y por consiguiente, podemos aplicar a D→0 la fórmula de Gauss y tendremos:

(20) ∫ D→0ds→ = ∫v ρdv = Q

ó sea que la integral de D

→0 sobre cualquier superficie cerrada es

igual a la carga total contenida en su interior.

También se puede expresar este teorema en la siguiente forma:

El flujo de D→

0 que atraviesa cualquier superficie cerrada, es igual a la carga total contenida en la superficie y en su interior.

3.- Densidad de carga superficial σ.

3.01.- Además de la distribución volúmica de cargas en el vacío, presenta especial interés la distribución de cargas en una superficie.

Utilizaremos para su estudio una magnitud puntual de superficie σ, llamada densidad de carga superficial, que relaciona cada elemento de carga dQ con el elemento ds de superficie a que corresponde: dQ = σds y pòr tanto, la carga total de una superficie será:

(21) Q = ∫S σds

A los efectos de determinar intensidades de campo, potenciales ó desplazamientos producidos por una distribución superficial de cargas, procederemos como hasta ahora, pero sustituyendo en las fórmulas dq por σds en vez de hacerlo por ρdv, y procediendo a integrar en superficies s en vez de hacerlo en volúmenes v.

10

Siendo siempre posible hacer corresponder el conjunto

de los elementos ds de una superficie con un conjunto de elementos dv del espacio con igual carga e iguales efectos, resulta que siempre que σ sea finito, los valores de ρ en los dv serán finitos, y por lo visto en '2.01 tendremos:

El campo potencial creado por una una distribución superficial de cargas, es finito y continuo en todos los puntos del espacio exteriores, y también en los superficiales con σ finito.

Por consiguiente, el campo potencial creado a la vez por conjuntos de cargas con distribución volúmica y conjuntos de cargas con distribución superficial, es finito y contínuo en todos los puntos en que ρ y en su caso σ son finitos.

3.02.- No ocurre lo mismo con el campo E→0 = -∇V, pues

como vamos a ver, presenta una discontinuidad en la superficie cargada.

Es fácil ver que son equivalentes las siguientes proposiciones:

a) Dados un plano ilimitado s que divide al espacio en dos zonas, y el versor n→ normal al mismo, el valor de la integral superficial total ∫Sr

→r-3ds desde cualquier punto no perteneciente al plano, es ±2πn→, y el signo depende solamente de la zona en que se encuentra situado el punto origen, de manera que para puntos origen de la misma zona las integrales son iguales y para puntos origen de distinta zona son opuestas.

b) Una superficie con densidad σ de carga eléctrica, crea un campo eléctrico exterior, que en el entorno infinitesimal de uno de sus puntos con versor normal n→ tiene por valor:

±2πn→04πε

σ = ±

02εσn→

con valores opuestos en caras opuestas de la superficie.

c) En el campo eléctrico creado por una superficie con densidad eléctrica σ, la diferencia entre los valores límite hallados para un punto de la superficie, según que el punto se considere de una cara o de la otra, será:

±0εσn→

d) Cuando el campo eléctrico E

→0 total, está creado no sólo

por una carga superficial, sino también por otras cargas exteriores al punto de la superficie que se examina, la diferencia entre los valores límites de E

→ total en tal punto,

coincide con la diferencia entre los valores límite del campo

11

parcial creado por la superficie y que se ha hallado en c).

La primera proposición se confirma en Análisis tensorial mediante integración y la última aplicando el teorema de Gauss a un elemento de volumen que contenga parte de la superficie cargada y cuyo volumen tiende a cero.

3.03.- De los valores hallados en el parrafo anterior deducimos que toda línea de campo de E

→0 en un equilibrio

eléctrico en el vacío, sufre una desviación o refracción en su cruce no ortogonal con una superficie cargada. Vemos que en el punto de cruce no se altera la componente de E

→0 paralela a la

superficie y cambia solamente la componente ortogonal a la superficie.

Llamando E→0+ al campo en la cara en que σ positivo

produce un campo parcial de igual sentido que el elegido para n→, y E

→0- al campo en la cara opuesta, tendremos:

n→(E→

0+ - E→

0-) = 0εσ

n→×(E→0+ - E→

0-) = 0→

3.04.- Ecuaciones fundamentales del equilibrio

eléctrico en el vacío.

Hasta ahora hemos partido de la ley de Coulomb para definir diversas magnitudes fundamentales de un equilibrio eléctrico en el vacío y las relaciones entre ellas.

Vamos a ver ahora si es posible definir dichas magnitudes independientemente de la ley de Coulomb, de manera que la verificación de esta ley sea una consecuencia de las nuevas hipótesis.

Hipótesis 1ª.- A todo equilibrio eléctrico en el vacío, corresponde la existencia de un campo escalar V determinado que llamaremos potencial eléctrico y de un campo vectorial E

→0=-∇V

llamado intensidad eléctrica, que reúnen las siguientes condiciones:

a) El campo V es finito, continuo y diferenciable, y tiende a cero al alejarse indefinidamente de cualquier dominio finito con carga finita.

b) El campo vectorial E→0, por ser igual a -∇V, es

irrotacional y finito en todo el espacio. c) El campo E

→0 coincide con el de la fuerza eléctrica

ejercida por el conjunto de cargas existente, sobre cada unidad de carga en el punto.

Hipótesis 2ª.- Toda superficie de discontinuidad del campo E

→0 corresponderá a una carga superficial de densidad σ.

Hipótesis 3ª.- Si ε0 es la constante dieléctrica

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absoluta en el vacío, ρ la densidad de la carga volúmica y σ la densidad de la carga superficial (en los puntos de las superficies de discontinuidad del campo E

→0), tendremos ρ=ε0∇E

→0 y

σ=ε0n→(E

→+-E→-).

Hipótesis 4ª.- Si H1 y H2 son dos conjuntos distintos de

cargas eléctricas en equilibrio distribuídas en el espacio vacío, y E→1 y E

→2 son los campos de intensidad eléctrica correspondientes

respectivamente al equilibrio H1 y al equilibrio H2, al equilibrio H1∪H2 corresponderá el campo de intensidad eléctrica E

→1+E→2

(Independencia de los campos eléctricos en el vacío).

3.05.- Llamaremos desplazamiento en el vacío al vector D→

0 definido por

D→0 = ε0E

→0

y en virtud de las hipótesis anteriores, tendremos las siguientes ecuaciones fundamentales del equilibrio eléctrico en el vacío:

∇×E→0 = 0→

(22) ε0∇E→

0 = ∇D→0 = ρ

n→ε0(E→

0+ - E→0-) = n

→(D→

0+ - D→

0-) = σ n→×(E→0+ - E

→0-) = 0

→

rigiendo las dos últimas para los puntos de todas las superficies cargadas que existen, cuando, con σ finito, n→ es el versor normal en el punto, y las dos primeras para todo punto con ρ finito.

Téngase en cuenta que el valor de ρdv para un punto en la segunda ecuación, se refiere a la carga total del elemento de volumen representado, incluyendo tanto la carga volúmica como la carga superficial correspondiente.

3.06.- Sea el equilibrio en el vacío correspondiente a dos únicas cargas puntuales: Q1 en el punto A y Q2 en el B.

El campo E→ en el punto B, coincide con el generado allí

por la carga Q1. Como por las dos primeras ecuaciones, éste es armónico en todos los puntos del espacio excepto en A, y esta condición la cumple el campo Q1r

→r-3, para el punto B tendremos E→

=Q1k1r→r-3 con r→=A

_B→, y la acción sobre Q2 será F

→=k1r

→r-3Q1Q2.

Procediendo igual para el campo E→ en el punto A y

teniendo en cuenta para r→ que A_B→=-B

_A→ y que debe resultar una

fuerza opuesta a la anterior, tendremos k2=k1=k, y el módulo común de ambas fuerzas es el de F=kr→r-3Q1Q2.

3.07.- Por lo que respecta al teorema de Gauss, en el caso de existir cargas superficiales además de las volúmicas en su dominio de aplicación, seguirá válida la expresión (20), si para cada dv atravesado por un ds tomamos ρ=∇D→0 tal que ρdv=dq, siendo dq la suma de cargas volúmicas y superficiales existentes

13

en dv. Para valores de dv suficientemente pequeños, en estos elementos serán despreciables las cargas volúmicas frente a las superficiales.

El valor integral Q corresponde así, a la suma de la carga volumétrica total y de las cargas superficiales totales, correspondientes al dominio considerado.

3.08.- Sean en un equilibrio eléctrico en el vacío:

a) El campo D→

0 de los vectores desplazamiento. b) Una superficie cerrada s equipotencial de elementos ds→,

que encierra un volumen v de elementos dv. c) El campo n→ de los versores normales a la superficie en

sus puntos. d) Una carga total Q no exterior a la superficie con

densidad de carga ρ.

Para un punto A exterior a s, vamos a comparar el efecto causado por la carga Q no externa a s con el efecto que produciría una carga aplicada sobre esta superficie, que tuviera una densidad superficial σ=D→0n

→.

Esta carga superficial sería en total también igual a Q, pues por (20) tendríamos:

∫ σds = ∫ (D→0n→)ds = ∫ D→0(n

→ds) = ∫ D→0ds→ = Q

y a ella correspondería en A un vector desplazamiento D

→A, que si

designamos por t→ el vector r→r-n localizado en A, será:

4πD→A = ∫s t→σds = ∫s t

→(ds→D

→0) = ∫s (D

→0⊗t→)ds→ =

Llamando D

→i al valor D

→0 correspondiente a cada dvi, al

aplicar Ostrogradski teniendo en cuenta que el vector t→ está

localizado en A, tendremos:

4πD→A = ∫V [∇(D→i⊗t→)]dvi = ∫V [∇(D

→i⊗t→)]dvi + ∫V [∇(D

→i⊗t→)]dvi

Hay dos sumandos, pues ∇ afecta tanto a D→i como a t

→.

Desarrollando el primero tendremos:

∫V [∇(D→i⊗t→)]dvi = ∫V t

→(∇D→i)dv = ∫V t

→ρdv

y desarrollando el segundo con la sustitución de D

→i por ε0∇Ui y

posterior aplicación de Ostrogradski:

14

∫V [∇(D→i⊗t→)]dvi = ∫V D

→i(∇⊗t

→)dvi

= (∇⊗t→)∫V D→idvi = ε0(∇⊗t

→)∫S Uids

→i = 0

→

El resultado es 0

→, pues por ser equipotencial la

superficie, la integral es nula. Tenemos pues finalmente:

(23) 4πD→A = ∫V t→ρdv

y el segundo miembro es 4π veces la expresión del vector desplazamiento inducido en A por las cargas no exteriores a la superficie, y por tanto podemos afirmar:

Dada una superficie equipotencial cerrada en un equilibrio eléctrico en el vacío, la acción exterior del conjunto de cargas no exteriores a la superficie, es equivalente a la acción de una carga superficial de la misma con densidad σ=D→0n

→, cuando D

→0 y n→ son, respectivamente, el valor del vector

desplazamiento y del versor normal a la superficie en el punto representativo de cada ds.

Una superficie equipotencial puede ser un conjunto de

superficies cerradas.

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B.- MOMENTO ELECTRICO. CAMPO ELECTRICO EN EL VACÍO EN PRESENCIA DE DIELÉCTRICOS.

1.- Dipolo y momento eléctrico.

1.01.- Hemos considerado hasta ahora las

manifestaciones de una distribución de cargas eléctricas en el espacio vacío y en este capítulo vamos a ver los efectos en el vacío de una distribución de momentos eléctricos p→ que definiremos a partir de la definición de dipolo.

1.02.- Sean un punto A, una dirección determinada, y un sistema formado por dos cargas eléctricas puntiformes de igual valor absoluto e y distinto signo, situadas en los extremos de un segmento rectilíneo de la dirección dada, segmento que contiene al punto A y cuya longitud es l.

Cuando l disminuye tendiendo a cero, siempre conteniendo a A y manteniéndose constante el producto p=el así como la dirección del segmento, e toma un valor infinitamente grande, y el sistema recibe el nombre de dipolo.

Queda entonces definido un vector p→ característico de un dipolo infinitesimal, que se denomina momento eléctrico del dipolo, correspondiente a una magnitud vectorial cuyo valor podemos expresar así:

(24) p→ = (lim e)d_l→

cuya dirección es la dada, cuyo sentido es de polo - a polo +, cuyo módulo es p=dl, y que consideraremos localizado en A.

