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ELEMENTO VIGA DE TIMOSHENKO

A continuacin se presenta la derivacin del elemento viga basada en la teora de Timoshenko, mediante la cual es posible considerar de una forma aproximada la deformacin por cortante. Se estudia luego el comportamiento del elemento, y se muestra cmo se puede mejorar efectuando la denominada integracin numrica reducida. La matriz de rigidez del elemento viga de Timoshenko permite entender los problemas que se presentan cuando se trata de derivar matrices de rigidez de elementos placa.Viga de TimoshenkoSegn esta propuesta, las secciones planas antes de deformarse la viga permanecen planas despus de la deformacin, pero no perpendiculares al eje neutro. La anterior hiptesis equivale a suponer que los esfuerzos cortantes son constantes en la seccin de la viga. De acuerdo con la Figura 9.1, el ngulo ( que gira la seccin es igual a

( = w + (

(9.1)

donde w es la pendiente de la elstica y el ngulo ( es igual a la deformacin angular debida al esfuerzo cortante, que segn este modelo, es constante en la seccin. La energa potencial del elemento se calcula como

(9.2)

Figura 9.1 Viga de Timoshenko

donde la primera integral contiene la energa de deformacin debida a la flexin y la segunda tiene en cuenta las deformaciones por cortante. Con el factor ( se considera el hecho de que ( no es realmente constante en la seccin, para una seccin rectangular ( vale 5/6 y para una circular 0.91. El vector de desplazamientos del elemento est compuesto por los desplazamientos transversales y giros de los nodos

y el vector de fuerzas contiene las fuerzas transversales y los momentos en los extremos

Derivacin de la matriz de rigidezPara obtener la matriz de rigidez se interpolan independientemente los desplazamientos y los giros mediante las funciones de forma lineales utilizadas para el elemento cargado axialmente:

w (x) = l1 (x) w1 + 12 (x) w2

( (x) = 11 (x) (1 + 12 (x) (2

donde

11 (x) = 1 x/L

12 (x) = x/L

La anterior definicin puede escribirse en forma matricial as

Los trminos correspondientes a las deformaciones por flexin, (, y por cortante, ( = ( - w, se pueden escribir ahora de la siguiente manera

donde el subndice f se refiere a flexin y el c se refiere a cortante. El reemplazo de las anteriores expresiones en la ecuacin (9.2) da como resultado

En la anterior expresin se reconoce la matriz de rigidez debida a la flexin

y la matriz de rigidez debida al cortante

si se efecta el clculo de [K]f y [K]c se obtiene

Comportamiento de la matriz de rigidez, bloqueo de la solucin

Figura 9.2. Viga simplemente apoyada con carga concentrada

Para estudiar el comportamiento de la matriz de rigidez del elemento viga de Timoshenko se solucion el problema ilustrado en la Figura 9.2 el cual consiste en una viga simplemente apoyada con una carga concentrada en el centro. Se conoce la solucin terica de este problema, la cual se compara con la solucin obtenida mediante mallas que utilizan la matriz de rigidez derivada en el numeral anterior. Se escogen diferentes relaciones de longitud a espesor de la viga. En la Figura 9.3 se presentan los resultados obtenidos con 8 elementos para las relaciones L/h de 2, 8, 14, 20 y 26; en el eje vertical se presenta la relacin entre la deflexin obtenida con el elemento viga de Timoshenko y la solucin exacta.

Figura 9.3. Deflexiones mximas sin integracin numrica reducidaPuede observarse cmo a medida que aumenta la relacin L/h la deflexin que predice el elemento de Timoshenko tiende a disminuir, este es el denominado fenmeno de bloqueo.Interpretacin del fenmeno de bloqueoA continuacin se escriben los trminos de [K]f y [K]c correspondientes a las posiciones en [K]f diferentes de 0, que son aquellas relacionadas con los giros del elemento.

Para una seccin rectangular el trmino toma el siguiente valor

Se puede observar que este trmino vara con el cuadrado de (L/h), por lo cual, para vigas esbeltas, la contribucin de [K]f a la rigidez total es muy pequea, y la matriz de coeficientes global se convierte aproximadamente en

con lo cual el sistema de ecuaciones queda as

Los trminos del vector de fuerzas se hacen adems muy pequeos comparados con los de la rigidez, y el sistema de ecuaciones tiende a ser un sistema homogneo de la forma

y se explica por qu la solucin tiende a bloquearse para valores grandes de la relacin L/h, tal como se mostr en el ejemplo explicado en el numeral 9.3.

Si la matriz de rigidez a cortante del sistema de ecuaciones (9.6) fuese singular, cabra la posibilidad de obtener soluciones diferentes a la trivial, con lo cual se evitara el bloqueo de la solucin. Una forma de lograr que la matriz de rigidez global a cortante sea singular es efectuar la denominada integracin numrica reducida en los trminos de cortante, tal como se explica a continuacin. Los trminos k22 , k24 , k42 y k44 de [K]c son cuadrticos en x, por ejemplo

Para obtener la integral exacta mediante la cuadratura de Gauss se requieren al menos 2 puntos de integracin, ya que la cuadratura de Gauss con n puntos de integracin puede integrar exactamente un polinomio de grado 2n 1. Si se hace entonces la transformacin

se obtiene

si se utiliza un punto de integracin se obtiene

De igual forma se opera con k22 , k24 y k44 para llegar a

donde el subndice Cr se refiere a la matriz de cortante obtenida mediante integracin numrica reducida. Si se repite el experimento numrico con la viga simplemente apoyada con una carga concentrada en el centro se obtienen los puntos mostrados en la Figura 9.4. Como se puede observar el fenmeno de bloqueo desaparece completamente.

La pregunta que surge ahora es porqu la integracin reducida hace que la componente de la matriz de rigidez correspondiente a cortante sea singular. El proceso de integracin numrica consiste en efectuar una sumatoria, en los puntos de integracin, de las deformaciones ponderadas segn la cuadratura de Gauss. Cuando se calcula una matriz de rigidez mediante integracin numrica, se tienen entonces una serie de ecuaciones lineales en trminos de las deformaciones. Si el nmero de grados de libertad de una malla es mayor que el nmero de ecuaciones independientes obtenidas mediante la integracin numrica, entonces la matriz de rigidez ser singular. En el ejemplo analizado de la viga simplemente apoyada se tienen 9 nodos, con 2 grados de libertad por nodo y 2

Figura 9.4. Deflexiones obtenidas usando integracin reducida

desplazamientos restringidos, entonces el nmero de grados de libertad es 2x9 2 = 16; si se utiliza integracin completa se tienen 2 puntos de integracin por elemento, 8 elementos, y considerando slo la deformacin por cortante, se tienen entonces 2x8x1 = 16 relaciones independientes, por tanto la matriz de rigidez a cortante no ser singular. Por el contrario si se utiliza integracin reducida se tiene 1 punto de integracin por elemento, y habr entonces 1x8x1 = 8 relaciones independientes, por tanto la matriz de rigidez a cortante es singular. Debe garantizarse sin embargo que la matriz de rigidez completa, considerando flexin y cortante, no sea singular. En el caso anterior, considerando adems de la deformacin por cortante, la deformacin por flexin, se tienen: 8 relaciones independientes por los trminos de cortante, ms 8 relaciones independientes por los trminos de flexin, es decir un total de 16 relaciones independientes que igualan el nmero de grados de libertad de la malla, garantizando por tanto que la matriz completa no es singular. Obsrvese que para evaluar exactamente los trminos de flexin se requiere tan slo 1 punto de integracin.

w

w

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