ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL
description
Transcript of ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL
![Page 1: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/1.jpg)
ELEMENTS DE GEOMETRIA
MÈTRICA ELEMENTAL
![Page 2: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/2.jpg)
Rectes, semirectes, segments, arcs i segments d'arc: Tots estan formats per punts corresponents
a nombres reals.
![Page 3: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/3.jpg)
Si no fos així, el punt B de la figura no existiria o, millor dit, la recta AB no tallaria la recta BC sinó que passaria "per entremig" dels seus punts sense
tocar-la (malgrat que de nombres racionals ja n'hi ha infinits).
![Page 4: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/4.jpg)
Instruments vàlids per a la construcció gràfica:
Exclusivament regle i compàs.
No es permet l’ús d’escaires, regles graduats, transportadors,
cordills flexibles, etc.
![Page 5: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/5.jpg)
Però en la pràctica del dibuix lineal es pot acceptar l'ús de
regles i esquadres, perquè tot el que es pot fer amb regles i esquadres, també es pot fer només amb regle i compàs.
![Page 6: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/6.jpg)
Hipòtesis que fem respecte a les eines i procediments de dibuixar:
a) Que els llapis fan línies sense gruix i que els nostres ulls són
tan potents que les poden arribar a veure. Tampoc no hi ha
limitacions en la mida del paper.
![Page 7: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/7.jpg)
b) Que amb un regle i un llapis som capaços de fer passar
exactament una línia per un punt o dos punts.
c) Que amb un compàs som capaços de prendre exactament la
distància entre dos punts.
![Page 8: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/8.jpg)
Les 7 operacions bàsiques amb regle i compàs són les següents:
![Page 9: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/9.jpg)
1. Traçat d'una recta que passa per dos punts (determinació d'una recta).
2. Intersecció de dues rectes (determinació d'un punt).
![Page 10: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/10.jpg)
3. Traçat d'una circumferència de centre i radi donats (determinació d'una
circumferència).
4. Intersecció d'una recta i una
circumferència.
![Page 11: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/11.jpg)
5. Intersecció de dues
circumferències.
6. Transport d'un
segment.
![Page 12: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/12.jpg)
7. Transport d'un angle.
![Page 13: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/13.jpg)
Angles aguts, rectes, obtusos i angle pla.
![Page 14: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/14.jpg)
Angles complementaris i suplementaris: Els complementaris sumen 90º i els suplementaris
180º.
Complementaris Suplementaris
![Page 15: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/15.jpg)
Angles amb costats paral·lels:
són iguals o suplementaris.
![Page 16: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/16.jpg)
Angles amb costats perpendiculars: són iguals o suplementaris.
![Page 17: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/17.jpg)
Angles adjacents: són suplementaris.
Angles oposats pel vèrtex: són iguals
dos a dos.
![Page 18: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/18.jpg)
Angles centrals en
una circum-ferència:
valen igual que l'arc
abastat pels seus costats.
![Page 19: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/19.jpg)
Angles inscrits i semiinscrits en
una circumferència: valen la meitat de l'arc abastat
pels seus costats.
![Page 20: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/20.jpg)
Angles interiors i exteriors a una circumferència: valen respectivament la semisuma i la semidiferència
dels arcs abastats pels seus costats.
Interior Exterior
![Page 21: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/21.jpg)
Algunes construccions gràfiques elementals:
![Page 22: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/22.jpg)
Trobar el centre d’una circumferència donada.
Coneixent el radi Sense conèixer el radi
![Page 23: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/23.jpg)
Traçat de la perpendicular a una recta des d'un punt de la pròpia recta, segons dos procediments
diferents.
![Page 24: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/24.jpg)
Traçat de la perpendicular a una recta des d'un punt exterior = Determinació de la distància d'un
punt a una recta.
![Page 25: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/25.jpg)
Traçat de la recta paral·lela a una recta des d'un punt exterior (postulat d'Euclides).
![Page 26: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/26.jpg)
Una altra construcció a base de traçar una perpendicular a la perpendicular.
![Page 27: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/27.jpg)
Determinació de la distància entre dues rectes paral·leles.
![Page 28: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/28.jpg)
Mediatriu i divisió d'un segment en
dues parts iguals.
![Page 29: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/29.jpg)
Divisió d'un segment en n parts iguals.
![Page 30: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/30.jpg)
Construcció gràfica de la
mitjana proporcional
de dos segments.
