InferirEntre las posibilidadesy su cuantificación

Plan NacionalAprender Matemática

CURSO PARA LA ENSEÑANZA

EncuEntro 2

NIVEL SECUNDARIO

Secretaría de Innovación y calidad Educativa

Dirección de Diseño de AprendizajesDirector: Hugo Labate

Desarrollo de contenido: Equipo del Programa Interdisciplinario para el Desarrollo Profesional Docente en Matemáticas (PIDPDM) del Departamento de Matemática Educativa del Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN, México. Coordinadora: Daniela Reyes. Diseño: Ricardo Cantoral, Rebeca Flores, Guadalupe Simón, Mario Caballero, Angélica Moreno, Rodolfo Fallas, Cristian Paredes, Moisés Aguilar, Viridiana García. Revisión: Luis Cabrera

Revisión técnica: Equipo de Matemática de la Dirección de Diseño de Aprendizajes

Plan Nacional de Lectura y Escritura / Coordinación de Materiales Educativos Coordinadora: Alicia Serrano Responsable de publicaciones: Gonzalo BlancoDocumentación gráfica: Javier RodríguezDiseño, armado y diagramación: Clara Batista, Juan De Tullio, Alejandra Mosconi, Mario Pesci, Paula Salvatierra, Elizabeth Sánchez Producción de gráficos: Fabián LedesmaFotografía: Gastón Garino, Santiago RadosevichEdición y corrección: Viviana Herrero, Myriam Ladcani, Daniela Parada, Jennifer PochneIlustraciones: Mariano PaisCartografía: José Pais

Presidente de la Nación Mauricio Macri

Jefe de Gabinete de MinistrosMarcos Peña

Ministro de Educación, Cultura, Ciencia y TecnologíaAlejandro Finocchiaro

Secretario de Gobierno de CulturaPablo Avelluto

Secretario de Gobierno de Ciencia, Tecnología e Innovación ProductivaLino Barañao

Titular de la Unidad de Coordinación General del Ministerio de Educación, Cultura, Ciencia y TecnologíaManuel Vidal

Secretaria de Innovación y Calidad EducativaMercedes Miguel

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Agenda

Momentos Actividades

Primer momentoPresentación 20 minutos

Retroalimentación de la implementación.

Actividad 1En parejas y entre todos.

Segundo momentoSituación de aprendizaje 65 minutos

Vivenciar dos situaciones de aprendizaje que potencien la significación de la probabilidad y de la combinatoria.

Actividad 2 40 minutosEn parejas.

Actividad 3 25 minutosEn pequeños grupos.

Tercer momentoAnálisis del diseño 50 minutos

Se analizan las variables de control, los objeti-vos de cada uno de los momentos y el rol que juegan las prácticas en el diseño.

Actividad 4Entre todos.

Cuarto momentocierre del encuentro 45 minutos

Rediseño de la situación de aprendizaje y generación de acuerdos para su implemen-tación en el aula.

Actividad 5Actividades y acuerdos para el próximo encuentro.

En parejas y entre todos.

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Presentación

Continuaremos con el proceso de desarrollo profesional docente problema-tizando la matemática escolar con el fin de propiciar un cambio de relación con ese conocimiento: potenciar fortalezas y fortalecer potencialidades.

En esta sesión se abordará otro contenido de relevancia para la formación ciudadana, como es actuar ante la incertidumbre: en muchas ocasiones nos en-contramos ante sucesos cuyo desenlace no podemos anticipar con exactitud, aunque conozcamos cuáles son los desenlaces posibles. Por ejemplo, la reali-zación de una inversión económica, el pronóstico del clima de una provincia, la determinación del ganador de un torneo deportivo, entre otras. En muchas situaciones de incertidumbre como estas se requiere tomar decisiones, por ello es importante que todo/a ciudadano/a sea capaz de tratar con la incertidum-bre con el objetivo de realizar inferencias.

Partimos de prácticas involucradas en el actuar de las personas que permi-ten significar, mediante el uso, las nociones que nos ocupan: probabilidad clási-ca y conteo en combinatoria. Para ello se considera la importancia de prácticas como visualizar, comparar, contar, medir, inferir, en el uso de la probabilidad y el conteo, con el fin de acompañar la construcción de los objetos matemáticos, superando la mecanización de aquellos contenidos previos que se consideran para abordar el tema.

