Encuentro de culturas milenarias:

Maaya wıinik ich Stonehenge∗

Genaro Juarez Martınez1 y Adriana de la Paz Sanchez Moreno2

http://uncomp.uwe.ac.uk/genaro/publicaciones/

Septiembre 9 del 2007

1 Faculty of Computing, Engineering and Mathematical Sciences, University ofthe West of England, Bristol, United Kingdom.

genaro.martinez@uwe.ac.uk2 Departamento de Ciencias Sociales, Escuela Superior de Computo, Instituto

Politecnico Nacional, Distrito Federal, Mexico.apsanchezm@ipn.mx

Resumen

El presente artıculo fue inspirado a traves de un encuentro historicorealizado entre dos culturas milenarias en el pasado mes de Mayo al su-doeste de Inglaterra. Debemos presentar introducciones muy generalesacerca de la cultura Maya y Stonehenge, determinando las ancestralesrelaciones que los llevaron a establecer este vınculo. Despues discutimos,igualmente de manera muy general, la presencia de cırculos en el ReinoUnido y su relacion con Stonehenge. Finalmente, presentamos algunossimples resultados donde podemos encontrar cırculos emergiendo en sis-temas dinamicos discretos y su construccion desde principios geometricosbasicos. Aunque, debemos mencionar que no pretendemos dar una ex-plicacion cientıfica ni formal de tales relaciones, simplemente presentaralgunos resultados experimentales empıricos que hemos obtenido.

∗Escrito en Maya yucateco moderno y puede ser traducido como “Mayas en Stonehenge”o “Indıgenas Mayas en Stonehenge.”

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Historic celebration between cultures:Maaya wıinik ich Stonehenge1

Genaro Juarez Martınez1 and Adriana de la Paz Sanchez Moreno2

http://uncomp.uwe.ac.uk/genaro/publicaciones/

September 9, 2007

1 Faculty of Computing, Engineering and Mathematical Sciences, University ofthe West of England, Bristol, United Kingdom.

genaro.martinez@uwe.ac.uk2 Departamento de Ciencias Sociales, Escuela Superior de Computo, Instituto

Politecnico Nacional, Distrito Federal, Mexico.apsanchezm@ipn.mx

Abstract

This paper was inspired by a historic celebration between two thousand-year-old cultures in May 2007, England. We briefly introduce Mayan’sculture and Stonehenge, uncover their relations and explain whysuch a special ceremony occurred. Then we discuss circular struc-tures commonly found in United Kingdom and speculate how thesestructures might relate to Stonehenge. Finally, we demonstrate howemergence of the circular structures can be simulated in discrete dy-namical systems and derived from basic geometrical concepts. Thepaper is in no way formal or scientific explanation of the phenomenaobserved but rather demonstration of few experimental and empiri-cal results.

1Writing in modern Mayan (of Yucatan) and it could be translated like: “Mayan at Stone-henge” or “Indigene Mayan at Stonehenge.”

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1 Antecedentes y relaciones

Un punto de partida obligado es establecer la distancia en el tiempo en queambas culturas han sido posicionadas y su ubicacion geografica.

Figura 1: Situacion geografica de Chich’en Itza’ y Stonehenge. La figura dela izquierda ubica a Chich’en Itza’ en el estado de Yucatan, al sudoeste delos Estados Unidos Mexicanos. La figura del centro ubica a Stonehenge enAmesbury, al sudoeste de Inglaterra. La figura de la derecha solo ilustra laubicacion global entre ambos puntos.

1.1 Stonehenge

Stonehenge se encuentra al sudoeste de Inglaterra en el Reino Unido. En uncondado al norte de Salisbury conocido como Witshire perteneciente al distritode Amesbury, y en el entorno del rıo Avon que desemboca al oceano Atlanticoen el actual puerto de Bristol.

Figura 2: Vista general de Stonehenge actualmente (Julio del 2007).

Stonehenge es una palabra compuesta. Stone significa roca de material duro,solido y no metalico, y viene del viejo ingles ‘stan’ de origen germano relacionadocon la palabra holandesa ‘steen’ y la palabra alemana ‘stein’. Henge significa

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prehistorico monumento circular que consiste de rocas y viene de mediados delsiglo XVIII.

Recientes estudios indican que Stonehenge atraveso por tres etapas diferentesentre los anos 3,100 al 1,550 antes de la era cristiana (AC). Tal antecedente ubicasu origen prehistorico a principios de la era de bronce en la antigua Bretana.Un tema por demas interesante e inquietante hasta nuestros dıas, porque estosperıodos varıan segun la cultura en el mundo donde se utilizaron metales porprimera vez.