![Page 31: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/31.jpg)
Una altra construcció de
la mitjana proporcional, i més endavant
encara en veurem una 3ª.
![Page 32: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/32.jpg)
Traçat de la bisectriu d'un angle.
![Page 33: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/33.jpg)
Traçat de la recta obliqua a una altra, amb un angle donat i des d'un punt donat.
![Page 34: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/34.jpg)
Construcció gràfica de valors irracionals.
![Page 35: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/35.jpg)
El triangle i les seves principals propietats:
![Page 36: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/36.jpg)
Base i altura d’un triangle.Àrea del triangle = base*altura/2
(qualsevol base i qualsevol altura).
![Page 37: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/37.jpg)
Triangles rectangles.
Teorema de
Pitàgores.
![Page 38: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/38.jpg)
Triangles acutangles, rectangles i obtusangles.
Acutangle Rectangle Obtusangle
![Page 39: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/39.jpg)
Triangles isòsceles (acutangles o obtusangles).
Isòsceles acutangle Isòsceles obtusangle
![Page 40: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/40.jpg)
Triangles isòsceles i rectangles alhora.
![Page 41: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/41.jpg)
Escaire i cartabó: Quin és quin?
![Page 42: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/42.jpg)
Solució: Tots dos són escaires.
Però aquest també és un cartabó i l’altre no.
![Page 43: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/43.jpg)
Conveni de denominació dels costats i angles d'un triangle: Tres lletres majúscules als tres angles i la
mateixa lletra en minúscula al costat oposat.
![Page 44: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/44.jpg)
Suma dels angles (interiors) d'un triangle: La suma dels angles interiors d'un triangle sempre
és igual a dos rectes = 180º = π radiants.
![Page 45: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/45.jpg)
Angle exterior d'un triangle (format per un costat i la prolongació del costat adjacent) = a la suma
dels dos angles interiors no adjacents.
![Page 46: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/46.jpg)
Igualtat de triangles: Dos triangles iguals tenen els tres angles i els tres costats respectivament
iguals.
![Page 47: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/47.jpg)
Criteris d'igualtat de triangles: Són les condicions suficients per assegurar que dos triangles són
iguals, o bé iguals i girats de mà:
![Page 48: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/48.jpg)
a) Dos triangles són iguals si tenen iguals dos costats i l'angle que formen aquests costats.
![Page 49: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/49.jpg)
b) Dos triangles són iguals si ténen iguals un costat i els dos angles adjacents.
![Page 50: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/50.jpg)
c) Dos triangles són iguals si tenen els tres costats iguals.
![Page 51: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/51.jpg)
i d) Dos triangles són iguals si tenen iguals dos costats desiguals entre si i l'angle oposat al més
gran dels dos.
![Page 52: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/52.jpg)
Si es tracta de l'angle oposat al costat més petit dels dos, aleshores la igualtat ja no es pot assegurar. P.
ex. el triangle A’B’C’ sí que és igual a l’ABC, però el triangle A”B”D” és diferent.
![Page 53: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/53.jpg)
Mètodes de construcció gràfica de triangles.
![Page 54: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/54.jpg)
Construcció d'un triangle donats els seus tres costats.
El costat més gran no pot ser més gran que la suma dels altres dos.
![Page 55: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/55.jpg)
Construcció d'un triangle donats dos costats i l'angle comprès entre ells.
![Page 56: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/56.jpg)
Construcció d'un triangle donats dos costats i l'angle oposat a un d'ells.
Aquest problema pot tenir dues solucions, una, o cap.
![Page 57: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/57.jpg)
Construcció d'un triangle donats un costat i els dos angles adjacents.
![Page 58: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/58.jpg)
Construcció d'un triangle donats un costat, un angle adjacent i l'angle oposat.
![Page 59: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/59.jpg)
Més propietats dels triangles:
En un triangle es pot considerar quatre centres: Circumcentre, incentre,
ortocentre i baricentre (cdg).
![Page 60: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/60.jpg)
Les mediatrius dels tres costats d'un triangle es
troben en un punt anomenat
circumcentre. El circumcentre
equidista dels tres vèrtexs i, per tant,
és el centre de la circumferència
circumscrita.
![Page 61: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/61.jpg)
Les tres altures d'un triangle es troben en un punt anomenat ortocentre.
