ELEMENTOS DE VARIABLE COMPLEJA

SAMAEL NAVARRETE MOLANO

Trabajo de grado para optar por el titulo de Matemático

DIRECTOR: JOSÉ JOAQUÍN VALDERRAMA Matemático Universidad Nacional Profesor facultad de Matemáticas

FUNDACIÓN UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ BOGOTÁ

Diciembre 2005

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INDICE GENERAL

INTRODUCCION .............................................................................................4 I. ESTRUCTURA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS....................................5

1.1 NÚMEROS COMPLEJOS Y SU ALGEBRA. .......................................................................5 1.2 AXIOMAS DE CUERPO PARA NÚMEROS COMPLEJOS ..................................................5 1.3 LOS NÚMEROS REALES COMO SUBCONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS.......6 1.4 REPRESENTACIÓN CARTESIANA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS..............................6 1.5 REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA ...................................................................6 1.6 PROPIEDADES DE ESPACIO VECTORIAL PARA LOS NÚMEROS COMPLEJOS...............7

1.6.1 Para la Suma ........................................................................................................7 1.6.2 Para el Producto por Escalar..............................................................................7

1.7 ESPACIO VECTORIAL NORMADO. ...............................................................................8 1.8 COMPLEJO CONJUGADO ..............................................................................................9

1.8.1 Propiedades del Complejo Conjugado ..............................................................9 1.9 REPRESENTACIÓN POLAR .................................................................................9

1.9.1 Multiplicación de Números Complejos Bajo su Representación Polar ........11 1.9.2 División de Números Complejos.....................................................................12

1.10 DESIGUALDAD TRIANGULAR ..................................................................................13 1.11 SUPERFICIE DE RIEMANN .......................................................................................14 1.12 RAÍCES DE UN NÚMERO COMPLEJO .......................................................................15 1.13 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO..............................................................17

II. TOPOLOGIA DEL PLANO COMPLEJO C.............................................. 18 III. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA............................................. 20

3.1 FUNCIONES ...............................................................................................................20 3.2 LIMITES .....................................................................................................................21

3.2.1 Propiedades de los Límites. .............................................................................23 3.3 CONTINUIDAD. .........................................................................................................29

3.3.1 Propiedades Algebraicas para la Continuidad................................................29 3.4 FUNCIONES CONTINUAS DE UNA VARIABLE ...........................................................30 3.5 DERIVADAS ................................................................................................................30

3.5.1 Derivadas Parciales...........................................................................................33 3.6 FUNCIÓN EXPONENCIAL COMPLEJA .......................................................................34

3.6.1 Propiedades de la Exponencial Compleja.......................................................35 3.7 MAPEO.......................................................................................................................36 3.8 FUNCIÓN LOGARITMO COMPLEJO ...........................................................................39 3.9 FUNCIÓN POTENCIA.................................................................................................42 3.10 FUNCIONES TRASCENDENTALES............................................................................42 3.11 CONDICIONES NECESARIAS PARA LA ANALITICIDAD ............................................45 3.12 CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA ANALITICIDAD ..........................................48 3.13 FUNCIONES ARMÓNICAS.........................................................................................50 3.14 ARMÓNICOS CONJUGADOS. .....................................................................................50

IV INTEGRAL COMPLEJA ............................................................................ 51 4.1 INTRODUCCIÓN A LA INTEGRAL DE LÍNEA..............................................................51 4.2 INTEGRALES DE LÍNEA. ............................................................................................51

4.2.1 Propiedades de la Integral de Línea ................................................................54 4.4 FORMULA INTEGRAL DE CAUCHY.............................................................................60

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CONCLUSIONES ............................................................................................ 65 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................... 66

4

INTRODUCCION

Los números complejos fueron propuestos inicialmente en 1545, por el matemático italiano Girolamo Cardano, en un tratado monumental acerca de la solución de las ecuaciones cúbica y cuadrática. Para apreciar la dimensión de esta propuesta debe tenerse en cuenta que el concepto de números negativos apenas había tenido aceptación, y que aun había controversia en la relación con sus propiedades. Las cantidades ficticias de Cardano fueron ignoradas por la mayoría de sus colegas, hasta que el genio matemático Carl Friedrich Gauss les dio el nombre actual y las utilizo para demostrar el Teorema Fundamental del Algebra, el cual establece que todo polinomio que no sea constante tiene al menos un cero. Otro descubrimiento de Gauss mucho más simple, pero no menos importante, fue que la aritmética de los números complejos, introducida formalmente a partir de la relación 1−=i , tiene una interpretación geométrica sencilla si identificamos los elementos de C con los puntos del plano. Esta interpretación puede considerarse como el punto de partida del estudio analítico de los números complejos. En términos modernos C recibe la topología de 2R y la relación de esta topología con su aritmética es la misma que se da en R .

5

I. ESTRUCTURA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS 1.1 Números Complejos y su Algebra. De los axiomas que gobiernan la relación < se deduce que el cuadrado de un número no es nunca negativo. Entonces, ecuaciones cuadráticas elementales tales como, por ejemplo 12 −=x no posee solución entre los números reales. Ahora con los números complejos, podemos conseguir soluciones para tales ecuaciones. Resulta entonces que al introducir los números complejos, se proporciona, soluciones de las ecuaciones algebraicas de la forma

0...1 =+++ nno zazaa

donde los coeficientes naaa ,...,, 10 son números reales cualesquiera. (Este resultado es conocido como Teorema fundamental del Algebra). 1.2 Axiomas de Cuerpo para Números Complejos Por número complejo entenderemos un par ordenado de números reales, que designaremos por ),( 21 xx . La primera componente, )( 1x se llama parte real del número complejo; la segunda componente, )( 2x se llama parte imaginaria. Dos números complejos ),( 21 xxx = e ),( 21 yyy = son iguales, y escribiremos yx = , si, solo si, 11 yx = y 22 yx = . Definimos la suma yx + y el, producto xy por

),( 2211 yxyxyx ++=+ , ),( 12212211 yxyxyxyxyxxy +−=∗= las cuales satisfacen los siguientes axiomas. Axioma 1. (Leyes conmutativas)

xyyx +=+ y yxxy = . Axioma 2. (Leyes asociativas)

zyxzyx ++=++ )()( y zxyyzx )()( = .

Axioma 3. (Leyes distributivas) xzxyzyx +=+ )( y )()( bzazzyx +=+ .

Axioma 4. Identidades. La identidad aditiva 0 y la identidad multiplicativa 1 satisfacen que 10 ≠ y

xxx +==+ 00 y xxx *11* == .

Axioma 5. Inversos. Cada número complejo z tiene un inverso aditivo )( z− y, si

0≠z un inverso multiplicativo 1−z que satisfacen

)()(0)( zzzz +−==−+ y zzzz 11 1 −− == .

6

El inverso multiplicativo de iyxz += es

221)(

yxiyxiyx

+−

=+ −

.

1.3 Los Números Reales como Subconjunto de los Números Complejos

Se identifica el par ordenado )0,(x con el número real x , notamos que la suma y la multiplicación de tales pares satisfacen las operaciones usuales de suma y multiplicación de números reales:

)0,()0,()0,( axax +=+ y )0,()0,)(0,( xaax = Entonces, el conjunto de números complejos incluye los números reales. 1.4 Representación Cartesiana de los Números Complejos Considere el número complejo ),( yxz = escrito de la siguiente forma

)0,)(1,0()0,(),( yxyxz +== , si se representa )0,(x por x y se denota )1,0( por el símbolo )(i , se puede reescribir ),( yxz = de la forma iyxz += . Esta es la notación más conocida para los números complejos. El símbolo )(i se llama unidad imaginaria y satisface la propiedad

)0,1()1,0)(1,0(2 −==i o también 12 −=i . Ejemplo 1 Encuentre las partes real e imaginaria de iz 32 += . Solución: tenemos que Re z =2 e Im z =3. 1.5 REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA Al asociar el número complejo iyxz += con un punto del plano cuyas coordenadas rectangulares son e . Cada número complejo corresponde a un punto. El número

i+− 2 , por ejemplo, se asocia al punto (-2,1) en la (figura 1.1). El origen del sistema coordenado se denota por el número complejo 0. El modelo de plano Cartesiano de los números complejos se llama plano complejo. Cuando nos referimos al número complejo iyxz += , llamamos a x parte real de z , y la

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denotamos por Re ( z ). El número y llamado parte imaginaria de z , se denota por Im ( z ). Si 0=x , tendremos iyz = , y entonces se dice que z es imaginario puro.

Figura 1.1

1.6 Propiedades de Espacio Vectorial para los Números Complejos. El conjunto C de los números complejos es un espacio vectorial sobre el cuerpo R de los números reales con las operaciones de suma definida en C y producto por escalares tal que para todo Cz∈ y R∈α , se tiene que Cz∈α además se cumplen las siguientes 10 propiedades para todo α, β de R y u, v, w de C: 1.6.1 Para la Suma (i). Cwv ∈+ . La suma vectorial es una operación cerrada en C . (ii). wvuwvu ++=++ )()( . Asociatividad de la suma vectorial en C . (iii). Existe un elemento 0 en C tal que para todo v de C , vv =+ 0 . Existencia del elemento neutro de la suma vectorial en C . (iv). Para todo v ∈ C , existe un elemento v− ∈ C , tal que 0)( =−+ vv . Existencia del elementos opuestos respecto a la suma en C . (v). vwwv +=+ . Conmutatividad de la suma vectorial en C . 1.6.2 Para el Producto por Escalar

(i). Cv∈α . El producto por escalares es una operación cerrada en C . (ii). vv )()( αββα = . Asociatividad del producto por escalares en C . (iii). Si 1 denota el elemento neutro de la multiplicación del campo de escalares R, entonces vv =1 . Neutralidad del uno del campo de escalares.

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(iv). wvwv ααα +=+ )( . Distributividad con respecto a la suma vectorial. (v). bvavvba +=+ )( . Distributividad con respecto a la suma escalar. Las propiedades de la 1 a la 5 indican que C es conmutativo o Abeliano bajo la suma vectorial.

Figura 1.2

De hecho la definición de suma coincide con la suma según la regla del paralelogramo para la suma vectorial en R2. (Figura 1.2). 1.7 Espacio Vectorial Normado. El modulo, o valor absoluto, de un número complejo iyxz += se define como el

número real negativo 22 yx + y se denota por z ; esto es,

z = 22 yx + . C es un espacio vectorial. Una función que hace corresponder a cada vector Cz∈ el número real zz = es una norma de C si, y solo si, para todos Cwz ∈, y Rk ∈ , verifican los siguientes axiomas. Axioma 1. 0≥z y 0=z si, y solo si, 0=z .

Axioma 2. wzwz +≤+ .

