EIRCiencia y cultura

El ‘principiodeDirichlet’deBernhardRiemannpor Bruce Director

En su ensayo revolucionario de 1857, como los actuales controladores straus- empleo como profesor particular. A lamuerte de Foy en 1825, De HumboldtTeorıa de las funciones abelianas, sianos de George Bush y Dick Cheney,

fueron fraudes malevolos.Bernhard Riemann revelo el significado recluto a Dirichlet para que regresara aAlemania, arreglo que obtuviera un gra-epistemologico mas sesudo del dominio No podemos saber a ciencia cierta

si Riemann, cuando decidio designar acomplejo, mediante una nueva aplica- do academico (aunque Dirichlet se re-husaba a hablar latın), y a la larga lecion osada de una principio de accion este metodo como una aplicacion del

“principio de Dirichlet”, esperaba pro-fısica que el llamo el “principio de consiguio una catedra en la Universidadde Berlın. Allı, ademas de conocer yDirichlet”. vocar la reaccion que obtuvo, o si solo

estaba afirmando lo que habrıa sido ob-El enfoque de Riemann, en combi- desposar a la nieta de Moises Mendels-sohn, Rebecca (hermana del compositornacion con lo que establecio en su diser- vio para cualquiera dentro de la amplia

red de los estudiantes de Abrahamtacion de habilitacion de 1854, no solo Felix Mendelssohn), Dirichlet cultivouna fructıfera colaboracion con Karl Ja-auguro una revolucion en el pensamien- Kastner. En cualquier caso, es una for-

tuna para nosotros que usara ese nom-to cientıfico: encendio una contrarreac- cobi y Jacob Steiner, que lo llevaron avisitar Italia con ambos en 1843, bajo elcion tan feroz como la que la escuela bre, pues nos permite reconstruir con

bastante exactitud, no solo los orıgenesempirista —que estaba bajo el control patrocinio de Alejandro de Humboldt.En 1847 Riemann llego a Berlın abritanico–veneciano— de Galileo Gali- cientıficos del pensamiento de Rie-

mann, sino el proceso historico–lei, Isaac Newton, Leonhard Euler y Jo- estudiar con Dirichlet, Jacobi y Steiner,luego de pasar los dos anos anterioresseph Louis de Lagrange emprendio, por polıtico del cual surgio.

las mismas razones, contra Nicolas de estudiando con Gauss. En 1849 regresoa Gotinga para completar sus estudios,Cusa, Johannes Kepler, Pierre de Fer- Lejeune Dirichlet

Johann Peter Gustav Lejeune Di-mat y Godofredo Leibniz, una contra- y en 1851, bajo la direccion de Gauss,publico su disertacion doctoral, “Losrreaccion que sigue ardiendo hasta richlet fue una figura central en la cien-

cia de principios del siglo 19. Nacido ennuestros dıas, con implicaciones que re- fundamentos de una teorıa general delas funciones de una magnitud variablebasan por mucho el marco especıfico del 1805 en una familia de origen belga que

vivıa cerca de Aachen, empezo su edu-documento de Riemann de 1857. A pe- compleja”, en el que, por primera vez,aplico su principio, pero sin mencionar asar de los tomos que se han escrito sobre cacion en Bonn. A la edad de 16, con

una copia de las Disquisitiones arith-este tema desde la epoca de Riemann Dirichlet. A la muerte de Gauss en 1855,Dirichlet fue nombrado su sucesor, te-hasta la nuestra, un examen honesto de meticae de Gauss bajo el brazo, fue a

Parıs a escuchar clases en el College dela historia del asunto revela que, tal niendo ası contacto de nuevo con Rie-mann, quien habıa recibido autorizacioncomo Carl Friedrich Gauss demostro el France y en la Faculte des Sciences. Un

ano despues, el general Maximilien Se-fraude de Euler, Lagrange y Jean Le para ensenar solo siete meses antes, lue-go de presentar su disertacion de habili-Rond d’Alembert en su prueba de 1799 bastien Foy, un miembro republicano de

la Camara de Diputados que fue quiendel teorema fundamental del algebra, tacion, “Sobre las hipotesis que subya-cen a los fundamentos de la geometrıa”.Riemann tuvo razon, y sus crıticos, le presento a Alejandro de Humboldt, lo