1.03.- Potencial del campo creado por un dipolo en un punto H del vacío.

Tomando por origen el punto H, sean r1 y r2 los módulos de los radios vectores correspondientes a los extremos del segmento l antes de pasar al limite. De acuerdo con las ecuaciones (7) y (24), tendremos:

(25) V = 04

1πε ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

12 re

re

= 04

eπε

dr1 =

04eπε

d_l→∇

r1 =

04pπε

r∇r1

donde ∇=∇H se refiere al origen H.

Por tanto, de acuerdo con el Análisis tensorial podremos escribir:

(26) (r→ = H_A→): V = -

041πε 3r

rprr ⇔ (r→ = A

_H→): V =

041πε 3r

rprr

1.04.- De la ecuación (24) se deduce inmediatamente que

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la fórmula dimensional del momento eléctrico es análoga a la del momento mecánico:

[p] = [Q][L]

1.05.- Al estudiar los campos creados en el vacío por cargas eléctricas hemos pasado de considerar cargas puntuales finitas, a considerar la carga Q como una magnitud de volumen con distribución volumétrica ó superficial de cargas finitas en dominios finitos, y para ello nos hemos valido de magnitudes de punto finitas como la densidad de carga eléctrica volumétrica ó superficial, que hemos considerado continuas en cada dominio examinado.

Para estudiar los campos creados en el vacío por una distribución volúmica de dipolos puntuales en un dominio determinado, atenderemos a la distribución correspondiente de momentos eléctricos p→.

Aquí solo examinaremos el caso de que, con tal distribución, p→ pueda considerarse una magnitud de volumen, ó sea que la suma dp→ de momentos de los dipolos contenidos en un elemento infinitesimal de volumen dv, sea proporcional a su tamaño y ello ocurrirá, si y sólo pueda considerarse la existencia en el dominio, de un campo vectorial P

→ que verifique

la siguiente condición:

(27) dp→ = P→dv; p→ = ∫V P

→dv

La magnitud vectorial P

→, es llamada densidad de momento

eléctrico.

1.06.- Sean pues en un dominio de volumen v (en el vacío), la magnitud p→ de volumen momento eléctrico, y la densidad de momento P

→ correspondiente.

Para hallar el potencial en un punto A del vacío,

aplicaremos las ecuaciones (25) y (27) obteniendo:

V = 04

1πε ⎮⌡

⌠ ∇v r

1dp =

041πε ⎮⌡

⌠ ∇v r

1dvPr

Pero se verifica:

P→∇

r1 = ∇

rPr

- r1∇P→

y sustituyendo tendremos:

V = 04

1πε

dvrP

v⎮⌡⌠ ∇

r

- 04

1πε

dvPr1

v

r⎮⌡⌠ ∇

17

Si s es la superficie del dominio, podemos aplicar la

fórmula de Ostrogradski al primer término y así se obtiene la siguiente expresión final:

(28) V = 04

1πε ⎮⌡

⌠srPr

d_s→ -

041πε

dvPr1

v

r⎮⌡⌠ ∇

1.07.- Por consiguiente, el potencial eléctrico

creado en el vacío por un dominio de volumen v y superficie s, en el que existe una distribución de dipolos, y solo en el caso de que esta distribución corresponda a una distribución en los elementos de volumen dv, de momentos eléctricos dp→ con densidad P

→

contínua, es igual al potencial que hubiese producido una distribución volúmica de cargas eléctricas de densidad ρP=-∇P

→

junto con una distribución superficial de cargas eléctricas en la superficie del dominio con densidad σP=P

→n→=Pn (siendo n

→ el versor normal a la superficie en el punto y Pn la componente normal de P

→

):

(29) ρP = -∇P→; σP = P

→n→ = Pn

Las magnitudes de punto ρP y σP así definidas, no son

evidentemente densidades eléctricas reales, sino ficticias. No obstante tienen la misma fórmula dimensional que las densidades eléctricas reales ρ y σ respectivamente.

En cuanto a la magnitud P→ tampoco es un desplazamiento,

aunque tiene igual fórmula dimensional que D→0:

[P→] = [Q][L][L-3] = [Q][L-2] = [D

→0]

[ρP] = [∇][Q][L-2] = [Q][L-3] = [ρ]

[σP] = [P→] = [Q][L-2] = [σ]

1.08.- Cuando no se considera un dominio único con P

→

contínuo, sino un conjunto de varios dominios limítrofes, cada uno con P

→ continuo, normalmente también habrá discontinuidades de

P→ en las superficies de separación.

Entonces el papel de P

→ es análogo al de D

→0 en la

segunda y tercera ecuación de (23) para el equilibrio eléctrico en el vacío, y para estas discontinuidades podremos escribir: (30) σP = n

→(P→

+ - P→

-) ecuación que se convierte en la (29) cuando a uno de los lados de la superficie de separación tenemos el vacío, ó sea P

→=0→.

1.09.- La analogía D

→0-P→, ρ-ρP, σ-σP, podemos ampliarla a

Q-QP, llamando QP a una magnitud carga ficticia, distribuída volúmica ó superficialmente así:

18

dQP = ρPdv; dQP = σPds; QP = ∫ dQP

También podemos aplicarla al teorema de Gauss, y en un

dominio v, consideraremos válida la expresión:

∫ P→ds→ = ∫V ρPdv = QP

en que QP es la suma algebraica de todas las cargas ficticias, volúmicas y superficiales del dominio considerado. Cuando la superficie del dominio se halla en el vacío, se tendrá QP=0,

1.10.- Evidentemente, la supuesta existencia de capas vacías infinitamente delgadas, no varía los cálculos relativos a los puntos que no se hallan dentro de ellas.

19

2.- Campo eléctrico en presencia de dieléctricos.

2.01.- Consideraremos un campo eléctrico en un dominio espacial vacío, al que se incorporan diversos cuerpos materiales dieléctricos que a distancia no presentan ninguna actividad eléctrica.

Su presencia en el dominio modifica su equilibrio eléctrico, y éste vuelve a la situación primitiva al alejarse suficientemente los dieléctricos, que entonces vuelven a quedar inactivos eléctricamente.

Vamos a ver aquí el equilibrio eléctrico que corresponde a una determinada distribución eléctrica considerada en el vacío, junto a una determinada distribución de cuerpos dieléctricos.

2.02.- Para ello nos basaremos en que se verifican las siguientes hipótesis:

1ª. Un cuerpo dieléctrico contínuo de volumen v y superficie s situado en un campo eléctrico, actúa como un conjunto de momentos eléctricos infinitesimales, que constituye una magnitud de volumen de las que hemos hablado en '1.05.

2ª. Dado un sistema fijo de cargas eléctricas en el vacío y un sistema de cuerpos dieléctricos contínuos llevados a su campo, en el equilibrio eléctrico de los dos sistemas, a cada distribución espacial posible de los cuerpos, corresponde una distribución determinada de densidades de momento P

→ en el

espacio.

2.03.- Definimos ahora como potencial matemático V en un punto cualquiera del espacio, al escalar que resulta de sumar, por una parte el valor del potencial V0 que originaría en él, -si estuviera en el vacío-, el sistema de cargas fijo, y por otra parte, el valor V’ de la suma de valores V’i obtenidos al aplicar la ecuación (28) al conjunto de dieléctricos, sin exigir al punto de referencia que se halle en el vacío ó no.

Por consiguiente, dado que el potencial eléctrico en un punto sólo se halla definido para los puntos del vacío, el valor de V matemático sólo coincidirá con el del potencial eléctrico real, cuando el punto de referencia esté en el vacío.

Sólo en el caso de que no exista materia alguna, V coincidirá en todos los puntos del espacio con el potencial V0. Respecto al significado de V en el caso general de que el punto de referencia coincide con un punto del dieléctrico, es fácil ver que el valor de V obtenido para un punto material A, coincide con el valor de V obtenido para un punto de una cavidad vacía infinitesimal, de cualquier forma, practicado en el entorno de A, pues los valores difieren sólo en la integral superficial de la cavidad, y ésta no varía sensiblemente el valor de V.

20

2.04.- El campo de V es finito y continuo, pues ya vimos que lo es V0 para valores de ρ y σ finitos, y es fácil ver que lo mismo ocurre con el otro sumando V’, calculado por (28), para dominios con P

→ finito.

2.05.- También podemos definir ahora una intensidad E

→

matemática de campo eléctrica, como E→=-∇V→ y por tanto

irrotacional, con valor en todos los puntos del espacio, y que en ausencia de dieléctricos coincide con la magnitud E

→0 a que nos

hemos referido al tratar de campos en el vacío.

Podemos ver que E→ no solo es discontínuo en las

superficies cargadas con σ finita, sino también en las superficies de disconti1nuidad de P

→ en el dieléctrico.

La significación física de E

→ referida a puntos del

vacío es la misma de E→0.

Cuando E

→ se refiere a puntos del dieléctrico sólo

puede compararse con la intensidad de campo del mismo punto supuesto del vacío. Evidentemente, la diferencia de valores consiste en una integral superficial correspondiente a la carga superficial ficticia existente en una superficie arbitraria de separación entre el punto del vacío y el dieléctrico.

Adviértase que, aunque la superficie de separación elegida sea la de una cavidad infinitesimal, su forma influye en el valor que se obtenga.

2.06.- Se admiten las hipótesis: a) de que si una de las magnitudes E

→ ó P

→ se anula en un punto dado de un dieléctrico,

también se anula la otra y b) de que en un punto determinado de un dieléctrico de naturaleza dada, el valor no nulo de una de estas magnitudes determina el valor no nulo de la otra.

21

3.- Ecuaciones fundamentales del campo E→.

Teniendo en cuenta las magnitudes ρP y σP antes

definidas y las ecuaciones (23) obtenidas para el campo E→

0, las ecuaciones fundamentales para el campo E

→ resultan ser:

∇×E→ = 0→

(31) ∇E→ = 0

p

ερρ +

n→(E→

+-E→

-) = 0

p

εσσ +

n→×(E→+-E→-) = 0

→

rigiendo las dos últimas para todas las superficies de discontinuidad de E

→ que existan en el sistema.

Las definiciones y fórmulas anteriores incluyen

evidentemente las definiciones y fórmulas correspondientes a los campos eléctricos en el vacío, para ρP=0; σP=0.

3.01.- Densidad P→ de polarización. Desplazamiento D

→.

Habitualmente llamamos densidad de polarización P

→ en

los puntos del espacio, al mismo campo P→, nulo en el vacío, que

hemos utilizado para definir los campos V y E→ matemáticos.

Indica un vector característico de las puntos del espacio sin aludir a hipótesis matemáticas justificativas.

Como sea que ε0 es constante y por definición tenemos -∇P→=ρP, la segunda ecuación anterior puede escribirse así:

(32) ∇(ε0E→ + P

→) = ρ

Definiremos como vector desplazamiento D→ a:

(33) D→ = ε0E

→ + P

→

cuya fórmula incluye la que vimos para D

→0 en los campos

eléctricos en el vacío para los que tenemos P→=0.

Por (33), el valor de D

→ en un punto del dieléctrico

depende del valor de P→, y para un punto del vacío, como allí P

→ es

nulo, será D→=ε0E

→.

Dada la definición de D

→, resulta otra forma de la (33)

en función de D→, y por tanto de la segunda ecuación de (31),

válida para todos los casos:

(34) ∇D→=ρ

3.02.- Para la superficie de un dieléctrico que limita

22

con el vacío, hemos definido por (29) la magnitud σP=n→P→ ó

densidad superficial de carga ficticia.

Evidentemente. el uso de esta magnitud lo podemos generalizar a toda discontinuidad del dieléctrico que se traduzca en superficie de discontinuidad de P

→. Deducimos así la siguiente

expresión general de σP:

(35) σP = -n→(P

→+-P→

-) coherente con la notación empleada en la tercera ecuación (31), y que incluye la expresión anterior cuando la discontinuidad es entre dieléctrico y vacío.

