Els crèdits de les diferents matèries es divideixen en unitats · 2015-11-05 · La data de...

SEK-CATALUNYA

COL·LEGI INTERN ACIONAL

Quadern d’estiu 2014/15

Àmbit: Científic-Tecnològic Curs: 1BAT

Matèria: Matemàtiques I (Sr. David/Sr. Roberto/Sr. Carles)

Alumn@:

COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA

ÀMBIT CIENTÍFIC

MATEMÀTIQUES 1r BAT 2014/15

ALUMNE:

2

GENERAL

Estudia (abans de fer els exercicis) la teoria que calgui en cada cas.

Els exercicis tenen dificultat gradual.

INDICACIONS

Aquests dossier de matemàtiques és part imprescindible del curs vinent. Els

exercicis són fonamentals per poder seguir l’assignatura de matemàtiques de

segon.

Els apunts que teniu i els exercicis que hem estat realitzant al llarg del curs us

seran de gran utilitat per resoldre un dossier pensat per aquells alumnes que no

volen tenir problemes el proper curs de batxillerat.

La data de lliurament serà el primer dia de curs 2015/2016 i per aprovar el

dossier cal presentar tots els exercicis comentats i resolts.

Heu de tenir en compte que el interès d’aquests fulls consisteix en entendre el

perquè de la solució i no la solució en si. L’any que bé les matemàtiques seran

molt diferents i els procediments seran fonamentals per resoldre problemes que

no haureu realitzat durant el curs. La selectivitat ens demanarà dominar la visió

conjunta de la resolució dels problemes. Així que aprofiteu aquest estiu per

posar-vos al dia.

¡ Passeu unes bones vacances!


ÀMBIT CIENTÍFIC


ALUMNE:

3

TEMARIO MATEMÁTICAS 1º BAT

PARTE 1-REPASO DE CONCEPTOS

1.1.- Repaso Identidades notables

1.2.- Repaso de operaciones con fracciones

1.3.- Repaso de trigonometría básica

1.4.- Repaso de ecuaciones de 2º grado, bicuadráticas y SE.

1.5.- Repaso de representaciones gráficas

PARTE 2-RACIONALIACIÓN

2.1.- Identidades notables

2.2.- Raíces y potencias

2.3.- Propiedades de las raíces. Operaciones con raíces.

2.4.- Racionalización de denominadores

2.5.- Simplificación de expresiones. Racionalización y potenciación.

PARTE 3-TRIGONOMETRÍA

3.1.- Razones trigonométricas

3.2.- Transformaciones de sumas en productos y productos en sumas

3.3.- Razones trigonométricas del ángulo doble, mitad, ángulo suma y resta

3.4.- Teorema del seno y del coseno

3.5.- Resolución de Ecuaciones trigonométricas e interpretación geométrica

PARTE 4-AMPLIACIÓN DE TRIGONOMETRÍA

4.1.- Representación gráfica de funciones trigonométricas básicas.

4.2.- Periodo, dominio y continuidad de funciones trigonométricas

4.3.- C/D, Máximos y mínimos relativos en funciones trigonométricas

4.4- Rep. Gráf. de funciones trigonométricas complejas: valor absoluto, etc

PARTE 5-VECTORES

5.1.- Definiciones y operaciones con vectores.

5.2.- Combinaciones lineales entre vectores

5.3.- Producto escalar

5.4.- Aplicaciones geométricas


ÀMBIT CIENTÍFIC


ALUMNE:

4

PARTE 6-ANALÍTICA DE LA RECTA

6.1.- Ecuaciones de la recta: explícita, implícita, canónica, continua

6.2.- Paralelismo y perpendicularidad

6.3.- Puntos de intersección

6.4.- Ángulo entre dos rectas. Distancia entre dos puntos.

PARTE 7-FUNCIONES. LÍMITES

7.1.- Concepto de función. Dominio y recorrido.

7.2.- Funciones algebraicas y operaciones con funciones.