Este segundo encuentro, con base en las situaciones de aprendizaje pro-puestas, tiene dos objetivos:

1. Significar el cálculo de la probabilidad, es decir, dar sentido a la relación parte-todo mediante el análisis de los resultados posibles y los resultados fa-vorables, reconociendo las posibilidades y cuantificándolas con relación a la totalidad.

2. Reconocer los elementos implicados en una configuración y el papel de estos en la cuantificación del total de posibilidades que se puede generar con dicha configuración.

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Contenidos y capacidades

Contenidos

NÚCLEOS DE APRENDIZAJES PRIORITARIOS (NAP)

INDICADORES DE PROGRESIÓN DE LOS APRENDIZAJES PRIORITARIOS

(IPAP)El reconocimiento y uso de la probabilidad como

un modo de cuantificar la incertidumbre en situaciones problemáticas que requieran:

Comparar las probabilidades de diferentes sucesos incluyendo casos que involucren un conteo ordenado sin necesidad de usar fórmulas.

Determinar la frecuencia relativa de un suceso mediante la experimentación real y comparar-la con la probabilidad teórica (como uno de los sentidos de la fracción).

1º/2º

AAÑÑ00

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Capacidades

Cognitivas

• resolución de problemas y pensamiento crítico. En particular: – Reconocer el tratamiento de la incertidumbre para la toma de decisiones

como herramienta fundamental para el desarrollo del pensamiento mate-mático.

– Reconocer el rol del orden en la actividad matemática relacionada con la combinatoria.

Intrapersonales

• Aprender a aprender. En particular: – Asumir el proceso de cambio de relación con el conocimiento matemáti-

co escolar. – Tener una postura crítica que permita reflexionar sobre la propia práctica. – Contar con una mirada estratégica en torno a la planificación de su pro-

puesta de enseñanza.

Interpersonales

• trabajo con otros y comunicación. En particular: – Trabajar de manera colaborativa, con base en la reflexión sobre aspectos

didácticos y matemáticos. – Considerar aspectos de la práctica docente que posibiliten la reinterpre-

tación de las acciones en el aula.

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Propuesta de trabajo

Primer momentoPresentación 20 minutosRetroalimentación de la implementación

Actividad 1En parejas y entre todos.

Actividad 1

Con el fin de analizar las experiencias en la implementación de la situación, les proponemos reflexionar de manera colectiva sobre los siguientes aspectos:

1. ¿Qué tipo de procedimientos emplearon los/as estudiantes en la situación de aprendizaje? Compartan con sus colegas su experiencia y encuentren simi-litudes y diferencias.

2. ¿Cuáles fueron las preguntas que más llamaron la atención de los/as es-tudiantes?

3. ¿Qué aspectos pudieron ponerse en común en el momento del debate colectivo con los estudiantes?

4. ¿Cuáles fueron los logros de los/as estudiantes? ¿A qué conclusiones pu-dieron llegar?

Orientaciones para el/la formador/a

Se recomienda organizar la actividad en parejas y posteriormente en colec-tivo. Se invita a los/as participantes a dialogar sobre los aciertos y desaciertos de la implementación de la situación de aprendizaje considerando la Guía de reflexión sobre la práctica.

La primera pregunta de la actividad tiene como punto central el reconoci-miento de la diversidad de estrategias que pueden generarse a partir del desa-rrollo de la situación de aprendizaje. La segunda pregunta tiene como objetivo determinar la o las preguntas de la situación que generaron los resultados de-seados para analizar el motivo del éxito. Las dos preguntas restantes (3 y 4) pretenden poner de relieve aspectos relevantes de la puesta en común de la situación de aprendizaje y valorar el logro de la actividad matemática desarro-llada por los/as estudiantes.

Durante la realización de la actividad, se sugiere que el formador circule por los grupos de trabajo para tomar nota de las cuestiones que se están discutien-do, de modo que pueda hacer un cierre grupal al finalizar la actividad, en el que sintetice las ideas, reflexiones u otros aspectos que hayan surgido.

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Segundo momentoSituación de aprendizaje 65 minutosVivenciar dos situaciones de aprendizaje que potencie la significación de la probabilidad y de la combinatoria.

Actividad 240 minutos. En parejas.

Actividad 325 minutos. En pequeños grupos.

Actividad 2

Les proponemos dos situaciones de aprendizaje para que las vivencien. Cada una se encuentra dividida en tres tareas que deberán resolver para cono-cer y profundizar en las ideas y en el contenido a trabajar.