Axioma 3. .zkkz =

9

1.8 Complejo Conjugado El complejo conjugado de un número complejo iyxz += se obtiene cambiando el

signo de la parte compleja y se denota por el símbolo z . Entonces iyxz −= . 1.8.1 Propiedades del Complejo Conjugado Dado que si iyxz += , entonces

i) ==++=+=+ xyixyixzz 2)(( 2Re ( z ),

ii) ==−−+=− iyyixyixzz 2)()( 2 i Im ( z ),

iii) 222))(( zyxyixyixzz =+=−+= .

iv) De esta forma tendremos las identidades

( )2

Re zzz += , ( )

izzz

2Im −

= ,

v) Si 111 iyxz += y 222 iyxz += , entonces

)()()()( 2121212121 yyixxyyixxzz +−+=+++=+

= 212211 )()( zziyxiyx +=−+− . Luego, el complejo conjugado de la suma de números complejos es la suma de sus conjugados:

2121 zzzz +=+ . De manera semejante se muestra que

2121 zzzz −=− ,

vi) 2121 zzzz =

vii) 2

2

21

2

1

zzz

zz =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ , 02 ≠z .

1.9 REPRESENTACIÓN POLAR

10

Figura 1.3

Los números complejos pueden representarse como vectores en el plano complejo, utilizaremos el concepto de segmento de recta dirigido para determinar las propiedades de la longitud y del ángulo de inclinación de un vector en plano complejo. Consideremos el vector no nulo iyxz += la longitud r del vector z se muestra en la (figura 1.3) se puede determinar aplicando el teorema de Pitágoras. Llamamos a esta longitud valor absoluto (norma ó magnitud) del número complejo

z, y lo denotamos como 22 yxz += . Regresando a la (figura 1.3) vemos que el ángulo θ que forma el vector iyxz += con el eje real positivo se llama argumento del complejo z y se nota arg(z), esta dado por la expresión:

πθ kyx 2arctan += donde ,...2,1,0 ±±=k

El ángulo θ tal que πθπ <≤− , se llama valor principal del argumento y se designa Arg(z). Ejemplo 1 Encuentre la representación polar de i−1 Solución: remitiéndonos a la (figura 1.4). El valor absoluto de i−1 es

2)1(11 22 =−+=− i ,

Mientras que el valor principal del argumento de i−1 es

4)1( π

−=− iArg .

11

Como los ángulos polares no están determinados las superficies de Riemann se tienen en forma única, y su argumento es

ki ππ 24

)1arg( +−

=− ,

Donde k es cualquier entero. Así, la representación polar de i−1 es

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=− kisenki ππππ 24

24

cos21 .

Figura 1.4

1.9.1 Multiplicación de Números Complejos Bajo su Representación Polar La multiplicación de los números complejos z y w tienen interpretaciones geométricas cuando los escribimos en sus representaciones polares. Sean )arg(z=θ y )arg(w=φ . Se tiene

( )θθ isenzz += cos y ( )φφ isenww += cos . Entonces,

( )( )φφθθ isenisenwzzw ++= coscos

( ) ( )[ ]φθφθφθφθ sensenisensenwz coscoscoscos ++−= y, por las formulas de suma de ángulos de trigonometría,

( ) ( )[ ]φθφθ +++= isenwzzw cos .

Como ( ) ( ) ,1cos =+++ φθφθ isen

La ecuación

( ) ( )[ ]φθφθ +++= isenwzzw cos .

12

Figura 1.5

Conduce a

wzzw = Y

)arg()arg()arg( wzzw += .

Por lo tanto la longitud del vector zw es el producto de las longitudes de los vectores z y w , mientras que el ángulo polar del vector zw es la suma de los ángulos polares de los vectores z y w . Ya que el argumento se determina hasta la multiplicación de π2 la ecuación )arg()arg()arg( wzzw += se interpreta diciendo que, si se asignan valore particulares a dos términos cualesquiera, existe un valor del tercer término para el cual se cumple la igualdad. La construcción geométrica del producto zw se muestra en la (figura 1.5). Para la multiplicación, el ángulo entre w y zw debe ser idéntico al ángulo entre 1 y z en la (figura 1.5). De ello, los triángulos de i0 1 z y i0 w zw son semejantes. 1.9.2 División de Números Complejos La división de números complejos conduce a la siguiente ecuación:

( ) ( )[ ]φθφθ −+−= isenwz

wz cos

)( φθφ

θ

ββ−== er

ere

i

i

13

[ ])()cos( φθφθβ

−+−= isenr

como ww = , obtenemos, por las formulas de sumas de ángulos de la

trigonometría,

( ) ( ).0,

coscos2 ≠

−+== w

w

isenwisenz

wwwz

wz ϕφθθ

Por lo tanto,

wz

=wz

y

)arg()arg(arg wzwz

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ,

con la ecuación )arg()arg(arg wzwz

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ , sujeta a una interpretación similar a la

de la ecuación )arg()arg()arg( wzzw += . 1.10 Desigualdad Triangular Definición 1.1 Dados dos números 1z y 2z se verifica que

2121 zzzz +≤+ Demostración: Si tomamos

))(())(( 212121212

21 zzzzzzzzzz ++=++=+

22122111 zzzzzzzz +++=

221

2221

21

221 )(2 zzzzzzzz +=++≤+ .

Extrayendo la raíz cuadrada (recordemos que el módulo es siempre positivo), recordemos que la longitud de un lado de cualquier triangulo es menor o igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados. De tal forma que la desigualdad del triangulo también se puede deducir inmediatamente considerando el triangulo sombreado en la (figura 1.6).■

14

Figura 1.6

1.11 Superficie De Riemann Una superficie de Riemann es una generalización del plano complejo a una superficie de más de una hoja tal que una función multivaluada tiene sólo un valor correspondiente a cada punto de esa superficie. Una vez construida esa superficie para una función dada, la función es univaluada sobre la superficie y se le puede aplicar allí la teoría de funciones univaluadas (figura 1.7). Las complicaciones que aparecen ligadas al carácter multivaluado de la función quedan así evitadas por un truco geométrico. Sin embargo, la descripción de esas superficies y la relación entre sus hojas pueden ser muy engorrosas.

Figura 1.7

15

Teorema 1.2 Teorema De Moivre Si n es un número entero entonces

,cos)()(cos θθθθ θθ isennneeisen ninin +===+ Demostración. Por inducción sobre n. El producto

( ) ( )[ ],cos φθφθ +++= isenwzzw donde )arg(z=θ y )arg(w=φ , y cuando wz = obtendremos que: Si φθ = , tenemos

( ) ( )[ ]θθ 22cos22 isenzz +=

con 2zw = , obtenemos

( ) ( ) ( )[ ]θθθθ 22cos22 +++= isenzzzz o

( ) ( )[ ]θθ 33cos33 isenzz += .

Como ( )θθ isenzz += cos , hemos demostrado que:

( ) ( ) ( )θθθθ 22coscos 2 isenisen +=+ y

( ) ( ) ( )θθθθ 33coscos 3 isenisen +=+ . Mediante este proceso hemos obtenido el teorema De Moivre.

( )θθ isenzz += cos y ( )φφ isenww += cos .

Donde n es un entero positivo. 1.12 Raíces de un Número Complejo Definición 1.3 Si nwz = , entonces w se llama la raíz enésima de z y podemos escribirla como:

n zw = que posee n distintos valores. Es decir n z está multivaluada. Sean

)(cos φφ isenRw += , )(cos θθ isenrz +=

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Entonces por el teorema de Moivre:

zwn = entonces

[ ] )(cos)()cos( θθφφ isenrnisennRw nn +=+= luego

nRr = o n rR =

y

πθφ kn 2+= o nk

nπθφ 2

+=

tomando los valores k = 0,1,...., n-1, obtendremos las n raíces. Resumiendo:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=n

kisenn

krz nn πθπθ 22cos , 1,...,1,0 −= nk .

Los n valores se reparten equitativamente en una circunferencia de radio n r con centro en el origen, constituyendo los vértices de un polígono regular de n caras. El valor de n z obtenido al tomar el valor principal de )arg(z y 0=k en la fórmula

de arriba se asume como valor principal de n zw = . El teorema De Moivre también puede utilizarse para encontrar las raíces de un número complejo. Si z es una raíz n-ésima del número complejo w , entonces

.wz n = para encontrar z , establezcamos que

( )θθ isenzz += cos y ( )φφ isenww += cos , donde )arg(z=θ y )arg(w=φ . De tal forma que con el teorema De Moivre, tenemos:

( ) ( )φφθθ isenwisenz n +=+ coscos .

Así, podemos tomar nwz 1=

y

)2)((1)arg(1 kwArgn

wn

πθ +== , ,...2,1,0 ±±=k ,

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aunque la ecuación anterior proporciona un número infinito de valores para θ , solo se obtienen n ángulos polares diferentes porque:

( ) πππ 222+=

+nk

nnk

pues los ángulos polares se repiten cada n enteros. Por lo tanto, limitamos nuestra atención a los n ángulos polares:

( ),21 kArgwn

πθ += .1....,2,1,0 −±±= nk

Ejemplo 2

Encontrar las tres raíces cúbicas de iw −=1 , donde 3)42( 12 zie ki =+=−ππ

. Solución: sea z una raíz cúbica de i−1 . Entonces iz −= 13 , y por el teorema de Moivre,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=+ ππππ kisenkisenz 24

24

cos2)3030(cos3,

De tal forma que

61

2=z y 3

212

ππθ k+

−= , .2,1,0=k

En consecuencia, las tres raíces cúbicas de i−1 son:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

1212cos2

1212cos2 66

0ππππ isenisenz ,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

127

127cos26

1ππ isenz ,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

45

45cos26

2ππ isenz .

Una consecuencia de estas definiciones es el siguiente teorema. 1.13 Teorema Fundamental del Cálculo. Si una función real f(x) es continua en un intervalo bxa ≤≤ , entonces )(xf posee antiderivadas en ese intervalo. Si )(xf es cualquier antiderivada de )(xf en

bxa ≤≤ entonces.

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)()()( aFbFdxxfb

a−=∫ . Donde )()(' xfxF = .

II. TOPOLOGIA DEL PLANO COMPLEJO C Si iyxz += entonces }:{),( 00 rzzzrzB <−= son los discos abiertos en C. Se define la topología generada por discos abiertos como: Sea S un subconjunto de C, y sea Sa∈ . Entonces a se denomina punto interior de S si existe una n-bola abierta con centro en a , contenida en S . Interior de S se designa por (int S ). Definición de Punto Interior 2.1 Un conjunto S de C es abierto si todos sus puntos son interiores o S es abierto si, y solo si, S =int S . Definición de Punto Adherente 2.2 Sea S un subconjunto de C, y sea z un punto de C, no necesariamente de S . Entonces se dice que z es adherente a S si toda n-bola )(zB contiene un punto de S , por lo menos. Definición de Punto Acumulación 2.3 Si CS ⊆ y Cx∈ , entonces z se llama punto de acumulación de S si cada n-bola

)(zB contiene por lo menos un punto de S distinto de z . Ejemplo 3 Sea 0S el conjunto de todos los puntos z tales que 1<z . Encuentre el interior, la

frontera y el exterior del conjunto 0S . Solución: sea 0z un punto cualquiera de 0S . Note que el disco 0zz − ε< esta

situado completamente dentro de 0S siempre que 01 z−<ε . Así, todo punto de

0S es un punto interior. Igualmente todo punto 0z que satisfaga 1>z será exterior

a 0S . Si 10 =z , entonces toda ε -vecindad de 0z contendrá puntos que están en

0S y puntos que no lo están. Por tanto, la frontera de 0S consiste en todos los

puntos sobre el circulo 1=z , el interior es el conjunto 1<z , y el exterior es el

conjunto de todos los puntos que satisfacen 1>z (véase figura 1.8).

