RESEÑA HISTÓRICA

De acuerdo con estudios realizados por cien�ficos, es aceptado

que el hombre prehistórico probablemente sólo tenía nociones

muy vagas de los conceptos de número y medida; que para con-

tar, usaba los dedos y para medir longitudes las comparaba con

ciertas partes de su cuerpo como el pie, el brazo, la mano. En

algunas cavernas de Europa, recientemente se han descubierto

grabados y pinturas que datan de !empos prehistóricos y que

muestran un conocimiento de la proporción y de la dimensión,

pero no existen indicios de sus métodos de medida.

BABILONIA. En Mesopotamia, situada entre los ríos Tigris y Éufrates,

exis!ó una civilización cuya an!güedad se remonta aproximadamente

a LVII siglos. Los primeros indicios de un sistema de medidas provienen

de ellos. Los babilonios fueron los inventores de la rueda, fueron los pri-

meros en encontrar que la relación entre la longitud de la circunferencia

y su diámetro era igual a tres (1 Reyes; 5, 23); también fueron los pri-

meros en perfeccionar la agrimensura. Además; poseían métodos para

determinar el área de algunas figuras sencillas, entre estas, el círculo.

La mayoría de documentos encontrados señalan que los métodos y

conocimientos acerca de las medidas surgieron como una necesidad de

la medida de la !erra y de las construcciones de edificaciones. Cul!varon

la Astronomía, suponían que la esfera celeste giraba alrededor de la Tie-

rra y que el año tenía aproximadamente 360 días; dividieron la circunfe-

rencia en 360 partes iguales obteniendo de esa forma el actual sistema

de medida de ángulo basado en los grados (sistema sexagesimal).

EGIPTO. Una gran can!dad de conocimientos de Aritmé!ca, Álgebra y

medidas que hoy día tenemos es legado de los Egipcios. La base de ésta

civilización fue la agricultura. La aplicación de los conocimientos geomé-

tricos a la medida de la !erra, permite dar el nombre de Geometría, que

significa medida de la !erra.

Los reyes de Egipto dividían las !erras en parcelas; después de sus

inundaciones periódicas del río Nilo, necesitaban encontrar el límite de

los campos, los agrimensores tenían que rehacer las divisiones y calcu-

lar el impuesto que debía pagar el dueño de la parcela, ya que este era

proporcional a la superficie de la !erra cul!vada. Los sacerdotes egip-

cios también cul!vaban la geometría aplicándola a la construcción de

pirámides, tumbas y palacios.La “Gran Pirámide” construida hace más de XX siglos por el pueblo

Egipcio, es sin lugar a duda una gran prueba de los conocimientos de Geometría y Astronomía, debido a la perfección de sus dimensiones y orientación. Los an!guos manuscritos egipcios como el papiro de Ah-més, data del 1.700 a. C, se cree que el original fue escrito en el año 2.300, la copia se conserva en el Museo Británico. En él se encuentran problemas sobre las medidas de varias figuras geométricas como el área de un triángulo isósceles, de un trapecio isósceles y de un círculo, con

un valor de � = 3,1605

Era tanta la fama y la sabiduría que su conocimiento se extendió

por todo el mundo civilizado de ese !empo y los eruditos de otros paí-

ses iban a estudiar a Egipto. Entre ellos, los Griegos, quienes quedaron

impresionados por los métodos empleados por los Egipcios en la agri-

mensura y el cálculo; al conjunto de estos métodos le dieron el nombre

de Geometría.

GRECIA. La Geometría de los egipcios era eminentemente empírica,

puesto que no se basaban en un sistema lógico deducido a par!r de

axiomas y postulados. Su interés sólo estaba basado en su u!lidad. Los

Griegos por el contrario, fueron los grandes pensadores, no se sin!eron

sa!sfechos con su u!lidad; sino que la estudiaron, perfeccionaron y la

aplicaron como una rama del saber, por el amor al descubrimiento de

la verdad, obteniendo explicaciones racionales de las cues!ones en ge-

neral y par!cularmente de la geometría. Los sabios Griegos, luego de

regresar de Egipto, se dedican a la enseñanza de la Geometría en sus

escuelas, naciendo así un gran interés por los nuevos conocimientos.

