ENERGIA POTENCIAL.

EXPLIQUE BREVEMENTE QUE SE CONOCE COMO ENERGIA PARA MOVER UNA CARGA PUNTUAL EN CAMPO ELECTRICO, OBTENGA EL TRABAJO DIFERENCIAL QUE EL AGENTE EXTEMO REQUIERE PARA DESPLAZAR UNA CARGA.

La intensidad del campo eléctrico se definió como la fuerza por cada unidad de carga que se ejerce sobre una pequeña carga de prueba unitaria colocada en el punto en donde se desea encontrar el valor de este campo vectorial. Si se intenta desplazar la carga de prueba en contra del campo eléctrico, se tiene que ejercer una fuerza igual y opuesta a la que ejerce el campo, lo cual requiere un gasto de energía debido al trabajo que es preciso realizar. Si se desea que la carga se mueva en la dirección del campo, el gasto de energía se torna negativo; no hay que realizar trabajo, el campo lo hace.

Supóngase que se quiere desplazar la carga Q a una distancia dL en un campo eléctricoE. La fuerza que ejerce sobre Q el campo eléctrico es

FE=QE(1)

en donde el subíndice señala que esta fuerza se debe al campo. La componente de la fuerza enla dirección dL, la cual se debe vencer, es

FEL= F · aL= QE · Al

en donde aL es un vector unitario en la dirección de dL.La fuerza que debe aplicarse es igual y opuesta a la que ejerce el campo,Fapl= −QE · aL

y el gasto de energía es el producto entre la fuerza y la distancia. El trabajo diferencial querealiza el agente externo que desplaza a Q es igual a Q = −QE · aL dL = −QE · dL

o dw=QE .dL (2)

donde se ha sustituido aLdL por la expresión más sencilla, dL

Esta cantidad de trabajo diferencial requerido puede ser cero en ciertas condiciones que se determinan fácilmente mediante (2). Existen las condiciones triviales en las cuales E, Q o dL son cero, y un caso, mucho más importante, en el cual E y dL son perpendiculares entre sí. En este último caso la carga se desplaza en una trayectoria cuya dirección siempre forma ángulos rectos con el campo eléctrico. Existe una buena analogía entre el campo eléctrico y el campo gravitacional, en ambos debe gastarse energía para moverse en contra de la dirección del campo. Deslizar una masa con velocidad constante sobre una superficie irregularsin fricción es un proceso en el que no se necesita realizar esfuerzo si la masa se desplazaa lo largo de un contorno con elevación constante; sin embargo, el movimiento a unamayor o menor elevación sí implica la realización de trabajo positivo o negativo, respectivamente.

Regresando al problema de la carga en el campo eléctrico, el trabajo necesario para moverla carga a una distancia finita debe determinarse cuando se integra,

W=−Q ∫inicial

Final

E .dL (3)

QUE SE CONOCE COMO INTEGRAL DE LINEA, INDIQUE A QUE SE REFIERE CADA COMPONENTE DE LA MISMA .Y CUAL ES EL SIGNIFICADO DE LA SUMATORIA DE LOS SEGMENTOS VECTORIALES DE LA EXPRESION DEL TRABAJO.

La expresión de la integral para el trabajo realizado al desplazar una carga puntual Q de unaposición a otra, ecuación 3, es un ejemplo de una integral de línea, la cual, en la notacióndel análisis vectorial, siempre tiene la forma de una integral evaluada a lo largo de una trayectoriapreestablecida del producto punto entre el campo vectorial y el vector diferencialde longitud dL de la trayectoria. Sin utilizar el análisis vectorial, se tiene que escribiren donde EL= componente de E en la dirección de dL.