El perıodo calcolıtico o Edad de Cobre es un intervalo establecido en lahistoria de la humanidad para tratar de explicar la evolucion a la Edad deBronce, donde dicha transicion se situa ambiguamente entre los anos 6,000 al2,500 AC. En particular, dicha edad de bronce en las regiones de Grecia y Chinacomenzaron alrededor de los 3,000 AC. Sin embargo en la antigua Bretana estano comenzo hasta cerca de los 1,900 AC. Dicha edad se caracterizarıa porquese realizo la fusion entre el cobre con el estano y se le atribuye su invension ala region de medio oriente, establecida en el continente asiatico entre Siria y laregion Irani-Afgana, que ademas incluye la penınsula Arabiga.

Actualmente se tienen mas evidencias de que Stonehenge fue un templodedicado a los movimientos del Sol y la Luna. Sin embargo, no dejan de serfascinantes algunas historias que se convirtieron en leyendas, producto de laimaginacion de como fue construido Stonehenge. En un tiempo fue referidocomo el cırculo de los gigantes de piedra o petrificados. Otra fascinante leyendadicta que el mago Merlin con sus poderes magicos, trajo las colosales rocasdesde Irlanda para que sirvieran de sepulcro magnıfico y santuoso al entierro deAmbrosio y Pendragon, tıo y padre respectivamente del famoso rey Arturo enla mitologıa arturica. Por parte de la mitologıa griega, se contaba que el templofue construido por una raza de gigantes conocida como los hiperboreos y dichotemplo era dedicado al dios de la curacion, la luz, la verdad, el tiro con arco ytambien responsable de quien traıa las mortales plagas, conocido como el diosApolo, hijo de Zeus y Leto, ademas gemelo de Artemisa.

Sin embargo, gracias a los avances de la arqueologıa y la ciencia en general,se han logrado establecer propiedades relevantes para situar mas a Stonehengecomo un templo dedicado al Sol y la Luna [10]. Por mucho tiempo dicha con-struccion fue atribuida a la alta clase social conocida como Druidas en la culturaCeltica (sacerdotes de la religion Celta), de la cual podemos mencionar dieciseissiglos de historia donde esta cultura existio: entre los 800 AC y 800 DC (despuesde la era cristiana). Entonces, dada la antiguedad de las rocas, dichas relacioneshan sido totalmente descartadas. Actualmente, son referidas como civilacionespre-Celticas, que a su vez, pueden ser referidas de una manera mas adecuadacomo civilizaciones neolıticas, y aquı encontramos otro incomodo hueco dondeno podemos determinar que civilizaciones existieron, ya que no dejaron eviden-cias suficientes para conocer mejor de su existencia y por consecuencia de suevolucion.

Cada una de las colosales rocas tienen un peso que oscila desde dos hastamas de treinta y cinco toneladas. Historicamente, el material de estas piedrasno existio en la region por lo que tuvieron que ser traidas de otros lados, un

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punto de referencia cercano es que algunas de estas rocas fueron traidas del surde Gales. Ademas dada la antiguedad de la construccion, existen preguntas queno han sido contestadas hasta ahora. Por ejemplo, ¿como fueron trasladadasdesde distancias lejanas? y, ¿como fueron erigidas? En ambos casos, si no secontaba aun con las herramientas y avances para logralo.

Parte del interes en estas piedras es que no tienen algun trabajo previoen su forma, es decir, estan sin labrar, por lo que en particular este tipo demonumentos son conocidos como megalıticos o dolmenes. De esta manera, elmonumento prehistorico de Stonehenge esta construido basicamente de trilitosy estos forman los cırculos dentro del complejo, ademas de algunos monolitosque sirven como puntos de referencia y tambien forman pequenos cromlechs.

Figura 3: Vista cercana de algunos de sus trilitos.

Finalmente, Stonehenge es fuertemente relacionado como un templo dedi-cado al sol y la luna, principalmente a los movimientos de estos, para tratar dedeterminar de alguna manera el ciclo de los solsticios, quizas motivado por unanecesidad especıfica. Lo que hace conjeturar que dicho monumento prehistoricodebio haber sido de gran utilidad a las civilicaciones neolıticas en su progresivodesarrollo en la agricultura y la ganaderıa en la antigua Bretana.