Los Griegos fueron los primeros en realizar muchas construcciones

geométricas. A ellos debemos las construcciones con regla y compás

que conocemos; gracias a ellos es posible bisecar un ángulo, construir

polígonos, construir las cónicas y muchas cosas más. Sin embargo, algu-

nos problemas se resis!eron por muchos años a su solución y todo lo

que se hizo fue en vano. Los tres grandes problemas que se resis!eron a

su solución, fueron: La duplicación del cubo, la cuadratura del círculo y

la trisección del ángulo. Sobre la trisección del ángulo con regla y com-

pás los griegos no encontraron la jus!ficación, del porque su no cons-

trucción. Sólo hasta hace poco se demostró que era imposible; pero con

el uso de algunos instrumentos que construyeron, lograron trisecar un

ángulo, entre ellos se destacan: Nicomedes, que u!lizó “La Concoide”;

Arquímedes, u!lizó la “Espiral”; Hipias, la “Trisectriz o Cuadratriz”. Con

“la escuadra del carpintero”, instrumento construido en el siglo III d. C,

también lograron trisecar el ángulo.

La Geometría comienza como una ciencia deduc!va, estudian las

propiedades de las figuras geométricas y sus relaciones; realizan las de-

mostraciones u!lizando la lógica para llegar a nuevas verdades par!en-

do de las ya conocidas. Se dedican a la escritura de documentos y libros

de tratados de ésta área.

Pronto, todos los agrimensores y astrónomos griegos empiezan a

hacer uso de los nuevos conocimientos y a aplicarlos a otras ciencias,

la aplican en las bellas artes y otras dando origen a la Trigonometría y

la Geodesia.

ERATÓSTENES. Fue uno de los primeros griegos que logró determinar

muy aproximadamente la circunferencia y el diámetro de la !erra con

un error de unas pocas centenas de kilómetros, calculó con mucha

aproximación la duración del año y sugirió un calendario, llamado hoy

Calendario Juliano, que fue usado en muchos países hasta hace poco

Reseña Histórica

!empo. Posteriormente se dedicó a enseñar en Egipto, luego de ser

conquistada por Alejandro el Grande.

El imperio romano conquista militarmente a Grecia, tomando de

ellos la Geometría Prác!ca y dan poca atención a la Geometría Deduc!-

va, lo que implica que en nada contribuyeron a su desarrollo.

TALES DE MILETO. Nació en la ciudad de Miletos en el año 640 a.C.

se cree que vivió 90 años. Es considerado el primer filósofo. Fue uno

de los “Siete Sabios de Grecia”. En sus largos viajes por Egipto (como

comerciante) aprendió mucho y reunió abundante material para sus

reflexiones. Predijo un eclipse de Sol que tuvo lugar en 585 a.C. Se

cree que enseñó a sus maestros a medir la altura de las pirámides va-

liéndose de la sombra que proyectaban.

Se dedicó al estudio y enseñanza de la Filoso#a y de la Geometría;

logró determinar la igualdad de los ángulos de la base en un triángulo

isósceles, el valor del ángulo inscrito y la demostración de los teoremas

que llevan su nombre rela!vos a la proporcionalidad de segmentos de-

terminados en dos rectas cortadas por un sistema de paralelas. Uno

de sus discípulos y amigo fue Anaximandro, quien es el primero que

intenta clasificar las diferentes partes de la geometría, escribiendo un

libro sobre esto.

PITÁGORAS DE SAMOS. Nació en Samos en el

año 569 a.C. y muere en 500 a.C. Según los his-

toriadores fue discípulo de Tales; se estableció

en Trotona al sur de Italia y funda una especie

de orden denominada “los pitagóricos”, cuyos

miembros buscaban un enriquecimiento inte-

lectual. Esta orden comprendía varios “gra-

dos”, en los que se ingresaba después de haberse some!do a ciertas

pruebas yasis!r a determinadas ceremonias. El emblema de su her-

mandad es una estrella de cinco puntas dibujada sin levantar la pluma

del papel en cada punta de la estrella había una letra griega que for-

maban la palabra “salud”. Al estudiar las propiedades de esta figura,

los pitagóricos descubren muchas propiedades de los triángulos y de

los pentágonos. Sin lugar a dudas Pitágoras era un verdadero sabio:

Matemá!co, inves!gador de las Ciencias Naturales y de la Astronomía,

Filósofo e inves!gador cien�fico en general; también un moralista. Se

dedicó al estudio de la geometría, descubriendo varias proposiciones

importantes. Él y sus discípulos dieron las mejores demostraciones de

algunas proposiciones ya conocidas; se dice que fue el primero en de-

mostrar que “el cuadrado construido con un lado igual al mayor de

los lados de un triángulo rectángulo, �ene un área igual a la suma

de las áreas de los cuadrados cuyos lados son los otros dos lados del

triángulo”. Esta proposición la conocemos hoy día como: “Teorema

de Pitágoras”.

También se le atribuye la demostración de la propiedad de la suma

de los ángulos internos de un triángulo. Los pitagóricos resumen su doc-

trina afirmando que “todo lo que conocemos está representado por un

número y sólo podremos llegar a comprender una cosa cuando conoz-

camos su número”.

