Elegibilidad8°matematicaopcion b

Autores:Natacha AstromujoffEleamar BarriosMarcelo CasisIvette LeónPaula OlivaresMarta RiverosJosrge Soto

TexTo del esTudianTe

Cuadro de definición de los contenidos fundamentales.

Ejercicios individuales para que apliques lo que acabas de aprender en forma individual.

Ejercicios grupales de análisis y reflexión o de carácter lúdico para que resuelvas con uno o más compañeros y compañeras.

Problemas que plantean situaciones matemáticas contextualizadas en diferentes temas y que puedes resolver en forma individual o grupal.

Ejemplo explicativo que contiene una situación

problemática, que es resuelta paso a paso a

modo de ejemplificación.

Estructura didáctica

Historieta que te propone una situación que debes observar y analizar con

detención.

Actividades que podrán ser utilizadas como evaluación diagnóstica de materias vistas en cursos anteriores y que servirán para la revisión de los temas de la unidad.

Actividad inicial

Páginas binarias de contenido

El Texto del Estudiante de Matemática de 8° Básico contiene 6 unidades didácticas. El cuerpo de cada unidad está conformado por páginas binarias de contenido que se articulan en torno a un tema que contextualiza los objetivos de aprendizaje de cada una de ellas. Al inicio de cada unidad existen páginas que contienen activi-dades introductorias y como cierre se plantean el uso de recursos tecnológicos, un resumen de la unidad y una evaluación sumativa final. Además, se incorpora cuando corresponde, el ícono que enlaza los contenidos del texto con las actividades multimediales del Hipertexto. La estructura detallada de cada unidad de este texto es la siguiente:

Estructura didáctica4

Aprendizajes que se espera adquieras tras la revisión de la unidad.

Red conceptual con los contenidos de la unidad

Imagen alusiva al tema transversal de la unidad

Primera aproximación al OFT que articula la unidad.

Actividad motivadora inspirada en el OFT que se desarrolla en la unidad.

Entrada de unidad

Ejemplificación del uso de herramientas tecnológicas

para resolver actividades relacionadas con los temas

vistos en la unidad.

Actividades propuestas para que apliques la herramienta tecnológica descrita.

Tecnología activa

Problema modelo que te propone un método de

cinco pasos para que lo apliques en la resolución de

problemas de diversa índole.

Problemas propuestos que debes resolver aplicando el método.

Resolución de problemas

Cuadros con las definiciones que resumen los contenidos

tratados en la unidad.

Tres páginas en las que se evalúan los temas vistos en la unidad. Dos de ellas te proponen ejercicios de desarrollo y una ejercicios con alternativas.

Síntesis de la unidad Evaluación

Además, en las páginas del texto se incluyen cuatro tipos de apartados y el ícono de Hipertexto:

Ícono que relaciona el Texto del Estudiante con las actividades del Hipertexto.

Definiciones y concep-tos directamente liga-dos con los temas de la página.

Archívalo

Breve vinculación del tema tratado en la pági-na binaria y otras ramas del conocimiento.

Enlace con…

Actividades lúdicas que requieren del ingenio matemático para su realización.

Desafíoal ingenioIndicación práctica o

nota recordatoria para una mejor comprensión del tema tratado.

MatemáticaHIPERTEXTO

Estructura didáctica 5

Índice de contenidos

Productos y cocientes1Unidad

Entrada de unidad ........................................... 8 y 9

Actividad inicial ............................................10 y 11

Multiplicación y división de enteros positivos• ..12 y 13

Multiplicación y división de enteros de•

diferente signo ........................................... 14 y 15

Multiplicación y división de enteros • negativos ................................................... 16 y 17

Propiedades de la multiplicación en • ℤ ..... 18 y 19

Operaciones combinadas en • ℤ ................20 y 21

Resolución de problemas .......................... 22 y 23

Tecnología activa ........................................ 24 y 25

Síntesis de la unidad .......................................... 26

Evaluación .................................................... 27 a 29

Potencias y sus aplicaciones2

Unidad

Entrada de unidad ....................................... 30 y 31

Actividad inicial ........................................... 32 y 33

Potencias de base entera y exponente •natural ....................................................... 34 y 35

Interpretación de potencias con exponente entero ...................................... 36 y 37

Multiplicación y división de potencias de •igual base .................................................. 38 y 39

Crecimiento exponencial• ............................40 y 41

Decrecimiento exponencial• ....................... 42 y 43

Ecuaciones y proporcionalidad3

Unidad



Variables dependientes e independientes• .. 62 y 63

Relación directamente proporcional• ......... 64 y 65

Representación de una relación •directamente proporcional......................... 66 y 67

Relación inversamente proporcional• ......... 68 y 69

Representación de una relación •inversamente proporcional .........................70 y 71

Modelos matemáticos de proporcionalidad •directa ........................................................ 72 y 73

Modelos matemáticos de proporcionalidad •inversa ........................................................74 y 75

Funciones• .................................................. 76 y 77

Resolución de problemas .......................... 78 y 79



Evaluación .................................................... 83 a 85

Potencias de exponente 2 y raíces •cuadradas .................................................. 44 y 45

Teorema de Pitágoras• ............................... 46 y 47

Tríos pitagóricos• ........................................ 48 y 49

Resolución de problemas ...........................50 y 51



Evaluación .................................................... 55 a 57

Índice de contenidos6

Entrada de unidad .................................... 140 y 141

Actividad inicial ........................................142 y 143

Datos cuantitativos discretos y •

continuos ................................................144 y 145

Intervalo de clase• ...................................146 y 147

Marca de clase• .......................................148 y 149

Media aritmética y moda para datos •agrupados ..............................................150 y 151

Construcción de gráficos con datos •agrupados ..............................................152 y 153

Métodos de muestreo• ............................154 y 155

Experimentos aleatorios equiprobables• .156 y 157

Regla de Laplace• ...................................158 y 159

Verificación de una probabilidad• ............160 y 161

Resolución de problemas .......................162 y 163

Tecnología activa .....................................164 y 165

Síntesis de la unidad ........................................ 166

Evaluación ................................................ 167 a 169

Solucionario ..............................................170 a 173

Índice temático ...................................................174

Bibliografía y páginas web ............................... 175

Evaluación modelo ............................................ 176

Datos agrupados y probabilidades6

Unidad

4Unidad



Traslación• .................................................. 90 y 91

Reflexión• ................................................... 92 y 93

Rotación• .................................................... 94 y 95

Teselaciones• ............................................. 96 y 97

Definición de circunferencia y círculo• ....... 98 y 99

Elementos lineales de una •circunferencia .........................................100 y 101

Elementos angulares de circunferencias •y círculos .................................................102 y 103

Perímetro de una circunferencia• ............104 y 105

Área de un círculo• ..................................106 y 107


Tecnología activa ......................................110 y 111

Síntesis de la unidad .........................................112

Evaluación ................................................. 113 a 115

Transformaciones isométricas, circunferencia y círculo

Entrada de unidad .................................... 116 y 117

Actividad inicial ........................................ 118 y 119

• Cuerpos redondos ..................................120 y 121

• El cilindro ................................................122 y 123

• El cono ...................................................124 y 125

• La esfera ................................................126 y 127

• Área de cuerpos redondos .....................128 y 129

• Volumen de cuerpo redondos ................130 y 131

Cuerpos redondos5Unidad


Tecnología activa .....................................134 y 135

Síntesis de la unidad ........................................ 136

Evaluación .................................................137 a 139

Índice de contenidos 7

58

Red conceptual

Ecuaciones y

proporcionalidad3Unidad

pueden ser

identificación de

determinación deEcuaciones y proporcionalidad

VariablesDependientes

Independientes

Dominio

Recorrido

Proporcionalidad directa

Proporcionalidad inversa

Modelos matemáticos

Funciones

59

En esta unidad aprenderás a:

Identificar variables dependientes e independientes.

Reconocer cuando dos variables están relacionadas en forma directa o inversa-

mente proporcional.

Construir tablas y gráficos de relaciones directa e inversamente proporcionales.

Distinguir relaciones proporcionales de relaciones no proporcionales.

Reconocer modelos matemáticos de proporcionalidad directa e inversa.

Identificar relaciones que son funciones.

Ecuaciones y

proporcionalidad

¿Cuáles son los beneficios del comercio electrónico?

El e-business o comercio electrónico es cualquier actividad empresarial que se efectúa a través de internet, no solo de compra y venta de productos, sino también de servicio al cliente y cola-boración de las empresas con sus socios comerciales.

El comercio electrónico beneficia tanto a las empresas como a los consumidores. Hace más eficientes las actividades de las empresas, ya que reduce las barreras de acceso a los mercados, en especial para pequeñas empresas, y abre oportunidades de explotar nuevos mercados. En cuanto a los consumidores, el comercio electrónico amplía la capacidad de los consumidores de acceder a los distintos productos y les permite comparar ofertas y provee de información sobre la calidad del producto que consumen. Hoy en día son cada vez más las personas que realizan sus compras a través de internet, sobre todo en países desarrollados, donde ya se ha vencido el miedo que existía inicialmente con respecto a la transparencia de las transacciones. Con el comercio electrónico, las operaciones comerciales son mucho menos burocráticas ya que se pueden realizar desde cualquier computador personal y en cualquier momento del día.

¿Has comprado algún producto por internet? ¿Cuál?

¿Crees que en el futuro ya no será necesario ir a una tienda o almacén para comprar un producto?

¿Puedes resolver?

Una empresa ha decidido sacar un nuevo producto al mercado, el cual po-drá ser adquirido a través de su página web. Las ventas de dicho producto en los primeros cuatro meses fueron las siguientes:

Mes Julio Agosto Septiembre Octubre

Unidades vendidas 2 000 3 000 4 500 6 750

Confecciona un gráfico que muestre la cantidad de unidades vendidas cada mes. Si se mantiene la tendencia, ¿cuántas unidades del producto se venderán en noviembre?

MotivaciónHIPERTEXTO

W

Actividad inicial

Unidad 3 Ecuaciones y proporcionalidad60 61

W


Actividad inicialCotidianamente nos vemos en la necesidad, muchas veces sin darnos cuenta, de

dar solución a situaciones que relacionan variables que se condicionan una a la otra bajo determinadas pautas matemáticas. Amplificar la cantidad de ingredientes en una receta de cocina, calcular la cantidad de provisiones necesarias para una sema-na, conociendo la requerida para un día, o determinar el costo de una visita al cine si un grupo de amigos aparece a última hora, son situaciones que la mayoría de las veces resolvemos por métodos meramente intuitivos. Pero, ¿existe un procedimiento matemático formal para resolverlas?

Formen grupos de tres personas y luego realicen las actividades que se presentan a continuación.

Lean la historieta y luego contesten las preguntas de la página siguiente:A

W


W

Unidad


Los niños, además de muchos huevos, disponen de:

Calculen la razón entre la cantidad de cada uno de los ingredientes de la re-a) ceta y las correspondientes cantidades de ingredientes que tienen los niños. ¿Qué características observan en estas razones?

¿Cuántas galletas pueden hacer los niños con los ingredientes que tienen?b)

Si los niños quisieran preparar 75 galletas, ¿qué cantidad de cada ingrediente c) necesitarían?

Completen la siguiente tabla con la cantidad que se necesita de cada ingre-d) diente, según la cantidad de galletas que se desea preparar:

Cantidad de galletas

Harina (g) Azúcar (g)Chocolate

en polvo (g)Margarina

(g)

10

20

40 500 g 250 g 200 g 200 g

80

Luego de analizar la tabla an-e) terior, y teniendo en cuenta la cantidad de galletas a preparar y la masa de harina necesaria para cada cantidad, señalen los pares de valores en el gráfico como muestra el ejemplo y luego unan los puntos. ¿Qué obtienen?