34 Ciencia y cultura Resumen ejecutivo de EIR

netismo terrestre de 1839, Gauss dijoque dibujar un mapa completo y precisode las observaciones no era, en sı mis-mo, una objetivo adecuado para la cien-cia, pues “uno no tiene sino la primerapiedra, no el edificio, en tanto no hayasubyugado las apariencias a un princi-pio subyacente”. Citando el caso de laastronomıa como ejemplo, Gauss dijoque el registro de las observaciones delmovimiento aparente de los cuerpos ce-lestes sobre la esfera celeste no era masque el comienzo: solo una vez que sedescubrio el principio subyacente de lagravitacion, fue que pudieron determi-narse las orbitas reales de los planetas.

Bernhard Riemann. (Foto: Library of Congress). Gauss reconocio que el primer paso,tanto en la geodesia como en el geomag-

Lejeune Dirichlet.netismo, era medir los cambios en losefectos que ambos fenomenos produ-En 1857 Riemann publico la Teorıa de

las funciones abelianas, donde por pri- cıan sobre los instrumentos de medi-que la forma de la catenaria no era masmera vez identifico el principio en el que cion. En el caso de la geodesia, esto im-que el mero efecto visible de un princi-basaba sus nuevas teorıas como el “prin- plicaba cambios en la direccion de unapio fısico subyacente, y que su formacipio de Dirichlet”. plomada o nivel plano, conforme dichoscorrecta no podıa determinarse hasta co-Dirichlet murio dos anos despues, y cambios quedaban registrados sobre lanocer dicho principio subyacente.Riemann, que entonces tenıa 33 anos, esfera celeste. El caso del geomagnetis-Como lo hemos desarrollado en ejerci-tomo su lugar, posicion que ocupo hasta mo es mas complicado. Aquı, los cam-cios pedagogicos previos,1 Leibniz ysu muerte prematura solo siete anos bios en la direccion de la aguja de unBernoulli determinaron la naturalezadespues. compas se medıan con respecto a trescaracterıstica de ese principio, estable-direcciones y el tiempo. La pregunta ge-ciendo primero su efecto fısico cam-El potencial neral era: ¿cual es la naturaleza carac-biante en lo infinitesimalmente pequenoLo que Riemann llamo el “principio terıstica del principio de gravitacion oy, entonces, por inversion, la caracterıs-de Dirichlet”, nacio de la aplicacion de geomagnetismo que producirıa estostica general del principio. El resultadoGauss del dominio complejo a sus in- efectos aparentes? La tarea especıficafue el descubrimiento de Leibniz de quevestigaciones de geodesia y magnetis- era: ¿como puede determinarse esa ca-la forma de la cadena suspendida refle-mo terrestre, las primeras organizadas racterıstica general a partir de estosjaba el efecto de accion mınima del prin-en colaboracion con Heinrich Schuma- cambios infinitamente pequenos medi-cipio de la gravitacion universal, y quecher desde 1818, y las segundas a inicia- dos en los efectos aparentes?este efecto podıa expresarse en terminostiva de Alejandro de Humboldt en 1832. Es esta segunda pregunta la que nosgeometricos como la media aritmeticaAmbos proyectos rindieron enormes pone en contacto de forma mas directaentre dos funciones exponenciales con-beneficios practicos. Cada uno produjo con lo que Riemann llamo el “principiotrapuestas.2mapas detallados de sus efectos fısicos de Dirichlet”. Sin embargo, la empresa

Es de suma importancia hacer hin-respectivos, que fueron vitales para el de entender el “principio de Dirichlet”capie aquı, en que estamos hablando dedesarrollo de la infraestructura, y Hum- sera mucho mas facil si primero obser-

boldt organizo con su proyecto, por pri- vamos el caso elemental, pero con-1. Ver, por ejemplo, “La larga vida de la Cate-mera vez, una red internacional de cola- gruente, de la catenaria.

naria, de Brunelleschi a LaRouche” de Bruce Di-boracion cientıfica que tendrıa un im- El foco pertinente de esta discusion rector (Resumen ejecutivo de la 1a quincena depacto en el desarrollo de la economıa es la devastadora refutacion que Leibniz julio de 2004).