Si sustituímos este valor de σP en la tercera ecuación de (31), ésta podrá escribirse de esta manera:

(36) n→[ε0(E→+-E→-) + P

→+-P→-] = σ

pero como el corchete del primer miembro es igual a D

→+-D→-

tendremos finalmente:

(37) n→(D→

+-D→

-) = σ

3.03.- En virtud de los dos párrafos que anteceden, el sistema fundamental (31) para el campo E

→, también puede ponerse

en esta forma:

∇×E→ = 0→ (39) ∇D→ = ρ

n→(D→

+-D→

-) = σ n→×(E→+-E

→-) = 0

→

3.04.- Observación.

En todo lo que sigue supondremos siempre que, dada una distribución determinada Q de cargas eléctricas en el espacio y mientras no se modifique esta distribución, los campos P

→ y E

→

vienen determinados por la naturaleza, forma y distribución de los dieléctricos en el espacio.

Supondremos también que, de las tres distribuciones Q, P→ y E

→ en equilibrio, dos de ellas determinan la tercera.

3.05.- Relación entre P

→ y E

→. Medios normales.

La relación entre la densidad de polarización y la

intensidad eléctrica matemática E→ para cada punto de un medio

dieléctrico depende de la estructura y naturaleza del medio y puede ser muy complicada.

Nos limitaremos al caso de una relación lineal y

23

homogénea y especialmente, dentro de este caso, al de que la relación lineal y homogénea es una simple proporcionalidad.

Con una relación lineal y homogénea, podremos escribir:

(40) P→ = ε0χ

→E→

siendo χ→ un coeficiente tensorial simétrico de segundo orden, adimensional, y función de punto, llamado susceptibilidad dieléctrica del material.

Con I→ tensor unitario de segundo orden, también

tendremos:

(41) D→ = ε0E

→ + P

→ = ε0(I

→+χ→)ε→ = ε0ε

→rE→ = ε→E→

siendo ε→r=I

→+χ→ así como ε→=ε→rε0 tensores simétricos de segundo orden,

llamados respectivamente constante dieléctrica relativa y constante dieléctrica absoluta del medio.

En lo sucesivo y de no señalar lo contrario, nos referiremos a medios dieléctricos con P

→ y por tanto D

→

proporcionales a E→ que son los llamados normales. Para ellos son

válidas las definiciones que anteceden y bastará sustituir los tensores χ→,ε→r=I

→+χ→ y ε→ por los escalares χ, εr=1+χ y ε.

De esta manera, las ecuaciones (40) y (41) quedan así:

(42) P→ = ε0χE

→

(43) D→ = ε0E

→ + P

→ = ε0(1 + χ)ε = ε0εrE

→ = εE→

Cuando χ=0; εr=1 y ε=ε0 el medio coincide con el vacío.

Con medios normales, el sistema fundamental queda así:

∇×E→ = 0

(44) ∇D→ = ∇(εE→) = ρ n→(D→+ - D

→-) = n

→(ε+E

→+ - ε-E

→-) = σ

n→×(E→+ - E

→-) = 0

→

siendo ε+ y ε- los valores de la constante dieléctrica a ambos lados de las superficies de discontinuidad.

3.06.- Cuando la discontinuidad de E→ no proviene de ε

sino de la existencia de una distribución superficial σ sumergida en un medio único, la tercera ecuación de (44) toma la forma:

24

n→(E→+ - E

→-) = ε

σ

y comparándola con la tercera ecuación general de (31) aplicada a este caso, vemos que se verifica:

0

p

εσσ +

= εσ

Esta ecuación es la que relaciona los valores de σ y σP

para un mismo punto de la superficie cargada cuando estamos en este caso, y de ella deducimos que para los puntos con σ=0 también se tendrá σP=0.

3.07.- Medios perfectos.

Son los medios normales homogéneos (ε uniforme) y para ellos la segunda ecuación de (44) toma la forma:

∇E→ = ερ

y comparándola con la segunda ecuación general de (31) para este caso, resulta:

0

p

ερρ + =

ερ

como relación entre los valores de ρ y ρP en cada punto, con lo que en el caso ρ=0 también se tendrá ρP=0.

Por otra parte, la nueva forma de la segunda ecuación de (31) nos dice que E

→ verifica el teorema de Gauss con lo que

tenemos:

∫s E→d_s→ =

ε1Q (Q = carga interior)

Las ecuaciones fundamentales de un medio perfecto son

pues las siguientes:

∇×E→ = 0→

(45) ∇E→ = ερ

n→(ε+E→+ - ε-E-) = σ

n→×(E→+ - E→-) = 0

→

3.08.- Observaremos que las ecuaciones fundamentales

para E→ en los puntos de un medio perfecto coinciden con las del

25

vacío al sustituir ε0 por ε.

Un medio perfecto solamente tendrá completa analogía con el vacío cuando es indefinido, y no existen superficies de discontinuidad (que implican una carga σP).

Sólo en este caso se verificará en su seno la ley de Coulomb para cargas Q1 y Q2 en esta forma:

(46) F→ =

πε41

Q1 3rrrQ2

3.09.- Como sea que tenemos ε=εrε0, tanto la fuerza

sobre una carga determinada como la intensidad de campo E→=-∇V, y

por tanto el potencial, cuando están en un medio de constante dieléctrica relativa εr, vienen divididos por εr, en relación con los valores correspodientes al vacío.2

Por consiguiente, si queremos resultados iguales que en el vacío, habrá que considerar, tanto las cargas como las densidades de carga volúmicas y superficiales, como el producto por εr de los valores correspondientes al vacío.

26

4.- Campo irrotacional E

→. Superficies

equipotenciales.

4.01.- En un punto dado sin cargas reales, el valor de D→ matemático obtenido si el punto pertenece al dieléctrico,

coincide con el valor D→i que tendría en el vacío, al suponer una

capa equipotencial vacía de espesor infinitesimal, que pasara por el punto.

Pues por la tercera ecuación de (39), tenemos:

n→(D→-D→

i) = 0 ⇔ D→ = D

→i

y si además el campo es normal (D

→=εE→; D→i=ε0E

→i) se verifica:

εE→ = ε0E→i ⇔ E

→i = εrE

→

4.02.- En un punto dado sin cargas reales, el valor de

E→ matemático obtenido en un punto que pertenece al dieléctrico,

coincide con el valor E→i que tendría en el vacío, al suponer un

tubo de fuerza vacío de grosor infinitesimal, que pase por el punto.

Aplicando la ecuación cuarta de (39), tenemos:

n→×(E→-E→i) = 0→ ⇔ E

→i = E

→

4.03.- Observación. En este capítulo hemos hablado de la equivalencia de un dieléctrico en un campo eléctrico en el vacío, con cargas eléctricas volúmicas y superficiales reales ó ficticias, distribuídas en forma determinada.

Con ello se consigue, que se puedan aplicar las normas del equilibrio eléctrico que se han estudiado en el capítulo anterior, a la presencia simultánea de cargas eléctricas y de cuerpos dieléctricos.

Pero debe tenerse en cuenta que este estudio conjunto nos obliga a considerar que todas las cargas están en el vacío, de manera que cuando hablamos de una carga en un punto dado, y este punto corresponde a un dieléctrico, consideraremos que se halla en una cavidad infinitesimal vacía.

De no advertir de lo contrario, supondremos que la cavidad considerada es entonces, una capa infinitesimal situada sobre la superficie equipotencial de E

→ correspondiente al punto.

4.04.- Sean en un equilibrio eléctrico de cargas

eléctricas en el vacío, en presencia de dieléctricos:

a) El campo E→ de los vectores intensidad eléctrica

matemática. b) Una superficie s equipotencial respecto a V matemático,

27

de elementos ds, que encierra un volumen v de elementos dv. c) El campo n→ de los versores normales a la superficie en

sus puntos. d) Una carga total Q no exterior a la superficie con

densidad de carga ρ. e) Una carga ficticia volúmica total ∫ρPdv no exterior a la

superficie con densidad de carga ficticia ρP.

Para un punto A exterior a s vamos a comparar el efecto causado por cargas y materia no externos a s con el efecto que produciría una carga aplicada sobre esta superficie, al considerarla incluída en una capa vacía equipotencial y que tuviera una densidad superficial σ=ε0E

→n→.

Teniendo en cuenta que esta carga estaría en el vacío,

donde P→=0→, la carga por elemento de superficie sería:

ε0σds = ε0E→n→ds = ε0E

→(n→ds) = ε0E

→d_s→ = (D

→+P→)ds→ = D

→ds→

y tambien tendremos:

σ = ε0E→n→ = (D

→+P→)n→ = D

→n→; ∫ ε0σds = ∫ D→ds→ = Q

Llamando t

→ al vector r→r-n localizado en A, el efecto

causado en A por esta carga superficial, será E→A tal que:

4πε0E→A = ∫s t→(ε0E

→d_s→) = ∫s ε0(E

→⊗t→)d_s→

y aplicando Ostrogradski, tendremos:

4πε0E→A = ∫v ε0[∇(E

→⊗t→)]dv = ∫v ε0[∇(E→⊗t→)]dv + ∫v ε0[∇(E

→⊗t→)]dv

Hay dos sumandos, pues ∇ afecta a E→ y a t→.

Desarrollando el primero se tiene:

∫v ε0[∇(E→⊗t→)]dv = ∫v t

→[∇(ε0E

→)]dv = ∫v t

→(∇D→-∇P→)dv = ∫v t

→(ρ+ρP)dv

y desarrollando el segundo con la sustitución de E

→ por -∇V y

posterior aplicación de Ostrogradski:

∫v ε0[∇(E→⊗t→)]dv = ∫v ε0(∇⊗t

→)E→dv = -ε0(∇⊗t

→)∫s Vd

_s→ = 0

→

El resultado es 0

→ pues por ser equipotencial la

superficie, la integral es nula.

28

Tenemos pues finalmente:

4πε0E→

A = ∫v t→(ρ+ρP)dv

4.05.- Podemos deducir de este resultado, que dada una

superficie equipotencial H, en un equilibrio eléctrico entre cargas eléctricas en el vacío en presencia de dieléctricos, y dado un punto A exterior a H, se verifica:

Una carga eléctrica de H con densidad superficial σ=D→n→, supuesta en el vacío, produciría sobre A el mismo efecto E

→A, que

el causado por el conjunto de cargas eléctricas reales y ficticias consideradas en el volumen no exterior a H.

29

C.- CAMPO ELECTRICO EN PRESENCIA DE CONDUCTORES.

1.- Conductores.

En el capítulo anterior hemos estudiado el campo eléctrico producido por una distribución de cuerpos dieléctricos en el campo de una distribución de cargas eléctricas en el vacío.

Vamos a ver ahora los efectos producidos al añadir en dicho campo una distribución de cuerpos materiales conductores.

1.01.- Recordaremos que llamamos conductores a los cuerpos materiales que admiten el movimiento de cargas libres en su seno y en los que el equilibrio eléctrico consiste en que las cargas se hallen en reposo.

Admitiremos las siguientes hipótesis:

1ª) El conjunto de cargas libres en un cuerpo conductor tiene a través del tiempo una suma constante, ó carga del conductor, mientras no entre en contacto físico con otro conductor ú otras cargas.

2ª) Un conjunto de conductores y cargas en contacto, actúan como un conductor único. El conjunto de partes de un conductor, una vez aisladas entre sí, constituye un conjunto de conductores.

3ª) En un equilibrio eléctrico, un conductor concentra toda su carga Q en su superficie. A cada situación distinta del conductor en el campo corresponde una distribución superficial σ determinada.

Ello será siempre posible, aunque la carga del conductor sea nula, y en cada caso se verificará:

Q = ∫ σds

4ª) Un conductor en el vacío, y en un equilibrio eléctrico correspondiente a la distribución superficial σ, equivale eléctricamente a esta misma distribución superficial de cargas supuesta en el vacío y en el mismo lugar.

1.02.- De la hipótesis 2ª deducimos que para obtener una carga determinada en un conductor dado, podremos utilizar el siguiente proceso:

1º.- Contacto con otro conductor cargado.

2º.- Someter el conjunto a equilibrios eléctricos hasta lograr la distribución deseada de cargas.

3º.- Aislar de nuevo el conductor primero.