![Page 62: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/62.jpg)
Les bisectrius dels tres angles d'un triangle es troben en un punt anomenat incentre.
L'incentre equidista dels tres costats i , per tant, és el centre de la circumferència inscrita.
![Page 63: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/63.jpg)
Les tres medianes d'un triangle es troben en un punt anomenat baricentre.
El baricentre és el centre de gravetat del triangle.
![Page 64: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/64.jpg)
En les figures
anteriors hem vist
que en un triangle
acutangle aquests 4 punts són
tots interiors al
triangle.
![Page 65: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/65.jpg)
En un triangle obtusangle el circumcentre i l'ortocentre són exteriors al triangle.
![Page 66: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/66.jpg)
L'incentre i el baricentre sempre són interiors al triangle, encara que sigui obtusangle.
![Page 67: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/67.jpg)
En un triangle rectangle el
circumcentre és el punt mitjà de la
hipotenusa.
I l'ortocentre és el mateix vèrtex de l'angle recte.
![Page 68: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/68.jpg)
L'incentre i el baricentre en un
triangle rectangle no tenen res d'especial a
remarcar. El cas és semblant al dels triangles
acutangles.
![Page 69: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/69.jpg)
Traçant pels vèrtexs rectes paral·leles al
costat oposat, resulta un
triangle de costats dobles
als del triangle original i de
superfície quàdruple.
![Page 70: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/70.jpg)
L'ortocentre del triangle
original és el circumcentre
del triangle de costats dobles.
![Page 71: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/71.jpg)
Triangle òrtic: En un triangle acutangle, és aquell que està format pels peus de les altures.
Fixem-nos que les altures del triangle original són les bisectrius del triangle òrtic.
![Page 72: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/72.jpg)
Circumferència inscrita i circumferències exinscrites: A més de la circumferència inscrita a un triangle hi ha tres circumferències més, cada una tangent a un costat
i a les prolongacions dels altres dos.
![Page 73: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/73.jpg)
Els costats del triangle format pels tres exincentres són
les bisectrius exteriors dels
angles del triangle original i les
bisectrius del triangle original
són les altures del triangle format pels
tres exincentres.
![Page 74: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/74.jpg)
Circumferència de Feuerbach (o d'Euler): Passa pels peus de les
altures d'un triangle, pels punts mitjos dels
costats i pels punts mitjos dels segments
d'altura compresos entre el vèrtex i
l'ortocentre. Té la meitat del radi de la
circumferència circumscrita.
![Page 75: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/75.jpg)
Recta d'Euler: En qualsevol triangle el baricentre, l'ortocentre i el circumcentre sempre estan alineats.
Sempre es verifica que la distància del baricentre a l’ortocentre és el doble de la distància del baricentre
al circumcentre.
![Page 76: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/76.jpg)
Recta de Simson: Si des d'un punt qualsevol de la circumferència
circumscrita a un triangle tracem perpendiculars
als seus costats, els peus
d'aquestes perpendiculars
sempre estan alineats.
![Page 77: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/77.jpg)
Semblança de triangles: Dos triangles semblants tenen els tres angles iguals i els tres costats proporcionals.
![Page 78: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/78.jpg)
a) Dos triangles són semblants si A = A' i proporcionals els costats que el formen b/b' =
c/c'
![Page 79: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/79.jpg)
b) Dos triangles són semblants si A = A' i B = B'. Aleshores ja resulta C = C'
![Page 80: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/80.jpg)
c) Dos triangles són semblants si són proporcionals els costats a/a' = a/b' = c/c'
![Page 81: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/81.jpg)
Algunes propietats dels polígons: La suma dels angles interiors d'un polígon val (nº de costats -
2)*180º.
![Page 82: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/82.jpg)
La suma dels angles exteriors d'un polígon sempre val 360º.
![Page 83: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/83.jpg)
Polígons regulars i irregulars: Són polígons regulars els que tenen tots els costats i tots els angles iguals.
![Page 84: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/84.jpg)
Quadrilàters inscriptibles en una
circumferència: Tenen els angles oposats
suplementaris.
Quadrilàters circumscriptibles a una
circumferència: La suma de parells de
costats oposats és igual.
![Page 85: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/85.jpg)
S’anomena lloc geomètric (respecte a una determinada propietat) a la figura formada per tots els punts que compleixen aquella propietat, p. ex: La circumferència és el lloc geomètric dels punts que estan a una distància donada (radi) d'un punt
donat (centre).