Supongamos que las galletas que Bharán los alumnos y alumnas se repartirán entre ellos en partes iguales. Respondan las siguientes preguntas:

Si hay 40 galletas de chocolate y a) 20 estudiantes, ¿cuántas galletas comerá cada uno?

Si hay 40 galletas de chocolate y 40 estudiantes, ¿cuántas galletas comerá b) cada uno?

Si hay 40 galletas de chocolate y 80 estudiantes, ¿cuántas galletas comerá c) cada uno?

Galletas

Ha

rin

a (

gra

mo

s)

0 10 20 30 40 50 60 70 80

1000

900

800

700

600

500

400

300

200

100

0

•625gdeharina.•250gdemargarina.

•312,5gdeazúcar.•250gdechocolate.

DiagnósticoHIPERTEXTO

Unidad 362

Variables dependientes e independientes

La junta de vecinos de una población está reuniendo fondos para refaccionar su centro social. Los fondos se obtendrán de dos fuentes: una donación de $ 400 000 que realizará una empresa del sector y una rifa organizada por la comunidad. Cada número de la rifa tendrá un valor de $ 500.

¿De qué depende el monto de los fondos que reunirá la junta de fvecinos?

¿Qué ecuación expresa los fondos que obtendrá la junta de fvecinos?

Si se venden 400 números para la rifa, ¿cuál será el monto que freunirá?

El monto de los fondos que la junta de vecinos reúna en la rifa de-pende de cuántos números se vendan.

Si llamamos y a los fondos que reunirá la junta de vecinos y x a la cantidad de números de la rifa que se vendan entonces:

y = 500x + 400 000

donde x e y pueden tomar distintos valores.

Se llama variable independiente a aquella variable cuyo valor solo depende de sí misma. Se llama variable dependiente a aquella cuyo valor depende del valor de otra variable.

En este caso los fondos que reunirá la junta de vecinos (y) dependen de la cantidad de números de rifa que se vendan (x). Por lo tanto, x es la variable independiente e y la variable dependiente.

Si se venden 400 números de la rifa, el dinero que reunirá la junta de vecinos será:

y = 500 · 400 + 400 000

y=600000

Si se venden 400 números de la rifa, la junta de vecinos reunirá $600000.

Marcela es amante de los animales y en su casa tiene varias mascotas. De estas, todas son perros menos dos, todas son gatos menos dos y todas son loros menos dos. ¿Cuántos animales tiene Marcela en su casa?

Desafíoal ingenio

Los valores de una va-riable dependiente se ubican en el eje horizon-tal (abscisas), mientras que los valores de una variable independiente se ubican en el eje vertical (ordenadas).

Ecuaciones y proporcionalidad 63

Unidad

Ejercicios individualesCalcula el valor de la variable dependiente cuando el valor de la variable independiente es igual A.a 5:

ya) = 2x – 5

y =

wb) = 5z + 8

w =

nc) = 10 – 2m

n =

cd) = 5a – 20

c =

ye) = 5 · (x – 10)

y =

-2x + 6 = f) y

y =

Señala en cada caso cuál es la variable dependiente (D) y cual la variable independiente (I):B.

La cantidad de personas que asiste a un partido de fútbol. a)

La recaudación del partido de fútbol.

El número de años cursados por un estudiante universitario. b)

Los años que le restan por cursar.

El perímetro de un cuadrado. c)

La medida de los lados del cuadrado.

El precio del producto terminado. d)

El precio de los materiales necesarios para fabricar el producto.

El volumen de un cuerpo al irlo calentando. e)

El tiempo durante el que va aplicándose calor.

ProblemasDon Pedro vende helados a $ 200.1.

¿De qué depende la cantidad de dinero que recauda por a) las ventas?

¿Qué ecuación expresa la cantidad de dinero que don b) Pedro recaudará en la semana?

Si don Pedro vende 420 helados en una semana, ¿cuánto c) dinero recaudará?

2. Fernando es 28 años más joven que su padre.

¿Qué edad tendrá Fernando cuando su padre tenga 56, a) 67 y 81 años?

Señala la variable dependiente y la independiente y ex-b) plica cómo las identificaste.

Unidad 364

Relación directamente proporcional

Los estudiantes del 8° C han decidido pintar la pared de la sala dondeestáubicadoeldiariomural,cuyaáreaesde16m2. Según lo queaveriguaronconsuscompañerosdel8ºB,estimanquecon1tarrode pintura pueden pintar 4 m2 de pared.

¿Cuántos tarros de pintura se necesitan para pintar la pared? f

Escribe la ecuación que relaciona el número de tarros de pintura y fla superficie que puede ser pintada.

¿Qué superficie se podrá pintar con 9 tarros de pintura? f

La siguiente tabla relaciona el área de pared que se puede pintar con un número determinado de tarros de pintura:

Tarros 1 2 3 4

Área [m2] 4 8 12 16

Existe una relación directamente proporcional entre dos varia-bles cuando ambas varían en la misma razón, es decir, el cocien-te entre ellas es siempre el mismo. A este cociente se le llama razón o constante de proporcionalidad directa.

De la tabla se lee que con 4 tarros de pintura pueden pintarse los 16m2 de la pared.

El área de la pared y el número de tarros de pintura necesarios para pintarla, son dos variables que establecen una relación directamente proporcional.

Metros paredTarros pintura

= yx

= 41

= 82

= 123

= 164

= 4

La razón de proporcionalidad es 4.

Como yx

= 4, podemos despejar y obtener la ecuación que relaciona

la cantidad de metros cuadrados de pared y el número de tarros de pintura, que se necesitan para pintarla.

y = 4 · x

Si tenemos 9 tarros de pintura, x = 9. Por lo tanto:

y=4·9=36

Con9tarrosdepinturasepuedenpintar36m2.

Una cantidad y el por-centaje que representa de una cantidad fija, co-rresponden a variables directamente proporcio-nales. Por ejemplo:

Cantidad %

48 100

36 75

24 50

12 25

6 12,5

Recuerda que cuando entre dos variables existe una relación directamente proporcional, puedes ocupar la regla de tres directa para calcular algún valor desconocido.Si A y B son directamente proporcionales y

A B

a1 b1

a2 X

Entonces:

X = a2 · b1

a1


Unidad

Ejercicios individualesCalcula la constante de proporcionalidad en las siguientes situaciones:A.

Un joven recorre 2 cuadras en 10 minutos y 5 cuadras en 25 minutos.a)

Clara hizo 20 galletas con 200 g de harina, María 30 galletas con 300 g de harina y Antonia b) 60 galletas con 600 g de harina.

Un bus recorre 225 km en 2,5 horas y 378 km en 4,2 horas.c)

Resuelve las siguientes situaciones planteando la ecuación correspondiente:B.Marcelo utiliza cada día una mina para su porta-mina. ¿Cuántas minas utilizará en una se-a) mana?

Una máquina puede fabricar 5b) 000 ladrillos en 4 horas. ¿Cuántas podrá fabricar en 6 horas?

Un taxista cobra $ 280 por cada 300 m recorridos. ¿Cuánto debería cobrar por un recorrido c) de 3 800 m si aplicara una tarifa proporcional?

Un taxista cobra $ 270 por cada 3 minutos de recorrido. ¿Cuánto debería cobrar por un reco-d) rrido de media hora si aplicara una tarifa proporcional?

Miguel se demoró 10 días en leer 1 libro. ¿Cuántos días se demoraría en leer 4 libros simi-e) lares?

ProblemasUn artesano necesita 8 días para construir un barco de ma-1. dera.

Si un coleccionista le ha encargado 5 barcos, ¿en cuántos a) días podrá terminarlos?

¿Cuántos barcos podrá construir en 24 días? Calcula la b) razón de proporcionalidad.

Escribe la ecuación de proporcionalidad que relaciona c) el número de barcos hechos y el número de días que necesita el artesano en hacerlos.

Un perro consume 3 raciones de alimento al día.2.

¿Cuántas raciones de alimento consume el perro a la a) semana?

¿Cuántas raciones de alimento consumirá el perro en b) 12 días?

Escribe la ecuación de proporcionalidad que relaciona el c) número de meses transcurridos y el número de raciones que el perro consume en esos meses. Considera meses de 30 días.

Unidad 366

Representación de una relación directamente proporcional

Los alumnos y alumnas de octavo básico han organizado una obra de teatro para representar Noche de Reyes de W. Shakespeare en el gimnasio del colegio, cuya capacidad es de 700 personas. Tras analizar la relación costo-beneficio,decidieroncobrar$3000laentradaporpersona.

¿Qué relación existe entre las entradas que se vendan y el dinero fque genera su venta?

¿Cuánto dinero esperan reunir los estudiantes? f

Entre el dinero generado y el número de entradas vendidas existe una relación directamente proporcional. Los estudiantes pueden construir una tabla con el número de entradas que vendan y el ingreso respectivo:

Número de entradas

IngresoNúmero de entradas

Ingreso

0 $ 0 400 $ 1 200 000

100 $ 300 000 500 $ 1 500 000

200 $ 600 000 600 $ 1 800 000

300 $ 900 000 700 $ 2 100 000

Otra herramienta útil es un gráfico con los datos de la tabla:

Entradas

Ing

reso

s [$

]

0 100 200 300 400 500 600 700

2 500 000

2 000 000

1 500 000

1 000 000

5000 000

0

Gráfico de proporcionalidad directa

La tabla de una relación directamente proporcional contiene los valores de las variables relacionadas. El gráfico de una relación directamente proporcional es el que representa los datos de esta tabla y corresponde a una línea recta.

La gráfica de una relación directamente proporcional es una línea recta que debe, necesariamente, pasar por el origen.

Noche de Reyes o la Duodé-cima noche es una comedia teatral escrita por el poeta y dramaturgo inglés William Shakespeare (1564 - 1616) alrededor del 1600. Es una de las comedias más populares de este autor y ha sido llevada al cine y a la televisión en innumerables oportunidades.

La LiteraturaEnlace con…


Unidad

Ejercicios individualesCompleta las tablas de relaciones directamente proporcionales entregadas en las siguientes A.situaciones. Calcula la constante de proporcionalidad y grafica:

Un carpintero construye una puerta de madera en 1 día. Dos carpinteros construyen 2 puertas a) en 2 días.

Número de carpinterosP

ue

rta

s p

or

día

0 1 2 3 4 5 6

6

5

4

3

2

1

0

Número de carpinteros

Puertas por día

1 1

2

3

4

5

6

Un ciclista viaja con rapidez constante.b)

Distancia [km] Tiempo [h]

6 1

12

3

4

5

36

7 Tiempo [h]0 1 2 3 4 5 6 7

42

36

30

24

18

12

6

0

Dis

tan

cia

[km

]

2.Los ingredientes necesarios para preparar un pastel de choclos para cuatro personas son: 6 choclos, 4 presas de pollo, 0,25 kg de posta picada, 2 cebollas, 1 taza de leche, 2 dientes de ajo, 8 aceitunas, pasas, sal, comino y pimienta.

En la figura adjunta se muestra el gráfico de a) proporcionalidad directa para los choclos. Construye la tabla de proporcionalidad directa a partir del gráfico.

Construye la tabla y el gráfico de proporcio-b) nalidad directa para todos los ingredientes del pastel de choclo considerando 1, 2, 4, 10 y 20 personas.