7.3.- Límite en un punto, laterales y en el infinito

7.4.- Función continua en un punto

7.5.- Interpretaciones gráficas del límite

PARTE 8-INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS

8.1.- Variación de una función en un punto

8.2.- Derivada de una función en un punto

8.3.- Función derivada. Cálculo de derivadas

8.4.- Aplicaciones de la derivada. Recta tangente y Optimización

PARTE 9-INTRODUCCIÓN A LAS MATRICES

9.1.- Concepto de matriz

9.2.- Matrices de 2x2. Operaciones con matrices de 2x2

9.3.- Determinante de una matriz 2x2

9.4.- Adjunta de una matriz 2x2. Inversa de una matriz 2x2

9.5.- Resolución de Sistemas de Ecuaciones con matrices

9.6.-Métodos de inducción para potencia de matrices.


ÀMBIT CIENTÍFIC


ALUMNE:

5

1. Resolver las siguientes ecuaciones irracionales:

a) 42 1-xx b) 1-x320x

c) 06 1-2x4x d) 0 4-x1x92x

2. Racionalizar las siguientes expresiones:

a) 57

75

b)

35

53

3. Halla todas las soluciones de las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) sen x = 0

b) cos 2x = 2

2

c) 1 + cos x = 0 d) tg 3x = -1

4. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas, dando todas sus soluciones:

a) cos 2x – 3 sen x + 1 = 0 b) sen x – sen 2x = 0

c) 4

tgx

3

xsen2

d) sen x + cos x = 0 e) 2 tg2 x + sec2 = 2

5. Determina si son ciertas las siguientes igualdades: a) tg (45 + a) – tg (45 – a) = 2 tg 2a b) ( cos x + sen x)2 = sen 2x + 1 c) (tg x + ctg x)2 = sec2 x + cosec2 x

6. Dadas las rectas r ax – 2y + 3 = 0 y s

λ-1- y

2λ1x Calcular “a” :

a) Para que r y s sean paralelas b) Para que r y s sean perpendiculares


ÀMBIT CIENTÍFIC


ALUMNE:

6

7. Los puntos A(-1 , 3), B(5 , 6) y C(7 , 1) son vértices consecutivos de un paralelogramo. Hallar el cuarto vértice D.

8. Calcular el valor de x para que el punto A(x,-3) pertenezca a la recta que pasa por B(1,-1) y C(4,7)

9. Dados el punto A (1,1) y la recta r : 12

2

y

x se pide:

a) Comprobar que A no pertenece a r b) Calcular la ecuación de la recta que pasa por A y es perpendicular a r. c) Obtener las coordenadas del punto simétrico de A respecto a r.

10. Calcular el dominio de las funciones:

23xx yd) 12xx

4xxlog yc) xx yb)

2xxx

5-3x ya) 3

2

33 3

23

11. Representar las funciones:

-1 xsi 5 x

-1 xsi 32x x- f(x) f) 3 -2x x f(x) e) 2x f(x) d)

x2 si 4

2x0 si 1x

0 xsi 1-3x

f(x) c) 1, xsi 0

3,1 xsi 2x x- f(x) b)

1 xsix -2

1 xsi 2

1 xsi x

f(x) a)

2

2

22

2

12. Calcular los límites siguientes:

32xx4x

55x2xlím c)

52x

35x2xlím b)

7xx

35xlím a)

23

23

x

3

x2x

13. Calcular las asíntotas de las funciones:

32xx

2-5x yd)

x

12x5x yb)

9x

15x3x ya)

2

2

2

2


ÀMBIT CIENTÍFIC


ALUMNE:

7

14. Calcular los puntos de discontinuidad de la función siguiente:

2xxx

5-3xy

23

15. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

-1 xsi 5 x

-1 xsi 32x x- f(x) f) 3 -2x x f(x) e) 2x f(x) d)

x2 si 4

2x0 si 1x

0 xsi 1-3x

f(x) c) 1, xsi 0

3,1 xsi 2x x- f(x) b)

1 xsix -2

1 xsi 2

1 xsi x

f(x) a)

2

2

2

2

2

17. Calcula el valor de k para que el límite 2

42lím

2

23

2x

xx

xkxxsea un

número real. Calcula cuál es ese número.

