Energía y Telecomunicaciones. Tema 2.3. Circuitos trifásicos · Energía y Telecomunicaciones....
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Tema 2.3. Circuitos trifásicos
Energía y Telecomunicaciones
Alberto Arroyo Gu<érrez Mario Mañana Canteli Raquel MarCnez Torre Jesús Mirapeix Serrano
Cándido Capellán Villacián
Departamento de Ingeniería Eléctrica y Energé5ca
Este tema se publica bajo Licencia: Crea5ve Commons BY-‐NC-‐SA 4.0
a a = 1!120
BCfGiIIj j = 1!90
LMPQR !SSuUUW JX !YZ !Z !!" !m# S/m$ U I%
+
+
+u
i
2
xa(t) =!2X cos(2&ft)
xb(t) =!2X cos(2&ft" 2&
3)
xc(t) =!2X cos(2&ft+
2&
3)
xi(t) i
X
f
x(t)!2X
1/f
t
120
xa(t) + xb(t) + xc(t) = 0
Xa = X!0 = X(1 + j0)
Xb = X!! 2!3= X("1
2" j
!3
2)
Xc = X!+ 2!3
= X("1
2+ j
!3
2)
Xa +Xb +Xc = 0
Xa
Xb
Xc
120
120
120
Ia =Ua
Za
Ib =U b
Zb
Ic =U c
Zc
+
+
+Ua
U bU c
Ia
Ib
Ic
Za
Zb
Zc
Za = Zb = Zc = Z!!
Z $
Ua
U b
U c
$
$
$
IaIb
Ic
Ia + Ib + Ic = 0
+
+
+Ua
U b
U c
Ia
Ib
IcZ
Z
ZA
B
C
N
A"
B"
C"
N "
conductor de la fase a
conductor de la fase b
conductor de la fase c
conductor del neutro
"
Ua U b U c
UN = 0Uab U bc Uca
Uab = Ua " U b = U(1 + j0)" U("1
2" j
!3
2) = U(
3
2+ j
!3
2)
= U!3(
!3
2+ j
1
2) = U
!3!30
30 Ua
!3
U bc = U b " U c = U("1
2" j
!3
2)" U("1
2+ j
!3
2) = U(0" j
!3)
= U!3(0" j) = U
!3!!90
U ca = U c " Ua = U("1
2+ j
!3
2)" U(1 + j0) = U("3
2+ j
!3
2)
= U!3("
!3
2+ j
1
2) = U
!3!150
Ua
Ub
U c Uab
U bc
U ca
30
30
30
400 = 230!3
Ia Ib Ic
IN = Ia + Ib + Ic
IN = 0
+
+
+Ua
U b
U c
Ia
Ib
IcZ
Z
ZA
B
C
N
A"
B"
C"
N "
conductor de la fase a
conductor de la fase b
conductor de la fase c
Ia + Ib + Ic = 0
Ia =UA!N !
Z=
UAN " UN !N
Z
Ib =UB!N !
Z=
UBN " UN !N
Z
Ic =UC!N !
Z=
UCN " UN !N
Z
UAN " UN !N
Z+
UBN " UN !N
Z+
UCN " UN !N
Z
=UAN + UBN + UCN
Z" 3
UN !N
Z= 0
UAN + UBN + UCN
Z= 0
UN !N = 0
N N "
N "
+
Ua Z
Ia
+
+
+Ua
U b
U c
Ia
Ib
Ic
Z
Z
Z
A
B
C
A"
B"
C"
conductor de la fase a
conductor de la fase b
conductor de la fase c
I1
I2
I3
!3
I1 I2 I3
I1 =UA!B!
Z
I2 =UB!C!
Z
I3 =UC!A!
Z
Ia Ib Ic
Ia = I1 " I3 =UA!B! " UC!A!
Z=
!3U!30 "
!3U!150
Z= 3
U
Z1!!!
$
Ib = I2 " I1 =UB!C! " UA!B!
Z=
!3U!!90 "
!3U!30
Z= 3
U
Z1!!120 !!
Ic = I3 " I2 =UC!A! " UB!C!
Z=
!3U!150 "
!3U!!90
Z= 3
U
Z1!120 !!
Ua
U b
U c
UA!B!
UB!C!
UC!A!
I1
I2
I3I3
Ia
Ib
Ic
30
30
30
$
$
$$$$
!3
!3
3030 $
(X,Y, Z)
ZA
ZB ZCZ1
Z2Z3
X X
Y YZ Z
Zi =suma de los productos binarios de todas las impedancias de la estrella
impedancia de la rama conectada al nudo opuesto a Zi
ZA =Z1Z2 + Z2Z3 + Z3Z1
Z1
ZB =Z1Z2 + Z2Z3 + Z3Z1
Z2
ZC =Z1Z2 + Z2Z3 + Z3Z1
Z3
Zi =producto de las dos impedancias del nudo conectadas al nudo i
suma de las tres impedancias del triangulo
Z1 =ZBZC
ZA + ZB + ZC
Z2 =ZAZC
ZA + ZB + ZC
Z3 =ZAZB
ZA + ZB + ZC
Z
ZY =Z!