30

1.03.- Otras consecuencias de las hipótesis adoptadas,

que se refieren a los equilibrios eléctricos en que no sólo intervienen distribuciones de cargas en el vacío y dieléctricos, sino también conductores, son las siguientes:

1º.- Podemos seguir utilizando las magnitudes definidas en el capítulo anterior, si tenemos en cuenta que para todos los puntos de un conductor tendremos siempre: P

→=0; E

→=0; D

→=0; ρ=0; ρP =0; σ=0; σP=0

En el seno de un conductor no hay pues discontinuidades

de P→ ni tampoco las hay en un contacto conductor-vacío, pues P

→=0

a ambos lados de la superficie del conductor.

2º1.- Las ecuaciones fundamentales del campo E→ para el

equilibrio eléctrico, siguen siendo las (31) y (39) deducidas en el capítulo anterior.

3º.- Existe un potencial V finito y regular en todos los puntos del espacio, y cumple las condiciones normales en el infinito si toda distribución de carga está a distancia finita.

4º.- La intensidad de campo E→=-∇V es un campo

irrotacional. Además es armónico en todo dominio sin cargas reales ni ficticias.

5º.- La superficie de un conductor es equipotencial, y por ser V una función armónica en su interior, es equipotencial cada conductor en todos sus puntos.

1.04.- Teorema de Coulomb.

Por la tercera ley fundamental (39), en la superficie de un conductor se verifica:

n→(D→

+-D→

-) = σ siendo D

→+ y D

→- los desplazamientos en puntos infinitamente

próximos a la superficie, en el exterior y en el interior del conductor respectivamente, y n→ un versor ortogonal a la superficie, dirigido de dentro a fuera.

Como por tratarse de un conductor tenemos D→-=0 en todos

sus puntos, si a D→

+ lo designamos por D→ podremos escribir:

(47) n→D→ = σ

para todo los puntos de una superficie infinitamente próxima a la del conductor. Esta ecuación constituye el teorema de Coulomb.

El valor de D→ es el generado por todas las cargas

eléctricas ficticias y reales que existen en el equilibrio.

31

Cuando el conductor está sumergido en un medio normal, tendremos D

→=εE→, con E→ normal a la superficie por hipótesis, y por

tanto por (47) podremos escribir:

(48) n→E→ = -n

→∇V = -nVr

∂∂

como expresión, en este caso, del teorema de Coulomb.

1.04.- Teniendo en cuenta el teorema de Coulomb, lo dicho en A'3.08 y B'4.04, y las características propias de un conductor, podemos establecer:

En todo equilibrio eléctrico en que intervienen cargas en el vacío, cuerpos dieléctricos y cuerpos conductores, se puede sustituir el espacio no exterior a una superficie equipotencial cerrada cualquiera de E

→, por un cuerpo conductor de igual

superficie límite, sin que se altere el equilibrio, ni las características eléctricas de los demás puntos del espacio.

Estos cambios parciales, nos permiten la sustitución total de cualquier equilibrio eléctrico en que haya cargas fijas, por otro equivalente entre conductores.

1.05.- Inducción en un conductor único.

Sea un equilibrio eléctrico en una región del espacio sin conductores, e introduzcamos en la misma un conductor de carga Q en una posición determinada. El equilibrio se modificará de acuerdo con las hipótesis mencionadas en '1.01, y podremos establecer lo siguiente:

a) Llamamos campo inductor al campo E→0 correspondiente

al equilibrio original que existía antes de introducir el conductor,

b) Introducido el conductor, su carga total Q (que puede ser nula ó no) tomará una distribución superficial σ de equilibrio en la superficie del mismo, que genera un campo E

→i

propio del conductor en el equilibrio.

c) El campo total E→ será la suma del E

→i y del campo E

→’

generado en el equilibrio por los elementos que primitivamente generaban el campo inductor E

→0.

d) La distribución σ de equilibrio, es la necesaria

para que se verifique E→=0→ en todos los puntos del conductor, ó lo

que es equivalente, para que la superficie del conductor sea equipotencial y por tanto que todo el espacio que ocupa sea equipotencial. 1.06.- En lo sucesivo, y de no advertir lo contrario, supondremos que nos hallamos en el caso de que el único

32

dieléctrico existente es un medio exterior perfecto e indefinido, y que todas las cargas se encuentran a distancia finita.

Entonces el campo E

→ del nuevo equilibrio es E

→=E→0+E→i, el

potencial V es finito y regular en todos los puntos, y es una función armónica fuera de la superficie del conductor y de los puntos en que existe carga.

E→i es el campo parcial generado por la carga Q propia

del conductor com su distribución σ de equilibrio, que es armónico en todo el espacio excepto en la superficie del conductor, y E

→0 el campo generado por el conjunto de cargas

preexistentes en el espacio ó carga externa, de suma Q0, que es armónico excepto en los puntos cargados externos al conductor.

Hemos supuesto que el conductor ocupa un lugar en el que no había carga alguna. Si no fuera así, la carga allí preexistente se habría de considerar añadida a la carga propia del conductor y no como una carga externa.

Podemos considerar el campo potencial V en el equilibrio como V=w+v siendo w el potencial correspondiente a E

→0,

generado por las cargas exteriores al conductor, y v el potencial correspondiente a E

→i, generado por las superficiales del

conductor, de suma Qi. La magnitud w y v son funciones armónicas en todo el espacio, excepto para v en los puntos exteriores con carga, y para w los puntos de la superficie del conductor. Se verifica la condición de normalidad en el infinito para V,v y w.

A la vista de (48), podemos obtener σ y en consecuencia

la carga Q del conductor, en función de los campos E→0, E

→i, v y w,

correspondientes al equilibrio, integrando en su superficie de la siguiente manera:

Q = ∫ σds = ∫ εn→dsE→ = ∫ εds→E→ = ∫ εds→E→0 + ∫ εds→E→i

Pero como E

→0 es armónico en el espacio del conductor,

se anula el primer término del último miembro y por consiguiente, por (48) tendremos:

(49) Q = ∫s εd_s→E→i = ∫s εnE

→ids = -⎮⌡

⌠∂∂

s

dsnvrε

1.07.- Capacidad de un conductor único sin cargas

exteriores (Q0=0; E→0=0).

De acuerdo con los párrafos anteriores, tendremos V=v

así como w uniformemente nulo.

Para un conductor y un medio determinados, tanto si calculamos la carga Q del conductor conociendo su potencial normalizado Vs, como si calculamos Vs a partir de Q, se demuestra

33

que entre los distintos pares de valores de ambas magnitudes correspondientes al equilibrio, existe una relación de proporcionalidad: (50) Q = CVs en que el coeficiente C, solo depende de las características geométricas del conductor y del coeficiente ε del medio.

El coeficiente C recibe el nombre de capacidad del conductor para el medio dado. Representa la carga Q0 del conductor en el caso de que su potencial sea la unidad (Vs=1).

Si al potencial Vs=1 del conductor corresponde una distribución superficial σ0 en la superficie del conductor y un campo V0 del espacio, es fácil ver que, con otro potencial Vs cualquiera del conductor, se verificará: σ = Vsσ0; Q = VsC; V = VsV0

En el caso que estudiamos de conductor único sin cargas exteriores, al potencial cero del conductor corresponde, no solamente carga nula, sino una distribución superficial nula, es decir, un cuerpo no electrizado.

1.08.- Caso de un conductor esférico de radio R.

Aunque se puede determinar la capacidad por métodos más sencillos, vamos a seguir el método general resolviendo en primer lugar la ecuación ∇(∇V)=0.

Por razón de simetría, tomaremos el centro como origen, y ensayaremos la solución b/r para un punto exterior a la distancia r del origen, siendo b una constante. Tendremos:

∇(∇Vrb) = b∇(∇V

r1) = b∇(- 3r

rr) = 0

Por tanto la solución general es, por simetría:

(a=constante): V = a+rb ⇒

dtdV

= - 2rb

Con las condiciones normales en el infinito queda a=0, y para tener V=Vs=1 en la superficie S, se tendrá b=R. Por consiguiente

σ0 = -εsn

V⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= -εRrdn

dV

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ = ε

R1

(51) C = Q0 = 4πR

2σ0 = 4πεR

1.09.- Para el cálculo de las magnitudes que intervienen en el equilibrio eléctrico de un conductor, con unas

34

cargas determinadas en el espacio, podremos aplicar el principio de la independencia de campos, y considerar separadamente los campos producidos por cada carga ó subconjunto parcial de cargas, teniendo en cuenta que el campo producido por el conjunto total de cargas es la suma de los campos parciales.

Habitualmente se parte del conocimiento del campo w y de la asignación de un potencial Vs al conductor, con lo que se plantea un problema de Dirichlet para v, que una vez resuelto nos permite conocer el campo v y por tanto el V. Entonces obtendremos σ por (48) y después Q por (49).

Un caso particular sencillo es el de que no hay campo inductor, pues entonces se verifica Q0=0, así como w=0 uniforme, y por tanto vs=Vs en el conductor. Entonces podremos aplicar la ecuación (50) si conocemos C y una de las magnitudes Q ó Vs para determinar la otra.

Cuando en el caso general se parte del conocimiento del campo w y de la carga Q, podremos sumar los resultados obtenidos en los dos casos siguientes:

1º.- Partiendo de w1=w y de un V1s arbitrario asignado al conductor, hallar el campo (parcial) v1 y la carga (parcial) Q1 correspondiente al conductor.

2º.- Partiendo de w2=0 uniforme y una carga asignada al conductor Q2=Q-Q1, hallar V2s=v2s por (50) y también v2.

Como Q = Q1+Q2, a la carga Q corresponderá:

V = V1 + V2 = w + v1 + v2

35

2.- Equilibrio en un sistema de n conductores.

Para cada conductor es aplicable el teorema de Coulomb y todo lo dicho en '1/1.01/1.02/1.03/l.04.

En el equilibrio eléctrico, para cada magnitud distinguiremos los valores correspondientes a un conductor determinado, por un subíndice i numerado de 1 a n.

Señalamos que si no se indica expresamente, los campos utilizados correspondientes al equilibrio, son campos totales, generados por todo el sistema.

En lo que sigue admitiremos que el único dieléctrico presente, si existe, es un medio ambiente perfecto e indefinido de constante ε, y que en caso contrario los conductores están en el vacío.

Asimismo no consideraremos cargas eléctricas que no

correspondan a ningún conductor.

2.01.- Teorema de los elementos correspondientes.

Sea un tubo de fuerza del campo E→ entre dos conductores

1 y 2. Si lo suponemos cerrado en cada extremo por el interior del conductor respectivo, se determina un volumen en el que es aplicable el teorema de Gauss respecto a E

→, pues ε∇E→=ρ , y por

tanto la carga interior total es nula.

Las cargas interiores son únicamente, las de los dos segmentos de superficie determinados por el tubo en los dos conductores o sea las cargas de los elementos correspondientes.

Así pues, las cargas de dos elementos correspondientes son iguales y de signo contrario.

2.02.- Equilibrio eléctrico entre n conductores.

Generalmente determinaremos sus características a partir de unos potenciales conocidos en los conductores ó bien de unas cargas conocidas de los mismos.

a) Si conocemos sus potenciales Vi, utilizaremos n equilibrios auxiliares del mismo conjunto de conductores, tales que el equilibrio i produce un potencial V(i) de valor 1 en la superficie i, y de valor nulo en las demás superficies.

Así pues, podemos considerar el campo potencial V del equilibrio estudiado como una función lineal de los n equilibrios auxiliares de esta manera: (52) V = V1V

(l) + V2V(2) + ... + VnV

(n) pues cumple las condiciones de potencial exigidas a los n conductores.

36

El potencial V es función armónica en todo el espacio, excepto en la superficie de los conductores, y cada potencial auxiliar V(i) lo es fuera de la superficie del conductor i.

Para obtener σi y Qi utilizaremos las ecuaciones:

(53) σi = -ε ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂nV

is

; Qi = ⎮⌡⌠

is

σids

que se deducen fácilmente de (48). Sustituyendo en ellas el valor hallado para V, tendremos:

(54) aik = -ε⎮⎮⌡

⌠

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

i is s

dsn

)k(V

(55) Qi = ∑=

=

nk

1k

aikVk

Dados los n equilibrios citados, el valor de los

coeficientes aik depende solo de las características geométricas del sistema, así como de ε.