18.Calcular la derivada de las funciones siguientes:

a) 23x=y b) 45x=y c) 534x=y d) 3+2x-4x5x =y 34

e) 5+xxx5

2=y 23 34 f) 1-x5x2+3x=y 2 2

19. Aplicando la regla de la cadena, calcula la derivada de las siguientes funciones:

a) y = (5x +3)5 b) x27 2x=y c) y = 3x2(x2+3)8

d) 2-3x

2+3x=y e)

x-1

x+1=y f)

232x

3+2x=y


ÀMBIT CIENTÍFIC


ALUMNE:

8

g) y = L(2x-1) h) 1-2x

1+2xln=y i) y = x3 L(x2-1)

j) 2-5x3 e x=y k) x

xln=y l)

2

2x

x

e=y

20. Calcula la derivada de las siguientes funciones trigonométricas:

a) y = sen x2 b) y = sen2 x c) y = sen (x2 + 2x + 3)

d) y = cos (7x2 + 3) e) y = cos 2x f) x

1 +2x sen =y

g) y = 2xe cos h) y = 22 xsen 3 i) y = sen 2x · cos 3x

k) y = 2x sen l) y = tg 5x2 m) y = tg ( x3 + 2x)

n) y = tg 2 ñ) y = tg e2x o) y = Ln(sen 5x)

p) y = tg 5x2 q) y = tg2(10x)

21. a) Calcular la segunda derivada de y =3x + 1

x2 3

b) Calcular la tercera derivada de y = cos 3x.

c) Calcular la cuarta derivada de y = e2x

22. Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a las curvas siguientes

en los puntos que se indican:

a) y = x4 – 2x + 3 en el punto (-1, 6)

b) y = 2x3 + x2 + 1 en el punto de abscisa -1


ÀMBIT CIENTÍFIC


ALUMNE:

9

c) 2x1

xy

en el punto (2,

5

2)

23. Calcular la ecuación de la tangentes a la función y = 3x2 + 6x – 2 paralelas

a la recta de ecuación 6x + 3y + 5 = 0

24. Calcular las ecuación de la tangente a la función x-4

4+x=y en el punto x = 2

25. Calcular las ecuación de la tangentes a la función y = x4 – 2x2 que sean

horizontales

26. Halla la pendiente de la tangente a cada una de las siguientes curvas en el

punto dado:

a) 3x2 + y2 =7 en el punto (-1,2)

b) x3 - 3xy + y2 = 8 en el punto (-2,2)


punto dado:

a) 3x2 + y =7 en el punto (2,-1)

b) x3 - 3x + y = 8 en el punto (-1,0)


punto dado:

a) -x2 + y =7 en el punto (1,2)

b) x3 - 3y + = 8 en el punto (2,-2)

29. Hallar b, c y d en la función f(x) = x3 + bx2 + cx + d para que tenga un punto

de inflexión de abcisa x = 3, y alcance un mínimo en el punto (1,0)


ÀMBIT CIENTÍFIC


ALUMNE:

10

30. Determinar a, b, c y d para que la función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tenga un

punto de inflexión en (-2, 6) con tangente en él paralela a la recta 8x + y +

10 = 0 y tome el valor –2 para x = 0

31. Calcula la derivada n-ésima de las siguientes funciones:

a) y = e2x

b) y = x·ex

c) y = sen (3x)

32. Estudia y representa las siguientes funciones:

a) y = x3 + x2 b) y = x4 – 4x2 c) y = x

1x2

d) 2

2

x1

xy

e)

1x

xy

2

2

f)

82x

xy

2

3

33.En una amplia pradera atravesada por un camino recto se quiere vallar un campo rectangular tomando como uno de sus lados el camino. Se sabe que el metro de valla del lado del camino vale a 100 € el metro y la de los otros lados a 20 € el metro. ¿Cuál es la medida del mayor campo que se puede vallar con 36000 €?

34. De entre todos los triángulos isósceles de perímetro 30 cm, ¿cuál es el de área máxima?

35. Se quiere construir un recipiente cónico cuya generatriz mida 10 cm y tenga capacidad máxima. ¿Cuál debe ser el radio de la base?

36. Se quiere construir una ventana rectangular con 2 m2 de luz. Se sabe que el precio del marco vertical es de 80 €/metro y el horizontal 10 €/metro. ¿Cuáles serán las medidas del marco más económico?

37. Encuentra las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede inscribirse en un círculo de radio 4 m.


ÀMBIT CIENTÍFIC


ALUMNE:

11

38. Se quieren vallar dos campos de deporte rectangulares iguales con un lado común con 600 m de valla (se trata de vallar el contorno de ambos y el lado de separación). Halla las dimensiones si el cercado encierra una superficie máxima.

