ELEMENTOS DE SEGUNDO ORDEN

Un ejemplo de este tipo de elemento es un sensor elástico de fuerza tal como se muestra en la figura:

asaMasa

mF

kx

Amortiguadorx

x=0

Resorte

• El sensor convierte una entrada de fuerza F en una salida de desplazamiento x.

• El sistema está inicialmente en estado de reposo al tiempo t=0-, es decir velocidad inicial y la aceleración inicial .

• La fuerza de entrada inicial F(0-) se equilibra por la fuerza del resorte en el desplazamiento inicial x(0-), es decir: .

• Si la fuerza de entrada se incrementa repentinamente al tiempo t= 0, entonces el elemento ya no se encuentra en estado estable y su comportamiento dinámico lo describe la segunda ley de Newton:

fuerza resultante = masa x aceleración

Si se define:

La ecuación diferencial se puede expresar en la forma estándar:

Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación se tiene:

Como:

Así,

Donde: 1/k = sensibilidad K en estado estable

Función transferencia para un elemento de segundo orden

IDENTIFICACIÓN DE LA DINÁMICA DE UN ELEMENTO

• Con objeto de identificar la función de transferencia G(s) de un elemento, deben utilizarse señales estándar de entrada.

• Las dos señales estándar de uso común son la onda escalonada y la onda sinoidal.

Respuesta escalonada de elementos de primer orden

Si un elemento de primer orden esta sujeto a una señal de entrada de escalón unitario (µ(t) = 1), la transformación de Laplace de la señal de salida es:

Expresando la ecuación en fracciones parciales:

Al utilizar la tabla de la transformada de Laplace en sentido contrario, se tiene:

Respuesta del elemento de primer orden a un escalón unitario

fo(t)

t/τ

Para t=τ, fo(t) = 0.63Para t=2τ, fo(t) = 0.87

1 2

Ejemplo: considere un sensor de temperatura, al inicio, la temperatura del sensor es igual a la del fluido, o sea, T(0-) = TF(0-) = 25 0C. Si de repente TF se eleva a 100 0C, entonces esto representa un cambio escalonado ∆ TF,, cuya altura es de 75 0C.

El cambio correspondiente en la temperatura del sensor es:

Así, al tiempo t = τ, T = 25 + 75x0.63 = 72.3 0C . Y midiendo el tiempo que tarda T en subir a 72.3 0C, puede obtenerse la constante de tiempo τ del elemento.

Respuesta escalonada de elementos de segundo orden

Si un elemento de segundo orden, está sujeto a una señal de entrada de escalón unitario, entonces la transformada de Laplace de la señal de salida del elemento es:

Al expresar la ecuación en fracciones parciales, se tiene:

Existen tres casos por considerar:

1. Amortiguamiento excesivo o sobreamortiguado ( > 1)

ωnt

fo(t)

Resulta aparente que la forma de la respuesta se asemeja a una de primer orden pero con un cierto retardo.

2. Amortiguamiento crítico ( = 1)

Al utilizar la transformada inversa de Laplace se tiene:

Respuesta del elemento de segundo orden a un amortiguamiento crítico de escalón unitario

cuya representación gráfica es prácticamente idéntica a la indicada en la

gráfica anterior para prácticamente 1.

3. Amortiguamiento insuficiente o subamortiguado ( < 1)

ωnt

fo(t)

En la gráfica se observa el comportamiento general, según

cambia el coeficiente de amortiguamiento ( ).

•Las respuestas subamortiguadas son más rápidas, en su

arranque a tiempo = 0, que todas las otras formas de

respuesta de segundo orden.

•Aún cuando la respuesta parte rápido y llega pronto a su

valor final, luego sigue creciendo y oscila con una amplitud

que decrece en el tiempo.

•El comportamiento oscilatorio es tan pronunciado como

pequeño sea el coeficiente de amortiguamiento.

Ejemplo: Considérese la respuesta escalonada de un sensor de fuerza con rigidez

k= 103 Nm-1, masa m= 0.1 kg y constante de amortiguamiento λ= 10 Nsm-1. La

sensibilidad de estado estable K=1/k= 10-3 mN-1, la frecuencia natural ωn= √(k/m) =

100 rad/s y el coeficiente de amortiguamiento = λ/(2√(km)) = 0.5. Inicialmente, al

tiempo t = 0-, una fuerza constante F(0-) = 10 N causa un desplazamiento sostenido de

10 mm.

Supóngase que al tiempo t = 0 la fuerza se incrementa repentinamente de 10 a 12 N, o

sea hay un cambio escalonado ∆F de 2 N. El cambio resultante ∆x(t) en el

desplazamiento se determina utilizando:

∆x(t) = sensibilidad en estado estable x altura del escalón x respuesta fo(t) de escalón unitario

Respuesta a un escalón unitario para un = 0.5

1 2 3 4ωnt

fo(t)

Al final, conforme t se agranda, ∆x tiende a valer 2 mm, esto es , x se coloca en

un nuevo valor estable de 12 mm. La figura anterior muestra que para = 0.5,

fo(t) tiene un valor máximo en la cresta de la primera oscilación; así,

∆x(t) tiene un valor máximo de 2.34 mm. La cresta de la primera oscilación

ocurre al tiempo tP, donde ωntP = 1.8; es decir, tP = 36 ms.

EXCEDENTE MÁXIMO: Con esta ecuación se

puede hallar

Y luego se puede hallar ωn a partir de la medición de tP , con la siguiente ecuación: