ELIPSE

Colegio Pumahue ChicureoDepto. MatemáticasDocente: Denisse Avilés H.3° Medio A

Matías Santana G.Ernesto Starck H.Diego Troncoso A.

INTRODUCCIÓN AL TEMA• Una elipse es un lugar geométrico, curva y cerrada, con dos ejes perpendiculares

desiguales que resulta de cortar la superficie de un cono por un plano no perpendiculares a su eje, y que tiene la forma de una circunferencia achatada.

• Según Johannes Kepler, astrónomo y matemático alemán, descubrió que los planetas tienen movimientos elípticos alrededor del Sol, estando este situado en uno de sus focos que contiene la elipse (1era Ley de Kepler).

DEFINICIÓN

• Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos, siempre es constante.

• A esta longitud constante se le denomina eje mayor que puede ser paralelo al eje de las abscisas o de las ordenadas.

Eje mayor= Distancia entre vértices

• La elipse, como curva geométrica, fue estudiada por Menaechmus, investigada por Euclides, y por su nombre se atribuye a Apolonio de Perge.

• En 1602, Kepler creía que la orbita de Marte era ovalada, aunque más tarde descubrió que trataba de una elipse con el Sol en un foco.

HISTORIA

Primera Ley de Kepler

• El foco y la directriz de la sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus.

ELEMENTOS DE LA ELIPSE

1. Focos: dos puntos que equidistantes del centro, F1 y F2

en el eje mayor cuya distancia entre focos esta dada por 2c.

2. Centro(h,k): es el punto de intersección de los ejes.

3. Vértices principales : es aquel que contiene los focos.

4. Lado recto: segmento perpendicular al eje mayor, contiene a un foco y sus extremos se localizan sobre la elipse.

5. Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.

6. Eje menor: Es el segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.

7. Excentricidad: indica la forma de una elipse; una elipse será mas redondeada cuanto mas se aproxime su excentricidad al valor cero. )

LADO RECTO

Corresponde a la mitad del lado recto

𝐿 .𝑅= h𝐴𝑛𝑐 𝑜𝐹𝑜𝑐𝑎𝑙=2𝑏2

𝑎

𝑏2+𝑐2=𝑎2

RELACIÓN ENTRE DISTANCIA FOCAL Y LOS SEMIEJES.

ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN

, ІFPІ+ІF’PІ=2a

𝑎2−𝑐2=𝑏2

La elipse será horizontal

La elipse será vertical

1. EJERCICIO RESUELTO• Una elipse tiene su centro en el origen, y su eje mayor coincide con el eje Y. Si uno de

los focos es el punto (0,3) y la excentricidad es igual a , hallar las coordenadas de otro foco, las longitudes de los ejes mayor y menor, la ecuación de la elipse y la longitud de cada uno de sus lados rectos.

• Como uno de los focos es el punto (0,3), tenemos c=3 y las coordenadas del otro foco son (0,-3). Como la excentricidad es tenemos:

• De donde, a=6. Tenemos, también,

• Por tanto, las longitudes de los ejes mayor y menor son 2a=12 y 2b= , respectivamente.

• La ecuación de la elipse es:

• La longitud de cada lado recto es

2. EJERCICIO RESUELTO• Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor coincide con el eje X. Hallar su

ecuación sabiendo que pasa por los puntos y .

𝑥24

+𝑦2

4 √147

=1

ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO (H,K)

𝑥 ′ 2

𝑎2+𝑦 ′ 2

𝑏2=1

x=x’+h y=y’+k

x-h=x’ y-k=y’

(𝑥−h)2

𝑎2+(𝑦−𝑘)2

𝑏2=1

• Si los ejes coordenados son trasladados de manera que el nuevo origen O’ coincida con el centro (h,k) de

la elipse.• Entonces la ecuación de la elipse con referencias a

los nuevos ejes X’ y Y’

La elipse será horizontal

La elipse será vertical

1. EJERCICIO RESUELTO• Dada la elipse de ecuación , hallar su centro, semiejes,

vértices y focos.

Centro: (6,-4)

Semieje Mayor: 6

Semieje Menor: 4

Foco: (6±,-4)

Vértice principal: (12,-4) y (0,-4)

Vértice secundario: (6,2) y (6,-10)

2. EJERCICIO RESUELTOEl centro de una elipse es el punto (- 2,-1) y uno de sus vértices es el punto (3,-1). Si la longitud de cada lado recto es 4, hállese la ecuación de la elipse, su excentricidad y las coordenadas de sus focos.

Centro: (-2,-1)

Vértice: (3,-1)

-2+a=3

a=5

20=

Foco:

3. EJERCICIO RESUELTO• El hombre siempre se ha sentido atraído por los astros y sus movimientos. Esto, tanto

por fines científicos como para conocer el futuro. Tan es así que la astrología es la precursora de la astronomía. Este interés llevó a los astrónomos y matemáticos a buscar un modelo algebraico que explicara los movimientos de los planetas y el Sol. Fue así como el alemán Johannes Kepler (1571-1630) descubrió que los planetas giran alrededor del Sol en órbitas elípticas, donde el Sol no está en el centro sino en uno de sus focos.

• La primera ley de Kepler establece que la órbita descrita por cada planeta es una elipse, donde el Sol es uno de los focos. Mirna y Laura construyen un modelo planetario enel plano cartesiano. Ubican al Sol en (5, 3) y para la órbita del planeta Tierra establecen que el centro es (2, 3) con el vértice correspondiente en (7, 3). Ellas necesitan conocer la ecuación para representar la órbita de la Tierra. ¿Cuál es dicha ecuación?

Foco: (5,3)

Centro: (2,3)

Vértice: (7,3)

2+c=5

c=3

2+a=7

a=5

4=b

ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE

1. EJERCICIO RESUELTOReducir la expresión . Si se trata de una elipse, hallar su centro, sus focos y sus vértices.

Centro: (0,1)

Vértice principal: (0±,1)

Vértice secundario: (0,4) y (0,-2)

Focos: (0±,1)

ELIPSE EN LA VIDA COTIDIANA

ARQUITECTURA• En arquitectura se utilizan con mayor frecuencia arcos con forma elíptica. Además

existen capillas o galerías de los secretos. Son estructuras con techos elipsoidales los cuales permiten que se pueda oír a una persona que está en un foco desde el otro foco y las personas que están entre las otras dos no oirán nada.

El Cybertecture Egg

Estadio Nacional de Pekín - China

• Estadio de Francia

Plaza de San Pedro - Italia

NATURALEZA

Cometa Halley

WEBGRAFÍA• http://www.ditutor.com/geometria_analitica/elipses.html

• http://recursostic.educacion.es/eda/web/geogebra/materiales/antonio_berho_p3/conicas/direc_foc.htm

• http://web.geogebra.org/app/#

• https://es.wikipedia.org/wiki/Elipse

• https://madelcisne2.wordpress.com/2014/10/18/secciones-conicas-y-su-aplicacion-en-arquitectura/

BIBLIOGRAFÍA• Libro Geometría Analítica Editorial Lehmann (capítulo de La Elipse)