Personas0 1 2 3 4 5 6 7 8

14

12

10

8

6

4

2

0

Ch

oc

los

N° de choclos vs N° de personas

Unidad 368

Relación inversamente proporcional

Los alumnos y alumnas de un curso quieren ir de paseo por un fin de semana a un camping. El dueño del camping cobrará al grupo $ 50 000 porelfindesemana.Elcursotiene30estudiantesycadaunodeellosno puede pagar más de $ 5 000 para ir al camping.

Si van todos los estudiantes del curso, ¿cuánto debe pagar cada uno? f

Si va solo la mitad, cuánto deberá pagar cada estudiante? f

¿Cuántos estudiantes deben ir como mínimo para que cada uno fgaste $ 5 000 o menos?

Podemos observar que mientras más estudiantes vayan al campamento menos dinero tendrá que pagar cada uno, pero que siempre el producto del número de alumnos y alumnas que vayan y el dinero que tienen que pagar individualmente, debe ser 50 000. Esto quiere decir que existe una relación inversamente proporcional entre el costo a cancelar por cada uno y la cantidad de estudiantes que asistan al campamento.

La constante o factor de proporcionalidad inversa se obtiene calculando el producto de las dos va-riables involucradas.

Existe una relación inversamente proporcional entre dos variables cuando al aumentar una, la otra disminuye en la misma razón. Es decir, cuando el producto de las dos variables es el mismo. A este producto constante se le llama factor o constante de proporciona-lidad inversa.

Sivantodoslosestudiantestenemosquedividir50000:30≈ 1667,entonces,podemosdecirquecadaunotendráquepagar$1667.

Sivalamitadtenemosquedividir50000:15=3333,esdecir,cadaunotendráquepagar$3333.

Por último, tenemos que dividir 50 000 por 5 000 para averiguar cuántos estudiantes deben asistir para que cada uno pague $ 5 000 o menos.Esdecir,deberánasistiralmenos50000:5000=10estudiantespara que el precio a pagar sea inferior que $ 5 000.

Si multiplicamos el número de estudiantes que asistirá al paseo por lo que debe pagar cada uno, siempre obtendremos 50 000. Podemos deducir entonces que la ecuación que relaciona el número de estudiantes que asiste al campamento y lo que tendrán que pagar cada uno es:

y · x = 50 000

y: cantidad de estudiantes que asistirán al campamento.x: dinero que deberá cancelar cada estudiante.

Recuerda que cuando entre dos variables existe una relación inversamente proporcional, puedes ocupar la regla de tres inversa para calcular algún valor desconocido.Si A y B son inversamente proporcionales y

A B

a1 b1

a2 Y

Entonces:

Y = a1 · b1

a2


Unidad

Ejercicios individualesCalcula la constante de proporcionalidad inversa de las variables relacionadas en los siguientes A.enunciados:

Dos cargadores demoran 5 horas en cargar un camión con escombros. Cuatro cargadores a) demoran 2,5 horas en realizar el mismo trabajo.

Si tengo un gato, el alimento me alcanza para un mes; si tengo dos gatos, el alimento alcanza b) para medio mes; si tengo tres gatos, el alimento alcanza para un tercio de mes.

Las siguientes expresiones relacionan las variables B. a y b. Señala con un √ los casos en que las variables se relacionan en forma inversamente proporcional:

a) a

b = 2

a · b = b) 10

c) 1

a · b = 3

5d) a · 5b = 5

ae) = 1

b

bf) = 10a

ProblemasVeinte obreros demoran 3 meses en construir el piso de un 1. edificio.

¿Cuánto se demorarían 15 obreros en construir el mismo a) piso?

¿Cuántos obreros se necesitan para que tarden dos b) meses en construir el piso del edificio?

Escribe la ecuación que relaciona el número de obreros con c) el tiempo que tardan en construir el piso del edificio.

¿Cuál es la constante de proporcionalidad inversa entre d) el número de obreros y el tiempo que tardan en construir el piso del edificio?

Manuel tiene un hámster en su casa y una bolsa de alimento 2. le alcanza para un mes. ¿Para cuánto tiempo le alcanzaría la bolsa si tuviera 3 hámsteres?

Tres andinistas perdidos en la montaña tienen alimento sufi-3. ciente para que una persona sobreviva 9 días. ¿Cuánto tiempo podrán sobrevivir los tres con este alimento?

Un grupo de 7 estudiantes realiza un trabajo de investigación 4. y demoran 4 horas en escribir el informe. ¿Cuánto se demo-rarían 10 estudiantes en escribir el mismo informe?

Un grup5. o de 10 personas ha contratado un microbús de tu-rismo por $ 30 000 para recorrer el sur de Chile. Si deciden repartirse el gasto en partes iguales, ¿cuánto pagará cada persona?, ¿cuánto deberían pagar si fueran 8 personas?

Unidad 370

Una hipérbola es una curva que resulta de la intersec-ción de un plano con dos secciones de cono circular recto.

Archívalo

Representación de una relación inversamente proporcional

Los estudiantes de octavo básico de un colegio organizarán un cam-peonato de futbolito con los octavos de otros colegio de su ciudad. Para esto arrendarán un gimnasio que tiene capacidad para 5 000 personas a un costo de $ 5 000 000. La idea del Centro de estudiantes es costear elarriendodelgimnasioygenerarunautilidadde$10000000conla venta de entradas.

¿Cómo puedes visualizar la relación existente entre la cantidad de fasistentes y el precio de las entradas?

¿Cuál será el costo de cada entrada si el gimnasio se llena? ¿Y si fasisten3000personas?

Entre el precio de la entrada y el número de asistentes al evento existe una relación inversamente proporcional.

Una herramienta útil para visualizar esta relación es una tabla como la siguiente:

Personas Precio Personas Precio

100 $ 150 000 2 000 $ 7 500

500 $ 30 000 3 000 $ 5 000

1 000 $ 15 000 4 000 $ 3 750

También es de gran utilidad graficar los datos de la tabla:

Personas

Pre

cio

[$]

Gráfico de proporcionalidad inversa

0 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000

160 000140 000120 000100 00080 000

60 00040 00020 000

0

Las variables A y B son inversamente proporcio-nales, tal que A · B = K. Las variables A y C también son inversamente proporciona-les, verificando A · C = L.¿Qué relación existe entre las variables B y C? Si esta relación es de pro-porcionalidad, ¿cuál es la constante?

Desafíoal ingenio


Unidad

Ejercicios individualesCompleta las tablas de relaciones inversamente proporcionales entregadas en los siguientes A.problemas. Calcula la constante de proporcionalidad inversa y grafica.

1 persona demora 24 horas en pintar una casa. 2 personas demoran 12 horas en pintarla.a)

1 manguera demora 6 días en llenar una piscina. 2 mangueras demoran 3 días en llenarla.b)

Número de mangueras

Tiempo [días]

1 6

2

2

4

5

1 Número de mangueras

Tie

mp

o [

día

s]

6

5

4

3

2

1

00 1 2 3 4 5 6

2.Luis celebrará su cumpleaños con sus amigos. Para agasajarlos compró una torta.

a) ¿Qué fracción de la torta comerá cada invitado si asisten 3 amigos de Luis?

b) ¿Qué fracción de la torta comerá cada invitado si asisten 5 amigos de Luis?

Confecciona una tabla en la que se indique la fracción de torta que come cada participante c) considerando que no hay invitados, que acude 1 invitado, que acuden 2, etc.

Construye un gráfico de líneas con los datos de la tabla anterior.d)

La tabla de una relación inversamente proporcional contiene los valores de las variables relacionadas. El gráfico de una relación inversamente proporcional es el que representa los datos de esta tabla y corresponde a una curva llamada hipérbola.

Sielgimnasiosellenara,laentradacostaría$3000;ysiasisten3000personas, costaría $ 5 000.

Número de personas

Tiempo [h]

1 24

2

8

4

5

4 Número de personas

30

25

20

15

10

5

00 1 2 3 4 5 6

Tie

mp

o [

h]

Unidad 372

Modelos matemáticos de proporcionalidad directa

En la naturaleza existen muchas magnitudes que están relacionadas en forma directamente proporcional. Dos magnitudes que guardan tal relación son la masa y el peso.

La masa m es una medida de la cantidad de materia que contiene un cuerpo, mientras que el peso p es una medida de la fuerza con que la Tierra atrae a este cuerpo. A mayor masa del cuerpo, mayor también es la fuerza con que el cuerpo es atraído por la Tierra.

La relación entre masa y peso queda definida por la fórmula:

p = mg

Evidentemente la constante de proporcionalidad directa es g, que como sabemos, es prácticamente constante en las cercanías de la su-perficiedenuestroplanetaysupondremosquevale10m/s2:

pm

= g

¿Cuál es el peso de un gato cuya masa es de 4 kg? f

Sustituyendo el valor de la masa queda:

p=4·10=40N

El peso del gato es de 40 N.

De esta manera, la tabla de la relación entre masa y peso es:

Masa [kg] 1 2 3 4 5 6

Peso [N] 10 20 30 40 50 60

La aceleración de gravedad varía de planeta en planeta. Su valor depende de la masa del planeta y de su tamaño.Se calcula por la fórmula:

g = G · M

R2

Donde:G= 6,67 · 10-11 (constante).M: masa del planeta (kg).R: radio del planeta (m).Los valores de la acelera-ción de gravedad (medida en [m/s2]) en la superficie de los planetas del Sistema Solar son:Mercurio: 4,0Venus: 8,2Tierra: 9,8Marte: 3,9Júpiter: 26,0Saturno: 11,2Urano: 10,3Neptuno: 13,9

La CienciaEnlace con…

Y el gráfico es:Tras una serie de mediciones de dos variables relacio-nadas A y B, se elaboró la siguiente tabla de datos:

A B

-2 1,2

-1 0,6

0 0

1 0,6

2 1,2

¿Cómo puedes modelar esta relación?

Desafíoal ingenio

Masa [kg]

Pe

so [

N]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1009080706050403020100

Gráfico Masa vs Peso


Unidad

En la naturaleza existen muchas magnitudes que están ligadas por una relación directamente proporcional, cuya expresión ma-temática es del tipo:

y = KxCon x e y las variables relacionadas y K la constante de propor-cionalidad directa.

Ejercicios individualesModela mediante la expresión matemática correspondiente las relaciones y completa las tablas A.que están más abajo. Considera g = 10 m/s2:

Para un cuerpo cuya masa (a) m) permanece constante, la fuerza que se le aplica (F) y la ace-leración que adquiere debido a ella (a) son magnitudes directamente proporcionales entre sí. Considera que dispones de un bloque de 12 kg.

Variable dependiente: Variable independiente: Constante:

F [N] 96 126 220,8 288

a [m/s2] 8 14,2 22

La energía potencial gravitatoria es aquella magnitud que posee un cuerpo debido a su po-b) sición respecto a la Tierra. Para un cuerpo cuya masa (m) permanece constante, la energía potencial gravitatoria (U) y la altura respecto a la superficie del planeta (h) son magnitudes directamente proporcionales entre sí. Considera que dispones de un bloque de 26 kg.


U [J] 1 040 3 380 8 580

h [m] 1 7 25

Las equivalencias entre unidades monetarias corresponden a relaciones directamente pro-c) porcionales. Considera un día en que el valor del euro (€) es de 750 pesos chilenos ($).


€ 1 4,5 12

$ 1 875 5 400 11 625

Unos investigadores realizaron dos experimentos, obteniendo los resultados que están en las B.tablas. Modélalos y determina si corresponden a relaciones directamente proporcionales:

a) b)

Fórmula matemática:

Constante:

Fórmula matemática:

Constante:

C 175 231,25 300 393,75

D 14 18,5 24 31,5

Fórmula: F = m · a

Fórmula: U = mgh

Fórmula: $ = k€

A 12 18 21,4 38

B 4,8 7,2 8,56 15,2

Unidad 374

Modelos matemáticos de proporcionalidad inversa

Cuando presionamos un cuerpo con la suficiente intensidad, este tiende a disminuir su tamaño o bien a deformarse. Por ejemplo, si presionas un globo verás que puedes disminuir su volumen hasta cierto límite y si continúas apretándolo, estallará. Estas son experiencias cotidianas que fueron modeladas matemáticamente para sustancias gaseosas hace algunos siglos por el científico inglés Robert Boyle.