![Page 86: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/86.jpg)
La mediatriu d'un segment és
el lloc geomètric dels
punts equidistants de
dos punts donats.
![Page 87: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/87.jpg)
El lloc geomètric dels punts equidistants de dues rectes donades és la bisectriu de l’angle que
formen les dues rectes.
![Page 88: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/88.jpg)
Arc capaç d'un angle sobre un segment: És el lloc geomètric dels punts que
veuen el segment amb un
angle donat.
![Page 89: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/89.jpg)
La paràbola és el lloc
geomètric dels punts
equidistants d'un punt i una
recta donats, anomenats
respectivament focus i
directriu.
![Page 90: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/90.jpg)
L’el·lipse és el lloc geomètric dels punts la suma de distàncies dels quals a dos punts donats
(focus) és constant (eix major).
![Page 91: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/91.jpg)
Teorema de Thales: Si dues rectes (no paral·leles) es tallen per un sistema de rectes paral·leles, els segments determinats pels punts d’intersecció
sobre una d’elles són proporcionals als segments respectius determinats sobre l’altra recta.
![Page 92: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/92.jpg)
Ja es veu que si les dues rectes són paral·leles, en ser tallades per un sistema de rectes paral·leles, els segments determinats en una i altra recta seran
respectivament iguals.
![Page 93: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/93.jpg)
Construcció gràfica de la quarta proporcional a tres segments donats, a, b i c: a/b = c/x
![Page 94: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/94.jpg)
Divisió d’un segment en parts proporcionals a diversos segments donats.
![Page 95: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/95.jpg)
Determinació de punts d’una recta per la seva raó de distàncies a dos punts donats de la mateixa recta.
![Page 96: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/96.jpg)
Quaterna harmònica: Donats dos punts A i B d’una recta, es diu que formen quaterna harmònica amb
altres dos punts X i X’, un interior al segment AB i un altre exterior, quan les raons de les distàncies dels punts X i X’ als punts A i B són iguals (i de signe contrari si es té en compte l’orientació dels
segments).
Això s’expressa mitjançant la relació
(XA:XB) / (X’A:X’B) = -1
![Page 97: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/97.jpg)
Com que si (XA:XB) = - (X’A:X’B) també (XA:X’A) = - (XB:X’B), resulta que si els dos punts A i B separen harmònicament els punts X
i X’, també els punts X i X’ separen harmònicament els punts A i B. És a dir que la separació harmònica de dues parelles de punts
és recíproca.
![Page 98: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/98.jpg)
Construcció gràfica de la
quaterna harmònica.
![Page 99: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/99.jpg)
La qualitat de quaterna harmònica entre 4 punts d’una recta és una propietat invariant en qualsevol
sèrie de projeccions i seccions.
![Page 100: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/100.jpg)
Una propietat de les quaternes
harmòniques: Si 4 punts AXBX'
formen una QH i des d'un punt O es
veu el segment AB sota un angle recte,
la recta OB és bisectriu de l'angle XOX' i la recta OA
n'és la bisectriu exterior.
![Page 101: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/101.jpg)
Dit d'altra manera,
qualsevol recta talla dues rectes i
les bisectrius dels angles que
formen, formant una QA.
![Page 102: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/102.jpg)
Per tant, per trobar X' també podem
traçar la circumferència de diàmetre AB, des
d'un punt qualsevol (O) tracem OX i
després OX' formant el mateix angle XOB però a
l'altra banda.
![Page 103: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/103.jpg)
Circumferències que passen per 2 punts: Es diu que formen un feix de circumferències. Ja es veu que totes tenen el centre en la mediatriu del segment
format pels dos punts.
![Page 104: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/104.jpg)
Traçat de la circumferència que passa per 3 punts. Ja es veu que es tracta de
traçar la circumferència circumscrita a
un triangle.
![Page 105: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/105.jpg)
Concepte de recta (i línia)
secant o tangent a una corba. Tal
com mostra la figura, la
tangent, igual com la secant,
té dos punts de contacte amb la
corba.
![Page 106: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/106.jpg)
Angle de dues corbes secants: Es
defineix com a l'angle que
formen les respectives
tangents en el punt
d'intersecció.