39. Se sabe que el rendimiento r en % de un estudiante que realiza un

examen de una hora viene dado por: rt300t1tsiendo 0 < t < 1

a. Explica cuándo aumenta y cuándo disminuye el rendimiento. b. ¿Cuándo se anula?. c. ¿Cuándo es máximo?

40. Se desea construir una lata de conserva de área total 150 cm2 y de volumen máximo. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones?

41. Un jardinero desea construir un parterre con forma de sector circular de 40 m de perímetro, ¿qué radio debe de tener el sector para que el parterre tenga la mayor superficie posible?

42. Una noche oscura y lluviosa, la temperatura T (en grados centígrados)

varió con el tiempo t (en horas) según la función Ttt 2 9t 8 si 0 t

12 . a. ¿Qué temperatura había a las dos de la mañana? b. ¿A qué hora hubo una temperatura de cero grados? c. ¿Cuál fue la temperatura máxima?¿A qué hora se produjo? d. ¿Cuál fue el intervalo de variación de la temperatura desde las 0 horas

hasta las 12 horas?

e. Dibuja la gráfica de la función en el intervalo 0,12horas.

43. Se quiere construir una pista de entrenamiento que consta de un rectángulo y de dos semicírculos adosados a dos lados opuestos del rectángulo. Si se desea que el perímetro de dicha pista sea de 200 m, haya las dimensiones que hacen máxima el área de la región rectangular.

44. Encuentra las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un triángulo equilátero de 2 m de lado si el rectángulo tiene dos vértices consecutivos en un lado y los otros dos vértices uno en cada uno de los lados del triángulo.

45. Calcula las dimensiones de un cono cuya generatriz es constante e igual a 12 m si su volumen ha de ser máximo.


ÀMBIT CIENTÍFIC


ALUMNE:

12

46. Se ha estudiado el rendimiento de los empleados de una oficina a mediada que transcurre la jornada laboral. (Dicho número corresponde al número de instancias revisadas en una hora). La función que expresa dicho

rendimiento es: Rt30t 10,5t 2 t3 siendo t el número de horas

transcurridas desde el inicio de la jornada laboral. Determina cuándo se produce el máximo rendimiento y cuándo se produce el mínimo rendimiento.

47. Se desea construir cajas de embalaje en forma de prisma cuadrangular recto de modo que sus tres dimensiones sumen 72. ¿Cuáles han de ser las dimensiones para que la capacidad de las cajas sea máxima?

48. Hallar los puntos de la curva y2 = 6x cuya distancia al punto P(4,0) sea mínima.

PROFUNDIZACIÓN PROGRAMA DEL DIPLOMA (BI):

1. Expressa en forma d’una sola arrel

a. 3 32

b. 35.0 2.5

c.

4

3

1

2

1

5

6.3

d. 23 aa

e.

12

3

10

5.7

f. n aa .2

2. Expressa de manera més senzilla:

a. 36753124

b. 5202125

3. Racionalitza i calcula:


ÀMBIT CIENTÍFIC


ALUMNE:

13

a.

66

66

b.

24

6

24

7

4. Calcula :

a) 22432

b) 75212337

5. Escriu com única arrel

a) 5,04

3

7·7 b) 2

1

3 10·100

c) 5

3

8

42

c) 32 · aa

6. Calcula i racionalitza les expressions següents

a) 33

33

33

33

b) )

32

3

8

1(·2

7. Resol les següents equacions

a) 2

2

13 x

b) 12 xx


ÀMBIT CIENTÍFIC


ALUMNE:

14

8. Indica quines de les següents expressions són polinomis. En cas que ho siguin, indica’n el grau:

a. 4

12 x

b. 145 2 xx

c. 16

4x

d. 16

5x

9. Trobar el domini de les següents funcions:

a. 473

85)(

2

xx

xxf

b. 2045

53)(

23

2

xxx

xxg

c. 322)( 2 xxh

d. xxxxp 30)( 23

e. )4282(log)( 2

2 xxxq

f. )823ln()( 2 xxxr

10. Troba el domini de les següents funcions:

a. f (x) = 3 - 52x

b. f (x) = 3x - 2x +4


ÀMBIT Científic-Tecnològic

MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg.