2. Ver “Two Papers on the Catenary Curvefısica, desde las Americas hasta Eurasia, y Jean Bernoulli hicieron de Galileo yand Logarithmic Curve” (Dos trabajos sobre lapor generaciones. Newton en el caso de la catenaria. Gali-curva catenaria y la curva logarıtmica), del ActaPero Gauss reconocio que ambos leo insistıa que todo lo que necesitaba oeruditorum de G.W. Leibniz de 1691, en una tra-

proyectos planteaban interrogantes podıa saberse sobre la catenaria, era una duccion al ingles de Pierre Beaudry para la edicionepistemologicas mas hondas para la descripcion de su forma visible. Por su de primavera de 2001 de la revista Fidelio (vol.

X, num. 1).ciencia. En su Teorıa general del mag- parte, Leibniz y Bernoulli insistieron

Ciencia y cultura 351a quincena de agosto de 2005

FIGURA 1 FIGURA 2 FIGURA 3

ABL

B

BB

B

B

B

El cambio de posicion del punto desujecion B genera varias catenarias.

Conjunto armonico de cırculos y lıneasradiales.

la cadena suspendida fısica y no de unaexpresion matematica formal. En una FIGURA 4expresion matematica formal, las cur-vas exponenciales no tienen lımite. Pero Una pelıcula de jabon suspendida entre unla cadena suspendida fısica sı —la posi- par de aros forma una catenoide. (Foto: Stuart

Lewis/EIRNS).cion de los puntos de sujecion—; porconsiguiente, la forma especıfica de lacadena la determina la posicion de lospuntos de sujecion con relacion al pesoy la longitud de la cadena. Si la posicion uno entre los eslabones mismos. En

otras palabras, la posicion de cualquierde los puntos de sujecion cambia, la po-sicion de cada eslabon de la cadena tam- eslabon individual no esta determinado

por su distancia hacia la izquierda o labien cambia, aunque siempre de confor-midad con la antedicha relacion. En derecha, o hacia arriba o abajo, de sus

vecinos, como los cartesianos y newto-otras palabras, conforme cambian lascondiciones lımite de la cadena fısica, nianos insistirıan. Mas bien, la posiciontambien lo hace la trayectoria especıfica de cada eslabon es una funcion de la

Conjunto armonico de elipses e hiperbolas.de la cadena, pero la forma general de caracterıstica de cambio de la accionfısica de conjunto. Cualquier cambio endicha trayectoria, que es un requisito

del principio de accion mınima, siempre las condiciones lımite altera la posicionprobadamente falso, de Newton, quees una catenaria. Nunca se convertira de cada eslabon, como un todo, de con-pretendıa explicar estos fenomenosen una parabola o en ninguna otra curva formidad con el principio de accioncomo el resultado de una interaccion de(ver figura 1). mınima de la catenaria. Ası, el efectouno a uno entre cuerpos materiales, se-Este ejemplo ilustra un aspecto del del principio fısico invisible en el domi-gun la formula algebraica del inversometodo que Leibniz originalmente lla- nio de lo visible, cobra expresion a tra-del cuadrado.3 En cambio, Gauss insis-mo “analisis situs” —o que Gauss y ves de la caracterıstica de cambio quetıa que estos fenomenos, como en elCarnot llamaron despues “geometrıa de exige el principio de accion mınima.caso de la catenaria, habıan de entender-posicion”—, que es pertinente para en- Esto es lo que determina la posicion es-se como un proceso unificado, en la cualtender el “principio de Dirichlet” de pecıfica de los eslabones. En otras pala-las variaciones locales de la posicion deRiemann. La posicion de los eslabones bras, la posicion es una funcion della plomada o la aguja del compas fueranindividuales de la cadena es una funcion cambio.

de la relacion entre la condicion lımite Gauss reconocio que los principios3. Ver el numero 53 de la serie Riemann for(la posicion de los puntos de sujecion subyacentes de la geodesia y el geomag-

Anti–Dummies (Riemann a prueba de tontos) decon relacion al largo de la cadena) y la netismo podıa entenderse mediante una Bruce Director, “Look to the Potential” (Vean alcurvatura caracterıstica del principio de extension del metodo de Leibniz. El re- Potencial), del 21 de diciembre de 2003 (aun

inedito).gravitacion, y no de las relaciones uno a chazo el metodo popular aceptado, pero

36 Ciencia y cultura Resumen ejecutivo de EIR

FIGURA 5

El ritmo de cambio de la curvatura de las elipses y las hiperbolas correspondientes siempre es igual.

una funcion de la caracterıstica del prin- Estos conjuntos de funciones no sonFIGURA 6

cipio que gobernaba al fenomeno como arbitrarios. Estan relacionados median-un todo. A ese todo Gauss lo llamo “el te una suerte de vınculo especial, que

cobra los nombres descriptivos de fun-potencial”, que es el equivalente en latındel “dunamis” griego o del “Kraft” de ciones “esfericas” o “armonicas”. Una

funcion esferica o armonica es un con-Leibniz (o del latın “vis viva”). Gaussinvento la idea de una “funcion de po- junto de funciones ortogonales cuyas

curvaturas cambian al mismo ritmo.tencial” para expresar el efecto de ac-cion mınima del principio fısico sobre La forma mas sencilla de ilustrar

esto de manera pedagogica, es con algu-un area o un volumen, de un modo pare-cido, pero mas amplio, a como Leibniz nos ejemplos geometricos. Un conjunto

de cırculos concentricos y lıneas radia-expreso el efecto de la gravedad paragenerar la curvatura de la cadena sus- les componen una funcion armonica,

porque tanto los cırculos como las lıneaspendida. Para lograr esto, Gauss ampliola idea de Leibniz de una funcion al do- radiales intersecan de forma ortogonal,minio complejo. y ambos tienen una curvatura constante

Conjunto armonico de curvas cubicas.Esto transformo las funciones de (ver figura 3). Un ejemplo mas ilustrati-Leibniz —que caracterizaban una sola vo es un conjunto de elipses e hiperbolas

ortogonales (ver figura 4). Para captartrayectoria mınima— en la “funcion depotencial” de Gauss, la cual caracteriza- de forma intuitiva sus relaciones armo- (podemos calcular esta relacion con pre-

cision usando el calculo de Leibniz,ba toda una clase de trayectorias mıni- nicas, piensa en lo siguiente. Cada elipseesta asociada con una hiperbola ortogo-mas; en efecto, una funcion de funcio- pero una comprension intuitiva basta

para los propositos presentes).nes. En otras palabras, si entendemos la nal con la que comparte el mismo foco.Empezando en el punto donde ambascatenaria de Leibniz como una trayecto- Es mas, no es necesario que un con-

junto de funciones armonicas lo confor-ria mınima determinada por un conjunto curvas tocan el eje, crea en tu mente unaaccion conexa que camina de forma si-de dos funciones, la funcion de poten- men curvas conocidas, tales como cırcu-

los, lıneas, elipses o hiperbolas. De he-cial de Gauss da el siguiente paso, hacia multanea sobre las dos curvas (ver fi-gura 5). Nota que, conforme la curvatu-una funcion que unifica dos (o mas) con- cho, conjuntos de funciones bastante

complicados pueden ser armonicos (verjuntos de funciones. Riemann demos- ra de la hiperbola se hace menos curva,lo mismo ocurre con la de la elipse co-trarıa mas tarde que estos conjuntos de figura 6).

En contraste, un conjunto de cırcu-trayectorias mınimas definen de forma rrespondiente, y al mismo ritmo.Ası, las funciones armonicas rela-implıcita superficies mınimas, como por los e hiperbolas no es armonico, porque

la curvatura del circulo es constante, enejemplo la catenoide que forma una pe- cionan dos conjuntos de curvas diferen-tes, tales que el ritmo de cambio de suslıcula de jabon suspendida entre dos tanto que la de la hiperbola es cambian-

te. En consecuencia, los dos conjuntosaros circulares (ver figura 2). respectivas curvaturas siempre es igual