![Page 107: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/107.jpg)
Circumferències ortogonals: Són les que es tallen en angle recte = que en els punts d'intersecció les
respectives tangents són perpendiculars.
![Page 108: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/108.jpg)
Cada una d'aquestes tangents passa pel centre de l'altra circumferència, de manera que: d2 = r2 + r'2.
Una propietat de les circumferències ortogonals: Qualsevol recta que passi pel dentre d'una circumferència determina una quaterna
harmònica entre els punts d'intersecció amb ella mateixa i amb qualsevol altra circumferència ortogonal a la primera.
![Page 109: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/109.jpg)
Traçat de la tangent a una circumferència en un punt de la pròpia circumferència.
![Page 110: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/110.jpg)
Traçat de les tangents a una circumferència des d'un punt exterior.
![Page 111: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/111.jpg)
Una altra construcció, una mica més complicada que l'anterior basada en el gir.
![Page 112: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/112.jpg)
Traçat de les rectes tangents a dues circumferències.
![Page 113: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/113.jpg)
Traçat d'una circumferència de radi donat i tangent a una altra en un punt.
![Page 114: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/114.jpg)
Traçat d'una circumferència amb centre en un punt i tangent a una
altra circumferència.
![Page 115: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/115.jpg)
Determinació d'una o diverses circumferències per condicions de pas o tangència.
Aquestes condicions de pas o tangència poden donar lloc a 10 problemes diferents, alguns dels
quals ja els hem vistos i resolts anteriorment:
3 punts // 3 rectes // 2 punts i 1 recta // 2 punts i 1 circumferència // 1 punt i 2 rectes // 1 punt, 1
circumferència i 1 recta // 1 punt i 2 circumferències // 2 rectes i 1 circumferència // 1
recta i 2 circumferències // 3 circumferències (problema d'Apol·loni).
![Page 116: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/116.jpg)
El nombre de solucions possibles als problemes enunciats és aquest:
ppp (1) // rrr (4) // ppr (2) // ppc (2) // prr (2) // pcr (4) // pcc (4) // rrc (8) // rcc (8) // ccc (8).
No resoldrem pas ara tots aquests casos perquè només estem fent un repàs elemental a
la geometria mètrica, i perquè alguns requereixen l'ús de mètodes i propietats que
encara no hem estudiat.
![Page 117: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/117.jpg)
Els dos primers casos ja els hem resolts fa temps, i corresponen a construir les circumferències
circumscrita i inscrita a un triangle.
![Page 118: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/118.jpg)
A mesura que anem estudiant noves propietats de la circumferència i nous
mètodes emprats en geometria, veurem com a exemple la solució d'alguns d'aquests
casos pendents, p. ex. els casos prr (punt-recta-recta), ppc (punt-punt-circumferència),
ppr (punt-punt-recta) i prc (punt-recta-circumferència).
![Page 119: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/119.jpg)
Potència d'un punt respecte a una circumferència. Aquest concepte parteix de
la següent propietat:
Si des d'un punt qualsevol es traça diferents secants a una circumferència, el producte
dels segments determinats pel punt i els dos punts d'intersecció amb la circumferència és
constant. Aquest producte s'anomena potència del punt respecte a la
circumferència.
![Page 120: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/120.jpg)
Aquesta propietat permet trobar una altra manera de construir gràficament la mitjana proporcional a dos
segments donats.
![Page 121: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/121.jpg)
De més a més, resulta que el lloc
geomètric dels punts de tangència
de les tangents traçades des d'un punt A a totes les
circumferències que passen per dos
punts B i C, alineats amb A, és
una circumferència amb centre a A i
radi AD.
![Page 122: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/122.jpg)
Tornant a la potència i tenint en
compte l'orientació dels
segments resulta:
Si el punt és exterior, P > 0
Si el punt és interior, P < 0
Si el punt pertany a la
circumfèrència, P = 0
![Page 123: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/123.jpg)
També resulta que P = d2 - r2 i queP = (segment de tangent del punt a la
circumferència)2.
![Page 124: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/124.jpg)
En la construcció anterior hem vist que la circumferència de centre A i radi AD és ortogonal a totes les circumferències que passen pels punts
A i B.Si en lloc del punt A prenem un altre punt A' sobre la mateixa recta ABC, obtindrem com a lloc geomètric dels punts de tangència una
altra circumferència de radi A' D '.
Aquesta nova circumferència
també és ortogonal a totes
les circumferències que passen pels
punts A i B.