Sin embargo, la determinacion real de su origen y estructura no puede serestablecida de una manera totalmente exacta actualmente y con elementos ir-refutables. Por lo que Stonehenge continua siendo uno de los monumentosprehistoricos mas enigmaticos en el mundo.

1.2 Cultura Maya

Los Mayas forman parte de una de las civilizaciones de la Mesoamerica pre-colombina, su inicio, desarrollo y decadencia se ubica entre los perıodos Clasico(200 AC) hasta el Posclasico (1,500 DC). Cultura localizada en territorios queforman parte de Mexico (Chich’en Itza’, Otolum y Bonampack, son las huel-las que los Mayas han dejado en este paıs), Belice, El Salvador, Guatemala yHonduras (a lo largo del litoral del pacıfico), como se ilustran algunos sitios enla figura 4. Su expansion territorial y desarrollo se vio marcada por diversosacontecimientos, pero, tambien, debido a las influencias de culturas vecinas (la

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Olmeca, la Zapoteca, la Mixteca y la Teotihuacana, en el caso de Mexico). Sedice que cada periodo fue estableciendo la pauta de crecimiento y civilizacionpara el siguiente, dandose con esto, cambios significativos que caracterizaron alos Mayas en sus diferentes momentos.

La zona Maya es variada en cuanto a su territorio; se aprecian contrastesentre terrenos rocosos y llanuras vastas y planas, incluso, las diferencias dealtitud producen variedad en el clima: fresco y templado en la mayor partede los valles, pero en muchas de las elevaciones dominan condiciones calidas ytropicales [2].

Figura 4: Presencia Maya en: Mexico (A) Chich’en Itza’ (ciudad al bordedel pozo de los Itzaes, conocido como Chichen Itza), (B) Tajın (ciudad delrelampago, lengua Totonaca), (C) Tollan (junto al tular, lengua Nahuatl, cono-cido como Tula), (D) Oxmal (tres veces edificada, Maya arcaico, conocido comoUxmal), (E) Tu’u’lu’um (lugar en la isla de los conejos, conocido como Tulum),(F) Otolum (tierra de casas fuertes, conocido como Palenque); Belice (G) PochHui Ha (el lugar de las tres colinas, conocido como Caracol); Guatemala (H)Yax Mutal o Yax Mutul (Tik’al, lugar de las voces o lenguas, conocido comoTikal) y Honduras (I) Oxwitik (conocido como Copan).

Las ciudades Mayas estaban formadas por edificaciones que formaban vivien-das, pero tambien los templos, los centros administrativos y los edificios dondese jugaba el juego de pelota.

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La mayorıa de los habitantes Mayas realizaban labores de la agricultura dela roza y quema,2 ademas de recoleccion en las costas. Tambien, el comercio fueuna de las actividades economicas que llegaron a ejercer de manera importante,pues ya se promovıa el intercambio de bienes y servicios.

La ideologıa Maya, de lo sobrenatural, dirigıa varios aspectos de la vida,como actividades cotidianas e, incluso, la manera en como hacerse de alimentosy otros recursos. En estos terminos, los Mayas podıan explicarse el caracter yel orden del mundo, situacion que permitio, entre otras cosas, el desarrollo desu civilizacion.

Representadas a traves de bajorrelieves de piedra, de pinturas en vasijas ymurales, de figurillas y codices, la religion y sus divinidades, reflejan el fuertevınculo con el cosmos, es decir, la tierra, el Sol, la Luna, las estrellas y todolo que forma parte de la naturaleza: los animales, las plantas, el agua y lasmontanas, era divino y con expresiones de lo sobrenatural [4].

Las principales divinidades, a quienes se les ofrecıan, ritos y sacrificios y porello venerados, eran los vinculados con la agricultura y la fertilidad; el dios dela Lluvia, Chac; el dios del Maız; el dios del Sol y la diosa de la Luna, y el sumocreador Itzamna, es decir, estas entidades dominaron la vida de los Mayas, alextremo de ofrecerles, incluso, hasta el “autosacrificio,” siendo la ofrenda masapreciada: la sangre (de un humano o de un animal).

No menos importante fue la conformacion de su estructura social, tambiendeterminada por esta vision cosmologica. El cosmos Maya era un sistema vivoy animado, en que cada uno de los poderes invisibles gobernaba a todos losaspectos del mundo visible, cada persona y grupo social tenıa un papel quedesempenar en este sistema, y toda la elaborada jerarquıa de las clases sociales,existıa para mantener el orden cosmologico [2]. De esta forma, el “chaman” de laaldea, quien tenıa los poderes sobrenaturales de curar enfermedades y adivinarel futuro, fue una de las primeras presencias de supremacıa en la sociedad Maya.