1. Resuelvan las dos situaciones de aprendizaje.

2. Analicen las posibles estrategias que podrían desplegar los/as estudian-tes.

Se analizarán las situaciones de aprendizaje “La incertidumbre en dispositi-vos aleatorios” y “Los cambios de patentes en la Argentina” (en las páginas 49 a 69 del libro de estudiantes y en el anexo del cuadernillo Inferir).

Orientaciones para el/la formador/a

La realización de cada situación de aprendizaje tiene como finalidad poner a disposición de los/as docentes una posible secuencia de trabajo en torno a la probabilidad clásica (primera situación de aprendizaje) y el conteo en la combinatoria (segunda situación de aprendizaje). Se pretende que los/as cole-gas docentes vivencien cada una de las etapas que estructuran el diseño de la situación (etapa factual, procedimental y simbólica).

Durante la realización de la actividad, es importante que el formador circule por los grupos de trabajo, se sume al diálogo y tome nota de las cuestiones que se están discutiendo en cada grupo con el objetivo de incentivar la re-flexión profunda sobre cada una de las preguntas que abonen a la reflexión en las actividades posteriores y no quedarse únicamente en la resolución de las actividades planteadas, sino enriquecerlas con reflexiones sobre la manera en que los alumnos reaccionarían ante ellas. Se recomienda solicitar a los parti-cipantes que realicen anotaciones mientras desarrollan la situación de apren-dizaje, en las que se hagan explícitas las confrontaciones que se vivieron y las dificultades observadas.

Con el fin de propiciar reflexiones entre los participantes, se recomienda la lectura, nuevamente, del cuadernillo Inferir, donde se encontrará el análisis de cada una de las tareas y sus respectivos momentos.

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Actividad 3

Les proponemos reunirse en grupos de seis integrantes para reflexionar so-bre los aspectos relevantes que identificaron en las situaciones de aprendizaje propuestas. Para guiarse en la reflexión colectiva, les recomendamos conside-rar las siguientes preguntas junto con todas aquellas que surjan de ustedes.

1. ¿Qué elementos consideran significativos en ambas propuestas para el estu-dio de la probabilidad clásica y el conteo en la combinatoria?

2. ¿Cómo consideran la evolución de la complejidad de las actividades?

3. ¿Cuáles son las preguntas o actividades que llamaron más su atención de cada situación? ¿Por qué?

4. Tomando en consideración que las prácticas asociadas a ambas situaciones son visualizar, comparar, agrupar, contar, medir e inferir, ¿cómo correlacio-narían las tareas y su puesta en juego para construir una respuesta a las preguntas de la situación? Si tuvieran que realizar un orden de las prácticas en términos de lo que demanda o requiere cada tarea, ¿qué evolución pro-pondrían?

Orientaciones para el/la formador/a

Para esta actividad también se sugiere pasar por los equipos para escuchar sus reflexiones. Se recomienda identificar aquellos equipos que hayan teni-do observaciones diferenciadas y en una discusión grupal propiciar que se confronten dichas observaciones, para así robustecer la reflexión. Se sugiere, nuevamente, que las/os participantes tomen nota de sus respuestas para reto-marlas en la actividad siguiente.

Respecto de las preguntas propuestas, se espera que la reflexión gire en torno a diversos aspectos.

Pregunta 1. Para la primera situación de aprendizaje, se espera que se re-flexione en torno a los diferentes componentes implicados en el cálculo de la probabilidad: resultado de interés, número de resultados favorables y totales y la concepción de la probabilidad como una medida del grado de certidumbre/incertidumbre para anticipar la ocurrencia de un hecho. En el caso de la segun-da situación de aprendizaje, se espera que se reconozca el papel de la posición de los caracteres a partir de una comparación global y puntual para proceder a la cuantificación de las diferentes configuraciones posibles.

Pregunta 2. En la primera situación de aprendizaje se busca propiciar un tránsito de lo cualitativo a lo cuantitativo, a partir de diferentes comparaciones, en el tratamiento de lo probable y la incertidumbre. En la segunda situación de aprendizaje, se busca reconocer la importancia del orden de los caracteres y

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su papel en la cuantificación de las posibilidades totales. En ambas situaciones la complejidad tiene un grado creciente que evoluciona con base en las etapas factual, procedimental y simbólica, propias de la propuesta.

Pregunta 3. Algunas preguntas que pueden llamar la atención son aquellas que se consideran atípicas o que permiten generar discusiones sobre el conte-nido. En la primera situación, una de ellas es la pregunta 3 de la tarea 1. En ella se solicita la construcción de dispositivos aleatorios (ruletas) bajo ciertas con-diciones dadas. Se busca hacer explícito el papel de los sectores (área-ángulo) de la ruleta para generar ciertos resultados.