15

2013/14

ALUMN@:

15

c. f (x) = 2

2

x

d. f (x) = x2

3

e. f(x) = 1

12 x

f. f(x) = x

x

4

2

g. f (x) = 5

1

x

11. Troba els següents límits

a.

4lim

6x

x

b.

2

2lim xx

c.

3

182lim

2

3 x

x

x

d.

9

155lim

23 x

x

x

e.

96

9lim

2

2

3 xx

x

x

12. Troba els següents límits

a.

4lim x

x

b.

2lim xx

c.

3

182lim

2

x

x

x

d.

9

155lim

2x

x

x




16

2013/14

ALUMN@:

16

e.

96

9lim

2

2

xx

x

x

13. Calcular els límits següents:

a. x

x

x 24

62lim

2

4

b. 1

22lim

31

x

x

x

c. 34

9lim

2

2

3

xx

x

x

d. x

x

x 35

94lim

5

e. 2

23

3 9

1243lim

x

xxx

x

14. Troba el domini de la següent funció: f(x) = x

x

1

42

Calcula les seves asímptotes verticals i horitzontals. Troba els talls amb els

eixos i fes un dibuix aproximat de la funció. Digues el seu recorregut.

15. Trobeu el domini de la funció: f(x) = -x2 + 7x + 10

a. Amb l’ajuda de la primera derivada estudia quan és creixent i quan decreixent.

b. Amb l’ajuda de la segona derivada estudia quan és còncava i quan convexa.

c. Estudia els punts de tall amb els eixos. d. Fes un dibuix aproximat de la paràbola i indica on té el màxim. e. Digues quin és el recorregut.

16. Donada la funció f(x) = ax4 – 5x3 + bx2 – cx + 3. Calcular a, b i c de manera que:

a. La funció talla a l’eix d’abscissa en x = 3 b. La recta tangent en x = 2 és perpendicular a 2x + 4y + 100 = 0

c. 4)5.0( f




17

2013/14

ALUMN@:

17

17. Donada la funció: 84

363)(

2

x

xxxf

a. Trobar el seu domini i les asímptotes b. Trobar els intervals de creixement i decreixement c. Trobar els màxims i mínims

18. Trobar a i b de manera que f(x) = a ln x + b x2 + x tingui extrems relatius en els punts de abscisses x = 1 i x = 2, i dir, en cada cas, si es tracta d’un màxim o d’un mínim.

19. Donada la funció: 322

315)(

2

x

xxf

, trobar els punts en els que la recta tangent és paral·lela al eix de abscissa.

20. Considereu: 1

14)(

2

x

xxxf

a. Trobeu el domini i les asímptotes de la funció b. Calculeu els intervals de creixement i decreixement c. Calculeu els màxims i mínims

21. Considereu la funció definida per 1

1)(

2

x

xxf

a. Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica en el punt x = 0 b. En quin punt de la gràfica de la funció f la recta tangent és paral·lela

a la recta tangent que heu trobat en l’apartat anterior.

22. Considereu la funció: 2

61)(

xx

axf

, on a és un paràmetre. a. Calculeu el valor del paràmetre a sabent que f(x) té un extrem relatiu

en el punt d’abscissa x = 3 b. Aquest extrem relatiu, es tracta d’un màxima o d’un mínim? Raoneu

la resposta




18

2013/14

ALUMN@:

18

23. Considereu la funció:2

61)(

xx

axf

, on a és un paràmetre. Calculeu el valor del paràmetre a sabent que f(x) té un extrem relatiu en el punt d’abscissa x = 3

24. Considereu la funció: 7)( 234 cxbxaxxxf a. Calculeu els valors de a, b i c sabent que:

i. La recta tangent en el punt x = 0 és horitzontal ii. La funció té un extrem relatiu en x = -2 iii. La funció talla l’eix OX quan x = 1

b. Per als valors obtinguts, calculeu els intervals on la funció creix i decreix, els seus màxims i mínims.

25. Considereu: 1

32)(

2

x

xxxf

a. Trobeu el domini i les asímptotes de la funció b. Calculeu els intervals de creixement i decreixement c. Calculeu els màxims i mínims

26. onsidereu la funció definida per 1

1)(

2

x

xxf

a. Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica en el punt x = 0 b. En quin punt de la gràfica de la funció f la recta tangent és paral·lela

a la recta tangent que heu trobat en l’apartat anterior.