La arquitectura sagrada es de gran relevancia para esta cultura. Los templosllamados Ch’ul forman parte de un centro ceremonial; estos estaban dominadospor basamentos piramidales con templos en la parte alta. La estructura deltemplo se manifestaba de esa manera porque tenıa que simbolizar la montana,el lugar que permite a los mortales acercarse a los dioses [4].

Un aspecto interesante de estas estructuras piramidales era la relacionadacon el discurrir del tiempo y los ciclos del calendario; se pueden identificaredificios de caracterısticas arquitectonicas que se han calificado como posiblesobservatorios astronomicos; lo que nos lleva a senalar que el estudio de losastros y la interpretacion de sus fenomenos formaban parte importante de laspreocupaciones Mayas.

En este sentido, los vestigios hallados, y las diversas interpretaciones deestos, indican que los Mayas se sintieron fascinados por la marcha majestuosadel tiempo. Se senala que son el unico pueblo en el mundo que haya divinizado,no solo el tiempo en general, sino a cada uno de los perıodos que lo componen.

2Agricultura intensiva, y que constituıa el principal recurso economico, sobre todo, de laszonas rurales.

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Concebıan al tiempo a la vez como un aspecto cıclico, como una sucesion deetapas que se ajustaban unas con otras, y como una duracion infinita en elpasado y en el porvenir. Una gran parte de sus inscripciones reflejan esas ideas;tratan de calculos cronologicos y astronomicos y precisan fechas [1].

Figura 5: Cultura, costumbres, rituales y autentica descendencia Maya sobre-vive aun en nuestros dıas en Belice, El Salvador, Guatemala, Honduras y Mexico.

Un dato mas, que refleja el avance de conocimientos que tenıan los Mayas,se refiere a que inventaron la aritmetica posicional, principio segun el cual, ennuestro sistema decimal, cada cifra tiene un valor de diez veces superior al delas cifras del grupo que le precede, con esto les era posible escribir cualquiernumero, de manera mas facil que a los griegos o a los romanos, disponiendo lascifras en columnas [1].

Asimismo, los Mayas crearon una forma de escritura propia, interesante ycompleja en sus aspectos gramaticales y sintacticos, con respecto a otras cul-turas.

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Para el pueblo Maya, la musica, el canto y la danza representaban elementosimportantes, sobre todo, cuando se trataba de ceremonias de caracter religioso,aunque para celebrar matrimonios, funerales, festividades relacionadas con losciclos del calendario o un evento de ındole polıtico, los Mayas se preparabancon danzas y rituales particulares (danza sagrada, danza nupcial). Ademas, el“Juego de Pelota,” representaba la ceremonia de caracter ritual mas antigua deMesoamerica.

Los Mayas han aportado, sin duda, uno de los legados mas enriquecedoresentre los pueblos de Mesoamerica. Su arte, la vastedad de conocimientos en elcampo astronomico y matematico, la edificacion de sorprendentes ciudades ytemplos sagrados, su escritura propia, su religion, hacen de esta cultura, una delas mas significativas e interesantes en la historia del ser humano, en el mundo.

En este momento, hacemos una breve pausa para hablar especıfcamente deChich’en Itza’. Considerada el centro del imperio Maya despues de 918 DChasta alrededor de los 1,200. Hubicada al noroeste del estado de Yucatan.

Chich’en Itza’, podrıa considerarse la representacion mas viva de la culturaMaya y Tolteca. Sus ruinas son testigos de la invaluable herencia cultural-religiosa, y en su momento esta asumio el papel de ciudad guıa en Yucatan. Igualde sorprendentes, son las edificaciones construidas para llevar a cabo ceremo-nias religiosas y rituales a las entidades divinas mas importantes: Quetzalcoatl,a quien los Mayas le dieron el nombre de Kukulkan, que en lengua yucatecasignifica “serpiente quetzal” o “serpiente emplumada” Maya-Tolteca, y al diosde la Lluvia Chac, que para complacerle realizaban el culto al Cenote Sagrado.Tambien estan el “Castillo” y el “Templo de los Guerreros,” como monumentosceremoniales.

Chich’en Itza’, es calificada como una ciudad Maya donde se promovieronconocimientos sobre artes, medicina, y se encuentra lo que puede considerarse elobservatorio astronomico mas interesante del mundo Maya: Caracol, un edificiode planta circular, de dos pisos, construido en varias fases historicas sobre dosgrandes plataformas rectangulares superpuestas [4]. Se dice que tambien era untemplo destinado al culto de Quetzalcoatl.