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Figura 1.8

Definición de Conjunto Acotado 2.4 Un conjunto S es acotado si existe un número real positivo α tal que todo )(z en

S satisfaga α<z . Si esta condición no se cumple decimos que S es no acotado. Definición de Conjunto Inconexo 2.5 Un subconjunto A de C, es inconexo (o no conexo) si existen subconjuntos abiertos G y H de C tales que GA∩ y HA∩ son conjuntos no vacíos disjuntos cuya unión es A. en esta caso, HG∪ e una inconexión de A. un conjunto es conexo si no es inconexo. Definición de Región 2.6 Un conjunto en C se llama región si es la unión de un conjunto conexo con alguno, ninguno o todos sus puntos fronteras. Si ninguno de sus puntos frontera esta incluido en la región, se dice que esta en una región abierta. Si todos los puntos frontera están incluidos, se dice que la región es una región cerrada. Teorema 2.7 Cualesquiera dos puntos de una región pueden unirse por medio de una línea poligonal contenida en la región.

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Demostración. Por contradicción. Llamemos S a la región, y supongamos que 0z esta dentro de S .

Denotaremos por 1S todos aquellos puntos de S que puedan unirse a 0z por medio

de un polígono y denotaremos por 2S aquellos puntos que no pueden unirse. Si 1z esta en 1S y por tanto en S , es un punto interior de S . Así, existe una vecindad de

1z contenida en S : δ<− 1zz . Todos estos puntos están en 1S , ya que cada uno

puede unirse a 1z por medio de una que recta que pertenece a S , y que por ende puede unirse a 0z por medio de un polígono contenido en S . Entonces todo punto

de 1S es punto interior de 1S , así que 1S es abierto.

Si 2z esta en 2S , sea δ<− 2zz una vecindad contenida en S . Ningún punto de

esta vecindad puede estar en 1S , porque si así fuera 2z estaría en 1S . Por lo cual todo punto de 2S es punto interior de 2S , entonces 2S es abierto. Ningún conjunto puede contener un punto frontera del otro, ya que ambos son abiertos y son ajenos. Como S es conexo, uno de estos conjuntos debe ser vació. Pero 0z esta en 1S , así

que 2S es vació. Cualesquiera dos puntos pueden unirse a 0z por medio de una trayectoria poligonal contenida en S y, por tanto, puede unirse entre si por una trayectoria poligonal que pasa por 0z .■ III. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA 3.1 Funciones Definición de Función 3.1 Sea S un conjunto de números complejos. Una función f definida sobre S es una regla que asigna a cada z en S un número complejo w . El numero w se llama el valor de f en z y se denota por )(zf ; esto es,

w = )(zf .

Para definir una función es necesario dar tanto una regla de asignación como un dominio de definición. Si no se menciona el dominio de definición, sobreentendemos que se toma el mayor conjunto posible. Sea ivuw += el valor de una función f en iyxz += ; es decir,

)( iyxfivu +=+ .

Cada numero real u y v depende de las variables reales x y y , luego )(zf puede ser expresado en terminote un par de función con valores reales de las variables reales x y y ;

21

),(),()( yxivyxuzf += . Ejemplo 4 Si )(zf = 2z , entonces

xyiyxiyxiyxf 2)()( 222 +−=+=+ . Luego

22),( yxyxu −= y xyyxv 2),( = . Si se usan coordenadas polares r y θ , en vez de x y y , entonces )( θirefivu =+ , donde ivuw += y θirez = . En este caso podemos escribir,

),(),()( θθ rivruzf += .

3.2 Limites Definición 3.2 Se dice que la función )(zf tiene limite A cuando z tiende hacia a ,

Azfaz

=→

)(lim ,

Si para todo 0>ε existe un número 0>δ tal que

ε<− Azf )(

Siempre que δ<−< az0 . Además, la función )(zf es continua en a si y sólo si

)()(lim afzfaz

=→

(Figura 2.0). Una función continua es aquella que es continua en todos los puntos donde está definida. Geométricamente, la definición de limite establece que cualquier ε -vecindad de a contiene todos los valores que f toma en alguna δ -vecindad de a excepto posiblemente en el valor )(af . El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento usual para determinar δ con un 0>ε dado.

22

Figura 2.0

Ejemplo 5

Pruebe que 221lim

3=

−−

→ zz

z.

Solución: con la expresión azf −)( , simplificada, obtenemos

2232

21

−<

−−

=−−−

zzz

zz δ

.

Puesto que δ<−< 30 z donde δ debe todavía expresarse en términos de ε . Si

21

<δ , mediante la desigualdad del triangulo, tenemos

211)31)3(12 >−>−−≥−−=− δzzz

de tal forma que

δ2221

<−−−

zz

.

Así dado cualquier número pequeño 0>ε , si elegimos ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛< εδ

21,

21min ,

obtenemos

23

ε<−−− 2

21

zz

.

Al igual que la definición de límite de una función compleja de una variable compleja es idéntica a la de una función real de una variable real, y puesto que los valores absolutos se comportan como en el caso real, se aplican exactamente las mismas reglas de los límites. 3.2.1 Propiedades de los Límites. Sean Azf

az=

→)(lim y Bzg

az=

→)(lim .

Entonces

(i) [ ] BAzgzfaz

±=+→

)()(lim ,

(ii) ABzgzfaz

=→

)()(lim ,

(iii) BA

zgzf

az=

→ )()(lim , para 0≠B .

Demostración. Dado 0>ε existe un número 01 >δ tal que ε<− Azf )( , si 1δ<− az , y un

número 02 >δ tal que ε<− Bzg )( , siempre que 2δ<− az . Sea δ<− az ,

donde ),min( 211 δδδ = . Entonces, por la desigualdad del triangulo, [ ] [ ] [ ] [ ] εεε 2)()()()()()()( =+<−+−≤−+−=+−+ BzgAzfBzgAzfBAzgzf

y [ ] [ ] [ ] εεε 2)()()()()()()( =+<−+−≤−+−=−−− zgBAzfzgBAzfBAzgzf

. Como 0>ε es arbitrario, se muestra que )()( zgzf ± puede estar arbitrariamente cercano a BA ± eligiendo a z suficientemente cercano a a . Por tanto, la propiedad (i) se cumple. Además,

ABBzfBzfzgzfABzgzf −+−=− )()()()()()(

AzfBBzgzfAzfBBzgzf −+−≤−+− )()()()()()( y

24

BA

Bzf

Bzf

zgzf

BA

zgzf

−+−=−)()(

)()(

)()(

[ ]

BAzf

zgBzgB

zfB

AzfzBg

zgBzf −+−≤

−+

−=

)()(

)()()(

)()()(

.

Si B210 << ε , tenemos

)()()( zgzgzgBB +≤+−= ε , de tal forma que

BBzg21)( <−≥ ε

ε+≤+−= AAAzfzf )()( , por lo tanto

( )εε ++≤− BAABzgzf )()( , y

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+<− 1

21)()(

BA

BBA

zgzf εε

,

así que podemos hacer )()( zgzf y )(zf arbitrariamente cercanos a AB y BA , respectivamente, con z suficientemente cercano a a . Esto comprueba las reglas (ii) y (iii). Teorema 3.3 Sea

0)(lim0

wzfzz

=→

y 0)(lim0

WzFzz

=→

.

Entonces [ ] 00)()(lim

0

WwzFzfzz

+=+→

,

y [ ] 00)()(lim

0

WwzFzfzz

=→

Y, si 00 ≠W , entonces

0

0

)()(lim

0 Ww

zFzf

zz=

→.

El limite de un polinomio n

n zazazaazP ++++= ...)( 2210 cuando z tiende a

0z es el valor del polinomio en ese punto:

25

)()(lim 00

zPzPzz

=→

.

Otra propiedad de los límites que nos será de utilidad.

0)(lim0

wzfzz

=→

, entonces 0)(lim0

wzfzz

=→

.

En general las propiedades que aplican para los límites de los números reales también son las mismas que se utilizan para los complejos. Las reglas de los limites pueden usarse para probar que toda función polinomial en z

011

1 ...)( azazazazf nn

nn ++++= −

− es continua en los complejos. Sea una función definida en todos los puntos z de un entorno abierto de 0z . La

afirmación de que el limite de )(zf , cuando z tiende a 0z , es número 0w , o sea

0)(lim0

wzfzz

=→

,

significa que el punto w = )(zf puede hacerse tan próximo como se quiera a 0w si

escogemos el punto z suficientemente cercano al punto 0z , pero distinto de el.

Entonces la afirmación 0)(lim0

wzfzz

=→

significa que, para cada número positivo ε ,

existe un número positivo δ tal que

ε<− owzf )( siempre que δ<−< 00 zz . Geométricamente, esta definición dice que para cada ε -entorno ε<− 0ww de

0w , existe un δ -entorno abierto δ<−< 00 zz de 0z tal que todo punto z en él tiene una imagen w que esta en el ε -entorno (figura 2.1).

Figura 2.1

26

Teorema 3.4 Sea ),(),()( yxivyxuzf += , 000 iyxz += , y 000 ivuw += . Entonces

0)(lim0

wzfzz

=→

Si y solo si

0),(),(),(lim

00

uyxuyxyx

=→

y 0),(),(),(lim

00

vyxvyxyx

=→

.

Demostración: Supongamos que 0),(),(

),(lim00

uyxuyxyx

=→

y 0),(),(),(lim

00

vyxvyxyx

=→

entonces

0)(lim0

wzfzz

=→

.

Supongamos que 0)(lim0

wzfzz

=→

y de acuerdo con la definición de límites, donde

para cada número positivo ε existe un número positivo δ tal que

ε<−+− )()( 00 vviuu siempre que

δ<−+−< )()(0 00 yyixx . como

)()( 000 vviuuuu −+−≤− , y

)()( 000 vviuuvv −+−≤− , se sigue que

ε<− 0uu y ε<− 0vv , si

δ<−+−< 20

20 )()(0 yyixx .

Recíprocamente supongamos que 0),(),(

),(lim00

uyxuyxyx

=→

y

0),(),(),(lim

00

vyxvyxyx

=→

. Para cada número ε positivo existen números positivos 1δ

y 2δ tales que

20ε

<− uu si 12

02

0 )()(0 δ<−+−< yyxx

y

20ε

<− vv si 22

02

0 )()(0 δ<−+−< yyxx , sea δ el menor de los números 1δ y 2δ . Dado que

27

0000 )()( vvuuvviuu −+−≤−+− , concluimos que

ε<+−+ )()( 00 ivuivu siempre que

δ<+−+< 00()(0 iyxiyx . lo cual es igual a la ecuación 0)(lim

0

wzfzz

=→

.■

Ejemplo para la superficie )log(z . Correspondiendo a cada número no nulo z, la función multivaluada

θirz += ln)log( Tiene infinitos valores. Para describir )log(z como función univaluada, sustituimos el plano z , quitado el origen, por una superficie sobre la cual se coloca un nuevo punto cada vez que el argumento de z crece o decrece en π2 o en un múltiplo entero de π2 .