La “Ley de Boyle” dice que para una cantidad de masa gaseosa fija, la presión ejercida sobre él (P) y el volumen que ocupa (V) son magnitudes inversamente proporcionales entre sí.

Matemáticamente esta relación la escribimos así:

PV = K

¿Cuáleselvolumendeungas(K=30)silosometemosaunapre- fsiónde1,5atm?

Sustituyendo el valor de la presión queda:

1,5·V=30

V = 301,5

= 20 L

El volumen del gas es de 20 L.

De esta manera, la tabla de la relación entre presión y volumen es:

Presión [atm] 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Volumen [L] 60 30 20 15 12 10

Y el gráfico es:

La disposición de las hipérbolas en el plano depende del valor del factor de proporcionalidad K. Observa:

H1: Y = K1

X

H2: Y = K2

X

H3: Y = K3

YEn este caso K3 > K2 > K1.

x0

H1 H2 H3

El químico británico Ro-bert Boyle (1627 - 1691) fue uno de los primeros científicos que describió en forma exhaustiva sus procedimientos, técnicas y observaciones, marcan-do una diferencia con los químicos anteriores a su época que realizaban sus experiencias en condiciones secretas y poco claras. Se dice que “aplicó el método científico a la alquimia”, y que esto sentó las bases para el enorme desarrollo de la química de los siglos XVIII y XIX.


Presión [atm]

Vo

lum

en

[L

]

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

70

60

50

40

30

20

10

0

Gráfico Volumen vs Presión


Unidad

Ejercicios individualesIndica con un √ cuál o cuáles de las siguientes situaciones que involucran dos magnitudes pueden A.ser modeladas mediante una fórmula de proporcionalidad inversa:

a) _____ La rapidez de un bus (v) y el tiempo (t) que demora en recorrer una distancia fija.

b) _____ El número de vigas (n) distribuidas uniformemente que mantienen una construcción y el peso que soporta cada una (p).

c) _____ La cantidad de habitantes de una ciudad (N) y la cantidad de atenciones de urgencia (M) que hay en el único centro hospitalario de ella.

d) _____ El peso de un automóvil (p) y la rapidez con que se desplaza por la carretera (v).

e) _____ La cantidad de camiones de una flota de transportes (N) y el tiempo que (t) demoran en transportar una carga fija.

Ejercicios grupalesEn grupos de dos estudiantes determinen los valores que debe adquirir la variable B dados los A.valores de A, de manera que las variables A y B estén ligadas por una relación inversamente proporcional a través de la constante que se indica en cada caso:

En la naturaleza existen muchas magnitudes que están ligadas por una relación inversamente proporcional, cuya expresión ma-temática es del tipo:

xy = KCon x e y las variables relacionadas y K la constante de propor-cionalidad inversa.

A B

1

2

3

4

5

a) K = 0,5

A B

0,5

1

1,5

2

2,5

b) K = 3

A B

12

24

48

96

192

c) K = 120

Expresen la fórmula matemática que relaciona las variables E y F a partir de las tablas de datos B.que están a continuación:

E F

4 3

8 1,5

12 1

16 0,75

a)

E F

1,8 2,5

3 1,5

4 1,125

20 0,225

b)

E F

0,2 24

0,25 30

0,3 36

0,35 42

c)

Unidad 376

Funciones

A un arquitecto se le ha encargado construir una casa en un bal-neario. El tiempo que demore en construir la casa dependerá del número de obreros que contrate. La cantidad de obreros y el tiempo que se demorarán en construir la casa están ligados por una relación inversamente proporcional. Según las estimaciones del arquitecto, si contrata6obrerosdemorarán10díasenterminarlacasa.Porrazonesdepresupuesto,elarquitectonopuedecontratarmásde6obrerosypor razones de tiempo, no puede emplear menos de 2 obreros.

Escribe la ecuación que relaciona el número de obreros y el tiempo fque demorarán en construir la casa.

Escribe algunos valores de la relación y dibuja un diagrama con fellos.

La ecuación que relaciona el número de obreros (N) y el tiempo que demorarán en construir la casa (T) es:

N · T=60

Número de obrerosN

Tiempo [días]T

2 30

3 20

4 15

5 12

6 10

ElconjuntodelosvaloresquepuedetomarNes{2,3,4,5,6}yelconjuntodevaloresquepuedetomarTes{10,12,15,20,30}.

Observa el siguiente diagrama:

Si te fijas, cada elemento del conjunto N está relacionado con uno y solo uno de los elementos del conjunto T.

Las condiciones formales que debe cumplir una fun-ción de un conjunto A en un conjunto B son:Existencia: todos los ele-mentos de A están rela-cionados con elementos de B.Unicidad: cada elemento de A está relacionado solo con un elemento de B.

Archívalo

Las funciones pueden ser representadas en un gráfico. Por ejemplo la función f de X en Y:

X Y

0 1

1 3

2 5

3 7

La gráfica es:

ƒ

N T

30

20

15

12

10

ƒ

2

3

4

5

6x0 1 2 3 4 5

8

7

6

5

4

3

2

1

0

y


Unidad

Ejercicios individualesDetermina el dominio y el recorrido de cada funciónA.

Diremos que la relación inversamente proporcional existente entre la cantidad de obreros y el tiempo que demoran en construir la casa, corresponde a una función f del conjunto N en el conjunto T.

El dominio (Dom) de una función son todos los valores desde los que sale una flecha y su recorrido (Rec) son todos los valores a los que llega una flecha. En el caso del ejemplo tenemos:

Dom ƒ={2,3,4,5,6} Recƒ={10,12,15,20,30}

Dados dos conjuntos A y B, una función ƒ es una relación entre estos dos conjuntos tal que cada elemento del conjunto A está relacionado con un único elemento del conjunto B.

a) b)

El dominio de una función coincide con el conjunto desde el que parte la función (en el ejemplo, el conjunto N), pero el recorrido no siempre coincide con el conjunto al que llega la función (en el ejemplo, el conjunto T). En el problema estudiado sí coinciden, pero esto no es una generalidad.

Dom ƒ={ }Rec ƒ ={ }

Dom g={ }Rec g ={ }

Determina el dominio y el recorrido de las funciones que se describen. Dibuja un diagrama que B.represente cada función.

Un artículo vale $ 10. En el almacén sólo a) quedan 6 artículos.

b) y = 3x + 1. x sólo puede adquirir valores enteros mayores que 7 y menores que 14.

Dom ƒ={ }Rec ƒ ={ }

Dom g={ }Rec g ={ }

1

2

3

4

5

ƒ

a

b

c

d

e

4

8

12

16

20

24

g

1

2

3

4

5

ƒArtículos $

101

gx y

258

DesarrolloHIPERTEXTO

78 Unidad 3


a) Entiende: ¿Qué sabes del problema?

Las variables volumen y temperatura están relacionadas y que esta relación se expresa en la •tabla.

Problema modeloUn alumno está estudiando la relación que existe entre el volumen y la temperatura en un gas cuando la presión de este se mantiene constan-te. Para esto, llenó un globo con el gas y fue variando la temperatura, registrando los datos que están en la tabla.

Grafica los datos de la tabla. ¿Qué tipo de relación hay entre el vo-a) lumen y la temperatura? Plantea y resuelve la ecuación que permite predecir la temperatura b) cuándo el volumen es de 800 ml.

b) Planifica tu estrategia: ¿Cómo puedes resolver el problema?

Graficamos las variables volumen y temperatura. Si obtenemos una recta, la relación es directa-•mente proporcional y si obtenemos una hipérbola, la relación es inversamente proporcional.Calculamos la constante de proporcionalidad y planteamos la ecuación correspondiente.•Para calcular la temperatura desconocida reemplazamos V = 800 ml y despejamos T.•

d) Responde: Contesta las preguntas del problema

Entre el volumen y la temperatura de un gas existe una relación directamente proporcional.•La temperatura para un volumen de 800 ml es de 520 K.•

Temperatura [K]

Volumen [ml]

293,80 452

323,70 498

365,95 563

416,65 641

458,25 705

e) Comprueba: Aplica otra estrategia para comprobar el resultado

Podemos verificar que para todos los datos de la tabla, el cociente •TVesiguala0,65

c) Resuelve: Desarrolla el problema para llegar a una respuesta

k = 293,8452

=0,65

TV=0,65

Si V = 800 ml, entonces T

800=0,65.

Por lo tanto: T=800·0,65=520K

Temperatura QKU

Vo

lum

en

Qm

lU

0 100 200 300 400 500

800700600500

400300200

100

0

Gráfico Volumen vs Temperatura

Unidad

79Ecuaciones y proporcionalidad

Problema 1La siguiente tabla muestra distintos valores de presión y temperatura para un gas cuando su volumen se mantiene constante.

Grafica los datos de la tabla. ¿Qué tipo de relación hay entre la tem-a) peratura y la presión?Calcula la constante de proporcionalidad según corresponda.b) Plantea y resuelve la ecuación que permite predecir la presión cuando c) la temperatura es de 380 K.

Temperatura [K]

Presión [Pa]

295,00 103,25

323,70 113,295

365,95 128,0825

416,65 145,8275

Problema 2El director de un colegio contrató a un actor profesional para hacer clases de teatro a los estudiantes. El actor aceptará un mínimo de 10 alumnos y alumnas y un máximo de 30. La tabla muestra cuanto debería pagar cada estudiante según la cantidad de inscritos en la clase de teatro.

Grafica los datos de la tabla y descubre qué tipo de relación hay entre a) las dos variables.Calcula la constante de proporcionalidad.b) Si se permitiera que 40 estudiantes tomaran el curso de teatro, ¿cuánto c) debería pagar cada uno?

Número de estudiantes

Precio por estudiante

10 $ 3 000

15 $ 2 000

20 $ 1 500

25 $ 1 200

30 $ 1 000

Problema 3El gráfico muestra la relación existente entre la cantidad de harina necesaria para preparar un pastel y la cantidad de personas que podrían comerlo.

¿Qué tipo de relación hay entre las dos variables que se a) muestran en el gráfico?A partir del gráfico construye una tabla y luego calcula la b) constante de proporcionalidad.¿Qué cantidad de harina se necesitaría para que 25 per-c) sonas comieran del pastel?

Harina [g]

Pe

rso

na

s

0 100 200 300 400 500

10

8

6

4

2

0

Pastel

Problema 4En el acelerador de partículas europeo CERN un joven físico expe-rimenta con una nueva partícula –que ha llamado partícula qoppa–. Sus estudios le han permitido deducir que el número de partículas que aparecen por centímetro cuadrado y por segundo, es directamente proporcional a la rapidez con que se mueve la partícula de alta energía a partir de la que se generan. Para una rapidez de 0,75c, se generan 18 partículas qoppa.

Calcula la constante de proporcionalidad.a) Si la partícula de alta energía se mueve a 0,875c, ¿aproximadamente, b) cuántas partículas qoppa se generarán por segundo y por centímetro cuadrado?Si se generan 16 partículas por segundo y por centímetro cuadrado, c) ¿con qué rapidez se mueve la partícula de alta energía?

80 Unidad 3

Tecnología activaRepresentación gráfica de relaciones proporcionales

El comportamiento de los gases ideales fue ampliamente estudiado por científico de los siglos XVII y XVIII. Las relaciones que se descubrieron empíricamente fueron modeladas usando relaciones directa e inversamente proporcionales. Las magnitudes que determinan el estado de un gas son la presión (P), el volumen (V) y la temperatura (T). A continuación gra-ficaremos en Excel la relación existente entre dos de ellas manteniendo constante la tercera.

Construcción de planilla de cálculo para P y V.1. Manteniendo constante la temperatura, el modelo matemático que describe el comporta-miento de la presión y el volumen de un gas ideal es:

PV = K (Ley de Boyle)

Por lo tanto, la presión y el volumen son magnitudes que presentan un comportamiento inversa-mente proporcional, al aumentar uno, el otro disminuye en la misma razón, y viceversa.

Consideremos los datos de un gas obtenidos en un experimento a temperatura constante:P [atm] 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

V [L] 12 8 6 4,8 4 3,43 3 2,67 2,4

❯ Crea un archivo, llámalo “Leyes de los gases”.

❯ Ingresa los datos de la tabla como se indica en la imagen.

❯ Haz clic en el ícono , selecciona el gráfico tipo Líneas y

haz clic en Serie. Si hay una o más series ya definidas quítalas y presiona Agregar.

❯ EnNombreanota“GráficoPversusV”;enValoreshazclic en , selecciona los valores numéricos de la columna V y haz

clic en ;y en Rótulo eje de categorías (X) haz clic en ,

selecciona los datos numéricos de la columna P y nuevamente haz clic en .

❯ En la siguiente ventana selecciona Títulos y pon a los ejes los nombres que corresponde, Presión [atm] para el eje horizontal y Volumen [L] para el vertical.

❯ Finaliza tu trabajo. El gráfico debe verse como indica la figura.

Presión [atm]

Vo

lum

en

[L

]

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5

141210

86420

Gráfico P versus V

Unidad

81Ecuaciones y proporcionalidad

Construcción de planilla de cálculo para P y T.2. Manteniendo constante el volumen de una gas ideal y midiendo los cambios en su tempe-ratura (expresada en kelvin) producto de variaciones de presión, podemos establecer que el modelo matemático que representa estos cambios es:

P = KT (Ley de Gay-Lussac)

Por lo tanto, la presión y la temperatura son magnitudes que presentan un comportamiento directamente proporcional, vale decir, al aumentar uno, el otro aumenta en la misma razón, y viceversa.

Paragraficarestarelacióntrabajaremoscondatosdepresiónde0;0,4;0,8;1,2;1,6;2;2,4;2,8y3,2.Losvaloresdetemperaturaloscalcularemosconsiderandounaconstantedepro-porcionalidadK=0,01.

❯ Haz clic en Hoja 2 de tu archivo.

❯ Ingresa los datos de presión en la columna A.

❯ En laceldaB2anota“=A2/0,01”yarrastraesta fórmulahasta laceldaB10.Tuplanilladebeversecomolafiguradel costado.

❯ Haz clic en el ícono , selecciona el gráfico tipo Líneas y haz clic en Serie. Si hay una o más series ya definidas quítalas y presiona Agregar.

❯ EnNombreanota“GráficoPversusT”;enValores,seleccionalosvalores numéricos de la columna T;yenRótuloejedecategorías(X) selecciona los datos numéricos de la columna P.

❯ En la siguiente ventana selec-ciona Títulos y pon a los ejes los nombres que corresponde, Presión [atm] para el eje hori-zontal y Temperatura [K] para el vertical.

❯ Finaliza tu trabajo. El gráfico debe verse como indica la figura.

Aplicando lo aprendido.3. Grafica la relación P versus V para los a) datosmedidosdevolumen2,4,6,8,10,12y14litrosyunaconstanteK=4.

¿Qué forma tiene la gráfica obtenida?

b) Grafica la relación P versus T para losdatosdetemperaturade100,110,120,130,140,150y160kelvinyunaconstante K = 0,2.

¿Qué forma tiene la gráfica obtenida?

Presión [atm]

Tem

pe

ratu

ra [

K]

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2

350

300

250

200

150

100

50

0

Gráfico P versus T

82 Unidad 3

Síntesis de la unidad

Ficha 2

Entre dos variables existe una relación direc-tamente proporcional cuando ambas varían en la misma razón y el cociente entre ellas es siempre un mismo número, llamado constante o razón de proporcionalidad directa.

Ficha 3

La tabla de una relación directamente proporcional es una tabla que contiene las variables relacionadas en forma direc-tamente proporcional. El gráfico de una relación directamente proporcional es el que representa los datos de esta tabla y corresponde a una línea recta que pasa por el origen.

Ficha 5

La tabla de una relación inversamente proporcional es una tabla que contiene las variables que están relacionadas en forma inversamente proporcional. El gráfico de una relación inversamente proporcional es el que representa los datos de esta tabla y corresponde a una línea curva llamada hipérbola.

Ficha 4

Entre dos variables existe una relación inversamente pro-porcional cuando al aumentar una la otra disminuye en la misma razón. El producto de las dos variables relacionadas es siempre un mismo número, llamado constante o factor de proporcionalidad inversa.

Ficha1

Una variable independiente es aquella cuyo valor solo depende de sí misma. Una variable dependiente es aquella cuyo valor depende del valor de otra variable.

Ficha 6

Un modelo matemático de proporciona-lidad directa es una ecuación matemática que relaciona las variables involucradas. La ecuación que generaliza una relación directamente proporcional es y = K · x.

Ficha 7

Un modelo matemático de proporciona-lidad inversa es una ecuación matemática que relaciona las variables involucradas. La ecuación que generaliza una relación inver-samente proporcional es y · x = K.

Ficha 8

Dados dos conjuntos A y B, una función ƒ entre ambos es una relación que relaciona cada elemento del conjunto A con un único elemento del conjunto B.

SíntesisHIPERTEXTO

83

Unidad

Ecuaciones y proporcionalidad

Evaluación I Ejercicios de desarrollo

En las siguientes ecuaciones encuentra el valor de la variable desconocida:A.

xa) + 2y = 12 Si x = 6, entonces y = .

w – b) 2z = 3 Si w = , entonces z = 1.

3c) x + 2y = 1 Si x = 1, entonces y = .

2d) x + 6z – 20 = 0 Si x = 1, entonces z = .

5e) x = 3y Si x = , entonces y =10.

2f) x + 2y + 30 = 14 Si x = -5, entonces y = .

x y

1 3

3 9

6 18

9 27

12 36

PD PI NP

Constante:

Modelo matemático:

a)

b)

c)

2.Determina si las siguientes variables se relacionan en forma directamente proporcional (PD), inversamente proporcional (PI) o no hay proporcionalidad entre ellas (NP). Grafica en Excel y calcula la constante de proporcionalidad si corresponde.

x y

4 28

8 10

10 70

12 60

15 30

PD PI NP

Constante:

Modelo matemático:

x y

4 35

5 28

7 20

10 14

14 10

PD PI NP

Constante:

Modelo matemático:

84 Unidad 3

3.Dados los siguientes gráficos identifica cuál representa proporcionalidad directa y cuál propor-cionalidad inversa. Determina en cada caso la constante de proporcionalidad correspondiente e incorporar a las tablas los datos destacados en rojo:

Tipo de proporcionalidad:

Constante de proporcionalidad:

Modelo matemático:

A B

Tipo de proporcionalidad:

Constante de proporcionalidad:

Modelo matemático:

C D

4.Marca con un √ las relaciones que son funciones:

a) b)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

C

D

0 1 2 3 4 5 6 7 8

80

70

60

50

40

30

20

10

0A

B

a) c)

1

3

5

7

9

11

h

1

2

3

4

5

6

0

1

2

3

4

ƒ

0

1

2

3

4

b) g

A

B

C

D

E

F

2

4

6

8

85

Unidad

Ecuaciones y proporcionalidad

II Ejercicios con alternativas Marca las alternativas correctas en la hoja de respuestas que te dará el docente y completa la

tabla que allí aparece.

a La suma de las edades de Carolina (x) y Andrea (y) es 40. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones expresa esta información?

a) x + y = 40

b) x – y = 40

c) x · y = 40

d) x + y + 40 = 0

5 3 pintores demoran 21 días en pintar un edi-ficio. ¿Cuántos días demorarán 7 pintores?

a) 12 días

b) 20 días

c) 9 días

d) 18 días

2 Hay ocho personas invitadas a tomar té en la casa de Victoria. Ella encuentra una receta de un pastel para 20 personas que sugiere utilizar 800 gramos de harina ¿Cuánta harina debe utilizar para 8 personas?

a) 400 g

b) 750 g

c) 320 g

d) 300 g

f Según los datos de la tabla, ¿para cuántos niños alcanzarán 25 bebidas?

Bebidas 1 5 10 15

Niños 6 30 60 90

a) 120 niños

b) 150 niños

c) 200 niños

d) 240 niños

c ¿Cuál es la ecuación que representa la relación inversamente proporcional entre dos variables X e Y, si la constante de pro-porcionalidad inversa es 33?

a) Y = 33

Xb) Y = 33X

c) X = 1

Yd) X = Y

g Los alumnos y alumnas de un curso rea-lizarán una choripanada. El kilogramo de longanizas cuesta $ 3 300. ¿Cuánto cuestan 2,5 kilogramos de longanizas?a) $ 8 250

b) $ 3 500

c) $ 8 200

d) $ 8 500

4 Observa la tabla. ¿Qué tipo de relación hay entre las variables A y B?

A 3 4 5 6 7

B 15 20 25 30 35

a) Relación inversamente proporcional.

b) No hay relación entre las variables.

c) Relación directamente proporcional.

d) Ninguna de las anteriores.

8 ¿Cuál es la constante de proporcionalidad inversa para las variables X e Y?

X 1 2 3 4

Y 15 7,5 5 3,75

a) 0,06

b) 0,26

c) 15

d) 17

EvaluaciónHIPERTEXTO

Cuerpos redondos5

Unidad

116

Red conceptual

Elementos

Esfera

Cilindro

Redes

Áreas y volúmenes

descripción de

construcción usando

cálculo de

ConoCuerpos redondos

117

En esta unidad aprenderás a:

Identificar y caracterizar cuerpos redondos.

Determinar redes de cuerpos redondos.

Calcular área y volumen de cilindros, conos y esferas.

Aplicar fórmulas de área y volumen de cuerpos redondos a diversas situacio‑

nes problemáticas.

¿Cuáles son las principales expresiones artística de nuestro país?

El continente americano ha cobijado a lo largo de su historia gran cantidad de agrupaciones humanas con diversos niveles de desarrollo que florecieron, decayeron y, muchos de ellos, desaparecieron como conjunto étnico. Sin embargo, estas civilizaciones extintas y otras que han conseguido sobrevivir al fragor del tiempo, nos presentan obras artísticas de inapreciable valor cultural. Es así como en nuestro país, obras de alfarería diaguita, atacameña y molle forman parte de nuestro patrimonio cultural.

La cultura diaguita floreció entre los años 900 d. de C. y 1500 d. de C. en el Norte Chico de Chile, entre los ríos Copiapó por el norte y Choapa por el sur.

Los diaguitas se destacaron por su elaborada cerámica en la que privilegiaron los di-seños geométricos a dos colores en sus vasijas de diferentes formas: ollas (cilíndricas), urnas (esféricas y cilíndricas), jarros-pato (esféricos y cilíndricos), cuencos (cilíndricos) y escudillas (cilíndricas).

¿Recuerdas qué es un cilindro? ¿Y una esfera?

¿Qué tienen en común los cilindros, conos y esferas?