Chich’en Itza’ gradualmente decayo alrededor del 1300 DC, sustituıda porMazapan en el papel de ciudad hegemonica de los pueblos Mayas-Toltecas [4].

1.3 Maaya wıinik ich Stonehenge

El pasado veinticuatro de Mayo se celebro por primera vez en la historia unritual Maya dedicado al sol en el prehistorico Stonehenge. Dentro del marco deactividades culturales del “Festival Internacional de Arte en Salisbury.”

Luis Nah, sacerdote y descendiente de 17 generaciones de la antigua civi-lizacion Azteca Chilam Balam, fue quien dirigio la mıtica celebracion en Stone-henge. Acompanado por el grupo Maya Hamba ’Kan (ecos del cosmo), formadopor nueve personas descendientes de los Itzaes de Yucatan, que nunca habıansalido de su lugar de origen a celebrar dicho ritual y en esta ocasion muy especial,tuvieron que viajar procedentes de la aldea Sajka Mucul a Stonehenge.

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Figura 6: Historico primer ritual Maya dedicado al Sol fuera de sus dominios.

Esta importante ceremonia serıa realizada como si fuera en la misma ciudadmesoamericana de Chich’en Itza’. Reproduciendo los sonidos ancestrales de losinstrumentos tradicionales de los tunkules o teponaztles. En la cultura Mayaestos instrumentos son considerados sagrados por las vibraciones que emiten yrepresentan la conexion del cuerpo con el cosmos.

Figura 7: Primer ceremonia Maya realizada en Stonehenge.

Anteriormente, se habıan celebrado en Stonehenge otro par de rituales.Primero, con los monjes Tibetanos, provenientes del Tibet (conocido tambiencomo el techo del mundo), ubicado al este de China, cuya religion o filosofıaes basada en el budismo Tibetano de los Lamas y su historia se remonta alsiglo VII. Despues, serıan los indıgenas Australianos, provenientes del conti-nente Oceanico. Historicamente sus dominios se extendıan por toda Australia,Tasmania y varias de sus islas cercanas. Su ancestral historia y ocupacion dedicho continente se remonta cerca de 42,000 anos atras, consecuentemente la

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diversidad en religiones y cultos, varıan dependiendo de la region.Finalmente, la cultura Maya tuvo una presencia particular, dados sus an-

cestrales rituales dedicados al sol. Celebrando por primera vez en su milenariahistoria, un ritual dedicado al sol en el mas antiguo monumento referido al soly la luna. Estableciendo dicha celebracion como unica en la historia.

2 Cırculos en el Reino Unido

Por otro lado, desde el ano 1678 supuestamente se tiene el primer antecedentedescrito en un grabado de madera sobre la descripcion de un cırculo en un campode cultivo. Pero estos se hicieron mas populares en los anos 60’s y a partir deahı han surgido varios relatos acerca de su formacion en el Reino Unido.

En primer instancia, viendo a Stonehenge desde una foto satelital podremosver con claridad la influencia para localizar formas circulares (figura 8). Por lotanto, parece claro que estos nuevos cırculos en los campos de cultivo Britanicoshan sido construidos e inspirados en las formas circulares de Stonehenge, agregan-dole un poco mas de atraccion turıstica a las zonas.

Figura 8: Vista satelital de Stonehenge.

Pero lejos de este tipo de supocisiones sin fundamento ni credibilidad alguna.Nos llamo la atencion, ¿como empezar a construir cırculos desde conceptosbasicos? y, posteriormente como estos pueden emerger en algunos sistemasdinamicos.

En general, podrıamos pensar en un cırculo como una figura geometricaplana que puede llegar a ser definida a traves de un lımite. Entonces podemosbasarnos en la conexion de simples lıneas rectas de la misma longitud, con la ideade construir una figura rectilınea. Si utilizamos unicamente una lınea en el planoentonces sera imposible lograr una conexion. Si utlizamos una segunda lınea,tampoco podremos construir dicha figura. Por lo tanto, al menos necesitaremosde tres lıneas iguales para construir un polıgono regular (figura 9). Algunaspropiedades interesantes pueden ser derivadas desde aquı, como por ejemplo,

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inscribir estos polıgonos en circunferencias que eventualmente entre mas lıneasutilicemos en cada paso, entonces mas nos acercara al lımite.