27 - Considereu les matrius

22

31A

i

22

31B

a) Trobeu la matriu M, quadrada d’ordre 2, tal que M · A = B.

b) Comproveu que 2M = I ( I matriu identitat d’ordre 2) i deduïu l’expressió de

nM

28 - Calculeu l’àrea del triangle ABC representat en l’esquema següent:




19

2013/14

ALUMN@:

19

28 - Del polinomi P(x) = x³+ax²+bx se sap que la seva recta tangent en el punt

x = 1 és paral·lela a la recta y = 7x-3 i també se sap que té un extrem en x = -1.

Calculeu a , b i l’ equació de la recta tangent en x = 1.

29 - La gràfica següent representa una funció polinòmica de segon grau

(paràbola).

a) Trobeu el vèrtex de la paràbola i les interseccions amb els eixos.

b) Determineu l’equació de la paràbola.

30 - Considereu la funció real de variable real x

mxxf

2)(

, on m és un

paràmetre real.

a) Calculeu el valor que ha de tenir m perquè la tangent a la gràfica de f (x) en el

punt d’abscissa x = –3 sigui paral·lela a la recta x – 3y + 1 = 0. Calculeu també

l’equació d’aquesta tangent.

Ara fixeu el valor de m = 1.

b) Determineu el domini de la funció i els intervals on és creixent o decreixent.

c) Determineu-ne les asímptotes.




20

2013/14

ALUMN@:

20

d) Dibuixeu un esbós de la gràfica resultant.

31- Donades les matrius:

11

11B i

22

24A

Trobar la matriu X tal que :

a. AX = B b. BX= A c. AX +A = BX +B d. AX = tB + X e. AX - tA = BX – tB

32- Considereu les matrius

23

21

12

30BiA

1. Trobeu la matriu X tal que X · A = Bt- X

2. Calculeu 10099 XiX .

MATRICES




21

2013/14

ALUMN@:

21




22

2013/14

ALUMN@:

22

(NOTA: EN ESTA PARTE DE “CONOCIMIENTOS” NO SE DEBEN REALIZAR

LOS EJERCICIOS QUE TRATEN SOBRE INTEGRACIÓN DE FUNCIONES (Y

CÁLCULO DE ÁREAS ENCERRADAS POR FUNCIONES)

CONOCIMIENTOS 1

1) (2 puntos)

2) (2 puntos)

3) (2,5 puntos)

Estudio de las asíntotas y de la monotonía (C/D, máx y mín y

Concavidad/Convexidad) de la función siguiente:

4) (2 puntos)

5) (1,5 puntos)




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ALUMN@:

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CONOCIMIENTOS 2

1) (2 puntos)

Representa gráficamente la función y.

2) (2 puntos)

Calcula también la monotonía (C/D, máx y mín) de la función y.

3) (3 puntos)

Estudio de las asíntotas y de la monotonía (C/D, máx y mín y

Concavidad/Convexidad) de la función siguiente:

4) (3 puntos)

Determinar el ángulo que forman las rectas siguientes:

2

1:23:1 yxryxr




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ALUMN@:

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Determinar también el punto de intersección de las rectas. Y finalmente

calcular las ecuaciones explícitas de sus bisectrices y representar gráficamente

las 4 rectas que intervienen en el ejercicio.

CONOCIMIENTOS 3

1) Estudi déxtrems (Màx-Mín-C/D) de la funció 1

222

x

xxxf

2) a) Donades les matrius RconCBc

A

11

11

11

10

01

0

calculeu 1 CBA

b) Si

10

01A calculeu per inducció 55A .

3) Calculeu els paràmetres a i b, tals que xxbxLnaxf 2)()( tingui extrems

relatius (màxims o mínims) en els punts x=1 i x=2. (Utilitzeu matrius si surt un S.E. de 2

equacions amb 2 incògnites)

4) Determineu lángle que formen les rectes següents (no utilitzeu decimals):

03358012 yxiyx

Representeu gràficament les rectes.

5) Calculeu els punts de la gràfica de la funció 12)( 23 xxxxf on la recta

tangent té pendent 3

1m . Determineu la equació explícita dáquesta recta tangent.

Dibuixeu un gràfic esquemàtic del problema.