Ciencia y cultura 371a quincena de agosto de 2005

de estas curvas no son ortogonales (ver recido, el tamano y la posicion de losFIGURA 7

figura 7). cuadrados que acotan a un cubo los pro-Gauss reconocio que el principio de duce un poder (potencial) diferente que

el de los cuadrados generados por la dia-accion mınima de Leibniz con respectoa las superficies y los volumenes encon- gonal de otro cuadrado. Ası, aunque el

poder no pueda verse, puede medirsetrados en fenomenos tales como la gra-vitacion y el magnetismo terrestres, po- gracias a su efecto caracterıstico unico

sobre los lımites de su accion.dıan expresarse con funciones armoni-cas. Un conjunto de curvas de la funcion Apliquemos ahora el mismo metodo

de pensamiento a los principios fısicosarmonica expresaba las trayectorias decambio mınimo en el potencial de ac- antes discutidos. La catenaria es una

curva acotada por puntos. Una catenoi-cion, en tanto que las otras curvas orto-gonales expresaban las trayectorias de de es una superficie cuyos lımites son

curvas. La superficie de la Tierra repre-cambio maximo en el potencial de ac-cion. Por ejemplo, si la Tierra fuera per- senta el lımite de un volumen gravitato-fectamente esferica, sus potenciales de rio. El efecto magnetico de la Tierra es

Un conjunto de cırculos e hiperbolas no esaccion mınima y maxima podrıan ex- aun mas complicado, y lo abordaremosarmonico.presarse mediante una serie de capas es- a mayor detalle en un ejercicio pedago-

gico futuro.fericas concentricas y de planos ortogo-nales. Un corte transversal de semejante Esta relacion conexa entre las condi-

ciones lımite de un proceso fısico, y laconfiguracion mostrarıa cırculos y Hacer una determinacion precisa dela superficie de la Tierra o del efectolıneas radiales armonicamente relacio- expresion del principio de accion mıni-

ma con respecto a dicho proceso, es lanadas. Si la Tierra tuviera una forma magnetico, como hizo Gauss, es bastan-te complicado, pero el principio en elelipsoidal perfecta, su potencial lo ex- relacion que Riemann refiere cuando

habla del “principio de Dirichlet”.presarıa un conjunto de elipsoides e hi- que estaba basado su metodo esta al al-cance de esta pedagogıa. Si uno recono-perboloides triplemente ortogonales,

cuya seccion transversal mostrarıa el ce, como lo hizo Gauss, que los cambios De Gauss a Dirichlet, a RiemannTras tomar el puesto de Gauss enconjunto armonicamente relacionado de direccion de la plomada miden cam-

bios en direccion de la funcion de poten-de elipses e hiperbolas que ilustra la fi- 1855, Dirichlet comenzo a dar catedrasobre la teorıa del potencial de Gauss engura 4. cial, entonces la forma fısica de la Tierra

tiene la misma relacion con este poten-Pero, como puso de relieve Gauss, Gotinga, en tanto que Riemann estabapreparando su Teorıa de las funcionesla forma de la Tierra es mucho mas com- cial que la que tienen los puntos de suje-

cion con la catenaria. En otras palabras,plicada que una esfera o una elipsoide, abelianas. Lo que Gauss, Dirichlet yRiemann reconocieron era que talescon respecto tanto a la gravedad como la superficie de la Tierra ha de entender-

se como el mero lımite del potencial o,al magnetismo, y las trayectorias de los funciones complejas, como la extensiondel concepto de Leibniz de la catenariapotenciales de accion maxima y mınima como dijo Gauss, “la superficie fısica de

la Tierra es, en un sentido geometrico,no son tales curvas tan simples y bien y los logaritmos naturales, tenıan unaidoneidad unica para expresar las tra-conocidas como los cırculos, las lıneas, la superficie que en todas sus partes es

perpendicular a la atraccion de la gra-las elipses o las hiperbolas. Ası, ha de yectorias de accion mınima de las fun-ciones de potencial.encontrarse una funcion armonica mas vedad”.

Una referencia al antiguo problemacompleja para expresar estos principios. Gauss ya habıa demostrado esto ensu prueba de 1799 del teorema funda-Semejante funcion no puede determi- pitagorico de doblar la lınea, el cuadra-

do o el cubo puede arrojar cierta luz so-narse a priori, sino solo a partir de los mental del algebra, donde demostro queuna expresion algebraica compleja ge-cambios medidos en el efecto de la gra- bre esta idea. A la lınea la acotan puntos,

al cuadrado lıneas, y al cubo cuadrados.vedad o el magnetismo de la Tierra. nera dos superficies cuyas curvaturasestan armonicamente relacionadas. LoLa cuestion para Gauss era: ¿como El tamano y la posicion de estas acota-