{ },, ,, ,, ,,Figura 9: Polıgonos regulares (a partir del triangulo) convergiendo a un cırculo.

En este momento podrıamos preguntarnos como tratar de llegar a construirun cırculo desde estos polıgonos regulares, como un problema de cubrir el planodesde un solo polıgono regular. Eventualmente si utilizamos unicamente cırculosresultara imposible cubrir el plano sin dejar huecos y sin que estos intersecten.

Figura 10: Cubriendo el plano desde un trıangulo equilatero a traves de difer-entes subconjuntos de hexagonos.

Por lo tanto, iniciamos con el polıgono regular mas pequeno. Una maneraen que estos pueden cubrir el plano sin dejar huecos, es construyendo pequenosrombos con un par de triangulos equilateros. Despues podemos indexar estosrombos uno tras otro, como si se tratara de un cinta para construir un flexagonoclasico [11]. Finalmente concatenamos las cintas y tendrıamos cubierto el plano,aunque no propiamente tratando de representar una forma circular sin dejarhuecos y tampoco sin intersecciones en su vista global.

Entonces regresamos al rombo original, e incorporamos dos nuevos triangulosindexados desde un vertice a 180 grados uno con respecto del otro. Si ademasincorporamos un segundo rombo y lo indexamos entonces hemos formandoun hexagono. La idea ahora es concatenar mas hexagonos al original, hastacubrir todas sus caras, en este paso hemos generado un nuevo subconjunto de

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hexagonos en un nuevo patron, y lo continuamos haciendo hasta generar nuevossubconjuntos cada vez mas grandes (figura 10). Si calculamos millones de ellosy generamos una vista global de este patron irregular, entonces veremos comoun patron circular empieza a definirse desde una vista macroscopica.

El antecedente de estos patrones irregulares definiendo formas circulares esdiscutido porque debemos referirlo en las siguientes subsecciones.

Es comun encontrar en el mundo real formas circulares que a traves de unarevision cuidadosa no son exactamente circulares. Una muestra directa de elloes la representacion del mismo cırculo o una simple lınea en un sistema degraficacion, por ejemplo, en una pantalla o una impresion.

Figura 11: Construyendo lıneas en el plano con elementos indivisibles.

Si tomamos un pixel (unidad mas pequena e indivisible de una pantalla)como la unidad basica en nuestra sistema, nos daremos cuenta que resultara unproblema construir lıneas en diferentes angulos.

La figura 11 ilustra como podrıamos construir estas lıneas desde dos polıgonosregulares diferentes o desde cırculos. El problema es construir lıneas en cier-tos angulos, forzosamente tendrıamos que usar alguna tecnica para que esta seapreciara lo mas fina posible en nuestra pantalla. El ejemplo ilustrado con lostriangulos equilateros parece ser una buena opcion. Sin embargo, si recordamosque nuestro arreglo cuadriculado representa un pixel y es indivisible, es logicoque no podrıamos posicionar dichos polıgonos de esa manera en cada pixel.Finalmente, la lınea mas pequena, es presisamente un pixel en nuestra pantalla.

2.1 Cırculos representando funciones

Dentro de la familia de patrones circulares construidos en los campos Britanicos,es posible identificar algunas construcciones interesantes y que pueden ser rela-cionados fenotıpicamente con algunas funciones matematicas.

Algunos sistemas populares en la construccion de patrones “atractivos” apartir de funciones recurrentes en procesos iterativos, son los conocidos comofractales. Los fractales se caracterizan por ser distintos de simples figurasclasicas (geometrıa Euclidiana) tal como el cuadrado, el cırculo, la esfera, etc.

En terminos generales, un fractal es un objeto que muestra similidad asımismo, podemos decir, en todas sus escalas. Aunque, no es necesario que pre-sente exactamente la misma estructura en todas sus escalas, sin embargo, elmismo tipo de estructuras deben aparecer en todas sus escalas. Los fractales

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fueron inventados por Benoit Mandelbrot y el mas popular y referido precisa-mente es conocido como el Conjunto de Mandelbrot [12].

Figura 12: Patron fractal construido desde el conjunto de Julia.

De manera general, podemos hablar de otra funcion recurrente con con-stantes complejas y moviendose en el plano complejo, referido como el Conjuntode Julia. Entonces bajo ciertas condiciones iniciales aplicando la funcion inversa,se puede producir un patron fractal (figura 12).

Figura 13: Cırculos en los campos de cultivo en el Reino Unido.