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ALUMN@:

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CONOCIMIENTOS 4

1) Simplificar las expresiones polinómicas siguientes (obteniendo su forma más

compacta):

a) 16

1

3392

x

x

xxxx

x b) 1

2

22

23

xx

xxx

c) Desarrolla utilizando el binomio de Newton la expresión siguiente: 7)( cx , Rc

2) Factoriza y simplifica la siguiente función polinómica. Luego, representa gráficamente

la función de forma aproximada (utiliza la expresión simplificada e incluye las asíntotas

verticales si las hay).

67

31)(

234

2

xxxx

xxxf

3)Representa gráficamente de forma aproximada las funciones siguientes. Calcular

además: dominio, recorrido, cortes con abcisas, cortes con ordenadas, vértices y asíntotas

verticales:

a) 34)( 2 xxxf y a partir de su gráfica (tómala como base) y utilizando las

transformaciones de funciones representar también: )3( xf

b)

644

4262

1

232

)(

2

xsix

xsix

xsixx

xf .

4) Repaso de conceptos:

a) Una recta 1r pasa por los puntos A(0,4) y B(4,0). Determinar las ecuaciones explítitas de

2 rectas ( 2r y 3r ): 2r es paralela a 1r ; y 3r es perpendicular a 1r ; pasando ambas ( 2r y 3r )

por el origen de coordenadas.

b) Representa gráficamente la función: 2

1)(

xSenxf

. Indica su Periodo, Dominio y

Recorrido.




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2013/14

ALUMN@:

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CONOCIMIENTOS 5

1) Calcular la segunda derivada f´´(x) de las siguientes funciones:

a) xexf 2)( b) xLnxxf )( c) 41)( xLnxf

2) Realiza el estudio asintótico completo de la siguiente función (debe incluirse estudio AL

y gráfico orientativo de las asíntotas):

4

1)(

2

xxf

3)Estudiar la monotonía de la siguiente función (Intervalos D/C y extremos):

21

1)(

xxf

4) Calcular los parámetros a y b de la función:

RbaconxxbxLnaxf ,)( 2

sabiendo que presenta extremos en los puntos x=1 y x=2.

5) Responde a las siguientes cuestiones:

a) Define de forma ràpida en una sola frase el concepto geométrico de derivada de una

función en un punto.

b) Si )1,1()3,0( 21 vyv

, determina el ángulo que forman entre si ambos vectores.

c) Escribe la ecuación de una recta que sea paralela a la recta y=x+3 y pase por el origen de

coordemnadas.




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ALUMN@:

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CONOCIMIENTOS 6

1) Opera y expresa de forma simplificada :

10

20)632287)12520352) cxxxba

2) Racionaliza y simplifica las siguientes expresiones:

yx

xxy

yx

yxc

yxb

a

aa

2)

1))

3

3)Si tg x = 6, calcular el Sen x y el Cos x sin utilizar la calculadora y sin decimales. ¿En

qué cuandrante/s podría estar el ángulo x?

4) Simplifica las expresiones trigonométricas siguientes:

a)xSec

xSec 12 b) xSenxSecxCos 2

c) Comprueba que:

2

2

yxtg

yxtg

ySenxSen

ySenxSen

5) Siendo tg x = 2 y tg y = 3 calcula las siguientes expresiones. Utiliza las fórmulas de la

tangente del ángulo doble y la tangente de la suma.

)())2() yxtgbxtga




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ALUMN@:

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CONOCIMIENTOS 7

1) Soluciona los límites siguientes:

a) 6

92lim

5

3

x

x

x b)

132

1lim

45

6

xxx

x

x c)

3

3

2

32lim

xx

x

x

2) Soluciona los límites siguientes e interpreta gráficamente el resultado:

a) 2

6

4lim

x

x x

x

b)

xx

xx

x 23

510lim

5

24

0

c)

x

xx

x

66lim

2

0

3)Estudiar las asíntotas de las siguientes funciones (Incluir gráficas finales):

a) 1

)(2

x

xxf b)

xx

xxf

4

3)(

3

2

4) Analítica de la recta:

a) Hallar el punto de intersección (Pi) entre la recta 82:1 xyr y una recta 2r que pasa

por el origen de coordenadas y es perpendicular a la recta 1r

b) Gráfica completa del problema (gráfico GRANDE Y CLARO)

c) Obtener 1r en sus formas: implícita, segmentaria y vectorial.