Consideremos el plano z , sin el origen, como una fina hoja 0R cortada a lo largo del

eje real positivo. Sobre esa hoja, θ varía de 0 a π2 . Sea 1R otra hoja cortada del mismo modo y colocada sobre 0R . El borde inferior del corte en 0R se une entonces

con el borde superior del corte de 1R . Sobre 1R , θ varía de π2 a π4 ; así que cuando z es representado por un punto en 1R la componente imaginaria de )log(z varía de π2 a π4 . Se corta ahora de la misma manera otra hoja 2R y se coloca sobre 1R . El borde inferior del corte de 1R se une con el superior del corte 2R , y análogamente para las hojas ,..., 43 RR Una hoja 1−R en la que θ varía desde 0 hasta π2− se corta y se

coloca bajo 0R , con el borde inferior de su corte unido al borde superior del corte de

0R . Las hojas ,..., 43 −− RR se construyen de forma similar. Las coordenadas r y θ de un punto sobre cualquiera de las hojas pueden considerarse como coordenadas polares de la proyección del punto sobre el plano z original, estando restringida la variación de θ en cada hoja a un rango de π2 radianes. Consideremos cualquier curva continua sobre esta superficie conexa de infinitas hojas. Al describir un punto z esa curva, los valores de )log(z varían continuamente ya que θ , al igual que r, varía continuamente; y )log(z toma exactamente un valor correspondiente a cada punto de la curva.

28

Figura 2.2

Por ejemplo, si el punto da una vuelta completa en torno al origen sobre la hoja 0R por el camino indicado en la (Figura2.2), el ángulo cambia de 0 a π2 . Al atravesar el rayo πθ 2= , el punto pasa a la hoja 1R de la superficie. Mientras completa una vuelta en 1R , el ángulo θ varia de π2 a π4 , y al cruzar el rayo πθ 4= , el punto pasa a la hoja 2R . La superficie aquí descrita es una superficie de Riemann para )log(z . Es una superficie conexa de infinitas hojas, construida de modo tal que )log(z es univaluada sobre ella. La transformación )log(zw = aplica la superficie de Riemann completa de manera uno a uno sobre todo el plano w . La imagen de la hoja 0R es la franja π20 ≤≤ v .

Cuando un punto z se mueve por la hoja 1R a lo largo del arco que muestra la (Figura 2.3), su imagen w se mueve hacia arriba cruzando la recta π2=v , como indica la (Figura 2.3). Nótese que )log(z , definida sobre la hoja 1R , representa la prolongación analítica de la función analítica univaluada

θirzf += ln)( , )20( πθ << Por el eje real positivo hacia arriba. En ese sentido, )log(z es no sólo una función univaluada de todos los puntos de la superficie de Riemann, sino también una función analítica en ellos. Las hojas podrían haberse cortado, claro está, a lo largo del eje real negativo o de cualquier otro rayo que parta del origen, y unidas adecuadamente por los bordes de sus cortes formarían otra superficie de Riemann para )log(z .

29

Figura 2.3

Como sabemos la longitud de cualquier triángulo es menor o igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados.

3.3 Continuidad. Una función f es continua en un punto 0z si satisface las siguientes condiciones:

1. )(lim0

zfzz→

existe,

2. )( 0zf existe,

3. )()(lim 00

zfzfzz

=→

.

La afirmación (3) dice que para cada número positivo ε existe un número positivo δ tal que,

4. ε<− )()( 0zfzf si δ<− 0zz .

Una función de una variable compleja se dice que es continua en una región R si lo es en todos sus puntos. 3.3.1 Propiedades Algebraicas para la Continuidad. Si dos funciones son continuas en un punto, su suma y su producto también lo son; su cociente es continua en las mismas circunstancias siempre que el denominador no se anule en ese punto. Se sigue directamente de la definición (4) que la composición de dos funciones continuas es continua. Para verlo, sea )(zfw = una función definida para todo z de un entorno de 0z y sea )(wg una función cuyo dominio de definición contiene a la

30

imagen de ese entorno. Entonces la composición [ ])(zfg esta definida para todo z de ese entorno de 0z .

Supongamos ahora que f es continua en 0z y que g es continua en el punto

0w = )( 0zf . En vista de la continuidad de g en 0w , sabemos que para cada numero positivo ε existe un número positivo γ tal que

[ ] [ ] ε<− )()( 0zfgzfg si γ<− )()( 0zfzf .

Ahora correspondiendo a γ , existe un número positivo δ la segunda de estas

igualdades se satisface siempre que δ<− 0zz . 3.4 Funciones Continuas de una Variable Una función continua de una variable compleja es una regla que asigna un numero complejo w a cada numero complejo z de un conjunto S . Al escribir )(zfw = en términos de las descomposiciones en partes real e imaginaria iyxz += y

ivuw += de cada variable compleja, ( ) ( ) ( ) ( ),,, yxivyxzivzuw +=+= notamos que una función compleja de una variable compleja consiste en un par de funciones reales de dos variables reales. Las funciones reales de una variable real )(xfy = pueden describirse geométricamente por medio de una grafica en el plano xy . No es posible una representación para )(zfw = , ya que se requeriría cuatro dimensiones, dos para cada variable compleja. En lugar de esto, la información acerca de la función se expresa dibujando planos complejos separados para las variables z y w , e indicando la correspondencia existente entre puntos, o conjuntos de puntos, en los planos (figura 2.4). 3.5 Derivadas Definición 3.5 Sea f una función cuyo dominio de definición contiene un entorno de 0z . La

derivada de f en 0z , escrita )( 0' zf , se define por la ecuación,

0

00

' )()(lim)(

0 zzzfzf

zfzz −

−=

→,

Supuesto que ese límite exista. La función f se dice diferenciable en 0z cuando

existe su derivada en 0z .

31

Figura 2.4

Expresando la variable z de la ecuación 0

00

' )()(lim)(

0 zzzfzf

zfzz −

−=

→ en términos

de la nueva variable compleja cuando z esta muy cerca de 0z , se tiene,

0zzz −=∆ de donde

0zzz +∆= ,

y la ecuación se puede escribir como

zzfzzf

zfz ∆

−∆+=

→∆

)()(lim)( 00

00' .

Siempre que z∆ sea suficientemente pequeño (Figura 2.5).

Al utilizar la ecuación z

zfzzfzf

z ∆−∆+

=→∆

)()(lim)( 00

00' de la definición de

derivada se suele omitir el subíndice de 0z , y se introduce el número Que denota el cambio en el valor de f correspondiente a un cambio z∆ en el punto

en el que evaluamos f . Entonces, si llamamos dzdw a )´(zf , la ecuación

zzfzzf

zfz ∆

−∆+=

→∆

)()(lim)( 00

00' se convierte en

zw

dzdw

z ∆∆

=→∆ 0

lim .

32

)()( zfzzfw −∆+=∆ ,

Figura 2.5

Todo polinomio:

n

n zazazazaazP +++++ ...))( 33

2210

Es entero, porque en cada punto z de los complejos tiene derivada

12321

' ...32)( −++++= nn znazazaazP .

Ejemplo 6

Examinemos ahora la función 2)( zzf = . Aquí

Figura 2.6

zzzzz

zzzzzzz

zzzz

zw

∆∆

+∆+=∆

−∆+∆+=

∆

−∆+=

∆∆ ))((

22

.

33

Si el límite de zw∆

∆ existe, ese limite puede hallarse haciendo que el punto

),( yxz ∆∆=∆ se aproxime al origen en el plano z∆ de forma arbitraria. En particular, cuando z∆ tiende hacia el origen horizontalmente por los puntos )0,( x∆

del eje real (Fig. 2.6), podemos escribir zz ∆=∆ . Por tanto, si existe el límite de

zw∆

∆ , su valor ha de ser zz + . Sin embargo, cuando z∆ tiende al origen

verticalmente por los puntos ),0( y∆ del eje imaginario, de modo que zz ∆−=∆ ,

hallamos que el límite debe ser zz − , si existe. Como los límites son únicos, se

deduce que zz + = zz − , o sea 0=z , si ha de existir dzdw .

Para ver que, en efecto, dzdw existe en 0=z , sólo necesitamos observar que

nuestra expresión para zw∆

∆ se reduce a z∆ cuando 0=z . Concluimos, en

consecuencia, que dzdw existe sólo en el punto 0=z , y su valor es 0 allí.

El ejemplo anterior muestra que una función puede ser diferenciable en un cierto punto sin serlo en ningún otro punto de un entorno suyo. 3.5.1 Derivadas Parciales.

Puesto que las partes real e imaginaria de 2)( zzf = son

22),( yxyxu += y 0),( =yxv ,

Respectivamente, muestra asimismo que las componentes real e imaginaria de una función de una variable compleja pueden tener derivadas parciales continuas de todo orden y, no obstante, la función no ser diferenciable allí.

La función 2)( zzf = es continua en todo punto del plano complejo, pues sus

componentes 22),( yxyxu += y 0),( =yxv , lo son. Así que la continuidad de una función en un punto no implica la existencia de derivada en él. Es cierto, sin embargo, que la existencia de derivada de una función en un punto implica la continuidad de la función en ese punto. Para verlo, supongamos que existe )( 0

' zf y escribamos

[ ] 00*)´()(lim)()(

lim)()(lim 000

00

000

==−−−

=−→→→

zfzzzz

zfzfzfzf

zzzzzz,

De donde

)()(lim 00

zfzfzz

=→

.

34

Esto asegura la continuidad de f en 0z . 3.6 Función Exponencial Compleja Definición 3.6 La exponencial compleja dada por:

( )isenyyee xz += cos Es una función entera con valor diferente de cero que satisface la ecuación diferencial:

),()(' zfzf = 1)0( =f . Que 0≠ze se sigue que ni xe ni isenyy +cos se anula. Además, observamos que como iyxz += , la notación conduce a:

isenyyeiy += cos , 1=iye . Así, la representación polar de un número complejo se transforma en:

ziezz arg= . Si 222111 ,, iyxziyxz +=∧+= , entonces las formulas trigonométricas para la suma implican que

( )( )( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]( ) 212121

21

21

2121

2121

21212121

2211

cos

coscoscoscos

coscos

zzyyixx

xx

xx

xxzz

eee

yyisenyye

senyyysenyisenysenyyye

isenyyisenyyeeee

+++

+

+

==

+++=

++−=

++=

Ya que

1221221 zzzzzzz eeee == +−− , Se sigue que

2

121z

zzz

eee =− .

Si usamos repetidamente la formula para la suma de exponentes, obtenemos

( )nznz ee = . Esta identidad proporciona una prueba rápida del teorema de Moivre

cuando θiez = :

,cos)()(cos θθθθ θθ isennneeisen ninin +===+ Para ...210 ±±±=n .