ciones los determina la longitud, el areadeterminar la verdadera forma fısica de que Riemann le atribuyo a Dirichlet fueel principio de que, dada una cierta con-la Tierra, o la caracterıstica del magne- y el volumen que encierran. Por ejem-

plo, ¿es el cuadrado el que determinatismo de la Tierra, a partir de los cam- dicion lımite, la funcion que minimizala accion dentro de la misma es una fun-bios infinitesimalmente pequenos en su el tamano y la posicion de sus lados,

aunque son estos ultimos los que ves ypotencial observados en sus mediciones cion armonica compleja.Pongan en juego esta idea en el terri-magneticas y geodesicas? no al primero? Los lados del cuadrado

son lıneas, pero los produce un poderEsto empieza a acercarnos a una pri- torio conocido de la catenaria. Las con-diciones lımite aquı son las posicionesmera aproximacion de lo que Riemann (potencial) diferente que el de las lıneas

generadas por otras lıneas. De modo pa-llamo el “principio de Dirichlet”. de los puntos de sujecion. El “interior”

38 Ciencia y cultura Resumen ejecutivo de EIR

FIGURA 8

were

(a)

(c)

(b)

Transformacion de un conjunto armonico de cırculos y lıneas radiales. (a) El punto de interseccion de las lıneas radiales corre en unalınea recta ascendente. (b) El punto de interseccion de las lıneas radiales se mueve en un cırculo. (c) El punto de interseccion de las lıneasradiales sigue la trayectoria de una lemniscata.

de dicho lımite es la curva misma. Den- tambien lo hace la posicion del punto esta singularidad y condiciones lımiteespecificas. Si las condiciones lımitetro de la curva hay un punto que es sin- inferior. Para exponer el principio de

Dirichlet en este marco simplificado: lagular: el punto inferior. Si las condicio- cambian, la forma de la curva cambia deconformidad, de acuerdo con la preser-nes lımite cambian, al alterar las posi- catenaria es la trayectoria de accion

mınima de una cadena suspendida conciones de los puntos de sujecion, ası vacion del principio de accion mınima.

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FIGURA 9

Los puntos focales de elipses e hiperbolas con una relacion armonica, siguen la trayectoria de un cırculo.

conjunto ortogonal de curvas de accion cion armonica, o sea, de accion mınima.FIGURA 10

mınima y maxima (Riemann luego de- Esto tambien puede ensenarse demostro que tales curvas estan relaciona- forma inversa: que los cambios de posi-

cion de la interseccion de las lıneas ra-das de forma armonica). Experimentacambiando la forma de estos lımites, de diales en el lımite hacen que su punto de

interseccion se mueva en un arco circu-cırculos a elipses, a formas aplanadasirregulares, a polıgonos. Cuando alteras lar, y que su forma cambie de lıneas a

arcos circulares.la posicion o la forma de los lımites deesta superficie, la forma de la superficie O, que los cambios infinitesimal-

mente pequenos en la curvatura de lasmisma y de las curvas que contiene cam-bia de conformidad, pero el principio de trayectorias los determinan las condi-

ciones del lımite con respecto a la posi-accion mınima se preserva.Ahora generaliza esta idea con algu- cion de la singularidad.

Compara esta accion con el cambionos otros ejemplos pedagogicos ilustra-dos en las siguientes figuras derivadas de posicion del punto inferior de la cate-

naria conforme cambian las posicionesde animaciones de computadora. En lafigura 8 vemos un conjunto de cırculos de los puntos de sujecion, del modo queUn conjunto de curvas armonicasy lıneas radiales armonicamente rela- lo ilustra la figura 1.doblemente periodicas tıpica de las

funciones armonicas. Aquı, las curvas son cionados que intersecan al centro de los Ahı, un cambio de los puntos lımitearmonicas con respecto a dos principios cırculos, transformandose al tiempo que produce otro a lo largo de una sola cur-lımite. conservan sus relaciones armonicas. Si va. Aquı, un cambio de la curva lımite

genera otro en un conjunto de curvasla posicion de ese punto de interseccioncambia, las lıneas radiales han de trans- armonicamente relacionadas dentro de