5) Calcula el valor del parámetro k en las siguientes expresiones:

a) 001

lim2

kRksiendo

x

xx k

x b)

0012

34lim

3 2

24

kNksiendo

x

xx

kx




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2013/14

ALUMN@:

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CONOCIMIENTOS 8

1) Determinar un número positivo cuya suma con 100 veces su inverso sea mínima.

2) Calcular el diámetro de la base de un recipiente cónico de generatriz .3 m y de

capacidad màxima.

3) ¿Qué puntos (de abcisa positiva) de la gráfica 22)( xxf está más cerca del punto

que hace de “ordenada en el origen” en la recta 012 yx ? Adjuntar esquema del

problema.

4) a) Determina justificadamente la continuidad y la derivabilidad de la función xxf )( .

Adjuntar esquema del problema.

b) Explicar con detalle la continuidad y derivabilidad de funciones. Formulación analítica,

ejemplos numéricos, tipos de discontinuidades con ejemplos...

5) a) Obtener la ecuación de la recta (r1) tangente a la curva 1

1)(

2

xxf en el punto de

abcisa 2.

b) Obtener la ecuación de la recta (r2) tangente a la curva xexxf )( en el punto de

abcisa nula.

c) Obtener el ángulo entre las rectas r1 y r2 obtenidas en los apartados anteriores.

d) ¿En qué punto de abcisa la recta 012 yx es tangente a la función )()( xSenxf

NOTA: Adjuntar esquema del problema para cada uno de los apartados.




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ALUMN@:

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CONOCIMIENTOS 9

1) a) (1p.) Determinar dos números positivos cuya suma sea 30 y tengan mínima la suma

de sus cuadrados.

b) (1p.) Calcula la matriz X que se cumpla la expresión matricial siguiente: BXA 1

siendo:

43

21

21

01BA Calcula también el determinante de la matriz X.

2) a) (1,5p.) Determina el dominio, los puntos de corte con los ejes, las asíntotas, los

intervalos de Crecimiento/Decrecimiento y los extremos relativos de la siguiente función:

3

75)(

2

x

xxxf b) (0,25p.) ¿Qué tipo de discontinuidades presenta? ¿En qué puntos?

c) (0,75p.) Representa gráficamente la función f(x)

3) (2p.) Se sabe que 12)( 2 bxaxxf presenta un mínimo en el punto P(4,-4). Calcula

la abcisa 1x para la cual la ecuación de la recta tangente a la curva f(x) es ese punto 1x , es

paralela a la recta 613

yx

4) Dada la función definida por tramos siguiente:

Rbaxsix

xsibaxxf

,

232

2)(

2

a) (1p.) Encontrar los valores de los parámetros a y b que hagan que la f(x) sea derivable

en el punto x= 2 b) (1p.) Calcular: 3

1)( dxxf

5)a)Calcular la derivada de las siguientes funciones: 23 28)(18)( xxxfexf x

b) Calcular las integrales indefinidas siguientes: dxxedxx x 3 24 2

6) (2p.) Calcula el área encerrada entre el eje OX, las rectas x=1 y x=e, y la función

3

2)(

x

xxf




31

2013/14

ALUMN@:

31


Matemàtiques I 1er

BAT

22/5/14 EX6MAT1BAT

MODELO EXAMEN 6a AVALUACIÓ

NOM:__________________________________________________




32

2013/14

ALUMN@:

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EXAMEN FINAL JUNIO/2015

Realice 5 de los 6 ejercicios propuestos (2p. por ejercicio)

Recuerde entregar la TAREA “EXPLORACIÓN MATEMÁTICA” (+1p.)

1)

¿Cuánto vale el Área sombreada si el ángulo ?


Matemàtiques I –

6AV. 1

BAT

8/6/15 EX6MATBIBAT

EXAMEN 6 AVALUACIÓ

NOM:__________________________________________

__ Grup: ___




33

2013/14

ALUMN@:

33

2)

3)




34

2013/14

ALUMN@:

34

4)

5)

6)

Donats els vectors i , calcular m per que

a. Siguin paral·lels.

b. Siguin perpendiculars

c. Formin un angle de .

d. Tinguin el mateix mòdul.

Els crèdits de les diferents matèries es divideixen en unitats · 2015-11-05 · La data de...

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