La ecuación (55) nos indica que, en el equilibrio, la carga de un conductor es función lineal de los potenciales en los conductores. También nos indica que, a igualdad de potenciales, las cargas son directamente proporcionales a ε y que a igualdad de cargas, los potenciales son inversamente proporcionales a ε.

b) Si conocemos las cargas Qi, previamente se determinan los coeficientes aik a base de resolver los n equilibrios parciales V(i) y aplicar (54). Del sistema (55) se deduce su inverso, que tendrá la forma:

(56) Vi = ∑=

=

nk

1k

bikQk

en que los coeficientes bik también dependen solamente de las características geométricas del sistema así como de ε.

Para bik=Aik/A se demuestra que Aik es el adjunto de aik en el determinante |aik| y A es el valor de este determinante.

2.03.- Capacidad en un sistema de conductores.

Acabamos de ver que, en el equilibrio, la carga de un conductor es función lineal de los potenciales de los conductores, y por tanto, en cualquier equilibrio, si los coeficientes son correctos, podemos escribir:

37

i

i

VQ

= ai1

i

1

VV + .... + aii + .... + ain

i

n

VV

Como en general varían los términos en cada equilibrio

distinto, vemos que la relación Qi/Vi no es un valor constante, pues depende de todos los potenciales de los conductores.

Limitándonos a los equilibrios con los que resulte Vk=0 para todos los conductores k cuando k≠i, tendremos para ellos un valor constante de Qi/Vi al que denominamos capacidad Ci del conductor i de un sistema. Su valor será:

(57) Ci = aii = -ε⎮⎮⌡

⌠

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

i is s

dsn

)i(V

y por ello, los coeficientes aii reciben el nombre de coeficientes de capacidad. En el caso particular de Vi=1 tendremos: (58) Ci = Qi

2.04.- La capacidad Ci del conductor i de un conjunto de conductores es siempre mayor que la capacidad C del mismo conductor cuando está solo.

Pues podemos suponer que no sólo tenemos Vk=0 para k≠i, sino también Vi=1, y entonces el potencial en el exterior de i estará comprendido entre 0 y 1, pues siendo V armónico no puede pasar por máximos ó mínimos relativos.

Por otra parte, al verificarse

σ = -ε ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂nV

s

tendremos σ>0 en i y σ≤0 en los demás conductores j, y por tanto Qi>0 y Qj≤0 (j≠i).

Si manteniendo Vi=1 y Vj=0 (j≠i), retiramos todos los conductores j al infinito, donde también V=0, el gradiente en las diversas zonas de la superficie i disminuirá, por lo menos en algunas.

Siendo así, como por (53) la carga del conductor i se convierte en Qi’<Qi manteniendo el potencial Vi, se obtiene:

Ci>C

2.05.- Coeficiente de influencia de un conductor sobre otro, en un conjunto de conductores.

Si consideramos en un sistema de conductores, todos los equilibrios con los que resulte Vk=0 para todos los conductores

38

cuando k≠i y Vk≠0 para k=i, deducimos de (55) que para el conjunto de estos equilibrios, y por lo que respecta a cualquier conductor k≠i, resulta:

(59) Qk = akiVi ⇔ aki = i

k

VQ

El coeficiente aki expresa pues en estos casos una

relación constante, y recibe el nombre de coeficiente de influencia del conductor i sobre el conductor k.

En el caso particular de Vi=1, tendremos: (60) aki = Qk

2.06.- Teorema de Green.

Dadas sus aplicaciones, lo desarrollaremos aquí, aunque se refiere a cargas puntuales en el vacío.

Sea un sistema de n cargas ei y calculemos el potencial Vj creado en ej por todas las cargas del sistema excepto la propia ej de este punto:

Vj = ∑≠ji ij

i

0 r

e

41πε

donde rij indica la distancia entre Qi y Qj (i≠j).

Si en lugar de considerar el sistema ei, lo hacemos con otro sistema e’i aplicado a los mismos puntos, el potencial V’j creado por los e’i (i≠j) en el punto e’j resulta análogamente:

V’j = ∑≠

′

ji ij

i

0 re

41πε

Efectuando los productos Vje’j y V’jej y formando las

sumas de sus expresiones para todos los valores j de 1 a n, tenemos:

∑=

=

′nj

1jjjev =

041πε ∑

=

=

nj

1j∑

≠=

=

ji;ni

1i ij

ji

r

ee ′

∑=

=

′nj

1jjjev =

041πε ∑

=

=

nj

1j∑

≠=

=

ji;ni

1i ij

ji

r

ee′

Ahora bien, en los segundos miembros, i y j son índices

mudos de sumación que se pueden permutar, por tomar ambos todos los valores enteros entre 1 y n. Haciéndolo así en uno de los dos segundos miembros, resulta igual al otro, y por tanto tenemos:

39

(61) ∑=

=

′nj

1jjjev = ∑

=

=

′nj

1jjjev

lo que expresa el teorema de reciprocidad de Green, que evidentemente será aplicable a cargas puntuales en un medio perfecto e indefinido.

Cuando las cargas no son finitas y puntuales y Q es una magnitud de volumen, consideraremos al espacio de un equilibrio eléctrico como un conjunto de volúmenes diferenciales dv, a los que corresponden sendas cargas dQ y potenciales V.

Considerando para un mismo espacio, dos equilibrios eléctricos distintos, tales que a dv con uno de ellos corresponden los valores V,dQ y con el otro los valores V',dQ', podremos expresar así el teorema de Green:

(62) ∫ VdQ’ = ∫V’dQ refiriendo las integraciones a todo el espacio, ya que ahora (A '2.01) el potencial generado por las cargas exteriores a un dv puede considerarse igual al potencial total de dv.

Finalmente, en el caso que nos ocupa en este capítulo de que el equilibrio es entre conductores, podemos efectuar parcialmente para cada conductor la integraciones anteriores, teniendo en cuenta que el volumen de todo conductor es equipotencial.

Así pues, si tenemos n conductores y en un equilibrio sus cargas y potenciales son Qi y Vi y en otro son Q’i y V’i, la ecuación de Green quedará en esta forma: (63) Σi(ViQ’i) = Σi(V’iQi)

2.07.- Propiedades de los coeficientes de capacidad e influencia.

a) Los coeficientes de capacidad e influencia tienen por dimensión:

[C] = [Q][V]-1 = [L]-2[M]-1[T]2[Q]2 y se miden en unidades de capacidad.

b) Hemos visto en '2.04, que en el equilibrio correspondiente a Vi=1 y Vj=0 para toda j≠i, las cargas son Qi>0 y Qj≤0 (j≠i). Por lo tanto, según (57) y (59):

aii>0; aji≤0 para todos los valores posibles de i y j.

40

En consecuencia, si en el equilibrio de un conjunto de conductores, solo uno tiene un potencial no nulo, la carga de todos los demás, es de signo contrario al de éste ó bien es nula.

c) En los equilibrios indicados en b), las líneas de fuerza con un extremo en i tienen el otro extremo en otro de los conductores ó en el infinito, y por lo tanto, por el teorema de los elementos correspondientes podemos escribir:

Qi ≥ -Σj(≠i) Qj ⇒ aij ≥ - Σj(≠i)aij

El signo = corresponde al caso de influencia total, por el que designamos el caso en que todas las líneas de fuerza, sin excepción, enlazan con los otros conductores.

d) En un determinado conjunto de conductores, se verifica:

aij = aji cualesquiera que sean los dos conductores j,i.

Efectivamente: Consideremos el equilibrio en que se tiene Vi=1; (j≠i): Vj=0 y por otra parte el equilibrio con V’k=1 en otro conductor distinto del i anterior y (j≠k): V’j=0 en los demás.

En virtud de (63) se verifica:

Qk = Q’i

Pero finalmente, por (55) se tiene:

Qk = akiVi = aki; Q’i = aikV’k = aik

2.08.- De acuerdo con los párrafos precedentes, podríamos ver que en un sistema de n conductores la carga del total de elementos correspondientes entre el conductor i y el j resulta ser para i igual a aij(Vi-Vj) y el valor opuesto para j.

En cuanto a la carga total de i sin correspondencia con los demás conductores es aiiVi.

41

CORRIENTES ELECTRICAS 1.- Corriente eléctrica. Generalidades.

1.01.- Llamamos corriente eléctrica a todo movimiento

de cargas eléctricas, y campo de corrientes al conjunto de corrientes existentes en un momento dado. Llamamos corriente libre al movimiento de cargas libres y corriente de conducción a toda corriente libre en el seno de un conductor.

En Electrostática se presentó este último caso, al hablar de cargas en conductores y se atribuyó a las fuerzas atractivas y repulsivas que actúan sobre todas las cargas libres existentes en un conductor, incluídas las desdobladas por inducción, el movimiento de las mismas hasta hallar un rápido equilibrio y reposo en la superficie del conductor.

Admitiremos el principio de la conservación y continui-dad de las cargas eléctricas y tomaremos como dirección y sentido del movimiento lineal o velocidad de una carga, el correspondien-te al movimiento de una carga positiva.

Prescindiremos, en los cálculos que siguen, de

distinguir entre los diversos tipos existentes de cargas móviles (iones, electrones, etc.) y tendremos en cuenta solamente el que sea posible establecer un campo vectorial u→ de las velocidades de las cargas de puntos eléctricos, así como un campo puntual ρ de densidades eléctricas.

1.02.- Las características principales a considerar en cada momento en un campo de corrientes eléctricas son:

1º.- Intensidad IC de la corriente a través de una superficie.

Se define como el límite de la relación por cociente que existe entre la carga positiva dQ que atraviesa esta superficie en un tiempo dt y este tiempo, cuando dt tiende a 0.

(1) (dt j→0): IC = dtdQ

2º.- Densidad de intensidad de corriente j→C en un

punto.

Es una magnitud de punto vectorial j→c=ρu

→, tal que en un momento dado correspondiente a un intervalo diferencial de tiempo dt, para cualquier punto define el diferencial dIc de intensidad de corriente que atraviesa un diferencial de superficie que contiene al punto, expresado vectorialmente por ds→ de acuerdo con la fórmula;

42

(2) dIC = j→Cds→

Asignando el signo + a u→ y j

→c sólo si en el punto

considerado el movimiento es de cargas positivas, y haciendo ds→=n→ds (con algún n→ versor normal a ds) resulta que el signo de dI

→C

para un mismo valor de j→

C, dependerá del que se adopte como positivo para ds→ y n→.

La expresión (2) es, en efecto, la de una intensidad, pues sustituyendo j

→C por ρu

→, podremos escribir:

(3) dIC = ρ(u→n→ds)

y el paréntesis coincide con el volumen de la carga que en el punto y momento dado, por unidad de tiempo atravesaría la superficie ds con velocidad u→.

La intensidad total IC en este momento, para una superficie S será pues:

(4) IC = ∫s j→C ds

→

La ecuación dimensional de j→C resulta la siguiente:

[j→

C] = L-2T-1Q

1.03.- Norma para los signos.

Eligiendo el sentido de n→ para que n→ atraviese la

superficie en igual sentido que u→, el resultado será positivo.

Pero si la superficie total es cerrada, ds→ y n→ acostumbran a considerarse en igual sentido sólo si la corriente es de salida, y en sentido contrario si es de llegada o carga.

Por tanto, en el caso particular de corriente de carga, siguiendo la norma habitual de signos, resulta:

(5) dIc = -j→Cds→

1.04.- Intensidad de la corriente de carga de un

volumen V de superficie S.

Dada una distribución volúmica de carga eléctrica dQ=ρdV en el interior de V, la ecuación (5) y el signo que se da a ds→ en las superficies cerradas, tendremos la siguiente densidad de intensidad de corriente de carga del volumen V:

(6) Ic = tQ∂∂

= ∫∂∂

vdv

tρ + ⎮⌡

⌠∂∂

v

dvtρ

- ∫s j→

Cds→

43

1.05.- Valor de ∇j→C.

Aplicando Ostrogradski al último miembro de la ecuación anterior, tendremos:

(7) ⎮⌡⌠∂∂

v

dvtρ

= - ∫v ∇j→Cdv ⇔ ⎮⌡

⌠⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ∇+∂∂

vC dvj

t

rρ = 0

y como esto ocurre con cualquier volumen V elegido dentro de la corriente, deberá verificarse:

(8) t∂∂ρ

+ ∇j→C = 0 ⇔ ∇j→C = - t∂∂ρ

en todo punto interno de la distribución de corriente.