La pregunta 1 de la tarea 3 es otra pregunta atípica. Esta permite entrar en una discusión sobre las acciones a considerar para generar resultados desea-bles, es decir, analizar los efectos de la modificación de los elementos del bol en la ocurrencia de cierto suceso.

En la segunda situación, un ejemplo es la pregunta 2 de la tarea 1, que cues-tiona la funcionalidad y las implicaciones de integrar nuevos caracteres en el diseño de una patente.

Otro ejemplo es el inciso b de la pregunta 2 de la tarea 3, ya que propicia la identificación de patrones de cambio de los caracteres que conforman la patente. Es decir, cuántas emisiones de patentes se necesitan para que cierto carácter en una posición específica cambie (por ejemplo, de AA a AB).

Pregunta 4. Si bien, la evolución pragmática con base en la cual se propo-ne la situación de aprendizaje sobre la probabilidad es visualizar-comparar contar-comparar-medir medir-inferir y para la situación de aprendizaje sobre el conteo en combinatoria es visualizar-comparar comparar-agrupar com-parar-contar, cada uno/a de los/as integrantes podría realizar una construcción propia y generar, así, diversas propuestas. Este hecho permitiría evidenciar qué prácticas se han puesto en juego a la hora de enfrentar la situación.

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Tercer momentoAnálisis del diseño 50 minutosSe analizan las variables de control, los objetivos de cada uno de los momentos y el rol que juegan las prácticas en el diseño.

Actividad 4Entre todos.

Actividad 4

Con el fin de realizar el análisis del diseño, les proponemos reflexionar, de manera colaborativa, sobre los siguientes aspectos:

1. Identifiquen al menos dos variables de control didácticas1 que consideren de relevancia para el éxito de la situación de aprendizaje.

2. Para generar un ambiente que permita otorgar significado a la probabilidad y el conteo, el diseño de la situación de aprendizaje tiene las siguientes di-rectrices:

– desarrollo del lenguaje y el tratamiento de la incertidumbre en términos cualitativos y cuantitativos;

– elementos implicados en la medición de la probabilidad: resultado favo-rable, número de resultados posibles y número de resultados favorables;

– elementos implicados en la cuantificación del total de posibilidades que puede generar una configuración: tipo de caracteres, papel del orden y posibilidades totales.

¿Cuál es el(los) momento(s) de la situación de aprendizaje en el que consi-dera que se desarrolla cada una de ellas?

3. ¿Cómo contribuye al desarrollo del pensamiento matemático el trabajo a partir de prácticas socialmente compartidas?

1. Se supone que el concepto “variable de control didáctica” fue discutido previamente con los docentes participantes del curso para la enseñanza.

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Orientaciones para el/la formador/a

Se sugiere que las preguntas se discutan en parejas y luego se realice una puesta en común de las respuestas, anotándolas en el pizarrón con el fin de que el grupo pueda robustecer sus consideraciones de manera conjunta.

Pregunta 1. La idea de variable de control refiere a aquello que permite al diseñador favorecer o impedir una acción (cortar o no cortar, estimar o no esti-mar, mover la mano o no moverla, adelantarse o no adelantarse, etc.). Algunas de las variables de control que pueden surgir por parte del colectivo docente para la primera situación son: la forma de las ruletas, la elección de magnitudes a comparar, la variación del número de posibilidades de cada resultado posible y del número de resultados totales, la uniformidad de las fichas del bol. En el caso de la segunda situación son: cambio en el número total de caracteres de la patente, diferentes tipos de caracteres en la patente y cambio de posición de los caracteres.

Pregunta 2. La intención es hacer explícito en qué momento se hacen pre-sentes a lo largo del diseño las directrices propuestas. En la primera situación, el desarrollo del lenguaje y el tratamiento de la incertidumbre en términos cualitativos se plantea en la tarea 1, a partir de la reflexión de la ocurrencia de cierto resultado en las ruletas; el tratamiento de la incertidumbre en términos cuantitativos y los elementos implicados en su medición se promueven en las tareas 2 y 3 a partir de la comparación de un mismo resultado en diferentes experimentos y de las acciones a considerar para generar resultados deseados. En la segunda situación, los elementos implicados en la cuantificación de total de posibilidades que puede generar una configuración, y específicamente el tipo de caracteres y el papel del orden, se desarrolla en las tareas 1 y 2, a partir de la comparación de patentes; la cuantificación de las posibilidades totales se aborda en las tareas 2 y 3 a partir de la determinación del número total de patentes que genera un diseño bajo ciertas condiciones.