A=−Q ∫inicial

Final

EL dL

Una integral de línea es esencialmente descriptiva y esta característica la comparte conotras integrales utilizadas en el análisis avanzado, incluyendo la integral de superficie queaparece en la ley de Gauss. Resulta más grato entender su significado que tratar de resolverla.La integral de línea sugiere escoger una trayectoria, dividirla en un gran número de segmentospequeños, multiplicar las componentes del campo paralelas a cada segmento por lalongitud del segmento y sumar todos los productos restantes. Esto es sólo una sumatoria,claro está, y el valor exacto de la integral se obtendrá cuando el número de los segmentosse vuelva infinito.Este procedimiento se indica en la figura 4.1, donde la línea curva representa la trayectoriaescogida desde la posición inicial B hasta la posición final A,1 y en donde se ha seleccionado

un campo eléctrico uniforme por simplicidad. La trayectoria se divide en seissegmentos, ∆ L1 ,∆ L2 ,…,∆ L6 , y las componentes de E paralelas a cada segmento son EL1,EL2, . . . , EL6. Entonces, el trabajo realizado en el movimiento de una carga Q desde B hastaA es aproximadamente

W=−Q(L1∆L1+EL2∆ L2+EL6∆ L6)

o utilizando notación vectorial,

W=−Q(E1 .∆ L1+E2 . ∆L2+…+E6 . L6)

EXPRESE LA EXPRESIONES DE DIFERENCIAL DE LINEA EN LOS 3 SISTEMAS DE COORDENADAS QUE MAS SE USAN ( CARTESIANAS, CILINDRICAS,ESFERICAS).

Obsérvese que en las expresiones para dL en los tres tipos de sistemas de coordenadasse deben utilizar las diferenciales de longitud obtenidas en el primer capítulo

dL= dx ax+dy ay d (rectangular)

dL dp a p+d∅ a∅+d z az (cilíndrica)

Dl = dr ar+rdθ aθ+r sen θd∅ a∅ (esférica)

La relación que guardan las diversas variables en cada expresión las determina la ecuaciónespecífica de la trayectoria.Como último ejemplo ilustrativo de evaluación de la integral de línea, se considerarán variastrayectorias tomadas cerca de una línea de carga infinita. La expresión del campo ya se haobtenido varias veces antes y se sabe que sólo tiene componente en la dirección radial,

E=Ep ∂p = PL2π ϵ 0P

∂p

DEFINA DIFERENCIA DE POTENCIAL. EXPRESE LA MISMA ENTRE DOS PUNTOS EN RELACION A UNA CARGA EN EL ORIGEN Y CUAL ES LA DIFERNCIA DE POTENCIAL Y PONTENCIAL ELECTRICA (EXPLIQUE BREVEMENTE).

se define ahora la diferencia de potencial V como el trabajo que se realiza(por un agente externo) al mover una unidad de carga positiva de un punto a otro en uncampo eléctrico,

DIFERENCIA DE POTENCIAL = V ¿− ∫inicial

Final

E . dL

Se debe llegar a un acuerdo sobre la dirección del movimiento utilizado para que coincidacon el lenguaje, y esto se logra estableciendo que VAB significa la diferencia de potencialentre los puntos A y B y es el trabajo realizado al mover una carga unitaria desde B(mencionada en segundo lugar) hasta A (mencionada en primer lugar). Así, al determinarVAB, B es el punto inicial, y A el punto final. La razón de esta definición peculiar será comprendida más adelante, cuando se vea que al punto inicial B se le asocia normalmente unpunto al infinito, mientras que el punto final A representa la posición fija de la carga; por lotanto, el punto A es de naturaleza más significativa.

La diferencia de potencial se mide en joules por coulomb, de lo cual se define el volt,la unidad más comúnmente utilizada y cuya abreviatura es V. Por consiguiente, la diferenciade potencial entre los puntos A y B está dada por

V AB=∫B

A

E .dLV

donde VAB es positivo si se realiza trabajo cuando la carga se mueve de B a A.En el ejemplo de la línea de carga de la sección anterior encontramos que el trabajo realizadoal desplazar una carga Q desde ρ = b hasta ρ = a era

W= QpL2 π∈0

1nba

Por lo anterior, la diferencia de potencial entre los puntos ρ = a y ρ = b es

V ab=WQ

PL2π ϵ 0

1nba

(11)

Se puede comprobar la validez de la definición determinando la diferencia de potencialentre los puntos A y B localizados a las distancias r Ay r B medidas radialmente desde unacarga puntual Q positiva. Escogiendo el origen en Q,

E=Erar=Q

4 π ϵ 0 r2ar

y dL=dr ar

se tiene

V AB ¿−∫B

A

E .dL=−∫r B

r A

Q

4 π∈0r2dr= Q

4 π∈0

( 1r A

− 1r B

)