una superficie.formarse en arcos circulares, y sus ex-Riemann invirtio el principio de Di-tremos correran a lo largo del lımite a fin Compara esto con el problema conrichlet: puesto que el principio de ac-de conservar sus relaciones armonicas. el que Gauss topo, por ejemplo, al deter-cion mınima es primordial, ¡la posicionEste efecto aparece conforme el punto minar la localizacion de los polos mag-de los puntos de sujecion y del puntode interseccion se mueve, primero lejos neticos de la Tierra a partir de los cam-inferior determinan por completo la for-del centro (ver figura 8a), luego en una bios infinitesimalmente pequenos en suma de la cadena!trayectoria circular alrededor del centro efecto magnetico. Gauss entendio queAhora haz esta misma investigacion(ver figura 8b), y despues sobre la tra- esos cambios pequenos estaban conec-respecto a la catenoide que forma unayectoria de una lemniscata (ver figura tados con la posicion de las singularida-pelıcula de jabon que pende entre dos8c). Este movimiento hace que todas las des, o sea, de los polos magneticos, delaros circulares. Esta catenoide es unaposiciones dentro del lımite cambien de efecto magnetico de la Tierra. Sin em-superficie mınima, o de accion fısica

mınima. Esta superficie comprende un conjunto. Lo que no cambia es la rela- bargo, en los tiempos de Gauss se desco-

40 Ciencia y cultura Resumen ejecutivo de EIR

FIGURA 11

does the position of the lowest

Las dos condiciones límite de un conjunto de curvas armónicas doblemente periódicas sufren una transformación.

nocıa la localizacion exacta de tales po- La figura 10 muestra el mismo pro- cambia todo lo demas en el mismo deconformidad, a fin de preservar su ca-los, o su numero siquiera. Fue basando- ceso, pero la forma del lımite ha cambia-

do a la de una elipse, lo cual a su vezse en las mediciones que obtuvieron las racterıstica de accion mınima. Lo quees primordial es el principio fısico deredes de Humboldt, que Gauss determi- transforma la forma de las curvas orto-

gonales en hiperbolas, y el punto de in-no donde habıan de localizarse dichos accion mınima.Fue el genio de Riemann el que re-polos. El proposito de la famosa expedi- terseccion en dos focos. Por supuesto,

tambien puede decirse que las lıneas ra-cion estadounidense de Wilkes de 1837 conocio, mediante esta aplicacion del“principio de Dirichlet”, que el princi-era, en parte, confirmar los hallazgos de diales se transforman en hiperbolas, lo

cual convierte los cırculos en elipses, yGauss, cosa que logro. pio de accion mınima de un proceso fısi-co podıa entenderse a cabalidad por laLa figura 9 ilustra este mismo efec- al punto de interseccion en dos focos. O,

que el punto de interseccion deviene ento al mover los puntos focales de las relacion entre las condiciones lımite ylas singularidades, y que esta relacionlıneas radiales a lo largo de la trayectoria dos focos, lo cual transforma el lımite

en una elipse, y a las lıneas radiales ende un cırculo. Nota de nuevo como este podıa expresarse de forma unica me-diante el concepto geometrico de Rie-cambio de posicion de la singularidad hiperbolas.

En breve: un proceso fısico de ac-altera la condicion en el lımite, de modo mann de las funciones complejas. Esmas, Riemann demostro que la carac-que todas las relaciones resultantes si- cion mınima es una accion conexa. Al

cambiar cualquier aspecto del proceso,guen siendo armonicas. terıstica de accion mınima de una proce-

Ciencia y cultura 411a quincena de agosto de 2005

so fısico podrıa alterarse, de modo fun- ejemplos previos indica lo que Riemann lo caracteriza la accion mınimadamental, tan solo anadiendo un nuevo puso de relieve: que la unica forma de acotada.principio. Ese cambio de principio co- cambiar en lo fundamental la caracterıs- Por ejemplo, como mostro Nicolasbra expresion en una funcion compleja tica de accion de un proceso fısico, es de Cusa, no hay un polıgono maximocomo un aumento correspondiente en el anadiendo la accion de un nuevo princi- ni mınimo absoluto, porque el polıgononumero de singularidades. En su Teorıa pio. Esta interrogante mas avanzada ha- esta maximamente acotado por unde las funciones abelianas, Riemann bra de investigarse con mayor amplitud cırculo (el cual no es un polıgono) ydemostro esto aplicando el “principio de en futuros ejercicios pedagogicos. mınimamente por una lınea (que tampo-Dirichlet” a las funciones trascendenta- Un ejemplo significativo de la eco- co es un polıgono). O, en tanto que unales superiores de Abel. nomıa puede ayudar a ilustrar este prin- catenaria matematica puede extenderse