![Page 125: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/125.jpg)
El punt A, A', etc. pot adoptar infinites posicions sobre la recta ABC, i per a cada una d'elles podrem obtenir una circumferència que serà
ortogonal a les infinites circumferències que passen pels dos punts B i C.
Per tant, es tracta de dos
feixos d'infinites circumferències
cada un, de manera que totes i cada una de les circumferències
d'un feix són ortogonals a
totes i cada una de les
circumferències de l'altre feix.
![Page 126: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/126.jpg)
En un d'aquests dos feixos, totes les circumferències són secants entre si en els mateixos punts B i C, mentre que les
circumferències de l'altre feix no són secants entre si.
![Page 127: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/127.jpg)
Ara ja podem resoldre el
problema de traçar una
circumferència que passi per
dos punts i que sigui tangent a
una recta.
![Page 128: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/128.jpg)
I també resolem el
traçat de la circum-ferència
que passa per dos
punts i que és tangent a una altra
circum-ferència.
![Page 129: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/129.jpg)
Eix radical de 2 circumferències: És el lloc geomètric dels punts amb igual potència respecte a les 2 circumferències.
Aquest lloc geomètric és una recta.Si les dues circumferències són exteriors, l'eix radical
passa pel punt mitjà de les tangents comunes.
![Page 130: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/130.jpg)
Si les dues circumferències són
tangents, l'eix radical és la tangent comuna.
Si les dues circumferències
són secants, l'eix radical és
la recta que passa pels dos
punts d'intersecció.
![Page 131: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/131.jpg)
Si una circumferència és interior a l'altra, cal construir l'eix radical mitjançant una circumferència auxiliar secant a totes
dues.
![Page 132: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/132.jpg)
Una propietat dels feixos de circumferències: Totes les circumferències d'un feix tenen el mateix eix radical. Si les circumferències són secants, tenen com a eix radical la recta que passa pels dos punts d'intersecció (això ja ho havíem dit
abans). Si no són secants, tenen com a eix radical l'eix vertical de la figura. Així doncs, un feix de circumferències
es caracteritza per a/ tenir els seus centres sobre una mateixa línia recta, i b/ tenir el mateix eix radical.
Per tant, també es pot dir que un feix de circumferències pot
venir determinat, a/ per dos punts, o bé b/ per una
circumferència i una recta (eix radical).
![Page 133: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/133.jpg)
Centre radical de 3 circumferències: És el punt d'intersecció dels 3 eixos radicals corresponents a cada parell de
circumferències.
![Page 134: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/134.jpg)
Divisió àuria d'un segment: Un punt X divideix el segment AB segons la divisió àuria quan és mitjana
proporcional entre el segment menor XB i el segment total AB. Però primer
recordem (en dos exemples) una de
les tres construccions de la
mitjana proporcional de dos
segments que hem vist anteriorment i
vegem què passa segons la situació
del punt X.
![Page 135: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/135.jpg)
Hem de trobar una situació del punt X, tal que la mitjana proporcional entre el segment total i el segment
petit sigui igual al segment gran.
![Page 136: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/136.jpg)
També el segment menor XB és secció àuria del segment major XA (i així successivament).
![Page 137: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/137.jpg)
El seu valor és (5 -1)/2 del segment total = 0,6180339.
Si ho calculem analíticament resulta l'equació de 2n grau,x2 + x - 1 = 0
![Page 138: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/138.jpg)
Construcció gràfica del segment auri a partir del segment total com a valor (5-1)/2
![Page 139: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/139.jpg)
Construcció gràfica del segment total a partir del segment auri.
![Page 140: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/140.jpg)
A constinuació resoldrem alguns problemes amb circumferències i
estudiarem algunes de les seves propietats.
Un primer problema seria, com trobar el centre d'una circumferència, si aquest centre
se'ns ha esborrat i no sabem on és?
a/ sabent el seu radi.
b/ sense saber el seu radi.
![Page 141: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/141.jpg)
(tot i que primer ens hauríem de preguntar si és possible tenir una circumferència sense saber on és
el seu centre). Què us sembla?
![Page 142: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/142.jpg)
Circumferències que passen per 2 punts: Es diu que formen un feix de circumferències. Ja es veu
que totes tenen el centre en la mediatriu del segment format pels dos punts.