En este camino, uno de estos patrones circulares en los campos Britanicospuede ser relacionado fenotıpicamente por su forma, a la construccion fractalde la figura 12, tal como podemos verlo en la figura 13.

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2.2 Funciones representando cırculos

En esta seccion debemos ilustrar nuestros resultados experimentales y empıricosen la busqueda para construir cırculos o patrones circulares. En el area desistemas dinamicos discretos, especıficamente, utlizando automata celular.

Estos sistemas pueden evolucionar en n-dimension (donde n pertenece aldominio del conjunto de los enteros positivos), evolucionando en paralelo. Peroen este caso, realizamos nuestro analisis solo en dos dimensiones y con doselementos en su alfabeto [13]. A diferencia de los fractales estos modelos semueven en espacio, tiempo y estados discretos. No obstante, en algunos casosalgunas funciones de automata celular pueden generar patrones como fractales,como se ilustra en la primera evolucion de la figura 14.3

Figura 14: Patron fractal y circular respectivamente desde automata celularbinario aditivo bidimensional.

La segunda evolucion de la figura 14 ilustra un patron creciendo de formarealmente circular con otra funcion diferente a la primera. Este ejemplo ha sidoestudiado algun tiempo, ya que se tenıa la conjetura de que dicho crecimientodeberıa ser circular siempre. Sin embargo, algunos resultados en los ultimostiempos indican que en un muy largo tiempo de evolucion, surgen ‘picos’ enalgunos de sus extremos.

Otro par de ejemplos ilustran el surgimiento de patrones circulares dentrodel espacio de evoluciones en este tipo de automata celular. En algunos casoslos cırculos pueden ser preservados una vez que son construidos. Pero en otroscasos, estos solo surgen por algun tiempo de la evolucion y despues desaparecen.Entonces debemos presentar un ejemplo para cada caso.

3Cellular automata gallery http://uncomp.uwe.ac.uk/genaro/gallery/CAgallery.html

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La primera evolucion de la figura 15 tiende a crecer lentamente, casi como uncırculo pero sin alcanzarlo realmente. Lo que es caracterıstico de esta evolucion,es que puede llegar a construir algunos cırculos pequenos o elıpses y estos seconservan todo el tiempo una vez que son construidos.

Figura 15: Cırculos emergiendo como patrones dentro de las evoluciones bidi-mensionales en automata celular binario aditivo.

La segunda evolucion de la figura 15 ilustra una expansion de uno de losestados en el espacio de evoluciones, como un crecimiento. Este automata celu-lar tiende a crecer mas rapido que el ejemplo anterior. Pero lo caracterısticode esta funcion, es que puede llegar a construir diferentes formas dentro de sumisma evolucion, sin embargo, tienden a desaparecer despues de un determi-nado numero de iteraciones. En este caso, es posible identificar cuatro formascirculares en el extremo de los puntos cardinales, simetricas y acompanadas deun cırculo central que conecta los puntos diagonales con rectas oblicuas.

3 Notas finales

La prehistorica historia de Stonehenge y de la cultura Maya son por demasdignas de estudiarse independientemente. Sin embargo, esperamos haber lo-grado captar parte de sus aspectos mas interesantes y explicar el motivo queconllevo a una conexion entre ellos, para realizar un ritual tan especial dedicadoprecisamente al sol.

En este punto, debemos resaltar la participacion relevante de nuestros in-valuables “Indıgenas Mexicanos.” Que han tenido que luchar durante miles deanos, y hasta la fecha, para defender su identidad, costumbres, respeto, espacio,lengua y legado. Paradojicamente, ellos son mas reconocidos, respetados y val-orados en otros lados del mundo, donde la educacion trata de situar el real valorhistorico-humano de sus ancestrales descendencias y de la cual deberıamos sen-tirnos muy orgullosos y respetuosos. Ademas en la misma proporcion, muy pre-

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ocupados por regresarles el lugar que originalmente les pertenece, como tambien,la eventual solucion de una larga lista de problemas que existen.

La segunda parte del artıculo, lejos de tratar de explicar la construccion deformas circulares en los campos de cultivos Britanicos, en su lugar, despertonuestro interes por la construccion de cırculos, a partir de ideas y conceptosbasicos hasta modelos matematicos mas complejos.