35

Con el teorema de Moivre, tenemos:

).1(2)2(22

2)2()1(

11

4114223

423

22323423

iee

eeiii

ii

+=

==

==−−−

ππ

ππ

3.6.1 Propiedades de la Exponencial Compleja. Teorema 3.7 Si 111 iyxz += y 222 iyxz += , son dos números complejos, entonces tenemos

2121 zzzz eee += . Demostración.

)(cos 1111 isenyyee xz += , )(cos 22

22 isenyyee xz += ,

[ ])cos(coscoscos 212121212121 ysenysenyyisenysenyyyeeee xxzz ++−= .

Ahora bien, 2121 zzzz eee += , ya que 1x y 2x , son ambos reales. Además,

)cos(coscos 212121 yysenysenyyy +=− y

)(coscos 212121 yysenysenysenyy +=+ , y por lo tanto

[ ] 212121 )()cos( 2121zzxxzz eyyisenyyeee ++ =+++= .

En los teoremas siguientes 21 ,, zzz designan números complejos. Teorema 3.8

ze jamás es cero. Demostración. 10 ==− eee zz . Por lo tanto, ze no puede ser cero. Teorema 3.9

Si x es real, entonces ixe =1.

Demostración. 2ixe = 1cos 22 =+ xsenx , y ixe >0.

Teorema 3.10

ze =1 si, solo si, z es múltiplo de iπ2 .

36

Demostración. Si nz = , donde n es un entero, entonces 1)2()2cos( =+= nisenne z ππ .

Recíprocamente, supongamos que ze =1. Esto significa que 1cos =ye x y

0=senyex . Como 0≠xe , entonces debe ser πkyseny == ,0 donde k es un

entero. Pero kk )1()cos( −=π . Por lo tanto, kxe )1(−= ya que 1)cos( =πke x .

Como 0>xe , k debe ser par. Por lo tanto 1=xe y entonces 0=x .■ Teorema 3.11

21 zz ee = si, y solo si, inzz π221 =− (donde n es un entero). Demostración. 21 zz ee = si, y solo si, 121 =−zze .■ Definición 3.12 Sea la exponencial xe ( x real). Definimos ze para z complejo de tal forma que las principales propiedades de la función exponencial real se conserven. Las citadas propiedades de xe para x real son la ley de los exponentes, 2121 xxxx eee += , y la ecuación 0e =1. Daremos una definición de ze para z complejo que conserve estas propiedades y que se reduzca a la exponencial ordinaria cuando z sea real. Si escribimos iyxz += (x, y reales), entonces para que se verifique la ley de los

exponentes deberíamos tener iyxiyx eee =+ . Definición 3.13 Si iyxz += , definimos iyxz ee += como el número complejo

)(cos isenyyee xz += . Esta definición coincide claramente con la función exponencial real cuando z es real (esto es, y = O). Probaremos a continuación que la ley de los exponentes se cumple. 3.7 Mapeo. La exponencial compleja juega un papel esencial en las aplicaciones. Con el fin de entender completamente la exponencial compleja. Necesitaremos estudiar sus propiedades como mapeo. Para visualizar el mapeo

)(cos isenyyeew xz +== , observemos que la franja infinita ππ <≤− y se mapea en }0{−C ; los puntos sobre el segmento de recta 0=x , ππ <≤− y se mapean de manera uno a uno en

37

Figura 2.7 el circulo 1=w , las rectas verticales a la izquierda del eje imaginario se mapean en

círculos de radio 1<r , las rectas verticales a la derecha del eje imaginario sobre círculos de radio 1>r , la mitad izquierda de la franja en la (Figura 2.7) se mapea en

10 << w , y la mitad derecha va a 1>w . Observe que xe tiene periodo iπ2 , porque

iyxiz ee )2(2 +++ = ππ [ ] zx eyisenye =+++= )2()2cos( ππ ,

Así que los valores complejos ze y kize π2+ , con k entero, son idénticos. Por tanto, cada franja infinita πππ <−≤− ky 2 , ,...2,1,0 ±±=k también se mapea

en }0{−C , y el mapeo }0{: −→ CCez manda un número infinito de puntos de C al mismo punto en }0{−C . Este es un resultado indeseable, en vista de que no permite la discusión de una función inversa, excepto sobre cada una de las franjas infinitas descritas anteriormente. La función inversa es verdaderamente importante, porque la inversa de la exponencial real es el logaritmo. Para eliminar esta dificultad, imagine que el contradominio del mapeo consiste en un número infinito de copias de

}0{−C apiladas en capas unas sobre otras, cada una cortada a lo largo del eje real negativo con el borde superior de una capa “pegada” al borde inferior de la capa superior, produciendo un conjunto ℜ que asemeja una rampa infinita en espiral (Figura 2.8). El conjunto ℜ difiere de }0{−C en que cada punto de ℜ queda determinado unívocamente en coordenadas polares, mientras que los puntos de }0{−C no se pueden determinar en la misma forma, porque el argumento es multivaluado. Si utilizamos a ℜ como el contradominio de la función ze y medimos distancias cortas en ℜ de la manera obvia, observamos que ze mapea a C continuamente en ℜ y que el mapeo es uno a uno. Así, ℜ→Cez : tiene inversa. La analiticidad de ze no se afecta al hacer este cambio de contradominio, porque

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

−+

heee

hee h

zzhz 0

38

Figura 2.8

Y la cantidad entre paréntesis tiende a 0e cuando 0→h , si he pertenece a la misma capa de ℜ que 0e . De manera alternativa, si π)12(Im +≠ kz y h es pequeño, z

y hz + pertenecerán a la misma franja, de tal forma que ze y hze + se encuentren en la misma copia de }0{−C . El conjunto ℜ se llama superficie de Riemann; las líneas de corte en cada copia de

}0{−C cortes de ramificación; los extremos de los cortes de ramificación ∞,0 puntos de ramificación; y cada copia de }0{−C se llama rama de ℜ . Como ℜ→Cez : , es uno a uno, con ℜ como la superficie de Riemann ya definida podemos definir su función inversa. Imitando el caso real, llamamos a este inverso logaritmo y lo denotamos por:

Cz →ℜ=log . Como la exponencial compleja y el logaritmo son funciones inversas, se tiene que:

ze z =log , para todo z enC.

ze z =log , para todo z en ℜ . La representación polar y la naturaleza inversa de las funciones logaritmo y exponencial proporcionan una definición natural para el logaritmo complejo:

)arg(log)arg( log((loglog zizzi eezzz +== )arg(log ziz += , Donde zlog es el logaritmo natural del cálculo elemental. Teorema 3.14 La función zlog )arg(log ziz += es analítica para todo z en ℜ .

39

Demostración:

Como )log(21log 22 yxzu +== , n

xyzv π+== −1tanarg

,,,, 22222222 yxxv

yxyv

yxyu

yxxu xxyx +

=+−

=+

=+

=

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann se cumplen y las derivadas parciales son todas continuas en ℜ . Porque la analiticidad es una propiedad local, y porque la prueba del teorema sobre condiciones para la analiticidad, se basa en argumentos locales, zlog es analítica en ℜ . 3.8 Función Logaritmo Complejo Como hemos visto ze nunca es cero. Nos podemos preguntar si hay otros valores que ze no puede tomar jamás. Teorema 3.15 Si z es un número complejo ≠ 0, existen números complejos w tales que zew = . Uno de tales w es el número complejo

)arg(log ziz + , y todos los demás tienen la forma

inziz π2)arg(log ++ , donde n es un entero. Demostración. Como

zezeee zizizziz ===+ )arg()arg(log)arg(log , vemos que

)arg(log zizw += es una solución de la ecuación

zew = . Pero si 1w es otra solución, entonces 1ww ee = y, por lo tanto, inww π21 =− .■ Definición 3.16

Sea 0≠z un número complejo dado. Si w es un número complejo tal que zew = , entonces w se denomina un logaritmo de z . El valor particular dado por

40

)arg(log zizw += ,

se llama logaritmo principal de z , y para este w escribiremos

Logzw = .

Teorema 3.17 Si 021 ≠zz , entonces

),(2)( 212121 zzniLogzLogzzzLog π++= , donde ),( 21 zzn es un entero. Demostración.

)zzarg(zzlog)z(z 212121 iLog +=

[ ]),(2)arg()arg(loglog 212121 zznzzizz π++++= .■ Definición 3.18 El logaritmo complejo tiene las propiedades usuales de un logaritmo:

2121 logloglog zzzz += ,

212

1 loglog zzzz

−= .

En estas dos identidades suponemos que 1z y 2z son puntos de la superficie de Riemann ℜ . Como:

zez log= Para cualquier z en ℜ , aplicamos la regla de la cadena para la derivación y obtener:

'log )(log1 zez z== o

zz 1)(log ' = , para z en ℜ .

Así, la formula usual de la derivada se cumple en ℜ . De la misma manera que definimos el valor principal )(zArg del argumento )arg(z , podemos extender este concepto al logaritmo. Al visualizar al logaritmo como el mapeo inverso de la exponencial, llamamos a la rama de ℜ cortada a lo largo del eje real negativo, que se mapea en la franja semiinfinita ππ <≤− y , rama principal del logaritmo (véase Figura 2.9). Denotamos zlog cuando se restringe la rama principal, por

41

)(loglog ziArgzz += , y llamamos a éste valor principal de zlog .

Figura 2.9

Note que el valor principal zlog se define sólo en aquella rama de ℜ para la cual

)(zArg existe. Debe tenerse cuidado cuando se trabaje con la rama principal del logaritmo zlog , ya que las propiedades usuales de los logaritmos pueden no cumplirse. Por ejemplo,

2)(loglog πiiiArgii =+= ,

432log)1(1log)1log( πiiiArgii +=+−++−=+− ,

pero )1log()]1(log[ iii −−=+−

)1(1log iiArgi −−+−−=

4

32log πi−= ,

así que )1log(log)]1(log[ iiii +−+≠+− .

Por el contrario, las dos expresiones difieren por un múltiplo de iπ2 . Las funciones logaritmo y exponencial complejas se pueden usar para definir las funciones potencia.

42

3.9 Función Potencia. Utilizando los logaritmos complejos, podemos dar ahora una definición de las potencias complejas de los números complejos. Definición 3.19 Si 0≠z y si w es u numero complejo cualquiera, definimos

wLogzw ez = .

Los dos teoremas siguientes suministran las reglas de cálculo con potencias complejas. Teorema 3.20

1121 wwww zzz += si 0≠z . Demostración.

21212121 )( wwLogzwLogzwLogzwwww zzeeez === ++ .■

Teorema 3.21 Si 021 ≠zz , entonces

),(22121

21)( zziwnwww ezzzz π= , donde ),( 21 zzn es entero. Demostración.

[ ]),(2)´(21

212121)( zzinLogzLogzwzzwLogw eezz π++== .■ 3.10 Funciones Trascendentales La exponencial compleja puede utilizarse para definir funciones trigonométricas complejas. Como isenxxeisenxxe ixix −=∧+= − cos,,cos entonces:

2cos

ixix eex−+

= ieesenx

ixix

2

−−= .

Extendemos estas definiciones a los planos complejos como sigue: Definición 3.22

zaa ez log= , a complejo 0≠ , 0≠z .