3
P =3!
k=1
UkIk cos$k [W ]
Uk k
Ik k
cos$k k
Q
Q =3!
k=1
UkIk sin$k [var]
S = P + jQ
S = #S# ="P 2 +Q2 [V A]
P (t) = P1(t) + P2(t) + P3(t)
= 2UaIa cos(%t) cos(%t" $) + 2UbIb cos(%t"2&
3) cos(%t" 2&
3" $)
+ 2UcIc cos(%t+2&
3) cos(%t+
2&
3" $)
P (t) = 2UI{cos(%t) cos(%t" $) + cos(%t" 2&
3) cos(%t" 2&
3" $)
+ cos(%t+2&
3) cos(%t+
2&
3" $)}
P (t) = UI{cos(2%t" $) + cos($) + cos(2%t" 4&
3" $) + cos($)
+ cos(2%t+4&
3" $) + cos($)}
cos(2%t" $) + cos(2%t" 4&
3" $) + cos(2%t+
4&
3" $) = 0
P (t) = 3UI cos($)
cos! cos " = 12 (cos(!+ ") + cos(!" "))
a
b
c
N
P1
P2
P3
P = P1 + P2 + P3
a
b
c
P1
P2
P1 P2
P = P1 + P2
P1 P2
P1 = ${UacIa#} = UacIa cos(30 " $)
30 P2 90120 + $
P2 = ${UbcIb#} = UbcIb cos(30 + $)
UL
IL P1 P2
P = P1 + P2 = ULIL cos(30 " $) + ULIL cos(30 + $)
= ULIL(cos(30 " $) + cos(30 + $))
= ULIL(2 cos(30 ) cos($)) = ULIL2
!3
2cos($)
=!3ULIL cos($)
Ua
Ub
U c
Uac
U bc
U ca
Ia
Ib
$$
30
30
30
P1 P2
P1 " P2 = ULIL cos(30 " $)" ULIL cos(30 + $)
= ULIL(2 sin(30 ) sin($))
= ULIL21
2sin($))
!3
Q =!3(P1 " P2)
30 "$30 + $
cos(! " ") + cos(! + ") = 2 cos! cos " cos(!" ")" cos(!+ ") = 2 sin! sin"
FP =P"
P 2 +Q2
P [W ]
Q [var]
Q1C = "U2a1
"C
= "%CU2a = "%C
U2AB
3
QC = "%CU2AB
FP "
FP " =P"
P 2 + (Q +QC)2=
P"P 2 + (Q" %CU2
AB)2
C FP "
C =Q" P
#1
FP !2 " 1
%U2AB
ZCY =ZC!
3
1
%CY=
1"C!
3
C! =CY
3
FP " CY
C!
Q
Q
a
b
c(P,Q)
C
C C
S1
N "
UN !N
+
+
+Ua
U b
U c
Ia
Ib
Ic
A
B
C
N
A"
B"
C"
N "
Z1
Z2
Z3
ZN
Ia =UAN " UN !N
Z1
Ib =UBN " UN !N
Z2
Ic =UCN " UN !N
Z3
IN =UN !N
ZN
Ia + Ib + Ic = IN
UAN " UN !N
Z1+
UBN " UN !N
Z2+
UCN " UN !N
Z3=
UN !N
ZN
UN !N
UAN
Z1+
UBN
Z2+
UCN
Z3= UN !N (
1
Z1+
1
Z2+
1
Z3+
1
ZN)
UN !N =
UAN
Z1+ UBN
Z2+ UCN
Z3
1Z1
+ 1Z2
+ 1Z3
+ 1ZN
=UANY 1 + UBNY 2 + UCNY 3
Y 1 + Y 2 + Y 3 + Y N
N "
Z = 10+ j5
Ua
Za =10 + j5 Zb = 10 " j5Zc = 10
Ua
Ia Ua
Z1 = 30 + j30 Z2 = 10" j10
a
b
c
Ia
Z1 Z2
Z1 = 10+ j10 FP
FP
! = 70%
Zconductor = 1 + j4
Z1 Z2 Ia Ib Ic
UA!N !
P1 P2
UA!N !
a
b
c
Z1 Z2
P1
P2
Zconductor
A"
N "
Ia = 20, 57!!26,57 Ib = 20, 57!!146,57 Ic = 20, 57!93,43 In = 0 Ia =20, 57!!26,57 Ib = 0 Ic = 20, 57!93,43 In = 20, 57!!146,57
Ia = 20, 57!!26,57 Ib = 20, 57!!93,44 Ic = 23!120 In = 11, 33!120
Ia = 23!0
FP = 0, 71(i) C = 159, 15 µF
P = 20, 64 Q = 10, 06 IL = 33, 14 C = 66, 71 µF
Z1 16 ! Z2
106, 67 ! 14, 45 µF Ia = 45, 48!1,32
Ib = 45, 48!!118,68 Ic = 45, 48!121,32 Uab = 327, 96!63,90 U bc = 327, 96!!56,12
U ca = 327, 96!183,90 P1 = 25807 W P2 = 11897 W PT = 37705 W QT =24093 var