Esta es pues la ecuación de continuidad de la distribu-ción en estos puntos internos.

1.06.- Ecuación de continuidad en una distribución superficial.

Cuando las cargas no pueden rebasar la superficie del sistema, las que lleguen a la superficie normalmente a la misma determinarán una distribución superficial σ en sus puntos. Siendo n→ el versor superficial en ellos tendremos que j

→cn→=jcn

representará el incremento de σ que les afectará por unidad de tiempo, ó sea:

(9) j→

cn→ =

t∂∂σ

y esta expresión se toma como ecuación de continuidad superfi-cial.

1.07.- Campos de cargas en movimiento.

En electrostática hemos definido los campos creados por una determinada distribución de cargas, bajo la hipótesis de que las cargas están en reposo y en equilibrio eléctrico.

Cuando no es así y estudiamos cargas que se mueven, ó sea corrientes eléctricas, admitimos que sigue habiendo campos de la misma naturaleza que en electrostática y que ahora, a las cargas en cuestión sobre las que actúan no les es imposible moverse.

Definiremos ahora como campo electrostático creado por una carga móvil en un momento dado, aquél campo que crearía la carga si estuviera en reposo y equilibrio en la posición alcanzada en este momento.

44

Admitimos que el campo así definido no existe simultá-

neamente con la llegada de una carga a la posición correspondiente, pues la simultaneidad presupone la creación instantánea de los campos por las cargas. No obstante, aunque no sea así, la definición también es prácticamente utilizable cuando la velocidad de movimiento de las cargas sea despreciable en relación con la velocidad de formación de los campos. Esto ocurrirá especialmente cuando los fenómenos estudiados tengan lugar en la proximidad de las cargas que dan lugar a los campos.

1.08.- Corriente de desplazamiento.

Sea D→ el vector desplazamiento en un punto, y conside-

remos la magnitud j→d definida como la derivada parcial de D

→

respecto al tiempo, a la que llamaremos densidad de intensidad de corriente de desplazamiento en el punto y momento dado:

(10) j→

d = tD∂∂r

La dimensión de la magnitud j

→d es la misma que la de la

magnitud j→C.

Si consideramos el campo D

→ creado por una carga móvil

cuando la creación de campos no es instantánea, la expresión (10) sigue válida, aunque podrá no representar una derivada. Ahora el numerador representará la diferencia de valores en D

→ corres-

pondientes a las posiciones inicial del período dt de referencia y final de dicho período.

Por analogía a la intensidad de corriente eléctrica (1.02) se define la intensidad de la corriente de desplazamiento a través de una superficie S por el flujo de j

→d ó sea:

(11) Id = ∫s j→dds→ = ⎮⌡

⌠∂∂

s tDr

ds→ = t∂∂∫s D→ds→

La corriente de desplazamiento es nula en todo punto de

un campo de corrientes estacionario (corriente contínua) ó nulo, pues entonces el campo D

→ no varía con t en ningún punto.

1.09.- Sea un plano ilimitado, de versor ortogonal n→,

que divide al espacio vacío en dos mitades, y una carga Q situada en un punto P exterior al plano.

El vector desplazamiento D→ originado por Q en un punto

A del plano representante de un diferencial ds→ del mismo tendrá un valor:

D→ =

π41Q 3rrr

El sumatorio Σ(D→ds→) para toda la superficie del plano,

45

valdrá:

(12) ∫s D→ds→ =

π4nQr

∫s ds 3rrr = ± n2

4nQ rrπ

π = ±

2Q

El signo dependerá del sentido establecido para n→ y de

cual es la mitad del espacio en que se halla la carga Q, y el valor será el mismo para cualquier punto elegido en la misma mitad.

De (12) se deduce que si comparamos los valores del sumatorio si una misma carga está en un punto a un lado ó al otro del plano, la diferencia entre los valores es ±Q y que este resultado sigue válido cuando ambos puntos distan infinitamente poco de un punto dado del plano.

1.10.- Sea un cuerpo conductor con una conexión conductora a través de la cual puede recibir cargas del exterior y sea una superficie cerrada teórica S que con el conductor en su interior, lo separa de su conexión.

Vamos a comparar los campos de equilibrio inicial y final creados en S por el conductor cargado, cuando en un intervalo dt, la carga total del cuerpo conductor ha aumentado en dQ.

Llamando j→d a la derivada parcial de D

→ respecto t, por

(11) y Ostrogradski se verificará:

(13) ∫s j→dds→ = ⎮⌡

⌠∂∂

s tDr

ds→ = t∂∂∫s D→ds→ =

tQ∂∂

teniendo en cuenta que en la zona de S en la conexión conductora D→ es nulo, tanto antes como después de la carga.

En este tiempo dt, por la intersección de la superficie

con la conexión conductora ha salido una carga -dQ, por lo que con una densidad de intensidad de carga j

→c tenemos por (6):

(14) ∫s (j→

d + j→c)ds

→ = 0

con j

→c=0 en todos los puntos de la superficie exteriores al

conducto de carga.

La ecuación (14) podemos suponerla válida aunque los puntos de la superficie correspondan a un material no perfecta-mente conductor ni perfectamente dieléctrico, con lo que para un mismo punto j

→d y j

→c podrán no tener nulo uno de los valores.

1.10.- Divergencias ∇j→d y ∇J

→.

Por electrostática y por (8) y (10), en todo punto se

verifica:

46

∇D→ = ρ, j→d = tD∂∂r

; ∇j→c = - t∂∂ρ

con lo que resulta:

(15) ∇j→d = ∇ tD∂∂r

= t∂∂

∇D→ = t∂∂ρ

= -∇j→c

y por consiguiente:

(16) (j→d+j→

c = J→): ∇(j→d + j

→c) = ∇J

→ = 0

1.11.- Corriente total.

Vemos pues, que el campo j

→d es el que sumado al j

→c lo

convierte en un campo J→ que llamaremos de densidad de corriente

total, que es solenoidal y por tanto de líneas de fuerza cerradas.

Llamaremos I a la suma de intensidades consideradas.

para una superficie dada, y por tanto: I = Id + Ic y podremos considerar que las corrientes Id cierran ó completan el circuito de las Ic.

J→ = j

→c + j

→d = ρu

→+tD∂∂r

47

2.- Corriente estacionaria ó contínua

2.01.- Generalidades.

Decimos que un movimiento de cargas eléctricas es contínuo, constituyendo una corriente contínua ó estacionaria, cuando con el transcurso del tiempo las cargas en movimiento se sustituyen unas a otras, conservando en cada punto de la corriente una misma densidad de carga. En estas condiciones, consideraremos una única densidad de intensidad de corriente, a la que denominaremos j

→

Decimos de la corriente contínua así definida, que es

la expresión de un equilibrio dinámico entre las cargas móviles entre sí, con la causa y efecto del movimiento y con su entorno.

De las ecuaciones (8) y (9) y de la independencia de ρ y σ respecto al tiempo deducimos para las corrientes contínuas, las siguientes ecuaciones de continuidad de la distribución eléctrica:

En el interior: (j→ = j

→c = J

→): ∇j→ = 0

En la superficie: n→j

→c = jn = 0 ⇔ σ=Cte.

2.02.- Consecuencias:

a) j

→ = j

→c es un campo solenoidal

b) Las líneas de corriente así como sus tubos coinciden

con los de los campos de j→.

c) La intensidad I de la corriente es la misma en todas

las secciones del circuito

2.03.- Equilibrio electrostático.

En electrostática hemos estudiado el equilibrio de cargas que están en reposo, sea ello debido a estar inmoviliza-das, ó debido a que no están solicitadas en un sentido en que es posible el movimiento.

Como la fuerza a que se hallan sometidas las cargas en este equilibrio, se ha representado por un campo vectorial irrotacional E

→, se vió que el campo resulta nulo en el interior

de los conductores y que en los puntos superficiales de los conductores, resulta normal a la superficie.

2.04.- Equilibrio electrodinámico.

Nos referiremos a una corriente estacionaria, y a las circunstancias que corresponden a su existencia y mantenimiento, en un circuito cerrado caracterizado por un campo solenoidal j

→ de

densidad de corriente y por una intensidad I común a todas sus secciones.

48

Por analogía al equilibrio electrostático, ahora también llamaremos E

→ a una magnitud vectorial, cuyo campo es, en

cada punto representante de un volumen dv, la fuerza por unidad de carga eléctrica a que está sometida la carga sita en dicho dv.

Pero tratándose de un equilibrio electrodinámico, ahora las cargas no son inmóviles, sino que deben desplazarse en la dirección de j

→.

Por consiguiente el ángulo que forman E

→ y j

→ no puede

ser mayor de 90o.

Como por experiencia sabemos que el paso de una corriente por cada punto de un medio, origina un desprendimiento de calor, partiremos de la hipótesis de que el ángulo entre j

→ y E

→

es, por lo menos en los puntos de una parte del circuito, menor que un recto.

2.05.- Campo electromotor.

Sea C una línea cerrada de corriente de j→. Para la

integral circular de E→ sobre C tendremos:

(17) ∫ E→ dl→ ≠ 0 puesto que dl

→ es de igual dirección y sentido que j

→ y la integral

no puede anularse, pues no siendo negativo ningún sumando, ello exigiría que fuesen todos nulos, lo que no se verifica según el párrafo anterior.

En consecuencia el campo E→ no es irrotacional.

Podemos pues considerar E

→ como suma de dos campos, uno

E→e irrotacional y otro distinto E

→’, que nunca es irrotacional en

la totalidad de sus puntos no nulos: (18) E

→ = E

→e + E

→’

El campo E

→’ recibe el nombre de campo electromotor y, a

diferencia de E→e, nunca puede ser totalmente asimilado a un campo

producido por una distribución fija de cargas.

2.06.- Generadores.

Vemos pues que una característica del equilibrio electrodinámico es la existencia de un campo electromotor.

Llamamos generador a la parte del circuito eléctrico en la que actúa el campo electromotor.

Los generadores pueden ser:

a) Localizados: Ocupan sólo una cierta región del espacio (por ejemplo una pila), en la que existe E

→’.

49

b) Distribuídos. En este caso, E

→’ existe en todos los puntos

del circuito (caso de la inducción electromagnética).

En la parte de circuito exterior a los generadores supuestamente constituída por material conductor, existe únicamente campo irrotacional E

→e.

Una característica de un generador es la fuerza

electromotriz e, entre sus bornes A positivo y B negativo, que se define con la siguiente igualdad:

(19) e = ∫B

AE→’dl

→

referida a la parte del circuito de j

→ existente en el seno del

generador, aunque tratándose de un generador localizado, el resultado será el mismo que si integramos en la totalidad del circuito. El valor de e en el equilibrio, no será nulo por no ser E’ irrotacional.

Para muchos generadores no electromagnéticos el valor de e es independiente del circuito a que está conectado el generador y entonces es una constante propia del generador. Este es el caso de los generadores electroquímicos tales como pilas y acumuladores.

La parte del generador por las que salen las líneas de corriente se llama "polo positivo" y la parte por las que entran se denomina "polo negativo"; simbólicamente el generador se representa por:

Hay que tener en cuenta que el sentido de las líneas de

corriente en el exterior del generador, ó sea el de j→, es el opuesto al que resulta de considerar una corriente como un flujo de electrones negativos.

2,07.- Potencial escalar V.

Puesto que el campo E→

e es irrotacional, podremos considerarlo engendrado por un sistema de cargas electrostáticas cuya formación se considera necesaria para el establecimiento de una corriente estacionaria.

No estudiaremos aquí la distribución de cargas y nos limitaremos a señalar que por tratarse de un campo irrotacional, y en analogía con lo estudiado en electroestática, podemos establecer:

(20) E→e = -∇V

- +

50

asimilando V al potencial electrostático y E

→e a su gradiente.

2.08.- Ley de Ohm.

Los campos en equilibrio E→ y j

→, serán cada uno función

del otro y de la distribución de materiales en el circuito.

Se demuestra experimentalmente que en la mayoría de los circuitos, la relación entre E

→ y j

→ es lineal y que entonces se

verifica la siguiente ley, llamada de Ohm:

(21) j→ = γE→ = γ(E→e + E

→’)

siendo el coeficiente γ, llamado conductibilidad del medio, variable con el medio en que se halla el punto que se considera. Es escalar para medios isótropos, y puede ser un tensor cuando se trate de medios anisótropos.