¿Qué otras culturas chilenas conoces que se destacaron por su alfarería?

¿Puedes resolver?Fernando y Amalia acudieron a una muestra de artesanía de diversas regiones del mundo. Allí adquirieron objetos de alfarería y artículos elaborados en madera. Parte de ellos se pueden observar en la foto.

¿Qué formas geométricas puedes identificar en la foto?

¿Cuáles de ellas tienen solo caras planas? ¿Qué nombre reciben estos cuerpos?

¿Cuáles de ellas tienen al menos una cara curva? ¿Qué nombre reciben estos cuerpos?

❷

❸

❶

❹

MotivaciónHIPERTEXTO

Actividad inicial

Unidad 5118

A lo largo de la historia de nuestro continente diversas culturas prehispánicas desarrollaron manifestaciones artísticas y culturales, donde la presencia de figuras y cuerpos geométricos ha sido un elemento importante para la trascendencia de dichas manifestaciones. Tanto en la arquitectura como en la artesanía desarrolladas en Chile y en el resto de América se aprecian cilindros, conos, esferas, pirámides y prismas, entre otros cuerpos.

Reúnanse en grupos de tres personas y realicen las actividades que están a continuación.

Lean la historieta y luego contesten las preguntas de la página siguiente:a

Cuerpos redondos 119

Unidad

¿A qué cuerpos geométricos se asemejan los artículos que admiran los jovenes a) en el cuarto recuadro de la historieta?

¿Qué elementos de los cuerpos geométricos pueden reconocer en una pirámide b) como la que aparece en el segundo recuadro de la historieta?

A lo largo de la historia han existido diferentes manifestaciones artísticas en c) donde se puede reconocer con facilidad la presencia de los cuerpo geométri‑cos. Por ejemplo, la torre de Pisa o las pirámides de Egipto. Mencionen tres ejemplos diferentes a los anteriores, en donde se aprecien cuerpos geométricos e intenten clasificarlos.

Investiguen qué cuerpos geométricos se pueden encontrar en las manifesta‑d) ciones artísticas de la cultura Mapuche.

Observen los siguientes cuerpos geométricos:b

Si tuvieran que formar dos familias de cuerpos, la I y la II, ¿qué cuerpos a) estarían en cada una de ellas?

Familia I: Familia II:

¿Qué características comunes tuvieron en cuenta para formar las familias?b)

Elijan un cuerpo de cada familia y señalen los elementos que lo caracterizan.c)

Escriban, para cada cuerpo, el nombre de un objeto del entorno que se le d) asemeje.

A C E G

B D F H

DiagnósticoHIPERTEXTO

Unidad 5120

Cuerpos redondos

A Antonio le han asignado la tarea de realizar una escultura con elementos reciclados. Para ello lleva los siguiente materiales:

¿A que cuerpos geométricos se asemejan los objetos que lleva An‑ ftonio a clases?

Estos objetos se asemejan a cuerpos redondos.

Los cuerpos redondos son todos aquellos cuerpos o sólidos geomé-tricos formados por regiones curvas o regiones planas y curvas. Los principales cuerpos redondos son:

El cilindro:

El cono:

La esfera:

La filosofía del reciclaje conlleva un control en el consumo (reducción) y una tendencia hacia la utilización de productos que ofrezcan los mínimos problemas de contamina-ción y la mayor facilidad para su recuperación y reutilización.

Archívalo

Pese a los avances tec-nológicos y técnicos, el ser humano no ha podi-do construir una esfera perfecta. La más cercana a este ideal difiere de la perfección en una distan-cia equivalente a la de 20 átomos alineados.



Unidad

Ejercicios individualesCompleta la tabla con objetos de la vida cotidiana que se asemejen a los cuerpos redondos que a.se mencionan a continuación:

Cilindro Cono Esfera

Indica un objeto cotidiano que se pueda obtener mediante cada una de las siguientes combina-b.ciones:

Combinación Objeto

Cilindro – Cono

Cilindro – Esfera

Cono – Esfera

Ejercicios grupales

Reúnanse en grupos de tres compañeros o compañeras y observen las imágenes que a conti-a.nuación aparecen. Luego realicen las actividades que se indican.

Describan cada una de las imágenes y respondan: ¿Qué representan cada una de ellas en a) nuestra sociedad? ¿Qué imagen o imágenes son parte de culturas distintas a la nuestra?

Clasifiquen cada una de las imágenes anteriores según el cuerpo geométrico al que se ase-b) mejan.

Investiguen algunas edificaciones de distintas culturas y civilizaciones donde puedan identi-c) ficar la utilización de cuerpos redondos. Expongan su trabajo al resto de los integrantes del curso.

Unidad 5122

El cilindro es un cuerpo redondo que consta de tres caras: dos ca-ras basales circulares planas y una cara lateral rectangular curva. En él se pueden distinguir dos elementos: su base y su altura.

Altura

Base

Caras de un cilindro: Base Base Cara lateral

El cilindro

Las formas cilíndricas han sido utilizadas en diferentes manifestaciones artísticas de los pueblos originarios de nuestro continente, las cuales han trascendido en el tiempo para ayudarnos a comprender su cultura.

Observa el jarro grabado pertene‑ciente a la cultura La Aguada que se desarrollo en la provincia argentina de Catamarca.

¿A qué cuerpo geométrico se asemeja fsu forma?

La forma del jarro corresponde a la de un cilindro.

¿Qué figuras geométricas limitan a fun cilindro?

Un cilindro está formado por tres figuras geométricas: 2 círculos basales –uno superior y otro inferior– y un rectángulo curvado que los conecta y que corresponde a la cara lateral.

Las caras de un cilindro deben cumplir dos con-diciones:

Los círculos basales •deben ser congruen-tes entre sí, es decir, iguales.La medida de uno de •los lados del rectángulo lateral debe ser igual al perímetro del círculo.

Recuerda que el perímetro de un círculo se calcula mediante la fórmula:

p = 2πrY que el área se calcula con la fórmula:

A = πr2

Donde r es el radio del círculo.

r r a

b

La condición básica para construir un cilindro es que uno de los lados del rectángulo coincida con el perímetro de las caras basales, es decir:

a = 2πr o b = 2πr


Unidad

Ejercicios individualesIndica en cada caso si con las dimensiones de las figuras que se presentan es posible formar a.un cilindro (considera π ≈ 3,14). En caso de ser posible, señala la altura del cilindro formado y el perímetro y el área de su base:

Bases Lado lateral¿Se puede formar

un cilindro?Altura del

cilindro (H)Área basal del

cilindro (A)

Completa las siguientes frases indicando las dimensiones que faltan. Cuando debas aproximar, b.redondea a la centésima el número decimal. Utiliza una calculadora cuando sea necesario.

La altura de un cilindro mide 24 cm, por lo tanto, su cara lateral puede ser un rectángulo de a) 12 cm de ancho y _______ cm de largo.

La cara lateral de un cilindro es un rectángulo de 62 cm de largo y 53 cm de ancho, por lo b) tanto, el radio de los círculos que le sirven de base debe medir _________ cm (considera el cilindro de menor altura que se puede formar).

El radio de los círculos basales de un cilindro mide 14 cm, por lo tanto, su cara lateral puede c) ser un cuadrado de _______ cm de lado, aproximadamente.

6 cm

3,2 m

8 m

18,84 cm

20,096 m

50,35 m

119,948 m

19,1 m

9 cm

15 m

20 m

45 m

Unidad 5124

El cono

Muchas de las viviendas que utilizaron los pueblos originarios de América constituían llamativas formas geométricas.

Observa la tienda del costado, hecha de pieles de animales, creación típica de algunos pueblos indígenas de Norteamérica.

¿A qué cuerpo geométrico se asemeja su fforma?

La forma de la tienda corresponde a la de un cono.

Para construir un cono es necesario conocer:

La longitud del radio de su cara basal (• r).

La longitud de la generatriz (• g).

El ángulo del sector circular que servirá de cara lateral del cono se calcula utilizando la siguiente fórmula:

α = r · 360°g

El tipi fue una vivienda utilizada principalmente por la tribu siux que habitó gran parte de las llanuras de los Estados unidos. Eran una tribu nómada que se trasladaba siguiendo los movimientos de las ma-nadas de búfalos, que eran su sustento de vida.

La HistoriaEnlace con…

El cono es un cuerpo redondo que consta de dos caras –una basal plana y una lateral curva o manto– y una cúspide. En él se pueden reconocer los siguientes elementos: base, generatriz (g) y altura (H).

BaseCaras de un cono: Base Cara lateral

Hg

r

r

Cúspide

Cara lateral curva

g α

La fórmula para determi-nar el ángulo del manto del cono α, se puede deducir a partir de la proporción entre la razón del perímetro del sector circular determinado por α y el perímetro total, y la razón entre el ángulo del sector circular α y el ángulo completo 360º, es decir:

2πr2πg

= α360


Unidad

Una generatriz se define como el punto, curva o superficie que al girar alre-dedor de un eje da lugar a una curva, una superficie o un cuerpo sólido, respectiva-mente. En el caso del cono, la generatriz es el segmento que, al girar alrededor de un eje, lo genera.

ArchívaloImagina que debes construir un cono cuya base sea un círculo de 4 cm

de radio (r). Además, supón que dispones de otro círculo de 9 cm de radio que debes recortar para construir la cara lateral.

¿Cómo puedes hacerlo? f

La generatriz del cono corresponde al radio del círculo que usaremos para obtener la cara lateral o manto. El ángulo que debemos recortar de este círculo lo calculamos mediante la fórmula:

α = r · 360°g

= 4 · 360°9

= 160°

Ejercicios individuales¿Cuánto debe medir el radio de la cara basal de un cono si su generatriz mide 30 cm y el ángulo a.de su manto 180°?

Calcula la generatriz de un cono, cuyo radio basal mide 72 cm y cuyo ángulo de manto mide 72°.b.

Ejercicios grupales

En grupos de dos personas discutan la siguiente situación: sobre una mesa hay tres conos con a.la misma cara basal pero que difieren en sus alturas. Entonces, ¿cuál cono tiene el ángulo de su manto más pequeño?

La longitud de la generatriz de un cono A es el doble de la de un cono B. El radio de las caras ba-b.sales de ambos conos es el mismo. Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles falsas:

a) _____ El ángulo de los mantos de ambos conos es el mismo.

b) _____ El ángulo del manto del cono B es el doble que el del cono A.

c) _____ La medida de la generatriz no influye en el cálculo del ángulo del manto.

ProblemasIsaac necesita construir un gorro de cumpleaños cónico para poner 1. a la mascota de su tía Marcela. El diámetro de la cabeza del perro es 14 cm y la generatriz apropiada es de 28 cm.

¿Qué ángulo deberá tener la cartulina que cortará?a) ¿Cuál es el ángulo, si la generatriz aumenta en 2 cm?b)

Unidad 5126

La esfera

La mayor parte de los cuerpos masivos que erran por el Universo tienen forma aproximadamente esférica. Entre ellos, las estrellas, los planetas, los planetas enanos, los grandes asteroides y muchos saté‑lites naturales. En particular, la Tierra tiene forma casi esférica (está levemente achatada en los polos), es por eso que también la llamamos la esfera terrestre.

A continuación, se muestran las fotos del planeta Venus y de Io, uno de los innumerables satélites naturales de Júpiter.

¿Por qué la mayoría de los cuerpos celestes tienen forma esférica? f

La respuesta la encontramos en la Física. Todos aquellos cuerpos que poseen la suficiente masa para generar un campo gravitatorio importan‑te a su alrededor, distribuyen su masa en forma equidistante al punto central de su interior. Esto ocurre debido a que la fuerza de gravedad atrae su masa con la misma intensidad en todas las direcciones.