![Page 143: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/143.jpg)
Traçat de la circumferència que passa per 3
punts.Ja es veu que es
tracta de la circumferència
circumscrita a un triangle.
![Page 144: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/144.jpg)
Concepte de recta (i línia)
secant o tangent a una corba.
Tal com mostra la figura, la
tangent, igual com la secant, té
dos punts de contacte amb la
corba.
![Page 145: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/145.jpg)
Angle de dues corbes secants: Es
defineix com a l'angle que
formen les respectives
tangents en el punt
d'intersecció.
![Page 146: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/146.jpg)
Circumferències ortogonals: Són les que es tallen en angle recte = que en els punts d'intersecció les
respectives tangents són perpendiculars.
![Page 147: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/147.jpg)
Cada una d'aquestes tangents passa pel centre de l'altra circumferència, de manera que: d2 = r2 + r'2.
Una propietat de les circumferències ortogonals: Qualsevol recta que passi pel dentre d'una circumferència determina una quaterna
harmònica entre els punts d'intersecció amb ella mateixa i amb qualsevol altra circumferència ortogonal a la primera.
![Page 148: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/148.jpg)
Traçat de la tangent a una circumferència en un punt de la pròpia circumferència.
![Page 149: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/149.jpg)
Traçat de les tangents a una circumferència des d'un punt exterior.
![Page 150: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/150.jpg)
Una altra construcció, una mica més complicada que l'anterior basada en el gir.
![Page 151: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/151.jpg)
Traçat de les rectes tangents a dues circumferències.
![Page 152: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/152.jpg)
Traçat d'una circumferència de radi donat i tangent a una altra en un punt.
![Page 153: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/153.jpg)
Traçat d'una circumferència amb centre en un punt i tangent a una
altra circumferència.
![Page 154: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/154.jpg)
Determinació d'una o diverses circumferències per condicions de pas o tangència.
Aquestes condicions de pas o tangència poden donar lloc a 10 problemes diferents, alguns dels
quals ja els hem vistos i resolts ara fa un moment:
3 punts // 3 rectes // 2 punts i 1 recta // 2 punts i 1 circumferència // 1 punt i 2 rectes // 1 punt, 1
circumferència i 1 recta // 1 punt i 2 circumferències // 2 rectes i 1 circumferència // 1
recta i 2 circumferències // 3 circumferències (problema d'Apol·loni).
![Page 155: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/155.jpg)
El nombre de solucions possibles als problemes enunciats és aquest:
ppp (1) // rrr (4) // ppr (2) // ppc (2) // prr (2) // pcr (4) // pcc (4) // rrc (8) // rcc (8) // ccc (8).
No resoldrem pas ara tots aquests casos perquè només estem fent un repàs elemental a
la geometria mètrica, i perquè alguns requereixen l'ús de mètodes i propietats que
encara no hem estudiat.
![Page 156: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/156.jpg)
Els dos primers casos ja els hem resolts fa temps, i corresponen a construir les circumferències
circumscrita i inscrita a un triangle.
![Page 157: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/157.jpg)
A mesura que anem estudiant noves propietats de la circumferència i nous
mètodes emprats en geometria, veurem com a exemple la solució d'alguns d'aquests
casos pendents, p. ex. els casos prr (punt-recta-recta), ppc (punt-punt-circumferència),
ppr (punt-punt-recta) i prc (punt-recta-circumferència).
![Page 158: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/158.jpg)
Potència d'un punt respecte a una circumferència. Aquest concepte parteix de
la següent propietat:
Si des d'un punt qualsevol es traça diferents secants a una circumferència, el producte
dels segments determinats pel punt i els dos punts d'intersecció amb la circumferència és
constant. Aquest producte s'anomena potència del punt respecte a la
circumferència.
![Page 159: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/159.jpg)
Aquesta propietat permet trobar una altra manera de construir gràficament la mitjana proporcional a dos
segments donats.
![Page 160: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/160.jpg)
De més a més, resulta que el lloc
geomètric dels punts de tangència
de les tangents traçades des d'un punt A a totes les
circumferències que passen per dos
punts B i C, alineats amb A, és
una circumferència amb centre a A i
radi AD.
![Page 161: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/161.jpg)
Tornant a la potència i tenint en
compte l'orientació dels
segments resulta:
Si el punt és exterior, P > 0
Si el punt és interior, P < 0
Si el punt pertany a la
circumfèrència, P = 0
![Page 162: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/162.jpg)
També resulta que P = d2 - r2 i queP = (segment de tangent del punt a la
circumferència)2.