Si rB > rA, la diferencia de potencial VAB es positiva, lo que indica que el agente externogasta energía para llevar una carga positiva de rB a rA. Esto concuerda con la imagen físicaque muestra a dos cargas similares repeliéndose mutuamente.A veces es conveniente hablar del potencial o potencial absoluto de un punto, más quede la diferencia de potencial entre dos puntos. Esto sólo significa medir la diferencia de potencialde cada punto con respecto a un punto específico de referencia y que se consideracomo un potencial igual a cero. Debe llegarse a un acuerdo acerca de la referencia cero si

se quiere que el potencial tenga un significado claro. Una persona que con una mano tocalas placas deflectoras de un tubo de rayos catódicos, localizados en “un potencial de 50 V”,y que con la otra toca el cátodo estaría probablemente demasiado agitada por el “toque” recibidocomo para darse cuenta de que el cátodo no es la referencia cero, sino que todos lospotenciales del circuito comúnmente se miden con respecto a la caja metálica que rodea altubo. El cátodo podría ser de varios miles de volts más negativo con respecto a tal cubierta.Quizá el punto de referencia cero más utilizado para las medidas tanto experimentalescomo físicas es la “tierra”, término con el que se denota el potencial de la región superficialde la Tierra misma. Teóricamente, se acostumbra representar esta superficie por medio deun plano infinito con potencial cero, aunque en problemas a gran escala, como los relativosa la propagación de señales a través del océano Atlántico, se requiere que la superficie seaesférica con un potencial cero.

OBTENGA LA EXPRESION DEL CAMPO DE PONTENCIAL DE UNA CARGA PUNTUAL Y PARTIR DE LA DIFERENCIA DE POTENCIAL EXISTENTE ENTRE 2 PUNTOS LOCALIZADOS

r A y r B.

En la sección anterior se encontró la expresión (12) para la diferencia de potencial existenteentre dos puntos localizados en r = rA y r = rB en el campo de una carga punto Q localizadaen el origen,

V AB ¿ Q

4 π∈0( 1rA −

1rB )V A−V B

Se supuso entonces que los dos puntos pertenecían a la misma línea radial o que teníanlas mismas coordenadas θ y φ, permitiendo así establecer un camino simple sobre dicha radialpara llevar la carga positiva. Debemos preguntarnos ahora si en los diferentes valoresde θ y φ para las posiciones inicial y final afectarán la respuesta, y también si podemosescoger trayectorias más complicadas entre los dos puntos sin que existan cambios en losresultados. Se resolverán ambas preguntas simultáneamente escogiendo dos puntos cualesquieraA y B (figura 4.3), localizados a distancias radiales rA y rB, y cualquier valor para lasotras coordenadas.La diferencial dL de longitud de la trayectoria tiene componentes r, θ y φ, en tanto que

el campo eléctrico sólo tiene en la dirección radial. Utilizando el producto punto resulta

V AB −∫r B

r A

Er dr=−∫r B

r A

Q

4 π∈0r2dr= Q

4 π∈0

( 1r A

− 1rB

)

QUE ES GRANDIENTE DE POTENCIAL ERXPLIQUE SU DEFINICION,SEÑALE SU EXPRESION EN LOS 3 SISTEMAS DE COORDENADAS.

La operación sobre V mediante la cual se obtiene −E se conoce con el nombre de gradiente;la definición del gradiente de un campo escalar T está dada por

Gradiente deT=grad T= dTdN

aN (26)

en donde aN es un vector unitario normal a las superficies equipotenciales, y cuyo sentidoes aquel en el que se aumentan los valores de T.Si se utiliza esta nueva terminología, la relación entre V y E se puede expresar como

E=−gradV

El gradiente se puede expresar en términos de derivadas parciales en otros sistemas decoordenadas aplicando la definición (26). Estas expresiones se derivan en el Apéndice A yse muestran a continuación por comodidad para cuando se necesiten en problemas que tengansimetría esférica o cilíndrica.

∇V=∂V∂ x

ax+∂V∂ y

ay+∂V∂ z

az rectangular

∇V=∂V∂ p

ap+1p∂V∂∅

a∅+∂V∂z

az cilíndrico

∇V=∂Var

ar+1r∂V∂θ

aθ+1

r senθ∂V∂∅

a❑ Esférico.