La esfera es un cuerpo redondo limitado por una superficie curva, cuyos puntos equidistan de un punto interior llamado centro de la esfera. Los principales elementos de una esfera son su centro y su radio.

C r

En agosto de 2006 la Unión Astronómica Mundial re-definió la categoría de planeta y excluyó de tal condición a Plutón. Por lo tanto, a partir de esa fecha el Sistema Solar contiene 8 planetas: Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Sa-turno, Urano y Neptuno; y 3 planetas enanos: Ceres (ex asteroide), Plutón (ex plane-ta) y Eris (cuerpo ubicado más allá de Plutón).


Cuando una esfera se corta en dos secciones idénticas se obtienen dos hemis-ferios.Casquete esférico es la sec-ción de la esfera que queda determinada cuando se la corta desigualmente.Una zona esférica se ob-tiene al cortar una esfera mediante dos planos pa-ralelos.

Archívalo


Unidad

Ejercicios individualesIndica qué nombre recibe la sección coloreada de cada esfera:a.

a) b) c)

Indica 8 objetos cotidianos cuya forma sea aproximadamente la de una esfera. Estima el radio b.de cada una de ellos:

Objeto 1:

Radio =

Objeto 5:

Radio =

Objeto 2:

Radio =

Objeto 6:

Radio =

Objeto 3:

Radio =

Objeto 7:

Radio =

Objeto 4:

Radio =

Objeto 8:

Radio =

Ejercicios grupales

En grupos de dos personas discutan las siguientes aseveraciones e indiquen si son verdaderas a.(V) o falsas (F):

a) ____ La superficie de una esfera es una figura geométrica ilimitada aunque finita.

b) ____ La esfera es el cuerpo que menor resistencia presenta al movimiento.

c) ____ La esfera en el espacio, es el equivalente a un círculo en el plano.

d) ____ Todos los puntos de la superficie de una esfera equidistan de un eje que pasa por su centro.

C C C


Unidad 5128

Área de cuerpos redondos

Saber calcular el área de diferentes cuerpos geométricos es muy importante, ya que a través de este cálculo podemos obtener informa‑ción útil para, por ejemplo, pintar o recubrir con papel las caras que determinan estos cuerpos.

El área de un cuerpo geométrico corresponde a la suma de las áreas de todas las caras que lo componen.

Fabiola desea envolver un conjunto de calcetines que compró para su padre. El envase que contiene al conjunto tiene la forma de un ci‑lindro, cuyo radio basal mide 15 cm y cuya altura mide 20 cm.

¿Cómo puede calcular la cantidad de papel de regalo que fnecesita?

La cantidad de papel requerido corresponde al área del cilindro que contiene los calcetines.

El área de un cilindro de radio basal r y altura H, corresponde a la suma del área de las bases y el área de la cara lateral:Área cilindro = Área basal + Área lateral = 2 · πr2 + 2πrHÁrea cilindro = 2πr · (r + H)

Aplicando la fórmula al problema de Fabiola, tenemos:

A = 2πr · (r + H) = 2π · 15 · (15 + 20) = 1 050π ≈ 3 298,7 cm2.

Por lo tanto, la cantidad de papel requerido es de 3 298,7 cm2, aproximadamente.

El padre de Fabiola trabaja en la municipalidad y se le encargó pintar la punta cónica de una torre centenaria del Correo Central. El radio del cono mide 3 m y la generatriz mide 6 m.

¿Cuál es el área que debe pintar? f

El área a pintar equivale al área del manto del cono que sirve de punta para la torre.

El área de un cono de radio basal r y generatriz g, corresponde a la suma del área de la base y el área de la cara lateral:Área cono = Área basal + Área lateral = πr2 + πrgÁrea cono = πr · (r + g)

El área del manto de un cono (x), se puede calcular mediante una simple regla de tres:

Como α = r · 360

g,

entonces:

r · 360°g

x

360° πg2

r · 360°

g · π · g2

x =

x = πrg

360°

2 πr

g α


Unidad

Aplicando la fórmula para el cono completo:

A = πr · (r + g) = 3π · (3 + 6) = 27π ≈ 84,8 m2.

A este número debemos restarle el área de la base, es decir, πr2 = 9π. Esto porque, en este caso, la base del cono no será pintada.

Área a pintar = 27π – 9π = 18π ≈ 56,5 m2.

En el patio de su casa, Fabiola encontró una pelota de plástico de 12 cm de diámetro. La desarmó y midió el área del plástico.

¿Qué valor halló para esta área? f

Para responder, debemos calcular el área de una esfera.

El área de una esfera corresponde al área de la única cara que la constituye.Área esfera = 4πr2

Aplicando la fórmula:

A = 4πr2 = 4π · 122 = 576π ≈ 1 809,6 cm2.

El área de la pelota de plástico es de 1 809,6 cm2.

Ejercicios individualesCalcula el área total de los siguientes cuerpos redondos:a.

Cuerpo geométrico Cálculo Área total

Cilindro:Altura = 17 mmRadio basal = 8 mm

Cilindro:Altura = 122,45 cmRadio basal = 32,56 cm

Cono:Radio basal = 13 mGeneratriz = 24 m

Cono:Radio basal = 89,78 cmGeneratriz = 167,67 cm

Esfera:Radio = 902 cm

Esfera:Radio = 122,4 m

Los cuerpos redondos pue-den obtenerse a partir de la rotación en torno a un eje de figuras geométricas. Por ejemplo, la rotación de un rectángulo en torno a uno de sus lados genera un cilindro, la rotación de un triángulo rectángulo en torno a uno de sus catetos genera un cono, y la rotación de una semicircunferencia en torno a su diámetro genera una esfera. A los cuerpos así obtenidos se les llama sólidos de revolución.

Archívalo

Unidad 5130

Volumen de cuerpos redondos

Las múltiples representaciones artísticas de los pueblos originarios de nuestra América utilizaron los tres tipos de cuerpos redondos estu‑diados. Observa los siguientes instrumentos musicales:

Todos estos cuerpos redondos están limitados por una o más super‑ficies curvas y encierran en su interior un volumen.

El volumen es una magnitud que expresa la extensión de un cuer-po en las tres dimensiones y representa el espacio que ocupa. La unidad de medida para expresar un volumen corresponde a una unidad de longitud multiplicada por sí misma tres veces, es decir, elevada a un exponente 3. Por ejemplo: mm3, cm3 y m3.

¿Cómo calculamos el volumen de un cilindro, de un cono y de una fesfera?

Ocupando los elementos de los cuerpos redondos, es posible definir fórmulas que permiten determinar sus volúmenes.

¿Cuál es el volumen de un cilindro cuyo radio basal mide a 9 cm y fcuya altura mide 14 cm?

¿Cuál es el volumen de un cono cuyo radio basal mide 11 cm y cuya faltura mide 21 cm?

¿Cuál es el volumen de una esfera cuyo radio mide 3 m? f

Las fórmulas para calcular el volumen de los cuerpos redondos son las siguientes:Cilindro: V = Area basal · Altura = πr2 · H

Cono: V = Área basal · Altura

3 =

πr2 · H3

Esfera: V = 4πr3

3

Un matemático dice a otro: “tengo una pelota mágica, ya que su área y su volumen son el mismo número”¿Es posible esto? ¿Cuántos metros mediría el diámetro de esta pelota?

Desafíoal ingenio


Unidad

Aplicando las fórmulas:

Cilindro: V = πr2 · H = π · 92 · 14 = 1 134π ≈ 3 562,6 cm3

Cono: V = πr2 · H

3 =

π · 112 · 213

= 847π ≈ 2 660,9 cm3

Esfera: V = 4πr3

3 =

4π · 33

3 = 36π ≈ 113,1 cm3

Ejercicios individualesDetermina el volumen de los siguientes cuerpos geométricos, aplicando las fórmulas que corres-a.pondan:

Un cilindro cuyo diámetro basal mide 15 cm y cuya altura mide 40 cm.a)

V =

Un cilindro cuyo radio basal mide 7 m y cuya altura mide el doble que el radio basal.b)

V =

Un cono cuya generatriz mide 5 cm y cuya base es un círculo de 3 cm de radio.c)

V =

Un cono de 4,2 m de altura y cuyo radio basal mide 2 m.d)

V =

Una esfera cuyo diámetro mide 8 cm.e)

V =

Una esfera cuyo radio mide 3,5 m.f)

V =

ProblemasEl diámetro basal de un tarro de pintura mide 16 cm y su altura 1. 21 cm.

¿Cuánto mide el radio de la cara basal?a) ¿Cuál es el área basal del cilindro?b) ¿Cuál es el volumen del tarro de pintura?c)

El diámetro de la Tierra es de aproximadamente 12 740 km.2.

Aproximadamente, ¿cuánto mide el radio de la Tierra?a) Aproximadamente, ¿cuál es el volumen de la Tierra?b)


Unidad 5132

Problema modeloLaura quiere comprar papas fritas. Las papitas se venden en tres en-vases de la misma altura, pero de diferente forma. El primer envase tiene la forma de un cono de 15 cm altura, cuyo diámetro basal mide 9 cm; el segundo tiene la forma de un cilindro de 15 cm de altura, cuyo diámetro basal mide 9 cm; y el tercero, tiene la forma de un prisma de 15 cm de altura, cuya base es un cuadrado de 9 cm de lado.

¿Cuál es el volumen de cada uno de los envases?a) ¿Cuál de los tres envases puede contener más papas fritas?b)

a) Entiende: ¿Qué sabes del problema?

La forma de los envases corresponde a la de tres cuerpos geométricos conocidos: cono, •cilindro y prisma.Las dimensiones de los envases son:•

Cono: H = 15 cm D basal = 9 cm Cilindro: H = 15 cm D basal = 9 cm Prisma: H = 15 cm Lado de la base cuadrada = 9 cm

c) Resuelve: Desarrolla el problema para llegar a una respuesta

Cono: V = •π · 4,52 · 15

3 = 101,25π ≈ 318,1 cm3

Cilindro: V = π · 4,5• 2 · 15 = 303,75π ≈ 954,3 cm3

Prisma: V = 9• 2 · 15 = 1 215 cm3

b) Planifica tu estrategia: ¿Cómo puedes resolver el problema?

El volumen del envase cónico es: V = •πr2 · H

3El volumen del envase cilíndrico es: V = π• r2 · HEl volumen del envase prismático es: V = • a2 · HSustituimos por los datos conocidos y calculamos el valor de los volúmenes.•


d) Responde: Contesta las preguntas del problema

El volumen de los envases es: 318,1 cm• 3 (cónico), 954,3 cm3 (cilíndrico) y 1 215 cm3 (prismático).El envase que puede contener más papas fritas es el prismático.•

e) Comprueba: Aplica otra estrategia para comprobar el resultado

Para comprobar que tus resultados son los correctos debes revisar tus cálculos, principal‑•mente las aproximaciones realizadas cuando aparece el número π.

Unidad


Problema 1Un artesano construye gorros chinos de paja. Para evitar que se de-terioren, cubre con un plástico su superficie externa. Los sombreros miden 20 cm de alto y el diámetro de su base mide 38 cm.

¿Cuántos metros cuadrados de plástico debe ocupar para cubrir a) un sombrero?¿Cuántos metros cuadrados de plástico debe ocupar para cubrir b) 30 sombreros?

Problema 2Una industria de metales recibe una orden de compra por un estanque cilíndrico cuyo radio basal mida 1,4 m y cuya altura mida 2,8 m. El ma-terial que debe ser utilizado es acero inoxidable.