43

La función ℜ→ℜ:az es analítica uno a uno porque es la composición de funciones de esos tipos. Por la regla de la cadena,

1log' *)( −== azaa azzaez .

El valor principal de la función potencia esta dado por:

aLogza ez = . Definición 3.23

2cos

iziz eez−+

= ieesenz

iziz

2

−−= .

Estas funciones son enteras, pues sumas de funciones enteras y satisfacen:

.cos22

)(

,22

)(cos

'

'

zeeiieiesenz

senzieeieiez

iziziziz

iziziziz

−=+

−=+

=

−=−

−=−

=

−−

−−

Las otras funciones trigonométricas, definidas en términos de las funciones seno y coseno por medio de las relaciones usuales son analíticas, excepto donde se anulan sus denominadores, y satisfacen las reglas normales de derivación.

zsenzzcos

tan = z

zcos

1sec =

senzzz coscot =

senzz 1csc = .

zz 2' sec)(tan = zzz tansec)(sec ' =

zz 2' csc)(cot −= zzz cotcsc)(csc ' −= .

Todas las identidades trigonométricas usuales son validas en variables complejas, y sus demostraciones dependen de las propiedades de la exponencial. Por ejemplo

1])()[(41cos 2222 =−−+=+ −− iziziziz eeeezsenz ,

y

iee

ieeeeeesenzsenzzz

iziziziziziziziz

2222coscos

22112211

2121

−−−− −−−

++=−

44

)cos(422

21

2121

zzeeee iziziziz

+=+

=−−

.

De la definición de zcos , tenemos

2)cos(cos

ixyixy eeiyxz−+− +

=+=

)(cos21)(cos

21 isenxxeisenxxe yy −++= −

)(2

)cos(2

xseneexee yyyy

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

−−

.

Así )()()cosh()cos(cos ysenhxisenyxz −= .

De manera semejante encontramos

)()cos()cosh()( ysenhxiyxsensenz += . Teorema 3.24 Los ceros reales de senz y zcos son únicos ceros. Demostración: Si 0=senz , tenemos que:

0)cosh()( =yxsen 0)()cos( =ysenhx . Pero 1)cosh( ≥y , lo cual implica que el primer término se anula solamente cuando

0)( =xsen , esto es, ,...2,,0)( ππ ±±=xsen sin embargo, para estos valores )cos(x no se anula. Por tanto, debemos tener 0)( =ysenh , sea 0=y . Así,

0=senz implica πnz = , con n entero. Esta aseveración también se aplica a ztan , de igual forma encontramos que,

0cos =z Implica π⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

21nz , con n entero.■

Las funciones hiperbólicas complejas se definen al extender las definiciones reales al plano complejo. Definición 3.25

45

2

zz eesenhz−−

= , 2

coshzz eez

−+= .

Nuevamente, todas las identidades y reglas usuales de derivación se aplican a las funciones hiperbólicas complejas. Notemos además que:

senhz isenzeeiziziz

=−

=−

2

cosh zeeiziziz

cos2

=+

=−

.

Así, las funciones hiperbólicas complejas están relacionadas con las funciones trigonométricas complejas, ya que al multiplicar por i , simplemente se rota toda vector en los complejos por °90 , en sentido contrario a la dirección que llevan las manecillas del reloj. Por tanto, los ceros de senhz y zcosh son imaginarios puros. 3.11 Condiciones Necesarias Para La Analiticidad Definición 3.26 Función Analítica. Sea ivuf += una función compleja definida en un conjunto abierto S del plano

complejo C. Se dice que f es analítica en S si existe y es continua la derivada 'f en cada punto de S . Como ya sabemos derivada de una función compleja de una variable compleja se define, exactamente de la misma manera que el caso real del cálculo. Definición 3.27 Sea f definida en CG ⊂ . La derivada 'f de f en a esta dada por

hafhafaf

h

)()()( lim0

¡ −+=

→

Cuando el límite existe. Se dice que la función f es analítica en la región G si tiene derivada en cada punto de G, y se dice que f es entera si es analítica en todo C. Lema 3.28: si f tiene derivada en a , entonces f es continua en a . Demostración:

)()(*)()(lim)(lim00

afafhh

afhafhafhh

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+

=+→→

.■

46

Si manipulamos la definición de derivada esta lleva a las reglas usuales de derivación:

''')( gfgf ±=± ,

''')( gffgfg += ,

,0,2

'''

=−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛g

gfggf

gf

Regla de la cadena ),())(()))((( ''' zgzgfzgf =

Las pruebas son idénticas a las usadas en cálculo elemental. Sea ),( yxz = , suponga que h es real y entonces:

).()(),(),()( lim0

' zfzxf

hyxfyhxfzf x

h=

∂∂

=−+

=→

Pero entonces si ikh = es puramente imaginario, entonces:

)()(1),(),()( lim0

' zifzyf

ikyxkyxfzf y

k−=

∂∂

=−+

=→

.

Así, la existencia de una derivada compleja obliga a la función a satisfacer la ecuación diferencial parcial:

yx iff −= . Si ),()()( zivzuzf += donde u y v son funciones reales de una variable compleja, y si igualamos las partes reales e imaginarias de:

,yyyxxx iuviffivu +=−==+ Obtenemos las ecuaciones diferenciales de Cauchy-Riemann

,yx vu = yx uv −= . Y finalmente hemos probado el siguiente teorema.

Teorema 3.29 Si la función )()()( zivzuzf += tiene derivada en el punto z, las primeras derivadas parciales de u y v , con respecto a x y y , existen y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

47

Ejemplo 7 Sea xyiyxzzf 2)()( 222 +−== . Como f es entera, 22 yxu −= y xyv 2= deben satisfacer las ecuaciones de Cauchy Riemann. Observemos que

xx vxu == 2 y xx vyu ==− 2 .

Por otra parte, si 222)( yxzzf +== , entonces 22 yxu += , 0=v y xux 2= ,

yu y 2= , yx vv == 0 , así que f satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann solo

en 0. Aún más, f tiene derivada cuando 0=z porque

0limlim)0(0

2

0

' ===→→

hhh

fhh

.

Como ya hemos visto en las propiedades de los complejos ahora empecemos con la exponencial xe . Deseamos definir una función zezf =)( que sea analítica y que coincida con la función exponencial real cuando z sea real. Recordando que la exponencial real se determina por la ecuación diferencial

)()´( xfxf = . 1)0( =f . Nos preguntarnos si existe una solución analítica de la ecuación

)()´( zfzf = , 1)0( =f Si tal solución existe, necesariamente deberá coincidir con xe cuando xz = , pues sólo así satisfará la ecuación que la determina sobre el eje real. De la definición de ´f , tenemos

ivuivu xx +=+ , 0)0(,1)0( == vu . Como uux = vvx = , al separar, variables tenemos

xeypyxu )(),( = , xeyqyxv )(),( = , como 1)0( =p , 0)0( =q por las condiciones iniciales. Derivaremos estas dos ecuaciones con respecto a y aplicando las ecuaciones de Cauchy-Riemann, para obtener

xxy

x eyqvueyp )()´( −=−== , xxy

x eypuveyq )()´( === .

48

Por tanto, qp −=´ , pq =´ , así que

qpq −== ´´´ , pqp −=−= ´´´ ,

y qp, son soluciones de la ecuación diferencial real 0)()('' =+ yy φφ . Todas las soluciones de esta ecuación son de la forma BsenyyA +cos , con A y B constantes. Como 1)0()0´( == pq , 0)0()0´( =−= pp , debemos tener yyp cos)( = ,

senyyq =)( . Por tanto, obtenemos la función

)(coscos)( isenyyesenyieyezf xxx +=+= , Que coincide con xe cuando xz = y es analítica puesto que su construcción automáticamente garantiza que las parciales son continuas y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann. 3.12 Condiciones Suficientes Para La Analiticidad Aquí nos podemos preguntar si las ecuaciones de Cauchy-Riemann son suficientes para garantizar la existencia de la derivada en un punto dado. El ejemplo siguiente, de D. Menchoff, muestra que no es así. Sea

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠=

.0,0

,0,)( 4

5

z

zzz

zf

Entonces 4

)(⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

zz

zzf

, 0≠z ,

Que tiene valor 1 sobre el eje real y valor -1 sobre la línea xy = . Así, f no tiene derivada en 0=z ; pero si se desarrolla la expresión para f se tiene

xxu =)0,( , )0,(0),( xvyou == , yyov =),( , por lo que

)0,0(1)0,0( yx vu == , )0,0(0)0,0( xy vu ==− , y se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Sin embargo tenemos el siguiente teorema Teorema 3.30 Sea ),(),()( yxivyxuzf += , definida en alguna región G que contiene al punto

0z , y que tiene primeras derivadas parciales continuas, con respecto a x y y , que

satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en 0z . Entonces )( 0' zf existe.

49

Demostración: Si 0xx ≠ y 0yy ≠ , el cociente de diferencias se puede escribir:

o

oo

o

oo

o

o

zzyxvyxv

izz

yxuyxuzz

zfzf−−

+−−

=−− ),(),(),(),()()(

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+−−

−−

0

0

0

0

0

0 ),(),(),(),(xx

yxvyxvi

xxyxuyxu

zzxx

+ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+−−

−−

0

000

0

000

0

0 ),(),(),(),(yy

yxvyxvi

yyyxuyxu

zzyy

= [ ])),(()),(( 0200100

0 yxxtxivyxxtxuzzxx

xx −++−+−−

+ [ ]))(,())(,( 40300

0ooooy yytyxivyytyxu

zzyy

−++−+−−

,

Donde ,4,3,2,1,10 =<< ktk según el teorema del valor medio del calculo

diferencial. Este resultado también se cumple si 0xx = y 0yy = . Como las

derivadas parciales son continuas en oz , podemos decir:

[ ]1000

0

0

0 )()()()(

ε++−−

=−−

zivzuzzxx

zzzfzf

xx +

[ ]2000

0 )()( ε++−−

zivzuzzyy

yy ,

Donde 0, 21 →εε cuando 0zz → . Aplicando las ecuaciones de Cauchy-Riemann al último término, podemos cambiar los términos para obtener:

0

201000

0

0 )()()()(

)()(zz

yyxxzivzu

zzzfzf

x −−+−

++=−− εε

.

Como 000 , zzyyxx −≤−− , la desigualdad del triangulo conduce a

0)()(

210

210 →+≤−

−+−εε

εεzz

yyxx o , cuando 0zz → .