Es muy poco lo que se sabe de la vida de Pitágoras, no hay escritos

suyos. Lo único que se sabe de él, nos lo han legado sus discípulos. Fue el

primero en atribuirse el nombre de “filósofo” que significa “amante del

saber”, se le conoce como “el primer técnico de las ciencias exactas”.

ARQUITAS. Nació en el año 400 a.C. Con!nuó con los estudios de los pi-

tagóricos. Fue el primero que resolvió el famoso problema de determi-

nar geométricamente las dimensiones de un cubo con volumen doble

a otro cubo dado, problema conocido como “la duplicación del cubo”.

Se dice que fue el primero en aplicar los principios de geometría a la

mecánica.

HIPIAS DE ELIS. Vivió aproximadamente en la misma época de Arquita.

Fue el primero en resolver los problemas teóricos de dividir un ángulo

en tres partes iguales, problema conocido como “la trisección del ángu-

lo”; y el de “la cuadratura del círculo”, es decir, encontrar un cuadrado

de área igual a la del círculo dado.

HIPÓCRATES DE CHÍOS. Nació en el año 470 a.C. Estudió la solución de

los tres grandes problemas de la geometría. En sus inves!gaciones des-

cubrió muchas propiedades del círculo y de los ángulos. Escribió un libro

que es considerado como el primer texto de geometría pura.

PLATON. (429-328 a.C.) Considerado uno de los dos más grandes pen-

sadores filósofos griegos de la an!güedad; discípulo de Sócrates. En

Reseña Histórica

Atenas reunió a un grupo de compañeros y funda una comunidad a la

manera de los Pitagóricos. Vivian en una casa de campo a las afueras

de Atenas; en un lugar dedicado al héroe Akademos; por eso se llamó

al lugar Akademeia, enseñaba a sus discípulos planteando problemas

y cues!ones cien�ficas en largos paseos por los bosques de la acade-

mia, de ahí el nombre de “peripaté�cos”; así nace la primera acade-

mia del mundo. La Akademeia o Academia era un centro de inves!ga-

ción cien�fica, tanto que es considerada como la primera Universidad.

Platón estaba especializado en filoso#a pura y geometría. Inves!ga-

ciones realizadas dan evidencias que colocó en la puerta un aviso que

expresaba: “Quien no sepa geometría que no entre”, prohibiendo la

entrada a los que no supieran geometría.

ARISTÓTELES. (384-322 a.C.). Discípulo de Platón, abarcó todas las ra-

mas del saber. Fundó su propia escuela filosófica cerca de un campo de

deportes llamado Lykeion, de ahí el nombre del “Liceo”. La grandeza de

su filoso#a radica en la lógica, logra sistema!zarla. Señala las leyes que

rigen los fenómenos de la naturaleza y explica su interdependencia. In-

culca a sus discípulos la regla de la experimentación cien�fica, los ense-

ña a observar desde un punto de vista cien�fico. Gracias a él, la ciencia

ocupa un lugar de honor en el progreso humano.

Después de Aristóteles, el centro del saber vuelve a Egipto, que

había sido conquistada por los Griegos bajo el mando de Alejandro el

Grande. Este emperador, construye en el Delta del Nilo la gran ciudad de

Alejandría y funda en ella una gran Universidad y una Biblioteca. Todos

los estudiantes y eruditos del mundo acudían a la Universidad; a Alejan-

dría llegan los mayores sabios de su época, a quienes les pagaban para

que se dedicaran por completo a las ciencias; contando para ello con

toda clase de medios auxiliares para la inves!gación. El más famoso de

los sabios de Alejandría es Euclides.

EUCLIDES. (330-275 a.C). Durante muchos años enseñó matemá!cas

en la Universidad de Alejandría y a discípulos par!culares. Sistema!-

zó los conocimientos matemá!cos de su !empo en un libro conocido

como “Los elementos”, de claridad tan excepcional que muchos países

aún lo u!lizan como libro de texto. Esta obra abarca parte de la arit-

mé!ca, la teoría de los números, el álgebra, las proporciones y todo lo

que se conocía entonces de geometría. Su obra consta de 13 libros; de

ellos 7 están dedicados a la geometría (I, II, III, IV, VI, XI y XII). El libro XIII

es una especie de suplemento que con!ene algo de Geometría. Se ha

acostumbrado a separar los libros de Geometría de los demás, dándole

a éste conjunto el nombre de “Elementos de Geometría” de Euclides, o

“Los Elementos de Euclides”.