¿Cuántos metros cuadrados de acero inoxidable se ocuparán en la a) construcción del estanque?Una vez terminado, ¿cuál será su capacidad máxima?b)

Problema 4Un cilindro metálico de 12 m de altura y cuyo diámetro basal mide 2,5 m está lleno de un reactivo líquido hasta las 2

5 de su capacidad. Dentro

del reactivo se contabilizaron 180 200 burbujas de aire cuyos diámetros miden 2,8 cm.

¿Cuál es el volumen ocupado por las burbujas?a) ¿Cuál es el porcentaje que ocupan las burbujas respecto al contenido b) del cilindro?¿Cuál es el porcentaje que ocupan las burbujas respecto a la capa-c) cidad total del cilindro?

Problema 3Marcelo necesita comprar pelotas de tenis. En una tienda de deportes encuentra que las venden en un tarro cilíndrico que contiene tres pelo-tas. El tarro tiene una altura de 21,5 cm y su diámetro mide 7,5 cm. El radio de cada pelota mide 6,8 cm.

¿Cuál es la capacidad del tarro?a) ¿Cuál es el área de la etiqueta que cubre toda su cara curva?b) ¿Cuánto espacio libre queda en el tarro cuando contiene dos pelotas c) en su interior?

Unidad 5134

Tecnología activaConstrucciones en el Cabri 3D

El Cabri 3D es una herramienta informática que permite construir y manipular cuerpos geométricos, así como determinar sus dimensiones y elementos.

Obteniendo un sólido de revolución.1. Abre el Cabri 3D, crea un nuevo documento y llámalo “Sólido de revolución”. f

Selecciona el i f cono y elige Circunferencia. Pincha con el mouse en el plano (para determinar que la circunferencia estará sobre él), luego pincha en el punto de origen de

coordenadas para determinar que ese será su centro y, por último, moviendo el mouse, elige el diámetro que tendrá, pincha nuevamente y tu circunferencia quedará fija.

Selecciona f y elige Perpendicular.

Pincha con el mouse en el plano para determinar que la recta será perpendi ‑

cular a él y luego pincha en el origen de coordenadas.

Selecciona f y esta vez elige Segmento.

Pincha con el mouse en un punto de la recta y luego en un punto de la circun‑ferencia. Vuelve a pinchar en el punto que elegiste sobre la circunferencia y, finalmente, pincha en el origen de co‑ordenadas para que obtengas un triángulo rectángulo como el que se muestra.

Para finalizar elige f y selecciona Trayectoria. Pincha con el mouse sobre el segmento que representa la hipotenusa del triángulo. Luego, busca en el menú Ventana, elige Animación y se abrirá una ventana de

animación. Selecciona y pincha sobre

el punto en que intersecan la hipotenusa del triángulo con la circunferencia. Una vez hecho esto, se activará la ventana de animación. Selecciona una rapidez de unos 0,50 cm/s y da inicio a la ani‑mación.

Unidad


Construyendo un cilindro y determinando su área y su volumen.2. Abre el Cabri 3D, crea un nuevo documento y llámalo “Cilindro”. f

Selecciona f y elige Perpendicu‑

lar. Pincha con el mouse en el plano para determinar que la recta será perpendicular a él y luego pincha en el sitio donde quieras ubicar el eje de tu cilindro.

Selecciona f y elige Segmento. Traza

un segmento desde el punto en que la recta se interseca con el plano a otro punto sobre la recta, de la longitud que quieras que tenga la altura de tu cilindro.

Elige f y selecciona Cilindro. Pin‑

cha sobre el segmento que trazaste para definir que ese será el eje del

cilindro, luego, moviendo el mouse, determina el diámetro de la base y vuelve a pinchar para fijarlo.

Teniendo ya tu cilindro, determinare‑ f

mos su área y su volumen. Selecciona

, elige Área, pincha con el mouse

sobre el cilindro y conocerás su área. Para determinar el volumen, selec‑

ciona nuevamente , y esta vez elige Volumen. Vuelve a pinchar sobre el cilindro y conocerás su volumen.

Aplicando lo aprendido.3. Construye en Cabri 3D un cilindro mediante la revolución de un rectángulo en torno al a) eje perpendicular al plano en el origen. A continuación, calcula su área y su volumen.

Construye en Cabri 3D un cilindro mediante la revolución de un rectángulo en torno a b) un eje sobre el plano. A continuación, calcula su área y su volumen.

Construye en Cabri 3D un cono mediante la revolución de un triángulo rectángulo en c) torno a un eje perpendicular al plano en el origen. A continuación, calcula su área y su volumen.

Construye en Cabri 3D una esfera mediante la revolución de un semicírculo en torno a un d) eje perpendicular al plano en el origen. A continuación, calcula su área y su volumen.

76,1 cm2

77,5 cm3

Unidad 5136

Síntesis de la unidad

Ficha 4

El área de los cuerpos redondos corresponde a la suma de las áreas de sus caras:

Área cilindro = 2πr · (r + H) (r: radio basal; H: altura)

Área cono = πr · (r + g) (r: radio basal; g: generatriz)

Área esfera = 4πr2 (r: radio)

Ficha 1

Los cuerpos redondos son todos aquellos cuerpos o sólidos geométricos formados por regiones curvas o regiones planas y curvas.

Ficha 5

El volumen de los cuerpos redondos indica el espacio que ocupa, es decir, es una medida de su extensión tridimensional:

Volumen cilindro = πr2 · H (r: radio basal; H: altura)

Volumen cono = πr2 · H

3 (r: radio basal; H: altura)

Volumen esfera = 4πr3

3 (r: radio)

Ficha 2

El cilindro es un cuerpo redondo que consta de tres caras: dos caras basales circulares y una cara curva rectangular. Sus elementos característicos son su base y su altura.

El cono es un cuerpo redondo que consta de dos caras –una basal circular y una lateral– y una cúspide. Sus elementos característicos son su base, su generatriz y su altura.

El esfera es un cuerpo redondo que posee una cara. Los elementos característicos de una esfera son su centro y su radio.

Ficha 3

La red de un cuerpo geométrico es una representación en el plano de sus caras que unidas y dispuestas convenientemente permiten construir el cuerpo.

La red de un cilindro corresponde a dos círculos congruentes y un rectángulo.

La red de un cono corresponde a un círculo y un sector circular.

La red de una esfera corresponde a una figura curvada infinitamente.

SíntesisHIPERTEXTO

Unidad


Evaluacióna.Calcula el área y el volumen de los siguientes cuerpos redondos:

I Ejercicios de desarrollo

2.Señala si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F):

a) _____ El área de una esfera de radio r es mayor que el área de un cilindro de radio basal r y altura r.

b) _____ El volumen de una esfera de radio r es menor que el volumen de un cilindro de radio basal r y altura r.

c) _____ Si se duplica la altura de un cono, se cuadruplica su volumen.

d) _____ El volumen de un cilindro de radio basal r y altura H equivale al triple del volumen de un cono con iguales radio basal y altura.

e) _____ En un cono, la fórmula que relaciona el radio basal r, la altura H y la generatriz es r 2 + H2 = g 2.

f) _____ La figura plana que al rotarla sobre su diámetro genera una esfera, es un semicírculo.

1,2 cm

4 cm

8,3 m

3,4 m20 m

12 m

7,5 mm

5 cm

12 cm

a)

A = V =

d)

A = V =

b)

A = V =

e)

A = V =

c)

A = V =

f)

A = V =

12 cm

4 cm

4 cm

5 cm

5 cm

Unidad 5138

3.Enlaza cada situación que se describe en la columna izquierda con la que le corresponde en la columna derecha:

4.Un restaurador debe pintar la fachada de un techo de forma cónica. Él demora 15 minutos en pintar 1 m2. El techo tiene un diámetro basal de 16 m y su altura es de 6 m.

a) ¿Cuál es el área que debe pintar? A =

b) ¿Cuánto tiempo demorará en pintar el techo? t =

5.Un jugador de bolos transporta su bola en una caja cúbica de 22 cm de arista.

a) ¿Cuál es el volumen de la bola más grande que puede contener? V =

b) ¿Cuánto espacio libre queda en la caja cuando la bola mas grande que puede

contener está dentro de ella? E. L. =

6.Dadas las siguiente figuras planas, determina en cada uno de los casos el sólido de revolución que se forma según el eje que se señala y escribe sus dimensiones:

a)

3 cm

Eje

3 cm

c)

Eje

5 cm

3 cm

b)

3 cm5 cm

Eje d)

3 cm

Eje

3 cm

Una de las piezas de un monumento tiene forma cónica, su altura es de 9 cm y el área de su base es de 10 cm2. Su volumen es...

523,6 cm3

Una torre con forma cilíndrica tiene una altura de 35 m y un diámetro de 15 m. Su área, aproximadamente es...

523,6 cm3

El depósito de una pistola para pintar es una esfera de 10 cm de diámetro. Su volumen, aproximadamente es... 2 002,8 m2

Datos agrupados y probabilidades 139

Unidad

a La forma de una olla de cocina la podemos asociar a un:

a) Poliedro regular.

b) Poliedro irregular.

c) Cuerpo redondo: el cono.

d) Cuerpo redondo: el cilindro.

6 Si se duplica el radio de una esfera, entonces su área:

a) Permanece igual.

b) Se duplica.

c) Se triplica.

d) Se cuadruplica.

2 Si el diámetro basal de un cono mide 8 cm y su generatriz 7 cm, ¿cuál es el ángulo del sector circular que sirve de cara lateral?

a) α ≈ 205,7°

b) α ≈ 207,5°

c) α ≈ 210,4°

d) α ≈ 360°

7 El diámetro de la base circular de un es-tanque cilíndrico mide 6 m y su altura mide 5 m. ¿Cuál es la capacidad del estanque?

a) 141,4 m3

b) 143,3 m3

c) 145,9 m3

d) 147,2 m3

3 Juan Pablo debe crear una etiqueta que cubra la cara lateral de una lata de frutillas en conserva, cuyo diámetro basal mide 8 cm y su altura mide 15 cm. Aproximadamente, ¿cuál será el área de la etiqueta?

a) 60 cm2

b) 120 cm2

c) 377 cm2

d) 450,4 cm2

8 Se desea pintar el manto de dos conos de tránsito iguales. Sus radios basales miden 12 cm y sus generatrices miden 45 cm. ¿Cuál es la superficie total aproximada que se desea pintar?

a) 1 696,5 cm2

b) 904,8 cm2

c) 3 392,9 cm2

d) 4 297,7 cm2

4 Al hacer girar un rectángulo sobre uno de sus lados, el sólido de revolución que se genera es :

a) Un cilindro.

b) Una esfera.

c) Un cono.

d) Una semicircunferencia.

9 Si el diámetro de una pelota de ping pong es de 4,1 cm, ¿cuál es su volumen?

a) 31,4 cm3

b) 36,1 cm3

c) 38,3 cm3

d) 40,5 cm3

5 Un volcán tiene forma aproximadamente cónica. Si su altura es 1 234 m y el radio de su base mide 399 m, ¿cuál es el volumen que ocupa aproximadamente?

a) 189 432 162,6 m3

b) 199 700 005,1 m3

c) 203 540 432,7 m3

d) 205 726 183,3 m3

j Para generar un cono por revolución, la figura que debe rotarse es:

a) Un rectángulo sobre uno de sus lados.

b) Un triángulo rectángulo sobre su hipo-tenusa.

c) Un triángulo rectángulo sobre uno de sus catetos.

d) Un triángulo isósceles sobre su base.

Unidad


II Ejercicios con alternativas Marca las alternativas correctas en la hoja de respuestas que te dará el docente y completa la

tabla que allí aparece.

EvaluaciónHIPERTEXTO

Elegibilidad8°matematicaopcion b

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