50

Por tanto, el último término tiende a cero cuando z tiende a 0z así que al tomar el limite, tenemos:

)()()()(

)( 000

00

' lim0

zivzuzz

zfzfzf xx

zz+=

−−

=→

En particular, si las hipótesis del teorema se cumplen en todos los puntos de la región G, entonces f es analítica en G.■ En el caso de la variable real del cálculo elemental, sabemos que cuando la derivada de una función es cero en algún intervalo, la función es constante en ese intervalo. Para variables complejas se obtiene un resultado semejante. 3.13 Funciones Armónicas. Ecuación de Laplace )0( =+ yyxx uu Por las ecuaciones de Cauchy-Riemann, se tiene que

yyyyyxxyxxxx uuvvuu −=−==== )()()()( donde la ecuación de Laplace se cumple para u . De la misma forma se cumple para

.v 3.14 Armónicos Conjugados. Tanto u como v son armónicos y cumplen las ecuaciones de Cauchy

0=+ yyxx uu

0=+ yyxx vv

yx vu =

xy vu −= . 3.15 Teorema de la Derivada Nula Sea f analítica en una región G y 0)(' =zf en todo z de G. Entonces f es

constante en G. Se tiene la misma conclusión si fff ,Im,Re o )arg( f es constante en G. Demostración:

Como )()()(' zivzuzf xx += , si la derivad se anula implica yxyx uvvu −== , son todas cero. Así, u y v son constantes a lo largo de cualquier recta paralela a los

51

ejes coordenados y como G es conexo mediante un polígono entonces ivuf −= es constante en G. Si )(ovu es constante yxyx vuuv ===−= 0 , lo cual implica que

0)()()(' =+= zivzuzf xx y f es constante. Si f es constante, también 222 vuf += , lo es, esto implica que

0=+ xx vvuu , 0=−=+ xxyy uvvuvvuu Resolviendo estas dos ecuaciones para xx vu , , tenemos 0== xx vu a menos que el

determinante 22 vu + se anule. Como 222 vuf += , es constante entonces

022 =+ vu en un punto, entonces es constantemente cero, y f se anula idénticamente. De otra manera, las derivadas se anulan y f es constante. Si )(,arg Gfcf = estará contenida en la recta

ucv *)(tan= , A menos que 0≡u , en cuto caso terminamos. Pero fci )tan1( − es analítica

0)(tan)tan1Im( =−=− ucvfci ,

Lo que implica que fci )tan1( − es constante. Así f lo es también.■ IV INTEGRAL COMPLEJA 4.1 Introducción a la Integral de Línea La naturaleza bidimensional del plano complejo sugiere considerar integrales a lo largo de curvas arbitrarias en C en lugar de segmentos del eje real únicamente. Estas “integrales de línea” tienen propiedades interesantes y poco comunes las cuales veremos. 4.2 Integrales de Línea. Como ya vimos anteriormente las funciones analíticas, son resultantes de la derivabilidad de la función. En cálculo real, el teorema fundamental revela una conexión entre las derivadas y las integrales definidas. Un arco γ en el plano es cualquier conjunto de puntos que pueden describirse en forma paramétrica por:

)(: txx =γ , )(tyy = , βα ≤≤ t .

52

Con )(tx y )(ty funciones continuas de la variable real t en el intervalo real cerrado [ ]βα , . En el plano complejo se describe el arco γ por medio de la función compleja continua de una variable real,

)()()(: tiytxtzz +==γ , βα ≤≤ t . Definición 4.1 Arco suave Sea γ un arco suave si la función )()()( ''' tiytxtz += no se anula y es continua en

βα ≤≤ t entonces γ es un arco suave. Definición 4.2 Arco suave por partes (spp). Consiste en número finito de arcos suaves unidos por sus extremos. Si γ es un arco

spp, entonces )(tx y )(ty son continuas, pero sus derivadas )(' tx y )(' ty son continuas por partes. Definición 4.3 Arco de Jordan.

Si )()( 21 tztz = solo si 21 tt = esto es, si no se intersecta a si mismo, o autointersecta. Un arco es una curva cerrada si )()( βα zz = y una curva de Jordan si es cerrada y simple excepto en los extremos α y β . La (figura 3.0) ilustra algunos de estos conceptos.

Teorema 4.4 La Curva de Jordan. Una curva de Jordan separa el plano en dos regiones simplemente conexas, que tienen a la curva como su frontera. La región que contiene el punto al infinito se llama exterior de la curva; la otra región se llama interior. 4.5 Definición de Integral. Sea βαγ ≤≤= ttzz ),(: , un arco suave, y ivuzf +=)( continua en γ . Así la integral de línea de f sobre γ estará dada por:

∫ ∫=γ

β

αdttztzfdzzf )())(()( '

[ ][ ]∫ ++=β

αdttiytxtzivtzu )()())(())(( ''

[ ] [ ]∫∫ ++−=β

α

β

αdttxtzvtytzuidttytzvtxtzu )())(()())(()())(()())(( '''' .

53

Figura 3.0

Teorema 4.6 Sea 0γ una curva de Jordan spp tal que su interior contiene las curvas de Jordan spp

disjuntas, nγγ ,...,1 , ninguna de las cuales esta contenida en el interior de la otra. Suponga que )(zf es analítica en una región G que contiene al conjunto S, el cual consiste en todos los puntos sobre y en el interior de 0γ pero no en los interiores de

nkk ,...,1, =γ . Entonces,

∫ ∑∫=

=0 1

)()(γ γ

n

kk

dzzfdzzf .

Demostración:

Figura 3.1

54

Siempre se podrán encontrar arcos nkLk ,...,0, = , spp disjuntos, que unan a kγ con

1+kγ (donde nL une a nγ con 0γ ) que formen dos curvas de Jordan spp, cada una contenida en alguna subregión simplemente conexa de G. (Sobre bases intuitivas omitimos la prueba, véase (figura3.1). Por el teorema de Cauchy, la integral de )(zf sobre estas curvas, cada una recorrida en sentido positivo se anula. Pero la contribución total de estas dos curvas es equivalente al recorrido de 0γ en el sentido positivo, nγγ ,...,1 , en el sentido negativo lo

(contrario), y nLL ,...,0 en direcciones opuestas. Así, las integrales sobre los arcos kL se cancelan, y:

∫ ∑ ∫∫=

−−

∑==

=0

10 1

)()()(0γ γγγ

n

k k

n

kk

dzzfdzzfdzzf .■

Definición 4.7 Dada la función compleja de la variable real )()()( tiytxtz += continua en [ ]ba, , se define la integral definida de )(tz sobre [ ]ba, como

∫ ∫∫ +=b

a

b

a

b

adttyidttdttz )()()(

4.2.1 Propiedades de la Integral de Línea Sea f analítica en el interior y en los puntos de un entorno cerrado simple c , orientado positivamente si 0z es un punto interior a C entonces:

∫ −=

c zzdzzf

czf

00

)(21)(π

...3,2,1;)()(

2!)( 1 =

−= ∫ + ndz

azzf

inaf n

n

π

Luego ).(0 cInz ∈

Teorema 4.8

[ ] .)()()()() 2121 ∫∫∫ +=+γγγ

βαβα zfdzzfdzzfzfi

55

∫∫∫ +=+ 2121

,)()()()γγγγ

dzzfdzzfdzzfii donde 21 γγ + es la trayectoria que

consiste en recorrer primero 1γ seguido de 2γ .

∫ ∫−−=

γ γdzzfdzzfiii )()() , donde γ− es la trayectoria que recorre el arco γ en

sentido inverso.

dzzfdzzfiv ∫∫ ≤γγ

)()() , donde definimos dz como la diferencial con respecto

a la longitud de arco, con:

dsdydxidydxdz =+=+= 22 )()( .

Demostración: Para probar (iv), obsérvese que para cualquier constante real

( ) dttztzfdttztzfedzzfe ii )())(())())((Re()(Re '' ∫∫∫ ≤=β

α

θβ

αγ

θ ,

Ya que la parte real de un número complejo no puede exceder su valor absoluto. Si se escribe ∫γ dzzf )( en forma polar y [ ]∫=

γθ dzzf )(arg , la expresión de la izquierda

se reduce al valor absoluto de la integral y se cumple la (i) desigualdad. Las demás pruebas son consecuencias inmediatas de la definición de integral de línea.■ Si Mzf ≤)( en todo punto z de u arco γ de longitud L. La parte (iv) del teorema proporciona la desigualdad,

MLdzMdzzf =≤ ∫∫ γγ)( .

De la definición y las propiedades de la integral definida de funciones reales de variable real, se deduce de forma inmediata, siendo )(),(),( 210 xzxzxz , continúas en ],[ baI = :

1. ∫∫ −=b

a

b

adxxzdxxz )()( .

2. ∫∫∫ +=+b

a

b

a

b

adxxzdxxzdxxzxz )()()]()([ 2121 .

3. ∫∫∫ +=b

c

c

a

b

adxxzdxxzdxxz )()()( .

También se cumple:

56

4. ∫∫ =b

a

b

adxxzdxxz )](Re[)(Re .

5. ∫∫ =b

a

b

adxxzdxxz )()( αα , C∈α .

Si la función compleja de variable real )(xz verifica )()(' xzxz = , entonces:

6. )()()( azbzdxxzb

a−=∫ .

se verifica también:

7. dxxzdxxzb

a

b

a ∫∫ ≤ )()( .

Demostración. Sea

∫ =b

a

ieRdxxz ))(()( θ .

entonces

∫∫∫ ===b

a

ib

a

ib

adxxzedxxzeRdxxz )()()( θθ .

Si )()()( xivxuxf += verifica que ∫b

adxxf )( es real entonces

∫ ∫=b

a

b

adxxfdxxf )](Re[)(

La integral ∫ −b

a

i dxxze )(θ es real por ser igual a R.

Luego

∫b

adxxz )( = ∫∫ −− =

b

a

ib

a

i dxxzedxxze )](Re[)( θθ

Ahora el integrando es una función real de variable real y además:

)()()](Re[ xzxzexze ii =≤ −− θθ Entonces tenemos que

∫∫∫ ≤= − b

a

b

a

ib

adxxzdxxzedxxz )()](Re[)( θ .■

57

La integral de línea sobre un arco γ spp se obtiene al aplicarse la definición anterior a un número finito de intervalos cerrados, en los cuales )(tz es suave, y sumar los resultados. Ejemplo 8 Para evaluar ∫γxdz , a lo largo del arco γ spp, mostrado en la (figura 3.2)

Figura 3.2

Parametrizamos γ por

⎩⎨⎧

+−+

=,)2(

,1)(:

itit

tzγ 21,10

≤≤≤≤

tt

Entonces

⎩⎨⎧−

=,1

,)('

itz

21,10

≤≤≤≤

tt

Con derivadas izquierda y derecha diferentes en 1=t . Por definición integrar sobre cada uno de los intervalos 10 ≤≤ t y 21 ≤≤ t , se obtiene

idttidtxdz +−=−−+= ∫∫∫ 21)1)(2(

2

1

1

0γ,

Ya que 1)( =tx en 10 ≤≤ t y ttx −= 2)( en 21 ≤≤ t . Al escoger una parametrización diferente para γ , por ejemplo

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−

+=

,2

,log1)(:

iet

titzγ

,2,1ete

et≤≤≤≤

Se tiene

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

,1

,)('

e

ti

tz ,2

,1ete

et≤≤≤≤

Y

58

idtee

tdttixdz

e

e

e+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= ∫∫∫ 2

1122

1γ.