Pregunta 3. El trabajo a partir de prácticas permite que la cuantificación de la probabilidad y el conteo de las posibles configuraciones tenga una inten-ción dentro de la situación de aprendizaje y, por tanto, se le asigne un valor de uso. Específicamente, en las situaciones de aprendizaje que se discuten, la cuantificación de la incertidumbre y el conteo de las posibles configuraciones permiten la toma de decisiones.

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Cuarto momentocierre del encuentro 45 minutosRediseño de la situación de aprendizaje y ge-neración de acuerdos para su implementación en el aula.

Actividad 5 Actividades y acuerdos para el próximo encuentroEn parejas y entre todos.

Actividad 5

Para el proceso de implementación, es recomendable realizar un rediseño de la situación de aprendizaje propuesta considerando el contexto en el cual se encuentran trabajando con los/as estudiantes, o bien, en su defecto, retomar otras actividades que consideren pertinentes y puedan rediseñarse con base en una mirada alternativa sobre el conocimiento matemático escolar. Para ello, se recomienda reflexionar sobre los siguientes asuntos y/o preguntas:

1. Considerando el nivel y las características de sus grupos, ¿qué cambios le harían a la situación de aprendizaje para llevarla a sus aulas?

2. ¿Cómo organizarán la clase (tiempos, dinámica, materiales)?

3. ¿Cuál será su rol en cada una de las etapas?

4. ¿Cómo gestionarán la puesta en común?

5. ¿A qué conclusiones quieren arribar al finalizar la clase?

6. ¿Qué creen que debería quedar registrado en las carpetas? ¿Y en el piza-rrón?

Una vez que hayan tomado estas decisiones, les proponemos registrar los resultados obtenidos considerando la Guía de reflexión sobre la práctica.

Orientaciones para el/la formador/a

En esta sección se recomienda organizar la actividad en equipos, consideran-do las decisiones tomadas: rediseñar la situación, elegir una actividad alternativa, entre otras. Posteriormente, se les invita a realizar la programación de su clase considerando la Guía de reflexión sobre la práctica como protocolo de observa-ción para realizar la toma de datos producto de la implementación. Este será el sustento principal para reflexionar sobre los logros alcanzados en una propuesta de cambio donde los protagonistas son el cuerpo docente y los/as estudiantes.

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Recursos necesarios

El/la formador/a deberá contar con:

• el presente material impreso a color con sus respectivas anotaciones, para guiar la sesión;

• una lectura analítica en profundidad del material Inferir, donde se realiza la fundamentación de cada una de las tareas y sus respectivas preguntas y donde se da a conocer un análisis a priori de la situación de aprendizaje con bibliografía de referencia que sirve de apoyo para la reflexión;

• la versión digital (si pudiera proyectar) o impresa (para leer) de la Guía de reflexión sobre la práctica para orientar a los profesores en el momento de toma de datos.

Bibliografía

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Cañadas, C. y Figueiras, L. (2011). “Uso de representaciones y generalización de la regla del producto”. Infancia y Aprendizaje, 34 (4), 409-425.

Inzunsa, C. y Guzmán, M. C. (2011). “Comprensión que muestran profesores de secundaria acerca de los conceptos de probabilidad: un estudio explora-torio”. Educación Matemática, 23 (1), 63-95.

Jiménez, L. y Jiménez, J. R. (2005). “¿Enseñar probabilidad en primaria y se-cundaria? ¿Para qué y por qué?”. Revista digital: Matemática, Educación e Internet, 6 (1), 1-10.

Jones, G. A. (2006). “Introduction”. En G. A. Jones (ed.), Exploring probabili-ty in school: Challenges for teaching and learning (pp. 1-12). Nueva York: Springer Science & Business Media.

Roa, R. (2000). Razonamiento combinatorio en estudiantes con preparación matemática avanzada. Tesis de doctorado no publicada. Granada: Univer-sidad de Granada.

Ruiz, G. (2010). “El concepto de probabilidad en publicidad”. Suma, 65, 17-21.

Sánchez, E. y Valdez, J. (2013). “La cuantificación del azar: una articulación de las definiciones subjetiva, frecuencial y clásica de probabilidad”. Probabi-lidad Condicionada: Revista de Didáctica de la Estadística, 1, 39-46.

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Notas

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