Solo podemos aludir el significado cipio. ¿Cual es la relacion entre toda re- a infinito, a una fısica siempre la acotanmas hondo de este descubrimiento en lacion fısico–economica, y las condi- sus puntos de sujecion. Para Riemann,esta ocasion, y lo retomaremos a mayor ciones lımite economicas de la infraes- al igual que para Gauss y Dirichlet, laprofundidad despues, pero puede ilus- tructura fısica y el desarrollo cultural? exigencia de Weierstrass de que hubieratrarse con la animacion que representa ¿Cual es la relacion entre estas condicio- una prueba matematica formal de unla figura 11, la cual expresa el principio nes lımite y las singularidades que re- mınimo, era menos que innecesaria: erade accion mınima con respecto a una presenta la introduccion de nuevas tec- una sofisterıa. El principio fısico univer-funcion elıptica. Riemann demostro nologıas? ¿Cual es el efecto de un cam- sal de accion mınima bastaba para pro-que, por formarse a partir de la interac- bio, positivo o negativo, de estas condi- porcionar la prueba.cion de dos principios conexos, todas ciones lımite fısico–economicas sobre

Los formalistas hicieron suya lalas funciones elıpticas se expresan en el toda relacion economica?

crıtica de Weierstrass, pues estaban de-dominio complejo como superficies con Cuatro anos despues de la muerte

sesperados por minimizar los logros dedos lımites. Cada lımite cambia de ma- de Riemann, Karl Weierstrass critico

Kastner, Gauss, Dirichlet, Jacobi, Abel,nera diferente, pero en conexion con el en terminos matematico–formales aRiemann etc., y regresar la ciencia a losotro, causando los cambios correspon- Riemann, por su aplicacion del “princi-dıas rastreros de Euler, Lagrange y D’A-dientes en las trayectorias mınimas, pio de Dirichlet”. Weierstrass alegabalembert. Por consiguiente, en tanto quemientras que en todo momento conserva que no era adecuado hablar de la accionha habido una amplia discusion sobre lala relacion armonica general de la fun- mınima en terminos matematicos, aforma de los descubrimientos de Rie-cion. En otras palabras, la curvatura ca- menos que pudiera presentarse unamann, la sustancia de su pensamiento enracterıstica de estas trayectorias de ac- prueba matematica formal que probarageneral fue suprimida, hasta que cobrocion mınima la determina, en este caso, que existıa un mınimo o un maximonueva vida en los descubrimientos masla interaccion conexa de dos principios matematico. Aunque es posible produ-avanzados de Lyndon LaRouche.distintos. cir un ejemplo matematico formal que

—Traduccion de Manuel Hidalgo.Una comparacion de esto con los no tenga mınimo, a todo proceso fısico

Dirichletyelmovimientodejuventudesmendelssohnianaspor David Shavin

la casa de verano, al movimiento de ju- obra “muerta”, sin ejecutar desde queCuando Lejeune Dirichlet, a la edad deBach la estreno un siglo antes.1ventudes mendelssohnianas trabajando23 anos, trabajaba con Alejandro de

Los dos proyectos simultaneos quelas voces de La Pasion segun san Ma-Humboldt tomando mediciones micros-tenıan lugar en el jardın de Mendelssohncopicas de los movimientos de una barra teo de J.S. Bach. Los hermanos Felix y

imantada suspendida en el aire, en una Fanny Mendelssohn, de 19 y 23 anos,1. Bach compuso y presento esta obra en Leip-pequena cabana construida para ese pro- respectivamente, encabezaban un grupo

zig en 1729. Felix recibio el manuscrito de manosposito en el jardın de Abraham Men- de 16 amigos que se reunıan las noches de su tıa Sarah Itzig Levy, una defensora de Bach.

Uno tambien podrıa decir que fue una casualidaddelssohn, podıa escuchar, enseguida en de los sabados de 1828 a explorar esta

42 Ciencia y cultura Resumen ejecutivo de EIR