Por lo tanto, la integral de línea es independiente de las dos parametrizaciones de γ . Este caso se dará siempre y cuando el cambio de parámetros sea derivable por partes, como puede comprobarse fácilmente al utilizar la fórmula del cambio de variable del cálculo integral. Se obtiene un valor diferente si se integra sobre el segmento de línea γ * que une a 1 con i . Así,

γ * itttz +−= )1()(: , 10 ≤≤ t , Así que

∫∫+−

=+−−=1

0 21)1)(1( idtitxdz

γ.

Este ejemplo muestra que no se puede obtener un teorema similar al teorema fundamental del cálculo para todas las funciones complejas continuas )(zf . Consideremos por otra parte únicamente aquellas funciones )(zf , que son derivadas de una función analítica iVUF += en alguna región G que contenga el arco suave γ . Entonces, por definición,

∫ ∫∫ ==γ

β

αγdttztzFdzzFdzzf )())(()()( ''' .

Con la regla de la cadena obtenemos,

∫∫∫∫ +==β

α

β

α

β

α

β

αdttzV

dtdidttzU

dtddttzF

dtddttztzF ))](([))](([]))](([)())(( ''' .

Si se aplica el teorema fundamental del cálculo a cada una de estas integrales reales, se obtiene

[ ] [ ] ))(())(())(())(())(())(()( αβαβαβ

γzFzFzVzVizUzUdzzf −=−+−=∫

. Además, se pude extender fácilmente este resultado a los arcos spp con la suma de los resultados obtenidos de los subarcos suaves. Como el resultado depende únicamente de los puntos extremos de cada subarco suave, se habrá probado el siguiente teorema. Teorema 4.4 Teorema Fundamental del Cálculo. Si )(zF es una función analítica con derivada continua, )()( ' zFzf = en una región G que contiene el arco spp βαγ ≤≤= ttzz ),(: , entonces:

59

∫ −=γ

αβ ))(())(()( zFzFdzzf .

Como la integral solo depende de los extremos del arco γ , es independiente de la trayectoria. De esta forma se obtiene el mismo resultado para cualquier arco spp en G con estos extremos. Para curvas γ , spp cerradas, el teorema fundamental establece que:

∫ =γ

0)( dzzf ,

ya que ))(())(( αβ ZFzF = . Ejemplo 9 Sea )(zP cualquier polinomio, y γ un arco spp. Muestre que :

(a) ∫ =γ

0)( dzzP si γ e una curva cerrada.

(b) ∫γ dzzP )( depende solo de los extremos de γ .

Solución: todo polinomio )(zP es continuo en C. Además, si

011

1 ...)( azazazazP nn

nn ++++= −

− ,

entonces )(zP será la derivada del polinomio analítico

zazanza

nzazQ

nn

nn

0

211

1

2...

1)( ++++

+= −

+

.

De esta forma se satisface el teorema fundamental y se cumple las partes (a) y (b). Teorema 4.9 Teorema de Green. Sea G la región interior de una curva de Jordan γ spp y suponga que las funciones reales p y q son continuas en G ∪ γ con primeras parciales continuas en G. Entonces:

∫∫∫ −=+γ

qdxpdydxdyqpG yx )( .

Ahora, si ivuf += es analítica sobre y en el interior de una curva de Jordan γ spp, reescribimos la integral de f a lo largo de γ en la forma:

∫∫∫∫ ++−=++=γγγγ

udyvdxivdyudxidydxivudzzf ))(()( .

60

Si 'f es continua en G, entonces las primeras parciales yxyx vvuu ,,, también lo son. Al aplicar el teorema de Green a las dos integrales de línea de la derecha, se obtiene:

dxdyvuidxdyuvdzzf yxGyG x )()()( −++−= ∫∫∫∫∫γ .

Las primeras parciales satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, yx vu = y

xy vu −= , por que f es analítica. Por tanto, ambos integrandos del lado derecho son

cero. Como )(' zf es continua en G hemos probado el teorema siguiente. Teorema 4.10 Teorema de Cauchy. Sea )(zf una función analítica sobre y en el interior de la curva de jordan γ spp. Entonces:

∫ =γ

0)( dzzf .

Ejemplo 10

Evalué ∫ = +1 2 4z

z

dzz

e.

Solución: la notación empleada significa que la integración se toma sobre el círculo unitario en su sentido positivo. La función 4)( 2 += zezf z y su derivada

zez

zzzf 22

2'

)4(42)(

++−

=

son analíticas sobre y en el interior de 1=z . Como la derivada es analítica, es continua. Por ende el teorema de Cauchy de aplica y

041 2 =

+∫ =z

z

dzz

e.

4.4 Formula Integral de cauchy Sea )(zf una función analítica en una región simplemente conexa que contenga a la curva de Jordan γ spp. Entonces,

∫ −=

γ ξπξ dz

zzf

if )(

21)( ,

Para todos los puntos ξ en el interior de γ .

61

Demostración: Se fija ξ . Entonces, dado 0<ε , existe un disco cerrado rz ≤− ξ en el interior de

γ para el cual εξ <− )()( fzf . (Figura 3.3).

Figura3.3

Como )()(

ξ−Zzf es analítica en una región que contiene aquellos puntos sobre y

en el interior de γ , que satisfacen rz ≥−ξ , el teorema de Cauchy para regiones múltiplemente conexas implica:

.)(21)(

21

∫∫ =− −=

− rzdz

zzf

idz

zzf

i ξγ ξπξπ

Pero

∫ ∫∫ =− =−=− −−

+−

=− rz rzrz

dzz

fzfzdzfdz

zzf

ξ ξξ ξξ

ξξ

ξ.)()()()(

La primera integral del lado derecho será igual a 2πi, entonces:

.2)()(

)(2)( πεξξ

ξπξ ξξ

<−

−≤−

− ∫∫ =−=−dz

zzf

ifdzz

zfrzrz

Como ε puede elegirse arbitrariamente cercano a cero completamos la demostración.■ Ejemplo 11 Integre

62

dzzzz

∫ +γ 3

cos

sobre las curvas dadas: (a) 2: =zγ , (b) 21: =zγ y (c) 12: =− izγ . Solución: (a) 2: =zγ . Al descomponer la integral por fracciones parciales, se obtiene

dzizzdz

izzdz

zzdz

zzz

∫∫∫∫ −−

+−=

+ γγγγ

cos21cos

21coscos

3

[ ])1cosh(12)cos(21)cos(

21)0cos(2 −=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−= iiii ππ .

(b) 21: =zγ . Como )1(cos 2 +zz es analítica sobre y en el interior de γ , la

integral es igual a iπ2 veces su valor en 0=z , esto es,

idzzzz π

γ2cos

3 =+∫

(c) 12: =− izγ . Como )(cos izz + es analítica sobre y en el interior de γ , por fracciones parciales se tiene

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+=

− 111

)(1

zzi

izz,

por lo cual

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

+∫ )1cosh(2112

2)cos()0cos(2cos

3 iiii

iiidz

zzz ππ

γ.

Por supuesto, en los tres ejemplos se puede utilizar la descomposición por fracciones parciales de la parte (a), por que las integrales correspondientes se anulan cuando los puntos 0 o i± están en el exterior de γ . Teorema 4.11 Teorema de Morera. Si )(zf es continua en una región simplemente conexa G y satisface que

∫ =γ

0)( dzzf ,

Para todas las curvas γ spp cerradas en G, entonces )(zf es analítica en G.

63

Demostración: Elegimos un punto 0z en G y definimos

∫=z

zdfzF

0

)()( ξξ ,

Para todo z en G. luego entonces, )(zF esta bien definida por que es independiente de la trayectoria: si 1γ y 2γ son curvas spp en G que van de 0z a z , entonces

γ = 1γ - 2γ es una curva spp en G, y

∫ ∫∫ −==1 2

.)()()(0γ γγ

ξξξξξξ dfdfdf

Si f es continua, para cualquier punto z en G y 0>ε existe un disco δξ <− z

en G talque εξ <− )()( zff . Si δ<h , se tiene

∫∫∫++

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

−+ hz

z

z

z

hz

zdf

hdfdf

hhzFhzF ξξξξξξ )(1)()(1)()(

00

,

Donde la integración puede tomarse sobre la recta desde z hasta hz + . Como

∫+

=hz

zd

hzfzf ξ)()( ,

Por sustracción se obtiene

[ ] .)()(1)()(1)()()( εξξξξ <−≤−=−−+

∫∫++ hz

z

hz

zdzff

hdzff

hzf

hzFhzF

Por tanto )()(' zfzF = , así que f e analítica en G. Pero entonces F tiene derivada analítica, lo que implica que f también es analítica en G.■ Ejemplo 12 Integre

dzzz

z∫ −γ )1(

cos2 .

Sobre (a) 31: =zγ , (b)

311: =−zγ y (c) 2: =zγ .

64

Solución: (a) 31: =zγ . En este caso )1(cos −zz es analítica sobre y en le interior

de γ , así que, por el teorema de Cauchy para las derivadas, se obtiene

iz

zidzz

zz

z

ππγ

21

cos21cos

02 −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

=∫ .

(b) 311: =−zγ . Ahora que zz cos2− es analítica sobre y en el interior de γ , por lo

tanto, la integral es igual a iπ2 veces el valor de zz cos2− en 1=z , esto es,

dzzzz

zdzz

zz∫∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

−=

−

−

γγ 2

2 111

1cos1

cos

[ ] [ ]1)1cos(2)0()cos()1cos(2 −=+−= isenoi ππ ,

Por el teorema de Cauchy para las derivadas.

65

CONCLUSIONES Los números complejos se introducen para dar sentido a la raíz cuadrada de números negativos. Así se abre la puerta a un curioso y sorprendente mundo en el que todas las operaciones (salvo dividir entre 0) son posibles. Inicialmente en 1545, el matemático italiano Girolamo Cardano, en un tratado monumental acerca de la solución de las ecuaciones cúbica y cuadrática hizo la introducción de los números complejos. Más tarde el matemático Gauss demostró que todo polinomio con coeficientes complejos se descompone en factores lineales, es decir, que tiene todas sus raíces en C: este es el teorema fundamental del álgebra. Otro descubrimiento de Gauss, fue que la aritmética de los números complejos, introducida formalmente a partir de la relación 1−=i , tiene una interpretación geométrica sencilla si identificamos los elementos de C con los puntos del plano. Lo cual me motiva al estudio de las estructuras de los números complejos, su algebra, sus axiomas de cuerpo, representación geométrica y polar sus derivadas e integrales, etc. La importancia de los números complejos está marcada por sus múltiples aplicaciones en diversas Áreas (Matemáticas, Física, Ingeniería, Tecnología, etc. Contribuyendo así al desarrollo de la tecnología del actual siglo. En general los números complejos son la base y la estructura matemática más importante para el análisis y desarrollo de nuevas propuestas tanto científicas como intelectuales de la humanidad en el transcurso de los siguientes años.

66

BIBLIOGRAFÍA [A] Apóstol, T. M. Análisis Matemático, Reverte, Barcelona, 1994. [C] Churchill, R. V. Variable Compleja y Aplicaciones, McGraw-Hill, Nueva York, 1992. [D] Derrick, W. R. Variable Compleja con Aplicaciones, Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1984. [L] Lipschutz, S. Topología General, McGraw-Hill, Nueva York, 1970.