El inverso ρ de la conductibilidad, se denomina resistividad del material conductor.

Como al ser j→ estacionario tendremos ∇j→=0 , y al ser E→

e=-∇V irrotacional tendremos ∇×E→0=0→, deducimos de la ley de Ohm

las dos ecuaciones siguientes:

(22) ∇(γE→e) = -∇(γ[∇V]) = - ∇(γE→’)

(23) ∇×γjr

= ∇×E→’

2.09.- Ecuaciones aplicables a la superficie de

discontinuidad de un conductor en la parte de circuito exterior al generador.

a) La ecuación de continuidad a través de la superficie de separación de dos medios es, en general:

(24) jn- - jn+ = t∂∂σ

ya que la diferencia entre las componentes de j

→ normales a la

superficie de discontinuidad a un lado y otro de dicha superficie representa una acumulación de la carga por unidad de superficie y de tiempo a que da lugar.

Pero como la corriente es estacionaria tendremos: (25) jn- = jn+

b) Recordando que la componente tangencial de un campo electrostático (al que asimilamos el campo E

→e) es contínua a

51

través de la superficie de separación de dos medios: (26) Eet- = Eet+ y teniendo en cuenta la ley de Ohm (21), resulta:

(27) −

−

γtj -

+

+

γtj = E’t- - E’t+

c) Recordaremos de la Electrostática que como la

componente Eet es contínua en las superficies de discontinuidad, esta continuidad equivale a la de V, al que además podemos suponer de valor nulo en el infinito.

No sucede lo mismo con Een ó componente normal de E→e, y

podemos escribir para un versor n→ normal a la superficie de discontinuidad:

(28) γ-Een- - γ+Een+ = γ++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛dndV

- γ-−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛dndV

2.10.- Determinación de las distribuciones estaciona-

rias de corriente.

1º.- Si conocemos los campos E→’, γ (conductibilidad) y

la geometría del sistema, determinaremos el campo j→ a través del

siguiente sistema de ecuaciones:

∇j→ = 0

∇×γjr

= ∇×E→’

(29) jn- = jn+

−

−

γtj -

+

+

γtj = E’t- - E’t+

Las dos primeras ecuaciones son las (22) y (23) y las

últimas, que son las (25) y (27), rigen para las superficies de discontinuidad del conductor.

Este sistema de ecuaciones determina el valor de j→.

2º.- Podemos considerar como incógnita E

→e en lugar de j

→

y en tal caso puede comprobarse, que el sistema de ecuaciones anterior equivale al siguiente:

∇(γE→e) = - ∇(γE→’)

52

∇ × E→e = 0→.

(30) γ-Een- - γ+Een+ = γ+E’n+ - γ-E’m-

Eet- = Eet+

Las dos últimas ecuaciones se refieren a las superfi-

cies de discontinuidad del conductor.

Una vez determinado E→

e, obtendremos el anterior valor de j

→ por la ecuación j

→=γ(E→e+E

→’).

3º.- También podemos obtener j

→ en función de E

→’, pero a

través de V, pues evidentemente podemos escribir:

∇(γ[∇V]) = ∇(γE→’)

(31) γ++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛dndV

- γ-−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛dndV

= γ+E'n+ - γ-E’n-

V- = V+

Una vez determinado el campo V, la distribución de

corriente j→ viene dada por j→=(-∇V + E→’).

El sistema (31) es, en su forma matemática, completa-

mente análogo al sistema fundamental de la electrostática para medios normales.

Si se trata de conductores homogéneos (γ=Cte.), la primera ecuación se convierte en la de Poisson:

(∇∇)V = ∇E→’ que se reduce a la de Laplace (∇∇)V =0, en los puntos de la parte de circuito exterior a los generadores. Por lo tanto, en estos puntos, V es una función armónica.

2.11.- Problema fundamental de la determinación de una distribución estacionaria de corriente j

→, en el circuito exterior

a una serie de n electrodos Si (i = 1,2,..n), supuestos conducto-res perfectos (ó sea con γ=∞), instalados en el seno de un medio conductor de conductividad γ, y mantenidos a potenciales fijos Vi (i = 1,2,3,...n) mediante generadores exteriores al medio conductor.

Se puede plantear como un problema de contorno, teniendo en cuenta que en el circuito exterior constituído por el conductor de conductividad γ, el potencial V satisface al sistema (31) con E

→’=0

→.

El campo electromotor viene sustituído por las

condiciones de contorno (en cada electrodo Si se tendrá V=Vi).

53

El conjunto de ecuaciones determina el potencial V, del

que se deduce el campo E→e=-∇V, y de éste la corriente por j

→=γE→e.

Con un medio conductor homogéneo, si viene limitado por las superficies de los electrodos, ó bien es indefinido, tendremos (∇∇)V=0 con potencial regular que toma el valor Vi en cada Si. Si es indefinido tendremos además V=0 en el infinito.

En ambos casos el problema de determinar V es un problema de Dirichlet, el mismo de la electrostática y se resuelve con iguales procedimientos y soluciones.

2.12.- Resistencia de un conductor. Expresión habitual de la ley de Ohm.

Nos referiremos a una parte de circuito fuera del generador y por tanto con E

→’=0→, de la que conocemos j

→ y por tanto

también V.

Consideremos en esta región dos superficies equipoten-ciales S1 de potencial V1 y S2 de potencial V2 y el tubo t de corriente que las une como un conjunto de tubos de corriente diferenciales dt.

Para uno de ellos la ley de Ohm se reduce a:

j→=γE→e

y la circulación de E

→e:

V1 - V2 = ∫dtE→

edl→ = ld

j

dt

rr

⎮⌡⌠

γ = dl

j

dt⎮⌡⌠

γ

La intensidad dI que circula por dt es por definición

dI = j→ds→ siendo ds→ la sección de dt considerada. Como j

→ es

solenoidal, tendremos dI = j ds siendo ds el área de la sección recta de dt por el punto, con lo que podemos escribir:

(32) V1 - V2 = dldsdI

dt⎮⌡⌠

γ = dI⎮⌡

⌠dt dsdlγ

= dI r

habiendo representado por r la integral

(33) r = ⎮⌡⌠dt dsdlγ

que recibe el nombre de resistencia del tubo dt considerado.

De (32) deducimos:

54

(34) dI = rVV 21 −

La intensidad I en el tubo total t será:

I = ∫tdI = (V1 - V2)⎮⌡⌠tr1

y haciendo:

(35) R1 = ⎮⌡

⌠tr1

obtenemos finalmente:

(36) I = RVV 21 −

Esta expresión es la habitual de la ley de Ohm para un

tubo de corriente en el exterior de los generadores y entre dos superficies equipotenciales, y la expresión (35) define a R como la resistencia de esta parte del circuito, y por tanto también podremos escribir:

(r= dlj

dt⎮⌡⌠

γ): R =

⎮⌡⌠tr11

Si el conductor es filiforme, con γ homogéneo, longitud

l y sección S constante, tendremos:

(37) (ρ = λ1): R = r = ⎮⌡

⌠ 2

1

S

S Sdlγ

= γ1S1 = ρ

S1

2.13.- Ley de Ohm para un circuito cerrado constituído

por un generador de fuerza electromotriz e y una resistencia R1 exterior al mismo.

En virtud de la ley de Ohm primera, tendremos por (21):

j→ = γ(E→e + E

→’) ⇔ E

→e + E

→’ = -

γjr

y la circulación de este campo a lo largo del circuito será:

∫ (E→e + E→’)dl

→ = ⎮⌡

⌠γjr

dl→ = ⎮⌡

⌠γ

jdl

Como en conductores filiformes j

→ es generalmente

uniforme en cada sección normal de área S, tendremos:

55

I = jS

y como ∫ E→edl→ = 0, queda:

e = ∫ E→’dl→ = ⎮⌡⌠

γjdl

= ⎮⌡⌠

γSIdl

= I⎮⌡⌠

γSdl

pero como ya vimos, la integral última se define como la resistencia total del circuito, que podemos considerar suma de una resistencia R correspondiente a la parte exterior al generador, y de una resistencia r en la parte de circuito correspondiente al generador, quedando: (38) e = (R+r)I

Si consideramos solamente un tramo ANPB de este

circuito entre dos puntos A y B, que contenga un generador de fuerza electromotriz e de polo negativo N y polo positivo P, el sentido de la corriente en el mismo será será de A a B, ya que en el circuito total es el de PBAN.

Llamando R1 a la suma de resistencias de los segmentos de conductor AN y PB, para el resto de conductor externo al generador cuya resistencia es R-R1, por (36) tendremos:

VB-VA = (R-R1)I = RI-R1I y sustituyendo RI por (38) (39) VB-VA = e-rI-R1I ⇔ VA-VB = (r+R1)I-e que es la ley de Ohm para un tramo que contiene un generador.

Para los signos de I y de e en esta expresión, hay que tener en cuenta que el signo de I es positivo cuando la corriente va de A a B por el generador, lo que equivale a VA-VB positivo y también a que para pasar de A a B hay que atravesar el generador de N a P. En cuanto al signo de e siempre es el opuesto al de I.

2.14.- Receptores de corriente eléctrica. Un receptor es un dispositivo, en que la energía eléctrica se transforma en energía de cualquier otro tipo, excepto calorífica.

Así como en los generadores existe un campo electromo-tor que favorece el movimiento de las cargas eléctricas y tiene una fuerza electromotriz e de signo distinto al de I, en los receptores existe un campo contraelectromotor que crea una fuerza contraelectromotriz e' siempre del mismo signo que I, por lo que la ley de Ohm (39) correspodiente tendrá la misma expresión que en el caso de un generador, con e' en lugar de e, y signo opuesto al de e.

56

2.15.- Ley de Ohm generalizada para un circuito cerrado.

Se puede aplicar para calcular la intensidad I en un circuito cerrado con diversos generadores ( ) y receptores ( ).

Primero se determina el sentido de la intensidad que será el de las fuerzas electromotrices preponderantes. Si por ejemplo:

e1+e5> e3

el sentido se la intensidad I será el de ABCD.

Entonces se aplica la ley de Ohm entre los extremos de cada dispositivo recorriendo el circuito en sentido de la intensidad, y teniendo en cuenta que los Ri son las resistencias totales de cada tramo incluyendo la del eventual generador incluído en el mismo.

VA-VB = R1I-e1 VB-VC = R2I-e2 VC-VD = R3I-e3 ...........

Sumando miembro a miembro queda:

0 = IΣRi - Σei

y por lo tanto:

(40) I = ∑∑

i

i

Re

que es la ley de Ohm para un circuito cerrado.

Para la aplicación de (40), hay que tomar como positivas las fuerzas electromotrices siempre que I atraviese su generador de N a P y hay que tomar como negativas todas las fuerzas contraelectromotrices. Las Ri son siempre positivas, y su suma es la resistencia total del circuito.

2.16.- Leyes de Kirchhoff para una red de conductores.

En toda red de conductores, llamaremos nudo a todo punto donde concurren 3 o más conductores, malla a cada figura poligonal formada por conductores y rama al trozo de conductor que une dos nudos.

1ª ley.- Considera un nudo determinado cualquiera de la

A B

E

D

C

R1 R5

R4

R3

R2

e1

e2

e3

e4

e5 I

57

red.

Por el principio de conservación de la carga, resulta que la suma de intensidades que llegan al nudo considerado, ha de ser igual a la suma de las intensidades que salen. Tomando signos distintos para las intensidades, según entren o salgan, escribiremos:

ΣIi = 0

Esta es la primera ley de Kirchhof aplicada a este nudo.

2a ley.- Considera una malla cualquiera determinada de la red, que consta de n ramas.

Recorriendo la malla en cierto sentido, por ejemplo el ABCD..N, y aplicando la ley de Ohm a cada una de las n ramas, queda:

VA-VB = R1I1-e1 VB-VC = R2I2-e2 . . . . . . . . . . . . . . VN-VA = RnIn-en

y sumando miembro a miembro:

0 = Σ(RiIi) - Σei y por tanto se verifica:

Σ(RiIi) = Σei

Esta es la segunda ley de Kirchhoff aplicada a esta malla y sus n ramas.