![Page 163: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/163.jpg)
En la construcció anterior hem vist que la circumferència de centre A i radi AD és ortogonal a totes les circumferències que passen pels punts
A i B.Si en lloc del punt A prenem un altre punt A' sobre la mateixa recta ABC, obtindrem com a lloc geomètric dels punts de tangència una
altra circumferència de radi A' D '.
Aquesta nova circumferència
també és ortogonal a totes
les circumferències que passen pels
punts A i B.
![Page 164: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/164.jpg)
El punt A, A', etc. pot adoptar infinites posicions sobre la recta ABC, i per a cada una d'elles podrem obtenir una circumferència que serà
ortogonal a les infinites circumferències que passen pels dos punts B i C.
Per tant, es tracta de dos
feixos d'infinites circumferències
cada un, de manera que totes i cada una de les circumferències
d'un feix són ortogonals a
totes i cada una de les
circumferències de l'altre feix.
![Page 165: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/165.jpg)
En un d'aquests dos feixos, totes les circum-ferències són secants entre si en els mateixos punts B i C, mentre que les
circumferències de l'altre feix no són secants entre si.
![Page 166: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/166.jpg)
Ara ja podem resoldre el
problema de traçar una
circumferència que passi per 2
punts i que sigui tangent a
una recta.
![Page 167: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/167.jpg)
I també resolem el
traçat de la circum-ferència
que passa per dos
punts i que és tangent a una altra
circum-ferència.
![Page 168: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/168.jpg)
Eix radical de 2 circumferències: És el lloc geomètric dels punts amb igual potència respecte a les 2 circumferències.
Aquest lloc geomètric és una recta.Si les dues circumferències són exteriors, l'eix radical
passa pel punt mitjà de les tangents comunes.
![Page 169: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/169.jpg)
Si les dues circumferències són
tangents, l'eix radical és la tangent comuna.
Si les dues circumferències
són secants, l'eix radical és
la recta que passa pels dos
punts d'intersecció.
![Page 170: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/170.jpg)
Si una circumferència és interior a l'altra, cal construir l'eix radical mitjançant una circumferència auxiliar secant a totes
dues.
![Page 171: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/171.jpg)
Una propietat dels feixos de circumferències: Totes les circumferències d'un feix tenen el mateix eix radical. Si les circumferències són secants, tenen com a eix radical la recta que passa pels dos punts d'intersecció (això ja ho havíem dit
abans). Si no són secants, tenen com a eix radical l'eix vertical de la figura. Així doncs, un feix de circumferències
es caracteritza per a/ tenir els seus centres sobre una mateixa línia recta, i b/ tenir el mateix eix radical.
Per tant, també es pot dir que un feix de circumferències pot
venir determinat, a/ per dos punts, o bé b/ per una
circumferència i una recta (eix radical).
![Page 172: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/172.jpg)
Centre radical de 3 circumferències: És el punt d'intersecció dels 3 eixos radicals corresponents a cada parell de
circumferències.
![Page 173: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/173.jpg)
Divisió àuria d'un segment: Un punt X divideix el segment AB segons la divisió àuria quan és mitjana
proporcional entre el segment menor XB i el segment total AB.
Però primer recordem (en 2
exemples) una de les 3 construccions
de la mitjana proporcional de 2
segments que hem vist anteriorment i
vegem què passa segons la situació
del punt X.
![Page 174: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/174.jpg)
Hem de trobar una situació del punt X, tal que la mitjana proporcional entre el segment total i el segment
petit sigui igual al segment gran.
![Page 175: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/175.jpg)
També el segment menor XB és secció àuria del segment major XA (i així successivament).
![Page 176: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/176.jpg)
El seu valor és (5 -1)/2 del segment total = 0,6180339.
Si ho calculem analíticament resulta l'equació de 2n grau,x2 + x - 1 = 0
![Page 177: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/177.jpg)
Construcció gràfica del segment auri a partir del segment total com a valor (5-1)/2
![Page 178: ELEMENTS DE GEOMETRIA MÈTRICA ELEMENTAL](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022042516/568146b7550346895db3dd46/html5/thumbnails/178.jpg)
Construcció gràfica del segment total a partir del segment auri.