En este libro Euclides enuncia con gran precisión sus fundamentos,

simplifica los enunciados y demostraciones de las proposiciones; clasifi-

ca, ordena y numera todos los principios fundamentales, las definiciones

y proposiciones. Para él, sólo es válido el uso de la regla y el compás, no

permite el uso de otro instrumento; de esta forma sus demostraciones

y soluciones están basadas únicamente a través de la circunferencia y la

línea recta. La geometría desarrollada de esta manera se llama geometría

elemental (de los Elementos) o geometría euclidiana.

Los Elementos de Euclides estudian la geometría plana (figuras que

se pueden dibujar en un plano o superficie “plana”) y de los sólidos

compuestos de superficies planas o caras. Los cuerpos sólidos: esfera,

cilindro y cono, llamados “Los Tres Cuerpos Redondos”, no los estudió.

ARQUÍMEDES. Nació en Siracusa 287-212 a.C. Estudió en Alejandría,

siguió los cursos de algunos discípulos de Euclides. Sin lugar a dudas es

considerado el matemá!co más grande de la an!güedad y uno de los

mayores de todos los !empos. Es conocido por su célebre exclamación

de “¡Eureka!” que significa “lo encontré”. Fue un gran inventor, inventó

máquinas de guerra debido a su gran dominio de la mecánica. Varias de

las leyes de la naturaleza y algunos de sus inventos, llevan su nombre.

De él se considera la frase “Dadme un punto de apoyo y moveré el uni-

verso”, expresando con esto su gran talento mecánico. Su contribución

original a la geometría es mayor que la de ninguna otra persona. Sus

estudios más notables son los relacionados con el área del círculo, el

volumen del cilindro, del cono y de la esfera, descubriendo muchas de

sus propiedades y relaciones existentes entre ellas.

Al igual que Euclides, Arquímedes sistema!zó todos sus conoci-

mientos y escribió varios libros sobre estos temas. Se ha descubierto

hace poco de su obra una conclusión sorprendente: Arquímedes en-

contró quizá los principios del cálculo integral que Newton y Leibnitz

descubrieron en el siglo XVIII.

Después de Arquímedes, Alejandría floreció durante unos novecien-

tos años más. Su Gran Biblioteca considerada como la “Cámara del Te-

Reseña Histórica

soro” era un depósito de sabiduría y de literatura griega, ahí convergían

todos los matemá!cos y filósofos.

También sobresalieron por sus aportes Apolonio de Perga, Ptolo-

meo y Pappus entre otros. Apolonio (260-200 a.C.), estudió las seccio-

nes cónicas, dando origen a lo que hoy conocemos como geometría

analí!ca. Ptolomeo (siglo II d. C.), gran geómetra, escribió una gran obra

en trece libros (secciones) que tratan sobre la proyección ortográfica y

estereográfica; dando origen a la geometría descrip!va. En su obra apli-

ca la geometría y la trigonometría a la astronomía. El �tulo con el que

conocemos esta obra es el “Almagesto” que significa: “El más grande”,

o “La mayor colección”.

PAPPUS. Perfeccionó la geometría superior, teoría sobre las secciones

cónica y enunció algunas proposiciones que son consideradas precur-

soras de los fundamentos del cálculo infinitesimal y la geometría pro-

yec!va.

Después de Pappus, Alejandría ya no !ene interés desde el punto

de vista de la geometría; los árabes conquistan a Alejandría y destruyen

la Universidad e incineran gran parte de la Biblioteca (641 d.C.). Con

ésta destrucción, los eruditos se marcha de Egipto y se esparcen por

todo el mundo, viajando algunos a Constan!nopla, otros a Bagdad. En

Constan!nopla, el interés por la geometría es poco, comienza a des-

cuidarse, convir!éndose en un arte, el aporte es poco. De esta manera

se ha retrocedido al nivel de los egipcios. En Bagdad, fueron maestros

y médicos de los árabes. Los árabes obtuvieron los conocimientos de

Aritmé!ca y Álgebra de los hindúes, y de geometría y astronomía de los

griegos. Los árabes poco contribuyeron al desarrollo de la geometría y

la trigonometría, pero si aplicaron estos conocimientos a la astronomía.

Gracias a ellos, la geometría se introduce a Europa, en la época del Re-

nacimiento.

Durante los siglos XIII y XIV, las Matemá!cas son enseñadas en las

universidades. Se estudia de manera cien�fica la Trigonometría, la As-

tronomía y especialmente la Geometría. Son traducidos Los elementos

de Euclides al la�n y a algunos idiomas de Europa. Muy pronta la Geo-

metría toma fuerza y es enseñada en todas las escuelas de Europa; se

aplica a las artes y a la ingeniería. El francés Legendre (1752-1833) pu-

blica los “Elementos de Geometría”, en él intenta demostrar el axioma