Para aplicar correctamente esta ley hay que tener en cuenta las normas de signo establecidas.

2.17.- Problema: Dada en una red, una malla de n nudos y n ramas de las que conocemos las resistencias totales Ri y las fuerzas electromotrices en ellas colocadas, determinar las intensidades Ii que circulan por las mismas.

El problema tiene n incógnitas, y se precisan n ecuaciones. El proceso de resolución es el siguiente:

1º. Se adoptan sentidos arbitrarios para las intensidades Ii de las ramas.

2º. Se aplica la primera ley de Kirchhoff a todos los nudos independientes ó sea de conjuntos de intensidades distintos.

3º, Se aplica la segunda ley de Kirchhoff a todas las mallas independientes, ó sea que no figuran en ellas las mismas intensidades. Para aplicar la ley a cada malla, se coge un

58

sentido arbitrario de rotación para las intensidades.

Puede probarse que así se obtienen n ecuaciones independientes, que dan las n incógnitas Ii. Si al resolver el sistema se obtiene cierta II positiva, ello significa que el sentido supuesto para esta intensidad es el real ó verdadero. En cambio se obtiene una Ii negativa, el sentido adoptado resulta ser el contrario del verdadero.

De esta manera queda totalmente conocida toda la distribución de corrientes en valor y sentido.

2.18.- Observación sobre las resistencias.

La resistencia R de los conductores varía con la temperatura del conductor, a consecuencia de que con ella también varía χ. Para incrementos de temperatura no muy grandes resulta:

R = R0(1 + αt) donde α es el llamado coeficiente de temperatura, dependiente de cada substancia. Para los metales en general, α es mayor que 0 y para algunos cuerpos como el carbono, el valor del coeficiente es menor que 0.

59

3.- Energía en una corriente estacionaria.

3.01.- Para considerar el balance energético en una parte del circuito estacionario, distinguiremos varios casos.

3.02.- Parte de circuito exterior al generador.

Para impulsar las cargas, sólo existe el campo electrostático E

→e, pues fuera del generador el campo electromotor

E→’ es nulo. El trabajo efectuado por la fuerza E

→e sobre las

cargas libres ρdv existentes en un diferencial de volumen de circuito dv, de densidad ρ de carga eléctrica, en el tiempo dt, cuando u→ es la velocidad puntual del flúido eléctrico, y por lo tanto dl = u dt, es el trabajo:

d2T = (E→

eρdv)(u→dt)

y teniendo en cuenta que j→=ρu→:

d2T = E→

ej→ dv dt

Por consiguiente, el trabajo efectuado por E

→e por

unidad de volumen y unidad de tiempo es:

(41) dvdt

Td2

= E→

ej→

En este caso debemos distinguir dos situaciones:

a) En la región considerada sólo hay conductor.

Una vez conseguido el movimiento estable de las cargas

libres, es decir, con una corriente estacionaria ya establecida, todo incremento de energía cinética proporcionado por E

→e se

transforma inmediatamente en calor (efecto Joule).

Por tanto, con E→’=0, por (21) podemos escribir:

(42) dvdt

Td2

= E→ej→ =

γ

2j

como balance energético en forma local.

Aplicación a un tramo de circuito filiforme de sección ortogonal uniforme s, y conductibilidad uniforme γ, entre dos secciones 1 y 2. Podremos tomar la expresión (33) de r como valor de R en el tramo.

Integraremos (42) entre los extremos del tramo, (en el que se verificará dv=s dl así como I=js):

60

(j=SI): dT =⎮⌡

⌠2

1

2jγSdldt = ⎮⌡

⌠2

1

2

SIγdldt = I2dt⎮⌡

⌠2

1 Sdlγ

Teniendo en cuenta la expresión (36) y como para el

valor de la resistencia R de este tramo podemos tomar la de r en (33), podremos escribir finalmente: (43) dT = RI2dt = (V1-V2)I dt como el efecto Joule entre 1 y 2 durante dt.

La potencia correspondiente es pues: (44) P = dT/dt = RI2 = (V1-V2)I

b) En la región considerada hay conductor y receptor.

En el receptor hay un campo E→” contraelectromotor. Por

lo tanto, el trabajo efectuado por Ee se emplea en estos dos efectos: parte se convierte en el trabajo realizado por E

→” y el

resto en calor por efecto Joule.

Si se cumple la ley de Ohm, tenemos j→=γ(E→e+E

→”), y de

(41) deducimos.

(45) dVdt

TD2 = E

→ej→ = E

→”j→ =

γ

2j

Dado que E

→” es opuesto a E

→e y a j

→, los dos términos del

último miembro son positivos. El primero da la energía útil del receptor por unidad de volumen y tiempo, y el segundo la densidad del efecto Joule.

Aplicación a un tramo igual al de la aplicación del caso a) anterior, con la diferencia de que entre las superficies 1 y 2 hay además intercalado un receptor de campo contraelectro-motriz E

→”. Procediendo como entonces, como ahora por (45) hemos

visto que la expresión de E→e tiene un término más que es el -E

→”j→

correspondiente al receptor, resultará:

Energía durante el tiempo dt. (46) dT = (V1-V2)I dt = Energía útil + RI

2dt.

Potencia: (47) P = (V1-V2)I = Potencia útil + RI

2

Así pues, tanto en este caso como en el anterior, la energía de la corriente desarrollada entre 1 y 2 durante dt viene dada siempre por:

dT = (V1-V2)I dt

61

que se emplea en una forma (43) u otra (46) según los casos.

3.03.- Zona del generador localizado.

El campo electromotor E→’ desplaza las cargas móviles,

venciendo al campo electrostático Ee que es de sentido contrario y venciendo también al rozamiento.

El trabajo efectuado por E→’ sobre las cargas móviles,

por unidad de volumen de circuito y tiempo es:

(48) dvdt

Td2

= E→’j→

y si se cumple la ley de Ohm [j→ = γ(E→e+E’)], escribiremos:

(49) dvdt

Td2

= E→’j→ = -E

→ej→ +

γ

2j

El trabajo realizado por el campo electromotor E

→’ se

emplea pues, por una parte para dar la energía potencial -E→

ej→ a

las cargas y en cuanto al resto, en producir calor por el efecto Joule. La energía potencial adquirida por las cargas se manifies-ta a su vez tal como se ha dicho en '3.02.

3.04.- Si consideramos ahora un generador localizado, junto al resto de circuito, como tendremos en todas las secciones del circuito la misma intensidad I constante, se verificará:

La carga que en el tiempo dt atraviesa cada sección, que es dQ=Idt, coincide con la carga que ha recorrido todo el circuito en igual tiempo dt.

Por consiguiente, en el tiempo dt, el trabajo realizado por el generador de f.e.m. e, ó sea la energía suministrada por éste al circuito, será: (50) dW = e dQ = eIdt correspondiente a la potencia: (51) P = eI expresión que frecuentemente se usa para definir la fuerza electromotriz e de un generador como la relación entre la potencia suministrada a un circuito y la intensidad creada en él.

En la mayoría de los generadores localizados (y por tanto no electromagnéticos), la fuerza electromotriz es igual a la diferencia de potencial entre sus polos en circuito abierto. Siendo P el polo positivo y N el polo negativo, en general podremos escribir:

62

(52) e = ∫P

NE→’dl = VP - VN

3.04.- Receptores de corriente eléctrica.

Sea un tramo de conductor entre dos superficies

equipotenciales S1 y S2 con potencial en la sección 1 mayor que en la sección 2, y sin generadores intercalados. El sentido de la corriente y de I será de S1 a S2.

Si hay un receptor intercalado entre 1 y 2 podremos utilizar la expresión (47) de la potencia consumida en el tramo.

Llamando Pu a la potencia útil, ó sea la que el receptor transforma en energía no térmica, tenemos: (53) P = Pu + RI

2 y RI2 es la potencia empleada en el efecto Joule por la resisten-cia R del tramo, que incluye la resistencia del receptor.

El comportamiento de receptores y generadores en lo que se refiere a conversión de energía y el concepto de f.e.m. en un generador, aconsejan definir la fuerza contraelectromotriz de un receptor por la relación:

(54) e’ = IPu

3.05.- Rendimiento de generadores y receptores.

Se define como rendimiento de un generador la relación

entre la potencia recibida en el circuito exterior y la potencia total P suministrada por el generador.

La potencia exterior es:

Pe = (VP-VN)I y el rendimiento resulta:

(55) R = PPe

Como la pérdida de energía en el interior del gewnera-

dor, por efecto Joule, es p=rI2 siendo r su resistencia, para P=eI podremos escribir:

(56) R = P

pP − = 1 -

Pp = 1 -

eIrI2

= 1 - erI

Este rendimiento siempre es menor que 1 a causa de la

N P

63

resistencia r.

Se define como rendimiento de un receptor la relación entre la potencia Pu utilizada y la potencia total P consumida:

Llamando r a la resistencia del receptor, el efecto Joule en el receptor es p=rI2, y la potencia total consumida es P = Pu+rI

2 = (V1-V2)I atendiendo a (47). Por tanto tenemos:

R = pPu =

PpP − = 1 -

Pp = 1 -

I)VV(rI

21

2

− = 1 -

21 VVrI−

menor que 1 a causa de r.

BA r I

65

INDICE DE EQUACIONES CE(1).......... 41 CE(10)......... 44 CE(11)......... 44 CE(12)......... 45 CE(13)......... 45 CE(14)......... 45 CE(15)......... 46 CE(16)......... 46 CE(17)......... 48 CE(18)......... 48 CE(19)......... 49 CE(2).......... 42 CE(20)......... 49 CE(21)......... 50 CE(22)......... 50 CE(23)......... 50 CE(24)......... 50 CE(25)......... 50 CE(26)......... 51 CE(27)......... 51 CE(28)......... 51 CE(29)......... 51 CE(3).......... 42 CE(30)......... 52 CE(31)......... 52 CE(32)......... 53 CE(33)......... 53 CE(34)......... 54 CE(35)......... 54 CE(36)......... 54 CE(37)......... 54 CE(38)......... 55 CE(39)......... 55 CE(4).......... 42 CE(40)......... 56 CE(41)......... 59 CE(42)......... 59 CE(43)......... 60 CE(44)......... 60 CE(45)......... 60

CE(46) ........ 60 CE(47) ........ 60 CE(48) ........ 61 CE(49) ........ 61 CE(5) ......... 42 CE(50) ........ 61 CE(51) ........ 61 CE(52) ........ 62 CE(53) ........ 62 CE(54) ........ 62 CE(55) ........ 62 CE(56) ........ 62 CE(6) ......... 42 CE(7) ......... 43 CE(8) ......... 43 CE(9) ......... 43 EL(1) .......... 2 EL(10) ......... 5 EL(11) ......... 5 EL(12) ......... 6 EL(13) ......... 7 EL(14) ......... 7 EL(15) ......... 7 EL(16) ......... 8 EL(17) ......... 8 El(18) ......... 8 EL(19) ......... 8 EL(2) .......... 2 EL(20) ......... 9 EL(21) ......... 9 EL(22) ........ 12 EL(23) ........ 14 EL(24) ........ 15 EL(25) ........ 15 EL(26) ........ 15 EL(27) ........ 16 EL(28) ........ 17 EL(29) ........ 17 El(3) .......... 3 EL(30) ........ 17

EL(31) ........ 21 EL(32) ........ 21 EL(33) ........ 21 EL(34) ........ 21 EL(35) ........ 22 EL(36) ........ 22 EL(37) ........ 22 EL(39) ........ 22 EL(4) .......... 3 EL(40) ........ 23 EL(41) ........ 23 EL(42) ........ 23 EL(43) ........ 23 EL(44) ........ 23 EL(45) ........ 24 EL(46) ........ 25 EL(47) ........ 30 EL(48) ........ 31 EL(49) ........ 32 EL(5) .......... 3 EL(50) ........ 33 EL(51) ........ 33 EL(52) ........ 35 EL(53) ........ 36 EL(54) ........ 36 EL(55) ........ 36 EL(56) ........ 36 EL(57) ........ 37 EL(58) ........ 37 EL(59) ........ 38 EL(6) .......... 4 EL(60) ........ 38 EL(61) ........ 39 EL(62) ........ 39 EL(63) ........ 39 EL(7) .......... 4 EL(8) .......... 4 EL(9) .......... 4