Reconocimientos

Especialmente al Prof. Harold. V. McIntosh por la inspiracion y originalsugerencia. Al Prof. Andrew Adamatzky quien motivo una ultima visita aStonehenge. Ademas el presente artıculo fue soportado por el “Engineeringand Physical Sciences Research Council,” del Reino Unido (EPRSC, referen-cia EP/D066174/1). Las imagenes de Stonehenge fueron tomadas de nuestropropio aservo fotografico, excepto la imagen satelital que fue tomada del mapade google. Las imagenes geograficas fueron capturadas de google earth. Lasimagenes referidas a la cultura Maya y formas circulares en Stonehenge fuerontomadas del banco de imagenes de google. Las imagenes refiriendo el ritualMaya celebrado en Stonehenge fueron tomadas de los sitios de internet de laBBC, El Paıs y la pagina oficial del festival de Salisbury.

Referencias

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[2] Roberto J. Sharer, La civilizacion maya (3a. edicion en espanol), Fondo deCultura Economica, Mexico, 1998.

[3] Linda Schele y David Freilel, Una selva de Reyes: La asombrosa historiade los antiguos mayas (1a. edicion en espanol), FCE, Mexico, 1999.

[4] Marıa Longhena, Mexico Antiguo. Historia y Cultura de los pueblos deMesoamerica, Editorial Oceano, Mexico, 2005.

[5] Juan R. Bastarrachea Manzano, Diccionario Espanol - Maya y DiccionarioEspanol - Totonaca, http://aulex.ohui.net/, Universidad de Yucatan,Mexico, 2006.

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[9] Michael Kellogg, Online English, French, Italian, Spanish and PortugueseDictionary: WordReference, http://www.wordreference.com/, 2007.

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[10] Jesus G. Rodrıguez Flores, “Stonehenge, donde los astros y dolmenesdanzan,” Sociedad Astronomica de La Laguna, Durango, Mexico. http://www.astro-digital.com/3/stone.html

[11] Harold V. McIntosh,“Trigonal Flexagons,” http://delta.cs.cinvestav.mx/∼mcintosh/comun/trigonal/trigonal.html, 2000.

[12] Harold V. McIntosh,“Julia Curves, Mandelbrot Set,” http://delta.cs.cinvestav.mx/∼mcintosh/oldweb/pothers.html, 2001.

[13] Andrew Adamatzky, Genaro Juarez Martınez and Juan C. Seck TuohMora,“Phenomenology of reaction-diffusion binary-state cellular au-tomata,” International Journal of Bifurcation and Chaos 16 (10), 1–21,2006.

== Organizaciones ayudando a las comunidades Indıgenas ==

[14] Red de Informacion Indıgenahttp://www.redindigena.net/

[15] Indigenous Peoples’ Rights & Advocacy Organizationshttp://www.aaanet.org/committees/cfhr/orgindig.htm

[16] Organizations providing support for the rights of indigenous peopleshttp://www.psych.ucsb.edu/research/cep/eldorado/survival.html

[17] Comision Nacional para el Desarrollo de los Pueblos Indıgenashttp://cdi.gob.mx/

[18] Dialogo intercultural sobre temas de interes indıgena y ecologicohttp://www.servindi.org/

== Fuentes de informacion masivas ==

[19] “Recibira Stonehenge primer ritual maya celebrado en Europa,” El Univer-sal, http://estadis.eluniversal.com.mx/articulos/40220.html, 28de Mayo del 2007.

[20] “La lluvia cesa en Stonehenge para que un ritual maya honre al Sol,”Los Tiempos, http://www.lostiempos.com/noticias/31-05-07/31 0507 ultimas cul1.php, 31 de Mayo del 2007.

[21] “Chichen Itza en Stonehenge,” El Paıs, http://www.elpais.com/articulo/sociedad/Chichen/Itza/Stonehenge/elpepusoc/20070531elpepusoc 9/Tes, 31 de Mayo del 2007.

[22] “Ritual Maya en Stonehenge,” BBC Mundo, http://news.bbc.co.uk/hi/spanish/misc/newsid 6713000/6713685.stm/, 1 de Junio del 2007.

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[23] Palabras en vivo del sacerdote Luis Nah en UK, BBC Mundo,http://news.bbc.co.uk/media/avdb/world service/spanish/audio/97000/bb/97921 au bb.ram, 1 de Junio del 2007.

[24] “Mayan Ceremony (Stonehenge),” Salisbury International Arts Fes-tival review, http://www.efestivals.co.uk/festivals/others2007/salisbury/review-mayanceremony.shtml, June 7, 2007.

[25] “Ritual Maya en Stonehenge,” Blogultura, http://blogultura.com/historia/ritual-maya-en-stonehenge/, 2007.

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